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Novedades Educativas « N° 87 - Pág. 74

La geometría del plano en la escolaridad obligatoria

Algunas reflexiones acerca de su enseñanza

En el Primer Encuentro Nacional sobre la Enseñanza de la Matemática, organizado por la Red Latinoamericana de Alfabetización, Marta Porras presentó un trabajo que recoge producciones obtenidas en un proyecto de investigación que ella desarrolla junto a Rosa Martínez, en la Facultad de Ciencias de la Educación, de la Universidad Nacional del Comahue. La Investigación se realiza en el marco de la Teoría de las Situaciones de Guy Brousseau.* Marta Porras se refirió a la geometría métrica, que es la que se estudia en la escuela primaria y, en particular, a la enseñanza de las figuras del plano a través de construcciones geométricas con regla y compás y sobre papel liso. En primer término, indicó cuál es el objeto de estudio de la geometría y presentó un panorama sobre cómo se ha dado en la historia de la geometría la relación entre lo sensible y lo geométrico. También habló acerca del lugar que tienen las representaciones en el estudio de la geometría, para luego analizar algunas características de la enseñanza actual de este campo del conocimiento, tales como el fenómeno de ostensión, la presencia de figuras típicas y la algoritmización de la enseñanza. Señaló algunas cuestiones fundamentales a tener en cuenta en la toma de decisiones en la organización de la enseñanza de las figuras del plano, en particular a partir del segundo ciclo de la escolaridad obligatoria. Propuso el estudio de las figuras del plano, teniendo como soporte las construcciones geométricas, en particular las planteadas sobre papel liso, con regla no graduada y compás, comentando que un tratamiento genuino de las figuras con este soporte privilegia el valor de la confrontación de resultados y la búsqueda de condiciones donde ese resultado es verdadero . Por ello, planteó la necesidad de que se disponga de herramientas que denominamos construcciones básicas,1 operaciones elementales con regla y compás, que permiten ampliar el campo de construcciones a todos los problemas de geometría plana previstos en la escuela primaria . Explicitó que dichas construcciones básicas son: transporte de segmentos y ángulos con compás; construcción de la mediatriz de un segmento con regla y compás; construcción de la bisectriz de un ángulo con regla y compás; trazado de rectas paralelas con regla y compás . Por último, analizó tipos de actividades que se hacen más complejas según el grado en que se las plantee.

Marta Porras y Rosa Martínez

¿Cuál es el objeto de estudio de la geometría elemental? La relación entre lo sensible y lo geométrico

La geometría métrica estudia los conjuntos de puntos del espacio. Ahora bien, es necesario precisar de qué espacio estamos hablando. Nos referimos al espacio de tres dimensiones. Pero, además, es necesario distinguir el espacio físico o sensible del espacio geométrico de tres dimensiones. El primero es el que nos rodea, es el espacio que contiene objetos concretos y al que accedemos por medio de los sentidos. El espacio geométrico permite comprender y conocer el espacio sensible y se constituye, en parte, como modelización del espacio físico. El dominio del espacio geométrico nos permite prever fenómenos y nos da la posibilidad de controlar algunas relaciones que se dan en el espacio físico. El trabajo con las figuras como conjuntos de puntos del espacio permite el conocimiento de propiedades del mismo, lo que trae aparejado conocer propiedades de objetos que están en el

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espacio. Así, un vidriero que debe colocar un vidrio en forma de rombo debe tomar medidas para cortarlo. Se trata de un problema del espacio físico que necesita de conocimientos geométricos para anticipar su solución. El vidriero debe saber que le conviene elegir las medidas de las diagonales y no la de los lados. Para resolverlo, modeliza los vidrios por medio de rombos y aplica las propiedades geométricas pertinentes de esa figura. Algunos conocimientos geométricos tienen su origen en lo sensible, otros nacen en la teoría misma y su alcance y significación pueden ser apreciados en sí mismos y por sí mismos. La geometría aparece organizada deductivamente desde los famosos "Elementos" de Euclides (siglo III a. C.). La vía deductiva constituyó una característica del saber para los griegos y, por lo tanto, la geometría ocupó un lugar fundamental en la formación intelectual. Pasó a ser una teoría de la racionalidad, más que una teoría del espacio. Para los griegos el punto, la recta, el plano, la esfera, por su carácter absoluto, constante, eran en sí mismos una garantía de existencia. La regla y el compás venían a ser la materialización grosera de las ideas de rectas y círculos. Una construcción con regla y compás proveía en suma de un teorema de existencia. Las construcciones geométricas se empleaban como soporte en el estudio de la geometría, y suponían el uso de instrumentos de trazado. El uso de tales o cuales instrumentos (los que han evolucionado con el correr de los años) permitía mayor o menor "precisión". Sin embargo, los resultados no se obtenían por la observación de figuras "precisas", sino por el rigor lógico de los razonamientos que sobre ellas se hacían. Al respecto, es ilustrativa la conocida frase que describe a la geometría como «el arte de obtener resultados ciertos, razonando sobre figuras mal hechas».

¿Qué lugar ocupan las representaciones en el estudio de la geometría del plano?

Las representaciones gráficas o los objetos concretos son una guía para comprender las propiedades de las figuras geométricas. Pero su uso abusivo puede llevar a establecer conclusiones falsas. Las representaciones pueden ser más o menos precisas, según el objetivo que persigan. Si se hace un dibujo para razonar sobre él, no se necesitará demasiada precisión; en cambio, si se hace un croquis de una maquinaria para la industria, el dibujante tratará de reducir el margen de imprecisión. El estudio de las figuras (conjunto de puntos del espacio) se sustenta en sus representaciones, ya sean objetos físicos (geoplanos, varillas articuladas, etc.) o dibujos. Las representaciones de las figuras del plano generalmente son gráficas (rectas, segmentos, cuadrados). Por lo tanto, al hacer geometría la experiencia es, fundamentalmente, una experiencia gráfica. Debemos distinguir entre dibujo y figura. La figura es un objeto ideal que se puede representar por un dibujo. Las construcciones geométricas son un medio para estudiar las figuras. Desde los griegos, la regla y el compás contribuyeron a materializar las ideas de rectas y círculos, superando y prolongando instrumentalmente nuestras facultades naturales en cuanto a la medida. Las construcciones que se realizan con estos instrumentos permiten poner en funcionamiento propiedades geométricas. Veamos cómo, en el ejemplo 1, el dibujo constituye una guía que nos permite visualizar los conocimientos invo-lucrados: En este caso, valerse de una representación ayuda a la interpretación del enunciado y permite visualizar que los segmentos AB y KC son diagonales del cuadrilátero y, además, que como M es punto medio, KM = MC; AM = BM. El dibujo muestra la propiedad que permite caracterizar el cuadrilátero en cuestión. Podemos decir que la riqueza de la geometría está en los razonamientos que se hacen sobre esas figuras y en la ausencia de contradicciones en esos razonamientos.

Sea ABC un triángulo, M es el punto medio del segmento AB y K es un punto tal que M es el punto medio de CK. ¿Qué clase de cuadrilátero es ACBK?

Ejemplo 1

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Para construir figuras es necesario disponer de un soporte (hoja de papel, pantalla de la computadora, etc.) y de instrumentos de trazado. En la interacción entre un sujeto y una construcción geométrica se involucran las propiedades de las figuras que la intuición o la experiencia han aportado. Luego estas propiedades se sistematizan y organizan deductivamente.

¿Cuál es el estado actual de la enseñanza de la geometría del plano?

Observamos que, en la mayoría de los casos, las actividades geométricas aparecen en la enseñanza como actividades para "hacer" en geometría, más que como situaciones que contribuyan al aprendizaje de la geometría. Se evidencia un desequilibrio entre lo sensible y lo geométrico en la enseñanza actual. En la escolaridad obligatoria actual parece ser que se opta por lo sensible. Haciendo abuso de las tendencias a "lo concreto", se magnifica el rol del dibujo en el aprendizaje de las nociones geométricas. Los dibujos ofician como "señales" que pretenden comunicar qué es una figura y sus propiedades. Consideramos que no son alternativas válidas un estudio basado exclusivamente en definiciones y propiedades, ni uno basado exclusivamente en "dibujos". Si bien los dibujos ayudan a hacer funcionar los conocimientos que a nivel implícito se tiene de los objetos geométricos, en la enseñanza primaria actual la experiencia con los objetos geométricos se basa en la imagen que brindan los dibujos, llegando a transformarse estos últimos en el objeto mismo de estudio. El aprendizaje de la figura se realiza básicamente sobre lo que se "ve", y muchas propiedades no tienen otra cabida más que una mera enumeración, por consiguiente, hay una pérdida importante de significado. Pero si la evidencia fuera algo absoluto y las propiedades se "vieran" en los dibujos, no sería necesario estudiarlas. Además, si se tiene la cultura de la evidencia en la enseñanza, hay construcciones que no podrán plantearse. Sólo podrán pensarse figuras "fieles" a las imágenes. Si se plantea la actividad del ejemplo 2, ¿Cómo concebir el punto B como intersección de r (trazada teniendo en cuenta h) y AB, si tanto r como h escapan a la imagen de paralelogramo?

Otra característica de la enseñanza es la particular relación que se propone con los dibujos, ya sea en el aula como en los textos de uso escolar. Para que el alumno pueda reconocer figuras se le suministran "modelos" que pueden considerarse figuras típicas.2 Es decir, figuras donde se toman regularmente valores idénticos para las variables en juego y, en consecuencia, resultan en su mayoría semejantes, de tamaños similares y en la misma posición. El alumno almacena en su memoria estos "prototipos", los que siempre conciernen a casos particulares. Eso

Construir un paralelogramo, dados dos lados consecutivos AB y AC y la altura h correspondiente a uno de ellos.

Ejemplo 2

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explicaría las dificultades de reconocimiento cuando las figuras no están en la posición habitual o cuando la relación de las dimensiones es muy diferente a las de las figuras típicas almacenadas. Un cuadrado corre el riesgo de dejar de ser cuadrado y ser percibido solamente como rombo cuando sus lados no están trazados paralelos a los bordes de la hoja o pizarrón (dibujo a). La posición, atributo fácilmente percibido, se toma en estos casos corno una propiedad geométrica de la figura, pasando a ser un modo de control para su distinción. Cuando en la enseñanza se usan abusivamente figuras típicas, se corre el riesgo de que los alumnos tengan difi-cultad para reconocer un rectángulo como el del dibujo b.

No descalificamos la incorporación del dibujo en la enseñanza. Sino que es necesario considerar los alcances y límites de sus usos en la planificación de situaciones de enseñanza. Nos interesa señalar, también, cómo se da la presentación de las nociones en la enseñanza de la geometría. En muchos casos, el maestro muestra los elementos y relaciones constitutivos de la noción que quiere enseñar; mientras el alumno observa, escucha y realiza las tareas de las cuales ya tiene el modelo. Suele descuidarse el tratamiento del "sentido" de las nociones. Es lo que en didáctica de la matemática se llama presentación ostensiva de las nociones.3

Una práctica probable es que se presente un polígono diciendo: "Esto es un .. 4 y se muestre un dibujo de dicha figura. Lo que se interpreta es que tal figura tiene la misma forma que la del dibujo; es decir, que los ángulos son congruentes a los del dibujo presentado y los lados proporcionales a los del mismo. En consecuencia, en esta clase sólo estarán las figuras que sean semejantes a la mostrada. Para las figuras que no son polígonos regulares esto será una dificultad. La semejanza entre los que sí son regulares hace posible que la imagen sirva para construirlo.

En esta presentación, los saberes no aparecen como útiles para resolver un problema que se les plantea a los alumnos. Las situaciones didácticas se reducen a la circulación del saber oficial. El alumno debe aprender la lección, hacer los ejercicios, memorizar algoritmos suministrados por el maestro o los textos, resolver los problemas que elige el docente, pero eso no es suficiente. Habrá alumnos que, por razones personales, sean capaces de aprender, es decir, de buscar las semejanzas entre la situación de presentación y aquélla que ellos deben resolver; que tengan la autonomía para recurrir a lecciones para algo que han olvidado, para interrogarse sobre las razones de sus elecciones, etcétera. El problema es que la instalación del alumno en esta posición, que Brousseau (1986) calificaría de a-didáctica es aleatoria, el éxito del aprendizaje está ligado más a las características personales del alumno que a la acción del maestro que ha elegido esta presentación. La dificultad reside en que, presentando las nociones de este modo, no hay posibilidades de obtener un conocimiento donde la noción adquiera sentido por ser una solución adecuada al problema. Por ejemplo, si un problema de construcción geométrica viene acompañado del algoritmo correspondiente, el alumno, repitiendo los pasos, podría obtener el dibujo esperado, pero no habrá interactuado con las propiedades que le dan sentido a ese algoritmo. Otra característica de la presentación ostensiva es la ausencia de la justificación de los procedimientos empleados en la resolución de una situación de enseñanza. La justificación en la enseñanza de la geometría del plano, en el nivel primario, se sustituye por la evidencia, por lo que no tiene cabida la reflexión sobre las propiedades puestas

Dibujo a

Dibujo b

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en juego. La confrontación tiene un carácter ficticio. La enseñanza se reduce, en la mayoría de los casos, a la práctica de algoritmos y mecanismos difícilmente reutilizables en otro contexto.

Algunas cuestiones a tener en cuenta para seleccionar actividades de enseñanza

Como ha sido expresado en el punto anterior, la resolución de situaciones de construcciones geométricas puede convertirse en algoritmos. Sin embargo, las construcciones geométricas son, en la enseñanza, como lo han sido en el desarrollo de la geometría, un campo propicio para plantear situaciones de aprendizaje, donde la noción adquiera sentido por ser una solución adecuada al problema. Para que el enunciado se constituya realmente en un problema de construcción, el problema tiene que ofrecer resistencia al sujeto, en relación con sus conocimientos. Es necesario prever las condiciones que se deben considerar en el planteo de la situación para que la riqueza de su estudio no se limite a la obtención de dibujos precisos, al recitado de propiedades y a la utilización de instrumentos de geometría adecuados, sino que resida principalmente en la reflexión sobre el funcionamiento de las propiedades usadas. Veremos, en el siguiente ejemplo, cómo la elección de los datos condiciona el uso pertinente de determinadas propiedades.

a) ¿Es posible construir con regla no graduada y compás un octógono regular dado el radio de la circunferencia que lo circunscribe: OA = 4 cm? b) ¿Es posible construir con regla no graduada y compás un octógono regular dado el lado AB= 3,2 cm? En cada caso, si es posible construirlo, explicitar el procedimiento empleado.

Si bien en ambos casos se obtiene el mismo dibujo, las propiedades involucradas en la resolución de cada uno son distintas. El dato en a), correspondiente al radio de la circunferencia que circunscribe al octógono regular, tiene por objeto encontrar el lado en función del radio. Mientras que en b) se busca encontrar el ángulo interior del octógono en función del lado. La reflexión sobre las decisiones que permiten el control de la situación favorece el funcionamiento de los conocimientos y los "saber hacer" que se involucran en los procedimientos. Si se tiene en la memoria un listado de propiedades con las que no se hayan establecido relaciones efectivas, se podría pedir la justificación; la reflexión en la resolución de una situación podría conjugar conocimientos adquiridos en forma segmentada. Por ejemplo, si se plantea la construcción de un cuadrado dado el lado, a un alumno que tiene entrenamiento en esta actividad, la confrontación no tendría lugar, porque la respuesta sería mecánica y no se reflexionaría sobre el procedimiento empleado. En cambio, si al mismo alumno se le plantea una construcción no tan trivial, como sería la de construir un cuadrado dada la paralela media, el control de la situación se podría dar por la reflexión sobre el funcionamiento de las propiedades involucradas. Es fundamental propiciar en la enseñanza la confrontación y, por consiguiente, la formulación de argumentos que aseguren la veracidad del procedimiento empleado en una construcción. Para realizar una construcción es necesario el conocimiento de las propiedades involucradas y disponer de construcciones básicas que hayan sido previamente enseñadas como un "saber hacer". Para el estudio de las figuras del plano, en este nivel de escolaridad, es deseable disponer como mínimo de las siguientes "construcciones básicas":

transporte de segmentos y ángulos con compás (para el primer ciclo podría utilizarse papel); construcción de la mediatriz de un segmento con regla no graduada y compás; construcción de la bisectriz de un ángulo con regla no graduada y compás; trazado de rectas paralelas con regla no graduada y compás (también podría efectuarse transportando ángulos congruentes, mediante la construcción de mediatrices, etc.).

La utilización de los diversos instrumentos geométricos es un medio para reflexionar sobre conceptos geométricos. Además, provee la ocasión de una reflexión tecnológica sobre las funciones de los distintos instrumentos. La construcción de una figura geométrica necesita, evidentemente, de competencias "manipulatorias". Por ejemplo, trazar una recta con una regla hace necesario tener la regla con una mano y, con la otra, seguir la regla con el lápiz; apoyando suficientemente el lápiz para que no se aleje de la regla, pero sin apoyar demasiado porque la regla corre

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el riesgo de deslizarse. La utilización del compás, de la escuadra, necesita también de competencias "manipulatorias". La reflexión sobre las propiedades puestas en juego y sobre los "saber hacer" utilizados permitiría la formulación de argumentos que aseguren la veracidad del procedimiento empleado. De este modo, la validación residiría principalmente en la reflexión de las propiedades usadas. Así, si se plantea la construcción del ejemplo 3 podrán emplearse diferentes procedimientos en su resolución. Ejemplo 3:

En los tres procedimientos intervienen las construcciones básicas de transporte de segmentos y ángulos. En el correspondiente al dibujo 1, se involucra, además, la construcción de la mediatriz de un segmento con regla y compás, no con el fin de obtener rectas perpendiculares, sino el punto medio O del segmento BC. La reflexión, tanto sobre las construcciones básicas usadas, como sobre la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se cortan mutuamente en su punto medio, permite asegurar que el dibujo obtenido corresponde a la figura del paralelogramo buscado. En el procedimiento correspondiente al dibujo 2 la reflexión se hará tanto sobre las construcciones básicas usadas como sobre la propiedad de la congruencia de los lados opuestos de un paralelogramo para garantizar la obtención del paralelogramo pedido. En el correspondiente al dibujo 3 interviene, también el trazado de rectas paralelas. En este caso se pone en juego la definición de paralelogramo.

Análisis de actividades

Los contenidos designan, mediante títulos del tipo "Cuerpos", "Figura planas", "Simetría axial y central", las obras matemáticas que se deben aprender en la escuela. ¿Pero hasta qué punto hay que "entrar" en estas obras? ¿Qué es lo que se debe ser capaz de hace con ellas? Internaré responder a estas preguntas dando algunas indicaciones sobre el tipo de actividades que los alumnos pueden aprender. Consideramos que las actividades de geometría en el primer ciclo deben tomar en cuenta todo lo que hace a la relación del niño con el espacio sensible: le deben permitir coordinar las informaciones que obtiene del entorno a partir de los sentidos, con su acción y con la palabra. Se trata de favorecer el dominio de los "saber hacer" que pueda utilizarse para identificar una figura, más que dar una definición. Es indispensable que los alumnos de este nivel acumulen experiencia sensible y comiencen a adquirir algunos "saber hacer" que sirvan para el reconocimiento de figuras y propiedades.

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El planteo de situaciones que impliquen actividades de clasificar, reproducir, describir figuras le permitirá al alumno enriquecer sus experiencias y apoyarse sobre su saber empírico para estructurar el saber geométrico. El vocabulario geométrico también evoluciona con el nivel de los alumnos. En el primer ciclo podrán utilizarse términos convencionales ocasionales que sirvan para distinguir un objeto matemático. Para la reproducción de un objeto, el alumno dispone de un objeto físico y debe realizar otro identificable con el modelo. Con esta finalidad podrán utilizarse diversos materiales y diversas técnicas: técnicas de plegado, modelado, recortado, uso de papeles blancos, cuadriculados, carbónicos, etcétera.

Representación de figuras con geoplanos

a) Dados un vértice o un lado, reproducir cuadrados. ¿Cuántos se pueden hacer? b) Representar cuadrados cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la plancha. c) Usando una bandita elástica, representar triángulos convenientes a partir de los cuales se puedan hacer moviendo la bandita uno sola vez:

un cuadrado; un paralelogramo; un rombo; un rectángulo.

En estas actividades interesa principalmente la descripción del procedimiento de construcción. Esta etapa es una primera aproximación a la formulación, ya que supone una selección entre las informaciones disponibles. Es probable que el vocabulario usado no sea el pertinente con respecto al lenguaje matemático, pero es la ocasión de ir mejorándolo.

Plegados I Plegar hojas de bordes no rectos, de modo que al abrirlas se obtenga en cada caso un rombo, un cuadrado, un rectángulo. Indicar las propiedades que se ponen en juego en cada plegado.

Plegados II Resolver la siguiente actividad sin plegar ni cortar, sólo se debe anticipar. El plegado se podrá usar para validar. Se pliega un cuadrado por las paralelas medias; se obtiene así otro cuadrado abcd.

a) Dibujar la figura que se obtiene al desplegar el cuadrado si se corta la punta d. b) Dibujar la figura que se obtiene al desplegar el cuadrado si se cortan las puntas a y c.

En el espacio sensible, el alumno controla sus relaciones efectivas de manera continua con la ayuda de los cinco sentidos. La validación en este tipo de actividades es empírica, generalmente se hace por comparación o superposición con el modelo. Una puesta en común de lo realizado puede hacer intervenir las propiedades puestas en juego. Es deseable que el alumno pase de un control empírico a un control por medio de razonamientos. En el segundo ciclo, las construcciones geométricas contribuyen al estudio de las propiedades de las figuras, la validación se hace sobre la base del uso de propiedades. Es importante el trabajo sobre las construcciones geométricas y el lenguaje. En el caso de figuras del plano, éstas se harán sobre papel liso y usando instrumentos geométricos, en particular la regla y el compás. En este ciclo habrá que introducir el vocabulario convencional, aunque limitado, reservando para el tercer ciclo mayor precisión en la designación convencional. Describir un objeto es comunicar formulaciones que permitan identificarlo o reproducirlo utilizando el lenguaje geométrico. La descripción es entonces una actividad de comunicación donde se pasa de un objeto físico a un discurso sobre ese objeto o sobre la imagen o la representación que se ha hecho cada uno. La descripción de un objeto puede realizarse con la ayuda de procedimientos orales, escritos o gráficos. Los procedimientos

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evolucionan con el nivel de los alumnos y son diversos, ya que pueden tomar en cuenta algunas propiedades y dejar de lado otras. Las actividades de descripción de figuras dependen del objetivo que se persiga: el alumno puede tener necesidad de describir una figura para que sus compañeros la identifiquen entre un conjunto de figuras dadas, o bien para que la reproduzcan o la construyan. En el caso de la descripción de una figura para reproducirla o construirla es necesario determinar los elementos de la figura, las vinculaciones entre ellos, luego definir una cronología de trazados, comunicar las diferentes etapas de construcción. Para ello, el alumno debe utilizar un vocabulario que le permita al interlocutor lograr la construcción. La validación será empírica o se hará usando propiedades de acuerdo con las condiciones del planteo de cada situación. A continuación veremos un ejemplo de una situación didáctica para el estudio de figuras, usando como soporte las construcciones geométricas.

Construcción de un cuadrado y de un rectángulo

Fase 1:

Se separa la clase en dos grupos (G1 y G2). Cada grupo dispondrá del siguiente material: hoja cuadriculada, regla y compás. Consigna para el grupo G1 : "Ustedes deben construir un cuadrado de modo que los lados no sigan las líneas del papel cuadriculado." Consigna para el grupo G2: "Ustedes deben construir un rectángulo de modo que los lados no sigan las líneas del papel cuadriculado."

Fase 2:

Se separa la clase en dos grupos (G1 y G2). Cada grupo dispondrá del siguiente material: hoja lisa, regla y compás. Consigna para el grupo G1:" Ustedes deben construir un cuadrado." Consigna para el grupo G2: "Ustedes deben construir un rectángulo."

En ambas fases se confrontan los procedimientos realizados y los argumentos que validan la construcción.

Las modificaciones de las condiciones del planteo inicial (en este caso, papel cuadriculado o liso) pueden producir el efecto de utilizar distintas propiedades de la misma figura, como también agudizar, en la segunda fase, el control de la congruencia de lados y la rectitud de los ángulos por medio de las construcciones básicas. El tratamiento de la argumentación se puede hacer en dos direcciones que se enriquecen mutuamente: - la presentación de actividades donde la evidencia no sirva para resolverla. En este caso, necesariamente se usarán las propiedades; - la presentación de actividades donde la justificación permita corroborar los resultados obtenidos, en el sentido de que no corresponden a un caso particular, sino que, necesariamente, en las condiciones dadas, se obtiene tal figura. Veamos un ejemplo de actividad para cada caso.

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El dibujo no ayuda a decidir la respuesta, pues no es evidente que las áreas son iguales. Un modo de pensarla es considerar la fórmula para calcular el área del triángulo. Este procedimiento será efectivo siempre y cuando se elijan convenientemente las alturas a considerar.

Si bien, en este caso, el dibujo deja ver la respuesta, la justificación juega el rol de comprobar que este resultado será verdadero siempre que las condiciones dadas se mantengan

Finalmente, en forma muy breve, haré algunas consideraciones sobre cómo se continuaría, en el tercer ciclo, el abordaje de la geometría del plano. Éste es básicamente teorico. Se trataría de favorecer en los alumnos el pasaje de la realidad espacial al modelo geométrico. Para ello se propone trabajar fundamentalmente sobre la organización de la información suministrada (elaboración de enunciados, datos de una construcción, etc.), como también sobre las condiciones necesarias y suficientes, sobre demostraciones de teoremas y prever la posibilidad de la realización efectiva o no de las construcciones de figuras usando el método deductivo.

Referencias bibliográficas

Berthelot, R. et Salim, M. H., L'enseignement de l'espace et do la géométrie dans la scolarité obligatoire, Thèse, Université Bordeaux I, 1992. Brousseau, G., "Fondements et méthodos de la didactique des mathématiques , Recherches en Didactique des mathématiques, Vol. 7/2, Grenoble, Ed. La Pensée Sauvage, 1986. Traducción publicada en Trabajos de Matemática, Serie B, N° 19, Córdoba, I.MA.F., U. N. de Córdoba. 1993. Chevallard, Y., Jullien, M., "Autour de l'enseignement de la geometrie au college, deuxième partie", en Petit X Nº 27, Francia, págs. 41 a 76, 1990-91.

Notas

1. Martínez. R.y Porras. M. pág. 5. 2. Fregona, 1995, pág. 123. 3. Ratsimba Rajohn. 1977. 4. Maria R. Lou. Y Alicia Veiga. El Puente de la Matemàtica 2. Buenos Aires. Santillana, págs. 74,75 y 79, 1991.

* Esta conferencia se desarrolló en el marco del Primer Encuentro Nacional de Didáctica de la Enseñanza de la Matemática en la Escuela , organizado por el Área de Matemática de la Red Latinoamericana de Alfabetización - Argentina, que se levó a cabo el 25 de Octubre de 1997. Otras exposiciones del misma Encuentro fueron: "La enseñanza de las operaciones en el primer ciclo (Lic. Cecilia Parra) y "Pensar la enseñanza de la matemática. Lo real, la posible y lo necesario" (Lics. Delia Lerner y Patricia Sadovsky) Las conferencias de este encuentro han sido editadas en video por la Red Latinoamericana de Alfabetización - Argentina.

Fregona, D., "Les figures planes comme "milieu" dans L'enseignement do la géométrie: interactions, contrats et transpositions didactiques", These Universite Bordeaux /., 1995. Martínez Porras, "Un enfoque alternativo de la enseñanza do las figuras del plano en la E.G.B." en Revista de Educación Matemática, vol. 12/3, págs. 3- 16, 1997. Puig Adam, P., Curso de geometría métrica, Tomo I Fundamentos, Madrid, Biblioteca Matemática, S. L., 1969. Ratsimba-Rajohn, H., Etude didactique de l'introduction ostensive des objets mathématiques, Bordeaux, Mémoire de D.E.A., IREM de Bordeaux, 1977.