Cuaderno de cálculo vectorial.pdf

7/17/2019 Cuaderno de cálculo vectorial.pdf

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x

CÁLCULO DE ÁREAS

Diferencial en “x”

y dA = ydx

y

a dx b x

Diferencial en “y”

y

d dA = xdy

dy

c

x

Con dos funciones

y

a dx b x

y=f(x)

x=f(y)

y=f(x)

y=g(x)



x=f(y)

x=g(y)

(función de arriba menos función de abajo)

y

d dA = xdy

dy

c

x

(función derecha menos función izquierda)

EJERCICIOS

Calcular el área bajo la función: y=2x ; entre x=1 y x=4

∫ 2 || 1 6 1 15

Calcular el área bajo la función: y=; entre x=0 y x=-3

y = 2x



3

273 9

Calcular el área entre: f(x)=2x, g(x)=x2

2 2 0 2 0 1 0 ; 1 0 2 4 ; 2 4 2 3

43

Calcular el área entre: f(x)=x2

desde x=-3 y x=3

y =



2 1 8

−

Hallar el área comprendida entre las curvas

2 2 y

4 2

2 2 4 2

3 2 0

2| 1

2 4 2 2−

6 3 3 − 6 32 −

272 13.5

Hallar el área acotada por las curvas: √ + y

4 2

2 2



√ 1

1 √ + 0 ; 0

1 √ + 0

2 2 1 0

′ 6 4 6 2

Newton Rapson:

− ′ 1.1807

√ 1 .

5 1 2 , 0.7854

√ 1



Hallar el área comprendida entre:

1 ; 1 ; ≥ 1

1

1

lim→ 1 1

lim→ 1

lim→ √ 1

lim→ √ 1 1√ 1 1

lim→ √ 1 1√ 2 lim→ √ 1 √2



lim→ √ 2√ 1 l i m→ √ 2√ 1

√ 2 2 12 l n 2 ln 22

Halar el área de la curva − y su asíntota

± 2

≠ 2 2 ≥ 0; 1 2; 2

2

, 1

2 lim→ √ √ 2 , 2 ;

2



√ ; ; 2

→ 0 ; → 0 ; → 2 ; → √ 2

√ 2 2 √ 2

√ 222 √ 2 √ 2; √ 2

→ 0 ; → 0

→ √ 2 ; → 2

2 44√ 2 √ 28

8

3 22 ∗ 2 14 4∗4 lim→ 322 14 4

l i m→ 322 14 4

32 2 22 14 42 32 Hallar el área de las abscisas ya la curva

1

0; ; 0 ; 0 1

0 ; 1 Puntos de corte

t x y0 2 01 3.71 02 8.39 -23 21.08 -6-1 1.36 0



1 2 ; 1 3.71

;

1 2 ; 1 2

1 2 ;

2 ;

1 2 2

0.2817 Hallar el área que encierra

Si a=4; b=2

16

16 12 4 2 8

16 12

t x y

0 a 0π/2 0 bΠ -a 03π/2 0 -b2π a 0



8 Hallar el área que encierra 2222 con a=1

2 2222

2 442222

2 2 222

6

t x y0 1 0π/6 1.23 0.131π/3 1.5 0.851π/2 1 1.972π/3 -0.5 2.595π/6 -2.23 1.91

Π -3 0.08

3π/6 -2.23 -1.79

4π/3 -0.5 -2.59

3π/2 1 -2.965π/3 1.5 -0.93

11π/6 1.23 -0.1

2π 1 0



θ1

θ2

r

r

dθ

Áreas en coordenada polar

y r=f(θ)

(r,θ)=>eje polar

x

; c o s ; t a n

1 ;

∗ ∗

12

EJEMPLOS

Calcular el área que encierra la siguiente función 4

θ r

0 -4

π/2 0

Π 4

3π/2 0

2π -4



2 ∗ 12 1 6

16 12 4 1 6 2 8

4 Hallar el área del lazo interno que encierra la siguiente función 1 2

12 12

12 144

12 |42|

0.2718

θ r0 1

π/6 0π/3 -0.73π/2 -12π/3 -0.73

5π/6 0

Π 1

3π/6 2

4π/3 2.73

3π/2 3

5π/3 2.73

11π/6 22π 1



Hallar el área común entre 6 22

;622

6220

12 ; 23 ; 56

12 2 2 12 6

3.0349 4.7124 7.7474

Círculo Cicloide

Hallar el área fuera del círculo 22, y dentro del cicloide

1

t x y0 0 0π/2 0.6708 1Π Π 23π/2 5.71 12π 2π 0

t x y0 2 0π/2 0 2Π -2 0



Cambiando la ecuación del círculo de coordenada paramétricas a rectangulares:

2 ; 2

4 4 1

Reemplazando en la ecuación de la cicloide:

1 4

Aplicando Newton Rapson se obtiene el valor de “t”(punto de intersección)

t = 2.22

12 2∗2 1 ∗ .

.

2.7016 1.2873 3.9889 Hallar el área comprendida entre

1 3 2 ; 2 3 2

3π/2 0 -22π 2 0



3232 1 arctan1 4 ; 54

Solamente si se verifica que que 5π/4 en r1 y r2 es igual 1 3 2 c o s 5

4

1 3 √ 2

2 3 2 4 2 3 √ 2 12 32

12 |11122|

1112√ 22

12 32

12 |11122|



1112√ 22 1 1 1 2√ 2

Volúmenes de revolución

V π rh d v π⌈f x⌉dx V π f xdx sobre el eje x

V π g y dy sobre el eje y



V πR rh d v πf x gxdx V f x gxdx

Arandelas respecto al eje y

dv πf y gydy V f y gydy



dv2π.r .h .dx

dv2π.xf x gx.dx

V 2 π x f x gx.dx

1. Hallar el volumen de revolución de la intersección de y x ; y x alrededor del eje X

dv πx x. dx

V πx

x

. dx

V π x x . dx

V πx3 x5 V π3 π5 215 πu

Alrededor del eje X con dy

dv2π.y . r r. dy

dv2π.y . x x. dy

d v 2 π. y . yy.dy



V 2 π y yy.dy 0.4189

Hallar el volumen de revolución de un arco de la cicloide

{x a t s i n t y a 1 c o s t

alrededor del eje x

d V π rdx

d V π ydx

V π a1cost at s i n tdt

V aπ 1 c o s tdt

V aπ 1 3 c o s t 3 c o s tdt

V 5 π a

d V 2 πrh d y → d V 2 h y2πa2xdy

V2hy2πa2xdy

r y h 2 π a 2 x

V 2 π a 1 c o s t 2 h a 2at s i n tasintdt

V 5 π a



Hallar el volumen de una esfera de radio R

X2+y2=R2 => y2 = R2 - X2

ℎ

−

3 − 3 3 2 23

43 Hallar el volumen de revolución comprendido entre las curvas 1 ; 0 ;

0 ; 1 alrededor del eje y

2 1 0



2

2

4

2

2 24

2 3

32

Hallar el volumen del solido que se genera alrededor del eje X acotado por: −; 0 ; 1

2. .

2 . .

2 . −.1.9858

6. Hallar el volumen de revolución alrededor del eje y si 0 ≤ ≤



±

2

2 +−

Parametrizar

Si

1

Si

0

2

2

Integral de la longitud de arco



En parametricas

Hallar la longitud de arco de

desde A(1,1) y B(4,8)



1 32

118 23 4 9 7,633

Hallar la longitud de arco de la curva

6 12 0 , 5 ; 2 1 2 12

, 3316

Hallar la longitud de arco de

1

0,8 1 23 −

hallar la longitud de arco 1



0,2 1

8

Hallar la longitud total de la cardioide 2 2

22 2

16

Áreas de volúmenes de revolución

Área de volumen de revolución respecto al eje X. 2 1 ´

Área de volumen de revolución respecto al eje Y.

2 1 ´

Área de volumen de revolución respecto al eje X. 2 1 ´

Área de volumen de revolución respecto al eje Y. 2 1 ´



En Coordenadas Paramétricas. , Área de volumen de revolución respecto al eje X.

2 ´

´

Área de volumen de revolución respecto al eje Y. 2 ´ ´

En Coordenadas Polares.

2 ´

2 ´

Hallar la superficie de revolución de una esfera de radio R.

1

2 3

2 ´

2 3 1

cos sen



cos s e n

,

′ 0

2 0

2

4 /

4|/20

4 0 1 4

Hallar la superficie de revolución al girar un arco de cicloide alrededor deleje X.

{ , 1

2 ´ ´



2 1

2 1 1

2 1√ 22

2 323 643

Hallar la superficie de revolución al girar la pequeña curva ,alrededor del eje de las Y.

cos

14

14

12 14

12 ; 0 , 14



2 ´

2 c o s

2 c o s √ 1

Hallar el área de revolución de la curva entre 0,1, alrededor del ejeX y alrededor del eje Y.

Alrededor del eje X

2 1 ´

2 1 9

3.56

Alrededor del eje Y.

2 1 ´

2 1 9

5.91



MOMENTOS Y CENTROIDES.

∑ 0

∑ =∑ = , ∑ =∑ =

Concepto de densidad de línea.

de Volumen.

de Área

de línea



... ∫ 1 ´ ∫ 1 ´

Si

∫ ∫



∫ ∫

∫ ∫

12 ∫ ∫

Centroides para Longitudes de Arco.

1 1 1

1 1 1

Coordenadas Paramétricas

1

1

Coordenadas Paramétricas

1 cos

1 sen

Centroides para Áreas.

Coordenadas Rectangulares.



∫

12 ∫

Coordenadas Paramétricas.

∫

12 ∫

Coordenadas Polares.

13 ∫ cos

13 ∫ sen

Hallar el centroide de un arco que tiene por ecuación

1 1 1



1 1

1

∫ 1 2∫ 1 2 0.60631.4789 0.4099

1

∫ 1 2 1 2 0.84841.4789 0.5736

, 0.4099;0.5736 Hallar el centroide de una lámina semicircular de radio R.

∫ 0

12

∫

12 ∫ −

12 ∫ − 2



2 ∫

2

3 23 3

23 2

43

Ahora asumiendo que el ejercicio anterior se trata de un alambre.

∫ 0

1

Realizando en Coordenadas Polares. 0

1 sen

1 sen

1 sen

cos|0 1 1 2

Longitud de Arco Total: 2 Longitud de Arco Arriba: 2 2

Hallar el centroide respecto a un alambre doblado de la siguiente figura.

A

C

B



24 10 26. Segmento L

. .

AB 24 12 0 288 0

AC 10 0 5 0 50

BC 26 12 5 312 130

60 600 180

60060 10 18060 3

Asumiendo que es una lámina. 600 ∗ ℎ2 6002402 5

180 ∗ ℎ2

1802402

5

Hallar la ubicación del centroide de la siguiente figura.

0 3 03 , 2 2 53

Área . .

6

8

2

3



9/2 1 3 9/2 27/2

16 4 1 65 16

12 6.5 4 78 48

32.5 146.5 77.5

∑ 146.532.5 4.51 ∑ 77.532.5 2.385

TEOREMA DE PAPPUS.

Si se desea encontrar el área que se genera al rotar sobre una recta cualquiera.

∗ 2 ∗

| |

√

1. Si se desea hallar el volumen de un sólido de revolución.

∗ 2 ∗



Hallar la superficie de revolución de la figura indicada respecto a la recta Lsi L pasa por 0,1, 4,0.

0 14 0

14

0 14 4 14 4 4 4 0

|12 44 4| 1 4

| 2 1 6 4 |√ 17 18√ 17

8 . Suma de los lados

2 ∗ 8 ∗ 18√ 17

219.4410

Hallar el área de la superficie de revolución de la figura cuando ésta giraalrededor de 3.

0 1 3 0 Ecuación de la recta



L . .

2 1 2 2 4

√ 8 3 1 3

√ 8

√ 8

2 √8 23√8 4 √ 8

2 3√ 82 √ 8 2.17 4 √ 82 √ 8 1.41

|02.17 11.4131|√ 0 1 1.59

21.592 √ 82.48

Hallar el volumen de revolución de la curva 1 , alrededor de la rectaque pasa por la recta 0,3,2,0, en el intervalo 1,1

3 00 2 32 3 32 0 2 6 3

3 2 6 0

12 −



12 1 815−

−

1 − 43

81543 25

0,25

|3022/56|√ 3 2 1.442

∗ 2 ∗ 2 43 1.442 12.08

Hallar el área de la superficie de revolución de la rotación del arco alrededorde la recta L.

2, { 1 c o s 1 s i n : intersección de ambas curvas.



2 1 c o s 1 sin , 1 2Puntos de corte 2 en 1 1sin 1 c o s 2

1.1704 , 1 . 3 80.078

4.1007 , 0 . 4 21.81

1.81 0.0780.421.38 1.81 1.81 1.810.42 1 . 8 1 2 . 5 7 0 ,

..

1

1 2 .. 1.9225

2 1 2

.

. 1.9918

1 2.. 1.9953

1.92251.9953, 1.99181.9953 0.9635, 0.9982



INTEGRACION NUMERICA

ℎ1ℎ2∆2

1 ∆2 1

2 ∆2 1 2

2 ∆2 2 3

**

∆2 1 ∆2 1 3 ∗∗∗∗∗∗∗ ≅ 2 2 1 3 ∗∗∗∗∗∗∗ ∆2 2 ∆ 2 2 ∆ 2 3 ∆ ⋯ … …

Hallar el area de la integral

1701 − 6 1701

Numero deintervalo

Xi F(xi) K Kf(xi)



1 -2 34 1 34

2 -1 85 2 170

3 0 170 2 340

4 1 85 2 170

5 2 34 2 68

6 3 17 2 34

7 4 10 1 10

4 26 1 ≅ 12 ∗826

≅ 413 Regla de simpson

Geometria analitica del espacio ∙ | ||| × | ||| Ecuacion de 1 plano

0 un plano esta definido por:

Su vector normal y 1 punto del plano

Tres puntos no alineados

Una recta y un punto fuera de ella



Dos rectas que se cortan

Dos rectas paralelas “no alabeadas”

Distancia de un punto a 1 plano

||||||

∙

| |√

Distancia entre dos puntos

21 21 21

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

22,2,2

11,1,1

1 1 1 1

22,2,2



Si

entonces:

1 22 122

122 1 1 22

1 2

2

1 22

Formas de ecuacion de la recta en 12 2 1, 2 1, 1 2 2 1 2 1, 2 1, 1 2 1 2 : 1 2 1 1 2 1

1 2 1

Despejando: 1 2 1

12 1

1 2 1

Directriz de la recta

2 1

2 1 2 1 Recta en el espacio

1 1 1



Despejando x , y, z: 1 1

1

: .

Forma vectorial de la recta , , 1,1,1 ,, EjerciciosHallar la ecuación de la red que pasa por le punto 1,1,2 22,3,4 1,4,6 ,, 11 14 26

1

4 1 6 2 ,, 1,1,2 1,4,6 Dada la recta 3 3 2 3 5 2 Encontrar la ecuación de la recta.1 3,1,1

2 2,3,5

: 1 × 2 3 1 12 3 5 21711 0 711 ; 1211



,, 7112 , 121117 , 11

2 711

1 7 1211 1 1 0

,, 711 , 1211 ,02,17,11

Hallar la distancia entre en un punto P ubicado en 1 , 0 1 3 2 2

1 1 , 1 1 2 1,2,1

1 1 11 2 1 3 2 3,1,1 4,1,0

| |

||||

|| ∙ || 3,1,1∙3,2,1√ 3 2 1 12√ 14

11 1211 0,8451

Hallar el punto simétrico de 1,1,0 2, , 1 Vector directriz : 1,1,1

2

1 1 , 1 , ∙ 0;90°0 1 , 1 , ∙ 1,1,1 0 2 1 , 1 , 1 ∙ 1,1,1 0 1



Punto simétrico: (-1,-1,2)

FUNCIONES VECTORIALES

En una función f :

→

→ ℎ Ejemplo: < , ln3 , √ >

Ln3 √

Hallar el dominio de

< 1 √ 2 8 >

Dominio en i : 1 > 0 > 1 Dominio en j: 2 8 > 0 4 2 0

∞;4∩2,∞ -4 -1

-

∞ -4 2

∞

Intersecaccion: ∈ 2 ; ∞

-1 0 2

GRAFICAR: 4 C o s 4

GRAFICAR : La curva de intersección entre

1 ;

Resolucion :Si: ; 12 24 4 1 14 3 6 1



2 4 2 6

2 4 2

6

/ −−

Dominio: 2 4 2 ≥ 0 6 4 0 ± 2

2,2

-

∞ -2 2

GRAFICAR: <Cos ,, >

Función vectorial que representa 1 ; 2 Resolución: 2 ; : 2 <Cos >

<Cos 2 >

Hallar la función vectorial de la unión de 2 puntos:1,3,2 2, 1,3 < 3 , 1 2 > < 1 4 5 > 1 3 4 2 5 < 1 t 3 2 5 >

Graficar la curva de interseccion entre ;

- -



Limites de una funcion vectorial

Lim→ ;

∀ ∈> 0∃ > 0 /0 < | | < | | <∈

Demostrar que el límite de la función vectorial 3 ; Lim→ 6 4 ∀ ∈> 0∃ > 0 /0 < | 2| < | 3 6,4| <∈

Analisis:

36 4 <∈

3 2 2 2 < ∈ 1 | 2|3 | 2| ≤ ∈ 1

Si d =1 1 < 2 < 1 5 < 2 < 5 | 2| < 5 3 | 2| < 8

| 2|3 | 2| < 8| 2| ><∈

∈8 | 2| Hallar el limite de < +, − , √ −−√ + > ; → 0

Limite i: Lim→ 1 1



Lim→ 1 1 1 1

Lim→ 1 1+− ∗

Lim→ −

+ 1

Limite en j: Lim→ 1

Limite en k:

Lim→ √ 1 √ 1 ∗ √ 1 √ 1 √ 1 √ 1 1 lim→ −

Continuidad de una funcion vectorial

Una función vectorial es continua en un punto dado por t= a si:1.-∃Lim→ 2.∃Lim→

Una función vectorial es continua en el intervalo de I, si es continua:En todos los conjuntos del intervaloExisten discontinuidades removibles evitables.Cuando.-

∃Lim→ <1,2,3>

Existe discontinuidad no evitable o esencial cuando ∃Lim→

Analizar la continuidad de la función vectorial si

R(t)= < − , −− > ; ≠ 0 < , +− > ; 0

Lim→

Lim→ 1 11 3

Lim→ 1 1 1 3 13

Lim→



Lim→ 1 1

Lim→ 1 1

1

No es continua, por lo tanto no se cumple.Derivadas de una funcion vectorialLa derivada de una función vectorial r se define como` Lim∆→ ∆ ∆ :

∆ ∆ : , . ℎ ` ` ` ℎ`

Dada una función vectorial

2 hallar

` ¿.

` 12 Hallar la derivada de la función vectorial usando la derivación si 2cos22 Derivada en i:Cos2 22



` L im∆→ 2 ∆ 2∆

` Lim∆→ 222∆Cos22∆

` Lim∆→2Cos2∆1∆ 22∆Cos22∆ 2cos2 2cos2 22 2 2

Propiedades de la derivada de una función vectorialr, u son funciones vectoriales

1) Dt ´ 2) Dt

´ ´

3) Dt

∗ ∗ ´ ´ ∗

4) Dt ∗ ∗ ´ ´ ∗ 5) Dt × × ´ ´ ×

6) Dt ´´

7) Si ∗

Hallar la derivada enésima de la función sabiendo 1

2 3 1

1 ?

´ 223 1 1 ´´ 1223−2 12 1 −1 ´´´ 12323−2 1231−1 ! 2 3 −∗21 ! 1 −∗1

Dadas las funciones − 2

a)Dt

∗

Dt ∗= ´ ∗ ∗´ 1− 1 2 22 −



11

220 21

(

101 )

2 2 1 1 3 1

b) Dt ×´ Dt × × ´ ´ × 2 12 0 0 2 2 02 2 0 24

Integración de Funciones Vectoriales ℎ donde f, g, h son funciones continuas en (a,b), entonces la integral definidao antiderivada:

ℎ

Hallar la función primitiva de

´sabiendo que es igual

22

+

Si 0 3 2 ´

´ 22 1 22 3 0 3 2 0 1 2cos 2 03 12 23 24 1

longitud de arco de una curva en el espacio

´ ´ ´

‖‖

Dado 43 2 0,2



Hallar la longitud de arco 1 4

4.8157

Vectores tangentes y normales

´ ‖´‖

´‖´‖ × Triedro fundamental de una curva espacial

a)Determinar los vectores Normal y Binomial de la función 0,1, 2

´ ‖´‖ costj cost 1 costj√ 2



´‖´‖ √ 2 12

1

√ 2 1 0 √ 2

√ 2

1√ 2

1√ 2

1√ 2

b) Hallar la ecuación del plano Normal y Osculador costj√ 2 1√ 2 costj

21,0,1 0 0 1 0 ó 2 0

2 1√ 2 1,0,1

0 1 0 ó 2 0

Hallar el vector tangente, normal y BinomialDe la curva

2 2 4

´ ‖´‖ 2 2 √ 5

4 1√ 5 √ 2 √ 2

´‖´‖ 2 2 √ 5 45

2

√ 52

√ 51

0 2

√ 5

4 √22 √22 2√ 5 √5√ 2 , √ 2 , 4 10

Hallar el plano osculador

pto 2cos , 2 , √ 2, √ 2, 4



√ 2 √ 2 4 0√2√2 √2√2 4 0 2 2 0

√ 2 2 4 0 ó CurvaturaSi c es una curva suave , dada por r entonces, la función curvatura es elcambio del vector unitario tangente, respecto a la longitud de área.

∗

||

|′||′| |′ ′′|‖′‖

1

Paramétrica

k | ∗ − |+ ⁄

Hallarla curvatura de la función definida por

2

? r 22 ′′ 022



2 2 0 2 2√ 4 4 4 240 4 | 2|

|2

44| 2 2 2

2 2

Polares

k +−∗+ ⁄

Funciones de varias variablesá / escalares en

f: → X→

Dom f : x E , Ry f y E , f: →

Ejemplo

Hallar el volumen de un cilindro

v, ℎ ℎ v ℎ



Una función de dos variables , es una regla que asigna , a cada parordenado de números reales , , un numero real único el cual se denotacomo z=f , .Donde x,y son variables independientes, y z es la variable dependiente.

EjemploHallar dominio de la f , + ↓

restricción para que existaDominio f: , Hallar el dominio de la funcion f , ln

> 0

Hallar el dominio de la función

f , +−

x≠ 0 9 ≥ 0 ≥ 9 9

punto 0,0

0

0

9

Hallar el dominio de una función f , [9- 9]Dom fz 9 9 9- 9 > 0 → 9 9 0 9 9 9 1 1



3 1 0,0 9 0 90 > 0

9 > 0 ˅Domf:, 94 > 0

Hallar el dominio de la siguiente función

f , 1 6 3 1 DT ∩ ∩

1 ≥ 0

1 0 1 1

6 x 3y > 0 6 x 3y 0 3 2 0

3 3 1

3 33

3 9 11 1

a √ 3 y+1 0 b 1 y≥ 1 P0,1 61 0 31 > 0 6-3> 0 3> 0

D3

y+1> 0 y 1 P0,0 y> 1 0+1≥ 0

1≥0 0 1 1 ≥ 0 ≥ 0

Dom f:, / 1 ≥ 0 6 3 > 0 1 > 0



Hallar el dominio de la expresión

, ,

9

Dominio de f es un volumen9 > 0 9 0 9

Domf: (x,y,z) E R3 / 9-x2-y2-z2 >0Pto (0,0,0)

9 0 0 0 > 0

9 > 0

Curvas de nivelSon curvas cuyas ecuaciones son de la forma f(x,y)=K, (K=cte) en el rangode fGraficar las curvas de nivel , 9 9

9

9

Determinar el Dominio: 9 ≥ 0 3 3 ≥ 0 K E0,3 Hallar las curvas de nivel de ,

LÍMITES Y CONTINUIDAD Sea una función de 2 variables, definidas por un disco abierto, centradoen , excepto posiblemente en , y sea L un número real.lim, →, ,



Si para cada > 0 ∃ > 0 tal que , <

Ejercicios:lim, →, 5 5 ∗ 1 ∗ 21 2 105 2

lim, →,

5

00

lim, →, 5 5 ∗ 0 0 0

Se acerca por el eje “y” lim, →, 5 5 ∗ 0 ∗ 0 0

Se acerca por el eje “x” lim, →, 5 5 ∗ ∗ 5 1 51 0

Se acerca por la línea y = mx

Es continua en el punto 0

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES Una función de 2 variables, es continua en un punto , de una region

abierta.Si , lim, →, ,

La función es continua en la región abierta .

Ejercicios:

, 2 2 , ≠0,02 , 0,0

, →,



lim, →, 2 2 lim, →, 1 2 1

1

lim, →, 1 21 1 21 1 2, →,

lim, →, x 2xx lim, →, x 2 2

La función es continua.

Hallar el límite cuando , →, + ++−

lim, →, √ 1 1 lim, →, 212 1− ∗ 2 lim, →,2 1 2

lim, →, 1 1 lim, →, 212 1− ∗ 2 lim, →,2 1 2

, 0,0 → 0

lim → √ 1 1 ∗ √ 1 1√ 1 1 l i m → √ 1 1 1 1 2

DERIVADAS PARCIALES (GRAFICO)

Fiijamos “y” y variamos x



lim∆ → ℎ ∆ , ℎ∆

lim∆ → ∆ , ,∆

Fijamos “x” y variamos y



lim∆ → ℎ , ∆ ℎ∆

lim∆ → , ∆ ,

∆

lim∆ → ∆ , ,∆ , ,

lim∆ → , ∆ ,∆ , ,

Ejercicios:

, ;

? ; ?

∂f ∂x cos 1 ∗ 11 ∂f ∂y cos 1 ∗ 11 1 ∗cos 1

Dado l n −+ ; ? ; ? ∂z∂x

1

∗2 2

∂z∂x 2 2 2 2 4 ∂z∂y 1 ∗ 2 2 4

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR ,



Ejercicios:

,,

,

,

3 10

620 ,1,2 1 2 40 28

,, . ,, ,, ,, l n

1

1

− 1

,

∂z∂x 2 x y xy ∂z∂y 2 x y xy 2 x y xy 2 x y xy 2 2 2 x y xy 2 2

2

2 = 2

− ∗ ∗ 2− − 2−



2− − ∗ ∗ ∗2−

;

8 2 2 242 2 4 2 8 4 8

4

, , 3 3 66 0 3 6 63 633 6

63

3 6 2

2

3 3 66 0 3 6 63 633 6 633 6 2 2

REGLA DE LA CADENA

, , ℎ, ∗ ∗ ∗ ∗



Ejercicios: ; ;

s i n ∗ 2 cos∗ s i n ∗ 2 c o s ∗

DERIVADA DIRECCIONAL Si es una función diferencial de “x” y “y” entonces tiene una derivadadireccional en cualquier vector unitario < , , >

,

, c o s

sin

cos sin Ejercicios: , , , 2 1

2

, 21 cos3 12 2sin3

, 1 √ 32

y



, .

, 3 3 3 8 , 31 32 cos 31 82 sin 3cos6 31 82 sin6

3√ 32 132

, −√

, , 2sin2 2 cos2 35 45 , 2 s in 2 ∗ 3

5 2 cos2∗ 4

5

, 21sin2∗ 2 ∗ 35 21 cos2∗ 2 ∗ 45

85

GRADIENTE DE UNA FUNCION () Si

es un función de dos variables x,y entonces el gradiente de

∇, es

la función vectorial. ∇, , , ∇, Forma alternativa de la derivada direccional, ∇, ∗



Forma alternativa de la derivada direccional , ∇, . Hallar la derivada direccional , ?, usando ∇, ,

3

2 en el punto

, 0 en la dirección de PQ │ si

, 0 , 0,1

6 4 ∇, 64 ∇ 34 , 0 6 3440 ∇ 34 , 0 92 92

34 , 0 920 3545

2710

34 34 54

35 45 Hallar la derivada direccional , 4 en el punto (2,-1) en ladirección de 25

∇, 2

3

4

∇2,1 221 312 4 ∇2,1 48 25√ 29 2√ 29 5√ 29 2,1 48

(2√ 295√ 29)

8√ 29 40√ 29 32√ 29 5,9424

Propiedades del GradienteSea f diferenciable en el punto (x, y)

1- Si ∇, 0 ⇒ , 0,⦡



2- La dirección del máximo incremento de f está dada por ∇,, ysu valor

máximo de , es │∇,│ 3- La dirección del mínimo incremento de f, está dado por - ∇,, y el valor

mínimo de la derivada direccional

, es -│

∇,│

La temperatura de una placa metálica viene dada por , 2 0 4 ² ² , donde x, y se encuentran cm ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento dela placa de la temperatura de la placa en el punto (2-3)?∇, 82 ∇2,3 8223 ∇2,3 166 │∇2,3│ 16 6 2√ 17 │∇2,3│17,0880 °

b) Hallar las curvas de nivel de

, 2 0 4 ² ²

2 0 4 ² ² 0 2 0 4 ² ² 1 4²20 ²20

1 ²5 ²20 4 ² ² 1 9 4

19

19 1

²19 ²19 1

El gradiente de f es normal a las curvas de nivel

Dada la función , sin , hallar un vector normal a las curvas denivel para 0 en:

a)

,0 ∇, cos1 ∇f π,0 c o sπ 1 b) , √

∇ 23 , √ 32 c o s 23 1



∇ 23 , √ 32 12 1 c) ( ,1

∇f 2 ,1cos 21

∇f 2 ,101 d) (0,0) ∇0,0 c o s0 1 ∇0,0 11 e) (

, √

∇ 3 , √ 32 c o s 31

∇ 3 , √ 32 12 1 f) (

, 1 ∇f 2 , 1 c o s 21 ∇f 2 ,101

Hallar el vector gradiente de la función , , ² ² 4 1.

∇

∇, , 221 4 2. Dirección del máximo incremento de f en (2,-1,1)∇2,1,1 2221 4 424 2,1,1 6

Maximización de la derivada direccionalSea f, una función diferenciable de 2 o 3 variables. El máximo valor de la

derivada direccional

, es

∇,, y se presenta cuando

tiene la

misma dirección que el vector gradiente. ∇ . |∇| | | cos El máximo valor ocurre, cuando tiene la misma dirección que ∇ ( 0).EjerciciosDada la función ,

a) hallar la razón de cambio de , , en el punto 2,0; en dirección de P aQ, 1/2,2



∇, , ∇2,0 , 2 ∇2,0 (1,2)

32 , 2

| | 32 2 52

3/25/2 , 25/2

35 , 45

12 3/54/5

1

b) En qué dirección se tiene la máxima razón de cambio∇2,0 (1,2)|∇2,0| √ 1 2 |∇2,0| √ 5

La temperatura de un punto está definida por

,,

+++ , ℃ , x, y, z m.

a) En qué dirección se incrementa más rápido la temperatura en el punto (1, 1,-2). , , 801 2 3− ,, 801 2 3−2 ,, 801 2 3−4 ,,

801 2 3−6

∇, , 1601 2 3 ; 3201 2 3 ; 4801 2 3

∇1,1,2 160256 ; 320256 ; 960256

∇1,1,2 160256 1,2,6

b) ¿Cuál es la razón del incremento máximo?



|∇1,1,2| 160256 1 2 6

|∇1,1,2| 58 √ 41 ℃ La distribución de una muestra es

,

a) Hallar la dirección en la que aumenta más rápidamente la T, en el punto(2,0), ¿Cuál es el coeficiente de variación?, , , 2 3 ∇, 2 3

∇2,0

0 4

0

∇2,0 4

|∇2,0| 1 4 √ 17 ℃ b) En qué dirección decrece más rápidamente la temperatura∇2,0 4

La ecuación de la superficie de un cerro es 9 0 0 2 2 donde x, y[m] el eje x apunta al este y el eje y al norte. Un hombre se encuentra en el

punto 6,√ 14 ,800 a) ¿Cuál es la dirección de la ladera más empinada?

∇ 44 ∇ 6, √ 14 464√ 14 ∇ 6, √ 14 24 4√ 14 244√ 14 24 4√ 14

244√ 1420√ 2

b) Si el hombre se mueve en dirección Noreste está ascendiendo o

descendiendocos45° √ sin45° √

√ 22 √ 22



244√ 14

(

√ 22 √ 22

)

2 4 √ 22 4√ 14 √ 22 6.38 c) Si el hombre se mueve en dirección Suroeste está ascendiendo o

descendiendo ¿Cuál es su rapidez?

√ 22 √ 22

244√ 14 ( √ 22 √ 22 )

24 √ 22 4√ 14 √ 22 6 . 3 8

La rapidez es 6.38 Planos y Rectas Tangentes y Normales a la Superficie

Sea una superficie cuya ecuación es ,, , es decir, una superficiede nivel, de una función de 3 variables y , , , en el punto de S.C: Se describe por , ,



: El valor del parámetro, que corresponde a P , , Puesto que C está en cualquier punto ,,

Aplicando la Regla de la Cadena .

.

.

0

∇,, ´ ´, ´,´ Si ∇ . ´ 0 9 0 ° ∇ , , ´ 0

Ecuación del Plano Tangente, , , , , , 0

Recta Normal a S en P y perpendicular al Plano Tangente

, , , , , , 0

Si la ecuación de la superficie de S es de la forma , ,, , 0 Considere a S como una superficie de nivel con 0 , , , , , , , ,

, , 1

Ecuación del Plano Tangente , , 0 EjerciciosHallar el plano tangente y recta normal en el punto (-2, 1, -3) de la curva 3

4 9 3 0

,,

2,1,3 1 , , 2 2,1,3 2 ,, 2,1,3



1 2 2 1 23 3 0

2 2 2 23 2 0

3 6 2 1 8 0 Ecuación Plano Tangente

+− − +/ Ecuación Recta Normal

Hallar la ecuación del plano tangente del hiperboloide 2 2 12 en el punto P (1,-1,4).,, 2 2 1 2 0 ,, 4 1,1,4 4 , , 4

1,1,4 4

,, 2 1,1,4 8 4 1 4 1 8 4 0 4 4 4 4 8 3 2 0 4 4 8 2 4 0 ÷ 4 2 6 0 Ecuación Plano Tangente−− + − Ecuación Recta Normal

Hallar la recta tangente a la curva de intersección de las superficies 2 2 20

,

4 en el punto P (0, 1, 3)

,, 2 2 20∇, , 2 4 4 ∇0,1,3 0 4 12 , , 4 ∇,, 2 2 ∇0,1,3 0 2 ∇,, × ,,

∇ × ∇ 0 4 1 20 2 1

∇ × ∇ 20 0 0 −− − − Ecuación Recta tangente

Hallar la derivada direccional de ,, 2 a lo largo de lacurva de intersección de las superficies 2 2 25, en el punto P (3, 4, 5)



,, 2 2 2 5 0 ∇,, 4 4 2 ∇3,4,5 12 16 10

,,

∇,, 2 2 2

∇0,1,3 6 8 10

∇ × ∇ 12 16 106 8 10 8 0 6 0 0 204 3 || |20| 4 3 100 2043

100

15 43

,, 2 ∇,, 2 4 2 ∇3,4,5 6 1 6 1 0

3,4,5 15 61610 436

3,4,5 245 Hallar la ecuación del plan tangente a la superficie sin, en el

punto en el que el plano tangente es paralelo al plano 2 5 0 <2,0,1> ,, sin ∇, , cos sin cos 1 ∇ , , cos sin cos 1 ∇ , , cos sin cos 1 < 2 , 0 , 1 >

:

cos 2

: sin 0 : cos 1 ≠ 0 sin 0 0 cos 2 cos 1 2 1 2 2



2 ln l n 2 l n l n 2

l n 2

sin 0

0 0 0 0, 2,0 ∇. 0 . 0

201

0 l n 2 0

0

2 0Ecuación del Plano tangente

Máximos y Mínimos

Extremos de funciones de dos variables.Sea f una función definida en una región R que contiene (x0,y0)

1) La función f tiene un mínimo relativo en (x0,y0) si f(x,y) ≥ f(x0,y0) para todo(x,y) en un disco abierto que contiene (x0,y0)

2) La función f tiene un máximo relativo en (x0,y0) si f(x,y) ≤ f (x0,y0) para todo(x,y) en un disco abierto que contiene (x0,y0)



Definición de los Puntos CríticosSea f definida en una región abierta R q contiene (x0, y0). El punto (x0, y0)es un punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes.

1) 0,0 0 , 0 2)

0, 0 0, 0 no existe

Hallar los extremos relativos de la función

, 2^2 ^2 8 6 20 4 8 2 6 0, 0 0, 0 0, 0 0 0 4 8 0 2 6 0 0 2 0 3

. 2,3 Una caja rectangular se fabrica sin tapa usando 12m² de cartón hallar cuales el volumen máximo. ? 12²ó , , , , 22 1 2 2 2 1 2

1 2 2 2 , . 1 2 2 2

, 12²²2 2 1222 2 21222²

24²244 2²²4 ² 8 4

²

24²4 2²²4²84² 21 2 2 4 8 4 0 1 2 2 0 1222 2 12222²



1 2 2 0 1 2 1 2 2 1 2 2

0

0

1 2 2 3 1 2 0 4 ± 2 ⇒ 2 2 1 2 44 4 1

2 2 . 1 4³

Diferenciales

, , , ∆ ∆ , ∆ , , 3 1) Diferencial de z (dz)

2) Si x cambia de 2 a 2,05 y ‘’y’’ cambia de 3 a 2,96

Comparar ∆

, 2 3 , 3 2 2 3 832



{ 3 3} ∆ 0 , 0 5 ∆ 0 , 0 4 4 90,05 6 60,04 0.65

∆ ∆ , ∆ ,

∆ 2,05;2,96 2,3 , ⇒ 2,3 2 1 8 3 13 2,05;2,96 2,05 32,05 32,052,96 2,96 13,6449 13,6449130,6449

Las dimensiones de una caja son 74 x 60 x 40 (cm) si cada medida nodifiere de 0,2 de su valor real mediante diferenciales estime el error másgrande posible cuando el volumen se calcula con estas medidas., , ∗ ∗ ∆ 0 , 2 ∆ 0 , 2

∆ 0 , 2

7 4 ∗ 6 0 ∗ 4 0 1 8 0 0 0 0 X y z

60400,2 74400,2 74600,2 1980 % 1980180000 ∗1001.1%

INTEGRALES DOBLES



V=∫ ∫ ,

V=

∫ ∫ , ó

V=

∫ ∫ ,

EJEMPLO:Realizar la integral f(x,y)=2y2-3xy3 si la reción de integración R={(x,y)/1≤x≤2 ; 0≤y≤3}

=∫ ∫ 2y23xy

=∫ |30

=∫ 18

=

18

|21=

36

-18+

= -73,125

SI LA REGIÓN ESTÁ LIMITADA O ACOTADA POR a≤x≤b y g1(x)≤g≤ g2(x)

REGIÓN VERTICAL SIMPLE: A=∫ ∫

REGIÓN HORIZONTAL SIMPLE: A=∫ ∫



EJEMPLO:Hallar el volumen del sólido que se encuentra bajo el paraboliode z=x2+y2 yencima de la región acotada por y=x2; x=y2

V=

∫ ∫ ,

V=∫ ∫ ó√

V=∫ |√

V=∫

V=2 |10

EJEMPLO :

Hallar ∫ ∫

si R= { x≥0 ; y=1 ; y=x2

; y=2}

V=∫ ∫

V=∫ ∫ √



V=∫ | 0 V=∫ − 1V=

1

|21

EJEMPLO:

Hallar ∫ ∫ 2 donde R está limitado por 4y=x2 ; x-2y+4=0

=∫ ∫ 2x

=∫ ∫ 2−

=∫ 2− |+ =∫ 4 −

= 2 | 42

ejemplo:

Hallar ∫ ∫ donde R: x=2; y=x; xy=1



=

∫ ∫

=∫ − |=∫

= |21

EJEMPLO:Hallar el volumen de la región acotada por f(x,y)=2-x-2y y los planoscoordenados

V=∫ ∫ 22

V=∫ 2 |−0 V=∫ 2 −+ −



V=∫ 44

= 2 4|2

0

Hallar el volumen de la región por el paraboloide z= 4-x2-2y2

V=4 ∫ ∫ 4 2

V=4 ∫ 4 | −

√ 2

V=4 ∫ 4 − −

v=√ √ 4 222 |20 ,

INTEGRALES MÚLTIPLES EN COORDENADAS POLARES

X=rcosθ tgθ=

Y=rsenθ x2+y2 =r 2

Antes: dA=dydx Ahora: dA=rdθdrEJEMPLO:

Hallar la integral doble ∫ ∫ si R: x2+y2=2 ; x2+y2=5

https://www.google.com.ec/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=0CCkQFjACahUKEwjHmM3Ggp3HAhUCjQ0KHZMlAQo&url=https%3A%2F%2Fes.wiktionary.org%2Fwiki%2F%25CE%25B8&ei=NtDHVcelHYKaNpPLhFA&usg=AFQjCNHfK9ijUgIg1BGnHywNrUY1qoL3vg&sig2=N50p6TodXeEskjVhmfLi_w












=∫ ∫ √ √ θ θθ

=∫ cos θ√ θ |√ 5√ 2θ=∫ cos θ cos θ θdθ

= θ 2θ 2,7839cosθ|2π0 π

Hallar el volumen del paraboloide z=5-x2-y2 y el plano xy.

V=∫ ∫ √ 5 θ θθ V=∫ ∫ √ 5 θ

V=∫ |√ 50 θV=∫ 5.2 dθ














































V=5√ 2θ |2π0 10√ 2 . π

Hallar el volumen de la región sólida acotada superiormente por z=1-x2-y2 e inferiormente por el plano z=1-y

V=∫ ∫ 1 1 θθ

V=∫ ∫ √ θθ

V=

∫

θ |θ

0 θV=∫ θV= ∫ − θ

V= ∫ 122θ cos 2θ θ

V= θ 2cos2θ |π0

Hallar el volumen de la región en el espacio limitado por el cono z=

dentro del cilindro x2+y2=1 sobre el eje x


















































V=

∫ ∫ √ −

−

EN POLARES

V=∫ ∫ θ

V=∫ |10θV=∫ θ

V=

|π0

Hallar el área de la región de intersección de r=3cosθ y exterior a la figurar+ 1+cosθ



















A=2 ∫ ∫ + θ

A=2 ∫ | 31 θθ A=

∫

9cos

θ 1 c o sθ

θ A=∫ 7cos θ 1 2 c o s θθ A=∫ 12θ 12cos θθV=

θ sen2θ θ 2θ|0 π √ 3 √ 3

CAMBIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DOBLE

, ,,,|,|

, ∂x∂u ∂x∂v∂y∂u ∂y∂u EJEMPLO:

Hallar la integral sobre una región ∫ ∫ si R es la región triangular

del plano xy limitado por x=0 ; y=0 ; x+y=1

X=+

Y=−

, =









































−+ −

= ∫ | v

=

∫

−

= −|10

=

Hallar el Jacobiano de la elipse

X=arcosθ Y=brsenθ

, θ ∂x,y∂r, θ ∂x∂u ∂x∂v∂y∂u ∂y∂u , θ ,, θ θθ θ θ abrsenθ

Coordenadas polares generalizadas

Reemplazo:X=h+arCos

θ

Y=k+brSenθ Ejemplo:Hallar el volumen de la región sólida sobre el plano xy, limitadasuperiormente por 4 2 empleando coordenadas polaresgeneralizadas.

X=2rCosθ

Y=√ 2rSenθ

, ,,,|,|

=∫ ∫ 4 2θ 2√ 2θ2√ 2θ

=∫ ∫ 4 2√ 2θ

=8√ 2 ∫ ∫ θ

























































=8√ 2 ∫ |10θ=8√ 2 ∫ θ

=

8√ 2 θ|

2π0 √

APLICACIÓN DE UNA SUPERFICIESi x=f(y,z), la región de integración R es la proyección de la superficiesobre el plano yz

, ,

Si y=f(x,z), la región de integración R es la proyección de la superficiesobre el plano xz

,

,

Si z=f(x,y), la región de integración R es la proyección de la superficiesobre el plano xy

, ,

EJEMPLO:Hallar el área de la esfera superior sobre el plano xy de

Z=

Z= ,










, ,

TRANSFORMANDO A POLARES:X=rcosθ Y=rsen

θ

= ∫ ∫ √ − = ∫ − |0θ= ∫ 1 θ

=θ|2π0

MASA DE UNA LAMINALa masa de una lámina triangular de vértices A(0,0); B(0,3), C(2,3) si laρ(x,y)=2x+y

m=∫ ∫ 2xy

m=∫ 2 | 3

m=∫ 6 3

m=3 |21= 10 kg

Hallar la masa de una lámina correspondiente al Ier cuadrante del círculo

4donde ρ(x,y)es proporcional a a distanica entre el punto “y” y el

origen de coordenadas.ρ(x,y)=Kd

ρ(x,y)=k

m=∫ ∫

Cambio a polares

m= ∫ ∫ θ





















= ∫ |20θ=

∫ 1 θ

= θ|2π0

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA

Mx=∫ ∫ ,

My=∫ ∫ ,

EJEMPLO:Hallar el centro de masa de una lámina correspondiente a la región 0 ≪ ≪4

donde

ρ en el punto (x,y) es proporcional a la distancia entre el punto

y el eje x.ρ(x,y)=k ρ(x,y)=ky

m=∫ ∫ ky−−

m= ∫ |4 0

m=∫ 168

m=

16

|20

yi=

Mx=2 ∫ ∫ ky−

Mx= ∫ |4 0

Mx= ∫ 4










Yi= ,

Centro de Masa=(0,

MOMENTOS DE INERCIA

Ix=∫ ∫ ,

Iy=∫ ∫ ,

Io=∫ ∫ ,

Io=Ix+IyEJEMPLO:Hallar los momentos de inercia de un disco homogéneo de densidadconstante de centro en el origen y de radio a.ρ(x,y)= ρ=cte

Io=∫ ∫ , CAMBIO A POLARES

Io=∫ ∫ rθ

Io= ∫ |0θ

Io= ∫ 1 θ

Io= θ|2π0

Ix=Iy (porque es disco es simétrico) Io=2Ix

Ix= =Iy

INTEGRALES TRIPLES

V=∫ ∫ ∫ ,, (Aquí se habla de volúmenes y de cajas)

EJEMPLO:

Hallar la integral sobre una caja ∫ ∫ ∫ asumiendo que B

={(x,y,z) ∈ ≤ ≤ ; ≤ ≤ ; ≤ ≤ .














−

= ∫ ∫ x|10−

=

∫ ∫ −

= ∫ | 21

= ∫ 3

= ∫ |30

,, ∈

, ∈ , , ≤ ≤ ,

R ES LA PROYECCIÓN DE e SOBRE EL PLANO XYV=∫ ∫ ∫ ,, ∫ ∫ ∫ ,,,,

EJEMPLO:

Evaluar V=∫ ∫ ∫ donde E es el tetraedro sólido por los 4 planos x=0;

y=0; z=0; x+y+z=1

−−−

V= ∫ ∫ |1 0 −

V= ∫ ∫ 1 −



V= ∫ −− |1 0

= ∫ 1

V= ∫

−

|10

EJEMPLO:Hallar la integral ∫ ∫ ∫ √ donde E es la región acotada por el

paraboloide y el plano y=4

+ −− −−

V=∫ ∫ ∫ √ +

V=∫ ∫ y√ 4

V=∫ ∫ √ 4

TRANSFORMANDO A POLARES

=∫ ∫ 4 θ

=∫ 4 |20θ

=∫ θ

= θ|2π0














Aplicaciones de las integrales triples

∭ ,,

Centros de masa

∭ ,,

∭ ,,

∭ ,,

Momentos de inercia

∭ ,,

∭ ,, ∭ ,,

EjercicioHallar el centro de masa si la densidad es constante, está acotado por y los planos , 0 , 1.



∭ ,,

,,

√

,,−

− 2

−

12

− 2 2 10−

25 25



45 ∭

− ⌈⌉

−

−

3 − 13 3

−

13 21−

13

121

13

121

47

∭

−

2

−

2

− 6

−



16 6

−

16

42−

16 142 16 142 27 0 47 45 57 0

27 45 514 Campos vectorialesSon funciones que asignan vectores o puntos en el espacio

Campo vectorial en R2

, , , Campo vectorial en R3 , , ,, ,, ,, Integral de línea

≅ , ∙

→ ||



, , |′|

Ejercicio

Evaluar

∮

C: es la mitad derecha del círculo 16 Parametriza c 4 4 44 4 4cos 4 4 4

444−

256 −

Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza de,, 12 12 14

sobre una partícula que se mueva a lo largo de la hélice

Desde el punto (1, 0, 0) hasta e(-1, 0, 3π) 12 12 14

∙

0 ≤ ≤ 3 12 12 14 ∙

12 12 14



14

14

34

Teorema fundamental de las integrales de línea.

∇ ∙

∇ ∙ , ,

Donde f se llama la función potencial

, ∇, El teorema fundamental de las integrales de línea, establece que si elcampo vectorial F es conservativo, entonces la integral de línea entre dospuntos cualquiera, es simplemente la diferencia entre los valores de lafunción potencial.Se dice que un campo vectorial F(x, y, z) es conservativo si la circulacióndel campo, a lo largo de una curva, es independiente del camino, solodepende de los puntos inicial y final de la circulaciónF es conservativo en el plano si

Fes conservativo en el espacio si ; ;

EjercicioDeterminar si el campo vectorial es conservativo o no., 2

; 2

1 ; 1 ≠ ;

Determinar si es o no conservativo, 32 3 3 2 ; 3



2 ; 2

Si , 32 3 . Hallar una:a) Función

∇ Función potencial

Luego evaluar la integral de línea ∮ donde c es la curva definida 0 ≤ ≤ , ; ,

Ver si es conservativo 2 ; 2 F es conservativo

, 3 2 3 2 , 3 2 , 3 ℎ , 3

3

, 3 , , 3 0 0 0 0 0 ∇ ∇, 30 0 30 01 1 ∇, 1 ∇, 1



Teorema: Si f es continúa en una región abierta entonces la integral de

línea ∮ es independiente de la trayectoria si y solamente si F es

conservativa.

Evaluar la integral

∮ donde C es una curva suave a trozos desde (-1,

4) hasta (1, 2) dado , 2 demostrar que F esconservativo. 2 ; 2 →

Ya no hace falta encontrar ese vector r, sino solo ∮ ∇ ∙ ;

, 2

, ℎ , ,

2 , 2 ∙

∙ 1,2 1,4

∙ 12 22 14 42 ∙ 2 2 4 8 4

TEOREMA DE GREEN

El teorema de Green relaciona el valor de una integral de línea con el de unaintegral doble.

El presente teorema establece que el valor de una integral doble sobre una regiónsimplemente conexa R está determinado por el valor de una integral de línea a lolargo de la frontera de R.



Sea C una curva suave a trozos, orientada positivamente, simple y cerrada queencierra la región R en el plano xy . Positivamente orientada significa que C esrecorrida en sentido anti horario. Parametrizando C por la función vectorial , donde ≤ ≤, entonces cerrada significa que: .

Curva de Jordan.- Una curva C de Jordan en el plano, divide a éste en dosregiones con la característica de que son disjuntas y conexas. Dichas regiones sellaman interior y exterior de C.

Teorema.- Sea R una región simplemente conexa, con frontera C suave a trozos,orientada en sentido contrario al de las agujas de un reloj (esto es, C recorre unavez de manera que la región R siempre quede a la izquierda ). Si M y N tienenderivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a R, entonces:

Demostración.-

Región Verticalmente Simple:

La región R se puede describir como: , / ≤ ≤ , ≤ ≤



, / ≤ ≤ , ≤ ≤

, , , , ,

, ,

Luego:

Se tiene:

,

Región Horizontalmente Simple:

De manera similar se realiza la demostración para esta región.

,

Luego:



, ,

EjerciciosAplicación de teorema de Green

Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea donde C es latrayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de y=x3 y desde (1, 1)hasta (0, 0) a lo largo de la gráfica y=x, de como se muestra a continuación.

(Larson & Edwards, 2010)

∫ 3

3 3 3

3

3

3 3

34 2 14

3 3

Aplicación de teorema de Green para calcular el trabajo

M N



Mientras esta bajo la acción de una fuerza, una partícula da una vuelta a lacircunferencia de radio 3 que se muestra en la figura, usar el Teorema de Greenpara encontrar el trabajo realizado por la fuerza:

,

3

En coordenadas polares, usando x=r cosθ y dA=rdrdo,

el trabajo realizado es

3 3

3

3

4

243

8 12

2438 22 2434

Teorema de Green y campos vectoriales conservativos

Evaluar la integral de línea donde C es la trayectoria mostrada en la siguientefigura:

Como el campo vectorial F= Mi +Nj es conservativo, ycomo C es cerrada, se concluye que

3 0 0

Limitaciones en la aplicación del Teorema de Green.

Dado

F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y2)



a) Calcular su integral de línea sobre el círculo x2 + y2 = 1

b) Calcular dA y

P

x

Q

D

, donde D es la región encerrada por la curva del punto

a).

c) Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green.

SOLUCIÓN:

a) Parametricemos el círculo.

20 , cossen

sencos

t

tdt dyt y

tdt dxt x

tdt Qdxtdt t t

t t yt xQ

tdt Pdxtdt t t

t t yt x P

2

22

2

22

coscoscossen

cos))();((

sensencossen

sen))();((

Integrando tendremos, así:

C

dt t t Qdy Pdx

2

0

22 2cossen

b) Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:

00

2)(

2

222

22

222

22

222

22

222

22

dA y

P

x

Q

y

P

x

Q

y x

x y

y x

y y y x

y

P

y x

x y

y x

x x y x

x

Q

D



c) Aparentemente estos resultados contradirían el Teorema de Green. Sinembargo, este último no es aplicable a la región en cuestión, dado que lasfunciones P y Q no tienen derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que

está contenido en la región.

INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA.

Si R es una región plana limitada o acotada por una curva suave simple C, cerraday suave a trozos, que recorre una curva de Jordan, con orientación positiva,entonces el área está dada por:

12

Ejemplo:

Usar la integral de línea para hallar el área de la elipse:

1. Parametrizando la elipse se tiene:

, , 0 ≤ ≤ 2

Aplicando la integral de línea para el área se tendrá:

12



12

2 cos

sen

2

FORMAS ALTERNATIVAS DEL TEOREMA DE GREEN

Son formulaciones vectoriales del teorema de Green para regiones en el plano.Para la primera forma alternativa, se considera que si F es un campo vectorial enel plano F(x,y,z)= Mi +Nj +Ok, el rotacional de F sería: (Larson & Edwards, 2010)

Entonces:

(rot F) * k= 0,0,1

k es un vector unitario en dirección positiva del eje z

Mediante las condiciones apropiadas sobre F, C y R, se puede describir elteorema de Green

∗

∗ ∗

La extensión de esta forma vectorial a superficies en el espacio genera el teoremade Stokes.



Para la segunda forma alternativa del teorema de Green, se toma en cuenta lascondiciones de la demostración de la primera forma alternativa. Utilizando elparámetro longitud de arco s para C, se tiene:

r (s)= x(s)i +y(s)j→ El vector unitario tangente T será r´(s)= T= x´(s)i +y´(s)j

(Larson & Edwards, 2010)

Mediante el anterior gráfico, se determina que el vector unitario normal exterior esN = y´(s)i -x´(s)j

Como en el anterior ejercicio se tenía que F(x,y,z)= Mi +Nj +Ok, se le puedeaplicar el teorema de Green para obtener:

∗ ∗ ´ ´

∗



SUPERFICIES PARAMÉTRICAS

Una superficie en el espacio se representa mediante un conjunto de ecuacionesparamétricas o mediante una función vectorial:

En el caso de las curvas, la función vectorial r es función de un soloparámetro t.

En el caso de las superficies, la función vectorial es función de dosparámetros u y v.

Definición de superficie paramétrica

Sean x, y y z funciones de u y v , continuas en un dominio D del plano uv . Alconjunto de puntos ( x,y,z ) dado por, se le llama una superficie paramétrica:

, , , ,

Las ecuaciones siguientes son las ecuaciones paramétricas para la superficie. ,, ,, ,

Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial r, entonces S estrazada por el vector posición r(u,v) a medida que el punto (u, v) se mueve por eldominio D.

Ejercicio:

Identificar y dibujar la superficie paramétrica S dada por , 3 c o s 3 s i n donde

0 ≤ ≤ 2 0 ≤ ≤ 4



3 c o s

3 s i n

ECUACIONES PARAMETRICAS PARA SUPERFICIES

Es una superficie dada por:

,

La superficie se puede parametrizar como:

, ,

Ejercicio:

Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para el cono dado por:



Se toma como parámetros a x y y, por lo que el cono se lo representa como lafunción vectorial:

,

Donde X y Y varían sobre todo el plano xy.

VECTORES NORMALES Y PLANOS TANGENTES

Sea S una superficie paramétrica dada por:

, , , ,

Sobre una región abierta D tal que x, y y z tienen derivadas parciales continuas enD. Las derivadas parciales de r con respecto a u y v están definidas como:

, , ,

Y

, , ,

Cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial que puedeinterpretarse geométricamente en términos de vectores tangentes. Por ejemplo, si se mantiene constante, entonces , es una función vectorial de unsolo parámetro y define una curva que se encuentra en la superficie S. El vectortangente a en el punto , , , , , , está dada por:

, , , ,

Como se muestra en el gráfico. De manera similar, si se mantieneconstante, entonces , , es una función vectorial de un solo parámetro ydefine a la curva que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a enel punto , , , , , esta dado por:

, , , ,



Si el vector normal

no es 0 para todo

, en D, se dice que la superficie S

es suave y tendrá un plano tangente. De manera informal, una superficie suave esuna superficie que no tiene puntos angulosos o cúspides. Por ejemplo, esferas,elipsoides y paraboloides son suaves, mientras que el cono del ejemplo 3 no lo es



VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE

Sea S una superficie paramétrica suave:

, , , ,

Definida sobre una región abierta D en el plano u, v. Sea , un punto en D.Un vector normal en el punto

, , , , , , ,

Esta dado por:

N =

,

,

Ejercicio:

Hallar un plano tangente a una superficie paramétrica

Hallar una ecuación para el plano tangente al paraboloide dado por:



, , en el punto (1, 2, 5).

Solución: El punto en el plano uv es llevado al punto ,, 1,2,5 , 1,2. Las derivadas parciales de r son:

2 2

El vector normal está dado por:

x 1 0 2 0 1 2 2 2

Lo cual implica que el vector normal en (1, 2, 5) es x -2i – 4j + k. Por lotanto, una ecuación del plano tangente en (1, 2, 5) es

2 1 4 2 5 0

2 4 5

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA

Sea S una supercie paramétrica suave



, , , ,

Definida sobre una región abierta D en el plano uv. Si cada punto de superficie Scorresponde exactamente a un punto del dominio D, entonces el área de lasuperficie S está dada por:

Á ∥ × ∥

Donde

y

Para una superficie dada por

, , se puede parametrizar utilizando la

funcion vectorial. , ,

Definida sobre la región R en el plano xy. Utilizando

, y ,

Se tiene



× 1 0 ,0 1 ,

× , ,

∥ × ∥ , , 1Entonces el área de la superficie S es

Á ∥ × ∥

Á , , 1

Ejercicio

Hallar el área de la superficie del toro dado por:

, 2 cos cos 2 cos sin sin

Donde el dominio D está dado por 0 ≤ ≤ 2 y 0 ≤ ≤ 2

Se calcula y

s in cos sin cos cos

2cossin2cos El producto vectorial de estos dos vectores es

× sin cos sin cos cos 2 cos sin 2 cos 0



× 2 cos cos cos sin cos sin Lo cual implica que

∥ × ∥ 2 cos coscos

sincos

sin

∥ × ∥ 2 cos cos cos sin sin ∥ × ∥ 2 cos cos s i n ∥ × ∥ 2 cos

Por último. El área de la superficie del toro es

Á ∥ × ∥

2 c o s

4

8

1. INTEGRALES DE SUPERFICIE



Son similares a las integrales de línea, definidas mediante una representaciónparametrica de la curva

DEFINICION: Sea S una superficie de ecuación , y R es la proyecciónsobre el plano XY, cuya parametrizacion de la superficie S es:

, , , ,

Si:

,, , ‖‖

Y sea f una función continua en S entonces la Integral de superficie de F sobre S

es:

,,,,, , ,

Si S de la grafica es de , ), R es su proyección sobre el eje XZ, entonces:

,,,, , , ,

Si la grafica es de , ) y R es su proyección sobre el plano YZ, entonces:

,,, ,, , ,

AREA DE SUPERFICIE

1

MASA DE LA LÁMINA:

,,



MOMENTOS

,,

,,

,,

CENTROIDES

MOMENTO DE INERCIA DE LA LAMINA S

,, . ORIENTACION DE UNA SUPERFICIE

Para inducir la orientación en una superficie S del espacio se utilizan vectores

unitarios normales.DEFINICION: Se dice que una superficie es orientable si en todo punto de S queno sea un punto frontera puede definirse un vector unitario normal N de tal maneraque los vectores normales varíen continuamente sobre la superficie S . Si esto esposible, S es una superficie ORIENTADA.

Una superficie orientable tiene dos caras, hacia adentro y otra hacia afuera.



Si ese es una superficie cerrada, como por ejemplo una esfera, elipse entreotras se escoge el vector unitario normal que apunte hacia afuera, y ensuperficies abiertas lo contrario.

Dado:

,

, , ,

S puede orientarse:

UNITARIO NORMAL HACIA ARRIBA

,,‖,,‖ , , , ,

UNITARO NORMAL HACIA ABAJO



,,‖,,‖ , , , ,

VECTORES UNITARIOS NORMALES

×

‖ × ‖

× ‖ × ‖

EJEMPLO: Evaluar la integral de superficie ∬ 2 donde S es la

porción del plano 2x+y+2z=6 que seencuentra en el primer octante.



Solución: Escribimos S como:

Z=(6-2x-y)

g(x,y)= (6-2x-y)

Usando las derivadas parciales gx(x,y)=-1 y gy(x,y)=- , se puede escribir

1 , , = 1 1 =

Utilizando la Figura 15.45 y el teorema:

∬ ,, ∬ , , , 1 ,

,

se tiene:

∬ 2 =∬ , , , 1 , ,

=∫ ∫ 2 −/

= ∫ 36

=

2. INTEGRALES DE FLUJO

Una de las aplicaciones principales que permite la forma vectorial de las integralesde superficies, tiene que ver con el flujo de un fluido a través de una superficie S.

DEFINICIÓN: Sea (x,y,z) = P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z) , donde P,Q,Rtienen derivadas primeras continuas en la superficie S orientada mediante un

vector normal unitario . La integral de flujo de a través de S viene dado por:

.

Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la

componente normal de representando el volumen del fluido que atraviesa lasuperficie S por unidad de tiempo. Si ρ(x,y,z) es la densidad del fluido en (x,y,z)



entonces la integral de flujo ∬ . representa la masa del fluido que fluye

a través de S por unidad de tiempo.

CÁLCULO DE INTEGRALES DE FLUJO

Sea S una superficie orientada dado por z = g(x.y) y sea R su proyección sobre elplano XY.

Orientada hacia arriba:

. . , ,

Orientada hacia abajo:

. . , ,

EJEMPLO: Sea S la porción del paraboloide , 4 que seencuentra sobre el plano xy, orientado por medio de un vector unitario normaldirigido hacia arriba, como se muestra en la figura 15.52. Un fluido de densidadconstante ρ fluye a través de la superficie S de acuerdo con el campo vectorial.

Fx, y, z xi yj zk

Hallar la tasa o ritmo de flujo de masa a través de S.



Solución: calculamos las derivadas parciales de g, 2 , 2

La tasa o el ritmo de flujo de masa a través de la superficie S es:

. . , ,

4 . 2 2

2 2 4

4

4 r d θ

coordenadas polares

1 2 θ

24

Superficie paramétrica

Para una superficie orientada S dada por la función vectorial

, , , , Definida sobre una región D del plano uv, se puede definir la integral de flujo de Fa través de S como



• • × ‖ × ‖ ‖ × ‖

∬ •

×

(Thomas, 2010)

Teorema de la Divergencia

El teorema de la divergencia da la relación entre una integral triple sobre una

región sólida Q y una integral de superficie sobre la superficie de Q. En el

enunciado del teorema, la superficie S es cerrada en el sentido de que forma toda

la frontera completa del sólido Q. Ejemplos de superficies cerradas surgen de las

regiones limitadas o acotadas por esferas, elipsoides, cubos, tetraedros, o

combinaciones de estas superficies.

Se supone que Q es una región sólida sobre la cual se evalúa una integral triple, y

que la superficie cerrada S está orientada mediante vectores normales unitarios

dirigidos hacia el exterior.

TEOREMA: Sea Q una región sólida limitada o acotada por una superficie cerrada

S orientada por un vector unitario normal dirigido hacia el exterior de Q. Si F es uncampo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales

continuas en Q, entonces



DEMOSTRACION:

Si se hace el teorema toma la forma:

Esto se puede demostrar verificando que las tres ecuaciones siguientes son

válidas.

Como las verificaciones de las tres ecuaciones son similares, sólo se verá la

tercera. La demostración se restringe a una región sólida simple, con superficie

superior

e inferior Cuyas proyecciones sobre el plano xy coinciden y forman

la región R . Si Q tiene una superficie lateral como S3 entonces un vector normal

es horizontal, lo cual implica que Por consiguiente, se tiene



Sobre la superficie superior el vector normal dirigido hacia el exterior apunta

hacia arriba, mientras que en la superficie inferior el vector normal dirigido

hacia el exterior apunta hacia abajo. Por tanto:

Sumando

estos resultados, se obtiene

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejercicio 1

Utilice el teorema de la divergencia de Gauss para evaluar la integral de

superficie.

∬ . . Para F y S.

,, ; 9, 4. SOLUCIÓN ∬ . ∬



1 1 1 3 . 3

12

6 30

108

Ejercicio 2

Sea Q el sólido limitado o acotado por el cilindro el plano

Y el plano xy , como se muestra en la figura

Donde S es la superficie de Q y

SOLUCIÓN

Teorema de Stokes

El teorema de Stokes establece la relación entre una integral de superficie sobre

una superficie orientada S y una integral de línea a lo largo de una curva cerrada



C en el espacio que forma la frontera o el borde de S. La dirección positiva a lo

largo de C es la dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj con

respecto al vector normal N.

TEOREMA: Sea S una superficie orientada con vector unitario normal N, acotada

por una curva cerrada simple, suave a trozos C , con orientación positiva. Si F es

un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales

continuas en una región abierta que contiene a S y a C , entonces

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejercicio 1:Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral ∫ . si ,, y C es la frontera de la superficie que consiste de la porción del cilindro 4 del primer octante determinada por los planos coordenados y el plano 3



SOLUCIÓN

∙ .

. ∙

[ ] 2 .

. 2 .

Como N es un vector normal superior unitario, se calcula el valor de la integral de

superficie debido a que el campo vectorial es 2 , entonces 2 , , . Una ecuación de S es 4 por tanto: , 4 , , 2 , , En consecuencia se tiene:

. 22 0

4

La región D está acotada por el rectángulo del plano delimitado por los ejes y ; las rectas 2 ; 3

. 4

2 12 03

1 8 92

9 92 02



45

Ejercicio 2:

Sea C el triángulo orientado situado en el plano . Evaluar

SOLUCIÓN



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