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DEPARTAMENTO DE INGENIERA INDUSTRIALESTADSTICA IICatedrtico: Ing. Juan Alfonso Diaz Fecha: viernes 21 de noviembre de 2008

Misin:Formar profesionales de la carrera de ingeniera industrial, que sean agentes de cambios, comprometidos e integrados al desarrollo de su pas, emprendedores, analticos y creativos, que mejoren la productividad de los sistemas generadores de bienes y servicios, mediante el uso eficiente de los recursos disponibles y la incorporacin de la alta tecnologa.

Visin:Ser un departamento que integre la docencia, la vinculacin, y la investigacin, para formacin de ingenieros que respondan a los retos en la generacin de bienes y servicios de clase mundial..

CUADRADO LATINO Y GRECOLATINOMONTES TENORIO CRYSRIVAS VILA EDGARVALDEZ REYES HEROLINDA

DISEO CUADRADO LATINO

El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la asignacin de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseo cuadrado latino.

CARACTERSTICAS

1) Las unidades experimentales se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma. 2) En cada fila y en cada columna, el nmero de unidades es igual al nmero de tratamientos.3) Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.4) El numero de filas= al nmero de columnas= al nmero de tratamientos.5) Los anlisis estadsticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseo completo al azar y el diseo de bloques.6) La desviacin estndar de la diferencia de promedios y la desviacin estndar del promedio, estn en funcin del cuadrado medio del error experimental.7) El nombre de cuadrado Latino se debe a R.A. Fisher [The Arrangement of Field Experiments, J. Ministry Agric., 33: 503-513 (1926)]. Las primeras Aplicaciones fueron en el campo agronmico, especialmente en los casos de suelos con tendencias en fertilidad en dos direcciones.

FORMACIN DEL CUADRADO LATINO

Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas tpicas o estndar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la misma distribucin).

De cada cuadro se obtienen 144 formas diferentes, en total se tienen 576 cuadros diferentes.

La siguiente tabla permite relacionar el nmero de cuadros en funcin del tamao.

n = tamao del cuadro.

ASIGNACIN DE TRATAMIENTOS

Los tratamientos deben asignarse empleando uno de los cuadros de los posibles, es decir si son cuatro tratamientos, escoger entre los 576 posibles.

MODELO ESTADSTICO

Tanto la hiptesis nula como la alternativa, siguen siendo las mismas, a saber:

H0 : 1 = 2 =..........= aH1 : i = j para al menos un par ij

En este diseo, tenemos ahora, o queremos estudiar, cuatro fuentes de variacin, la debida al Factor X, la debida al Factor Y, la causada por el Bloque(o Factor) Latino y la del error, por lo que nuestro modelo se puede expresar como:

Yij = La i-esima observacin = Un parmetro General para todas las observaciones, llamado Media Globali = El efecto del factor Xj = El efecto del BloqueYk = El efecto del bloque Latinoij = El error experimentalContinuando con la metodologa utilizada hasta aqu, reescribamos estas fuentes de variacin, en trminos de sumas de cuadrados:

Sstotales = SSX + SSY + SSLatino + SSerror

EJEMPLO

Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma. Tambin desea bloquear el arreglo con la Formula que se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea tambin probar 5 niveles): Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma. Tambin desea bloquear el arreglo con la Formula que se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea tambin probar 5 niveles):

Operador

Lote12345Promedio

1242019242411122.2

2172430273613426.8

3183826272113026

4263126232212825.6

5223020293113226.4

107143121130134

Promedio21.428.624.22626.8

Tenemos pues, que la suma de cuadrados totales es:

SST = SSLote + SSOperador + SSFomula + SSerror

Entonces:

SSTotales =

SSTotales =

SSTotales = 242 +202 +192 +242 +242 + 172 +.............+ 292 +312 -

SSTotales =676

SSLote=

Bien, para calcular la suma de cuadrados del factor latino, utilizaremos el mismo mecanismo, solo que, como este factor latino se mueve de una manera diferente, necesitamos primero calcular los totales por nivel.

La suma de cuadrados del error, lo calculamos por diferencia:

Sserror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFrmula = 676.0 - 68.0 - 150.0 - 330.0 =

Ahora que ya se han calculado las sumas de cuadrados para cada una de las fuentes de variacin, se puede calcular la tabla ANOVA:

Fuente de variacinSuma de cuadradosGrados de libertadGrados de MediosFo

Lote684171.59

Operador150437.53.52

Formula330482.57.73

Error1281210.67

Totales67624147.67

Utilizando un nivel de confianza del 95%, consultemos la F de las tablas de la distribucin Fisher:

Fa,1,2 -= F0.05, 4, 12 = 3.26, y esta es la misma para comparar contra la F calculada de las tres fuentes de variacin, ya que estas tienen los mismos grados de libertad.

Para el lote:Como la Fo (1.59) < F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Acepta Ho, el lote de material no es fuente de variacin para la respuesta.

Para el Operador:Como la Fo (3.52) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Rechaza Ho, el operador que prepara la dinamita, si influye en la explosividad de la misma.

Para la Formula:

Como la Fo (7.73) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Rechaza Ho, la formula que se utiliza para preparar la dinamita, contribuye a la explosividad de la misma.

DISEO CUADRADO GRECO-LATINO

Es un diseo con cuatro factores a k niveles Se asume que no hay interacciones Requiere k2 observaciones El diseo factorial completo requiere k4 Cada nivel de un factor aparece una vez con cada nivel de los otros factores Superposicin de dos cuadrados latinos

Superposicin de dos cuadrados latinos

Cada letra griega aparece una vez en cada fila, en cada columna y una con cada letra latina

El modelo es donde son independientes i es el efecto fila, j efecto columna, k efecto de letra latina y l efecto de letra griega La notacin yij (kl) indica que k y l dependen de ij

Tabla ANOVA.

En los arreglos por bloques, se pueden analizar 4 factores, introduciendo un cuarto factor o bloque en un diseo cuadrado latino, siguiendo las mismas reglas utilizadas para introducir un tercer factor en un diseo cuadrado de dos factores. A este cuarto factor o bloque se le denomina Componente GRIEGO, ya que se utilizan letras griegas para identificar sus niveles, a la adicin de un diseo cuadrado latino y un cuarto factor, se le llama Diseo Cuadrado Greco-Latino.

Continuemos con el ejemplo de la formulacin de dinamita. El experimentador desea considerar La lnea de ensamble en su diseo, ya que sospecha que estas son fuente de variacin. Para hacer esto, decide utilizar un arreglo Cuadrado Greco-Latino, el cual se muestra a continuacin (Por razones prcticas, se utilizaran los mismos datos que en el ejemplo anterior):

Ya que son los mismos datos del ejemplo anterior, los clculos y resultados para las sumas de cuadrados para los componentes Lote, Operador, Frmula y Suma Total son los mismos tambin:

SSTotales = = 676

SSLote= = 68

SSOperador= = 150

SSFromula= = 330

Para calcular la suma de cuadrados del componente Griego, tendremos que obtener las sumas naturales totales por nivel:

Nivel GriegoTotal

Y..1. = Y..2. = Y..3. = Y..4. = Y..5. =

Entonces:

SSLinea=

SSLinea = 1352 + 1192 +1222 +1212 +1382 - = 62 5

La suma de cuadrados del error, se calcula nuevamente por diferencia:SSerror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFormula - SSLinea

= 676 - 68 - 150 - 330 - 62 = 66

Una vez calculados todos los componentes de la variacin por separado, se puede elaborar la tabla anova:

Como este es tambin un arreglo cuadrado (todos los factores tienen la misma cantidad de niveles), solo es necesario consultar un F de Fisher para compararse despus con las calculadas por factor y evaluar nuestra hiptesis (que es la misma analizada en el ejemplo anterior), a un 95% de nivel de confianza:

Fo,1,2 -= F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces tenemos:

Para el lote:

Como la Fo(2.06) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, el lote de material no es fuente de variacin para la respuesta.

Para el Operador

Como la Fo(4.55) > F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Rechaza Ho, el operador es fuente de variacin para la respuesta.

Para la Formula

Como la Fo(10.0) > F0.05, 4, 8 = 3. 84, entonces se Rechaza Ho, el tipo de formula es fuente de variacin para la respuesta.

Para La Lnea de ensamble:

Como la Fo(1.88) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, la lnea de ensamble no es fuente de variacin para la respuesta.

B

A

A

B

A

E

A

B

E

D

E

D

D

C

C

C

E

D

C

B

B

C

D

E

A

Promedio

21.4

28.6

24.2

26

26.8

Totales

107

143

121

130

134

635

Gran total

5

22

30

20

29

31

132

26.4

4

26

31

26

23

22

128

25.6

3

18

38

26

27

21

130

26

2

17

24

30

27

36

134

26.8

1

24

20

19

24

24

111

22.2

1

2

3

4

5

Totales

Promedio

Lote

Operador