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16/3/2017
1
BIOFÍSICA
Clase 9. Unidad 3
HidrostáticaCurso de Ingreso a FCM-UNSE
2017
Los seres humanos somos una gran tubería caminando. Por dentro estamos llenos de caños, tubos, mangueras, fuelles, bolsas y otro conjunto de espacios anatómicos que contienen fluidos.
De modo que si queremos entender el funcionamiento del cuerpo humano u otro ser vivo debemos comenzar por el estudio de una serie de propiedades biofísicas que nos permitirán comprenderlo.
Introducción
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2
Fluidos Principales
Líquido Gas
Somos 75% aguaSANGRE
Volemia: 5 litros
PULMONESAire: 6 litros en
inspiración profunda
.
3
3
2
2
1
1cte
V
m
V
m
V
m===
V
m=δ
[ ] ...
3etc
l
mg
dm
kg
mL
g
L
kg=====
µδ
DensidadRelación entre la masa y el volumen de una
sustancia
En ecuaciones
δ = letra griega denominada “delta”
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3
V
P
r
=ρ
gmP ×=
r
gV
gm ×=
×
= δρ
Peso EspecíficoRelación entre el peso y el volumen de
una sustancia
En ecuaciones
ρ = letra griega denominada “rho”
[ ]33
2
m
N
m
seg
mkg
=
×
=ρ
Densidad y Peso Específico de Diferentes Sustancias
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A
F P
r
=
[ ] Ketcm
N
cm
dina
cm
kgf P ====
222
2cm
dina Baria =
Presión
Fuerza
sobre
área
Es la fuerza ejercida por unidad de área
En ecuaciones
2m
N Pascal =
Interesa el módulo de la fuerza, no su dirección (por eso aparece su módulo entre
líneas verticales)
hPaTorrmmHgAtm 1013760760 ===
( )( )2cm
dyndinaBa Baria =
Unidades de PresiónEs la fuerza ejercida por unidad de área
( )2
m
N Pa Pascal =
( ) BaBar Bar6
10=
( ) ( )PaPascalBa Barias10 1=
g1g1r
≠
Nseg
m9,800,001kga0,001kgg1
20098,0=×=×=
r
El gramo (g) es una medida de masa, y el gramo fuerza, de peso (fuerza)
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5
Presión Hidrostática
Es un principio basado en la conservación de la energía
hg P ××= δ
h P ×= ρ
h P ∆ρ∆ ×=
Teorema General de la Hidrostática
Nótese que la presión en el seno de un líquido es independiente del ancho de lacolumna de líquido, sólo depende de la profundidad. Por ende, existe la mismapresión en el fondo de un tubo vertical lleno de agua de 15 metros de alto y 5cm de diámetro que en el fondo de un lago de 15 metros de profundidad.
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¿Qué fuerza ejerce el agua sobre nuestros tímpanos cuando nos sumergimos a4 metros de profundidad? Dato: considere que el área del tímpano es dealrededor de 3 cm².
Ejemplo
A
F P
r
= A PF ×=
r
( ) ( )Ah g F ×××= δr
( )223
34101 cm mseg
m
cm
gF ×
××=
r( )( )
( )( )22
232
3
103410
10
101 m m
seg
m
m
kgF −
−
−
×
××=
r
( )24
236
3
10341010
101 m m
seg
m
m
kgF −
−
−
××
××=
r
( )24
23
310341010 m m
seg
m
m
kgF −××
××=
r
( )34
23
410104 m3 m
seg
m
m
kgF
−××
×××=
r
N F 12=
r
Sustituimos por los valores del problema Colocamos las unidades en el SI
Resolvemos!
Principio de Pascal
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7
21PP =
2
2
1
1
A
F
A
Frr
=
1
21
2
A
AFF
×
=
r
r
Prensa Hidráulica
P1P2
BAPP =
hP HgB ×= ρ
3280133
m
N.
Hg=ρ
m,mmh 760760 ==
( )m,m
N.P
B760280133
3×
=
Pa.PB
300101=
Evangelista Torricelli (1608-1647), matemático y físicoitaliano, fue el primero en medir la presión que ejercela atmósfera sobre nuestros cuerpos. ¿Cómo hizoTorricelli para medir esa presión?
Presión Atmosférica y Experimento de Torricelli
Presión atmosférica
Patm
vacío
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21PP ∆∆ =
2211hh ∆ρ∆ρ ×=×
2211hghg ∆δ∆δ ××=××
2211hh ∆δ∆δ ×=×
Tubo en U y Densidad
Aplicando entonces el teoremageneral de la hidrostática enambas columnas tenemos
Tomamos dos líquidos de distintadensidad, representados por distintoscolores.
Presión absoluta = Presión relativa + Presión atmosférica
Presión barométrica = Presión manométrica + Presión atmosférica
Presión Absoluta y Relativa
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Arquímedes de Siracusa (287 AC - 212 AC) fue un físico y matemático griegoconsiderado uno de los científicos más importantes de la Antigüedad clásica(quizá el primero!). Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentosen hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca.
Principio de Arquímedes
Eureka !!!!
Principio de ArquímedesEl principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo
sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.
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Principio de Arquímedes
El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluidoexperimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluidodesalojado. Fíjense que el peso de la balanza colgante, es transferido al dela balanza inferior, siendo su suma, la misma que cada uno por separado.
Arquímedes elaboró el concepto de Empuje (E)
Principio de Arquímedes
Se llama empuje a la fuerza que el líquido ejerce sobre uncuerpo, y que es igual al peso del líquido desplazado (Pld)por el cuerpo.
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CPEr
= ldPEr
=
ldCPPrr
=
ldldCCVV ×=× δδ
SldCChh ×=× ρρ
donde hc
es la altura del cuerpo y hs
es su porción sumergida.
Principio de Arquímedes
Por lo tanto, si expresamos los pesos a través de sus densidades, resulta:
ldldCCVgVg ××=×× δδ
Si el cuerpo tiene simetría vertical, lo anterior equivale a:
CPr
Peso del cuerpo
ldPr
Peso del líquido desplazado
El empuje es un equilibrio
ldCPPrr
>
ldCδδ >
ldCδδ <
→ se hunde
¿Flota o se Hunde?
→ flota
Ahora, cuando el cuerpo está sumergido, su volumen es igualal del líquido desalojado, de modo que podemos dividir ambosmiembros por el volumen y se obtiene
ldCPPrr
<
→ se hunde
→ flota
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BIOFÍSICA
Clase 10. Unidad 3
HidrodinámicaCurso de Ingreso a FCM-UNSE
2017
Fluidos Ideales
No tienen viscosidad
Son incompresibles
Circulan con un flujo que llamamos laminar
La velocidad de todas las moléculas del fluido en una sección transversal de tubería es la misma.
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t
mQ
tiempo
masacaudal
∆==
t
VolQ
tiempo
volumencaudal
∆==
(caudal de masa)
[ ]seg
mQ
3
= [ ]h
mL
min
LQ ==
Caudal
(caudal de volumen)
El caudal se relaciona con la velocidad a la que se desplaza el fluido.
xAV ∆×=
t
VQ
∆=
t
xAQ
∆
∆×=
vAQ ×=
Dado que Δx/Δt es una velocidad (v) queda,
Principio de Continuidad
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21QQ =
2211vAvA ×=×
Principio de Continuidad
Q1
Q2
El Principio de Bernoulli es el Principio de Conservación de la Energía Mecánica para los fluidos y se llega a él dividiendo la energía mecánica del fluido por su
volumen.
constanteEM=
constanteEEECPM=+=
constantevhgP =××+××+2
2
1δδ
Principio de Bernoulli
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16
constantevhgP =××+××+2
2
1δδ
22
2
1
2
1
BBBAAAvhgPvhgP ××+××+=××+××+ δδδδ
220
2
10
2
1××+××+=××+××+ δδδδ
BBAAhgPhgP
BBAAhgPhgP ××+=××+ δδ
ABBAhghgPP ××−××=− δδ
Si es así, vA
= vB
= 0, lo que hace desaparecer los términos de energía cinética:
Reagrupando:
( )ABBA
hhgP −××=−
δ∆hgP
BA∆δ∆ ××=
−
Bernoulli y el Teorema General de la Hidrostática
22
2
1
2
1
BBBAAAvhgPvhgP ××+××+=××+××+ δδδδ
22
2
1
2
1
BBAAvhgPvhgP ××+××+=××+××+ δδδδ
22
2
1
2
1
BBAAvPvP ××+=××+ δδ
Cuando hA
es igual a hB, los segundos
términos se cancelan:
Si hA
= hB= h
Otras Aplicaciones del Teorema de Bernoulli
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Otras Aplicaciones del Teorema de Bernoulli
y1
y2
●
●
horificio pequeño
v2
s1
Ecuación de Torricelli
21ss >> 0
12≈>> vv 21
pppatm
==
2
2
21
2
1
2
1
2
1ygvpygvp
atmatm××+××+=××+××+ δδδδ
2
2
21
2
1ygvyg ××+××=×× δδδ
( )
hgv
hgv
yygv
××=
××=
−×××=
2
2
2
2
2
2
21
2
2δ
δ
Fluidos Reales
Aprendiendo a dejar ir a las circunstancias ideales
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Consideraremos reales a los fluidos que circulen en régimen laminar perotengan viscosidad, siendo la viscosidad una medida de la dificultad paramoverse estando en contacto con las paredes de los recipientes que loscontienen. Es de alguna manera, análoga al rozamiento.
hRQP ×=∆
Ley de Ohm hidrodinámica
[ ][ ][ ]
33
33m/sPamsPa
m
sPa
s/m
Pa
Q
PR
h⋅=⋅⋅=
⋅
===−
∆
Fluidos Reales
La resistencia hidrodinámica es inversamente proporcional al área através de la cual circula el líquido (imagínense que cuanto más grande,menos roza con las paredes), y es directamente proporcional a laviscosidad (η) y a la longitud del tubo (l).
2
8
A
lR
h
πη=
4
8
r
lR
h
π
η=
Las unidades de viscosidad en el Sistema Internacional son:
[ ][ ] [ ]
sPamm
msPa
l
rRh
⋅=
×
××
=
×
=3
44
8η
Ley de Poiseuille
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19
4
8
r
lRh
π
η=
Ley de Poiseuille
hRQP ×=∆
Asociación de Resistencias en Hidrodinámica
ntotalRRRRR ++++= L
321
ntotalQQQQQ ++++= L
321
Asociación en serie
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Asociación de Resistencias en Hidrodinámica
ntotalRRRRR
11111
321
++++= L
ntotalPPPPP ∆∆∆∆∆ ===== L
321
Asociación en paralelo
QPPot ×= ∆
2
2
R
PQRPot
∆=×=
Potencia y Trabajo
VPtt
VPW ×=××= ∆∆
∆∆
Potencia: es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo
Trabajo: es una fuerza aplicada por una distancia
tQPtPotW ∆∆∆ ××=×=
( ) dFdAA
FVPW ×=××
=×=→
→
∆
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Esa diferencia de presión es igual a la que disipa elcircuito debido a su resistencia hidrodinámica, acárepresentada como una única resistencia que recibe elnombre de resistencia periférica total (RPT). En sereshumanos ΔP = 100 mmHg, y RPT = 1,6.108 Pa.s/m3
Sistema Cardiovascular Humano
Sistema Cardiovascular Humano
Variación de la viscosidad de la sangre
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BIOFÍSICA
Clase 11. Unidad 3
GasesCurso de Ingreso a FCM-UNSE
2017
Gases
El aire ingresa al organismo a través de la nariz y se desplaza hasta los pulmones, donde se realiza el intercambio gaseoso de oxígeno (O2) y dióxido de carbono (CO2) entre el torrente sanguíneo y los pulmones.
Para poder comprender el comportamiento del O
2y el CO
2en el
sistema respiratorio, conoceremos primero algunas de sus propiedades fundamentales como gases.
1 mol de aire seco (sin considerar su humedad) contiene
0,78 moles de N2 (78%)
0,21 moles de O2 (21%)
0,009 moles de Ar (0,9%)
0,0004 moles de (CO2) (0,04%)
Trazas de otros gases
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Gases IdealesSon el modelo más simple de gases. Se considera a un gas como ideal cuando:
•Sus partículas son elementos puntuales
•Las moléculas que lo componen se mueven aleatoriamente y no interactúan entre sí
•Su comportamiento corresponde al predicho por la ecuación de estado de los gases ideales
En condiciones normales (273 K, 1 atm) y en condiciones estándar (298 K, 1 atm), la mayoría de los gases presentan
comportamiento de gases ideales
•Presión:
• Volumen (V): espacio ocupado por la masa gaseosa
• Temperatura (T): relacionada con la energía cinética de las moléculas que constituyen el gas
S
FP =
N/m2= Pascal (Pa), dina/cm2= Baria, atm, mm Hg
m3, dm3≡ L, cm3
≡ ml
°C, K)(16,273)( CTKT °+=
rM
mn =
Número de moles (n) = masa/masa molar relativa (Mr)
• Composición: tipo y cantidad de sustancia en la masa gaseosa
Variables de Estado
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La presión de un gas en un recipiente cerrado esinversamente proporcional al volumen del recipiente,manteniendo la temperatura constante.
cteVP =×
Ley de Boyle-Mariotte
Ms. Mogck's Classroom
La ley de Boyle-Mariotte, o leyde Boyle, formulada en formaindependiente por el físico yquímico anglo-irlandés RobertBoyle (1662) y el físico ybotánico francés Edme Mariotte(1676).
VP
1∝
cteVP =×
2211VPVP ×=×
Ley de Boyle-Mariotte
VP
1∝
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Si una cierta cantidad de gas a presión constante seexpone a mayor temperatura, el volumen del gas aumenta yal disminuir la temperatura, ocurre lo contrario.
cteT
V=
2
2
1
1
T
V
T
V=
Ley de Charles-Gay Lussac
Ms. Mogck's Classroom
cteT
V=
cteT
V=
2
2
1
1
T
V
T
V=
Ley de Charles-Gay Lussac
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cteT
VP=
×
2
22
1
11
T
VP
T
VP ×
=
×
cten
V=
2
2
1
1
n
V
n
V=
La Ley de Avogadro establece que el volumen de un gasmantenido a presión y temperatura constantes, esdirectamente proporcional al número de moles del gaspresentes
Ley de Avogadro
Los experimentos demuestran que a condiciones normales de presión ytemperatura (CNPT), 1 mol de una sustancia gaseosa cualquiera, ocupa unvolumen de 22,4 L.
ctenRTPV ==
La nueva constante de proporcionalidad se denomina R, o constante universal delos gases ideales, que tiene el mismo valor para todas las sustancias gaseosas.En general, utilizaremos la constante R en unidades de L atm/ K mol, siendoentonces igual a 0,082 L atm/K mol.
Ecuación de Estado de los Gases Ideales
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John Dalton (1766-1844), químico y físico británico, desarrolló la teoríaatómica en la que se basa la ciencia física moderna conocida como Ley de lasPresiones Parciales o Ley de Dalton.
Esta ley establece que cada componente de la mezcla aporta a la presióntotal un porcentaje igual al porcentaje en que están presentes susmoléculas, es decir, igual a su fracción molar.
t
i
t
i
P
P
n
n=
Ley de Dalton
∑=
=
n
i
iPP
1
Presiones parciales en hPa
1
Ejercicios Unidad 3
Hidrostática, Hidrodinámica y Gases
Ejercicios Resueltos Unidad 3 – Parte Hidrostática
1. Calcular el peso específico de un cuerpo de 11 cm3 que pesa 33 g
(gramos
fuerza). Expresar el resultado en g
/cm3.
Sabemos que el peso especifico es x g (donde la aceleración de la gravedad “g”
la tomaremos como 10 m/s2). Por lo tanto, si el peso del cuerpo es 33 g
, y su
volumen 11 cm3, el peso específico será:
333
11
33
cm
g
cm
g
V
P
Nota: Nótese que el g
y el g (gramo), representan distintas unidades, siendo g
una
unidad de fuerza del sistema técnico y el gramo una unidad de masa del sistema
CGS.
2. Al sumergir un tubo de vidrio en una cubeta conteniendo mercurio (Hg), éste
asciende 760 mm cuando se encuentra expuesto al aire. ¿Cuál es la presión
atmosférica expresada en barias, si el peso específico del Hg () es 13,6 g
/cm3?
Previo a la resolución del problema, siempre identifique si la unidad “g”, es la unidad
de masa, o peso fuerza “ g
”. Se quiere averiguar la presión (P) atmosférica que
será igual a la ejercida por la columna de Hg. Recordando el experimento de
Torricelli (hacer el esquema para ayudarse).
Datos: altura (h) = 760 mm = 76 cm; Hg = 13,6 g
/cm3 = x a, donde a = 10 m/s2 =
1000 cm/s2. A la vez, numéricamente hablando, el valor de la expresado en g/cm3,
es igual al expresado en la unidad técnica, g
/cm3. Es decir, que la Hg es 13,6
g/cm3. Dado que el resultado final debe expresarse en Barias, sistema CGS,
trabajaremos en ese sistema.
2
Ba..cms
cm
cm
g,hghP 6000331761000613
23
3. Una columna líquida de 60 cm de altura ejerce una presión de 310 dinas/cm2.
¿Cuál es el peso específico del líquido en g
/cm3?
Recordamos nuevamente que la presión de la columna líquida es el peso (fuerza) del
líquido, por lo que el experimento de Torricelli establece que
3
2
1666560
310
cm
dinas,
cm
cm
dinas
h
P
hP
Ahora bien, averiguaremos cuál es la masa en g que provoca esa fuerza en dinas:
g,m
seg
cm
seg
cmg,
ma
seg
cmg,
amdinas,
3
2
2
2
10175
1000
175
175
175
Es decir que, por definición, si la masa es de 5,17 x 10-3 g, el peso en gramos fuerza
es 5,17 x 10-3 g
. Por lo tanto, el peso específico expresado en gramos fuerza/cm3
3
310175cm
g,
4. El agua que llena un recipiente cilíndrico pesa 0,050 k g
, el radio de la base es 1
cm. Calcule la altura (H2O = 1 g
/cm3).
El siguiente problema es simplemente un recordatorio matemático para calcular el
peso del recipiente, a partir de lo cual se puede extraer la información requerida.
La masa de agua dentro del cilindro es 0,050 kg, para un volumen de agua de
3
2
2
r
Volh
hralturabaseVol
cilindro
cilindro
Dado que el volumen del cilindro no es dato, tiene que salir del peso de la masa
líquida que sí es dato y surge de
3
3
3
501
10050
2
cmcmg
g,PesoVol
gVolgmasaPeso
OH
cilindrocilindro
cilindrocilindro
cmcm,cm
cm
,r
Volh cilindro 16915
1143
502
3
22
5. Calcular la fuerza que ejerce el agua en un recipiente cilíndrico cuya base tiene
4 cm de radio y 31 cm de altura.
dinas..cmcm
dinas,.rPAPF
cm
dinas.cm
s
cm
cm
ghgP
APF
A
FP
4405571414300031
000313110001
2
2
22
223
6. ¿Cuál es la presión (en hPa) ejercida por una columna de agua ( = 1 g/cm3) de 50
m de altura? ¿Cuál es la altura que alcanzaría una columna de alcohol ( = 0,85
g/cm3) para ejercer la misma presión? g = 9,8 m/s2.
Para resolver este problema, primero dividámoslo en dos partes, siendo lo primera
que se pregunta cuál es la presión (P) de una columna de agua de 50 m de altura.
4
Como dato tenemos la aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s2. Recordemos que el
principio de Torricelli nos dice que P = x h, donde es el peso específico del
líquido. Sabiendo que la densidad es = 1 g/cm3, entonces
hPa.Ba..cm
dinas..P
cms
cm
cm
ghgP
900400090040009004
50009801
2
23
Recordando que 1 Pa = 10 Ba; 1 hecto-Pascal, hPa = 100 Pa.
La segunda parte del problema, nos pregunta cuál es la altura que alcanzaría la
columna, para un líquido (alcohol) que tiene una densidad menor. Nuevamente, P =
x g x h, donde “h” es la incógnita. Por lo tanto h = P/ x g. Reemplazando valores,
tenemos
cm.
s
cm
cm
gcm
dinas
,
..
g
Ph
hP
8825980850
009004
23
2
7. El agua en el interior de una manguera se comporta como un fluido ideal.
Consideremos una manguera de 2 cm de diámetro interno, por la que fluye agua a
0,5 m/s.
a) ¿Cuál es el caudal de agua que sale de la manguera?
Para resolver este problema, debemos recordar el concepto de caudal (Q), y sus diversas
expresiones. Una de ellas es volumen por unidad de tiempo.
s
cm
s
cmcm,vrvA
A
VQ
3222 157501143
b) ¿Qué volumen sale de la manguera en 1 minuto?
Esto surge directamente del caudal obtenido, multiplicado por el tiempo (60 s en 1
min).
333
1042960157 cm,ss
cmAQV
5
8. Un recipiente para guardar agua, abierto a la atmósfera por su parte superior,
tiene un pequeño orificio en la parte inferior, a 6 m por debajo de la superficie del
líquido
(a) ¿Con qué velocidad sale agua por el orificio?
Para resolver este problema, podemos aplicar el teorema de Bernoulli, del cual se
puede deducir el teorema de Torricelli, que establece que la velocidad, v, de un
líquido que fluye bajo la fuerza de la gravedad fuera de una abertura en un tanque
es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia vertical, h, entre la superficie del
líquido y el centro de la apertura y la raíz cuadrada del doble de la aceleración
causada por la gravedad, 2g, o simplemente
22951061022
s
m,m
s
mhgv
Usamos como dato que la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra
es de 10 m /s2.
(b) Si el área del orificio es 1,3 cm2, ¿cuál es el caudal de agua que sale por el
recipiente?
Acá repasamos lo que ya vimos en el problema 7, donde el caudal Q = Área x
velocidad
s
cm,.
s
cmcm,vAQ
32 54231109531
9. El agua fluye con un caudal de 6 m3/min a través de una pequeña abertura en el
fondo de un tanque cilíndrico, que está abierto a la atmósfera en la parte superior.
El agua del tanque tiene 10 m de profundidad. ¿Con qué velocidad sale el chorro de
agua por la abertura?
Este problema es similar al número 8, donde aplicamos la ecuación de Torricelli.
Nuevamente,
s
m,m
s
mhgv 114101022
2
10. Dos vasos A y B contienen agua en equilibrio. El vaso A tiene una base de 2 cm²
y contiene agua hasta 10 cm de altura. El B, tiene una base de 4 cm² y la altura de
agua es de 5 cm. ¿Cuál es la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de
profundidad? ¿Cuál es la presión generada por el agua en el fondo de cada vaso?
¿Las presiones calculadas en a) y b) son las presiones totales?
6
¿Cuál es la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de profundidad?
La presión en un punto cualquiera de un líquido en reposo es directamente
proporcional a la densidad del líquido y a la profundidad a la que se halla el punto,
expresión que se conoce como Teorema general de la hidrostática. Una
consecuencia del teorema es que dos puntos a igual profundidad en un mismo
líquido en reposo, se hallarán sometidos a la misma presión, es decir que la
diferencia de presión entre dos puntos situados a diferentes profundidades puede
expresarse como:
hP
Por lo tanto, la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de profundidad
va a ser la misma, independiente de cuán ancha sea la base del recipiente:
Pam
Nm
seg
m
m
kghghP 400400104101000
223
2
¿Cuál es la presión generada por el agua en el fondo de cada vaso?
aB.cm
dinas.cm
seg
cm
cm
ghghPA 00010000101010001
223
aB.cm
dinas.cm
seg
cm
cm
ghghPB 00050005510001
223
¿Las presiones calculadas en A y B son las presiones totales?
A las presiones calculadas hay que sumarles la presión atmosférica para hacerlas
presiones totales.
7
11. En una jeringa el émbolo tiene un área de 2,5 cm² y el líquido pasa por una aguja
de 0,8 mm² de sección transversal. ¿Qué fuerza mínima debe aplicarse al émbolo
para inyectar el líquido en una vena en la que la presión sanguínea es de 1 cmHg?
Para resolver este problema, lo primero que tenemos que recordar es que la
presión P, se define como una fuerza aplicada (F) sobre una superficie (área, A).
A
FP
Ahora, la fuerza requerida de la mano para presionar en el émbolo tiene que vencer
una presión interna (de la vena), de 1 cmHg, o 10 mmHg. Lo primero que debemos
hacer es convertir la presión en mmHg a unidades que conozcamos. Recordamos el
experimento de Torricelli y su definición de presión atmosférica. Sabemos por su
famoso experimento que 76 cmHg equivalen a 1 atm, que es igual a 101.300 Pa, por
lo que 1 cmHg valdrá 101.300 Pa / 76 cmHg, o sea 1.333 Pa. También nos conviene
recordar que 1 Pa = 1 N / 1 m2 (fuerza en Newton y superficie en m2), así que la
superficie del émbolo de 2,5 cm² de área, la convertimos en 2,5 x 10-4 m².
N,mm
N,,FAP
A
FP 333010523331 2
2
4
12. Las suelas de los zapatos de una persona de 70 kilos tienen un área de 100 cm²
cada una. ¿Qué presión ejerce la persona sobre el suelo cuando está de pie?
Expresar el resultado en Pa.
Recordamos como en el problema anterior, que la presión es la relación entra una
fuerza y un área dada. En este caso, tenemos la masa, 70 kg del cuerpo, que
debemos convertir en peso (fuerza) antes de hacer el cálculo. Para ello, debemos
multiplicar esa masa, por la aceleración de la gravedad en la Tierra, o sea 10 m/s2
(y obtener el peso en Newton!). Tengamos en cuenta que si cada zapato tiene un
área de 100 cm2, el área total será del doble (200 cm2 ó 2 x 10-2 m2)
Pa.m
seg
mkg
A
FP 00035
102
10702
2
2
8
13. Un líquido se encuentra en equilibrio dentro de un recipiente de sección
uniforme, cuya base tiene un área de 100 cm². La presión hidrostática debida al
líquido sobre el fondo del recipiente es de 0,2 atm. Si se trasvasa el líquido a un
recipiente semejante pero de 50 cm² de base, la presión ejercida por el líquido en
el fondo será de:
a) 0,05 atm b) 0,1 atm c) 0,2 atm
d) 0,4 atm e) 0,8 atm f) 1,6 atm
Este problema es simplemente aritmético, recordando que la presión es
directamente proporcional a la altura. Al cambiar la base del cilindro, la altura va a
cambiar, pero cuánto? El volumen del cilindro es Área h, por lo que si la base es la
mitad, su altura tendrá que duplicarse, para mantener el mismo volumen. Al
duplicarse la altura, la presión del líquido será proporcionalmente mayor, y en este
caso la respuesta es d) 0,4 atm.
14. El caudal medio de la sangre que circula en un tramo de un vaso sanguíneo que
no presenta ramificaciones es de 1 litro por minuto. Considerando la densidad
aproximada de la sangre 1 kg/L.
a) ¿Cuál es la velocidad media de la sangre en un tramo en el que el vaso tiene un
radio interior de 0,5 cm?
Acá repasamos lo que ya vimos en el problema 8, donde el caudal Q = Área x
velocidad
s
cm,
cm
min
s
min
cm
cm,r
Q
A
Qv
3
2
3
22221
60
1
50
1000
b) ¿Y si el radio interior del vaso es de 0,25 cm?
s
cm,
cm
min
s
min
cm
cm,r
Q
A
Qv
3
2
3
22984
60
1
250
1000
15. ¿Cuál es el trabajo requerido para bombear 1,4 m³ de agua por un tubo de 13
mm de diámetro interno si la diferencia de presión entre los extremos del tubo es
de 1,2 atm?
9
El trabajo total de la fuerza -o la energía necesaria para realizar un trabajo
hidrodinámico puede calcularse como
J.mN.mm
N.mPa.
matmatm
Pa,,.matm,,VPW
184170184170184170184170
41213001014121
3
2
3
33
¿Qué potencia se debe entregar para mantener el caudal igual a 0,03 m³ por
segundo?
Watt,.s
J,.
s
m
m
N,.
s
mPa,.QPPot 864638646386463030560121
3
2
3
16. Un líquido de densidad 1 kg/L se mueve a razón de 3 mm/s por un tubo
horizontal de 2 cm de diámetro. En cierta parte, el tubo reduce su diámetro a 0,5
cm.
a) ¿Cuál es la velocidad del líquido en la parte angosta del tubo?
Recordar nuevamente que una superficie circular es igual a: A = π r2, por lo que
2222
2222
1960250
1431
cm,cm,rA
cm,cmrA
SS
EE
b) ¿Cuál es la diferencia de presión del líquido a ambos lados del angostamiento?
Ahora, el principio de continuidad (conservación de la cantidad de materia) nos
dice que:
10
s
mm
cm
cms
mm
,
,
A
vAv
vAvA
S
EES
SSEE
SE
481960
14332
2
17. Por un caño horizontal fluye un líquido de viscosidad insignificante, densidad =
1000 kg/m3 y velocidad 2 m/s. En un tramo la cañería se angosta disminuyendo su
diámetro a la mitad.
Entonces, la presión en la parte ancha de la cañería:
a) es inferior a la presión en la parte angosta en 6 kPa,
b) es inferior a la presión en la parte angosta en 30 kPa,
c) es igual a la presión en la parte angosta,
d) excede a la presión en la parte angosta en 6 kPa,
e) excede a la presión en la parte angosta en 12 kPa,
f) excede a la presión en la parte angosta en 30 kPa.
Este es otro problema de conservación de la energía (Bernoulli).
El principio de continuidad relaciona los caudales en ambos sectores del caño, que
tienen que ser iguales, por lo tanto,
BA QQ
Por lo que también relaciona velocidades y áreas, donde el área es menor, la
velocidad tendrá que ser proporcionalmente mayor (y viceversa). Ahora, el
enunciado del problema no relaciona áreas sino los diámetros, d.
BA dd 2
Por lo que a los radios debe pasarles lo mismo:
BA rr 2
Por lo tanto si:
11
2222422 BABABA rrrrrr
Recordando que las áreas se calculan como x r2, multiplicamos ambos por
BA
BA
AA
rr
4
422
Aplicando el principio de continuidad, tenemos
BA
BBAB
BBAA
vv
vAvA
vAvA
4
4
Aplicando el teorema de Bernoulli, y teniendo en cuenta que un término relacionado
a las alturas es inexistente (es un caño horizontal), tenemos
22
2
1
2
1BBAA vPvP
reordenando,
22
22
2
1
2
1
2
1
ABBA
ABBA
vvP
vvPP
Recordando que la relación entre velocidades es
22221644 BABABA vvvvvv
Lo que se introduce en el teorema de Bernoulli que nos da:
12
kPas
m
m
kg.P
vP
vvP
vvP
BA
ABA
AABA
ABBA
3041500012
1
152
1
162
1
2
1
2
2
3
2
22
22
Respuesta f)
18. Una sección de cañería, por donde circula un fluido viscoso, está formada por
dos caños rectos de la misma longitud y material cuyas secciones son de 3 cm² y 4
cm² respectivamente, y que están conectados en paralelo. Se desea reemplazarlos
por un único caño de la misma longitud. ¿Cuál debería ser su sección para que
ofrezca la misma resistencia hidrodinámica?
a) 1 cm² b) 7 cm² c) 3,5 cm2 d) 4 cm² e) 5 cm² f) 12 cm²
La ecuación de Poiseuille indica que las resistencias hidrodinámicas dependen de los
siguientes factores:
2
8
A
lR
Dado que los tres caños, los dos de sección conocida y el que va a reemplazar a
ambos –cuyo área queremos conocer- tienen la misma longitud, la misma forma
cilíndrica y serán recorridos por el mismo fluido, estos factores que aparecen en la
ecuación serán constantes en todas las ecuaciones. Lo único que cambia entre los
tres es el valor numérico del área, A. Todos los factores que son constantes se
pueden convertir en una constante, que llamaremos K, para usar en las tres
ecuaciones. De modo que tanto la resistencia hidrodinámica del caño de 3 cm², que
llamaremos R1, como la del caño de 4 cm², R2, pueden expresarse de la siguiente
manera:
4222422
116493 cm
K
cm
KR;
cm
K
cm
KR
El caño de reemplazo, cuya resistencia debe ser equivalente al par inicial que se
halla en paralelo, tendrá una resistencia RE que será, con el mismo criterio,
2A
KRE
13
Donde AE va a representar sólo el valor numérico de la sección, ya que las unidades
están contenidas dentro de K, y por reemplazar un sistema de resistencias en
paralelo su inversa valdrá:
24
4442
442
21
525
25169
169
111
cmcmA
cmcmcmA
K
cm
K
cm
K
A
RRR
E
E
E
E
Respuesta e).
19. Calcular el caudal (C) y la velocidad (v) de circulación del agua (viscosidad = =
1 centipoise (cp)) que circula por un tubo de 0,09 cm2 de sección y 10 m de longitud,
bajo una diferencia de presión de 20 mm Hg ( = 13,6 ḡ/cm3).
Dato útil: 10 Poise (se pronuncia “Puá”) es igual a 1 Pascal x segundo. La unidad más
usada es la centésima parte, o centi-Poise (cp).
Para resolver este problema, debemos recordar la relación
l
rPQ
8
4
descripta por la ecuación de Poiseuille. Recordar que las unidades deben
pertenecer todas al mismo sistema!!!!
2
2
2
2
2
6
010101
100010
090
5792620
10011760
cm
sdinas,)poise(pcp
cmm
cm,A
cm
dinas.mmHg
cm
dinas,mmHg
El radio r sale de recordar que el área es 2rA . Por lo tanto, r = 0,169 cm. El
caudal es entonces,
14
s
cm,
cm
sdinascm
cmcm
dinas
,cm,.Q
l
rPQ
3
2
4
23
4
4
85101
010108
1169057926
8
Para calcular la velocidad, v, recordemos la ecuación de continuidad, C = v x A.
Usando el valor calculado de C, y el de la sección, como dato, tenemos
s
cm,
cms
cm
,
,
A
Cv 469
1
090
85102
3
20. Por un tubo cilíndrico de 28 m de longitud circula glicerina = 2 cp. ¿Cuál es el
diámetro de dicho tubo, sabiendo que al aplicar una diferencia de presión de 300
Ba se obtienen 100 cm3/s de caudal?
Este problema se resuelve utilizando la “Ley de Ohm hidrodinámica” donde el
caudal representa el flujo, que es proporcional al potencial que genera la fuerza, en
este caso la diferencia de presiones P, y el factor de proporcionalidad es la
inversa de la resistencia hidrodinámica que se viera en problemas anteriores.
La relación es
l
rP
R
PQ
8
4 4
Para obtener el diámetro del tubo, requerimos el radio, que se incluye entre los
parámetros de la resistencia hidrodinámica. Para obtenerlo lo despejamos de la
ecuación,
cm,cm,rd
cm,cm,r
,.
.r
cm
dinascm
gcm
s
cm
,.
P
lQr
l
rP
R
PQ
839122
91811
89117683
80044
4300
02080028100
4
8
8
4
4 4
4
2
3
4
4
15
21. Dos tanques contienen un líquido viscoso hasta diferentes alturas (hA y hB),
que se conectan por abajo, por un tubo de 75 cm de largo y sección transversal S,
que posee una llave que está deteniendo el flujo. Las secciones de los tanques son
tan grandes que el líquido en ellos se puede considerar casi quieto en todo
momento. ¿Para qué opción ofrecida será mayor el caudal en el caño cuando se abra
la llave?
Lo primero que debe quedar en claro es qué se pregunta: al abrirse la llave del caño
horizontal que une los tanques por abajo, va a haber un caudal de líquido de un
tanque a otro. Dependiendo de las alturas de líquido en cada tanque y del ancho del
caño, el caudal Q va a ser mayor o menor. Se nos pide que identifiquemos en cuál
de las situaciones que aparecen en la tabla, vamos a tener el mayor caudal.
Estamos tratando con fluidos reales, ya que aparece la viscosidad como una
propiedad del fluido. Los tanques están llenos de un líquido viscoso, que circulará
por el caño, cuyo caudal será descripto por la Ley de Poiseuille:
R
PQ
El caudal, Q, es directamente proporcional a la diferencia de presión entre sus
extremos, ΔP, que lo impulsa, e inversamente proporcional a la resistencia
hidrodinámica, R, que lo frena. A su vez, la resistencia hidrodinámica es
inversamente proporcional al cuadrado del área (o sección) del caño:
2A
kQ
16
En este caso, la constante k depende de la viscosidad, el largo del caño y el factor
8, que se presenta en todas las situaciones que se nos pide comparar, por lo que
se resumen en la letra k. En definitiva los caudales en cada caso los vamos a
comparar con la expresión:
k
APQ
2
La diferencia de presión, ΔP, depende exclusivamente de la diferencia de alturas
del líquido en los tanques, tal como lo estipula el Principio Fundamental de la
Hidrostática: P g h Si juntamos las nuevas constantes que aparecen, x g,
con la anterior, tenemos:
k
gc
Donde c es una constante cuyo valor no nos interesa porque no cambia en los seis
casos que tenemos que comparar, dado que vale lo mismo para todos. La ecuación
de Poiseuille queda así:
2AhhcQ BA
En la que vemos que el caudal será mayor cuanto más grande sea el producto entre
la diferencia de altura, hA - hB, y el área al cuadrado, A2. Para comparar, hacemos
los cálculos para cada uno de los casos:
Podemos observar que el producto del módulo de la diferencia de alturas por el
cuadrado de la sección, muestra la importancia de ésta en el cálculo, y que,
finalmente, la condición “e” es la que genera el mayor caudal.
22. Suponga que la sección de un vaso sanguíneo disminuye por contracción de la
musculatura lisa de su pared a la mitad. ¿Cómo se modifica la velocidad de la
sangre cuando se mantienen constantes todos los otros factores?
Respuesta: Se duplica la velocidad. Recuerde el principio de continuidad:
17
AvQ
23. Un líquido ( = 1,1 g/cm3 y = 1,2 cp) circula en régimen laminar por un
dispositivo como el de la figura. Se midieron las alturas del fluido en los tubos
transversales (manómetros) en los puntos indicados. La distancia entre
manómetros es de 5 cm y el caudal medido fue de 240 ml/mm. Los resultados
obtenidos fueron:
a) Grafique en papel milimetrado la presión (P) en cada manómetro vs. longitud (1),
y a partir del mismo determine la velocidad de circulación del liquido.
b) Si el diámetro del cauce se incrementa al doble ¿Cómo se modifica la velocidad y
la pendiente de la relación anterior?
Para graficar la presión P vs. la distancia l, debemos calcular la presión en cada
punto, que es, por el principio de Torricelli, r x h, siendo h la altura del líquido en
cada manómetro. Siendo r = d x a (ver problemas anteriores) = 1,1 x 980 [(g/cm3) x
(cm/s2)] = 1078 dinas/cm3, obtenemos multiplicando por h en el punto uno, como
ejemplo, 10.780 dinas/cm2 = 10780 Ba = 10,8 hPa. Lo mismo se repite para cada una
de las otras posiciones, teniendo una nueva tabla a partir de la dada en el ejercicio:
18
Se construye un gráfico del cambio de presión (eje de ordenadas) en función de la
distancia “l”, como el de arriba, que muestra una caída más o menos lineal de la
presión en función de la distancia. Una mirada al gráfico nos indica la caída de la
presión, de tal manera que cuanto más alejada sea la distancia del punto de origen,
más cae la presión en forma lineal.
Como la diferencia entre la presión inicial y la de una en un punto posterior P = C x
R (Ley de Ohm hidrodinámica) es cada vez mayor, y sabiendo que el caudal C a
través del tubo horizontal es constante, P/R tiene que ser constante, por lo que a
una caída en P (valor mayor), tiene que estar acompañado por un incremento en R.
Esta R, como recordarán de los parámetros de la R, tiene una sola variable, que es
la longitud “l”, de forma tal que cuanto mayor “l”, mayor será la R. Esto surge de la
definición de la ecuación de una recta de pendiente negativa, como se observa en el
gráfico, donde la ordenada al origen es la Pi, y la pendiente es el caudal C, afectado
por los distintos parámetros de la resistencia R (de los cuales el único que varía es
“l”).
Respuesta: 65 cm/s
b) Si el diámetro del cauce se incrementa al doble ¿Cómo se modifica la velocidad y
la pendiente de la relación anterior?
19
Para responder esta segunda parte, volvemos a mirar el gráfico, y las ecuaciones.
Vemos que C es igual a A x v. Dado que A = x r2, al duplicar el diámetro, d2 =2 x
d1, por lo tanto, es igual a 4 x r1. Siendo r2 = 2 x r1, la velocidad cae a un cuarto de
la original, y la pendiente de la recta es 16 veces más lenta que la original.
24. Una persona respira aire enriquecido con oxígeno de un tubo de 17 dm3, que lo
contiene comprimido a una presión de 150 kgf/cm2 a una temperatura de 20°C.
a) ¿Qué volumen ocuparía ese gas a la misma temperatura y a presión atmosférica?
2211 VPVP
Recordar también que;
1 kgf = 9,8 N
150 kgf = 15,3 N
15,3 N/cm2 = 15,3 N / 10-4 m2 = 153.061 N/m2 = 153.061 Pa
101.300 Pa = 1 atm
153.061 Pa = 1,51 atm
l,l
latm,V
Vatmlatm,
VPVP
7221
15511
115511
2
2
2211
b) ¿Durante cuánto tiempo se podrá utilizar el tubo, si la persona consume 8 litros
de aire por minuto?
8 l ---- 1 min
22,7 l --- x = 2,8 min
25. Un gas ideal está en recipiente cerrado de 0,25 L, que se encuentra a 4 atm y
300 K. Si se coloca el gas en otro recipiente de 0,5 L y se aumenta la temperatura
a 600 K, la presión del gas será de:
a) 1 atm b) 2 atm c) 4 atm
d) 6 atm e) 8 atm f) 16 atm
Se trata, casi, de un repaso liviano de las leyes de los gases ideales (o sea, esos que
no hacen ruido). Dos estados cualesquiera de una misma masa gaseosa cumplen que:
2
22
1
11
T
VP
T
VP
20
Si entre los dos estados una de las variables se mantiene constante podemos
cancelarla y aparece una proporcionalidad entre dos variables solas. En la primera
pregunta, la que no varía es la presión (no se dice, pero se infiere). Tanto en esta
como en la siguiente pregunta voy a llamar 1 al primer estado y 2 al posterior.
Entonces:
atmKL
KLatm
,
,
VT
TVPP 4
30050
6002504
21
2112
Respuesta c).
26. Si se respira aire atmosférico con un 21% de oxígeno a 30 m de profundidad, la
presión parcial del oxígeno será, comparada con la que ejerce a nivel de la
superficie:
a) la misma b) el triple c) un tercio
d) la cuarta parte e) el cuádruple f) el doble
Debemos recordar que vivimos sumergidos en un mar de aire atmosférico cuya
presión vale 1 atm. En otras palabras: la superficie del mar de agua se contacta con
el fondo del mar de aire. El Principio General de la Hidrostática afirma que:
hP OH 2
donde ΔP es el aumento de profundidad; agua es el peso específico del agua, que
vale 10.000 N/m3; y Δh es la profundidad, que en este caso vale 30 metros.
atmPa.P 3000300
Si a 30 metros la presión aumenta en 3 atm, y en la superficie vale 1 atm...
entonces su valor a esa profundidad debe ser... 4 atm y eso es... ¡4 veces mayor que
en la superficie! Ahora bien, si el aire que tienen embotellado los buzos es el mismo
que el nuestro (atmosférico), la proporción de los componentes gaseosos no cambia.
Tiene un 21 % acá arriba y también un 21 % allá abajo. Su presión parcial acá arriba
es el 21 % de la presión total acá arriba, o sea, 1 atm; y allá abajo el 21 % de la
total abajo, que vale 4 atm.
La respuesta es el cuádruple, respuesta e)
Nota: Si alguien te pidiera que justifiques el último razonamiento, tendrás que
apelar a la Ley de Dalton, que resumidamente dice que el cociente entre la presión
parcial de un gas y la presión total de la mezcla es igual a la fracción molar de ese
gas.
27. ¿Qué le pasaría a un gas ideal en un depósito de volumen fijo a 2 atm de
presión si se eleva su temperatura de 30°C a 60°C? (Los valores de las alternativas
son aproximados.)
21
a) disminuiría su presión en un 50%
b) aumentaría su presión en un 50%
c) aumentaría su presión en un 100%
d) mantendría su presión anterior, de 2 atm
e) disminuiría su presión en un 10%
f) aumentaría su presión en un 10%
De 303 K (30ºC) a 333 K (60ºC) hay apenas un aumento de un 10%. Ahora
TRnVP
De las tres variables una permanece constante, el volumen. Luego: si la
temperatura aumenta un 10%, la presión (la única otra cosa que puede variar)
también deberá aumentar un 10%.
Veamos, si llamamos 1 al estado inicial y 2 al final, tenemos,
22
11
TRnVP
TRnVP
Al volumen no se le pone subíndice porque no cambia. Tampoco cambia el número de
moles, n. Por otro lado tenemos que la segunda temperatura es un 10% mayor que la
primera; eso se puede escribir así:
12 11 T,T
Si reemplazamos en la ecuación de estado 2... resulta:
12
12
12
11
11
11
P,P
VP,VP
T,RnVP
f) aumentaría su presión en un 10%