Cuerpos Geométricos. Volumenes

8/20/2019 Cuerpos Geométricos. Volumenes

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Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.

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4

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3

2

1

1 E S O

G U Í A D I D Á C T I C A UNIDAD 14

Cuerpos geométricos.Volúmenes

C O N T E N I D O


2/152 Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volúmenes

Con esta unidad se empieza a trabajar la geometría del espacio. Nos introducimos en un mundo que los alumnos no domi-nan muy bien: el de las tres dimensiones. Hay que poner especial cuidado en que vean adecuadamente las figuras, lascomprendan y sean capaces de trabajar con ellas.

Al dibujar en la pizarra distorsionamos la realidad, ya que realizamos una proyección de tres dimensiones a dos dimen-siones, y habrá algunos alumnos que no sean capaces de visualizar bien las ideas que queremos trabajar. Por eso es impor-

tante que puedan manipular físicamente los cuerpos geométricos.

La unidad comienza con un repaso de los poliedros y los cuerpos redondos y sus elementos, para después introducir elconcepto de volumen de una figura cualquiera. Los alumnos deben comprender el concepto de volumen de una figuraen el espacio y la necesidad de una unidad que permita medir y comparar el volumen de diversas figuras.

Es importante que identifiquen las múltiples figuras del espacio y que distingan perfectamente los prismas de las pirá-mides y los cilindros de los conos, así como sus elementos, muy especialmente la base y la altura, dado que son los queaparecen en las fórmulas para el cálculo del volumen.

No menos importante es que comprendan la utilidad de las fórmulas para el cálculo del volumen de las figuras y que,además de aprenderlas y utilizarlas correctamente, sepan cómo se pueden obtener todas a partir de la más sencilla: laque permite calcular el volumen del ortoedro.

• Poliedros

• Elementos de un poliedro: caras, aristas y vértices

• Poliedros convexos y cóncavos

• Poliedros regulares

• Prismas rectos y prismas oblicuos

• Prisma regular

• Pirámides rectas y oblicuas

• Pirámide regular

• Cuerpos redondos: cilindro, cono y esfera

• Eje de giro

• Generatriz del cilindro y del cono

• Superficie esférica

• Casquete esférico. Círculo máximo

• Paralelos y meridianos

• Volumen del ortoedro y del cubo

• Volumen del prisma y de la pirámide

• Volumen del cilindro y del cono

Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volúmenes

CONTENIDOS

rogramación de aula

OBJETIVOS CRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Identificar las formas espacialesque aparecen en la realidad.

1.1.Reconocer las distintas figurasdel espacio y sus elementos dis-tinguiendo los distintos tipos depoliedros y de cuerpos redondos.

• Lingüística

• Matemática

• Interacción con el mundo físico

• Social y ciudadana• Tratamiento de la información y

competencia digital

• Aprender a aprender

2. Interpretar expresiones matemá-ticas sencillas que permiten obte-

ner el cálculo del volumen de lasfiguras del espacio.

2.1.Utilizar adecuadamente las fór-mulas que permiten obtener elvolumen de los poliedros.

2.2.Usar correctamente las fórmu-las para el cálculo del volumende los cuerpos de revolución.

3. Resolver problemas matemáticosrelacionados con la vida cotidia-na utilizando diferentes estrate-gias, procedimientos y recursos.

3.1.Aplicar las fórmulas del cálculodel volumen de las figuras delespacio para resolver problemas.


3/153Cuerpos geométricos. Volúmenes Unidad 14

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosPara el correcto cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos es necesario que los alumnos dominen las unidades devolumen y superficie del Sistema Métrico Decimal, en especial lo referente al cambio de unidades, así como el cálculode áreas de figuras planas.

2. Previsión de dificultadesComo ya hemos dicho anteriormente, la principal dificultad que vamos a encontrar es que a los alumnos les cuesta veren dos dimensiones la representación de un cuerpo geométrico. Para solventarlo conviene que llevemos al aula cuer-pos geométricos que puedan manipular.

3. Vinculación con otras áreasEl estudio de los cuerpos geométricos está estrechamente relacionado con los contenidos de Educación Plástica y Visual.

El concepto de volumen y su cálculo está relacionado con los contenidos de ciencias de la naturaleza, en especial con ladensidad.

4. Esquema general de la unidadLa última unidad sobre geometría está dedicada al cálculo del volu-men de las figuras del espacio.

Se inicia este estudio con un repaso de los poliedros y los cuerpos derevolución, así como de los elementos que los caracterizan: aristas,caras, vértices, bases, altura, apotema.

Después se introduce el concepto de volumen de una figura en gene-ral, indicando la necesidad de elegir una unidad de medida.

A partir de un ejemplo se obtiene la fórmula que permite calcular elvolumen del ortoedro y, como caso particular, la del volumen del cubo.

Por último, utilizando como referencia la fórmula del volumen delortoedro y construyendo figuras de la misma área de la base que ladel ortoedro y la misma altura, se obtienen las fórmulas para elcálculo del volumen del resto de las figuras del espacio.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones:

1.ª Introducción. Poliedros.

2.ª Medidas indirectas. Teorema de Pitágoras.

3.ª Prismas y pirámides.

4.ª Cilindros, conos y esferas.5.ª Volumen del ortoedro, del cubo y del prisma.

6.ª Volumen de la pirámide, del cilindro y del cono.

7.ª Actividades de repaso y consolidación.

8.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias paradesarrollar la unidad.

Prismas ypirámides

Poliedros

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Cuerposredondos

Cilindros, conosy esferas

Volúmenes


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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja en toda la unidad, ya que la comprensión del texto es imprescindible para comprender y apli-car todos los conceptos que aparecen en ella.

En particular, la sección “Desarrolla tus competencias” y, en general, los problemas con enunciado contextualizadodesarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetenciacomunicación escrita.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, trabajando de forma más detallada las subcom-petencias resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físicoEn las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar las subcompetencias aplicación del método científicoen diferentes contextos y conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Competencia cultural y artística

Las actividades y reseñas sobre la evolución de la arquitectura a lo largo de la historia permiten desarrollar la sub-

competencia sensibilidad artística.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la reso-lución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las seccio-nes de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmen-te en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construcción delconocimiento.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio refle-xivo y crítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

ogramación de aula



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TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad,en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado des-criptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

Programación de aula

Cuerpos geométricos. Volúmenes Unidad 14

COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

Lingüística Comunicación escrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar y

sintetizar la información contenida en un

texto para contribuir al desarrollo del

pensamiento crítico.

– Extrae información de un texto que

permita la identificación de los

objetos en él descritos.

Desarrolla tus competencias

Problemas

Matemática

Resolución de

problemas.

Utilizar las matemáticas para el estudio y

comprensión de situaciones cotidianas.

– Identifica cuerpos geométricos en

la vida cotidiana.

En toda la unidad

Uso de elementos yherramientas

matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos

matemáticos básicos (distintos tipos denúmeros, medidas, símbolos, elementos

geométricos, etc.) en situaciones reales o

simuladas de la vida cotidiana.

– Aplica las fórmulas del cálculo de

volúmenes.

En toda la unidad

Interacción con elmundo físico

Aplicación del método

científico en diferentes

contextos.

Formular hipótesis y prevenir

consecuencias sobre los problemas

relevantes en situaciones reales o

simuladas.

– Aplica el estudio de los cuerpos

geométricos para diseñar un

envase óptimo.

Pon a prueba tus competencias:Compara y decide

Conocimiento y

valoración del desarrollo

científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación del

desarrollo de la ciencia y la tecnología a

la sociedad.

– Identifica construcciones con

cuerpos geométricos.

Desarrolla tus competenciasPon a prueba tus competencias:Observa y realiza, aprende apensar, modeliza y construye

Cultural y artística Sensibilidad artística.

Adquirir sensibilidad y sentido estético

para comprender, apreciar, emocionarse y

disfrutar con el arte y otras

manifestaciones culturales.

– Aprecia las obras de arquitectura.


Pon a prueba tus competencias:Observa y realiza, aprende apensar

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,

transformación y

comunicación de la

información.

Buscar y seleccionar información con

distintas técnicas según la fuente o el

soporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en diferentes páginas de

internet para complementar la

información.

En la red


– Visita la página librosvivos.net

Actividades 7 y 14, organiza tusideas, autoevaluación

Aprender a aprenderConstrucción del

conocimiento.

Admitir diversidad de respuestas posibles

ante un mismo problema y encontrar

diferentes enfoques metodológicos para

solventarlo.

– Decide la respuesta adecuada de

un problema entre cuatro posibles.

Actividades de ampliación


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EDUCACIÓN EN VALORES

Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos per-miten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar laedu-cación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD

En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permi-ten trabajar la diversidad del alumnado.

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS

ogramación de aula


SM

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuadernos de refuerzo “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO.

– Unidad 6. Cuerpos geométricos.

• Cuadernos de Matemáticas. 1.º de ESO: N.º 6: “Medida”.

– Unidad III. Cuerpos geométricos. Volúmenes.

• Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO.

– Los dados del rol.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Página en la que podemos encontrar una clasificación clara y concisa de los cuerpos geo-métricos:

www.e-sm.net/1esomatprd27

Página de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales-CICA sobre áreas yvolúmenes de cuerpos geométricos:

www.e-sm.net/1esomatprd28

• Cuerpos geométricos, preferiblemente con la base desmontable para comprobar las fórmulas de los

volúmenes.• Láminas con el desarrollo plano de los diferentes cuerpos geométricos. O

t r

o s

m a t e r i a l e s

I n t e r n e t

B i b l i o g r á f i c o s


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Sugerencias didácticas

Entrada


La foto de entrada de la unidad es una magnífica oportunidadpara que los alumnos aprecien la geometría como parteimprescindible de las construcciones arquitectónicas.

Podemos aprovechar para pedir a los alumnos que traiganal aula fotografías de edificios característicos de su lugarde vacaciones, de residencia… e identificar en ellos ele-

mentos geométricos.La entrada tiene su continuidad en las dos primeras acti-vidades de “Pon a prueba tus competencias” con la cons-trucción de una maqueta de las Torres KIO y con la evoluciónde la arquitectura.

– Con cuatro triángulos por vértice formarán el octae-dro.

– Con cinco triángulos por vértice formarán el icosaedro.

Se darán cuenta de que con seis triángulos equiláteros porvértice ya no se puede formar un poliedro, pues la sumade los ángulos es 360º y obtendrían una figura plana.

Una vez que hayan encontrado los tres poliedros regula-

res cuyas caras son triángulos equiláteros, repetiremosel proceso con poliedros cuyas caras sean cuadrados,pentágonos regulares y hexágonos regulares. Cuandohayan comprobado que la suma de los ángulos de treshexágonos que concurren en un vértice es 360º, podránafirmar que no existen poliedros regulares cuyas carassean polígonos de seis o más lados.

1. Poliedros

• Es importante que los alumnos recuerden los elemen-tos de un poliedro. Por ello, además de utilizar los dibu-

jos de la unidad como apoyo a la expl icación, esaconsejable llevar modelos de cada poliedro para quepuedan “tocar” las caras, aristas y vértices en cada caso.

• Conviene que los alumnos identifiquen los distintos tiposde poliedros. Para ello se pueden realizar actividades enlas que tengan que identificar el tipo de poliedro que sepresenta, bien a través de un dibujo o de los que existenconstruidos en madera o plástico.

• No menos importante es que sean capaces de dibujar unpoliedro determinado. El dibujo más o menos aproxima-do de las figuras resulta muy útil en la resolución de pro-blemas geométricos.

• Sería interesante guiar a los alumnos para que descu-brieran por sí mismos que solo existen cinco poliedrosregulares. Para ello les indicaremos que:

– En cada vértice de un poliedro deben concurrir almenos tres caras.

– La suma de sus ángulos debe ser menor que 360º.

A continuación les diremos que busquen los poliedros regu-

lares que pueden formarse con triángulos equiláteros:

– Con tres triángulos por vértice formarán el tetrae-dro.

2. Prismas y pirámides

• Es importante que los alumnos distingan entre prismasy pirámides.

• Deben reconocer los distintos tipos de prismas que hay,distinguiendo sus elementos e identificando cada uno deellos con su desarrollo plano.

• En las pirámides también deben reconocer sus elemen-tos característicos, distinguiendo entre apotema de labase, apotema de la pirámide y altura de la misma.

• Sería interesante dibujar en la pizarra una pirámide regu-

lar y marcar en ella el triángulo rectángulo que se formacon la apotema de la base, la apotema de la pirámide yla altura. También sería conveniente marcar el triángu-lo rectángulo que se forma con la altura, la arista lateraly el radio de la base. De este modo facilitaremos que pue-dan hallar los diferentes elementos de la pirámide conayuda del teorema de Pitágoras.

3. Cilindros y conos

• La posibilidad de ver y manipular las figuras geométricasresulta de gran ayuda para la comprensión de los con-ceptos. Por eso conviene que los alumnos experimentensiempre que sea posible.

• Utilizaremos un rectángulo de cartulina para que veancómo se genera un cilindro. Para ello pasaremos un hilopor uno de los lados y haremos girar el rectángulo por losextremos del hilo. De este modo identificarán el hilo con

el eje de giro.

• A continuación pasaremos un hilo sobre otro de los ladosdel rectángulo, no paralelo al anterior, y haremos girar el

III. En el texto se describen perfectamente las cuatro torres,con lo que para la identificación de cada una de ellasserá preciso que los alumnos hayan realizado una lec-tura comprensiva del mismo, anotando los datos más

significativos.III. No tendrán problema para realizar esta actividad des-

pués de haber realizado la primera, ya que para enton-ces ya habrán identificado los elementos geométricos.

III. El término skyline es un anglicismo con el que se deno-mina el panorama urbano de una ciudad. Literalmen-te significa línea de cielo y hace referencia a “la siluetade una ciudad”.

IV. A la hora de realizar esta actividad pediremos a losalumnos que, si es posible, traigan al aula los objetos.Si no es posible, podrían traer fotografías de los mismos.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 1, 2, 23, 25 y 26

Medio 3, 29 y 30



Básico 4, 5, 24, 27 y 28

Medio 6 y 29 a 33

Alto 34, 35 y 69


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gerencias didácticas

rectángulo. De este modo visualizarán los dos cilindrosdiferentes que puede engendrar un rectángulo.

• Para que los alumnos vean cómo se genera un cono hare-mos lo mismo que hicimos con el cilindro, solo que conun triángulo rectángulo de catetos diferentes, pasandoesta vez el hilo por cada cateto. También podríamos cogerun cartabón y hacerlo girar sobre cada uno de los catetos.


Básico 8

Medio 9, 10 y 36 a 38


Básico 18 y 42

Medio 19, 20, 45 a 47, 60 y 65


Básico 12

Medio 13, 39 y 40


4. Esferas

• Al igual que hicimos para generar el cono con el cartabóno el cilindro con un rectángulo de cartulina, podemoshacer lo mismo para generar la esfera con el transporta-dor de ángulos o con un semicírculo de cartulina.

• Es importante que los alumnos, a partir de objetos esfé-

ricos cotidianos, puedan identificar las distintas zonas dela esfera como el casquete esférico y la semiesfera.

• Se pueden realizar cortes en esferas realizadas con plas-tilina para identificar el círculo máximo en las mismas.

5. Volumen del ortoedro y del cubo

• Para comprender el significado del volumen de un cuerpose pueden utilizar policubos. Construyendo figuras y con-tando los cubos que se necesitan para cada una de ellas, losalumnos pueden calcular fácilmente su volumen y enten-der que lo que están midiendo es el espacio que ocupan.

• La utilización de cubos de distinto tamaño para rellenarel espacio hueco que queda en una caja ayuda a enten-der la necesidad de definir una unidad de medida y cómo,dependiendo de esta, se obtienen distintos valores demedida para el mismo volumen.

• Cualquier caja tiene forma de ortoedro, de modo querellenándola con cubos pequeños de igual tamaño, esfácil obtener su volumen.

• Pero ahora el objetivo es que deduzcan una forma rápidade calcularlo, así que se les pedirá que rellenen un late-ral grande y otro pequeño de la base de la caja y calculen,sin añadir más cubos, cuántos serán necesarios paracompletarla. Hecho esto, completarán con cubos esa base.

• Después, en una esquina de la caja colocarán cubos, unossobre otros hasta alcanzar la altura de la misma, y se lesindicará que por cada uno de ellos pueden volver a colo-car tantos cubos como tenían en la base. Entonces, y sinañadir ninguno más, tendrán que calcular el número decubos necesarios para rellenar la caja.

• Conseguida la fórmula del volumen del ortoedro y con-siderando que el cubo es un caso particular en el que lastres dimensiones miden lo mismo, resulta fácil obtenerla fórmula del volumen del cubo.

6. Volumen del prisma y de la pirámide

• Conviene que los alumnos deduzcan por sí mismos las fór-mulas siempre que sea posible.

• Para la del volumen del prisma se puede realizar la expe-riencia que se comenta al margen del epígrafe utilizan-do figuras geométricas hechas de plástico duro con unagujero en la base que permite llenarlas de agua.

• Pero si esto no es posible, se les puede pedir que lo cons-truyan ellos en cartulina, por ejemplo, y que traten derellenarlo de cubos pequeños como hicieron con el orto-edro. Deben concluir que si la base es la misma, necesi-tan igual número de cubos para recubrirla, y como la

altura también lo es, el volumen debe coincidir.• Para comprobar la relación existente entre el volumen

del prisma y de la pirámide podemos realizar en el aulala experiencia que viene en el epígrafe, llevando un pris-ma y una pirámide regular con la misma base y altura alos que se le puede quitar la base y rellenar el prismacon el contenido de exactamente tres pirámides, pudien-do emplear para ello arroz.

7. Volumen del cilindro y del cono

• Como en el caso anterior, lo mejor es trabajar con uncilindro y un prisma ya construidos en un material que per-mita llenarlos de agua. Pero si no es posible, y dada la difi-cultad que existe para rellenar un cilindro con cubospequeños, se puede utilizar otro material que facilite estatarea sin que se rompan las figuras hechas en cartulina,empleando arroz, tal y como se indicó en el anterior punto.

• También conviene realizar la experiencia indicada en elepígrafe para ver la relación existente entre el volumendel cono y el del cilindro.


Básico 16, 41, 43 y 56

Medio 76

Alto 48 a 50, 66, 68, 71 y 73 a 75


Básico 21, 22, 51 y 57

Medio 52, 53 y 61 a 63

Alto 54, 55, 67, 70 y 72

Organiza tus ideas

La esquematización de los contenidos de la unidad es de

gran ayuda, sobre todo en unidades como esta, en las queaparecen fórmulas, puesto que se consigue tener todas enuna hoja y elegir la necesaria en cada caso de un solo vis-tazo.


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Sugerencias didácticas


Aunque el esquema de esta unidad es sencillo, se les pue-de orientar en su elaboración para que observen lo másimportante pidiéndoles que:

1. Distingan los dos tipos de figuras del espacio: polie-dros y cuerpos redondos.

2. Identifiquen los cinco poliedros regulares que existen.

3. Escriban los dos tipos de poliedros que existen, pris-mas y pirámides, hagan un dibujo de cada uno de

ellos indicando sus elementos y escriban debajo lafórmula del volumen.

4. Repitan lo anterior con los cuerpos de revolución.

5. Destaquen como casos especiales, dado que han sidoel punto de partida para calcular el volumen de lasdemás figuras, el ortoedro y el cubo con las fórmu-las correspondientes a cada uno de ellos.

También es interesante que en algún caso añadan fórmu-las que relacionen los elementos de las figuras. Por ejemplo:

– Junto al volumen del cono se puede escribir la rela-ción que existe entre la generatriz, la altura y el radio

gracias al teorema de Pitágoras.– Junto al volumen de la pirámide pueden escribir las

relaciones que existen entre la apotema de la base, laapotema de la pirámide y la altura de la misma.

Conviene que los alumnos utilicen el esquema mientrasresuelven los ejercicios. Así resulta más fácil encontrar lafórmula que necesitan y poco a poco las van aprendiendo.

Para construir la maqueta deberán recordar el conceptode escala tratado en la unidad 6. No les saldrán dimensio-nes decimales, ya que la escala es de 1 : 1000.

Como las Torres KIO son un ejemplo de prisma oblicuo,podemos preguntar a los alumnos si conocen algún otroedificio similar, es decir, “inclinado”. Si no es así, les dire-mos que lo busquen en la red, anotando su nombre, la for-ma de la base y la inclinación que tiene con respecto a lavertical.

APRENDE A PENSAR: ARQUITECTURA Y GEOMETRÍA

Los edificios que aparecen en las imágenes correspondena diferentes épocas y civilizaciones. De este modo, los alum-nos percibirán que la geometría siempre ha estado pre-sente en la arquitectura desde sus inicios.

Pediremos a los alumnos que busquen edificios emble-máticos de diferentes épocas y culturas y los comparenentre sí, haciendo hincapié en las similitudes que hay entrelas pirámides de Egipto y las mayas, a pesar de ser civili-zaciones tan separadas. Así podrán intuir que las mate-

máticas siempre están “ahí”, simplemente hay queencontrarlas.

La actividad 3 puede servir para realizar un debate sobrelas “megaconstrucciones” que se están realizando en laactualidad y la competencia que hay entre las ciudadespara tener el edifico más alto, sin importar su coste.

COMPARA Y DECIDE: ELIGIENDO ENVASES

Para poder realizar esta actividad es preciso indicar a losalumnos que la superficie del desarrollo plano de los polie-dros es el “área del poliedro”.

Les pediremos que traigan al aula envases de la leche queconsumen en sus casas. Seleccionaremos aquellos quetengan la misma capacidad y sean tetra briks. Los recorta-remos para obtener su desarrollo plano y poder calcular deeste modo la cantidad de material empleado para cons-truir el envase.

De este modo verán que es más económico aquel que ten-ga área menor.

MODELIZA Y CONSTRUYE: GOLPEA EL ESFÉRICO

Para realizar esta actividad podemos enseñar a los alum-nos a construir polígonos regulares con GeoGebra, pro-grama de libre distribución. De esta forma evitaremos elproblema de la inexactitud de las construcciones con reglay compás.

Otra forma de construir el icosaedro truncado es construirun icosaedro y cortarle las esquinas.

Podemos utilizar la actividad 2 para establecer un debatey decidir cuál es el mejor balón de fútbol, el que tiene for-ma de icosaedro truncado o el que se utilizó en el Mundialde Sudáfrica 2010, que era casi esférico.

Pon a prueba tus competencias

OBSERVA Y REALIZA: LAS TORRES KIO EN PAPELEsta actividad está relacionada con la entrada de la unidad.

En la fotografía pueden apreciarse otros dos edificios queconfiguran el skyline de la ciudad de Madrid.

Los desarrollos planos que se han visto en la unidad han sidode prismas y pirámides rectos, fáciles de obtener. Con laconstrucción de la maqueta, los alumnos podrán apreciarque dos de las caras laterales de un prisma oblicuo sonromboides.


Con estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cuáles son los más apropiados para resolver cadauna de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias pararesolver los problemas, dado que estos no son guiados ni seajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo quepuede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo lesasuste un poco.


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Actividades de refuerzo

Unidad 14 Cuerpos geométricos. VolúmenesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los alumnos deben distinguir entre figuras planas y figuras del espacio, y aprender correctamente sus nombres y suselementos. Es importante que comprendan el concepto de volumen, utilicen adecuadamente sus unidades de mediday sepan cómo pasar de unas a otras. También deben aprender y utilizar las fórmulas que permiten calcular el volumende cualquier figura geométrica.

• Utilizar objetos cotidianos: folio, pizarra, lapicero, caja, trozo de cartón… para clasificar y nombrar figuras del espa-cio y figuras planas.

• Tener en el aula los cuerpos geométricos en madera, plástico o cualquier otro material para que los alumnos pue-dan observar el tipo de caras que los forman, cuántas son, las diferencias entre unos y otros…

• Proponer actividades que acostumbren al alumno a dibujar las figuras y representar en ellas sus elementos.

• Utilizar el esquema de la unidad para resolver los ejercicios y problemas con el fin de que busquen las fórmulas ylas aprendan poco a poco.

• En la resolución de problemas, hacer esbozos y anotar los elementos conocidos y los que hay que obtener.

• Plantear, mediante problemas, el cálculo del volumen de figuras que sean del entorno del alumno.

1. 2. a) 4 dm3 b) 4 dm3 c) 9 dm3 d) 9 dm3

3. Todas las figuras tienen 27 unidades de volumen salvo

la c, que tiene 24.

4. V cubo = l3= 729 cm3

V cilindro = Ab · h = 339,12 cm3

V cono = · π · r 2

· h = 2616,67 cm3

V ortoedro = Ab · h = 945 cm3

V prisma = Ab · h = 336 cm3

V pirámide = · Ab · h = 150 cm3

1

3

1

3

O

CT

A

EG N E R

I

S

P

A T R I

L

IC EITREV

N

D

R

O N O

B A S E

U

C

C

Z

D

R

OPA T E M

A

A

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Los envases

Organizar a los alumnos en grupos de tres y pedirles que lleven de casa algún envase que tenga una forma geométricaconocida: cajas de cereales, latas de refrescos, tetra briks… de tal manera que cada componente del grupo debe llevarun envase con una forma distinta.

En el aula:

• Cada grupo debe escribir en una hoja los envases que ha elegido y su forma geométrica.

• Debajo del nombre harán un dibujo aproximado y anotarán en él las medidas de sus dimensiones: largo, ancho y alto,radio y altura… Para ello tendrán que realizar medidas directas sobre los envases.

• Después calcularán el volumen de cada uno de ellos y comprobarán si coincide con el indicado en la caja o si al menoses aproximado.

El inconveniente de la última comprobación es que en la mayoría de los casos, en los envases aparece el peso o el volu-men, y es probable que estos alumnos no sepan bien cómo relacionar unas unidades con otras. Podemos ayudarles conun ejemplo o, si no nos parece adecuado para su nivel, simplemente calcular el volumen.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.



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1. Observa los dibujos. Encuentra las palabras que se refieren a las figuras completas o al elemento mar-cado con trazo más grueso. Coloca después una letra de esa palabra en cada recuadro.

2. Halla el volumen de las figuras teniendo en cuenta que cada cubo equivale a 1 decímetro cúbico.

3. Encuentra la figura que tiene distinto volumen que el resto.

a) b) c) d)

4. Las medidas de las siguientes figuras están dadas en centímetros. Ana y Juan calcularon su volumen enel folio que hay escrito al lado, pero ahora no saben cuál corresponde a cada una de ellas. Ayúdales y escri-be debajo de cada figura su volumen correspondiente.


P á g i n a

f o t o c

o p i a b l e

ACTIVIDADES de REFUERZO


10 letras

7 letras

6 letras

8 letras 4 letras

9

157

9

12

6

6

8

14

18

5

25

20

CÁLCULOSV = l3= 729 cm3

V = Ab · h = 339,12 cm3

V = · · r 2 · h = 2616,67 cm3

V = Ab · h = 945 cm3

V =

Ab· h=

336 cm3

V = · Ab · h = 150 cm3

1

3

1

3


12/152


Unidad 14 Cuerpos geométricos. VolúmenesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Estos alumnos han adquirido los conocimientos básicos de la geometría del espacio, por ello deben orientar estosconocimientos en la utilización de las fórmulas del volumen para fines distintos al de su propio cálculo, en la obten-ción del volumen de figuras que resultan de la composición de las formas básicas y en la resolución de problemas enlos que el cálculo del volumen sea un paso intermedio para conseguir otros objetivos como son:

• Calcular volúmenes de figuras obteniendo previamente alguno de los elementos de la fórmula.

• Utilizar la fórmula del volumen para calcular alguna de las dimensiones de un cuerpo geométrico.

• Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana insistiendo en que hagan un dibujo aproximado, anotando loselementos conocidos y los desconocidos, y las fórmulas que los relacionan.

• Obtener el volumen de una figura que resulte de la composición de otras más sencillas.

• Resolver problemas en los que las fórmulas del volumen se utilicen con una finalidad distinta a la del cálculo del mismo.

1. 7 cm

2. 7 cm

3. a) La apotema del hexágono mide 4,33 cm.a) El volumen del prisma es de 584,55 cm3.

b) La altura del cono es de 10,43 cm.

b) El volumen es de 133,79 cm3

4. La altura de la pirámide mide 34,58 cm.

El volumen de la pirámide es de 4610,67 cm3.

5. V prisma− V cilindro= 131,73 cm3 de madera tiene la pieza.

6. Se necesitan 108 volúmenes, que son 3 enciclopediasy un tercio.

17. 10 080 m3

18. 1391,15 cm3

19. V AZUL = x· y

·z

V ROJA = 1,5 x · 1,5 y · 0,5z = 1,125 xyz

Tiene más volumen la caja roja.

10. La pirámide de Keops mide 146,44 metros de altura y230,12 metros de lado de la base.

V pirámide= 2 584 920,53 m3 de tierra

V camión= 3,6 m3

2 584 920,53 : 3,6 = 718 033,48

Se necesitarán 718 034 camiones.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Del plano al espacio: los hexaminósSe formarán grupos de tres o cuatro alumnos y se les darán las siguientes pautas:

1. Recordaremos que los poliminós son figuras formadas por cuadrados iguales unidos por sus lados de forma que almenos un lado de cada cuadrado coincida con el lado de otro cuadrado. Los triminós tienen tres cuadrados, los cua-triminós están formados por cuatro cuadrados, y así sucesivamente.

2. Les entregaremos una cuadrícula de un tamaño grande (1,5 × 1,5 cm sería ideal) y les pediremos que, de formaindividual, intenten dibujar todos los hexaminós que sea posible.

3. Cuando hayan finalizado, les comunicaremos que hay 35 hexaminós diferentes, y en ese momento empezará la labordel grupo.

4. Entre los miembros del grupo deberán intercambiarse los dibujos obtenidos para ver cuáles son los que les faltan ycompletar la colección.

5. Cuando el grupo haya conseguido los 35 hexaminós, les pediremos que los dibujen todos juntos de un modo limpioy ordenado para poder realizar la actividad final.

6. Explicaremos que de esos 35 hexaminós, solo 11 corresponden al desarrollo de un cubo (si no manejan ese concepto,habrá que detenerse y aclararlo). Su trabajo entonces consistirá en encontrar esos 11 hexaminós, para lo cual les pro-porcionaremos cartulina, tijeras y cinta adhesiva, a fin de que los recorten y puedan tratar de formar los cubos.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.



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11. El volumen de un cubo es de 343 metros cúbicos. ¿Cuánto mide su lado?

12. Calcula la altura de un cilindro de 1,8 decímetros de diámetro sabiendo que su volumen es de 1780,38centímetros cúbicos.

13. Halla el volumen de las siguientes figuras:

a) b)

14. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular sabiendo que el lado de la base mide 2 decímetros,

y la apotema de la pirámide, 36 centímetros.

15. Los soportes de unas estanterías se sujetan al techo y al suelo mediante unas piezas de madera con for-ma de prisma cuadrangular de 10 centímetros de altura y 4 de lado de la base. En el centro del mismohay un hueco de forma cilíndrica de 9 centímetros de altura y 2 de diámetro.

¿Qué cantidad de madera se necesita para hacer el soporte?

16. Una enciclopedia está formada por 25 volúmenes de 20 28,50 3,5 centímetros cada uno. ¿Cuántasenciclopedias se necesitarían para llenar una caja de 6 5,7 6,3 decímetros? ¿Cuántos volúmenes?

17. La figura siguiente representa la capilla de un castillo. Calcula el volumen que ocupa.

18. De un queso se ha cortado una cuña como se muestra en la figura. Calcula el volumen del trozo que haquedado.

19. David tiene dos cajas, una azul y otra roja. La caja azul es el doble de alta que la roja, pero la caja rojaes una vez y media más ancha y más larga que la caja azul.

¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad?

10. Trabajo de investigación.

1. Busca las dimensiones de alguna de las pirámides de Egipto.

2. Halla las toneladas de tierra que se necesitarían para construir una igual, pero maciza.Si se transportara la tierra en camiones con un remolque de 3 metros de largo, 1,5 de ancho y 0,8 de alto,¿cuántos se necesitarían para construirla?

11 cm

7 cm

h

9 cm

5 cm

15 m

32 m18 m

20 m

7 cm

10,5 cm

50°


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

P á g i n a

f o t o c

o p i a b l e



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APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Escribe el nombre de cada cuerpo geométrico y del elemento señalado con la a.

a) b)

2. Dibuja las siguientes figuras geométricas y señala en ellas todos sus elementos.

a) Pirámide pentagonal b) Cilindro

3. Calcula el volumen de:

a) Un prisma triangular, sabiendo que su base es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 9 cen-tímetros, y su altura, 12 centímetros.

b) Un cubo de 7 decímetros de arista.

c) Una pirámide cuadrangular cuya altura mide 18 centímetros, y el lado de la base, 6 centímetros.

4. Halla la altura de un ortoedro de 1800 centímetros cúbicos de volumen sabiendo que la medida delancho y el largo del mismo es de 10 y 15 centímetros, respectivamente.

5. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a) b)

6. Halla el volumen de los siguientes cuerpos.

a) b)

7. El volumen de un cilindro es de 113,04 decímetros cúbicos, y el diámetro de la base mide 2 decímetros.¿Cuánto mide su altura?

8. Calcula el volumen de un cono de 10 centímetros de diámetro y 13 centímetros de generatriz.

9. ¿Dónde caben más litros de agua, en un depósito cilíndrico de 5 metros de radio y 5 metros de altura,

o en uno cúbico de 5 metros de arista?

10. Se quiere construir una caja con forma de prisma de base cuadrada. Su volumen debe ser de 6,75 metroscúbicos, y su altura, de 3 metros. Calcula cuánto debe medir el lado de la base

12 cm

5 cm

20 cm

9 cm

5 cm

6 cm

8 cm

14 cm

13 cm

7 cm

a

a

Página fotoc

opiable


PROPUESTA de EVALUACIÓN



15/15

P á g i n a

f o t o c

o p i a b l e

1. a) Prisma hexagonal. La letra a es la altura. b) Cono. La letra a es la generatriz.

2. a) b)

3. a)

b) V = 73 = 343 dm3

c)

4.

5. a)

b)

6. a)

b)

7. La altura mide 36 decímetros.

8. Por el teorema de Pitágoras:

9.

Cabe más en el depósito cilíndrico.

10.

La base debe medir 1,5 metros.

V cm3= =1

35 6 1572· · ·π

A lbase

3m m= = ⇒ = =6 75

32 25 2 25 15

,, , ,

V cubo

= = m35 1253

V cilindro

m3= =π · · ,5 5 392 72

V cm3= =1

35 12 3142· ·π

h cm= − =13 5 122 2

h dm= =113 04

136

2

,

·π

Alturabase

= − = =

+

5 15 4 779 1

2 2, , V 22 4 77

220 10017

( ) ⋅= cm3

,· ,

Apotema cmbase

= − = =8 4 6 931

3

2 2 , ·V cm36 8 6 93

214 77616

· · ,· ,=

l V lcm cm3= ⇒ = = ⋅ =7

213

7

213 318 5

22

2

· ,

V a b h h V

a bh= ⇒ = ⇒ = =· ·

· ·

1800

10 15112 cm

V cm3= =13

6 18 2162· ·

V cm3= =5 9

212 270

··

Altura

Bases

Radio

Base

Cara lateral

Vértice

Altura

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación


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Cuerpos Geométricos. Volumenes