Cuestionario 31. Enumerar los mtodos directos para resolucin de
sistemas de ecuaciones lineales.Mtodo de GaussFactorizacin
LUFactorizacin de CholeskyFactorizacin QR
2. Describir el mtodo de Gauss.El mtodo de Gauss es una
generalizacin del mtodo de reduccin, que utilizamos para eliminar
una incgnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas.
Consiste en la aplicacin sucesiva del mtodo de reduccin, utilizando
los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la
matriz ampliada con los trminos independientes ( A* ) en una matriz
triangular, de modo que cada fila (ecuacin) tenga una incgnita
menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene as un sistema, que
llamaremos escalonado, tal que la ltima ecuacin tiene una nica
incgnita, la penltima dos incgnitas, la antepenltima tres
incgnitas, ..., y la primera todas las incgnitas.
3. Cules son las desventajas de los mtodos de eliminacin?- se
pueden contar la divisin entre cero, cuando alguno de los elementos
de la matriz es cero, - - errores de redondeo que se van propagando
a medida que se van reemplazando las variables en las ecuaciones
superiores, - sistemas singulares donde pueden existir infinitas
soluciones, o sistemas mal condicionados, donde una ecuacin es
equivalente a otra ecuacin del mismo sistema.4. Qu es un sistema
mal condicionado? Un sistema de ecuaciones se dice mal condicionado
cuando pequeas Perturbaciones en los coeficientes del sistema
producen grandes cambios en la solucin exacta
5. Qu es un sistema singular?Son sistemas que no tienen
solucin
6. Cul es la diferencia entre la eliminacin de Gauss y la de
Gauss-Jordn?La eliminacin gaussiana es ir eliminando las variables
hacia abajo para que quede el valor de una variable y as vas
sustituyendo en las dems ecuaciones para obtener todo el resultado
y la eliminacin de gauss-jordan es cuando ya tenemos la eliminacin
gaussiana lo volvemos a hacer pero ahora hacia atrs y ya va a dar
los valores de cada variable sin necesidad de sustituir nada.
7. Cmo se relacionan los mtodos: eliminacin de Gauss y
descomposicin LU?La descomposicin LU es una forma de factorizacin
de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y
una superior. Es bsicamente una forma modificada de la eliminacion
Gaussiana.
8. Describir el mtodo de matriz inversa.Consideremos un sistema
de n ecuaciones lineales con n incgnitasEl sistema se puede
escribir en forma matricial del siguiente modo: A X = B. La matriz
A se llama matriz del sistema, es de dimensin n x n y sus elementos
son los coeficientes de las incgnitas. La matriz X es una matriz
columna, de dimensin n x 1, formada por las incgnitas del sistema.
Por ltimo, la matriz B es otra matriz columna, de dimensin n x 1,
formada por los trminos independientes.Si el determinante de la
matriz A es distinto de cero ( det (A) # 0 ), la matriz A tiene
inversa ( A-1 ). Es decir, para calcular la matriz columna de las
incgnitas ( X ), multiplicamos la inversa de la matriz A ( A-1 )
por la matriz columna de los trminos independientes, obtenindose
otra matriz columna de la misma dimensin que X.9. Cules son los
tres mtodos disponibles a travs de que utilizando la matriz inversa
se puede determinar si un sistema de ecuaciones lineales es mal
condicionado? Teorema de Rouche Regla de Cramer Metodo de la matriz
inversa
10 Define las normas matriciales.una norma matricial es una
extensin de la nocin natural de norma vectorial a las matrices.
11. Define el nmero de condicin de una matriz.El nmero de
condicin de una matriz es un nmero que indica la susceptibilidad a
los cambios de los valores de la matriz, se usa para medir cmo
afecta el usar valores aproximados y no los reales cuando se
trabaja con las matrices.
12. Define matriz de banda y el algoritmo de Thomas.Se le llama
matriz banda cuando es una matriz donde los valores no nulos son
confinados en un entorno de la diagonal principal, formando una
banda de valores no nulos que completan la diagonal principal de la
matriz y ms diagonales en cada uno de sus costados.El algoritmo de
Thomas se utiliza cuando la matriz de los coeficientes del sistema
es tridiagonal.En este mtodo se trabaja con las filas en forma
similar al mtodo de eliminacin de Gauss. Aqu se reemplaza cada fila
por una combinacin lineal de filas apropiada, de manera que se
anulen los elementos de la diagonal inferior y los elementos de la
diagonal principal sean unos. Para ello en la primera fila, se
dividen los coeficientes por b1 y en las filas subsiguientes.13.
Cules son los mtodos iterativos para resolver sistemas ecuaciones
lineales y cuando se utilizan?Metodo de Jacobi --- Solo se utiliza
en sistemas cuadradosMetodo de Gauss- Seidel --- puede usarse en
cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz
(cuadrada, naturalmente pues para que exista solucin nica, el
sistema debe tener tantas ecuaciones como incgnitas) de
coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulosMetodo de
Sobrerrelajacion ---- Se usa cuando la sucesin no es convergente o
es muy lenta.
14. Cul es la diferencia entre el mtodo de Jacobi y el mtodo de
Gauss-Seidel?La diferencia es que en el mtodo de Jacobi las mejoras
a las aproximaciones no se usan hasta completar las iteraciones.15.
Cmo se ampla el mtodo de Newton para una sola ecuacin con el fin de
resolver un sistema de ecuaciones no lineales?Dado el sistema de
ecuaciones no lineales f(x) = 0, los indicadores de precisin y, un
valor mximo del nmero de iteraciones que se permiten realizar
(maxiter)y un vector x con el que inicializar el proceso,
