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Distribuciones continuas de probabilidad
Distribuciones de probabilidad continuas
Curso de nivelación Estadística y Matemática
Cuarta clase: Distribuciones de probablidad continuas
Juan Diego Chavarría Mejía
Programa Técnico en Riesgo, 2016
Juan Diego Chavarría Mejía Distribuciones Continuas
Distribuciones continuas de probabilidad
Distribuciones de probabilidad continuas
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidadVariable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuasDistribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Juan Diego Chavarría Mejía Distribuciones Continuas
Distribuciones continuas de probabilidad
Distribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidadVariable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuasDistribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribuciones continuas de probabilidad
Distribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
Definición
¿Qué es una variable aleatoria continua?Es una variable aleatoria donde el número de resultadosposibles es ilimitado o infinito.
EjemploRendimiento promedio de una acción.
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Distribuciones continuas de probabilidad
Distribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
Pdf vs cdf
Probability density functionEs la probabilidad en el punto de una variable aleatoria.f
X
(x) = P (X = x)
Cumulative distribution functionEs la probabilidad acumulada hasta un punto de una variablealeatoria.F (x) = P (X x)
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Distribuciones continuas de probabilidad
Distribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidadVariable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuasDistribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
Propiedades
Valor esperadoPor analogía con las fórmulas de media de las distribucionesdiscretas
Fórmula
µ = E (X ) =Z a
�af (x)x dx
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Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidadVariable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuasDistribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribuciones continuas de probabilidad
Distribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
Definición
Fórmula
s2 =Z a
�af (x)(x�µ)2 dx
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Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Definición
CaracterísticasLas variables continuas son infinitamente divisibles.La probabilidad asociada con un intervalo de valores es igual alárea bajo la curva.El área bajo la curva total debe ser igual a 1.
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidadVariable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuasDistribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Definición
Distribución uniformeEs una distribución en la cual las probabilidades de todos losresultados son las mismas.
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Definición
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Función de probabilidad
f (x |a,b) =(
1b�a
0si x e [a,b]
otro caso
Media
E (x) = µ =a+b
2
Varianza
s2 =(b�a)2
12
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Asimetría
As = 0
Curtosis
k =95
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Fórmula de cálculo
La probabilidad de que ”x” este entre dos observaciones es
f (x1 X x2|a,b) =x2� x1
b�a
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Utilizada
Generalmente utilizada paraCuando se tiene un conocimiento muy general o pococonocimiento sobre la distribución que siguen los datos.Para generación de números aleatorios.
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidadVariable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuasDistribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Definición
Distribución normalEs llamada distribución Gaussiana. Es fundamental para elanálisis estadístico, dado que gran cantidad de fenómenos secomportan como una distribución normal. Se caracteriza porsu simetría con respecto a la media. Además es perfectamentedeterminada cuando se conoce µ y s .
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Cdf
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Fórmula de cálculo
Función de probabilidad
f (x |µ,s2) =1p2ps
e
�(x�µ)2
2s2
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Propiedades
Propiedades
Es simetríca respecto a µ (La mediana y moda son iguales).La distribución entorno a su media sigue la regla empírica.
Regla empíricaLa regla empírica especifica que, sin considerar el valor de lamedia o la desviación estándar:
el 68,3% de las observaciones está a una desviación estándar
de la media.
el 95,5% de las observaciones está a dos desviación estándar
de la media.
el 99,7% de las observaciones está a tres desviación estándar
de la media.
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Propiedades
Propiedades
Si X ⇠ N
�µ,s2� y a y b son números reales, entonces
(aX +b)⇠ N
�aµ +b,a2s2�
EstandarizamosPodemos convertir cualquier distribución normal en unadistribución con media igual a 0 (µ = 0) y desviación estándarigual a 1 (s = 1), realizando la siguiente operación.
Z =X �µ
s
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Media
E (x) = µ
Varianza
s2
Asimetría
As = 0
Curtosis
k = 3
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Utilizada
Generalmente utilizada paraPara describir atributos humanos o de objetos.Gran cantidad de datos se pueden considerar que siguen elcomportamiento de una distribución normal.Los promedios siguen una distribución normal.
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidadVariable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuasDistribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Definición
Distribución log-normalSi X es una variable aleatoria cuyo logarítmo se distribuyenormalmente (esto es, log (X )⇠ N
�µ,s2�), entonces X se
considera distribuida mediante una distribución logarítmicanormal. Por esto, es usualmente utilizada para datostransformados logarítmicamente.
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Cdf
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Fórmula de cálculo
Función de probabilidad
f (x |µ,s2) =1p2ps
1x
e
�(log(x)�µ)2
2s2
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Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Utilizada
Generalmente utilizada paraPara modelar tiempo de procesos.
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidadVariable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuasDistribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Definición
Distribución t-studentEs una distribución centrada alrededor de cero y caracterizadapor un solo parámetro llamado grados de libertad (n-1).Es semejante a la distribución normal estándar, pero con colasmás pesadas.A medida que aumente el tamaño de la muestra, ladistribución t se aproxima a la normal estándar.
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Cdf
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidadVariable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuasDistribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribución Normal
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Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Definición
Distribución Exponencial
Analóga a la distribución Poisson (que mide el número deocurrencias sobre algún intervalo de tiempo o espacio), ladistribución exponencial mide el paso del tiempo entre talesocurrencias. Así podemos decir que si el número deocurrencias tiene distribución de Poisson, el lapso entre lasocurrencias estará distribuido exponencialmente.
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
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Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Cdf
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Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Fórmula de cálculo
Función de probabilidad
f (x |µ) = 1be
�x
b
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Distribución Normal
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Distribución Exponencial
Distribución Beta
Media y varianza
Media
µ = b
Varianza
s2 = b 2
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Distribución Normal
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Distribución Exponencial
Distribución Beta
Utilizada
Generalmente utilizada paraPara modelar el lapso entre dos eventos consecutivos dePoisson que ocurren de manera independiente .
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidadVariable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuasDistribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Definición
Distribución BetaEs una distribución continua en la famialia de (0,1) descritapor dos parámetros. Esta distribución es una de las pocasdistribuciones que acumulan la probabilidad de 1 en unintervalo finito, en este caso de (0,1).
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Distribución Logarítmica Normal
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Distribución Exponencial
Distribución Beta
Definición
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Definición
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Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Fórmula de cálculo
Función de probabilidad
f (x |a,b ) = 1R 10 x
a�1 (1� x)b�1dx
x
a�1 (1� x)b�1
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Media y varianza
Media
µ =a
a +b
Varianza
s2 =ab
(a +b )2 (a +b +1)
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Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Utilizada
Generalmente utilizada paraPermite generar una gran variedad de perfiles.
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Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Bibliografía
Barrantes G., MiguelElementos de estadística descriptiva. EUNED, 1998.
Kenneth N., Berk & Patrick, CareyAnálisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office2000Thomson Learning, 2000.
Gitman, Lawrence.Principios de administración FinancieraPearson Education, Décima edición.
Webster L., AllenEstadística aplicada a los negocios y la economíaIrwin McGraw-Hill, Tercera edición.
Juan Diego Chavarría Mejía Distribuciones Continuas