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CUADERNO DE TRABAJO MATEMATICAS IV COLEGIO LATINOAMERICANO DE MEXICO
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2
TEORÍA DE CONJUNTOS (EJERCICIOS)
Especificar los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos
1. Conjunto de los cinco primeros meses del año
2. Conjunto de los satélites naturales de la tierra
3. Conjunto de los ocho primeros números naturales
4. Conjunto de los diez primeros números primos
5. Conjunto de los seis primeros números compuestos
6. Conjunto de los números naturales menores que 9
7. Conjunto de los siete primeros números naturales múltiplos de 3
8. Conjunto de las piezas del juego de Ajedrez
9. Conjunto de las caras de una moneda
10. Conjunto de los estados físicos de la materia
11. Conjunto del número de puntos, de la cara superior, que se pueden observar al arrojar un
dado
12. Conjunto de los días de la semana
13. Conjunto de los enteros mayores que –3 y menores que 6 14. Conjunto de los enteros positivos impares menores que 30 15. Conjunto de los enteros entre 1 y 20 , divisibles entre 3 16. Conjunto de los números compuestos menores que 50} 17. Conjunto de los números primos menores que 40} 18. C={x/x es divisor de 12} 19. D={x/x es un planeta del sistema solar} 20. E={x/x es un Estado de la República Mexicana} 21. F={x/x es una delegación política del D. F}
Seleccione la descripción más adecuada para cada uno de los siguientes conjuntos
1. A={junio , julio}
a) El conjunto de dos meses calurosos
b) El conjunto cuyos elementos son dos meses consecutivos
c) El conjunto cuyos elementos son dos meses consecutivos y sus nombres empiezan con la
letra J
2. B={ x, y, z }
a) El conjunto de las tres últimas letras del alfabeto
b) El conjunto de tres letras consonantes del alfabeto
c) El conjunto de tres letras del alfabeto
3. D={Mercurio, Venus, Tierra, Marte}
a) El conjunto de los cuatro últimos planetas descubiertos del sistema solar
b) El conjunto de los cuatro planetas más próximos al sol
c) El conjunto de cuatro planetas del sistema solar
3
4. R={1, 2, 3, 4, 5}
a) El conjunto de cinco números consecutivos
b) El conjunto de los primeros cinco números naturales
c) El conjunto de números enteros
5. S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
a) El conjunto de los dígitos
b) El conjunto de los números menores que 15
c) El conjunto de diez números consecutivos
6. Sean A={a, b, c, d}; B={e, f, g, h}; C={a, e, i, o, u}
En los siguientes espacios, escriba el símbolo que establezca una proposición verdadera
( Є, Є)
a) a______A
b) a______B
c) a______C
d) b______A
e) b______B
f) b______C
g) f______A
h) f______B
i) f______C
7. Sean los conjuntos P={2, 3, 5, 7, 11}; I={1, 3, 5, 7, 9}; W={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
En los siguientes espacios, escriba el símbolo que establezca una proposición verdadera ( Є, Є)
a) 0______P
b) 5______I
c) 3______W
d) 2______P
e) 2______I
f) 6______W
g) 9______P
h) 13______W
i) 11_____I
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OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNIÓN: AB = Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto
B o a ambos
INTERSECCIÓN: A∩B = Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos
A y B a la vez
DIFERENCIA: A – B = Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A pero no
al conjunto B
COMPLEMENTO: Ac= Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto universal U
paro no al conjunto A
Sean los Conjuntos: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}; A= {a, b, c}; B = {a, d, e, h}; C = {f, g, h}; D = {a, c, d, f}.
Determinar:
1. AC=
2. A∩D=
3. DC =
4. B-C=
5. AC=
6. B∩D
7. AD
8. CC=
9. A∩C=
10. D-A=
11. DC=
12. AC ∩B=
13. BC-D=
14. B∩CC=
15. ACBC=
16. C-A=
17. D ∩C=
18. BC-A=
19. B-A=
20. A-D=
21. CD=
22. B∩D=
23. A-C=
24. BCA=
25. CC-B=
26. DC-AC=
27. (AB)-D=
28. (B-D) ∩C=
29. (A∩D) C=
30. (C∩B) A=
5
II. Sean U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={1,2,3,4}, B={2,4,6,8} y C={3,4,5,6}. Determinar:
III. Sean U= {a, b, c, d, e, f, g}, A={a, b, c, d, e}, B={a, c, e, g} y C={b, e, f, g}. Determinar:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)( )
8) ( )
9)
10) ( )
11)( )
12) ( )
C
C
C
C C
C C
C
C
C C
C
C A
C
B
A
B A
A C
A B C
A C B
B C
A B C
A B
A B C
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)( )
12)( )
13)( )
14)
15)( )
C
C
C
C
C
C C
C
C
C C
C C
C
C
A C
B A
C B
B
B C
A
C
C A
B A
C B
A C
A B
A A
B A
A C B
6
IV. Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15}, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13},
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}, E = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} y H = {3, 6, 9, 12, 15}
Determinar:
4. A partir del siguiente diagrama de Venn- Euler gráfique lo que se indica en cada caso.
1. A B 6. (A C) – B 11. A (B C) 2. A C 7. U – (B C) 12. AC BC
3. C (A B) 8. AC 13. (A B)C 4. (A B) C 9. BC - CC 14. (B C)C 5. A – B 10. (A B)C 15. BC CC
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) ( )
9)
10) ( )
C
P I
P E
I E
I E
H I
I H
H
P I H
E H
E P H
U A B
C
7
PRODUCTO CARTESIANO Sean: U=1,2,3,4,5,6,7,8,9; A=1,3,5,7,9; B=2,3,5,7; C=2,4,6,8; D=4,6,8,9; E=1
Determine y grafique:
1. A B 6. (A-B)’ X D 2. B X A 7. (C-D) X (B-A)
3. (AB) X C 8. (AD) X (CD) 4. A’ X E 9. E’ X E
5. (D-C) X B 10. (AB) X (CD)
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
I. Introducción.
Al derretirse los glaciales hace unos 10,000 años, los cazadores nómadas de la Edad de Piedra se reunieron paulatinamente en los valles del Nilo, Tigris y Eufrates y se dedicaron a la agricultura.
Con el gradual desarrollo y expansión de esta revolucionaria actitud del hombre frente a la naturaleza, se fomento la aparición de otras actividades tales como: La ganadería, la alfarería, el tejido y las invenciones (la rueda, el arado etc.); se hace necesario el intercambio comercial y se originan nuevas y variadas formas de Organización Social.
Para llevar a cabo los registros de la siembra, del rebaño, los comerciales y gubernamentales se tuvo que generar y desarrollar la idea de número así como de los signos apropiados para representarlos, es decir de los numerales.
Es probable que la primera forma de realizar un control fue por medio de un simple método de encuadre, empleando el principio de correspondencia de uno a uno. Usando palos, piedras, dedos, muescas en madera y nudos en una cuerda, las personas estaban habilitadas para conservar las cuentas del ganado y de otros elementos.
Cuando se hace necesario realizar conteos más extensivos, el proceso tiende a ser sistematizado. Esto fue hecho por el arreglo de los números dentro de grupos básicos convenientes, introduciéndose así los Sistemas de Numeración.
II. Sistemas de Numeración.
Un Sistema de Numeración es una manera de representar o expresar cantidades o números.
Implica dos cosas: Un conjunto de símbolos y algunas reglas para combinar los símbolos a fin de expresar oral y gráficamente los números.
Los primeros Sistemas de Numeración probablemente emplearon un solo símbolo: una marca en alguna superficie, una muesca en un palo o algo semejante, cada marca o muesca significaba el número uno.
Algunas tribus antiguas, se cree utilizaban una base de dos para contar 1,2,2-1,2-2,2-2-1 etc. Otras utilizaban una base de tres 1,2,3,3-1,3-2,3-3,3-3-1etc. A medida que las sociedades se desarrollaban fueron aumentando su límite básico para contar. Muchos utilizaban sus propios dedos de la mano y del pie como instrumento de cálculo, contando así hasta 20. El sistema vigesimal fue utilizado por los Mayas de México y los Celtas de Europa.
Los antiguos Babilonios usaban un Sistema Numérico basado en el 60. Este Sistema aun es empleado cuando medimos el Tiempo y los ángulos en minutos y segundos.
El Sistema Numérico con el que estamos más familiarizados tiene una base o raíz de 10. Este Sistema sin duda alguna resulta de la contabilización de los diez dedos. Este Sistema aparece
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primeramente en la India alrededor del año 500 d. de J.C. Al paso de los años, la notación decimal fue dispersada por los árabes a traves de Europa y aquí fue adoptada como método predominante de cálculo.
III. Sistema de Numeración Indo arábigo.
El Sistema decimal posee diez símbolos: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. La forma en que unimos nuestros números parece bastante simple, pero es el resultado artificioso de siglos de desarrollo: lo que los matemáticos denominan “notación posicional”. En este sistema, la posición de cada dígito en una sucesión de números determina su valor. Los números mayores que uno están separados de los números menores (las fracciones) por un punto decimal. A la izquierda del punto, el primer dígito vale lo que representa; el dígito siguiente vale diez veces su valor representativo; el dígito siguiente cien veces, el siguiente mil veces su valor y así sucesivamente. A la derecha del punto el primer dígito vale 1/10 de su valor; el dígito siguiente 1/100; el siguiente 1/1000 etc.
Así por ejemplo el número 8765.432 significa:
8x1000+7x100+6x10+5+4x1/10+3x1/100+2x1/1000 o expresado en potencias de 10 8x103+7x102+6x101+5x100+4x10-1+3x10-2+2x10-3.
Resumiendo: Los dos principios básicos del Sistema Indo arábigo son el principio de notación posicional y el principio aditivo. El principio de notación posicional incluye dos ideas:
Hay un número asignado a cada posición en el numeral. Este se llama valor posicional de la posición
Cada dígito representa el producto del número que simboliza por el valor posicional asignado a su posición.
El principio aditivo significa que el número simbolizado es la suma de los productos indicados.
El Sistema posicional puede, por supuesto, tener otra base diferente de diez; de hecho todo número natural mayor que uno puede emplearse como base.
IV. Otros sistemas de numeración
La forma común general de los números para todas las bases se escribe:
NB=...+S3B3+S2B
2+S1B1+S0B
0+S-1B-1+S-2B
-2+...
Donde: N representa el número completo, el subíndice B indica que el número está escrito mediante símbolos en base B
S representa un símbolo cualquiera de los dígitos del sistema en base B
Se ha aceptado como una convención universal utilizar para los diferentes sistemas los 10 símbolos del sistema decimal y para aquellos sistemas que requieren más símbolos, las letras del alfabeto desde la A hasta la F.
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Los primeros 15 sistemas de numeración con sus bases, sus nombres y sus símbolos se representan de la siguiente manera:
BASE NOMBRE Símbolos de la base
(dígitos del sistema)
2 Binario 0, 1
3 Ternario 0, 1, 2
4 Cuaternario 0, 1, 2, 3
5 Quinario 0, 1, 2, 3, 4
6 Hexal 0, 1, 2, 3, 4, 5
7 Septal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
8 Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
9 Nonario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
10 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
11 Undecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A
12 Duodecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
13 Tridecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C
14 Tetradecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D
15 Pentadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E
16 Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,C, D, E, F
Es especialmente digno de notar que en todo sistema de numeración 10 es el símbolo no para
“diez” sino para la base del sistema
El algoritmo para convertir un número entero en sistema decimal a su equivalente en otro
sistema distinto es el siguiente: Se divide el número y los sucesivos cocientes por la base del
nuevo sistema, hasta llegar a un cociente menor que el divisor. El nuevo número se forma
escribiendo de izquierda a derecha el último cociente, su residuo y todos los residuos
colocados a la derecha aunque sean ceros.
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN (EJERCICIOS)
Exprese los siguientes números como una suma de productos (notación desarrollada)
1. 64 6. 6523 2. 5371 7. 25473 3. 24.72 8. 572.463 4. 8763.542 9. 7364.4365 5. 893.604 10 3529.104. Escribir los primeros treinta números naturales en diferentes bases
Base 2 Base 3 Base 4 Base 5 Base 6 Base 7 Base 8 Base 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6
7 7 7
8 8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
11
Escribir en notación desarrollada y determinar el valor decimal de los siguientes numerales
1. 253(6)
2. 3142(5)
3. 1452(6)
4. 23102(4)
5. 31423(5)
6. 3462(8)
7. 6253(9)
8. 5143(7)
9. 61423(7)
10. 21432(5)
11. 53405(7)
12. 365342(8)
Escriba los siguientes numerales en notación desarrollada e indique su valor decimal
1. 111(2) 7. 234(9) 13. 10111(2) 2. 10100(2) 8. 221(3) 14. 31213(4) 3. 3213(4) 9. 651(8) 15. 51412(8) 4. 3121(4) 10. 1001(2) 16. 35241(6) 5. 543(8) 11. 4213(5) 17. 34265(9) 6. 5432(7) 12. 3516(8) 18. 62743(8)
CONVERTIR LOS SIGUIENTES NUMERALES A LAS BASES INDICADAS
1. 253 = _______________(6)
2. 3142 = _______________(5)
3. 5143 = _______________(7)
4. 1468= _______________(4)
5. 955 = _______________(9)
6. 9634 = _______________(8)
7. 6750 = _______________(5)
8. 23 = _______________(2)
9. 157 = _______________(3)
10. 1645= _______________(7)
11. 5642 = _______________(8)
12. 2675 = _______________(6)
13. 6945= ______________(5)
14. 7365= _____________(9)
15. 123 = _______________(3)
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Convertir los siguientes numerales a las bases indicadas en cada caso
1. 35 al Sistema Binario 6. 459 al sistema base 7 11. 76432 al sistema base 9 2. 265 al Sistema base 5 7. 1694 al sistema base 4 12. 69487 al sistema base 8 3. 173 al Sistema base 8 8. 76432 al sistema base 9 13. 46928 al sistema base 3 4. 1532 al Sistema base 3 9. 69487 al sistema base 8 14. 296435 al sistema base 8 5. 784 al Sistema base 6 10. 46928 al sistema base 15. 281 al sistema base 2
Convertir los siguientes numerales a las bases indicadas:
1. 342(5)=__________(8) 9. 3542(7)=__________(9) 2. 101101(2)=__________(5) 10. 1011011(2)=__________(4) 3. 3671(8)=__________(3) 11. 31202(4)=__________(8) 4. 21011(3)=__________(5) 12. 45023(6)=__________(9) 5. 15432(6)=__________(4) 13. 63450(8)=__________(7) 6. 53142(6)=___________(9) 14. 1312(4)=___________(2) 7. 21357(8)=___________(5) 15. 71624(9)=__________(7) 8. 31412(5)=___________(7)
SUMAR
1. 243(8) + 324(8) 11. 2436(8) + 3245(8) 2. 465(8) + 573(8) 12. 4657(8) + 5736(8) 3. 777(8) + 777(8) 13. 3042(5) + 2314(5) + 4231(5) 4. 2431(5) + 3240(5) 14. 3201(4) + 1230(4) + 2012(4) 5. 304(5) + 210(5) +423(5) 15. 4033(7) + 3654(7) + 2346(7) 6. 1101(2) + 1011(2) 16. 5614(9) + 2781(9) + 3673(9) 7. 10111(2) +11100(2) +11001(2) 17. 2514(7) + 6243(7) + 4561(7) 8. 10111(2) + 10101(2) +11001(2) 18. 3211(4) + 1232(4) + 2313(4) 9. 3201(4) + 1230(4) +2012(4) 19. 5342(6) + 2514(6) + 3451(6) 10. 4033(7) +3654(7) +2345(7) 20. 1212(3) + 2111(3) + 2012(3)
MULTIPLICAR:
1. [5413(6)]*[42(6)] 2. [8142(9)]*[53(9)] 3. [6431(7)]*[35(7)] 4. [21543(8)]*[72(8)] 5. [2030(4)]*[123(4)] 6. [2301(5)]*[324(5)] 7. [6543(7)]*[3112(7)] 8. [1087(9)]*[7601(9)] 9. [4012(7)]*[222(7)] 10. [8054(9)]*[1034(9)] 11. [1101(2)]*[1111(2)] 12. [1210(3)]*[2112(3)] 13. [4352(6)]*[5134(6)] 14. [6374(8)]*[5372(8)] 15. [14320(5)]*[314(5)]
13
RESTA
I. 3210(4) II. 5423(6) III. 7523(8) IV. 3423(5) 3564(9)
- 2302(4) - 3514(6) - 5676(8) - 1344(5) -1785(9)
VI. 1110(2) VII. 4135(7) VIII. 2121(3) IX. 4324(6) X. 7523(8)
- 111(2) - 2346(7) - 1212(3) - 2435(6) -5676(8)
XI. 11110(2) XII. 8574(9) XIII. 3564(9) XIV. 2312(4) XV. 4135(7)
- 1011(2) - 3785(9) - 1785(9) - 1223(4) 2346(7)
XVI. 5316(8) XVII. 4213(5) XVIII. 6342(7) XIX 8763(9) XX. 7134(8)
- 3547(8) - 1324 (5) - 3651(7) - 2485(9) -3567(8)
14
DIVISIÓN:
(6) (6) (5) (5)
(4) (4) (9) (9)
(7) (7) (6) (6)
(4) (4)
)4 5423 XIV) 4 342120
)3 3213 XV) 7 542631
)5 6345 XVI) 3 154304
)3 4123
I
II
III
IV (8) (8)
(6) (6) (7) (7)
(5) (5) (5) (5)
(6) (6) (9) (9)
XVII) 6 627531
)4 15243 XVIII) 4 365142
)3 142134 XIX) 2 103423
)2 14532 XX) 8 386157
V
VI
VII
V (6) (6)
(9) (9)
(8) (8)
(8) (8)
(9) (9)
(7) (7)
)5 415323
)7 312182
)6 46574
)7 156371
)8 726548
)6 534625
III
IX
X
XI
XII
XIII
CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
Indique si es falsa (F) o verdadera cada una de las siguientes proposiciones
1. 4 Q ( )
2. 2 ( )
3. -70 N ( )
4. I ( ) 5. N Sólo contiene los enteros positivos ( )
6. es un número irracional ( ) 7. -4 es mayor que –2 ( ) 8. Todos los números decimales y los enteros forman los racionales ( ) 9. Si un número es entero entonces es natural ( ) 10. Para cada número real x , 1/x es un número real ( )
I. Clasifique los números que aparecen en cada conjunto como: Natural, Entero, Racional, Irracional, Real
A=1, 6/5, -5/6, -4, -, 0, 18, 6.2, e
B=2,-3,-5.33, 9/4, 2, 100, 5
C=-6, 4, 1/2, 5/9, 0.6,-1.23, 99/100, 3,
15
II. Indique la propiedad aplicada en cada uno de los siguientes ejercicios 1. 4 + 5 = 5 + 4 2. 3 + (-3) = 0 3. 7 + 0 = 7 4. 1 * 6 = 6 5. 3 (5 + 4 ) = 3 * 5 + 3 * 4 6. 1/(x+2y) * (x+2y) = 1 7. 3 + 5 + 4 = (3 + 4 ) + 5 8. 2 + 7 = 9
Teorema fundamental de la aritmética
Determine los factores primos de los siguientes números naturales
1) 75 11) 465 21) 9345
2) 483 12) 991 22) 31740
3) 264 13) 1248 23) 8133
4) 691 14) 567 24) 3686
5) 623 15) 840 25) 19367
6) 2454 16) 23595
7) 743 17) 520
8) 968 18) 15892
9) 576 19) 37491
10)831 20) 7533
Determine el Máximo común divisor (MCD) de los siguientes conjuntos
1) 24, 36 13) 64, 40, 32
2) 120, 236 14) 20,42, 50
3) 90, 189 15) 17, 150, 315
4) 136, 162 16) 512, 816, 918
5) 210, 180 17) 464, 812, 870
6) 137, 2603 18) 425, 800, 950
7) 144, 520 19) 33, 77, 121
8) 51, 187 20) 76, 114, 234
9) 76, 1710 21) 98, 294, 392
10) 93, 2387 22) 450, 560, 600
11) 111, 518 23) 342, 560, 684
12) 212, 1431 24) 192, 216, 432
16
Determine el mínimo común múltiplo (mcm) de los siguientes conjuntos de números
1. 28 ; 40 11. 572 ; 816 ; 3264
2. 50 ; 75 12. 645 ; 318 ; 354
3. 42 ; 70 13. 912 ; 620 ; 4286
4. 864 ; 1248 14. 3697 ; 2743
5. 1883 ; 32549 15. 6382 ; 5736
6. 6 ; 12 ; 18 16. 845 ; 500 ; 350
7. 28 ; 35 ; 56 17. 108 ; 192 ; 240
8. 8 ; 15 ; 18 18. 432 ; 648 ; 960
9. 3960 ; 6468 ; 2244 19. 840 ; 1560 ; 682
10. 9504 ; 14688 20. 1058 ; 1176 ; 1690
Resolver las siguientes operaciones con números enteros
1. -8+9+4-6 2. 14-11+7-9 3. -18+12-15+11 4. 17-15+12-9 5. -28-7+16-12+13 6. -29+18-17+11+6 7. 18-25+14-16-3 8. 13+19-27-5+8 9. -23+14-10+7+19 10. 35-18+27-33-11 11. -42+35-17+23+9 12. 19+21-17-25+2 13. 27-35+13-8 14. 31-15-29+43 15. -53+37-45+17+26 16. -37+14-28+19+27 17. -4-19+28-16-8 18. -26-4+10-15+19 19. 17-8-13+9-5 20. 13-18+29-7+12 21. 16-23+41-32+18 22. -38+27-11+19+6 23. 26-45-33+15+16 24. -24+32-40+18-3 25. 36-25+14-20-23 26. 34-67+41-63+18 27. -61+45-38+49-19 28. -26+81-64-57 29. 51-38+52-67+43 30. 26-69+31+64-57 31. 23+52-47-23+18 32. –37+24-49+56 33. (2-1)-(-4+3-2) 34. –(-3)+(7+2)-4
17
35. (15+6-4)-(10-8-3) 36. 350-(24-16+15-4+1) 37. (19-16+13)-12-(18-17+11) 38. 460-(15-12)-(19-13)-(15-14) 39. 325+8-3+9-(4+2-1) 40. 84-14-7-(6-5+4) Multiplicación y división de números enteros
1) 5 3 4 6 8 7
2) 6 2 4 8 5 16
3) (5 12 3) ( 9 23 46)
4) 3 6 9 5 2 6
5) 4 10 5 3 12 4 6
6) (7 2 5) (5 3 4 10)
7) 3 8 6 3 2 5 3
8) 4 2 6 3 9 15 4
9) 3 11 6 4 8 5 19
10) 12 3 5 18 2 4 3 16
11) 18 (3 4 6 4) 5 3 9
1
2) (16 4 3 6) 5 (18 26 17 4)
13) 5 6 2 4 2 7
14) 2 (15 2 6) (7 3 8 2 4)
15) (30-24) 6
16) (15+20) 5
17) 6 2 + 8 4
18) (9+7-2+4) 9
19) 5x62x42x7
20) 18 3x6 – (7-35) 14
21) 72 (-18) x 4-(3-12) (-9)
22) 3x8÷6+12-3x6÷9-5
23) (6x9÷8) + (12÷4x5-7)
24) (3+4x5÷2) – (1+6÷3x4)
25) (8x3÷4x2) ÷ (6÷2x4-8)
26) (15-16÷4x2+3) (19+18÷6x5-17)
27) (2+9x4÷12+13) + (3-14x2÷4+10)
28) (17+15÷5x6÷9) – (25-20÷5x2-13)
29) (23-3x4÷6+7) ÷ (13+8÷4x3-12)
30) (4+7x3-10+9) ÷ (16x2÷4+7-12)
31) (2+9x4÷18-1)(7-3x8÷6+4)
32) (6÷3x5÷2-4+9) + (12-2x8÷4x3+5)
18
Números racionales
Determine la expresión decimal de los siguientes números racionales, indicando el periodo de los decimales infinitos
3 7 11) 11) 21)
20 15 6
13 3 32) 12) 22)
40 11 4
53)
11
8 2 13) 23)
35 7
39 13 414) 14) 24)
44 20 7
8 45) 15)
13 7
15 25)
6
3 12 206) 16) 26)
7 25 3
5 21 37) 17) 27)
13 13 11
78)
4 23 18) 28)
11 15 42
13 19 79) 19) 29)
16 27 8
1910)
7
9 1920) 30)
13 23
19
Determine la expresión racional de los siguientes números decimales periódicos infinitos:
1) 0.6
2) 0.34
3) 0.247
4) 0.6823
5) 0.264
6) 0.4564
7) 0.6246
8) 0.756
9) 0.26
10) 0.438
11) 0.387
12) 0.8
13) 0.6245
14) 0.34
15) 0.5346
16) 0.57
17) 0.4
18) 26
19) 0.214
20) 0.1231
21) 0.36
22) 0.128
23) 0.136
24) 0.0781
25) 0.337
26) 0.2348
27) 0.73526
20
Simplificar o reducir a su minima expresion las siguientes fracciones
72 243 2521. 11. 21.
144 297 273
362.
24
216 897 12. 22.
684 1495
18 276 4143. 13. 23.
15 391 345
1124.
54
378 555 14. 24.
273 518
84 1705. 15. 25.
132 765
532
912
75 174 6486. 16. 26.
105 638 1134
65 5767. 17.
104 648
480 27.
624
104 28 11408. 18. 28.
234 140 2208
221 1959. 19.
85 455
344 29.
645
336 288 61610. 20. 30.
714 448 1584
21
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES COMUNES
4 31) *
9 8
2 3 102) * *
5 8 14
6 5 83) * *
15 2 48
5 244) *
6 15
1 3 45)7 *1 *5
4 29 6
3 33 256)2 * *
4 5 6
7 3 57) * *
15 4 42
3 17 5 388) * * *
5 19 34 75
1 6 59)9 * *
3 7 12
2 5 510)8 * *
5 14 6
9 33 1511) * *
11 5 18
5 3 312) *3 *
7 5 24
2 3 313)6 *1 *
7 11 8
6 1 22 1014) * * *
11 4 5 3
15 8 1015) * *
24 5 12
16)73 2 1
*2 *15 19 8
5 7 6 917) * * *
3 2 15 14
2 3 2418) * *
5 8 9
25 48 919) * *
12 20 36
7 15 820) * *
9 4 5
12 41)
5 15
5 32)
8 4
50 253)
61 183
3 94)2 3
5 10
7 25) 4
12 3
1 36)3 3
8 4
1 57)15 3
3 6
3 158)
8 42
96 609)
21 35
42 3510)
51 34
108 8111)
39 52
132 3312)
45 48
65 1313)
112 63
7 3614)5
13 65
6 115)7 3
7 7
2 3 916) *
5 8 24
21 14 817) *
26 39 9
15 16 318) *
69 20
8
1 7 1219)9
3 6 5
9 20 2520) *
36 48 12
22
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES COMUNES
5 11 5 7 5 4 31) 11) 21)
12 12 12 24 7 5 4
6 8 3 3 5 2 5 7 12) 12) 22)
7 7 7 4 8 5 3 2 6
3
8
1 5 9 2 5 2 8 4 2 73) 13) 23)
4 4 4 3 7 21 3 5 6 12
7 3 5 3 1 1 7 5 44) 14)5 6 8 24)
9 9 9 4 3 12 15 8 5
15)1
7 1 1 1 4 3 6 13 15)4 3 2 25)
8 8 3 10 15 9 7 5 15
5 1 2 5 1 1 6 26)2 4 16) 26)5
6 6 3 6 12 8 12 3
17)3
12
11 6 15 8 1 3 22 17) 27)2 5 3
12 9 25 15 9 7 27
5 7 1 2 1 3 2 58) 18) 4 7 28)7 4 1
6 24 2 3 4 5 8 24
79)
1
8 4 3 5 2 3 3 19) 29)6 1 3
0 15 3 7 4 5 4 10
3 7 7 4 17 4 7 710) 20) 30)9 3 8
4 5 12 15 18 5 9
12
INTERVALOS
Escriba cada uno de los siguientes intervalos, utilizando la notación de conjuntos, y grafique cada
caso en una recta de números reales
1. (-5,8) 2. [-1,9)
3. [6,) 4. (2,15]
5. (-,9] 6. [-10,10]
7. (-,-3)
8. (-7,) 9. [-11,-3) 10. (0,7]
23
Escribir en forma de Intervalos los siguientes Conjuntos. Graficar cada uno de ellos en una recta de
números reales
1. A={x / x ; x -4}
2. B={x / x ; x 2}
3. C={x / x ; -6x 10}
4. D={x / x ; 3x 12}
5. E={x / x ; x 0}
6. F= {x / x ; 1x 8}
7. G={x / x ; x 5}
8. H={x / x ; -6x 1} 9. S= x / x ; x -7 10. M= x / x ; -13 x -1
Operaciones con intervalos. Determine:
1. (-5 , 4) (2, 8) 2. (0 , 6) (-2 , 9) 3. (-7 , 9) – (-2 , 3) 4. (- , 4) (-3 , ) 5. [-3 , 8] [-1 , 10] 6. (-5 , 4) (0 , 8) 7. [-8 , 3] – [-1 , 7] 8. (- , 5) (-2 , ) 9. (-3 , 9) – (-1 , 5) 10. (- , -2) (5 , )
Leyes de los exponentes
5
3
5
4
7
2 5
3 7
7 6
5 7
3 4
2 3
2 3
2 8
3 5
3 2
2 4
2 3
2 3 2
2 3
3 5
6
2 3
3 4
1.
2.
3. 7
4. 8
5. 2
6. *
7. *
8. *
9. * *
10. 2 *2
11. 8 *8
12. 7*7 *7
13. ( )
14. ( )
15. (2 )
16. (3 )
17. (4 )
18. (2 )
19. (3 )
20. (4 )
21. (5 )
22. (6 )
223. ( )
3
x
y
a a
b b
x x
y y y
x
a
x y
xy
a
xyz
bc
x y 4
2 3
3 2 4
2 3
2
2 3 4 2
2 3 4
2
124. ( )
8
525. ( )
2
26. (2 )(5 )
27. (3 )(2 )(5 )
28. ( )(3 )(2 )
29. (5 )(6 )(2 )
30. (4 )(5 )(3 )
a
x z
xy x y
ab a b
a b a ab
xy y x
b c b c
24
2 3 3
2 3 4 2
2 3 3 2
3 2 4
2 3 2 3 2
2 2 3
4 6 3 3 4
2 3 3 2
2 3 4 5
2 3 4
31. (5 ) (2 )
32. ( ) (3 )
33. (3 ) (5 )
34. (7 )(4 )
35. (2 ) (6 )
36. (3 ) (4 ) (5 )
37. ( ) (2 )
38. (3 ) (2 ) (5 )
39. (4 ) (2 )
40. (8 ) (2 )
xy x
a b ab
w aw
cd c d
x yz xy z
xy x y
x y x y
ab a b
a ab
x x
25
3 3
4
3 2
5 6
8 7
4 9
5 3
4 2
2 3
5 2
3 2 4
2 3
5 7
9 4
7 10
3 12
2 8
3 5
4 5
7
4 5
8 2
5 3
2 5
2 3
4 2
720)
49
2621)
39
622)
18
2123)
28
624)
8
1225)
18
3626)
24
1827)
32
3028)
15
2729)
12
3630)
27
231)
8
6532)
39
333)
x y
x y
a b
b c
a b
a b
x y z
x yz
x y z
xy z
x y z
xy z
r s
r s
p q
p q
a b
a b
k m
km
a b
a b
x y
x y
a x
a x5 7
2 5
4
9
3 5 7
5 2 3
6 5 2
2 8 5
24
3
23
3
4
51
9634)
80
2635)
65
7536)
10
337)( )
2
538)( )
4
b c
b c
w
w
x y z
x y z
x y z
x y z
a
b
x
y
7
2
9
6
4
8
3
7
2
16
9
2 5
3 2
5 3
2 7
8 5
3 9
2 3
2
4 5
2 3
2
5 6
6
3
5
4
5 7
8 2
2
5
3 4 2
2 6
6 8 2
4 6
5 2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
310)
6
511)
15
912)
12
2113)
14
2014)
4
2815)
7
2716)
24
1017)
25
3318)
22
3419)
51
a
a
x
x
b
b
c
c
y
y
w
w
a b
a b
x y
x y
c d
c d
a b
ab
x y
x y
a b
a b
c
c
ab
a b
w z
w z
x y
x
a b c
b c
x y z
x y
a b
a6b
26
NOTACIÓN CIENTÍFICA.
Escribir cada una de las siguientes cantidades en Notación Científica.
1. La masa de la Tierra es aproximadamente igual a 5980000000000000000000000000 gramos
2. La masa del átomo de hidrógeno es aproximadamente igual a 0.00000000000000000000000167 gramos
3. La luz se desplaza a una velocidad de 300 000 kilómetros por segundo. 4. La distancia media de la tierra al sol es de 150 000000 de kilómetros. 5. La luz azul visible tiene una longitud de onda de 0.00000045 metros 6. El diámetro medio de una célula animal mide aproximadamente 0.000015 metros 7. El diámetro de la Tierra mide aproximadamente 6450000 metros. 8. 32600000000 9. 0.000000083 10. 116700000000 11. 0.00004 12. 16400000000 13. 0.000000000083 14. 6835000000 15. 321000000000000 16. 8360000000000 17. 685000 18. 215 19. 683 20. 25000 21. 110000000 22. 0.0000365 23. 0.000000587 24. 0.000213 25. 0.0000065 26. 0.000012 27. 0.000000982 28. 0.0000000000003645 29. 0.067 30. 0.0000267
Escribir en notación normal cada una de las siguientes cantidades
1) 5.234 x106 2) 3.44 x 107 3) 5.21 x 1012 4) 3.518 x 9
5) 6.2 x10-2 6) 8.6 x108 7) 3.27 x 10 -8 8) 4.297 x 10-14
9) 2.3 x10-5 10) 3.48 x108 11) 7.64 x 1015 12) 8.16 x 1013
13) 8.23x1012 14) 3.54x10-6 15) 4.35x1011 16) 1.79x10-8
17) 2.14x104 18) 9.132x108 19) 3.65x10-5 20 4.32x10-3
27
LOGARITMOS.
I. Calcular los siguientes Logaritmos
1. Log525 =x 13. log232 =x 2. Log6216 =x 14. log864 =x 3. Log464 =x 15. log4(1/16) =x 4. Log2128 =x 16. log273 =x 5. Log4256 =x 17. log48 =x 6. Log82 =x 18. log168 =x 7. Log813 =x 19. log3(1/81) =x 8. Log1632 =x 20. log3243 =x 9. Log328 =x 21. log279 =x 10. Log51/125 =x 22. log82 =x 11. Log21/32 =x 23. log345 =x 12. Log41/1024 =x 24. log749.6 =x
II. Determine N , x o b según sea el caso en los siguientes ejercicios: 1. Log2 N = 6 7. Log3 N =3 13. log16 N=3/4 2. Log4 16 = x 8. Logb144 =2 14. log243 N=4/5 3. Logb16 =2 9. Logb6 =1/3 15. logb 81= 2 4. Log8 64 =x 10. Logb3 =1/4 16. logb 216= 3 5. Log4 N =1/2 11. Log4 N =3 17. logb 256= 4 6. Log9 N = 3/2 12. Log1/9N =5/2 18. logb324 = 2
III. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Aplicar las propiedades de los logaritmos para desarrollar las siguientes expresiones
3 6 2
4 3
2
6 4 2
3 4
4 3 5
4 6
.(243)(821)(1542)
.(43)(18)(15)(24)
58462.
364
94852.
423
(545)(154).
216
(483)(294).
367
.(12) (8) (4)
(52) (18).
(32)
(12) (8) (14).
(5) (7)
(8) (5) (9).
(2) (3)
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
28
ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
Determine el valor de la incógnita en cada una de las siguientes ecuaciones:
1. Log3(x + 2)=3 2. Log5(2x+1)=2 3. Log2(x-3)=2 4. Log4(2x-7)=0 5. Log3(4x+3)=3 6. Log3(2x + 2)=2 7. Log5(x-4)=2 8. Log2(x-3)=4 9. Log4(2x+8)=0 10. Log4(4x+3)=3
3 3
4 4
3 3
5 5
8 8
2 2
11.log log 7 3
12.log 2 log 6 2
13.log 8 log 5 4
14.log 3 log 6 3
15.log 7 log 3 2
16.log 3 log 8 7
17. Log5x+log52=1
18. Log3(2x+5)- Log3(x-1)=2
19. Log2(x+1)- Log2(x-6)=3
20. Log3(x+4)- Log3(x+1)= 5
21. Log
x
x
x
x
x
x
7(3x-2)- Log7(1-x)= 4
1 5 2
x-3 1 2
x-2
1) 2 16 13) 3 9
2) 4 64 14) 27 729
3) 3 81
x x x
x x
2 3 2
x-4 6 3
5 2 4 5
3
15) 2 4
4) 5 625 16) 5 25
5) 3 729 17) 2 16
6) 4 2
x x
x x
x x x
x
4x-1 3
3 4 3x+2 4
2x-3
56 18) 5 125
7) 2 128 19) 3 9
8) 3 243
x
x x
2x+5 1
3x+2 2x-3 5 2
4x-5 8x-5 3
7x+5 3
20) 2 8
9) 7 343 21) 4 16
10) 6 1296 22) 2 32
11) 4 64
x
x
x
x
3-2x 4
4x+5 3 5x-7 3
23) 6 216
12) 3 81 24) 8 2
x
x x
29
Reducir los siguientes términos semejantes
1) 5x+3x 40) 4x+5y-3x-y+6x-5y-7x-y
2) 2a – 11a 41) (4x2-5x+15) + (2x2+15x-35)
3) -13b-18b 42) (-3y2-7y-62) –(7y2+13y+49)
4) -26c+43c 43) (5x2-9x+4) +(-3x2+8x-7) – (6x2+2x+4)
5) 37d-19d 44) (3y2+6-5y) – (-4y2+6y-8) + (3y-5+7y2)
6) 14x2-31x2 45) (x-19) + (-2x+14)
7) -19y2+37y2 46) (7x2+5x) - (6x2+4x) - (5x2-10x)
8) -28z3+16z3 47) (17x-3) - (9x+5) + (3x+14) + (19-x)
9) 64v2-48v2 48) (8y-9) +(17y-11) – (12y-23) – (9y+2)
10) 2a -5a – 3a 49) (x+2y-3z) – (x-2y+3z) + (3x+z-4y)
11) 5b-9b+2b 50) (x2-2x-3) – (-4x2+3x-4) + (-8x2+x-21)
12) -4c+7c-11c
13) -8d-7d+14d
14) –e-9e-6e
15) -13f+5f+7f
16) 6-8-7
17) -7+6-8
18) -8-7+6
19) 6-7-8
20) -11+7-12
21) 8-9-7
22) -6+3-9
23) -9-8-7
24) -3a+8a-7a
25) 3y2-5y2+7y2
26) 18x+2x-3y
27) 15y+2z-5y+8z
28) 4x-3y-5y
29) 5u-3v-v
30) 3s-t-7t
31) 13c-15d-17d
32) 9a-7b-11b-5a
33) 3u-7v+2v
34) 9w-5x+x
35) Y-8z+7z
36) a+9b-11b
37) 2c+3d-9d
38) 6e+f-3e+8f
39) 6v-28w-62v+55w
30
OPERACIONES CON POLINOMIOS.
Determine la suma de:
1. 3a-2b ; 4a+5b 20. 3a2-2a-6 ; 2a+4 ; 3a2-1 2. 6a-3b+2c ; 4a-2b-2c 21. 5y2-y-10 ; 8-3y2+4y 3. 10x2-6xy+2y2 ; -x2-5xy+7y2 22. 2mn-m2-n2 ; 3m2-5mn ; 2m2+3mn+n2 4. 2x-3y+5z ; -5x+6y-3z 23. 3x2-8xy+4y2 ; 2xy-4x2-7y2 ; 6y2+3xy+5x2 5. 3x2-2x ; -4x2+3x ; x2-x 24. x3-y3+3xy2-3xy2 ; 2x3+3xy2+y3 ; 2x2y-4xy2 6. 7x2-3x+5 ; -2x2+6x-4 ; -3x2+x+1 25. 3a+9b-6c ; -4b+3c-6d ; 7c-3a+4d 7. 6t2-5t-1 ; 2t2+5t+6 ; -3t2+4t-8 8. 9x-3y+5 ; -5x-9+4y 9. x3 + xy2 + y3 ; -5x2y+x3-y3 ; 2x3-4xy2-5y3 10. -8am2+6am2-m3 ; a3-5am2+m3 ; -4 a3+4 a2m-3am2 11. a2-3ab+b2 ; -5ab+a2-b2 ; 8ab-b2-2 a2 12. a3-8ax2+x3 ; 5 a2x-6ax2-x3 ; 3 a3-5 a2x-x3 13. 2a+3c-b ; 4a-2b+2c 14. 2a4+3a2+2 –5a3 ; 3a2+4a3-8a4-3 15. 5x3+7x2-3x+1 ; 3x3+5x-8+4x2 16. 3c2d+2cd+5d3 ; 9d3-7c2d-2cd 17. 2x3+7x2y2+10xy3 ; 9x2y2-3x3y 18. –4x2 + 5x3-2x + 3x4 ; -2x4 + x-3x2 + x3 19. 7ax+5by-cz-3dw ; -3cz+5dw-6by-3ax
De:
1. 5a-6b+7c restar 13a-4b+8c 16. 6a-3b+2c restar 4a-2b-2c 2. 4x3-6x2+8x-9 restar 7x3-16x+18 17. –x3-x2+7x-9 restar 7x3+6x-8x2+3 3. 3x3-3x2+4x-5 restar 7x3-5x+12-5x2 18. 10x2-6xy+2y2 restar –x2-5xy+7y2 4. 4x2+13x-14z restar -3x2-x-5z 19. 7a2-5+3a restar 2a2-5a+3 5. m2 +7n-8c + d restar m2-9n + 11c+14 20. 5xy2+3x3-4x2y+y3 restar -2x3+6xy2-7y3 6. 5 a3b+3 a2b2-2ab3-2b4 restar 4 a3b-2 a2b2+3 ab3-b4 7. 9x3+2x2y-3xy2+2y3 restar 6x3-3x2y+2xy2-y3 8. 13a+4b-5c+8 restar 6a+9b-8c-3 9. m2-7m3-m-3 restar 10m3+m+2-m2 10. -3z3 + 7z2-5z+9 restar 2z3-7z2 + 5z-7 11. 3 a2 + 4ab + 3b2-2 a restar 4 a2-2ab –b2+2b 12. 4m3n+2m2n2-mn3-n4 restar 2m3n+2mn3+m2n2+n4 13. 6a+5b+9c restar 5a+b-5c 14. b2-4b3+2b-1 restar b3-2b2+3b+4 15. 7x4-2x2+3x-7 restar x4-x3+10x-6
31
Multiplicar:
1. (x + 9)(x + 7) 16. (5a2+6a-3)(3a2-2a-1) 2. (6m – 3)(4m + 5) 17. (6m2-3mn-7n2)(m2-5mn+n2) 3. (x+11)(x-13) 18. (5x2-x-2)(2x2-9x-1) 4. (3a + 2b)(2a - b) 19. (7c2-9cd-d2)(2c2-cd-d2) 5. (x2+2x-3)(2x2-5x-6) 20. (6t2-5t-1)(2t2+5t+6) 6. (3x2-5x+8)(x2-3x-4) 21. (-2x2+6x-4)(-3x2+x+1) 7. (x2+2x+1)(x+1) 22. (5y2-y-10)(-2y2-5y+2) 8. (2m-3)(3m2+m-1) 23. (2m2+3mn+n2)(m2+2mn-n2) 9. (3c2+c-1)(4c2+2c+3) 24. (3x2-8xy+4y2)(6x2+3xy+5y2) 10. (8 a+3b)(a2-2ab+4b2) 25. (-2y2-5y+3)(3y2+y-4) 11. (5x2-3x+4)(-4x2+3x+2) 26. (2x2-3xy-y2)(2x2+5xy-3x2) 12. (2x2+3x-4)(5x2-7x-9) 27. (7x2-5xy+3y2)(3x2+4xy-2y2) 13. (4x2-6x3 + 8x)(-3x-5) 28. (2x-7)(-3x+5) 14. (3x3 + 2x2 + 6x+1)(2x2 + 5x-7) 29. (-2x2+6x-4)(4x2+2x-7) 15. (x3 + 2x2-x-1)(x2-x-4) 30. (-2t2+4t-8)(6t2+3t+6)
Dividir:
1. x2+7x-18 entre x-2 15. 6x3-3x2+7x-10 entre 2x-3 2. a2+4a-12 entre a+6 16. 4x3-5x2-11x+35 entre x-2 3. t2-16t+48 entre t-4 17. x3-5x2-17x+66 entre x-6 4. x2+5x+6 entre x+3 18. 15x3-30x-8-19x2 entre -5x+3x2-4 5. x2+8x+12 entre x+2 19. 5n3+8n2-23n-1 entre 5n2-7n-2 6. t2+72-17t entre t-9 20. 24x4-2x+4x3-1 entre 2x-1 7. c2+72-18c entre c-6 21. m4-2m2+1 entre m2-2m+1 8. x3-4x2-89x-84 entre x-12 22. 4y3-13y-6 entre 2y2-2-3y 9. 14x2-12+22x entre 7x-3 23. 9x4-6x3+13x2-16x+4 entre 3x-1 10. b4+4b3+10b2+12b+9 entre b2+2b+3 24. x4-16x2+8x-1 entre x2-4x+1 11. 10x3+31x2+2x+56 entre 5x2-2x+8 25. 4x3-4x2-5x+3 entre 2x2-x-3 12. 18x4-3x3-22x2+67x-40 entre 3x2-4x+5 13. a5-a4+10-27 a+7 a2 entre a2+5-a 14. 6x5+5x4-25x3+31x2-13x+2 entre 2x2-3x+2
PRODUCTOS NOTABLES.
Desarrollar las siguientes potencias. Binomios al cuadrado
1. (2x+1)2 7. (6-b)2 21. (c2-d2)2
2. (a+4b)2 8. (4+3x)2 22. (5x3-3y2)2 3. (a+3c)2 9. (5x-6y)2 23. (5 a –3b)2 4. (2a+5)2 10. (5b-2c3)2 24. (2 a 2 - 3b2)2 5. (2a+3b)2 11. (4rs+2)2 25. (3n2+2m)2 6. (3a+4b)2 12. (2x2+7y)2 26. (5 a4b-7ab3)2
7. (2x+7y)2 27. (6 - b3)2 27. (2x2 - 4y)2 8. (4a-3b)2 28. (7x+y2z2)2 28. (ab + cd)2 9. (2x2+7)2 29. (8y4+3z3)2 29. (2x2+5y3)2 10. (10y3-2)2 30. (7-9x3)2 30. (2y-5)2
32
Producto de Binomios conjugados
1. (a+8)(a-8) 26. (4+x)(4 -x) 2. (r+5)(r-5) 27. (6ab+8)(6ab-8) 3. (2+m)(2-m) 28. (3xy2+1)(3xy2-1) 4. (4-3t)(4+3t) 29. (8-3z3)(8+3z3) 5. (2m+5)(2m-5) 30. (2/3x+5)(2/3x-8) 6. (3b-7)(3b+7) 31. (3/5a+7)(3/5a-7) 7. (3x+4y)(3x-4y) 32. (4/7z3+12)(4/7z3-12) 8. (6r-s)(6r+s) 33. (5/9+xy)(5/9-xy) 9. (5y+8z)(5y-8z) 34. (3/2a+1/4)(3/2a-1/4) 10. (4x2+5y3)(4x2-5y3) 35. (6/5w5+13)(6/5w5-13) 11. (7c+3b)(7c-3b) 36. (0.2ab-5)(0.2ab+5) 12. (2x+4y)(2x-4y) 37. (0.3r2+9)(0.3r2-9) 13. (7 a3b+5 a2c)(7 a3b-5 a2c) 38. (2b+0.4xy)(2b-0.4xy) 14. (5 a+3b2)(5 a-3b2) 39. (0.5y2z3+15)(0.5y2z3-15) 15. (1-8x2y)(1+8x2y) 40. (0.7mn4+11)(.07mn4-11) 16. (xm+yn)(xm-yn) 17. (3a-5b)(3a+5b) 18. (2 x – 4 y2)(2 x + 4 y2) 19. (3x-5)(3x+5) 20. (7+y2)(7-y2) 21. (x2-16y2)(x2+16y2) 22. (3ab-2)(3ab+2) 23. (abc+d)(abc-d) 24. (2x-3b)(2x+3b) 25. (3y-4z2)(3y+4z2)
Binomios al cubo.
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más el triple producto del cuadrado del
primer término por el segundo más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo
más el cubo del segundo término
1. (3 a +2b)3 2. (5x-3y)3 3. (4-5y)3 4. (4a+5b)3 5. (4 a2 + 7b3)3 6. (2x+3)3 7. (2x-4)3 8. (5x-4y)3 9. (5x+2y)3 10. (2x2-3y3)3 11. (3b2+7)3
12. (5z-4w3)3 13. (6ab+2c)3 14. (4-7x2)3 15. (x3+6y2)3
33
Determine el valor y la grafica de los siguientes polinomios en el intervalo indicado
2
2
2
2
2
1. ( ) 2 ; -2 , 2
2. ( ) 3 1 ; -1 , 3
3. ( ) 5 2 ; -3 , 1
4. ( ) 2 3 ; -1 , 3
5. ( ) 6 12 ; 1 , 5
6. ( ) 8 10 ; -6 , -2
7. ( ) 2 8 4 ; 0 , 4
8. ( ) 4 6 ;
f x x
f x x
f x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
2
2
0 , 4
9. ( ) 3 6 1 ; 1 ,3
10. ( ) 2 8 ; -1 , 3
f x x x
f x x x
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO CON UN FACTOR COMÚN
1) 3x+3y 20) 3xy-9yz 39) 4x2y+12xy2-16xy
2) 8u+6v 21) 2u2-8u 40) 9a2-3a2b3-6ab2
3) 5p+10q 22) 3v2-6v 41) 5x4y-25x3y2+30x2y3
4) 18r+6s 23) 8w2-4w 42) 4ab2c2-6a2bc2-8a2b2c
5) 12t-4 24) 3t-2t2 43) 56n5-70n3+42n2
6) 14a+7 25) 12x3-8x2 44) 44ay2-55by2+66cy2
7) ax+ay 26) 25x3-15x2 45) 39a2x2+65b2x-91x3
8) px-py 27) 8u4+16u2 46) 34x3y-85xy-51x2y
9) xy+yz 28) 9v5+3v3 47) 48a2bc-72ab2c2+108a3bc
10) u2+uv 29) 5w6+10w4 48) 12a3bx2-30abx-24ab2x2
11) xz-z2 30) 25a2x-35abx 49) 36r2s2-24r2s
12) a2-4a 31) 12x2y-4xy2 50) a3+a2-a
13) a2+a 32) 20p2q3-10p3q2 51) b4-b3-b2
14) b2-b 33) 48ab3+36a3b 52) 6az3-3az2+9az
15) x+x2 34) 4x+6y+8z 53) 5b3+10b2-25b
16) x-x2 35) 9a-6b-3c 54) 24c4-16c3-8c2
17) ax+a 36) 12u+16v-20w 55) pu2+pv2-pw2
18) by-b 37) 4x-8y+16z
19) 4ax+2bx 38) ax-ay+az
34
FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE cuadrados
1) x2-y2 Factorizar completamente los siguientes polinomios
2) b2-9 1) 2x2-18
3) c2-1 2) 3u2-12
4) 1-d2 3) c3-c
5) a2-4b2 4) a2b-b3
6) 9u2-v2 5) 5y2-80
7) 64a2-1 6) 2z2-50
8) 1-16b2 7) 7a2-63b2
9) 16a2-25b2 8) 5c2-45d2
10) 81r2-64s2 9) x2y-y3
11) 225u2-169v2 10) a2b-4b3
12) r4-s2 11) u3-4u
13) 4-9x2y2 12) 9v3-v
14) 16u2v2-25w2x2 13) x4-1
15) 36a2b2-49c2d2 14) y4-9
16) w2-36 15) x4-y4
17) y2-121 16) 9x4-y4
18) z2-196 17) 256-b4
19) 4-p2 18) z4-16
20) 16-q2 19) 81c4-1
21) 25-r2 20) 1-625u4
22) 64-s2
23) 225-t2
24) 625-u2
25) 4z2-1
26) 1-9a2
27) 1-36b2
28) 81c2-1
29) 16x2-9
30) 25-49b2
31) 4x2-a2
32) a2-9b2
33) 25x2-16y2
34) 49u2-4v2
35) 100a2-121
36) 4a2b2-c2
37) a4-4
38) 16u4-4v2
39) 25x2y4-169
40) 196-x4
35
Factorización de un trinomio de la forma x2+bx+c
2) t2+2t-80
3) b2-4b-5
4) n2-11n+24
5) x2-13x+40
6) y2+7y-44
7) x2+x-420
8) m2+2m-360
9) x2+6x-16
10) x2+16x+39
11) x2-8x-65
12) x2-20x+36
13) x2-40x+144
14) x2-12x+27
15) x2-17x+72
16) x2-16x+55
17) x2-2x-483
18) x2+41x+414
19) x2-4x-221
20) x2+39x+368
21) x2-24x+95
22) x2+23x-248
23) x2+3x-238
24) x2-8x-209
25) x2+11x-432
26) x2+20x+64
27) x2+35x+96
28) x2-23x+126
29) t2-14t-72
30) x2+3x+2
31) x2-7x-8
32) n2+23nr-420r2
33) x2+xy-72y2
34) a2+5ab-36b2
35) m2-5mx-14x2
36) m2+3ms-4s2
36
Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c
1) 6x2+7x-3
2) 7y2-17y+6
3) 18b2+25b-3
4) 2n2+n-6
5) 3n2-10n-8
6) 6y2+17ay+12a2
7) 8x2+14xy-15y2
8) 12y2-7y+1
9) 6x2+10xy-4y2
10) 8y2-5ay-3a2
11) 4b2+16b+7
12) 18y2-21y-9
13) 12y2+2y-14
Factorización de una diferencia y suma de cubos
a3 - b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
Factorizar:
1. x3 +8 24. w3 – 729 2. x3 – 64 25. 216x6 + 1000 3. 8x3 + 1 26. 8 – 1331b6 4. 125y3 + 27b3 27. 27w9 + 125 5. 27a3 – 8 28. a3b3 – 64 6. 64w3 – 125 29. 64x3 + y6 7. x3 – 27 30. 343m3 – 512n6 8. 1 – y3 9. n3 + 125 10. 8a3 – 216b3 11. 64y3 – 1 12. 8b6 – 216 13. 8x3 – 27y3 14. 1 – 64a3 15. 216a3 – 27b3 16. 27a3 + 512 17. 8y3 – x6 18. 27x3 – 64y6 19. 1+ 343a6 20. 125w3 + 729 21. 64 – y6 22. 27 + 216m3 23. 64a9 + 1
37
APLICANDO EL TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON, DESARROLLE LAS SIGUIENTES POTENCIAS
1. (2x-3y)5 6. (2m3-x2)8 2. (x+2y)6 7. (2 - y3)6 3. (x2+3y3)4 8. (5a-3b2)7 4. (2r+s2)4 9. (2c-3d)4 5. (3x2-4y)6 10. (4x2-5y3)6
FACTORIALES. Calcular los siguientes factoriales
1)6!
2)7!5!
3)3!4!5!2!
20!4)
11!4!3!2!
12!5)
7!3!2!
9!6)
3!2!4!
12!7)
3!2!2!2!
12!6!8)
10!
12!9)
3!9!
7!10)
3!4!
15! 21!11)
8!3!2! 17!3!
8! 6!12) *
2!(8 2)! 4!(6 4)!
18! 12!13)
7!5!2! 5!2!2!
23! 8!14)
(23 8)! 2!(8 2)!
15!15)5(
8!3!2
)!
9! 12!16) *
3!(9 3)! 4!(12 4)!
38
DETERMINAR EL r-ésimo TÉRMINO DE DESARROLLO BINOMIAL
1. 4° término de (m+n)8 6. 7° término de (3-z)10 2. 5° término de (2x+3y)10 7. 8° término de (2-y)9 3. 9° término de (m2-n3)12 8. 9° término de (x2-y)11 4. 6° término de (m+2x)11 9. 6° término de (x2-2y)7 5. 3° término de (x2-2y)7 10. 4° término de (2 a2-b3)8
I. UTILIZAR LA DIVISION SINTETICA PARA DIVIDIR:
1. x3+5x2-5x-6 entre x-1 2. 3x3+3x2+4x+2 entre x+2 3. x5+x3+x-1 entre x+2 4. 2x3-8x2+6x-3 entre x-3 5. 2x4+7x3+x+11 entre x+3 6. 3x3+10x2+5x+2 entre x+2 7. 5y4+5y3-y2+2 entre y+1 8. 2a4+2a3+a+2 entre a+2 9. x5+5x4+3x3+2x2+8x+8 entre x+3 10. 5x3-4x2+8x-6 entre x-3
II. USAR LA DIVISION SINTETICA Y EL TEOREMA DEL RESIDUO PARA CALCULAR EL
VALOR DE f(x) QUE SE INDICA 1. f(x)=x3-x2+3x-2 encuentre f(2), f(-3), f(1)
2. f(x)=x4-3x2+x+2 encuentre f(3), f(-2), f(4)
3. f(x)=x5-x3+2x2-3 encuentre f(1), f(-5), f(3)
4. f(x)=2x3+3x2-x-5 encuentre f(-1), f(-2), f(-3) 5. f(x)=x4+2x3-3x-1 encuentre f(-2), f(3), f(-4)
6. f(a)=a4-3a3+a2-4 encuentre f(2), f(-3), f(1)
7. f(x)=-3x4+4x2+2 encuentre f(-1), f(-2), f(-3)
III. USE EL TEOREMA DEL FACTOR PARA DEMOSTRAR QUE EL BINOMIO x-r ES UN FACTOR DEL POLINOMIO QUE SE INDICA EN CADA CASO Y FACTORIZE
COMPLETAMENTE .
1. x3+6x2+11x+6 ; x+1
2. x3-4x2-11x+30 ; x-5
3. x3+3x2-6x-8 ; x+4
4. x3-7x-6 ; x+2
5. 5x3+4x2-31x+6 ; x+3
6. x3+2x2-4x+1 ; x-1 7. y4+16y3+8y2+176y+105 ; y-5 8. y4+5y3-13y2-53y+60 ; y+5 9. Al dividir 2t3+3t2-kt+10 por t-2 el residuo es cero. Determinar k 10. Al dividir x3+3x2-kx-4 por x-1 el residuo es cero. Determinar k 11. Al dividir 2y4-3y2+2y+m por y+1 el residuo es cero. Determinar m
39
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6 238.
8 2 3
2 10 1239.
6
6 7 1040.
6 23 15
3 16 541.
9 20
6 23 442.
2 5 12
2 7 1543.
3 13 10
5 7 2444.
2 3 9
6 145.
6 5 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7 81.
1
162.
14 40
93.
6 9
814.
10 9
13 125.
144
96.
5 24
8 157.
9
7 68.
1
11 309.
25
2010.
25
5 1411.
10 21
3 1012.
2 35
1213.
x x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x y
x xy y
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
27
7 18
14 4814.
9 18
12 3615.
4 12
14 4516.
13 36
3 1817.
8 15
7 1818.
3 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3 1019.
5 6
7 1820.
3 2
2 321.
3 18
2 122.
5 4
2023.
30
8 1224.
4 12
7 1225.
5 6
8 2026.
11 10
627.
2 3
3 1028.
4
4 2129.
5 14
30.
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6 5
2
2 5 231.
2 7 3
6 232.
3 4 4
2 2 2433.
4 20 16
2 7 334.
2 3
7 1835.
5 15 10
2 6 3636.
2 16 30
6 7 537.
2 5 2
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
40
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
4 3 3 101.
6 6 5
12 3 102.
6 9 20
6 27 10 243.
9 18 7 18
6 8 5 64.
9 14 7 12
2 2 85.
3 10 7 12
2 24 4 56.
30 12
7.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
a a a a
a a a a
x x x x
x x x x
a a a a
a a a a
x x x x
x x x x
x
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 18 7 10
2 8 15
11 28 11 308.
8 12 12 35
42 6 169.
8 12 12 35
16 48 14 3310.
15 44 7 60
6 3 411.
2 3 7 10
3 2 3 1012.
6 5
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
5 6 5 413.
7 12 2
4 3 3 214.
3 4 6
6 5 1215.
5 4 8 15
6 7 5 616.
8 12 9 14
3 18 9 1417.
8 7 5 6
5 6 4 518.
2 15 5
x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
2 2
2 2
14
72 4219.
15 54 13 40
x x x x
x x x x
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
6 5 5 1420.
2 12 35
2 12 621.
6 9 3 2 6 8
20 9 1822.
7 12 7 10
6 16 8 1523.
4 21 9 14
14 15 6 2724.
4 45 12 45
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x xy y x xy y
x xy y x xy y
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 2 3 225.
4 1
4 8 5 3 20 726.
3 4 1 2 3 5
2 5 12 227.
2 5 3 5 4
3 8 35 8 1528.
2 7 15 6 5 21
2 15 10 2529.
2 13 15 2 5 25
2 2830.
3
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x xy y x xy y
x xy y x xy y
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 11 6
2 4 16 7
5 32 21 14 4931.
10 21 2 19 35
10 29 10 12 28 1532.
6 29 20 10 19 6
2 3 2 3 19 633.
3 7 2 2 11 6
6 17 5 3 11 634.
3 8 3 2 13 20
5 1435.
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
2
2 2
24 6 7 5
3 17 20 5 29 42
x x x
x x x x
41
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 10 9 141.
2 35 4 21
6 9 2 32.
2 15 4 5
2 3 23.
4 5 2
42 2 84.
5 84 10 24
5 6 2 155.
9 14 2 35
6 7 8 76.
3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x xy y x xy y
x xy y x xy y
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
6 8
8 7 427.
4 12 36
7 12 3 48.
4 3 1
3 2 2 19.
2 1
3 10 4 2110.
2 35 9 14
20 7 1011.
7 12 9 18
8 15 4 2112.
9 14 6 16
x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3 40 12 3213.
5 4 13 12
2 1 5 414.
4 3 5 6
3 2 215.
4 3 2 3
7 12 2 5 316.
2 4 3
8 15 2017.
2 7 3 4 1
8 7 2 5 318.
4 12 2 6
1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
2 2
2 2
4 25 2 14 459.
11 18 81
x x x
x x x
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 8 35 6 5 2120.
2 7 15 8 15
3 2 3 5 221
2 2 5 2
2 28 4 16 722.
3 2 3 11 6
2 3 2 2 11 623.
3 7 2 3 19 6
6 12 6 11 424.
2 15 27 2 17 9
10 29 1025.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
10 19 6
6 29 20 12 28 15
2 11 5 2 3 226.
3 2 3 7 6
12 17 5 8 2 127.
9 30 25 9 18 5
6 13 5 2 9 528.
3 14 15 4 13 3
4 13 12 4 5 629.
3 13 4 6 17 5
6 5 630.
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
2
2 2
2 15 18
3 2 3 4 7
x x
x x x x
42
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
5 31.
6 4
7 22.
8 3
11 5 73.
12 3 4
7 34.
2 6 8
3 2 55.
2 9 6
2 36.
3 6 4
2 1 47.
2 3 4
3 2 18.
3 6 8
2 5 7 5 29.
3 4 6
3 5 5 3 610.
4 6 8
4 1 6 1 4 311.
3 9 6
6 4 5 4 312.
3 2 5
3 2 5 2 413.
4 9 3
314.
a a a
b b b
x x x
x x x
y y y
x x x
a a a
x x x
x y x y x y
m n m n m n
5 4 3 5 2
8 6 3
4 2 1 3 515.
3 5 2
2 3 4 2 116.
6 4 8
4 3 2 317.
6 2 4
2 6 3 5 118.
3 4 6
2 219.
3 6 4
2 2 1 220.
3 4 5
x x x
y y y
x x x
x x x
x x x
x y x y x y
x x x
3 2
3 2
2 3 4
3 4 2
2 3
2 3
1 2 321.
3 4
2 7 522.
3 4 6
2 3 123.
3 2
3 5 624.
4 2
2 5 425.
3 5
2 3 3 226.
4 6
2 1 3 2 127.
2 3 6
3 2 128.
2 3 429.
5 8 730.
2 3 4
3 2 331.
10 5 15
3 2 5 6 132.
5 10 15
133.
x x x
y y y
x x x
a a a
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
y y y
x x x
x x x
x x x
x x x
a
a
2 3
2 2
2 2
2 3
1 2 534.
2 3 6
1 2 335.
2 3 436.
37.
3 4 5 938.
2 3 5 439.
3 2 540.
5 10 15
a a
a a
x xy y
a ab b
xy yz xz
x y y z z x
xy yz xz
a b a c
ab ac a
x y x z
xy xz x
b a
a b ab
43
2
2
2
2
2
2
4 341.
2 3 3 1
3 542.
2 3 3 2
6 543.
5 2 4 1
7 444.
3 1 2 5
5 345.
3 7
2 3 346.
2 3 2
4 547.
2 3
2 348.
5 6
2 1 349.
2 3 3 2
4 5 250.
2 3 1
3 1 351.
4 5 5
2 5 652.
12
x x
y y
x x
x x
x x
y y
y y
x x
x x
a a
a a
a a
a a
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
5
4
2 353.
6 12
7 254.
3 10 2 8
5 755.
4 21 3 18
8 556.
2 24 20
1 557.
6 7 12
4 258.
4 5 8 15
x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x
44
2
2
2
2
2
2
2 3
3 41.3 1
4 2
31
52.1
25
91
163.4
35
5 7
9 364.3 5
18 12
3 1
4 35.5 3
12 4
5 4
6 96.4 3
3 2
8 7
5 47.3 2
10 5
1 2
2 58.2 7
3 10
2 151
9.4 5
1
2 151
10.2 3
1
1 121
11.6 8
1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
2
12 321
12.2 24
1
7 121
13.1 6
1
65
14.6
1
4013
15.10
3
32
16.6
1
21
17.
2
11
118.1
11
219.
12
20.
1
21
21.
1
x x
x x
x x
x x
xx
xx
xx
xx
yy
yy
b
a ba b
a b
a
aa
a
yx
x y
y
x y
a
a bb
a b
a
a ba
a b
22.1 1
23.
2 324.
2 3
3 2
1 125.1 5
1 1
1 2
2 1 3 126.1 1
2 1 3 1
1 5
127.3 2
1
1 1
3 328.4 2
3 3
1 1
1 129.1 1
1 1
1 1
1 130.
a b a b
a b a b
a b a b
x y x y
x y x y
x y
x y x y
y y
y y
y y
y y
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
a a
a aa a
a a
x x
x x
1 1
1 1
31.
1 1
2 232.1 1
2 2
x x
x x
x y x y
y x
x y x y
x x
x x
45
Simplificar los siguientes radicales
3
3
1) 24 11) 80 21) 54
2) 72 12) 48 22) 135
3) 260 13) 60 23) 3
3
3
3
192
4) 68 14) 50 24) 128
5) 27 15) 40 25) 240
6) 45 16) 98 26) 250
3
4
3 4
7) 18 17) 1100 27) 108
8) 75 18) 200 28) 32
9) 700 19) 40 29) 243
10 3 4) 150 20) 48 30) 80
Simplificar los siguientes radicales
5 8
13
9 9
5 7
11) 56 21) 80 31) 96
12) 200 22) 96 32) 363
13) 75 23) 216 33) 180
14) 48 24) 112
a
z
a x
x y
11 3
3 5 3
13
3 8
34) 99
15) 125 25) 135 35) 68
16) 500 26) 56 36) 243
17) 45 27) 180 37) 245
18) 24 28
m
a b
w
a
3 6 3
35 8 54
) 288 38) 320
19) 128 29) 16 39) 176
20) 32 30) 81 40) 325
x
c a b
3
3
3
5
3
1) 28
2) 50
3) 90
4) 24
5) 250
6) 40
7) 20
8) 54
9) 192
10) 196
x
46
OPERACIONES CON RADICALES
3 3 3
33 3
3 3 3
3 3 3
31. 3 3 12 27
32. 2 8 18
33. 20 45 80
34. 12 48 108
35. 2 16 54
36. 3 24 81
37. 5 40 320
38. 4 32 108
39. 2 128 18
40.4 50 3 12 5 45
1. 18 8
2. 12 75
3. 32 50
4. 27 2 3
5. 20 45
6. 54 24
7. 45 80
8.7 6 24
9.3 11 44
10. 75 108
11.3 250 5 160
12.7 20 6 45
13. 28 2 7 63
14. 75 27 12
15. 32 50 18
16. 24 54 5 6
17.3 5 20 45
18. 12 48 75
19.4 300 192 243
20.2 75 28 12
21.2 3 5 27 48
2
3 3 3
3 3 3 3 3
2.3 40 135 625
23.5 7 3 28 6 63
24.3 11 5 44 3 99
25.9 24 2 54 3 20
26.2 8 5 32 2 48
27.5 72 3 48 4 128
28. 24 12 3 3
29. 16 64 2662 128 250
30.3 8 2 32 7 50 6 162 9 98 7 242
47
MULTIPLICACIÓN
1. 3( 6 12)
2. 2( 6 20)
3. 6( 10 8)
4.3 6(4 2 5 3)
5.4 2(5 2 6 6 2 10)
6.2 3(2 15 3 12 4 21)
7.3 6(4 2 5 3 3 6)
8.4 2(5 2 6 6 2 10)
9.(2 5)(3 5)
10.(6 3)(5 3)
11.(4 7)(9 7)
12.(4 3 2)( 3 2)
13.(5 3)(2 3)
14.(3 7 2 3)(2 7 5 3)
15.(5 5 3)(2 5 9 3)
16.
2
2
(3 5 4 2)(2 5 3 2)
17.(2 2 3 3)
18.(5 3 7)(5 3 7)
19.(3 2 2)(3 2 2)
20.(9 2 5)(9 2 5)
21.(4 2 5 3)
22.( 6 2 8)(3 6 5 8)
23.(2 5 3 2)(3 5 5 2)
24.(3 5 2 3)(7 5 6 3)
25.(4 5 7 3)(3 5 2 3)
26.(5 2 3 6)(3 2 7 6)
27.(2 7 5 11)(3 7 4 11)
28.(2 2 7)(3 2 2 7)
48
121.
7 3
422.
6 2
723.
5 2
324.
2 5 6
125.
5 2
326.
2 3 1
527.
2 7
228.
3 1
529.
5 6
330.
3 2
3 231.
2 2
2 332.
5 2 3
5 133.
5 7
3 234.
3 2
4 335.
4 3
5 636.
6 6
2 3 537.
3 2 5
3 5 738.
5 2 7
2 7 539.
7 2 5
3 540.
5 3
2 6 1141.
6 3 11
11 342.
4 11 2
3 2 543.
2 2 5
2 544.
3 5
2 5 745.
7 5
2 3 746.
3 2 7
5 347.
6 4 3
4 5 548.
8 2 5
3 4 1149.
7 2 11
6 7 350.
5 3 3
1 251.
4 3 2
7 3 552.
4 2 5
9 6 253.
5 3 2
3 7 1354.
5 13
6 2 755.
4 2 7
31.
7
112.
6
73.
2
54.
3
25.
5
76.
2
57.
90
98.
18
169.
32
2510.
50
3011.
40
612.
24
1513.
45
614.
128
715.
63
10 316.
5
4 317.
2
418.
3 3
119.
3 5
320.
2 2
49
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Efectué las operaciones indicadas, expresando su respuesta en la forma estándar de los números
complejos: a + bi
1. (2+5i) + (4-i) 2. (2+5i) - (4-i) 3. (4+6i) + (1-5i) 4. (7+9i) - (-6+4i) 5. (3+2i) + (-1+5i) 6. (-1-i) - (8-3i) 7. (2+5i) - (3-4i) 8. (5-2i) + (-3+6i) 9. (-5+7i) + (4+9i) 10. (7-6i) - (-11-3i) 11. (-3+8i) - (2+3i) 12. (2+3i) + (-4+5i) - (4+6i) 13. (3-4i) + (-5-6i) + (4-3i) 14. (8-2i) + (9+2i) 15. (3+2i) - (6-8i) 16. (3+2i)+(64i)-(-1+3i) 17. (3+6i)-(7-5i)-(1-3i) 18. (10+2i)+(-2+5i)+(3-4i) 19. (5+6i)+(6-2i)-(4-7i) 20. (-4-i)-(-7-4i)-(3-2i) 21. (2+5i) * (4-i) 22. (2-5i) * (4+i) 23. (3+6i) * (2-i) 24. (-9-6i)*(2+i) 25. (6+3i)*(2+4i) 26. (6+5i)*(3-2i) 27. (-3+2i)*(2-4i) 28. (3-5i)*(6+7i) 29. (2+3i)*(4-7i) 30. (5-2i)*(4-6i) 31. (9+8i)*(-4-11i) 32. (-10-7i)*(-5-2i) 33. (14-8i)*(2+10i) 34. (8+3i)*(9+5i) 35. (7+3i)*(-8+5i) 36. (5 + 3i)*(4 - 2i) 37. (6 - 8i)*(2 + 7i) 38. (3 - 5i)*(4 - 3i) 39. (-7 - 6i)*(4 + 8i) 40. (-9+5i)*(7-i)
50
2 541.
4
7 542.
5 4
2 343.
1
2 544.
4
3 545.
2 3
746.
3 5
1 747.
6 2
248.
3
5 249.
4
5 450.
2 7
6 551.
3 2
3 252.
2
9 853.
1
7 254.
3 4
3 755.
6 4
5 356.
4 6
4 757.
6 2
6 358.
2 4
5 359.
4
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
6
8 760.
2 3
i
i
i
51
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1)3 5 8
2)2 5 7 12
3)3 6 5 8 6 15
4)9 4 7 3 10
5)17 5 9 12 2
6)3( 4) 2( 4) 6
7)8( 1) 3( 4) 7(2 3) 4( 2)
8)3(5 8) 2(4 9) 36
9)5(3 5) 48 6(3 1)
10)2( 5) (7 3 ) 3 3
11)3(2 7) 4(2 ) 3
1
x x
x x
x x x
a a a
b b b
x x
x x x x
x x
x x
x x x
x x
2)9 8(13 6) 11(2 9 )
13)11(2 1) 8(3 5 ) 25
14)6 4(3 10) 7(3 1)
15)4(6 17) 20 19(7 )
16) 13 3(3 5) 2(4 )
17) 3( 4) 2
18)3( 2) 2( 6)
19)2( 3) 8 5 3(2 4)
20)7 4(2 5) 6 5( 3)
21)17 ( 2) 5( 3)
22)
x x
x x
x x
x x
x x x
y y
x x
z z
a a
b b
2
2
2
2
3 ( 6) 9 4( 3) 2
23)(2 1)( 7) 2( 3) 25
24)(2 1)( 3) ( 4)(2 2)
25)( 1)(3 4) ( 7)(4 5)
26)( 3)( 5) ( 2)( 4)
27)( 3) ( 2) 5
28)(2 3) ( 1)(4 3)
29)( 5) ( 2)( 4)
30)(4 1)( 7) (2 5)
x x x
x x x
x x x x
x x x x
a a a a
x x
x x x
b b b
x x x
2
52
3 2 731)
2 3 6
6 4 232)
7 5 3
3 2 133) 5
4 5
3 2 1 3 734)
5 2 10
2 5 4 1 2 335)
4 3 2
6 5 1536) 12
3 2
2 3 3 1 1337)
5 4 10
5 9 2 10 6 138)
6 5 15
7 3 2 12 439)
8 5 10
5 3 7 1 8 940)
6 2 4
1 4 5 9 141)
8 3
x x
x x
x x
x x x
x x x
x xx
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
0
12
8 1 1 5 342)
3 2 8
11 7 6 243)
8 2 5
4( 5) 7 3(2 1)44)
3 4 6
3( 1) 5 7 7( 2)45)
10 3 6
3 5 2(2 1)46)
2 6 9
2(5 3 ) 8( 1) 4(7 )47)
6 9 15
3(11 3 ) 5( 7) 4(6 2 )48)
5 2 3
4( 5) 3( 1)49) 5
3 2
3( 2) 6(50)
5
b b b
y y y
x x x
a a a
x x x
x x x
x x x
x x
a
4) 2( 7)
3 9
a a
53
Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado
1. Un número es 4 veces más grande que otro. Su suma es 60. ¿Cuáles son los números? 2. Encontrar tres números consecutivos cuya suma sea 72 3. El largo de un rectángulo es dos veces su ancho. Si su perímetro es de 72 pulg. ¿Cuál es el largo y ancho
del rectángulo? 4. Un ángulo de un triángulo mide el doble del más pequeño. Otro es tres veces más grande que el más
pequeño. ¿Cuánto mide cada ángulo? 5. La suma de tres números es 47. El segundo es 5 unidades más grande que el más pequeño. El tercero
es 5 veces más grande que el más pequeño. ¿Cuáles son los tres números? 6. En un gallinero hay 5 pavos más que gallinas y 3 patos más que pavos. Si en total hay 49 aves, ¿Cuántas
gallinas, pavos y patos hay? 7. La suma de tres números pares consecutivos es 102. Hallar los tres números 8. La edad de Pedro es el doble de la María. Si en cinco años más la suma de sus edades será 43 años,
¿qué edad tienen actualmente? 9. Una persona puede pintar una pared en 5hrs, otra lo hace en 6hrs y una tercera persona tarda 12hrs
en pintar la misma pared. ¿Cuánto tardarían si la pintan entre los tres? 10. Un león se come un borrego en un día, un leopardo se lo come en dos y un lobo en tres días. ¿Cuánto
tiempo les llevará comerse un borrego estando los tres juntos? 11. Un padre tiene 20 años más que su hijo, dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad de su
hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente? 12. Dos sumas de dinero que totalizan $30,000 ganan, respectivamente, 6% y 9% de interés anual.
Encuentre ambas cantidades si, en conjunto, producen una ganancia de $2340 13. Diana tiene $10,000 invertidos al 6% ¿Cuánto debe invertir al 7.5% para que el interés de ambas
inversiones le den un ingreso de $2400? 14. Dos sumas de dinero que totalizan $45,000 ganan, respectivamente, 6.8% y 8.4% de interés anual.
Hallar ambas cantidades si juntas dan una ganancia de $3524 15. Jorge tiene $9,000 invertidos al 7%. ¿Cuánto debe invertir al 9.2% para que el interés de ambas
inversiones le den una ganancia de $4862? 16. Un hombre mezcló 800gramos de una solución de yodo al 6% con 700gramos de una solución de yodo
al 9%. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la mezcla? 17. ¿Cuántos litros de una solución de sal deben agregarse a 10 litros de igual solución al 16% para
producir una al 20%? 18. ¿Cuántos litros de una solución ácida al 80% deben añadirse a 15 litros de igual solución al 6% para
hacer una al 20%? 19. Margarita mezcló 30 litros de una solución desinfectante al 46% con 55 litros de otra. ¿Cuál es el
porcentaje de desinfectante en la segunda si la mezcla contiene 24% de desinfectante? 20. Guillermo tiene $3.40 en monedas de 5cts y 10 cts. Si en total dispone de 47 monedas. ¿Cuántas de
cada clase posee? 21. Roberto tiene $4.00 en monedas de 5cts y 25cts. Si posee en total 32 monedas, ¿cuántas tiene de cada
clase?
54
Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas
7 3 917.
2 10
4 2018.
3 6 15
3 2 819.
5 3 26
120.
2 3 13
8 3 321.
2 5 5
5 2 1722.
5 8
13 23 323.
23 13 33
2 024.
3 4 11
3 2 1725.
2 5
226.
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
3 9
2 7
6 3 927.
4 2 14
2 10 728.
8 2 9
2 5 1329.
3 4 15
5 3 1330.
7 8 22
4 6 031.
4 11
3 5 2632.
5 4 26
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
81.
2 3 9
7 6 42.
9 8 6
7 9 93.
5 6 23
4 5 24.
7 2 1
3 2 05.
4 5
4 3 106.
7 8 9
57.
3
2 48.
2 0
2 59.
3 3
2 810.
5
111.
3 3
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
3 2 112.
2 3
5 3 1913.
2 3 5
17 19 1514.
19 17 21
4 2 715.
4 2 13
4 916.
2 0
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
55
Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas
2
. 2 5
3 4 11
3 2 6 1
. 3 4 8
6 5 2
2 3 4 3
. 4 2 5
3 2 2
8 4 5 6
. 3 9 8
3 4 7 7
3 7 8 6
. 2 9 7
3 5 6 4
3
.
x y z
I x y z
x y z
x y z
II x y z
x y z
x y z
III x y z
x y z
x y z
IV x y z
x y z
x y z
V x y z
x y z
x
VI
4 2 25
2 3 4 13
4 2 3 5
3 5 3 8
. 2 2 15
4 2 5 2
2 3 30
. 2 5 6
3 4 24
3 2 5
. 5 2 3
0
3 2 7
. 3 5 4
2 6 1
y z
x y z
x y z
x y z
VII x y z
x y z
x y z
VIII x y z
x y z
x y z
IX x y z
x y z
x y z
X x y z
x y z
3 2 2 1
. 2 10 5
4 8 1
2 5 1
. 3 4 10
4 7 2 5
2
. 2 4 5
3 3 1
2 5 3 1
. 3 4 5
3 2 7 2
7 3 5
. 5 3 7
7 5 3
3 1
.
x y z
XI x y z
x y z
x y z
XII x y z
x y z
x y z
XIII x y z
x y z
x y z
XIV x y z
x y z
x y z
XV x y z
x y z
x y z
XVI
5 2 6
1
2 3 5 1
. 3 2 4 3
5 6 3 14
5 6 7 5
. 7 3 2 11
2
4 5 3 5
. 2 4 5 17
3 2 6 11
6 4 2 2
. 3 2 5 5
2 4 1
x y z
x y z
x y z
XVII x y z
x y z
x y z
XVIII x y z
x y z
x y z
XIX x y z
x y z
x y z
XX x y z
x y z
56
Aplicaciones de los Sistemas lineales de ecuaciones
1. Un hombre pagó $300 por 4 almuerzos y 5 comidas en un restaurante. Otra vez pagó $330 por 2 almuerzos y 7 comidas ¿Cuál es el costo del almuerzo y la comida en ese restaurante?
2. Encuentre dos números cuya diferencia es 1 y cuya suma es 5/2 3. La suma de dos números es 133. Si al menor de ellos le sumas 95, obtienes el mayor.
Encuentre los números 4. En un corral hay gallinas y borregos. Los animales tienen 60 cabezas y 150 patas. ¿Cuántas
gallinas y cuántos borregos hay en el corral? 5. Dos hermanos trabajan en una misma empresa. La suma de sus salarios es de $177. El
salario de uno de ellos menos $61 es la tercera parte del salario del otro. ¿Cuál es el salario diario de cada uno?
6. La diferencia de dos números es 58. El primero menos 24 es igual al segundo más 24. ¿Cuáles son los números?
7. Un vendedor pone dos tipos de radio en venta especial. Uno de ellos lo vende en $18.00 y el otro en $31.00. Si vendió 19 radios por $446.00 ¿Cuántos de cada clase vendió?
8. La asistencia a un juego de fútbol profesional fue de 45000 personas y el dinero recaudado en la entrada fue $495000.00. Si cada persona compró un boleto de $10.00 o un boleto de $15.00, ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
9. Si la suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90º y su diferencia es 14º, encuentre ambos ángulos
10. El perímetro de un rectángulo es 60cm. Su longitud es el doble del ancho más tres. Calcule sus dimensiones.
11. Una colección de 34 monedas consiste en monedas de 10 y 25 centavos de dólar. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay en la colección si el valor total es $5.50 dólares?
12. 5 kilos de azúcar, 3 de café y 4 de frijoles cuestan $118.00; 4 de azúcar, 5 de café y 3 frijoles cuestan $145.00; 2 de azúcar, 1 de café y 2 de frijoles cuestan $46.00. Hallar el precio por kilo de cada mercancía.
13. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. La suma del mayor y el mediano es 135º, y la suma del mediano y el menor es de 110º. Determina los ángulos.
14. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. El mayor excede al menor en 35º y el menor excede en 20º a la diferencia entre el mayor y el mediano. Determina los ángulos.
15. La suma de tres enteros es 18. El tercer entero es cuádruple del segundo y el segundo entero es igual a seis veces el primero. Determina cuáles son esos números.
16. Un hombre tiene 110 animales entre vacas, caballos y borregos, 1/8 del número de vacas más 1/9 del número de caballos más 1/5 del número de borregos equivale a 15, y la suma del número de borregos con el de vacas es 65. ¿Cuántos animales de cada clase tiene?
17. La suma de tres números es cuatro. El primero, más dos veces el segundo, más el tercero, es 1. Tres veces el primero, más el segundo, menos el tercero, es -2. ¿Cuáles son estos números?
57
Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo grado
Determine las raíces o soluciones de las siguientes ecuaciones por el método de factorización
1. x2-4x-5=0 2. x2-x=72 3. 5x=24-x2 4. y2-18y+72=0 5. 15x2+8x-12=0 6. 5x2-13x-6=0 7. 16x2-9=0 8. 2y2-90=8 9. 12x2+21x-4=0 10. 3y2=5y+12 11. 4y2-24y=28 12. 12x2=8x+15 13. 12x-9=4x2
Determine las raíces o soluciones de las siguientes ecuaciones Completando el Cuadrado
1. x2+2x-224=0 2. y2+6y+5=0 3. 9x2-72x-81=0 4. y2-8y+7=0 5. 3x2+12x=7 6. x2-4x-45=0 7. z2+6z-836=0 8. x2-12x-1=0 9. z2+2z-143=0 10. x2+6x-91=0 11. 4x2+4x-3=0 12. 2x2-18=-9x 13. 4x2-16x+7=0
Determine las raíces o soluciones de las siguientes ecuaciones por Fórmula general
1. 2x2-5x+2=0 9. 7x2=12x-5 2. 2x2-35x+75=0 10. 2x2-7x=-6 3. x+21=10x2 11. 15 - 7x - 4x2 = 0 4. 4x=15-3x2 12. 25x2 + 4 = 20x 5. 7x2-5x=1 13. 4x2-86x+120=0 6. 4x2-8x+29=0 7. 3x2+2x-8=0 8. 3y2-2y+2=0
58
Aplicación de las ecuaciones cuadráticas
1. El cuadrado de un número menos el número es 20, ¿Cuál es dicho número? 2. ¿Qué base debe tener el sistema de numeración para que la representación del número 95 en
dicho sistema sea 137? 3. La suma de dos números es 42 y la suma de sus cuadrados es 1332. ¿Cuáles son dichos
números? 4. La diferencia de dos números naturales es 9 y la suma de sus cuadrados es 305. Obtenga los
números. 5. La base de un rectángulo mide 4 pies más que su altura el área es de 192 pies cuadrados.
Encuentra las dimensiones del rectángulo. 6. El producto de dos enteros pares consecutivos es 288. Determina cuáles son esos enteros. 7. La altura de un triángulo es 4 metros mayor que l doble de su base. Calcula la altura del
triángulo, cuya área es de 15m cuadrados. 8. El área de un rectángulo es 15 centímetros cuadrados y el perímetro es de 16 centímetros.
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 9. La longitud de un rectángulo son tres centímetros mayor que su ancho. El área es 70
centímetros. 10. Se va usar una lamina cuadrada de hojalata para formar una caja sin tapa cortando cuadrados
de 2 pulgadas de lado en cada esquina y doblando hacia arriba los lados. El volumen de la caja debe ser 128pulgadas cúbicas. Calcula la longitud de un lado del cuadrado original.
11. Una alberca particular tiene forma rectangular, de 10 metros de ancho por 18 de largo. La rodea un pasillo de ancho uniforme cuya área es de 52 metros cuadrados. ¿Cuál es el ancho del pasillo?
12. El área de un triángulo rectángulo es 24cm2 y la hipotenusa mide 10cm. ¿Cuál es el perímetro?
13. Una pieza de alambre de 100 pulgadas de largo se corta en dos piezas. Si cada pieza se dobla en forma de cuadrado y el área combinada de los dos cuadrados es de 337 pulgadas cuadradas, ¿cuánto mide el largo de cada pieza de alambre?
14. El cuadrado de un número entero es 7 unidades menor que ocho veces el número entero. Encontrar el número
15. El área de un rectángulo es de 60 centímetros cuadrados. El largo mide 2 centímetros más que el doble del ancho. Determinar las dimensiones del rectángulo
16. Encontrar dos números enteros positivos consecutivos cuyo producto sea 132 17. La suma de un número y el doble de su recíproco es 9/2. ¿Cuál es el número? 18. La base de un triángulo mide 11 pulgadas más que la altura. Determinar la base y la altura si
el área del triángulo es de 40 pulgadas cuadradas 19. La suma de los recíprocos de dos números enteros consecutivos es 11/30. Encontrar los
números 20. La sala de la casa de Delia mide 18 pies de largo por 12 pies de ancho, pero ella solo tiene
dinero para comprar 135 pies cuadrados de alfombra. Si alfombra el centro del recinto y deja una franja de ancho uniforme alrededor de los lados de la alfombra, ¿Cuánto debe medir el ancho de la franja?
21. El área de un rectángulo mide 15 centímetros cuadrados y el perímetro tiene 16cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
22. Encuentre dos enteros cuya suma sea 26 y cuyo producto sea 165 23. Un jardinero desea cercar un terreno rectangular con 300m de tala de alambre. Un río corre a
lo largo de uno de los lados y, por lo tanto no necesita cercar ese lado. Encuentre las dimensiones del terreno si el área es de 11250m2
59
ECUACIONES CUADRÁTICAS
2
2
2
2
2
2
2
2
2
111.
5 10 2
32.
5 2 10
2 13.
3 2
1 74.
2 6
1 55.
2
1 56. 1
3
1 1 17.
2 2
3 7 58. 0
4 8 2
4 49. 15
3 210. 5 0
5
9 1211.4 0
1 112. 4
2 2
613.
1
214.2 1
6
4 215.
1
416.
2 3
17.
x x
x x
xx
xx
xx
x
x
y y
x x
x x
x x
x x
xx
x x
xx
xx
x
x
x x
x x
x x
2 2
3 1 2 1
118.
1 2
1 2 119.
2 3
x x
x x
x
x x
x x
x x
120.
2 1 3 1
6 721.
2 3
4 1222.
1 3
3 1 323.
5 4 4 5
24. 13 6
4 525. 3
2 3
5 1 226. 1
3 3
7 3 327. 5
2 2
3 2 328. 1
5 3
8 529. 3
3
30. 11 2
9 2 131. 1
5 1
14 3 632. 5
4 4
3
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
6 53. 3
2
2 3 834. 7
2 3
3 235. 4
1
3 436. 2
1
x x
x x
x x
x x
x x
60
ECUACIONES CON RADICALES
1) 5 4 7
2) 2 8 6
3)5 2 6 4
4)3 2 5 4
5) 5 6 2 10
6) 2 3 4
7)5 4 2 7
8) 4 1 3
9) 8 1 5 0
10) 3 5 6 2
11) 1 3
12) 2 5 11
13) 3 6
14) 3 8 5
15) 4 1 5
16) 2 32 12
17) 3 4
18) 7 1 4 2
19) 2 6 3
20) 2 6 3 9
21) 3 2
x
w
x
x
x
x
x
x
x
x
y
a
x
x
x
x
y
x
x
x x
x x
10
22)2 3 3 10
23)3 9 2 11
24)2 15 3 2
25)2 2 4 6 21 0
26)2 2 9 3 4
27)5 2 3 2 3 0
28)3 3 6 6 5
29)5 2 3 2 4 11
30)2 8 5 13 0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
61
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
41.
3
92.
2
53.
1
24.
20
95.
2 40
2 66.
2 0
77.
10
18.
1
2 549.
2 9
2 510.
2 3 3
2 211.
2 7
512.
y x
x y
x y
x y
x y
y x
x y
x y
x y
xy
x y
x y
x y
xy
y x
y x
x y
x y
x y
y y x
y x
x y
2
2 2
2
2
2
2 2
2513.
1
414.
1
515.
2 3
x y
y y x
x y
y x
y x
x y
x y
x y
62
DESIGUALDADES LINEALES
1) 4 5
3) 2(3 1) (5 3 )
4) 3( 5) 2( 1) 2( 3)
5) 2( 5) 8 7 3( 2)
10 26) 5
4 3
3 7 77) 4
2 3
28) 4( 5)
3
2 3 3(4 1)9) 4
2 5
9 5 7 410) 1
8 5
8 2 1811) 4
3 3
5 612) 2
3 7
13)
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
xx x
x x
x x
x x
x x
3 8 20
2 5
14) 8 2( 1) 7 2(1 3 )
15) 2 (6 ) 3(4 )
16) 7 2(3 ) 4(1 )
2 117)
3 2 4
7 5 218) 0
3 2
5 25 419)
10 5
20)2(3 5) ) 2
21) 3(2 1) ) 2
22)5 2(3 ) 2(2 5) 1
23)2(3 ) 1 2
224) 5
3
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
1
3
x
2
25)( 3)( 4) ( 5)( 5)
26) 5 4
3)(3 )
28) ( 1) ( 3)
529)3 4 2
4 2
2 3 3 4 130) 4
3 2 3
31)3( 5) 4( 2) 5( 1) 6
32) 2(3 4 ) 1 4 3(1 2 )
33)( 4)( 5) 3)
5 7 2 334)
6
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x xx
x x
x x x
x x
x x x x
x x
4
2 6 2 335)
5
36) 3(2 1) 2
5(3 )
2
40) 7 34
41)( 2)( 3)
4 5
8
544)
3
x
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x x x
x x
x x x
2
2 6
45)8 3(2 9)
2
3
3 13
10
3 1 148)
5 2
2 349) 6
4
3(4 350) 5 4
2
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
63
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Determine el conjunto solución de las siguientes desigualdades cuadráticas
1 6x2-15x+6>0 2 2x2>5x-3 3 29x<5-6x2 4 x2-7x+10<0 5 4x2-5x-6>0 6 x2-2x>3 7 5m2>12-4m 8 2n2< n +15 9 x2> x + 6 10 x2 +2x-8<0
SISTEMAS DE DESIGUALDADES
Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de desigualdades
41
2 4
2 3 62.
2 1
13.
2 2
3 24.
2 3
3 15.
2 6
2 3 66.
87.
2 3
3 68.
2
59.
2 810.
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y x
y x
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
