Cuencas de atracción del método de Newton aplicado al problema

Javier Peña Hernando

José Manuel Gutiérrez Jiménez y Víctor Lanchares Barrasa

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Grado en Matemáticas

2013-2014

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

Cuencas de atracción del método de Newton aplicado alproblema de los tres cuerpos

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2014

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Cuencas de atracción del método de Newton aplicado al problema de los tres cuerpos, trabajo fin de grado

de Javier Peña Hernando, dirigido por José Manuel Gutiérrez Jiménez y Víctor Lanchares Barrasa (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia

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Cuencas de atracción del método de Newton aplicado

al problema de los tres cuerpos

Autor: Javier Peña Hernando

Tutores: Dr. D. José M. Gutiérrez Jiménez,

Dr. D. Víctor Lanchares Barrasa

Curso académico: 2013/14

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Departamento de Matemáticas y Computación

Grado en Matemáticas

Universidad de La Rioja

�

Indice general

1. El metodo de Newton en la recta real 11.1. Construcciones del metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . 21.2. Sistemas dinamicos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Dinamica en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. El metodo de Newton en C 132.1. Conceptos basicos de dinamica compleja . . . . . . . . . . . . 132.2. Propiedades en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. El metodo de Newton en R2 193.1. Convergencia del metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Ejemplos del uso del metodo de Newton . . . . . . . . . . . . 22

4. El problema de los tres cuerpos 354.1. Historia e introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Ecuaciones diferenciales del movimiento . . . . . . . . . . . . . 364.3. Soluciones particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

iii

iv INDICE GENERAL

RESUMEN v

Resumen

En esta memoria trataremos el metodo de Newton con mayor profundidadque la alcanzada al cursar el Grado en Matematicas. Nos centraremos en sussingularidades y caracterısticas mas resenables tanto en la recta real, el planoR

2 y el plano complejo. Tambien introduciremos nociones referidas al metodode Newton hasta el momento desconocidas para nosotros. En la segunda partede la memoria estudiaremos, sin abordarlo en su totalidad, el problema de lostres cuerpos, la obtencion de soluciones particulares de dicho problema y suconexion con el metodo de Newton. Usaremos dicho metodo para representarlas cuencas de atraccion de las diferentes raıces del problema, y con pequenasvariaciones en uno de los parametros, obtendremos resultados muy variados.

Summary

In this report we will treat Newton’s method in greater depth thanreached studying the Degree in Mathematics. We will focus on its singu-larities and notable characteristics in terms of the reals, in R

2, and also inthe complex plane. We will introduce new ideas referred to the Newton’smethod until this moment unknown to us. In the second part of this reportwe will consider, without tackling it in its total magnitude, the problem ofthe three bodies, the obtaining of particular solutions of it and its connec-tion with the Newton’s method. We will also use this method to representthe basins of attraction of the different zeros of the problem, and with smallvariations in one of the parameters, we will obtain diverse results.

vi RESUMEN

Capıtulo 1

El metodo de Newton en larecta real

La resolucion de ecuaciones no lineales es uno de los problemas matemati-cos que mas frecuentemente aparece en diversas disciplinas cientıficas.En el caso en que f sea una funcion de variable real sabemos que, en general,no es posible resolver de forma exacta la ecuacion f(x) = 0. Es por ello quese recurre a tecnicas iterativas para obtener aproximaciones de la solucion.Dentro de todas las tecnicas existentes, el metodo de Newton es el proce-dimiento mas estudiado y empleado en la practica. Ası, con el objeto deaproximar una solucion de una ecuacion no lineal, el metodo de Newton con-siste en construir, a partir de una aproximacion inicial x0 una sucesion de laforma:

xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn), n ≥ 0.

En condiciones adecuadas, la sucesion anterior converge a una solucion α dela ecuacion f(x) = 0.El metodo de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequa-tiones numero terminorum infinitas en 1669, y en De metodis fluxiomum etserierum infinitarum en 1671. Sin embargo, su descripcion difiere en formasustancial de la descripcion moderna presentada antes. Newton aplicaba elmetodo solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn,sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximacionde la raız α. Finalmente, Newton ve el metodo como algo puramente alge-braico y falla al no ver la conexion con el calculo infinitesimal.Isaac Newton probablemente derivo su metodo de forma similar, aunque me-

1

2 CAPITULO 1. EL METODO DE NEWTON EN LA RECTA REAL

nos precisa, del metodo de Francoise Viete. La esencia del metodo de Vietepuede encontrarse en el trabajo del matematico persa Sharaf al-Din al-Tusi.Algunos autores denominan a este metodo comoMetodo de Newton-Raphson,llamado ası por el matematico ingles Joseph Raphson (coetaneo de Newton),quien en 1691 describıa dicho metodo en su libro Aequationum Universalis.En esta obra Raphson generalizo lo que Newton desarrollo sobre polinomios eintrodujo la utilizacion de iteraciones, aun ası, Raphson siempre reconocio ha-berse fijado en el trabajo previo de Newton y nunca pretendio aduenarse desu metodo. Posteriormente, Newton, en su obra Metodo de las fluxiones, in-trodujo el mismo metodo aunque no fue publicado hasta 1736, con lo queRaphson describio el metodo 46 anos antes. Aunque sus trabajos no fuerontan populares como los de Newton, se le reconocio posteriormente.Cabe destacar tambien a Thomas Simpson, quien 50 anos mas tarde de lapublicacion del trabajo de Newton conecto el metodo con el concepto dederivada; algo que tanto Newton como Raphson pasaron por alto.

1.1. Construcciones del metodo de Newton

Veremos, a continuacion, algunas de las interpretaciones del metodo deNewton y sus variantes en el estudio de diversos problemas matematicos.Supondremos que las funciones que manejaremos a continuacion son todo locontinuas y derivables que necesiten ser.

Construccion geometrica.

El metodo de Newton tiene una clara interpretacion geometrica, basada en laaproximacion de la funcion f(x) por una recta tangente. Por eso, tambien se ledenomina metodo de la tangente. Partiendo de una aproximacion inicial, x0,de la solucion α, la siguiente aproximacion, x1, se obtiene como la interseccionde la recta tangente a la funcion f(x) en el punto x0 con el eje de abscisas.Ası, x1 es la interseccion de las rectas y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0) e y = 0; esdecir,

x1 = x0 − f(x0)

f ′(x0).

Reiterando este procedimiento se obtiene una sucesion de aproximacionesque, en condiciones adecuadas, converge a la solucion. Podemos ver un ejem-plo en la Figura 1.1.

1.1. CONSTRUCCIONES DEL METODO DE NEWTON 3

Figura 1.1: Aproximacion por el metodo de Newton a la solucion de la funcionf(x) = x3 mediante construccion geometrica.

Construccion a partir del desarrollo de Taylor.

A partir de x0, buscamos una mejor aproximacion de la solucion α, que seade la forma x0+ ε. Lo ideal serıa que f(x0+ ε) = 0, en cuyo caso se obtendrıala solucion exacta. Usando el desarrollo de Taylor, llegamos a:

0 = f(x0 + ε) = f(x0) + f ′(x0)ε+f ′′(x0)

2!ε2 +

f ′′′(x0)

6!ε3 + · · · .

Truncando en el segundo termino del desarrollo, se obtiene:

0 = f(x0) + f ′(x0)ε ⇐⇒ ε =−f(x0)

f ′(x0).

De este modo construimos la siguiente aproximacion de α, que denotamospor x1, y vendra dada por:

x1 = x0 + ε = x0 − f(x0)

f ′(x0).

Reiterando el proceso obtenemos el metodo de Newton.


1.2. Nociones basicas de sistemas dinamicos

discretos

Una parte de la teorıa de los sistemas dinamicos se dedica al estudio delcomportamiento de las iteraciones de una funcion en terminos de los puntosiniciales.El problema de estudiar la conducta de los iterados de una funcion apare-ce en situaciones reales, como en la dinamica de poblaciones, que pretendedeterminar el numero de individuos de una cierta poblacion a lo largo deltiempo. A continuacion presentaremos algunos de los conceptos basicos de ladinamica de funciones escalares.

Definicion 1. Un sistema dinamico discreto es un par (X, f) formado porun espacio metrico X y una funcion f : X −→ R.

En esta primera seccion nos centraremos en X = R; aunque, como vere-mos mas adelante, muchos conceptos pueden extenderse a C o a Rn.

Definicion 2. Dado p ∈ R, si las sucesivas imagenes de p: (f(p), f 2(p) =f(f(p)), f 3(p) = f(f 2(p)),...) estan definidas, decimos que la orbita de p esel conjunto:

orb(p) ={p, f(p), f 2(p) = f(f(p)), ..., fn(p) = f(fn−1(p)), ...

}La teorıa de los sistemas dinamicos discretos trata de analizar el compor-

tamiento de orb(p) para diferentes valores de p.Se pueden clasificar las orbitas segun su comportamiento: estacionarias, pe-riodicas, cuasiperiodicas, caoticas, etc.

Definicion 3. Decimos que:(a) p es un punto fijo de f si p = f(p).(b) p es un punto periodico de periodo k si fk(p) = p y f j(p) �= p

∀j = 1, ..., k − 1.(c) Nos referimos a la orbita periodica de un punto periodico de

periodo k como un k-ciclo{p, f(p), f2(p), . . . , fk−1(p)

}.

Haremos ahora una serie de observaciones sobre las definiciones anteriores.

Los puntos fijos de f son aquellos en donde su grafica se interseca conla recta y = x.

1.2. SISTEMAS DINAMICOS DISCRETOS 5

Los puntos periodicos, de periodo k ≥ 2 de f , son los puntos fijos defk que no son puntos fijos de f j para 1 ≤ j ≤ k − 1.

Si p es un punto periodico de f entonces su orbita es finita. En estecaso, el numero de elementos en orb(p) es su periodo.

Podemos consultar estas definiciones y las demostraciones de los teoremasque enumeramos, ası como una generalizacion mas extensa de los resultadosexpuestos a continuacion en [7].

Teorema 1. Sean I = [a, b] un intervalo cerrado y f : I −→ R una aplicacioncontinua tal que I ⊆ f(I) o I ⊇ f(I). Entonces f tiene un punto fijo en I.

Definicion 4. Sea p ∈ I y f : I −→ R. Decimos que:(a) p es eventualmente fijo si existe N ∈ N tal que fn+1(p) = fn(p)

para n ≥ N .(b) p es eventualmente periodico con periodo k si existe N ∈ N tal que

fn+k(p) = fn(p) para n ≥ N . (fN(p) esta sobre un orbita periodica).

En otras palabras, p es un punto eventualmente fijo de f si es unapreimagen de un punto fijo, es decir, existe un punto fijo q de f tal quep ∈ ⋃n≥1 f

−n(q), donde

f−k(q) ={x ∈ I : fk(x) = q

}.

Definicion 5. Sea p un punto fijo de f .

Decimos que p es un atractor si existe un intervalo abierto J con p ∈ Jtal que para cada x ∈ J , lımn→∞ fn(x) = p.

Decimos que p es un repulsor si existe un intervalo abierto J , con p ∈ J ,tal que si x �= p y x ∈ J , existe k ∈ N tal que fk(x) /∈ J .

Definicion 6. Sea p un punto fijo de f . La cuenca de atraccion de p es elconjunto B(p) = {x ∈ R : fn(x) −→ p, cuando n → ∞}.La cuenca de atraccion inmediata de p es la componente conexa de B(p) quecontiene a p.

Definicion 7. Sea p un punto periodico de periodo k de f .La cuenca de atraccion de la orbita de p, es B(orb(p)) =

⋃k−1j=0 f

j(B(p)) =⋃k−1j=0 B(f j(p)).

La cuenca de atraccion inmediata de la orbita de p es la union de las com-ponentes conexas que contienen a los puntos de la orbita de p.


Teorema 2. Las cuencas de atraccion de puntos periodicos distintos no seintersecan.

Teorema 3. Sea I un intervalo cerrado. Si f : I −→ I es diferenciable ysatisface |f ′(x)| < 1, para todo x ∈ I, entonces f tiene un unico punto fijoen dicho intervalo I.

Teorema 4. Sea f : I −→ R una funcion perteneciente a C1(I) y sea p unpunto fijo de f , entonces:

(1) Si |f ′(p)| < 1, p es un punto fijo atractor de f .(2) Si |f ′(p)| > 1, p es un punto fijo repulsor de f .

Definicion 8. Sea f una funcion derivable en un entorno de un punto fijop. Decimos que p es un punto fijo indiferente (o neutro) de f si |f ′(p)| = 1.Ademas, decimos que p es un punto periodico indiferente (o neutro) de f sip es un punto fijo indiferente de fk, siendo k el periodo de p.

Ejemplo 1. Estudiaremos el caracter de x = 0 como punto fijo de las si-guientes funciones:

f(x) = x3.

En este primer caso, f ′(0) = 0, luego x = 0 es un punto fijo superatractor.

f(x) = 3√x.

Ahora vemos que lımx→0 f′(x) = ∞, luego, x = 0 es un punto fijo repulsor.

f(x) = x− x3, f(x) = x+ x3, f(x) = x+ x2.

Es inmediato comporobar que, para estas funciones, f ′(0) = 1, luego x = 0es un punto fijo indiferente. Sin embargo, en el primer caso tiene un caracteratractor, en el segundo caso el punto fijo es repulsor y en el tercer caso elpunto fijo tiene un caracter atractor para las orbitas de puntos x ∈ [−1, 0],mientras que el caracter es repulsor para las orbitas de los puntos x > 0.Podemos ver como es el caracter de los puntos fijos para las diferentes fun-ciones en la Figura 1.2, de tal forma que apreciamos lo expuesto antes.

Nota 1. Daremos un par de notas sobre el caracter de los puntos fijos:

1.2. SISTEMAS DINAMICOS DISCRETOS 7

Figura 1.2: De izquierda a derecha se representa el caracter atractor o repulsordel punto fijo de las funciones f(x) = x− x3, f(x) = x+ x3 y f(x) = x+ x2.

Cuando p es un punto fijo atractor, el valor de |f ′(p)| proporciona infor-macion sobre la velocidad de convergencia de las orbitas, orb(x), parapuntos x cercanos a p. Cuanto menor sea |f ′(p)|, mas rapida sera dichaconvergencia. En concreto, si f ′(p) = 0, se dice que p es un punto fijosuperatractor.

Se podrıa obtener mas informacion sobre el caracter del punto fijo ana-lizando el crecimiento y decrecimiento de la funcion f ′(x), puede con-sultarse [3] para ver una demostracion detallada. En concreto, si p esun punto fijo indiferente de f(x), y la funcion |f ′(x)| presenta un maxi-mo local (mınimo local) en x = p, entonces p es un punto fijo atractor(repulsor). Veamos lo que ocurre en el ultimo apartado del Ejemplo 1;para ello si nos fijamos en la Figura 1.3, observamos que como el valorabsoluto de la derivada de f(x) = x − x3 tiene un maximo local enx = 0, entonces 0 es un punto fijo atractor de f(x). Podemos apreciartambien que el valor absoluto de la derivada de f(x) = x+ x3 tiene unmınimo local en x = 0, con lo cual 0 es un punto fijo repulsor de f(x).En lo referente a la funcion f(x) = x+ x2 no podemos decir nada coneste resultado, puesto que en x = 0 no hay ni maximo ni mınimo local.

Aunque basandonos en lo anterior no podamos establecer el caracter delpunto fijo x = 0 de la funcion f(x) = x + x2, podemos hacer un estudio dela sucesion dependiendo de la eleccion del punto inicial.

Si x0 > 0 tenemos que xn+1 > xn y la sucesion no esta acotada supe-riormente.

Si x0 ∈ (−1, 0) se tiene que xn es creciente y su lımite es 0.

Entonces el punto fijo x = 0 tiene caracter repulsor a la derecha y atractor ala izquierda.


Figura 1.3: A la izquierda vemos el valor absoluto de la derivada de f(x) =x− x3, en el centro el valor absoluto de la derivada de f(x) = x+ x3 y a laderecha el valor absoluto de la derivada de f(x) = x+ x2.

1.3. Dinamica del metodo de Newton en la

recta real

Vamos a estudiar el comportamiento dinamico del metodo de Newtoncuando se aplica para resolver una ecuacion f(x) = 0, siendo f una funcionde variable real f : R −→ R.La funcion de iteracion definida para el metodo de Newton es:

Nf (x) = x− f(x)

f ′(x).

Nuestro objetivo es el estudio del comportamiento de las sucesiones {xn}donde:

xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn)= Nf (xn) = Nn

f (x0) n ≥ 0

para distintos puntos de partida x0 ∈ R.

Destacamos a continuacion algunas propiedades del metodo de Newton:

Si α es una raız simple de la ecuacion f(x) = 0, es decir, satisfacef ′(α) �= 0, entonces α es un punto fijo de Nf (α) = α. Ademas, como

N ′f (α) =

f(α)f ′′(α)f ′(α)2

= 0,

se trata de un punto fijo superatractor de la aplicacion Nf En estecaso, se dice que el metodo de Newton tiene convergencia cuadratica ala solucion buscada.

1.3. DINAMICA EN LA RECTA REAL 9

Cuando α es una raız multiple de f(x) = 0, entonces α tambien es unpunto fijo de Nf , aunque en este caso se trata de un punto fijo atractorcon

N ′f (α) =

m− 1

m< 1,

siendom la multiplicidad de α como raız de f . El orden de convergenciadel metodo de Newton es lineal en este caso. Se caracteriza por unaconvergencia mucho mas lenta que en el caso anterior.

Haciendo un analisis un poco mas profundo se puede afirmar que, dada unaecuacion f(x) = 0, el comportamiento dinamico de la funcion de iteraciondel metodo de Newton nos permite clasificar los puntos de la recta real endos conjuntos:

B(f) = {x0 ∈ R : lımn→∞

Nnf (x0) = α con f(α) = 0},

M(f) = R−B(f).

B(f) recoge a los puntos iniciales x0 a partir de los cuales el metodode Newton converge a una solucion de la ecuacion.

M(f) contiene a los puntos iniciales para los cuales, por un motivou otro, el metodo de Newton no converge a ninguna solucion de laecuacion. Entre los puntos que forman parte del conjunto M(f) seencuentran los siguientes:

• Los puntos crıticos de f , es decir, puntos para los cuales f ′(x0) =0 (y f(x0) �= 0). Notemos que geometricamente estos puntos secaracterizan porque la tangente a la grafica de f es horizontal.

• Las preimagenes de los puntos crıticos, es decir, puntos x0 talesque f ′(xn) = 0, siendo xn = Nn

f (x0).

• Los n-ciclos de periodo n ≥ 2 de Nf , ası como los puntos que sonatraıdos por dichos ciclos.

En general, cuando se aplica un proceso iterativo para resolver unaecuacion no lineal f(x) = 0, se obtiene una sucesion convergente a uncierto valor. Si este valor no es solucion de f(x) = 0 se llama punto


fijo extrano. Es inmediato comprobar que el metodo de Newton nointroduce puntos fijos extranos, ya que si

lımn→∞

xn = p con xn+1 = Nf (xn) = xn − f(xn)

f ′(xn)

entonces f(p) = 0.Esta propiedad no la tienen otros procesos iterativos como son los meto-do de Halley, Chebyshev,...

Cuando se aplica el metodo de Newton a un polinomio de grado d ∈ N,se obtiene una funcion racional de grado exactamente d.

La funcion de iteracionNf del metodo de Newton aplicado a polinomiostiene una forma muy concreta. Vemos alguna de sus propiedades:

• Nf tiene una asıntota vertical en cada solucion real de f ′(x) = 0que no sea solucion de f(x) = 0.Si c1 < c2 son dos raıces consecutivas de f ′(x) = 0, el intervalo(c1, c2) se llama una banda acotada para Nf . Si c es la mayor delas raıces de f ′(x) = 0, entonces el intervalo (c,+∞) es una bandaextrema de Nf . Analogamente, si b es la menor de las raıces def ′(x) = 0, entonces el intervalo (−∞, b) es la otra banda extremade Nf .

• Si (c1, c2) es una banda para Nf que contiene una raız α de f(x) =0, entonces

lımx→c+1

Nf (x) = +∞, lımx→c−2

Nf (x) = −∞.

• Si (c1, c2) es una banda de Nf que no contiene raıces de f(x) = 0,entonces

lımx→c+1

Nf (x) = lımx→c−2

Nf (x) = ±∞.

Podemos observar en la Figura 1.4 que se verifican las propiedades descritasanteriormente, en el grafico de la izquierda, tenemos un caso en el que labanda central contiene una raız, se consigue tomando f(x) = x3 − x. Enel de la derecha, uno en el que la banda central no tiene raıces, tomandof(x) = x3−x− 3. Al dibujar la recta y = x, obtenemos los puntos fijos de la

1.3. DINAMICA EN LA RECTA REAL 11

funcion Nf (x), que son, como ya hemos comentado, las raıces de la funcionf(x) a la que aplicamos el metodo de Newton.En la Figura 1.5 vemos lo mismo que en la Figura 1.4 solo que aplicando elmetodo de Newton al polinomio de cuarto grado f(x) = x4 − 2x3 − 3x2 +4xa la izquierda, y al de quinto grado f(x) = 3x5 − 4x4 − 6x3 + 3x2 + 4x a laderecha.

Figura 1.4: Graficos tıpicos del metodo de Newton aplicado a funciones po-linomicas.

Figura 1.5: Graficos tıpicos del metodo de Newton aplicado a funciones po-linomicas.


Capıtulo 2

El metodo de Newton en elplano complejo

El estudio de la dinamica del metodo de Newton en el campo comple-jo tiene una destacada importancia historica, desde que E. Schroeder y A.Cayley, a finales del siglo XIX, propusieron usar el metodo de Newton pararesolver ecuaciones definidas en el plano complejo. Para un estudio de estadinamica mas amplio y exhaustivo podemos consultar [3] y [7]. A continua-cion exponemos algunos conceptos y resultados de la dinamica compleja. Noscentraremos en aquellas que difieren de la dinamica real, porque otras (orbita,punto fijo, ciclo, etc.) son similares.

2.1. Conceptos basicos de dinamica compleja

Dada una funcion definida en el plano complejo f : C −→ C, la funcionde iteracion del metodo de Newton viene dada por

Nf (z) = z − f(z)

f ′(z)=

z · f ′(z)− f(z)

f ′(z).

En el caso que f sea un polinomio, Nf (z) puede verse como una funcionracional, definida sobre la esfera de Riemann C = C ∪ {∞}.Definicion 9. Una funcion racional R : C −→ C es una funcion de la forma

R(z) =P (z)

Q(z),

13

14 CAPITULO 2. EL METODO DE NEWTON EN C

donde P y Q son polinomios coprimos (sin factores comunes).El grado de una funcion racional R(z) se define como:

grado (R) = max{grado (P ), grado (Q)}.El estudio de la dinamica de una funcion racional, R, trata de analizar

el comportamiento de las orbitas de un punto z0 ∈ C. En la situacion ideal,cuando la funcion racional que estamos estudiando es obtenida al aplicarun metodo iterativo para aproximar los ceros de un polinomio complejo, lospuntos donde se aproximan los iterados de un punto arbitrario por la funcionde iteracion en estudio deberıan corresponder a los ceros del polinomio encuestion. Aunque esto no siempre ocurre, ya que pueden existir regiones demedida positiva en el plano complejo, de modo que, si elegimos una condicioninicial en esas regiones, las iteraciones de esos puntos no convergen a un cerodel polinomio.Analicemos el comportamiento de algunos puntos especialmente relevantes.

Puntos fijos de una aplicacion racional

Los puntos fijos de una funcion de variable compleja f(z) son las solucionesde la ecuacion f(z) = z. Ademas ∞ tambien puede ser considerado un puntofijo en C.En una funcion racionalR(z) = P (z)

Q(z),∞ es un punto fijo si y solo si grado (P ) >

grado (Q). El resto de puntos fijos son las soluciones de P (z)− z ·Q(z) = 0.La clasificacion de los puntos fijos es similar a la clasificacion para variablereal.Si z0 es un punto fijo de una funcion R(z), con multiplicador asociadoλ = R′(z0), entonces:

z0 es superatractor si λ = 0.

Atractor si 0 < |λ| < 1.

Indiferente si |λ| = 1.

Repulsor si |λ| > 1.

Ademas, en el caso de las funciones de variable compleja, los puntos fijosindiferentes se clasifican en:

Racionalmente indiferentes o parabolicos: si λ es una raız de la unidad,esto es, ∃ n ∈ N tal que λn = 1 (es decir, λ = e2πiθ con θ racional).

2.1. CONCEPTOS BASICOS DE DINAMICA COMPLEJA 15

Irracionalmente indiferentes en otro caso, λ = e2πiθ con θ irracional.

Para conocer el numero de puntos fijos que puede poseer una funcion racional,tenemos el siguiente resultado.

Teorema 5. Una funcion racional de grado d ≥ 1 tiene exactamente d + 1puntos fijos contados con sus multiplicidades.

Como el punto ∞ es un punto de la esfera de Riemann, comentamosque se entiende por su multiplicidad.En este sentido, vemos que la transformacion de Mobius m(z) = 1

z, aplica

z = ∞ en z = 0 y viceversa. Definamos

S(z) = m(z) ◦R(z) ◦m−1(z),

entonces S(0) = 1R(∞)

. Por lo tanto, z = ∞ es un punto fijo de R si z = 0 loes de S; ademas su caracter atractor o repulsor vendra determinado por elvalor

S ′(0) = lımz→0

S ′(z).

Definicion 10. La multiplicidad del punto del infinito z = ∞, como puntofijo de una funcion racional R, se define como la multiplicidad del puntoz = 0 como punto fijo de la funcion S definida antes.

Para determinar el caracter del punto z = ∞, como punto fijo de unafuncion R = P

Q, tenemos el siguiente teorema:

Teorema 6. Supongamos que

R(z) =an · zn + an−1 · zn−1 + · · · a0bm · zm + bm−1 · zm−1 + · · · b0

es una funcion racional con n > m y tal que a2n + b2m �= 0. Entonces z = ∞es un punto fijo de R con el siguiente comportamiento:(1) Superatractor si m < n− 1.(2) Atractor si m = n− 1 y |an| > |bm|.(3) Repulsor si m = n− 1 y |an| < |bm|.(4) Indiferente si m = n− 1 y |an| = |bm|.


Si aplicamos el metodo de Newton a una ecuacion no lineal f(z) = 0,resulta que los ceros de f son puntos fijos de Nf y recıprocamente. Si lafuncion f(z) es un polinomio de grado d ≥ 2, con todas sus raıces simples,entonces los d+1 puntos fijos de la funcion de iteracion Nf son precisamenteestas d raıces junto con el punto del infinito z = ∞.

Ejemplo 2. El metodo de Newton aplicado al polinomio p(z) = z3 + 2z + 2tiene un 2− ciclo de la forma {0, 1}.En efecto, la funcion de iteracion asociada a este problema es

Np(z) =2(z3 − 1)

3z2 + 2.

Facilmente, vemos que Np(0) = 1 y Np(1) = 0. Ademas el 2-ciclo es super-atractor ya que

∣∣N ′p(0) ·N ′

p(1)∣∣ = 0.

2.2. Algunas propiedades del metodo de New-

ton en el plano complejo

Sea p(z) = adzd + · · · a1z + a0 con ad �= 0, un polinomio de grado d en C,

y sea

Np(z) = z − p(z)

p′(z),

el metodo de Newton asociado.Veamos algunas propiedades elementales de la dinamica de Np.

(1) Np(z0) = z0 si y solo si p(z0) = 0, es decir, los puntos fijos de Np

son las raıces de p.

(2) z = ∞ es siempre un punto fijo de Np y como N ′p(∞) = d

d−1este

punto fijo es repulsor. Por lo tanto, si el metodo de Newton produce un pun-to cerca de ∞, sus sucesivas iteraciones se aproximan a una parte compactade C.

(3) Puesto que N ′p(z) = p(z)p′′(z)

(p′(z))2 , si z0 es una raız simple de p se tiene

que N ′p(z0) = 0, esto es, z0 es un punto fijo superatractor de Np, lo cual

2.2. PROPIEDADES EN EL PLANO COMPLEJO 17

implica que Np es conjugada a la aplicacion z → zk, para algun k > 1 en unentorno de z0.

(4) Las raıces multiples de p son puntos fijos atractores, pero no super-atractores de Np, pues si z0 tiene multiplicidad m > 1, entonces N ′

p(z0) =m−1m

< 1.

(5) Para polinomios genericos de grado d, aquellos que tienen todas susraıces distintas, el metodo de Newton es una funcion racional de grado d.Cuando el polinomio tiene raıces multiples, Np tiene grado menor que d.

(6) Los puntos crıticos de Np son las raıces simples y los puntos de infle-xion de p. Los puntos crıticos de Np que no son raıces de p los llamaremospuntos crıticos libres.

(7) Los puntos crıticos de p, es decir, las raıces de p′(z) = 0, son lospolos de Np.


Capıtulo 3

El metodo de Newton en R2

Ya hemos visto el funcionamiento y algunas propiedades del metodo deNewton en la recta real y el plano complejo; a continuacion lo veremos parafunciones en R

2.El metodo de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales sigue la mismaestrategia que la empleada en el caso de una ecuacion: linealizar y resolver,repitiendo los pasos con la frecuencia que sea necesaria. Aunque nosotros solonos centraremos en el caso en que tengamos dos ecuaciones con dos incognitas(R2), para examinar sistemas mas grandes y con mas variables no se necesi-tan ideas novedosas, pero evidentemente, la complejidad notacional y costecomputacional aumenta segun se aumenta el numero de ecuaciones. Podemosconsultar [5] para mas informacion. Consideramos el siguiente sistema:{

f(x, y) = 0,g(x, y) = 0.

(3.1)

En el supuesto en que (x0, y0) sea una aproximacion de la solucion de (3.1),calculamos sendas correcciones p0 y q0, de modo que (x0 + p0, y0 + q0) seauna mejor aproximacion de la solucion. Utilizando solo terminos lineales enel desarrollo de Taylor en dos variables, tenemos que:⎧⎪⎨

⎪⎩0 = f(x0 + p0, y0 + q0) ≈ f(x0, y0) + p0

∂f

∂x+ q0

∂f

y

0 = g(x0 + p0, y0 + q0) ≈ g(x0, y0) + p0∂g

∂x+ q0

∂g

y.

(3.2)

Las derivadas parciales que aparecen en (3.2) han de evaluarse en (x0, y0). Laecuacion (3.2) esta constituida por una pareja de ecuaciones lineales con las

19

20 CAPITULO 3. EL METODO DE NEWTON EN R2

que determinaremos p0 y q0. La matriz de coeficientes es la matriz jacobianade F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)) evaluada en (x0, y0):

J(x0, y0) =

⎛⎝

∂f∂x

∂f∂y

∂g∂x

∂g∂y

⎞⎠∣∣∣∣∣∣x=x0,y=y0

.

Para resolver (3.2) es necesario que J(x0, y0) sea no singular. Si esta condicionse satisface, la solucion puede hallarse como sigue; la primera iteracion serıa:

(p0q0

)= −J−1(x0, y0)

(f(x0, y0)g(x0, y0)

), (3.3)

(x1

y1

)=

(x0

y0

)+

(p0q0

). (3.4)

Reiterando el proceso tenemos lo siguiente:

(pkqk

)= −J−1(xk, yk)

(f(xk, yk)g(xk, yk)

). (3.5)

En consecuencia, el metodo de Newton para dos ecuaciones no lineales endos variables es (

xk+1

yk+1

)=

(xk

yk

)+

(pkqk

). (3.6)

Aunque tambien puede hallarse la solucion resolviendo el sistema lineal quesigue:

J(xk, yk)

(pkqk

)= −

(f(xk, yk)g(xk, yk)

). (3.7)

Puede hallarse la solucion resolviendo (3.6) o (3.7). En (3.7) se pueden usarmetodos numericos directos como eliminacion gaussiana, descomposicionesLU, o metodos iterativos como el de Jacobi o Gauss-Seidel. Resolver el siste-ma jacobiano puede resultar difıcil cuando J es casi singular; es decir, cuandoel determinante no es nulo pero sı muy pequeno.

3.1. CONVERGENCIA DEL METODO DE NEWTON 21

3.1. Convergencia del metodo de Newton

La teorıa de la convergencia del metodo de Newton, que hemos visto en laprimera asignatura de metodos numericos es local. Esto quiere decir que asu-mimos que la iteracion inicial x0 esta cercana a la solucion. La convergencialocal requiere que se asuman ciertas premisas.

F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)) = 0 tiene una solucion.

F ′ : Ω −→ R2 es una funcion Lipschitz continua cerca de una solucion

de F (x, y) = 0.

F ′(x∗, y∗) es no singular, siendo (x∗, y∗) una raız de F (x, y) = 0.

Recordamos que si una funcion es Lipschitz continua cerca de (x∗, y∗) significaque existe γ > 0 (la constante de Lipschitz) tal que:

‖F ′(x, y)− F ′(u, v)‖ ≤ γ‖(x, y)− (u, v)‖para todo (x, y), (u, v) suficientemente cercanos a (x∗, y∗).

Nota 2. La desigualdad anterior es independiente de la norma empleada.Ahora bien, para el caso que estamos tratando (sistemas en R

2), involucrauna norma matricial, para la matriz jacobiana F ′(x, y), y una norma vecto-rial, para los vectores (x, y). Por supuesto, dichas normas deben ser compa-tibles.

El teorema clasico de convergencia es el siguiente:

Teorema 7. Asumamos las anteriores premisas. Si (x0, y0) es suficientemen-te cercano a (x∗, y∗), entonces la sucesion definida por el metodo de Newtonesta bien definida, (F ′(xn, yn) es no singular para todo n ≥ 0), converge a(x∗, y∗) y existe k > 0 tal que:

en+1 ≤ ke2n (3.8)

para n suficientemente grande, siendo en = ‖(xn, yn) − (x∗, y∗)‖ los errorescometidos en cada paso.

Podemos ver una explicacion de la convergencia mas detallada en [4].

Nota 3. La condicion (3.8) implica que la convergencia del metodo de New-ton es cuadratica (localmente).


3.2. Ejemplos del uso del metodo de Newton

A continuacion expondremos algunos ejemplos del uso del metodo deNewton en el plano complejo y en R

2. Con ellos queremos ilustrar algunosconceptos definidos anteriormente como puntos fijos, cuencas de atraccion,etc.

Ejemplo 3. Estudio dinamico del metodo de Newton aplicado al polinomiof(z) = z3 − 1.

Primero la funcion del metodo de Newton sera:

Nf (z) = z − f(z)

f ′(z)= z − z3 − 1

3z2=

3z3 − z3 + 1

3z2=

2z3 + 1

3z2.

Basandonos en las propiedades expuestas en la seccion 2.2, sabemos que lospuntos fijos de Nf (z) son las raıces de f(z), en este caso las raıces cubicasde la unidad. Por lo tanto, los puntos fijos de Nf (z) seran:

ω0 = 1, ω1 =1

2+

√3

2i, ω2 =

1

2−

√3

2i.

A continuacion, tenemos que:

N ′f (z) =

f(z)f ′′(z)f ′(z)2

=(z3 − 1)6z

(3z2)2=

2(z3 − 1)

3z3.

Como N ′f (ωi) = 0 para i = 0, 1, 2, vemos que las tres raıces de f(z) son

puntos fijos superatractores de Nf (z). Tambien como f(z) es un polinomiogenerico de grado 3, es decir, todas sus raıces son distintas, el metodo deNewton es una funcion racional de grado 3, como habıamos comprobado ya.Las raıces de f(z) son los puntos crıticos de Nf , y los polos de Nf son lasraıces de p′(z) = 0; esto es, z = 0.En la Figura 3.1 vemos como son las cuencas de atraccion de las raıces dela funcion f(z) = z3 − 1, usando un codigo programado en Mathematicaadaptado a partir del que viene dado en [8].Lo que se hace en el codigo es lo siguiente: tomando una parte del planoconstruimos una malla, y para cada uno de los puntos de la malla se iterael metodo de Newton con un numero de iteraciones maximo y se ve, conuna tolerancia prefijada, si es atraıdo por una raız del sistema (pintandoloen este caso de un color establecido para cada una de las raıces) o si no esatraıdo por ninguna (en cuyo caso lo pintamos de negro). Ası conseguimoslas cuencas de atraccion.

3.2. EJEMPLOS DEL USO DEL METODO DE NEWTON 23

Figura 3.1: En la figura de la izquierda vemos las cuencas de atraccion delmetodo de Newton aplicado a la funcon f(z) = z3 − 1. Se muestra en verdela cuenca de atraccion del punto fijo ω0 = 1, en rojo la cuenca de atracciondel punto fijo ω1 = −1

2+

√32i y en azul la cuenca de ω2 = −1

2−

√32i. A

la derecha, vemos una ampliacion de la figura de la izquierda que nos sirvepara comprobar la existencia de autosemejanza; los colores representan lasmismas cuencas de atraccion.

Ejemplo 4. Estudio dinamico del metodo de Newton aplicado a una funcionen R2 proveniente de una funcion en C.

Analizaremos el mismo problema que el planteado en el Ejemplo 3, soloque en R

2. Tenemos que z = x+ i · y; por lo tanto:

z3 − 1 = (x+ iy)3 − 1 = (x+ iy)2(x+ iy)− 1 = (x2 + 2xyi− y2)(x+ iy)− 1

= x3 + 2x2yi− xy2 + x2iy − 2xy2 − iy3 − 1 = x3 + 3x2yi− 3xy2 − y3i− 1.

Ahora, tomamos como primera ecuacion los terminos pertenecientes a laparte real y como segunda ecuacion los terminos pertenecientes a la parteimaginaria, de tal forma que queda:

(x+ iy)3 − 1 = (x3 − 3xy2 − 1) + (3x2y − y3)i.

Ası: {f(x, y) = x3 − 3xy2 − 1 = 0,g(x, y) = 3x2y − y3 = 0.


Ahora, calculamos la matriz jacobiana de F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)).

J =

(∂f∂x

∂f∂y

∂g∂x

∂g∂y

)=

(3x2 − 3y2 −6xy

6xy 3x2 − 3y2

).

Una vez obtenida J procedemos a iterar el metodo de Newton tal y como seexpone en el Capıtulo 3.Como este problema deriva de uno ya analizado en el plano complejo, todolo dicho en lo referente a puntos fijos y su caracter, puntos crıticos, etc. parael plano complejo es analogo. Es decir, los puntos fijos superatractores delmetodo de Newton en este caso son:

(x0, y0) = (1, 0), (x1, y1) =

(−1

2,

√3

2

), (x2, y2) =

(−1

2,−

√3

2

).

Se puede construir el metodo de Newton e iterarlo tal y como lo hemosdescrito en el Capitulo 3, de tal forma que tenemos:(

pkqk

)= −J−1 ·

(f(xk, yk)g(xk, yk)

)=

=−1

3(x2k + y2k)

2

(x2k − y2k 2xkyk

−2xkyk x2k − y2k

)(x3k − 3xky

2k − 1

3x2kyk − y3k

),

(xk+1

yk+1

)=

(xk

yk

)+

(pkqk

)Ası, tenemos:⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩xk+1 = xk − −x2

k + x5k + y2k + xk(3− 2yk)y

3k + x3

kyk(−3 + 5yk)

3(x2k + y2k)

2,

yk+1 = yk − yk(2xk + x4k + 2x2

ky2k + y4k)

3(x2k + y2k)

2.

Par ver como son las cuencas de atraccion de la funcion F (x, y) = (x3 −3xy2 − 1, 3x2y − y3), hemos usado un codigo programado con Mathemati-ca, similar aunque con diferencias sustanciales del utilizado para generar lascuencas de atraccion en C, basandonos en el artıculo [8].Las cuencas de atraccion son las mismas que las representadas en la Figura3.1. En verde representamos la cuenca de atraccion del punto (x0, y0) = (1, 0),


en rojo la del punto (x1, y1) =(−1

2,√32

)y en azul la del punto (x2, y2) =(

−12,−

√32

).

�

Nota 4. Las diferencias del uso del metodo de Newton en el plano complejo,al uso en R

2, son mas internas que a nivel de resultados, ya que es lo mismorealizar el analisis de una funcion en C que hacer el cambio z = x + iy yrealizar el analisis en el plano. Sin embargo, al hacer el analisis en R

2 el costeoperacional puede ser mucho mayor, ya que el calculo de la matriz jacobianano siempre es sencillo. Lo mismo ocurre al calcular la inversa de la matrizjacobiana, puede resultar costoso.

Sabemos que una ecuacion planteada en C puede ser analizada como unproblema en R

2 simplemente mediante un cambio sencillo y tomando comoprimera ecuacion los terminos pertenecientes a la parte real de la funcion ycomo segunda ecuacion los terminos pertenecientes a la parte imaginaria. Yalo hemos visto en el segundo ejemplo de esta seccion.Sin embargo, ası como el cambio de C a R

2 es siempre posible, el cambioinverso no siempre puede hacerse, es decir, no toda funcion en R

2 provienede una funcion en C. Para saber si esto es ası, hay que ver si se verificano no las condiciones de Cauchy-Riemann que hemos visto a lo largo de lacarrera; en caso afirmativo podemos decir que la funcion de R

2 sı provienede una funcion en C, en cambio, si las condiciones de Cauchy-Riemann no severifican entonces la funcion no proviene de una en el plano complejo.Primero recordemos cuales son las ecuaciones de Cauchy-Riemann.Para ver una explicacion y una demostracion extensa de las ecuaciones yel teorema de Cauchy-Riemann podemos consultar [1]. Veremos un teoremaasociado a una ecuacion del plano complejo, aunque el resultado es analogopara un sistema de dos ecuaciones en R2.

Teorema 8. Sea f = u + i · v definida en un conjunto abierto S de C. Sif ′(c) existe para un c de S, las derivadas parciales D1u(c), D2u(c), D1v(c) yD2v(c) existen y se tiene:

f ′(c) = D1u(c) + i ·D1v(c),

yf ′(c) = D2v(c)− i ·D2u(c).


Esto implica, en particular, que:

D1u(c) = D2v(c) y D1v(c) = −D2u(c).

Nota 5. Las dos ultimas ecuaciones se conocen por el nombre de ecuacionesde Cauchy-Riemann. Generalmente, para u = f(x, y), v = g(x, y) se escribenen la forma: ⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩∂f

∂x=

∂g

∂y,

∂f

∂y= −∂g

∂x.

Proponemos a continuacion un ejemplo con una pareja de funciones queverifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Ejemplo 5. Estudio dinamico del siguiente sistema de ecuaciones

{f(x, y) = −1 + x5 − 10x3y2 + 5xy4 = 0,g(x, y) = 5x4y − 10x2y3 + y3 = 0.

(3.9)

Veamos ahora si es cierto que las ecuaciones verifican las condiciones deCauchy-Riemann y por tanto provienen de una en el plano complejo.

∂f

∂x= 5x4 − 30x2y2 + 5y4 =

∂g

∂y= 5x4 − 30x2y2 + 5y4,

∂f

∂y= −20x3y + 20xy3 = −∂g

∂x= 20x3y − 20xy3.

En efecto, las ecuaciones se verifican, por tanto el problema proviene de unoen C; en concreto de la ecuacion f(z) = z5 − 1.Analizamos el problema como uno en el plano complejo para contemplarlas diferencias con el anterior estudiado en R

2. Comenzamos calculando lasraıces de la ecuacion que seran los puntos fijos del metodo de Newton y sonlas que siguen:

ω1 = 1, ω2 =

√5− 1

4+

√5

8+

√5

8i, ω3 =

−√5− 1

4+

√5

8−

√5

8i,

ω4 =−√

5− 1

4−√

5

8−

√5

8i, ω5 =

√5− 1

4−√

5

8+

√5

8i,


que son las raıces quintas de la unidad. A continuacion construimos la funcionde iteracion del metodo de Newton que viene dada por:

Nf (z) = z − f(z)

f ′(z)= z − z5 − 1

5z4=

1

5z4+

4z

5.

Y por tanto, los puntos fijos de la funcion de iteracion del metodo de NewtonNf (z) seran como ya hemos indicado anteriormente los puntos ωi con i =1, . . . , 5. Tenemos tambien que la funcion N ′

f (z) sera:

N ′f (z) =

f(z)f ′′(z)f ′(z)2

=4(−1 + z5)

5z5=

4

5− 4

5z5.

De este modo los puntos fijos seran puntos fijos superatractores, ya queN ′

f (ωi) = 0 para i = 1, . . . , 5.En la Figura 3.2 se muestran las cuencas de atraccion de los diferentes puntosfijos de la funcion del metodo de Newton.

Figura 3.2: A la izquierda vemos las cuencas de atraccion de las raıces def(z) = z5 − 1. En verde se muestra la cuenca de atraccion de ω1, en rojo lacuenca de atraccion de ω2, en azul la cuenca de atraccion de ω3, en rosa lacuenca de atraccion de ω4 y en amarillo la cuenca de atraccion de ω5. A laderecha vemos una ampliacion de la figura de la izquierda que nos sirve paracomparar la existencia de autosemejanza. Los colores representan las mismascuencas.


Nota 6. El Ejemplo 5 viene a decir que si tenemos un par de ecuacionesdadas por f y g, que verifican las condiciones de Cauchy-Riemann, entoncesel problema puede tratarse, de maner mas simple, en C, ahorrando con elloel tener que calcular inversas de matrices.

A continuacion veremos tres ejemplos que nos permitiran contrastar quela complejidad de las cuencas de atraccion varıa mucho dependiendo de lasecuaciones tomadas.

Ejemplo 6. Estudio dinamico del metodo de Newton aplicado a las dos ecua-ciones siguientes en R2.

{f(x, y) = cos x sen y = 0,g(x, y) = x2 + y2 − 9 = 0.

(3.10)

Estas ecuaciones no cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y por tantopodemos afirmar que las ecuaciones no provienen de una en C. En efecto:

∂f

∂x= − sen x sen y �= ∂g

∂y= 2y,

∂f

∂y= cosx cos y �= −∂g

∂x= −2x.

Analizamos las ecuaciones tal y como lo hemos hecho anteriormente para elEjemplo 4. La matriz Jacobiana sera la siguiente:

J =

(− sen x sen y cos x cos y2x 2y

)

Las soluciones del sistema (3.10) seran los diferentes puntos fijos del metodode Newton. En este caso se trata de los puntos

(x1, y1) =

(−π

2,

√36− π2

2

), (x2, y2) =

(−π

2,−

√36− π2

2

),

(x3, y3) =

(π

2,

√36− π2

2

), (x4, y4) =

(π

2,−

√36− π2

2

),

(x5, y5) = (3, 0), (x6, y6) = (−3, 0).


Se puede construir el metodo de Newton e iterarlo tal y como hemos hechoen el Capıtulo 3. (

pkqk

)= −J−1

(f(xk, yk)g(xk, yk)

)=

= − 1

Λ

(−2yk cos xk cos yk2xk sen xk sen yk

)·(cos xk sen ykx2k + y2k − 9

)donde Λ = 2xk cosxk cos yk + 2yk sen xk sen yk.(

xk+1

yk+1

)=

(xk

yk

)+

(pkqk

).

Ası, tenemos que:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

xk+1 = xk − 1

Λ(−2yk cos xk sen yk + (cosxk cos yk)(x

2k + y2k − 9)),

yk+1 = yk − 1

Λ(2xk cos xk sen yk + (sen xk sen yk)(x

2k + y2k − 9)).

A continuacion, en la Figura 3.3, vemos como son las cuencas de atraccionde los puntos fijos del metodo de Newton.La cuenca de atraccion de (x1, y1) se corresponde con el color verde, la de(x2, y2) con el naranja, la de (x3, y3) con el azul claro, la cuenca de atraccionde (x4, y4) esta en color rosa, la de (x5, y5) en amarillo y la cuenca de atraccionde (x6, y6) en azul oscuro. Los puntos pintados en negro son aquellos que noson atraıdos por ninguna raız.Las cuencas de atraccion estan bien definidas cerca de las raıces, sin embargo,conforme nos alejamos, las cuencas empiezan a mezclarse entre sı. De formaque puntos lejanos a las raıces pertenecen a las cuencas de atraccion de lasmismas. Cabe comentar tambien, que los puntos de la recta x = 0 estantodos pintados en negro, y por tanto no son atraıdos por ninguna raız.Las cuencas de atraccion del siguiente ejemplo son mas sencillas, lo vemos acontinuacion:

Ejemplo 7. Consideramos las siguientes ecuaciones en el plano R2.

{f(x, y) = x2 + y2 − 4,g(x, y) = xy − 1.

(3.11)


Obviamente, las ecuaciones de Cauchy-Riemann no se verifican, lo que im-plica que las ecuaciones no provienen de una en C.Calculamos sus raıces que seran los puntos fijos del metodo de Newton; sonlas siguientes:

(x1, y1) =

(−√2−

√3,−4

√2−

√3 +

(2−

√3)3/2)

,

(x2, y2) =

(−√2 +

√3,−4

√2 +

√3 +

(2 +

√3)3/2)

,

(x3, y3) =

(√2−

√3, 4

√2−

√3−

(2−

√3)3/2)

,

(x4, y4) =

(√2 +

√3, 4

√2 +

√3−

(2 +

√3)3/2)

.

La construccion del metodo de Newton sera como sigue:(pkqk

)= −J−1

(f(xk, yk)g(xk, yk)

)=

= −(

xk

2x2k−2y2k

yk−x2

k+y2kyk

2(−x2k+y2k)

xk

x2k−y2k

)·(x2k + y2k − 4xkyk − 1

).

Ası tendremos: (xk+1

yk+1

)=

(xk

yk

)+

(pkqk

),

y, por tanto, ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

xk+1 = xk − x3k + 2yk − xk(4 + y2k)

2(x2k − y2k)

,

yk+1 = yk +2xk − 4yk − x2

kyk + y3k2(x2

k − y2k).

Podemos ver como son las cuencas de atraccion de los diferentes puntos fijosdel metodo de Newton en la Figura 3.3.En este caso, las cuencas estan perfectamente definidas, con las fronteras biendelimitadas. La forma de las cuencas de este ejemplo se consideran extranaso curiosas por no estar mezcladas.Por ultimo expondremos un ejemplo mas complejo, cuya principal singulari-dad es la existencia de infinitas raıces. Es el siguiente:


Ejemplo 8. Considerar las siguientes ecuaciones dadas en el plano R2.

{f(x, y) = cos x sen 3y = 0,g(x, y) = sen x+ cos y = 0.

(3.12)

Obviamente, el sistema tampoco verifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann,y tiene infinitas soluciones, es decir, el metodo de Newton tiene infinitospuntos fijos, dados por:

(x1, y1) =(−π

2+ 2kπ, 2kπ

), (x2, y2) =

(π2+ 2kπ,−π + 2kπ

),

(x3, y3) =(π2+ 2kπ, π + 2kπ

), (x4, y4) =

(3π

2+ 2kπ, 2kπ

),

(x5, y5) =(−π

6+ 2kπ,−π

3+ 2kπ

), (x6, y6) =

(−π

6+ 2kπ,

π

3+ 2kπ

),

(x7, y7) =

(π

6+ 2kπ,−2π

3+ 2kπ

), (x8, y8) =

(π

6+ 2kπ,

2π

3+ 2kπ

),

(x9, y9) =

(5π

6+ 2kπ,−2π

3+ 2kπ

), (x10, y10) =

(5π

6+ 2kπ,

2π

3+ 2kπ

),

(x11, y11) =

(7π

6+ 2kπ,−π

3+ 2kπ

), (x12, y12) =

(7π

6+ 2kπ,

π

3+ 2kπ

).

La construccion del metodo de Newton es similar a la vista en los ejemplosanteriores y sera como sigue:(

pkqk

)= −J−1

(f(xk, yk)g(xk, yk)

)=

= − 1

Λ

(sen yk 3 cosxk cos 3ykcos xk sen xk sen 3yk

)·(

cos xk sen 3yksen xk + cos yk

),

siendo Λ = 3 cos2 xk cos 3yk − sen xk sen yk sen 3yk.(xk+1

yk+1

)=

(xk

yk

)+

(pkqk

).

Y por tanto,⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

xk+1 = xk − 1

Λ(cosxk(3 cos 3yk(cos yk + sen xk) + sen yk + sen 3yk)),

yk+1 = yk − 1

Λ((1 + cos yk sen xk) sen 3yk).


En la Figura 3.4 podemos ver como son las cuencas de atraccion de lospuntos fijos del metodo de Newton aplicado al sistema en la porcion delplano comprendida en

[−π2, π2

] × [−π2, π2

]. En esta region hay cinco raıces,

(x1, y1) =(−π

2, 0), (x2, y2) =

(−π6,−π

3

), (x3, y3) =

(−π6, π3

), (x4, y4) =

(π2, π)

y (x5, y5) =(π2,−π

). De este modo aparece en magenta la cuenca de atraccion

de la raız (x1, y1), en amarillo la cuenca de la raız (x2, y2), en rojo la de la raız(x3, y3), en cyan la de la raız (x4, y4) y en azul la cuenca de la raız (x5, y5).Los puntos pintados en negro no son atraıdos por ninguna de las cinco raıcesconsideradas. Podrıan ser atraıdos por alguna de las otras raıces, por un cicloo simplemente pueden no converger.Tambien en la Figura 3.4 vemos las cuencas para los puntos fijos del metodode Newton en la porcion del plano [−π, π]× [−π, π]. El numero de raıces enesta region es mayor. En concreto hay doce raıces, cuyas cuencas aparecencoloreadas con diferentes colores. Lo mas destacable es que puntos que en laFigura 3.4 (izquierda) aparecıan en negro, tienen ahora asignado un color.Es decir, son atraıdos por raıces que antes no estaban en la porcion del planoconsiderada, pero sı por raıces que estan en la nueva zona.Esto nos da una idea de lo complejo que puede resultar determinar las cuencasde atraccion de las raıes de un sistema en R2. No solo eso, con los tresejemplos hemos puesto de manifiesto que la estructura de las cuencas deatraccion es muy diversa. Pueden estar muy bien definidas, con fronterasbien establecidas entre unas cuencas y otras o tambien ser muy complejashabiendo zonas donde una pequena modificacion del punto de partida haceque podamos alcanzar cualquiera de las raıces.Finalmente, el problema se vuelve extremadamente complicado cuando elnumero de raıces es infinito. Todo esto conociendo a priori las raıces, cosaque, en general, no es siempre factible.


Figura 3.3: A la izquierda se representan las cuencas de atraccion del Ejemplo6 y a la derecha las cuencas de atraccion del Ejemplo 7.

Figura 3.4: A la izquierda las cuencas de atraccion del Ejemplo 8 en la porciondel plano comprendida entre

[−π2, π2

]× [−π2, π2

]. Y a la derecha las cuencas de

atraccion del mismo ejemplo en la porcion del plano [−π, π]× [−π, π].


Capıtulo 4

El problema de los tres cuerpos

4.1. Historia e introduccion

El problema de describir el movimiento de dos cuerpos que se muevenbajo la atraccion gravitatoria fue completamente resuelto gracias a las con-tribuciones de Kepler y Newton en el siglo XVII. La ley de gravitacion deNewton hizo plantearse, de manera natural, la descripcion del movimientode tres o mas cuerpos. Sin embargo, este resulto ser un problema mucho mascomplejo de lo esperado y, a lo largo de los tres ultimos siglos, el problemade los tres cuerpos ha jugado un papel importante en el desarrollo de la cien-cia. Ha desencadenado numerosos estudios matematicos, metodos y teorıas,como los desarrollados por Euler, Lagrange, Laplace, Jacobi y muchos otros.Fue tambien una parte esencial del famoso “problema del movimiento de laLuna” que rivalizo durante la mayor parte del siglo XVIII con el progreso dela relojerıa para resolver el problema de la longitud geografica.La dificultad a la hora de resolver el problema de los tres cuerpos fue la razonpara la introduccion de nuevos metodos cualitativos por parte de Poincare,Birkhoff, Sundman y Chozy, entre otros; metodos que tambien fueron exten-didos a muchas otras ramas de la ciencia. Por otra parte, las singularidadesy sensibilidad a las condiciones iniciales del problema de los tres cuerposlo convierten en un ejemplo ideal para los nuevos metodos de integracionnumerica.Actualmente se conocen un buen numero de resultados del problema de lostres cuerpos, establecidos con total rigor matematico, eso sı, sujetos a quelos valores iniciales de posicion y velocidad cumplan ciertas condiciones res-

35

36 CAPITULO 4. EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS

trictivas.Entre estas soluciones se encuentran las soluciones especiales del problemarestringido de tres cuerpos, que son las que trataremos en esta memoria.

4.2. Ecuaciones diferenciales del movimiento

Consideremos dos cuerpos finitos que se mueven uno alrededor de otrocon movimiento circular uniforme. El problema que nos planteamos es descri-bir el movimiento de un tercer cuerpo de masa infinitesimal que se encuentrasujeto a la atraccion gravitatoria de los dos primeros. Aquı supondremos queel cuerpo de masa infinitesimal no ejerce influencia alguna sobre los dos pri-meros.Con el fin de simplificar las ecuaciones que describen el movimiento y asu-miendo la notacion casica (vease [2], [6]), tomaremos unidades de longitud,masa y tiempo adecuadas, de manera que la distancia entre los dos cuerposde masa finita sea igual a uno, las masas puedan ser representados por 1−μy μ con μ ≤ 1

2y que el movimiento medio (angulo girado por unidad de

tiempo 2π/T, T = periodo) sea igual a uno.Tomemos un sistema de referencia (ξ, η, ζ) cuyo origen esta situado en elcentro de masas de los cuerpos de masa finita y de manera que el planoζ = 0 es el plano del movimiento de dichos cuerpos. Ası, las coordenadas delos cuerpos de masa 1 − μ y μ y el de masa infinitesimal seran respectiva-mente, (ξ1, η1, 0), (ξ2, η2, 0) y (ξ, η, ζ). Sean las distancias del cuerpo de masainfinitesimal a los otros dos:

r1 =√

(ξ − ξ1)2 + (η − η1)2 + ζ2,

r2 =√

(ξ − ξ2)2 + (η − η2)2 + ζ2.

Entonces las ecuaciones diferenciales del movimiente del cuerpo infinitesimalvienen dadas por:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

d2ξ

dt2= −(1− μ)

(ξ − ξ1)

r31− μ

(ξ − ξ2)

r32,

d2η

dt2= −(1− μ)

(η − η1)

r31− μ

(η − η2)

r32,

d2ζ

dt2= −(1− μ)

ζ

r31− μ

ζ

ζr32.

(4.1)

4.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO 37

Dado que el movimiento de los cuerpos principales es conocido, realizamosun cambio de coordenadas para pasar a un sistema de referencia rotante,de manera que los cuerpos principales queden fijos en dicho sistema. Estecambio de coordenadas viene dado por⎧⎨

⎩ξ = x cos t− y sen t,η = x sen t+ y cos t,ζ = z,

(4.2)

donde ξ, η, ζ representan las coordenadas de cualquiera de los tres cuerpos.Derivando hasta segundo orden las ecuaciones del cambio (4.2), operando ysustituyendo en (4.1), llegamos a:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(d2x

dt2− 2

dy

dt− x

)cos t−

(d2y

dt2+ 2

dx

dt− y

)sen t =

= −((1− μ)

(x− x1)

r31+ μ

(x− x2)

r32

)cos t+

+

((1− μ)

(y − y1)

r31+ μ

(y − y2)

r32

)sen t,

(d2x

dt2− 2

dy

dt− x

)sen t+

(d2y

dt2+ 2

dx

dt− y

)cos t =

= −((1− μ)

(x− x1)

r31+ μ

(x− x2)

r32

)sen t−

−((1− μ)

(y − y1)

r31+ μ

(y − y2)

r32

)cos t,

d2z

dt2= −(1− μ)

z

r31− μ

z

r32.

(4.3)

Multiplicando las dos primeras ecuaciones por cos t y sen t respectivamente,luego por − sen t y cos t, y sumando; obtenemos:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

d2x

dt2− 2

dy

dt= x− (1− μ)

(x− x1)

r31− μ

(x− x2)

r32,

d2x

dt2+ 2

dy

dt= y − (1− μ)

(y − y1)

r31− μ

(y − y2)

r32,

d2z

dt2= −(1− μ)

z

r31− μ

z

r32.

(4.4)


Si tomamos el eje x de manera que los cuerpos principales se encuentransiempre sobre el, tendremos y1 = y2 = 0 y las ecuaciones pasan a ser:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

d2x

dt2− 2

dy

dt= x− (1− μ)

(x− x1)

r31− μ

(x− x2)

r32,

d2y

dt2+ 2

dx

dt= y − (1− μ)

y

r31− μ

y

r32,

d2z

dt2= −(1− μ)

z

r31− μ

z

r32.

(4.5)

De esta manera (4.5) son las ecuaciones diferenciales del movimiento delcuerpo infinitesimal referido al sistema rotante. Notese que los cuerpos finitossiempre permanecen en el eje x, por lo que no aparece explıcitamente lavariable independiente t, debido a que sus coordenadas son constantes comoconsecuencia del cambio de coordenadas (4.2). Esto se contrapone a que enlas ecuaciones (4.1), las cantidades ξ1, ξ2, η1 y η2 son funciones de t. De estemodo hemos llegado a un problema mas sencillo que el que nos habıamosplanteado inicialmente.

4.3. Soluciones particulares del problema de

los tres cuerpos

Ante la dificultad de encontrar una solucion general de las ecuaciones(4.5), nos planteamos buscar soluciones particulares. En concreto buscaremossoluciones de equilibrio. Es decir, aquellas de la forma (x0, y0, z0) con x0, y0,z0 constantes para todo instante de tiempo1. Esto implica lo siguiente:

dx

dt= 0,

dy

dt= 0,

dz

dt= 0.

Por tanto, nos plantearemos resolver el sistema (4.5) igualado a cero. Ası te-nemos: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0 = x− (1− μ)(x− x1)

r31− μ

(x− x2)

r32,

0 = y − (1− μ)y

r31− μ

y

r32,

0 = −(1− μ)z

r31− μ

z

r32.

(4.6)

1Estas coordenadas son constantes en el sistema rotante, que no en el sistema de refe-rencia original. Es decir, a dicha solucion debe sumarsele la rotacion de los cuerpos finitos.

4.3. SOLUCIONES PARTICULARES 39

De este modo pasamos de un sistema de ecuaciones diferenciales a uno deecuaciones no lineales, encontrandonos ası frente a un problema resolublemediante el metodo de Newton, tal y como hemos descrito en la primeraparte de la memoria.En (4.6) x1 y x2 son las coordenadas de los dos cuerpos que estan sobreel eje x; el cuerpo de masa (1 − μ) esta situado en la parte negativa deleje a distancia μ del origen, mientras que el cuerpo de masa μ esta en laparte positiva del eje a distancia (1 − μ) del origen, es decir, x1 = −μ yx2 = 1 − μ. Por otra parte, r1 y r2 representan la distancia del cuerpo demasa infinitesimal a los dos cuerpos, es decir:

r1 =√

(x− x1)2 + y2 + z2, r2 =√

(x− x2)2 + y2 + z2.

De las ecuaciones (4.6) se deduce que una condicion necesaria para que sesatisfaga el sistema es que la coordenada z debe ser igual a 0. De este modonos queda un sistema de dos ecuaciones y dos incognitas (x, y) que debemosresolver; sera de la forma siguiente.⎧⎪⎨

⎪⎩x− (1− μ)

(x− x1)

r31− μ

(x− x2)

r32= 0,

y − (1− μ)y

r31− μ

y

r32= 0.

(4.7)

Realmente todo ser reduce a encontrar las raıces de un sistema no lineal enR

2, como hemos hecho anteriormente.Distinguiremos dos tipos de soluciones. Por un lado aquellas para las quey = 0 (ya que la segunda ecuacion se anula en ese caso) y, por otro, aquellaspara las que y �= 0.

Nota 7. Es interesante ver la diferencia entre la segunda y la tercera ecua-cion del sistema (4.6). En ambas se tiene un factor comun, pero en la tercerael termino que va multiplicando a z no puede anularse nunca, mientras queen la segunda, el factor que multiplica a y sı. De ahı que se distingan lassoluciones y = 0 e y �= 0.

Ahora analizamos las soluciones cuando y = 0. En este caso, solo hay queresolver una ecuacion, la primera del sistema (4.6). Ademas r1 y r2, que sondos distancias, son siempre cantidades positivas y representan las distanciasa los dos cuerpos finitos respectivamente. Ası, debemos distinguir tres casos.El primero es estudiar si existen soluciones en la parte positiva del eje x, entre


el cuerpo de masa μ e infinito. A la o las soluciones (veremos que solo hayuna) la llamaremos L2. Para ver en que situacion nos encontramos podemosconsultar la Figura 4.1. Si llamamos x a la coordenada de L2, tendremos que

Figura 4.1: Localizacion de la raız del sistema (4.7) cuando y = 0 y ademasla solucion que buscamos esta entre el cuerpo de masa μ y infinito.

r1 = x + μ y r2 = x − 1 + μ. Sustituimos esto en la primera ecuacion delsistema (4.6) y obtenemos lo siguiente:

1

(x− x1)2(x− x2)2(x5 − x2

2 − 2x4(x1 + x2) + μ(−x21 + x2

2)+

+x3(x21 + 4x1x2 + x2

2)− x2(1 + 2x21x2 + 2x1x

22)+

+x(2μ(x1 − x2) + x2(2 + x21x2))) = 0.

Esta ecuacion se verifica cuando se anula el numerador, que resulta ser unpolinomio de quinto grado en x. Si sustituimos x1 por μ y x2 por 1 − μ,tenemos que x es solucion de la ecuacion

μ4x+ 2μ3x(−1 + 2x) + (−1 + x)3(1 + x+ x2)+

+μ2(−3 + x− 6x2 + 6x3) + μ(3− 4x+ 2x2 − 6x3 + 4x4) = 0.

Para simplificar la expresion, llamaremos r a la distancia entre el punto L2 yel cuerpo de masa μ, es decir r = x− (1− μ). Ası, simplificamos la ecuacionque queda como:

−μ− 2μr − μr2 + (3− 2μ)r3 + (3− μ)r4 + r5 = 0. (4.8)

Como μ esta entre 0 y 12, la secuencia de coeficientes del polinomio anterior

solo cambia una vez de signo, por lo que solo hay una raız positiva. Es decir,una unica solucion2.Podemos calcular de forma aproximada esta solucion, viendo que, para μ = 0,

2Regla de los signos de Descartes: El numero de raıces reales positivas de una ecuacionpolinomica con coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al numero decambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes.


la unica solucion es r = 0. Esta es una raız triple, que dara lugar a tres raıces(una real y dos complejas) cuando μ sea distinta de 0. Estas raıces puedenobtenerse mediante un desarrollo en serie de potencias fraccionarias de μ. Enconcreto tendremos que:

r = a1μ1/3 + a2μ

2/3 + a3μ+ · · ·

Los coeficientes a1, a2, a3, . . . se obtienen sustituyendo en la expresion (4.8)e igualando a 0. Identificando los coeficientes de las potencias de μ se llegaası a un sistema de ecuaciones, donde las incognitas son los coeficientes deldesarrollo de r en potencias fraccionarias de μ.Resolviendo el sistema para las incognitas que aparecen obtenemos

a1 =13√3, a2 =

1

3 · 3√3, a3 = − 1

27, a4 =

50

243 · 3√3.

Sustituimos en la serie inicial y obtenemos los primeros terminos del desa-rrollo, que nos daran, de manera aproximada, la raız que andamos buscando.En este caso tendremos:

r ≈ μ1/3

3√3+

μ2/3

3 3√9− μ

27+

50μ4/3

243 3√3.

Por lo tanto, la coordenada x de L2 sera:

x ≈ 1− μ+

(μ1/3

3√3+

μ2/3

3 3√9− μ

27+

50μ4/3

243 3√3

). (4.9)

A continuacion, estudiaremos si existe alguna solucion en la parte del ejecomprendida entre el cuerpo de masa μ y el cuerpo de masa 1 − μ. Puedecomprobarse que solo hay una y la llamaremos L3. En este caso tendremosque r1 = x− x1 y r2 = x2 − x, como se ve en la Figura 4.2. Procediendo de

Figura 4.2: Localizacion de la raız de (4.7) cuando y = 0 en el segundo caso,es decir, cuando el punto de equilibrio esta entre los dos cuerpos finitos.

modo analogo a como lo hemos hecho en el caso anterior y tomando tambien


r = x− (1−μ), llegamos a que la ecuacion que debemos resolver ahora es lasiguiente:

μ+ 2μr + μr2 + (3− 2μ)r3 + (3− μ)r4 + r5 = 0.

Si hacemos lo mismo que antes, en lo relativo a expresar r como serie depotencias, acabamos llegando a la conclusion de que la coordenada x de L3

es la siguiente:

x ≈ 1− μ+

(−μ1/3

3√3+

μ2/3

3 3√9+

μ

27− 58μ4/3

243 3√3

). (4.10)

Procediendo de un modo similar, podemos estudiar si existe alguna raız entreel cuerpo de masa μ y −∞. Puede verse que existe una unica raız y lallamaremos L1. En este caso tenemos que r1 = x1−x y r2 = x2−x. Podemosver la situacion a la que nos enfrentamos en la Figura 4.3.En este caso el proceso es algo distinto, puesto que al usar como variable

Figura 4.3: Localizacion de la raız del sistema (4.7), cuando y = 0 en el tercercaso, es decir, cuando el punto de equilibrio se encuentra en la parte negativadel eje.

r, la distancia al punto de masa μ, no se obtiene un polinomio que paraμ = 0 tenga una raız triple en el origen. En este caso esta raız es doble yla que da lugar a L1 es una raız de un polinomio de tercer grado que nopuede determinarse explıcitamente. Sin embargo, eligiendo apropiadamenter, como r = x− x2 + 2, podemos llevar esta raız al 0 y proceder como en loscasos anteriores, aunque ahora el 0 es una raız simple. En este caso debemosresolver la ecuacion

−7μ+ (12 + 14μ)r + (−24− 13μ)r2 + (19 + 6μ)r3 + (−7− μ)r4 + r5 = 0.

Expresando r en serie de potencias como hemos hecho en los casos anteriores,llegamos a la conclusion que la coordenada x de L1 viene dada por

x ≈ −μ− 1+

(7μ

12+

1127μ3

20736+

7889μ4

248832+

261023μ5

11943936+

7594363μ6

429981696

). (4.11)


Ya hemos calculado las soluciones de equilibrio del problema de los trescuerpos cuando y = 0 para distintos valores de μ ∈ (

0, 12

). A continua-

cion calcularemos las soluciones de equilibrio cuando estas no estan en el ejex, es decir, para y �= 0.Para determinar estas soluciones consideramos las ecuaciones (4.6) de nuevo.Estas ecuaciones son las que definen las soluciones de equilibiro. Como y �= 0de la segunda ecuacion se obtiene que:

1− 1− μ

r31− μ

r32= 0.

Multiplicando esta ecuacion por x−x2 y x−x1 y restando los productos porseparado de la primera ecuacion de (4.6); el resultado es:⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩x2 − (1− μ)

x2 − x1

r31= 0,

x1 − μx1 − x2

r32= 0.

(4.12)

Pero, x2 = 1− μ, x1 = −μ, y x2 − x1 = 1; entonces las ecuaciones (4.12) sereducen a: ⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩1− 1

r31= 0,

−1 +1

r32= 0.

(4.13)

Las unicas soluciones reales son r1 = 1, r2 = 1. Es decir, que las solucionescorresponden a aquellos puntos que forman un triangulo equilatero juntocon los cuerpos finitos. A dichas soluciones las llamaremos L4 y L5. Unarepresentacion grafica de la situacion a la que nos enfrentamos podemos verlaen la Figura 4.4.Las coordenadas de los puntos L4 y L5 seran las siguientes:

Como las soluciones son los vertices de dos triangulos equilateros enlos que los otros dos vertices son las coordenadas de los cuerpos finitos,tenemos que la coordenada x sera la del punto medio de los dos cuerpos,es decir, como la coordenada de uno es −μ y la del otro es 1 − μ, lacoordenada x de las soluciones L4 y L5 sera x = 1

2− μ.


La altura de un triangulo equilatero de lado uno no cambia al cambiarel parametro μ, pues la distancia entre los dos cuerpos siempre es uno.Por lo tanto la coordenada y de los puntos L4 y L5 es y = ±

√32.

Por tanto,

L4 =

(1

2− μ,

√3

2

), L5 =

(1

2− μ,−

√3

2

)

Nuestro objetivo es caracterizar las cuencas de atraccion de estas cinco solu-

Figura 4.4: Representacion grafica de las cinco soluciones de equilibrio delproblema restringido de tres cuerpos.

ciones cuando se aplica el metodo de Newton al sistema (4.7) para diferentesvalores de μ. Para ello debemos resenar una diferencia notable frente a losejemplos presentados en el Capıtulo 3. En este caso no conocemos las raıces deforma exacta, sino aproximada. Por ello es necesario determinar, en primerainstancia, los valores de las raıces. Puesto que disponemos de aproximacionesde dichas raıces L1, L2 y L3 dadas por (4.9), (4.10) y (4.11) respectivamente,podemos aplicar el metodo de Newton a los valores aproximados, bajo lasuposicion de que son buenas aproximaciones, es decir, estan en la cuencainmediata de atraccion y nos conduciran a los verdaderos valores de L1, L2

y L3.Una vez obtenidas las raıces procedemos como en el Capıtulo 3. En la Figura4.5 se muestran las cuencas de atraccion para valores de μ = 0.001, μ = 0.1,


μ = 0.2, μ = 0.3, μ = 0.4 y μ = 0.5.Comentamos a continuacion algunos aspectos relativos a las cuencas de atrac-cion obtenidas:

Es importante senalar que las cuencas estan muy mezcladas entre sı,y que cuanto mas pequeno es μ, mas mezcladas estan. Ademas lasfronteras de las cuencas no estan muy bien delimitadas.

Las cuencas de las raıces L4 y L5, que a diferencia de las otras si obte-nemos de manera exacta, predominan sobre las otras. Ademas, cuantomas pequeno es μ la cuenca de atraccion del punto L2 es mas pequena.Podemos ver en la Figura 4.5, cuando μ = 0.001, la cuenca pintada enrojo, correspondiente a la raız L2, es muy pequena en comparacion conla de L1.

Todas las cuencas de atraccion son simetricas respecto al eje x y enparticular la cuenca de atraccion para μ = 0.5, Figura 4.5, es simetricarespecto a ambos ejes. Lo vemos a continuacion

Si construimos el metodo de Newton de forma analoga a como lo hemos hechoen el Capıtulo 3 llegamos a que{

xk+1 = xk + F1(xk, yk, μ),yk+1 = yk + F2(xk, yk, μ).

donde F1 y F2 son la primera y segunda ecuacion respectivamente del siste-ma (4.7). Puede verse que si a cierto punto (xk, yk) le aplicamos el metodode Newton obtenemos (xk+1, yk+1). Y que si tomamos el punto (xk,−yk),llegamos a (xk+1,−yk+1), lo que implica la existencia de simetrıa respecto aleje x. Esta simetrıa se demuestra despejando xk e yk de las ecuaciones delmetodo, resultado que obviamos por su extension.

En la Figura 4.5 vemos las cuencas de atraccion cuando μ = 0.001, unvalor aproximado al existente en el sistema solar, es decir, el problemaal que nos enfrentamos podrıa ser aquel en el que los cuerpos fueranla Tierra, la Luna y un satelite, o en el que fueran el Sol, Jupiter y unasteroide.

En la Figura 4.5 estan dibujadas las cuencas de atraccion para μ =0.5, a este problema se le conoce con el sobrenombre de Problema deCopenhague.


Figura 4.5: Arriba a la izquierda vemos como son las cuencas de atraccionde las cinco soluciones particulares para el caso μ = 0.001, a la derecha comoson las cuencas para el valor de μ = 0.1. En el centro a la izquierda vemoslas cuencas para μ = 0.2 y a la derecha para μ = 0.3. Abajo a la izquierdapara μ = 0.4 y a la derecha para μ = 0.5.

CONCLUSIONES 47

Conclusiones

Hemos redactado esta memoria con la intencion de separarla en dos par-tes bien diferenciadas.En la primera parte tratamos el metodo de Newton en la recta real, el planoR

2 y el plano complejo. Hemos visto sus semajanzas y diferencias en las dis-tintas variantes y tratado sus cuestiones mas especıficas para cada una deellas.El metodo de Newton es muy conocido, sin embargo durante la realizacion deeste trabajo hemos visto la profundidad y las repercusiones que tiene. Duran-te el Grado en Matematicas el metodo de Newton ha aparecido en numerosasocasiones, aunque hasta ahora no habıa alcanzado tamana dimension.Hemos adquirido tambien nuevas nociones, cabe destacar la de cuenca deatraccion, comprendiendo su importancia y relevancia a la hora de hallartodas las raıces de una ecuacion no lineal.En la segunda parte hemos estudiado, aunque sin entrar en demasiada pro-fundidad, el problema de los tres cuerpos. Un problema estudiado por grandesmatematicos y fısicos a lo largo de la historia, y hemos sido conscientes desu complejidad, su importancia y el deseo de resolucion por parte de dichoscientıficos.El metodo de Newton tan ampliamente descrito en la primera parte, ha sidoutilizado en la segunda para resolver las ecucaciones asociadas al problema delos tres cuerpos, para representar graficamente la cuenca de atraccion de suscinco raıces y para apreciar como estas evolucionan al cambiar el parametroμ.

48 CONCLUSIONES

Bibliografıa

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49

Documents

Cuencas de atracción del método de Newton aplicado al problema