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Calculo de la probabilidad de una particula clasica.

Una particula puntual clasica se mueve rebotando con una velocidad constante entre dos paredes situadas en x=0cm y x=8cm

a) Cual es la densidad de probabilidad b) Cual es la probabilidad de encontrar la particula en x=2cmc) Cual es la probabilidad de encontrar la particula entre 3cm y 3.4cm

CONDICIONES DE FRONTERA

a)∫−∞

∞

P(X )=∫−∞

0

P (X )dx+∫0

8

P (X )dx+∫8

∞

P (X )dx=1

∫−∞

0

0dx+∫0

8

P (0 )dx+∫8

∞

0dx=1

P0(8cm)=1

P0¿18cm

b)Como esta rebotando la particula no existe la probabilidad de encontrar la particula en x=2cm por lo tanto la probabilidad es cero

c ¿∆ x=3.4 cm−3cm=0.4 cm

p(x)

p(0) x<0

0<x<8cmx>8cm

P0*∆ x=18cm

*0 .4 cm=0.05

Pagina 26VALORES ESPERADOS Cuando se resuelve un problema de mecanica clasica se especifica, la posicion de una particula en funcion del tiempo. Pero en la naturaleza ondulatoria de la materia nos inpide hacer esto en sistemas microoscopicos. Lo mas que podemos conocer es la probabilidad de que, al medir la posicion de la particula obtengamos cada uno de los valores de X. Si medimos la posicion en un gran numero de sistemas identicos tendremos una serie de valores que corresponden a la distribucion de probabilidades. El valor medio de X de tales medidas se denomina valor esperado y se denota <X>.El valor esperado de X es el mismo que el valor medido de X correspondiente a una medida de las posiciones de un gran numero de particulas con la

misma funcion de ondas  ψ(x) como de ψ2 (x )dx la funcion de onda cuadrada es la probabilidad de encontrar una particula en una region diferencial de x centrada en X el valor esperado de x

<X>=∫−∞

∞

x ψ2 ( x )dx DEFINICION DE VALOR ESPERADO

EL valor esperado de cualquier funcion f(x)

<f(x)> =∫−∞

∞

f (x )ψ2 (x )dx Valor espérado de cualquier funcion f(x)

Determinar el valor esperado de a)<X> b)¿ X2 > para una particula en su

estado fundamental en una caja de longitud L

<f(x)> =∫−∞

∞

f (x )ψ2 (x )dx

Siendo ψn=√ 2L sen n xL n=1,2,3….. Función de onda para una

partícula en una caja de longitud l

<X>=∫−∞

∞

x ψ2 ( x )dx= 2L∫0

L

x sen2( xL )dx

haciendo θ= xL

<X>=2L( L❑)

2

∫0

❑

sen2d=2L❑2∫

0

❑

sen2d

Pagina 27

∫0

❑

sen2d=[❑2

4− sen2

4-cos28

]=❑2

4

<X>=2L

❑2∫0

❑

sen2d=2L❑2 *

❑2

4 <X>= L

2

b)