CUADERNO DE TRABAJO 1 · 2017-02-23 · Ejemplos: Desarrolle las siguientes fórmulas notables. a) ( )( )= b) ( )( )= c) . /. / 3.3. Combinación de Operaciones con Polinomios. Para

1

CUC Electrónica Matemática Elemental Msc. Adriana Rivera Meneses

COLEGIO UNIVERSITARIO DE CARTAGO

ELECTRÓNICA

MATEMÁTICA ELEMENTAL

EL-103

CUADERNO DE TRABAJO 1

Elaborado por: Msc. Adriana Rivera Meneses

II Cuatrimestre 2014

2


ESTIMADO ESTUDIANTE:

El objetivo del siguiente material es facilitarle su aprendizaje en este curso, así

como maximizar el tiempo para que mediante la práctica se logren desarrollar las

habilidades requeridas en este curso.

Es importante que usted recuerde que el éxito en este curso depende de su

trabajo y convicción; confíe en que posee la habilidad el resto es que usted

tenga la disposición y trabaje para alcanzar sus metas, el conocimiento lo

construye día a día.

¡Bienvenidos al curso de Matemática Elemental!

3


1. OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMERO REALES.

Realice cada una de las siguientes operaciones en

a) ( ) ( ) ( )=

b) * , ( )-+=

c)

d)

e) { ( √ )} √

f) [ √ ], ( ) -

4


g)

2

3

4

33

4

1

2

12 h)

1433

2

2

3

6

1

i)

2

3

2

3

5

2

1

6

1

j)

1

2

3

10

4

5

34

PRÁCTICA: Realice cada una de las siguientes operaciones en

a) 3352

b) 215657100

c) 2545491052

d) 52738512

e) 814783

f)

34

7

1

7

1

Respuestas:

a. b. c. d. e. f.

5


2. LEYES DE POTENCIAS

2.1. Concepto de potencia.

Una potencia es una forma de expresar una multiplicación repetitiva, es decir;

a: base.

n: exponente.

RECUERDE.

(

)

( )

2.2. Propiedades de las potencias.

Para y

1. 2. siempre que

3. 4.

5. ( ) 6. ( )

7.

8.

9. .

/

10. .

/

11. .

/

12.

√

(√ )

6


EJEMPLOS.

1. Simplifique al máximo cada una de las siguientes expresiones algebraicas.

(

)

( )( ) ( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

7


2.3 Práctica: Haciendo uso de las leyes de potencias, simplifique al máximo las

siguientes expresiones.

1)

2)

3)

4) ( )

5) {

}

6) .

/

7) {[.

/ ]

}

8) ( )

( )

9) {( )

}

10) ( )

11) .

/

12) .

/

13) (

)

14) [

.

/

]

15) [ ( )

]

16) (

)

17) [.

/

]

.

/

18)

.

/

8


Respuestas:

1) 2)

3)

4)

5)

6)

7) 8)

9)

10)

11) 12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

3. OPERACIONES CON POLIMONIOS.

3.1. CONCEPTUALIZACIÓN.

Una expresión algebraica está representada por números, por letras, o por

números y letras relacionados con una o más operaciones representadas por

signos. También puede tener signos de agrupación (paréntesis).

Partes de una expresión

algebraica.

Números.

Son valores conocidos. También

se llaman CONSTANTES

Letras.

Representan valores desconocidos. Se

denominan VARIABLES

Signos de operación.

Son los signos que indican operaciones

fundamentales, como +,-, , y

potencias.

Signos de agrupación.

Son los paréntesis.

(), [], {}

9


Monomio:

Los monomios son expresiones algebraicas que contienen letras y números

relacionados UNICAMENTE por la operación multiplicación. Dos monomios son

semejantes si poseen igual factor literal (factor litera: las letras con sus respectivos

exponentes)

Polinomio.

Un polinomio es una expresión algebraica (combinación de letras y números) que

contiene uno o más monomios no semejantes (diferente factor literal.) unidos por

las operaciones suma o resta o ambas, por ejemplo:

Ahora; los polinomios se clasifican según su cantidad de términos, por ejemplo:

NOTAS IMPORTANTES:

Todo polinomio que tenga más de tres términos se llamará de esta manera, es

decir no posee categorización especial.

Todo monomio es polinomio pero no polinomio es monomio.

Todo binomio es polinomio pero no polinomio es binomio.

Todo trinomio es polinomio pero no polinomio es trinomio.

Polimonios de clasificación

especial.

Monomios

Expresiones algebraicas que contienen letras y números relacionados UNICAMENTE por la

operación multiplicación

9

3a2b5

Binomios

Expresión algebraica que contiene dos monomios no semejantes unidos por la suma

o la resta.

7x2+9h5

5a3h-6

Trinomios

Expresión algebraica que contiene dos monomios no semejantes unidos por la suma

o la resta.

20+x+y2

y4c3+2x-1

10


3.2. Operaciones con polinomios.

3.2.1 Suma y Resta.

Sumar o restar polinomios es equivalente a reunir los términos semejantes (suma o

resta de monomios semejantes).

Ejemplos

Calcule las siguientes sumas y restas de polinomios.

a)

b)

c) =

d) ( ) ( ) ( )

Un menos (resta)

delante de un

paréntesis cambia el

signo a TODOS los

términos del

polinomio

11


e) ( )—( )

f) ( ) ( ) ( )

3.2.2. Multiplicación de Monomios.

Pasos.

1. Se multiplican los factores numéricos entre sí.

2. Los factores literales se buscan las bases iguales y se suman sus exponentes.

Ejemplos. Efectúe cada una de las siguientes multiplicaciones.

1.

2.

3.

4.

𝑎𝑛 𝑎𝑚

𝑎𝑛 𝑚

Recuerde

que:

12


3.2.3. Multiplicación de un Monomio por un Polinomio.

Para multiplicar un monomio por un polinomio es necesario recurrir a la ley

distributiva ( ) . Es decir se multiplica cada término del polinomio,

obteniéndose de esta manera una multiplicación de monomios.

Ejemplos: Efectué las siguientes multiplicaciones.

a) ( ) b)

.

/

3.2.4. Multiplicación de Polinomio por Polinomio.

Nuevamente se debe hacer uso de la propiedad distributiva ( )( ) . Es decir se multiplica cada término de uno de los polinomios por

todos los términos del otro polinomio y se suman o restan los monomios

semejantes.

Ejemplos: Efectué las siguientes multiplicaciones.

a. ( )( )=

b. ( )( )

c. ( )( )

d. .

/.

/

13


3.1.1. División de monomios.

a. División de monomios.

Pasos.

1. Se dividen los factores numéricos entre sí.

2. Los factores literales se buscan las bases iguales y se restan sus exponentes.

Ejemplos. Efectúe cada una de las siguientes divisiones.

a) ( ) ( )=

b)

=

c) .

/ .

/

d) .

/ .

/=

3.1.2. División de polinomios método Algoritmo de Euclides.

Este método permite dividir un polinomio entre otro, donde cada polinomio

puede estar en términos de una o dos variables.

Recuerde:

( )

( ) ( )

( )

( )

Pasos:

1. Ordenar el cada polinomio según el grado de la variable, completando el

dividendo de manera que la disminución del grado vaya de uno en uno.

2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

𝑎𝑛

𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑚

Recuerde que:

14


3. Realizar la multiplicación del primer término del cociente por el divisor y realizar

la resta de los términos.

4. Repetir el proceso hasta que el grado del residuo sea menor que el del divisor.


a) ( ) ( )=

b)

c. ( ) ( )=

15


3.1.3. División de polinomios, división sintética.

Este método permite dividir un polinomio entre otro, donde cada debe estar en

términos de una variable (la misma para ambos) y el divisor es de grado uno.

Pasos:

1. Ordenar el cada polinomio según el grado de la variable, completando el

dividendo de manera que la disminución del grado vaya de uno en uno.

2. Tomar los coeficientes de cada término del dividendo, y colocar el cero del

divisor.

3. Bajar el primer término del dividendo y realizar la multiplicación por el divisor.


a) ( ) ( )=

b) ( ) ( )=

3.2. Productos notables.

Las fórmulas notables son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo

resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la

multiplicación.

1. Primera fórmula notable: El cuadrado de un binomio; cuyos términos poseen el

mismo signo.

El cuadrado de un binomio cuyos términos poseen igual signo es igual al

cuadrado del primer término más dos veces el primer por el segundo término más

el segundo término al cuadrado.

Nota: Recuerde ( ) ( )( )

(𝑎 𝑏) 𝑎 𝑎𝑏 𝑏

( 𝑎 𝑏) 𝑎 𝑎𝑏 𝑏

16


Ejemplos: Desarrolle las siguientes fórmulas notables.

a. ( )

b. .

/ .

/

c. ( )

2. Segunda fórmula notable: El cuadrado de la resta de dos cantidades.

El cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al cuadrado del primer

término menos dos veces el primer por el segundo término más el segundo

término al cuadrado.


a. .

/

b. ( )

3. Tercera fórmula notable: Producto de la suma por la diferencia de dos

cantidades.

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual. Al cuadrado

del término de signo igual, menos, el cuadrado del término con diferente signo.

(𝑎 𝑏) 𝑎 𝑎𝑏 𝑏

( 𝑎 𝑏) 𝑎 𝑎𝑏 𝑏

(𝑎 𝑏)(𝑎 𝑏) 𝑎 𝑏

( 𝑎 𝑏)( 𝑎 𝑏) 𝑎 𝑏

17



a) ( )( )=

b) ( )( )=

c) .

/ .

/

3.3. Combinación de Operaciones con Polinomios.

Para realizar combinación de operaciones con polinomios se sigue el mismo

procedimiento que se realiza para resolver operaciones combinadas con

números racionales.

Prioridad

Operaciones

1- Potencias

2- Multiplicaciones y divisiones en el orden

que se presentan.

3- Sumas y restas .

Signos de agrupación (Parentesis)

1- Redondos ( ).

2- Cuadrados [ ]

3- Llaves { }

18


Ejemplos: Simplifique (realice) las siguientes expresiones.

a. ( ) =

b. ,( )( ) -

c. ( ) ( )

d. ( )( ) ( )

19


3.4. Práctica.

a. Efectuar las siguientes operaciones simplificando al máximo su resultado.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) ( ) ( )

10)

11) .

/ .

/

12) .

/ .

/

13) ( ) ( ) ( )

14) ( )—( )

15) ( ) (

) ( )

20


16) ( )

17)

.

/

18) ( )( )

19) ( )( )

20) ( )( )

b. Desarrolle las siguientes fórmulas notables.

1) ( )

2) .

/ .

/

3) ( )

4) .

/

5) ( )

6) ( )( )

7) ( )( )

8) .

/ .

/

c. Realice cada una de las siguientes divisiones por el método algebraico.

1) ( ) ( )

2) ( ) ( )

3) ( ) ( )

4) ( ) ( )

5) ( ) ( )

21


6) ( ) ( )

7) ( ) ( )

8) ( ) ( )

9) ( ) ( )

10) ( ) ( )

d. Realice las siguientes divisiones sintéticas.

1. ( ) ( )

2. ( ) ( )

3. ( ) ( )

4. ( ) ( )

5. ( ) ( )

e. Desarrolle las siguientes operaciones simplificando al máximo su resultado.

1) ( )

2) .

/

3) , ( )- ( )( )

4) ( )( ) ( )

5) ( ) ( )

6) ( )( ) ( )

7) ( ) ( )

8) ,( ) ( )- ( )

22


Respuestas.

a. Efectuar las siguientes operaciones simplificando al máximo su resultado.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) 8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19) 20)

b. Desarrolle las siguientes fórmulas notables.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

23


c. Realice cada una de las siguientes divisiones por el método algebraico.

Cociente. Residuo. Cociente. Residuo.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 0 10.

d. Realice las siguientes divisiones sintéticas.

Cociente. Residuo. Cociente. Residuo.

1. 2.

3. 4.

5.

e. Desarrolle las siguientes operaciones simplificando al máximo su resultado.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

24


4. Factorización de Polinomios.

El proceso de factorizar polinomios consiste en descomponer en factores un

polinomio.

Ejemplos:

Polinomio. Factorización. Factorización Máxima

( ) ( )( )

A continuación se le ofrece el siguiente esquema que ayudara a la resolución de

los casos de factorización.

FACTORIZACIÓN

1. Factor Común

2. Dos términos 3. Tres términos 4.Cuatro o más

términos

Diferencia de

cuadrados. ( )( )

Si ; Trinomio cuadrado

perfecto (Fórmula Notable) ( )

Agrupación.

Debe facilitar el uso de

algún otro método

Cubo de un binomio ( )( ) ( )( )

Si √ ; Inspección.

División Sintética: Usado generalmente

cuando hay una única

variable.

Si √ ; Fórmula

General

Si ; NO existe

factorización.

NOTAS IMPORTANTES AL FACTORIZAR.

1. Su objetivo es descomponer en factores una expresión, por lo tanto no es

recomendable realizar multiplicaciones o productos notables.

2. Un paréntesis se considera como un solo término.

3. Recuerde que:

25


4.1. Factor común.

Consiste en extraer como factor aquello que tienen en común todos los términos.

Ejemplos: Factorice cada uno de las siguientes expresiones.

a) b)

c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( )

4.2. Diferencia de cuadrados.

Se basa en el empleo de la tercera fórmula notable

( )( )


a) b)

c) ( ) d) ( ) ( )

26


4.3. Cubo de un binomio.

Consiste en el empleo de la cuarta y quinta fórmulas notables que consiste en:

( )( )

( )( ) Ejemplos: Factorice cada uno de las siguientes expresiones.

a) b)

c) d) ( )

4.4. Trinomio cuadrado perfecto.

Se basa en el empleo de la primera y segunda fórmula notable

( )


a) b)

c) ( ) ( ) d) ( ) ( )

27


4.5. Inspección.

También conocido el método como método de tanteo o bateo, el cual consiste

en la descomposición por deducción de la expresión.


a) b)

c) d)

4.6. Agrupación.

Es la agrupación de términos con el fin de poder utilizar algún método de los

anteriores.


a) b)

c) d)

28


4.7. División sintética.

Este método sirve para factorizar polinomios que estén en términos de una sola

variable.

Se debe ordenar el polinomio y luego utilizar todos los divisores del primer y del

último término.


a)

b)

4.8. Combinación de métodos.


a) b)

29


c) ( ) d)

4.9. Práctica.

a. Factorice al máximo las siguientes expresiones.

1)

2)

3)

4) ( ) ( )

5) ( ) ( )

6) ( ) ( )

7)

8)

9)

10) ( )

11)

12)

13)

14) ( )

15) ( )

16)

17)

18)

19)

20) ( ) ( )

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

30


28)

29)

***

30)

31)

32)

33)

34)

( )

35)

36)

37)

Respuestas.

1) ( )

2) ( )

3)

.

/

4) ( )( )

5) ( )( )

6) ( )( )

7) ( )( )

8) )( )( )

9) .

/ .

/

10) ( )( )

11) ( )( )

12) ( )(

)

13) .

/ .

/

14) ( )(

)

15) ( )( )

16) ( )

17) ( )

18) ( )

19) ( )

20) ( )

21) ( )( )

22) ( )( )

23) ( )( )

24) ( )( )

25) ( )( )

26) ( )( )

27) ( )( )

28) ( )( )

29) ( )( )

30) ( )( )

31) ( )( )

32) ( )( )

33)

.

/ .

/

34) .

/ .

/

35) ( )( )

36) ( )( )

37) ( )( )( ) ( )

31


5. OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES.

5.1. Simplificación de expresiones racionales.

Pasos:

Factorizar cada uno de los polinomios presentes al máximo.

Simplifique los términos que sea posible.

Ejemplos:

5.2. Multiplicación y división de expresiones racionales.

Pasos:

Factorizar cada uno de los polinomios presentes al máximo.

Convierta las divisiones en multiplicaciones y efectúe las operaciones

resultantes.

Simplifique los términos que sea posible.

Ejemplos:

32


5.3. Suma y resta de expresiones racionales.

Pasos:

Factorizar todos los denominadores para obtener el MCM.

Homogenizar la expresión y resolver las operaciones resultantes.

Ejemplos:

33


5.4. Combinación de operaciones de expresiones racionales.

Debe respetarse la prioridad de las operaciones estudiadas anteriormente.

(

)

(

) (

)

5.5. Práctica.

a. Simplifique al máximo las siguientes expresiones.

1)

2)

3)

4)

5)

34


b. Realice las operaciones indicadas y simplifique al máximo.

1)

=

2)

=

3)

4)

5)

6)

7)

.

/

8)

=

9)

10)

11)

12)

.

/

13)

.

/

Respuestas.

a. Simplifique al máximo las siguientes expresiones.

1)

2)

3)

4) ( )

5)

35


b. Realice las operaciones indicadas y simplifique al máximo.

1)

2) ( )

( )

3)

( )

4)

5)

( )

6) ( )

7)

8)

( )( )

9)

( )

10)

( )( )

11)

( )( )

12)

13)

6. RACIONALIZACIÓN.

El proceso de racionalizar consiste en eliminar la o las raíces existentes del

numerador o denominador de una expresión.

6.1. I Caso: Cuando existe únicamente una raíz en el lugar a racionalizar.

Pasos:

Factorizar todos los términos del subradical.

Determinar el “uno especial” por el cual se puede multiplicar la expresión.

Realizar la multiplicación resultante.

Ejemplos: Racionalice el numerador de:

√

√

√

36


Racionalice el denominador de:

√

√

6.2. II Caso: Cuando existe una suma o resta que involucra raíces

cuadradas..

Pasos:

Determinar el “uno especial” por el cual se puede multiplicar la expresión,

de manera que se cumpla la tercera fórmula notable.

Realizar la multiplicación resultante.

Ejemplos: Racionalice el numerador de:

√

√

√ √

√ √

Racionalice el denominador de:

√

√ √

√ √

√

37


6.3. Práctica.

a. Racionalice el denominador y numerador de las expresiones algebraicas.

1. √

√ 2) √

3) √

√

4) √

√

5) √

√ √

Respuestas.

Racionalice el denominador y numerador de las expresiones algebraicas.

1) √

2) √

3) √

4) √

5) √

7. ECUACIONES.

Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas.

El conjunto solución de una ecuación son los valores que hacen cierta la

ecuación.

7.1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Llamadas ecuaciones de primer grado con una incógnita pues el grado de la

única variable es uno.

Ejemplos:

Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones.

( ) ( )

38


( ) ( )

7.2. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Ejemplos:


39


( )

( )( ) ( ) ( )( )

7.3. Ecuaciones radicales.

Para este tipo de ecuaciones es necesario usar las potencias y por tanto se llega

a una ecuación equivalente, por lo que se deben realizar las pruebas necesarias.

Ejemplos:


√ √

40


√ √ √

7.4. Práctica.

a. Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.

Primer grado con una incógnita.

1)

2)

3) ( ) ( )

4) ( ) ( )

5) ( ) ( ) ( )

6) ( ) ( )

7) ( ) ( )

8) ( ) ( )

9) ( ) ( )( )

10) ( )

11) ( ) ( ) ( )

12) ( )

13)

14)

15)

16)

41


17)

18)

19)

( )

20)

Segundo grado con una incógnita.

21)

22)

23)

24) ( )

25)

26) ( )

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

42


Ecuaciones radiales.

36) √

37) √ √

38) √

39) √ √ √

40) √

b. Si es solución en la ecuación ( ) ¿cuál es el valor de k?

c. Determine el valor de k, de modo que la ecuación tenga sus raíces iguales.

1)

2)

Respuestas.

a. Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.

1. S:{

} 2. S:{ 1 } 3. S:{

} 4. S:{

}

5. S:{

} 6. S:{ } 7. S:{ 0 } 8. S:{

}

9. S:{ 3 } 10. S:{

} 11. S:{ -9 } 12. S:{ -2 }

13. S:{

} 14. S:{

} 15. S:{ 4 } 16. S:{

}

17. S:{

} 18. S:{

} 19. S:{

√

} 20. S:{

}

21. S:{

} 22. S:{ } 23. S:{ } 24. S:{ -2 , 0 }

25. S:{

,

} 26. S:{ 0 , 7 } 27. S:{ 0

} 28. S:{ -2 , 4 }

29. S:{

, 3} 30. S:{ -1 } 31. S:{

} 32. S:{ 0 }

33. S:{ -1 } 34. S:{ } 35. S:{ 1, 2 } 36. S:{

}

37. S:{ } 38. S:{ } 39. S:{

} 40. S:{ }

b. El valor de k es

c. 1. K= 2. K=

43


8. MATRICES.

Las matrices son una manera de resumir datos generalmente organizados en

forma tabular; considere la información de la siguiente tabla:

Cantidad vendida

Día. Lunes Martes Miércoles Jueves

Zapatos. 9 11 10 13

Ropa. 8 13 12 14

Accesorios. 5 7 6 10

Los datos pueden resumirse como:

(

)

Lo cual corresponde a notación matricial, observe como los datos se agrupan

igual que en la tabla y entre paréntesis. Respecto a la V, es la forma en que se

nombra la matriz, lo cual se realiza con una letra mayúscula.

Por lo tanto, se define matriz como un arreglo rectangular de números, donde los

elementos se organizan en filas (horizontales) y columnas (verticales).

La dimensión de una matriz corresponde al número de filas (m) y columnas (n),

que se representa como .

En la matriz en estudio, la dimensión se denotaría como , lo cual usualmente

se denota .

Respecto a los elementos se denotan con el nombre la matriz en minúscula y con

sus índices que indican su posición, por ejemplo puesto que se ubica en

la fila 2 y la columna 3, en aquellos casos que no existe confusión la coma se

omite.

44


Ejemplos:

1. Si .

/, entonces la dimensión de la matriz es ______.

, , .

2. Si (

), entonces la dimensión de la matriz es ______.

, , .

8.1. Tipos de matrices.

Tipo. Descripción. Ejemplo.

Cuadrada El número de filas es igual al número

de columnas; es decir, .

.

/

Dimensión:

Fila El número de filas es igual a uno; es

decir, .

( )

Dimensión:

Columna El número de columnas es igual a uno;

es decir, .

. /

Dimensión:

Identidad

Sea , B es una matriz identidad si

para cada y para cada .

Dicha matriz se denota como .

(

)

Nula Todos sus elementos son cero. (

)

Dimensión:

Transpuesta Sea se define la transpuesta de

A como la matriz

(

)

.

/

Diagonal Sea si para cada con . (

)

45


8.2. Operaciones con matrices.

8.2.1. Adición de matrices:

Si A y B son matrices de tamaño mxn, se define la suma de A y B, como

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Ejemplo:

Sean .

/ .

/ calcule: A+B.

8.2.2. Multiplicación de una matriz por un número real:

Si A es una matriz de tamaño mxn y k es un número real, se define la

multiplicación de k por A, que se denota como kA, como la matriz mxn que se

obtiene de multiplicar cada elemento de A por k.

Ejemplo:

Considere (

), calcule

46


8.2.3. Sustracción de matrices:

Si A y B son matrices de tamaño mxn, se define la diferencia de A y B, como

( )

Ejemplo:

Sean .

/ .

/ calcule: U-B.

8.2.4. Multiplicación de Matrices:

8.2.4.1. Matriz fila por matriz columna:

Si A es una matriz de tamaño 1xn y B es una matriz de tamaño nx1, entonces:

Ejemplo:

Considere ( ) ( ), calcule .

47


8.2.4.2. Multiplicación de matrices:

Sea A un matriz de tamaño mxn y B una matriz de tamaño nxp, se define el

producto de A y B, y se denota como la matriz de tamaño mxp formada

por las multiplicaciones de cada fila de A por cada columna de B.

Ejemplo:

Considere las matrices .

/ (

), calcule .

8.3. Sistemas de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas se denota por

Ejemplos:

{

es un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas, al cual se le puede

asociar una matriz (matriz asociada)en el cual se evita la escritura de las variables

(

)

48


8.4. Método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas

de ecuaciones.

Pasos:

1. Se escribe la notación matricial del sistema.

2. Se realizan las operaciones fila permitidas para obtener la matriz reducida.

3. Se deducen las soluciones del sistema y se escribe el conjunto solución.

Operaciones fila permitidas:

1. Multiplicación de una fila por una constante k, diferente de cero. ( )

2. Intercambiar la fila i por j. ( )

3. Multiplicar la fila i por k y sumarla con la j. ( )

Ejemplos:

Determine las soluciones del sistema

{

49


{

8.5. Práctica.

a. Determine el valor de cada una de las letras en la siguiente igualdad.

(

) (

)

b. Sean las matrices.

.

/ .

/ (

) ( )

Calcule:

1.

2.

3.

4.

5.

6. ( )

7.

8.

9.

10.

50


c. Sean las matrices

.

/ .

/ .

/ .

/

Calcule:

1.

2.

3.

4. ( )

5. ( )

6.

d. Sean las matrices

.

/ .

/ .

/

De ser posible, calcule:

1.

2.

3.

4.

5. ( )

e. Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones

lineales. En caso que existan infinitas soluciones, escriba dos soluciones

particulares. Utilice el método de Gauss-Jordan.

1. {

2. {

3. {

4. {

5. {

6. {

7. {

51


Respuestas.

a.

b.

1. .

/ 2. .

/ 3. .

/ 4. (

)

5. (

) 6. (

) 7. ( ) 8. ( )

9. No se puede 10. . /

c.

1. .

/ 2. .

/ 3. .

/

4. .

/ 5. .

/ 6. .

/

d.

1. No se puede. 2. No se puede. 3. .

/

4. .

/ 5. No se puede.

e.

1. ( )

2. .

/

3. {( )

}

4. *( ) +

5. ( )

6. ( )

7. {( )

}

52


9. DETERMINANTES.

9.1. Determinante de una matriz de orden 1.

Sea A una matriz de orden 1, el determinante de A se denota con | | y se define

como | |

9.2. Determinante de una matriz cuadrada de orden 2.

Sea A una matriz de orden 2, el determinante de A se denota con | | y se define

como

| | |

|

Ejemplos:

Calcule el determinante para cada una de las siguientes matrices.

.

/

.

/

9.3. Práctica.

a. Calcule el determinante para las siguientes matrices.

1) .

/

2) .

/

Respuestas.

1) 31

2) -72

53


10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

Se debe tener presente que el resultado de un sistema de ecuaciones es un par

ordenado yx, de lo cual es evidente que se tiene que determinar el valor de x

y el valor de y . Se estudiarán cuatro casos:

10.1. Suma y resta

Dicho método consiste en eliminar una de las dos variables “sumando o restando”

dichas ecuaciones, eligiendo en primera instancia la variable que se desea

eliminar.

Pasos:

Determinar un número por el cual se debe multiplicar a una ecuación y

otro número para multiplicar a la otra para que la variable a eliminar tenga

igual coeficiente,

Se suman o restan las ecuaciones.

Encontrar el valor de la variable que aún se conserva.

Sustituir en una ecuación original el valor determinado para encontrar el

segundo.

Ejemplos.

Determinar la solución de los siguientes sistemas.

0523

0132

yx

yx

54


10.2. Igualación

Este método consiste en despejar alguna de las dos variables en ambas

ecuaciones y luego igualar las expresiones obtenidas para resolver una ecuación

de primer grado con una incógnita. Una vez obtenido el valor de dicha variable

se sustituye en alguna de las ecuaciones originales para obtener el valor de la

otra variable.

Ejemplo:


33

52

yx

yx

55


10.3. Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar alguna de las dos variables de una

de las ecuaciones para luego sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, y

de nuevo resolver una ecuación de primer grado con una incógnita. El valor de la

otra variable se determinará sustituyendo el valor obtenido en alguna de las

ecuaciones originales.

Este método es especial para los casos en que las variables se estén multiplicando

o dividiendo.

Ejemplo 1:


2

1

23

1

yx

yx

56


Ejemplo 2:


{

57


10.4. Regla de Cramer.

El método consiste en encontrar el determinante general de cada sistema así

como los determinantes de cada variable y aplicar las fórmulas:

Entonces considere el sistema

{

( ) |

|

( ) | |

( ) |

|

( )

( )

( )

( )

Ejemplo 1:

Determine el conjunto solución del sistema.

{

( ) |

|

( ) |

|

( ) |

|

( )

( )

( )

( )

Donde la solución sería: *( )+

Ejemplo 2:

Determine el conjunto solución del sistema.

{

58


3.1. Práctica.

a. Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas por el método de

suma y resta.

1) {

2) {

3) {

4) {

5) {

6) {

7) { ( )

( )

8) { ( ) ( )

9) {

10) {

b. Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas por el método de

igualación.

1) {

2) {

3) {

4) {

5) {

6) {

7) { ( )

( )

8) { ( )

( ) ( )

9) {

10) {

c. Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas por el método de

sustitución.

1) {

2) {

3) {

4) {

59


5) {

6) { ( )

7) {

( )

8) {

9) {

10) {

d. Resuelva los sistemas del punto a y b por el método de la Regla de Cramenr.

Respuestas.

a.

1) *( )+ 2) *( )+ 3) {(

)} 4) *( )+ 5) *( )

+

6) {(

)} 7) 8) *( )+ 9) {(

)} 10)

b.

1) *( )+ 2) *( )+ 3) *( )+ 4) *( )+ 5) *( )+

6) 7) *( )+ 8) *( )+ 9) *( ) +

10) *( )+

c.

1) *( )+ 2) *( )+ 3) 4) {.

/} 5) *( )+

6) *( )+ 7) *( )+ 8) *( )+ 9) 10) {.

/ ( )}

60


Bibliografía.

Arce, C., Castillo, W., González, J., (2001). Algebra Lineal. San José, Costa Rica,

Editorial UCR.

Camacho, A., (2008). Manual de Ejercicios Matemáticos 10º año. San José, Costa

Rica, Editorial Káñir.

Murrillo, M., Soto, A., Araya, J., (2009). Matemática Básica con Aplicaciones. San

José, Costa Rica, EUNED.

Porras, V., Porras, J., Villegas, E., (2014). Matemáticas 10. San José, Costa Rica,

Editorial Publicaciones Porras.

Documents

CUADERNO DE TRABAJO 1 · 2017-02-23 · Ejemplos: Desarrolle las siguientes fórmulas notables. a) ( )( )= b) ( )( )= c) . /. / 3.3. Combinación de Operaciones con Polinomios. Para