ENSAYOS DINAMICOS EN MATERIALES DE LA CONSTRUCCION

Dr. Eduardo Moreno

La Habana 2004

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Nota

El presente documento pretende mostrar los aspectos físicos necesarios para la realización de los ensayos dinámicos en materiales de la construcción. Es decir aquellos que están basados en la propagación de ondas mecánicas. El manual esta organizado a través de cuatro capítulos que cubren los siguientes aspectos.

• Teoría de la elasticidad • Método de resonancia • Método de velocidad de fase • Método de pulso ultrasónico

En cada capitulo se reflejan las expresiones matemáticas que permitan poder hacer un estudio detallado de cada método. Se han obviado muchos pasos y demostraciones, pues se pretende que el lector cuente con los aspectos mínimos necesarios que le ayuden como guía en estudios posteriores. La bibliografía al final de cada capitulo sirve de conexión hacia las demostraciones, para los interesados en el tema. El folleto por tanto es un complemento a las conferencias que se adjuntan. Eduardo Moreno La Habana, octubre 2004.

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Cap. 1. Elementos Básicos de la Teoría de la Elasticidad y Propagación de Ondas ..................................................................... 5

1.1 Introducción ........................................................................................................... 5 1.2 Ley de Hooke, constantes elásticas....................................................................... 5 1.3 Concepto de deformación. .................................................................................... 6

1.2.1 Concepto de esfuerzo..................................................................................... 8 1.2.2 Ley generalizada de Hooke........................................................................... 9 1.2.3 Módulos dinámicos y estáticos. .................................................................. 10

1.3 Ecuación de onda, concepto de velocidad de fase y de grupo.......................... 11 1.3.1 Potenciales .................................................................................................... 11 1.3.2 Velocidad de una onda. Velocidad de fase y de grupo. ............................ 12

1.4 Tipos de ondas...................................................................................................... 15 1.4.1 Ondas en medios infinitos. .......................................................................... 15 1.4.2 Ondas en el semiespacio. ............................................................................. 15 1.4.3 Guías de ondas. ............................................................................................ 16

1.5 Reflexión y Refracción, conversión de modos, impedancia acústica. ............. 19 1.5.1 Impedancia acústica Z. ............................................................................... 20

1.6 Atenuación............................................................................................................ 22 1.7 Medición de velocidad. ........................................................................................ 23

1.7.1 Sistema de pulso/transmisión. .................................................................... 23 1.7.2 Otros sistemas. ............................................................................................. 25

1.8 Teoría de transductores. ..................................................................................... 25 1.8.2 El transductor ultrasónico. ......................................................................... 25 1.8.3 Relaciones Constitutivas Piezoeléctricas. .................................................. 27 1.8.4 El transductor como una red de tres puertos. .......................................... 29

1.9 Circuitos Equivalentes. ....................................................................................... 31 1.9.1 Circuito Equivalente Mason. ...................................................................... 31 1.9.2 Circuito Equivalente Redwood. ................................................................. 32 1.9.3 Modelo KLM................................................................................................ 33 1.9.4 Mecanismos de pérdidas. ........................................................................... 33 1.9.5 Factor de Calidad Acústico......................................................................... 35

1.10 Radiación ultrasónica.......................................................................................... 36 1.9.1 Radiación continua. ..................................................................................... 36 1.9.2 Radiación a pulsos. ...................................................................................... 40

1.11 Bibliografía del capítulo 2. .................................................................................. 42

Cap. 2. Método de Resonancia. ..................................................... 43

2.1 Introducción ......................................................................................................... 43 2.2 Resonancia longitudinal y torsional en barras. ................................................ 43

2.2.1 Resonancia longitudinal. ............................................................................. 43 2.2.2 Resonancia torsional. .................................................................................. 45 2.2.3 Coeficiente de Poisson ................................................................................. 47 2.2.4 Formas de medición. ................................................................................... 47

4

2.2.5 Muestras cúbicas. ........................................................................................ 48 2.2.6 Determinación del parámetro de amortiguamiento ................................. 48

2.3 Resonancia en placas cuadradas. ....................................................................... 49 2.4 Resonancia en placas circulares. ........................................................................ 53 2.5 Método de resonancia en elementos constructivos con refuerzos. .................. 56 2.6 Bibliografía del capítulo 2. .................................................................................. 59

Cap 3. Método de Velocidad de Fase............................................ 60

3.1 Introducción ......................................................................................................... 60 3.2 Propagación de ondas en elementos planos....................................................... 60 3.3 Ondas superficiales de Rayleigh......................................................................... 63 3.4 Ondas simétricas en placas. ................................................................................ 64 3.5 Ondas antisimétricas en placas. ......................................................................... 66 3.6 Ondas en medios viscoelásticos. ......................................................................... 68 3.7 Métodos experimentales para la medición de la velocidad de fase. ................ 73 3.8 Formas de medición ............................................................................................ 75 3.9 Aplicaciones del método de velocidad de fase ................................................... 76

3.9.1 Medición de características elásticas. ........................................................ 76 3.9.2 Medición de espesores. ................................................................................ 76 3.9.3 Características viscoelásticas...................................................................... 77 3.9.4 Evaluación de la rigidez de carreteras....................................................... 78

3.10 Bibliografía del capítulo 3. .................................................................................. 84

Cap 4. Método de Pulso Ultrasónico. ........................................... 85

4.1 Introducción ......................................................................................................... 85 4.2 Propagación ultrasónica en elementos constructivos. ...................................... 85

4.2.1 Método directo. ............................................................................................ 86 4.2.2 Método indirecto.......................................................................................... 88 4.2.3 Método superficial. ...................................................................................... 89 4.2.4 Defectos superficiales. ................................................................................. 91

4.3 Medición de rajaduras ........................................................................................ 92 4.3.1 Acero perpendicular al haz......................................................................... 93 4.3.2 Acero paralelo al haz................................................................................... 94

4.4 Cálculo de la resistencia del hormigón. Efecto de la relación agua-cemento e influencia de los áridos. ................................................................................................... 95 4.5 Coeficiente de homogeneidad. ............................................................................ 97 4.6 Influencia del agua. ............................................................................................. 98 4.7 Efecto de la geometría de la muestra, leyes de dispersión en pulsos. ............. 98

4.7.1 Dispersión en placas. ................................................................................. 100 4.8 Procesamiento de señales ultrasónicas, filtraje digital y Transformadas tiempo frecuenciales y de ondeleta.............................................................................. 104 4.9 Bibliografia del capítulo 4. ................................................................................ 107

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Cap. 1. Elementos Básicos de la Teoría de la Elasticidad y Propagación de Ondas 1.1 Introducción Para poder comprender y aplicar las diferentes técnicas de ensayos dinámicos en materiales de la construcción es básico el conocimiento de algunos aspectos de la Teoría de la Elasticidad. En este primer capítulo, en una primera parte, se hará un resumen de los elementos esenciales atendiendo a los aspectos dinámicos, es decir a la propagación de ondas en materiales sólidos. Después se analizarán aspectos de generación de ondas mediante los conceptos de transducción y radiación. Este análisis se realizará sin demostraciones, las cuales pueden obtenerse en las referencias al final del capitulo. Con esta parte se pretende dar respuestas a las siguientes preguntas necesarias para el curso.

¿Qué es una onda mecánica? ¿Qué parámetros la caracterizan? ¿Cuántos tipos de ondas mecánicas existen? ¿Cómo se generan? Para responder a la primera pregunta debemos recordar, los cursos básicos de mecánica clásica. Si hacemos un análisis de cualquiera de estos, veremos que esta se desarrolla más o menos así: 1- Mecánica de una partícula, donde solo tiene sentido la traslación. Aquí se comienza con la cinemática y se introducen las tres leyes de Newton con la dinámica. 2- Mecánica de sistemas de partículas. Una extensión del caso anterior. 3- Mecánica del cuerpo rígido. Se introduce además de la traslación, la rotación con las leyes de Newton escritas en forma apropiada. Se define como rígido, el cuerpo que no se deforma. 4- Mecánica de la deformación. En general los cursos de mecánica básicos no incluyen esta parte. Se conoce más bien, como teoría de la Elasticidad y es la base de la propagación de Ondas Mecánicas, sobre todo en cuerpos sólidos que son más complejos que los fluidos (líquidos y gases). Una vez ubicados en el contexto de la mecánica de deformación, veremos que magnitudes necesitamos conocer o definir así como las correspondientes leyes. 1.2 Ley de Hooke, constantes elásticas. La ley de Hooke en esencia no es más que una relación entre una fuerza aplicada a un cuerpo y su deformación. El ejemplo clásico es el muelle, donde F=kx. Aquí F es la fuerza aplicada a los extremos y x la distancia que se estira o encoge el muelle. k es la constante del muelle que nos da la idea de lo fácil o difícil que es hacer esta operación sobre el mismo.

6

Sin embargo esta forma no es la mas adecuada para explicar un fenómeno de deformación en un material cualquiera y se necesitan definir las magnitudes de esfuerzo y deformación para poder obtener una ley lo mas general posible. Las causas están dadas por el hecho de que la constante k no solo depende del tipo de material sino de las dimensiones de la muestra. Esto no es más que una consecuencia de que los conceptos de fuerza y distancia deben ser llevados a definiciones más generales que esfuerzo y deformación respectivamente. 1.3 Concepto de deformación. Veamos la definición de desplazamiento tal como se conoce de cualquier curso de mecánica. En la Fig. 1.1 se muestra este desplazamiento ∆u, para el caso de un punto material dentro de un cuerpo que asumiremos sólido, u es el vector de posición. ∆u Fig. 1.1 Concepto de desplazamiento ∆u de un punto material. ui posición inicial, uj posición final. El tiempo transcurre de t0 a t1. Fig. 1.2. Concepto de deformación. (∆u1 ≠ ∆u2). En la Fig. 1.2 se muestra en forma muy simple el concepto de deformación a partir del desplazamiento, tomando para esto dos puntos de un cuerpo, al cual consideramos no rígido. Para que se deforme un cuerpo en su interior es necesario que partes del mismo se desplacen, pero en distancias diferentes. En esta figura se expone solamente un tipo de

uf

x

y to t1

ui

uf ui

x

y

ui

∆u1 to t1 ∆u2t1

uf

to

7

deformación llamada longitudinal, aunque existe otra deformación llamada de cizalladura y combinaciones de ambas. La Fig. 1.3 muestra los dos tipos de deformación.

Fig. 1.3. Tipos de deformaciones. La magnitud que define matemáticamente la deformación longitudinal se expresa como:

Sux

=∂∂

(1.1)

Esta definición sin embargo no es adecuada para el caso de la cizalladura; pues una rotación pura de un sólido rígido presenta un valor S distinto de cero y sin embargo no existe deformación. Formalmente es una magnitud tensorial, que viene dada por:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

↔

333231

232221

131211

SSSSSSSSS

S (1.2)

donde

3,2,1,21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

= jixu

xu

Si

j

j

iji (1.3)

ui es cualquiera de las tres componentes del vector de posición u1. xi representa los ejes de coordenadas cartesianos x,y,z. Los valores de diagonal corresponden a las deformaciones longitudinales en cada uno de los ejes y los que restan corresponden a los de cizalladura aunque existe una redundancia física, pues los valores “espejos” corresponden a la misma deformación.

1 Estas componentes serán denominadas adicionalmente por u,v,w en lo adelante.

Longitudinal Cizalladura

8

Por tanto analizando cada Si,j vemos que hay simetría al cambiar i por j. El tensor S será simétrico y resulta más conveniente trabajar con lo que se conoce como notación reducida del desplazamiento S:

126135234333222111

6

5

4

3

2

1

,,,,, SSSSSSSSSSSS

SSSSSS

S ======

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= L (1.4)

En esta representación tenemos que los tres primeros componentes corresponden a las posibles deformaciones longitudinales mientras que las otras tres a las posibles cizalladuras. 1.2.1 Concepto de esfuerzo. Para que exista una deformación deben existir varias fuerzas actuando sobre un cuerpo. Desde el punto de vista de la teoría de elasticidad es mas conveniente utilizar el concepto de esfuerzo que se define como fuerza/área. En esta expresión la fuerza actúa sobre el plano caracterizado por su área. Como consecuencia del carácter vectorial de la fuerza tendremos que el esfuerzo se puede descomponer en tres componentes, una de las cuales es perpendicular al plano y las otras dos paralelas como se muestran en la Fig. 1.4.

Fig. 1.4 Representación sobre un plano de las tres posibles componentes del esfuerzo. Físicamente vamos a tener los tres planos perpendiculares del cubo y los tres ejes cartesianos, lo cual generan la posibilidad de definir un tensor de esfuerzo de 9 componentes muy similar en forma al de deformación.

T13

T33

T23

9

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

↔

333231

332221

131211

TTTTTTTTT

T (1.5)

En este caso se cumple una relación de simetría análoga al caso del desplazamiento, sin embargo su demostración se debe a que los componentes i≠j involucrados producen un torque en el cubo, de esta forma para que se de una condición de equilibrio y el cuerpo no rote indefinidamente por si solo, es que se hace necesaria esa condición.

De igual forma al caso anterior es conveniente trabajar con notación reducida que viene dada por:

126135234333222111

6

5

4

3

2

1

,,,,, TTTTTTTTTTTT

TTTTTT

T ======

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= L (1.6)

A partir de estos conceptos de esfuerzo y deformación podemos dar respuesta al concepto de onda mecánica Onda mecánica es el proceso de propagación de una perturbación en un medio en forma de esfuerzos y deformaciones. 1.2.2 Ley generalizada de Hooke. Una vez conocidos los conceptos de esfuerzo y deformación se puede plantear la relación que existe entre ellos que es la llamada ley de Hooke y que viene dada por:

6,5,4,3,2,1,, == jiScT jiji (1.7) (se asume sumatoria implícita) Esta relación tensorial nos da el concepto de rigidez que viene dado por el tensor c, y es necesaria para obtener los valores de velocidad de propagación de una onda mecánica. En realidad la misma se cumple solamente para pequeñas deformaciones y constituye un sistema de ecuaciones. Esta ley representa la elasticidad de cualquier sistema sólido en la naturaleza que incluye monocristales. Para el caso de los materiales usados en los ensayos no destructivos tenemos que se cumple la isotropía de los mismos y se simplifica mucho la

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relación anterior. Solo dos constantes elásticas quedarán como independientes y son las llamadas constantes de Lame λ1 y G. La ley de Hooke queda entonces como:

66

55

44

32131

3

21

2

11

1

,2

2

2

GSTSGT

GSTSSSdondeGST

GST

GST

===

++=∆+∆=

+∆=

+∆=

λ

λ

λ

(1.8)

Si bien las constantes elásticas de Lamé definen la elasticidad de un material isotrópico, tenemos que en la práctica son utilizados con mayor frecuencia el llamado módulo de Young E y el coeficiente de Poisson µ. Esto se debe a que la ley de Hooke fue desarrollada en un inicio para el caso de alambres y barras. Si tenemos una barra en la dirección 3 con diámetro despreciable, se puede plantear que T1 y T2=0. De esta forma nos quedan las definiciones de E y µ como sigue:

)(2

)23(

1

1

3

2

3

1

1

1

3

3

GSS

SS

EG

GGST

+==−=−

=++

=

λλµ

λλ

(1.9)

1.2.3 Módulos dinámicos y estáticos. El módulo de Young antes mencionado puede ser calculado experimentalmente a partir de ensayos de tracción que se realiza con prensas. También puede ser obtenido a partir de mediciones de velocidades ultrasónicas o de resonancia, mediante expresiones que detallaremos mas adelante. En ambos casos se cumple el hecho de que existirán esfuerzos y deformaciones dentro del material, sin embargo existe una diferencia y es la rapidez con se realiza esto. Para el caso de ensayos de tracción el proceso es lento y se comporta en forma isotérmica. El trabajo termodinámico debido al cambio de volumen en la deformación será del mismo tipo. Para el caso ultrasónico tendremos que el proceso de compresión y rarefacción se realiza en forma muy rápida a lo cual corresponde un trabajo adiabático. Esto implica que existirán dos módulos de Young que será el adiabático o dinámico y el isotérmico o estático. Este factor es importante, pues en este texto se darán detalles para calcular módulos elásticos en forma dinámica, sin embargo para el diseño de una estructura deberá ser empleado el estático. Esto nos muestra que se deberán hacer correcciones calculadas en forma experimental.

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En general la relación entre esfuerzo y deformación no es una ecuación lineal (excepto en pequeñas deformaciones) y por tanto en una diagrama esfuerzo vs. deformación en una barra para grandes deformaciones, tendremos que la pendiente de la secante a un punto de la curva será el módulo de Young estático mientras que la pendiente de la tangente será el dinámico. 1.3 Ecuación de onda, concepto de velocidad de fase y de grupo. Como planteamos, en uno de los epígrafes anteriores, una onda es la propagación de una deformación vista a través del esfuerzo o de la deformación. De esta forma se puede considerar un cuerpo deformable como compuesto por pequeñas partes las cuales se mueven dentro de el. Entonces podemos utilizar la segunda ley de Newton ΣF=ma, sobre elementos diferenciales de volumen, donde las fuerzas estarán dadas a través de las tensiones de los elementos vecinos. Utilizando esta expresión junto a de Hooke, se llega a una ecuación de onda llamada ecuación vectorial de Lamé dada por:

)()()2( 12

2

uuu GGt

→→→→→→→

××−⋅+= ∇∇∇∇λ∂∂

ρ (1.10)

(ρ es la densidad que se asume constante) Esta ecuación contiene físicamente todas las posibles ondas que pueden producirse en un cuerpo sólido. Sin entrar en detalle matemáticos veremos algunos casos particulares de ondas mecánicas que pueden existir. 1.3.1 Potenciales La ecuación vectorial de Lamé puede ser descompuesta a partir de conceptos de potenciales escalares y vectoriales tal como ocurre en electromagnetismo. Se puede demostrar que cualquier campo vectorial (y en caso particular el campo de desplazamiento u) puede descomponerse en dos funciones desconocidas (pero que existen) de la siguiente forma:

→→

∇+∇= ψϕ xur

(1.11) donde ϕ y ψ son los potenciales escalares y vectoriales respectivamente. Si sustituimos esta expresión en la ecuación vectorial de Lamé (1.12), tendremos las siguientes expresiones

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

xCt

xCt

T

L

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

ψψ

ϕϕ

rr (1.12)

12

donde

ρ

ρλ

GC

GC

T

L

=

+=

21

(1.13)

de aquí se puede sacar una primera conclusión y es que para el caso de un medio infinito existirán dos tipos de ondas con velocidades CL y CT que corresponden a las ondas longitudinales y transversales respectivamente2. Para un medio no infinito entonces las ecuaciones (1.12) se acoplarán a través de las condiciones de frontera (guías de ondas) y dará lugar al fenómeno de dispersión sobre el cual hablaremos mas adelante. Las expresiones anteriores pueden expresarse de la siguiente forma en función del módulo de Young, la razón de Poisson y el coeficiente de cizalladura G.

)1(21

)21)(1(1

µρρ

µµµ

ρ

+==

−+−

=

EGC

EC

T

L

(1.14)

Las expresiones anteriores definen velocidades de dos tipos de ondas, pero formalmente en física ondulatoria el concepto de velocidad esta definido de dos formas diferentes y es por tanto incorrecto hablar de velocidad solamente. Veamos sobre esto a continuación. 1.3.2 Velocidad de una onda. Velocidad de fase y de grupo. Constantemente en las aplicaciones de los ultrasonidos se maneja el término de velocidad, como una magnitud que depende de las características elásticas del medio y que por tanto permite evaluarlos. El concepto de velocidad es fundamental en las aplicaciones de defectoscopía, como mediciones de espesores y resistencia de materiales de la construcción. Para las aplicaciones de pulso - eco y pulso - transmisión es necesario conocer las dos 2 En realidad no es evidente. Para esto hay que hacer un estudio de las componentes del vector desplazamiento longitudinal y perpendicular a la propagación en función de los potenciales.

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definiciones de velocidad; nos referimos a los conceptos de velocidad de fase y velocidad de grupo. Analicemos el caso simple de la propagación de una onda plana (como es el caso longitudinal), la puede expresarse por la ecuación:

u u ei t kx= −0

( )ω (1.15)

. donde ω=2π f , es la frecuencia angular, y k=2π /λ (nota3), es el llamado módulo del vector de onda, definido a través de la longitud de onda λ. Esta solución que refleja la propagación de una onda plana continua de frecuencia única (propagación armónica), permite definir la velocidad de fase:

fk

C λω== (1.16)

que físicamente significa la propagación de un punto de fase constante, como se muestra en la Fig. 1.5. A diferencia del clásico concepto de velocidad que tenemos de la mecánica, donde medimos el tiempo transcurrido durante la traslación de un cuerpo de una posición a otra, la velocidad de fase considera la traslación de un punto de fase constante de la onda, no de la onda en si, pues la misma es de extensión infinita. Quiere decir que si consideramos dos transductores emisor y receptor (también llamados palpadores), ambos estarán conectados en forma continua por dicha onda. Esto es muy diferente al caso de un pulso, que sale de un emisor y llega a un receptor; donde se podría tener una analogía más cercana a la traslación de un cuerpo en mecánica. Para este segundo caso debemos definir el concepto de velocidad de grupo dado por:

Ckg =

∂ ω∂ (1.17)

3 Aquí λ corresponde con la longitud de onda y no debe confundirse con la primera constante de Lamé, que hemos denominado λ1.

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Fig. 1.5. Velocidad de fase que puede ser medida por la posición de cualquier punto de fase constante. Este caso se marca con un punto y flecha el primer máximo donde se puede medir la velocidad de fase. En muchos cursos de propagación de ondas, la velocidad de grupo se asocia al fenómeno de modulación, usado ampliamente en la transmisión de ondas de radio. Se considera que a partir de una portadora infinita, la velocidad de grupo es la velocidad con que viaja la información. Este enfoque, aunque válido, no es muy adecuado para los ultrasonidos porque se trabaja frecuentemente (en muchas aplicaciones médicas/industriales) con pulsos. Veamos por tanto que ocurre con las velocidades de fase y de grupo de los ultrasonidos. Para esto debemos recordar la relación entre ambas velocidades.

C CdCdg = − λλ

(1.18)

La relación (1.20) lleva intrínseco el concepto de dispersión (no confundir con “scattering” del inglés). Si examinamos la expresión anterior veremos que ambas velocidades son iguales si C es independiente de λ, o de la frecuencia, que es en esencia lo mismo. Existen situaciones, que veremos mas adelante, donde se pueden excitar ondas mecánicas continuas o de pulso y no se cumple esta relación, por tanto ambas velocidades dependerán de la frecuencia y serán diferentes. Este fenómeno es la llamada dispersión, que se refiere a la dependencia de la velocidad de fase (y de grupo) con la frecuencia. El origen, como veremos, puede deberse a dos situaciones, a las características geométricas del material (guías de ondas) o a las propiedades no elásticas del mismo, y recibirán el nombre de dispersión geométrica o viscoelástica según sea el caso. Un pulso, por tanto ¿a qué velocidad de se propaga? Consideremos primero un pulso estrecho en el tiempo. Tomando un centroide del mismo, podemos decir que este lugar geométrico, se propaga a la velocidad de grupo. ¿Cómo se explica la velocidad de fase? Para esto recordemos la teoría de Fourier, donde un pulso puede descomponerse en armónicos, tal como se expresa en la clásica ecuación siguiente (transformada de Fourier).

15

pulso t A e di t( ) ( )=−∞

+∞

∫1

2πω ωω

(1.19)

Como vemos algo que existe limitado en el tiempo (y por tanto en el espacio) o sea de extensión finita puede descomponerse, en una suma de senos y cosenos que tienen una extensión infinita. Evidentemente podemos decir que la anterior integral vista como una suma algebraica, realiza una superposición constructiva en la zona donde está realmente el pulso (suma verdadera) y se destruye la superposición fuera de dicha zona. Dichos armónicos se "mueven" ondulatoriamente con la velocidad de fase, de tal forma que permiten el desplazamiento del pulso (que se propaga a la velocidad de grupo). ¿Cómo se entiende entonces que la velocidad de grupo pueda depender de la frecuencia en un fenómeno de dispersión? Kolsky plantea que es mejor considerar que un pulso se pueda descomponer en “pulsitos” de frecuencia concentrada (banda estrecha), donde cada uno de estos “pulsitos” se propaga a la velocidad de grupo. Es curioso como este análisis físico de la propagación de un pulso se antecede al concepto matemático ondeleta. 1.4 Tipos de ondas. 1.4.1 Ondas en medios infinitos. En el epígrafe 1.2.1, vimos que para un medio infinito es posible la existencia de dos tipos de ondas: longitudinal (conocida como onda P ) y transversal (onda S). La primera, como su nombre indica, tiene el desplazamiento en la misma dirección de propagación. Este caso corresponde con la propagación en líquidos y gases4. En un segundo caso tenemos las ondas transversales que presentan el fenómeno de polarización. De esta forma se utiliza la nomenclatura SH y SV para denotar plano de polarización perpendicular (SV) o paralelo (SH) al plano del papel. Las velocidades viene expresadas por las relaciones dadas en (1.15) o (.1.16), donde se cumple que CL es mayor que CT. 1.4.2 Ondas en el semiespacio. Este tipo de onda se propaga a través de la superficie de un material y se conoce como ondas de Rayleigh. Las mismas presentan una velocidad de propagación dada por:

TR CCµ

µ++

=1

12.187.0 (1.20)

estas ondas se caracterizan por tener una penetración perpendicular a la superficie de apenas algunas longitudes de ondas. Su velocidad va a ser menor que CT y por tanto menor que CL.

4 Se asume que el líquido no tiene viscosidad, pues en caso contrario es posible cierta propagación de ondas de cizalladura.

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La Fig. 1.6 muestra un esquema de los tres tipos de ondas. En el caso de los ensayos no destructivos en metales tendremos que se ofertan transductores para estos tipos de ondas. Las tres ondas hasta aquí descritas se caracterizan por no presentar el fenómeno de dispersión, es decir sus velocidades de fase y/o de grupo no dependen de la frecuencia. Sin embargo para afirmar esto hay que asumir que el material es elástico. Si por el contrario el material es plástico entonces los coeficientes elásticos dependerán de la frecuencia y ya no sería verdad.

Fig. 1.6. Se ven los diferentes ondas, longitudinal, transversal y superficial o Rayleigh 1.4.3 Guías de ondas.

Las guías de ondas se caracterizan por fronteras laterales a la dirección de propagación. Existen en la práctica dos casos importantes que son las placas y las barras. En ambos casos se presentará el fenómeno de dispersión. 1.4.3.1 Ondas en placas. Las ondas en placas pueden ser con desplazamientos horizontales (SH) o verticales (SV) respecto al plano de la placa. Estas últimas son conocidas como ondas de Lamb. Las mismas pueden presentarse en dos modos diferentes con sus armónicos y son los llamados modos simétricos y antisimétrico. La Fig.1.7 muestran las relaciones de dispersión obtenidas a partir de la ecuación de Lamé. En el Cap. 3 se obtendrán estas relaciones ya que las mismas constituyen la base teórica del método de velocidad de fase utilizado en la inspección de elementos constructivos con esta geometría y en carreteras (aunque este corresponde a un caso más general como veremos). La Fig. 1.8 muestra las formas de desplazamientos para ambos modos en el fundamental y primer armónico.

Longitudinal Transversal

Superficial

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Fig. 1.7 Relaciones de dispersión para el caso de una placa de espesor h.

Fig. 1.8 Modos de Lamb simétrico (s) y antisimétrico (a). 0=fundamental, 1=primer modo superior. 1.4.3.2 Ondas en barras. Estas ondas presentan el mismo fenómeno de dispersión que el de las placas donde las velocidades de fase y de grupo van a depender de la relación diámetro/longitud de onda. Pueden ser excitadas mediante la aplicación de transductores longitudinales a una de las caras de una barra. Una expresión clásica es el llamado límite de barras delgadas que conduce a la velocidad:

CE

0 =ρ

(1.21)

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Su ley de dispersión tiene una forma muy parecida al caso simétrico de las ondas de Lamb. La Fig. 1.9 muestra la deformación para el caso límite dado por (1.21)

Fig. 1.9 Propagación de ondas extensionales en una barra delgada. 1.4.3.3 Dispersión geométrica y principio de causalidad.

En la práctica para que se exista la dispersión geométrica, se debe cumplir que el espesor de la placa o el diámetro de la barra tengan un valor de algunas longitudes de ondas. Si por el contrario estos valores son muchos mayores que la longitud de onda entonces el medio se comportará como infinito. En el caso de un pulso, sin embargo, tenemos una paradoja. Formalmente un pulso excitado por un transductor debe producir una señal con una frecuencia fundamental cuya longitud de onda puede ser mayor que las dimensiones laterales (con dispersión). Adicionalmente la parte delantera del pulso representa la propagación de una discontinuidad llena de componentes de muy alta frecuencia. De esta forma tenemos que la parte delantera de un pulso viajará siempre por una guía de onda a la velocidad máxima que corresponde en general a la velocidad longitudinal (o se no hay dispersión). Este resultado no es más que una consecuencia del principio de causalidad aplicado a la acústica, que nos dice que la parte delantera de un pulso no “tiene tiempo” para enterarse de la existencia de las fronteras causantes del fenómeno de dispersión.

1.4.3.4 Otros tipos de Ondas. Dispersión viscoelástica. Hasta aquí solo se han expuestos las ondas más comunes que pueden ser excitadas por transductores comerciales sobre todo en aplicaciones de ensayos no destructivos. Algunas están presentes en fenómenos de la naturaleza como son las ondas superficiales que se generan en los sismos. En general existe un conjunto mayor pero que no estudiaremos. Lo importante es conocer que en un fenómeno de propagación, la influencia de fronteras impuestas por la geometría del material, puede conducir al fenómeno de dispersión, independientemente que escojamos un palpador longitudinal o transversal. Por otro lado

19

tenemos que no todos los materiales son elásticos y se puede presentar el fenómeno de viscoelasticidad que provoca la dispersión del mismo nombre, independiente a la situación geométrica del material. Así por ejemplo en un medio infinito plástico como el PVC, si excitamos una propagación longitudinal, aparecerá la dispersión viscoelástica. 1.5 Reflexión y Refracción, conversión de modos, impedancia acústica. Las ondas mecánicas presentan el fenómeno de reflexión y refracción tal como sucede en la óptica. Pero a diferencia de esta, se da el hecho de conversiones entre forma longitudinales y transversales respectivamente. Por un problema de simetría de la física de propagación las posibilidades reales de conversión serán entre la forma SV de la transversal (que oscila en el plano formado por la normal y la línea de separación) y la longitudinal. La onda transversal tipo SH, o sea la que oscila paralela a la superficie de separación, no tiene posibilidades de conversión. La Fig. 1.10 muestra las posibilidades de conversión de una onda longitudinal incidente entre dos medios. Fig. 1.10. Modos de conversión para el caso de una incidencia longitudinal entre dos medios.

θTT

θLT

θLR

θTR

Longitudinal incidente

Transversal reflejada

Longitudinal refractada

Longitudinal reflejada

Transversal refractada

θLI

20

En todos los casos se cumplirá la ley de Snell de la siguiente forma:

22211

)sin()sin()sin()sin()sin(

T

TT

L

LT

T

TR

L

LR

L

LI

CCCCCθθθθθ

==== (1.22)

donde I = incidente, R = reflejada, T (primer subíndice)=transversal, T(segundo subíndice)=transmitida o refractada, L = longitudinal. Cuando las velocidades son iguales, que es el caso de los primeros dos términos, los ángulos serán iguales. Una situación similar existirá en el caso de una incidencia tipo SV. En el caso de una SH existirá solamente la reflexión y refracción de ondas tipo SH. En todos los casos se cumplirá la ley de Snell. Las expresiones (1.22) sin embargo no explican las intensidades con que se reparte la energía entre los diferentes tipos de ondas. Puede darse casos de ángulos críticos y situaciones donde una de las ondas surgidas de la conversión tiene muy poca energía. Físicamente dependerá de cual modo es el más favorable que se forme durante una reflexión o refracción.

1.5.1 Impedancia acústica Z. Asumiendo una onda plana como la expresada por el ecuación (1.15.), tendremos que es posible obtener la siguiente relación entre la presión p acústica de la onda y la velocidad de las partículas ν.

CvpZ ρ== (1.23)

donde ρ es la densidad y C la velocidad de fase. El producto ρC depende de las propiedades del medio y es conocido como Impedancia acústica característica Z (ver nota5). Esta magnitud físicamente nos da una especie de resistencia del medio a la vibración de sus elementos de masa (no es la resistencia a la propagación de una onda, por tanto no debe confundirse como atenuación). Alcanza un significa peculiar en los problemas de reflexión y refracción de ondas entre dos medios. Analicemos la siguiente Fig. 1.11 donde tenemos dos medios caracterizados por impedancias acústicas Z1 y Z2, y donde una plana incide desde el medio I hacia el II. Físicamente parte de la onda de refleja y parte de refracta.

5 Algunos autores consideran la impedancia acústica como este valor multiplicado por el área (también llamada impedancia acústica de radiación). Esto varía según el autor

21

Fig. 1.11 A: energía incidente, B: energía transmitida del medio I al II, C: energía reflejada. Si consideramos I la intensidad acústica, es decir la energía que pasa por unidad de área en la unidad de tiempo, es posible definir los coeficientes de reflexión y refracción y obtener las siguientes expresiones: Coeficiente de Reflexión

i

R

IIR = (1.24)

donde IR e Ii, son las intensidades reflejadas e incidentes. De igual forma se define: Coeficiente de transmisión

i

T

II

T = (1.25)

donde IT es la intensidad transmitida. Por balance energético Ii=IT+IR, por tanto se cumplirá que R+T=1. De la teoría de propagación de ondas es posible demostrar que:

( )( )2

12

212

ZZZZ

R−

−= (1.26)

y

Medio I Medio II

A

B

C

22

( )221

214ZZZZ

T+

= (1.27)

Una primera conclusión es que estos coeficientes no dependen de la dirección del cual incide la onda. Sin embargo en el caso de los ensayos es mas conveniente trabajar con expresiones que vinculen las presiones incidentes, reflejadas y transmitidas que son proporcionales a los voltajes generados en los transductores y por tanto en amplificadores, osciloscopios etc. En este caso se puede definir y demostrar lo siguiente con la presión acústica P: Coeficiente de reflexión de la presión acústica:

12

121

ZZZZ

PP

Ri

R

+−

== (1.28)

Coeficiente de transmisión de la presión acústica:

12

21 2ZZ

ZPP

Ti

T

+== (1.29)

(el subíndice es similar al caso anterior) en este caso la suma de ambos no es igual a 1, sin embargo se cumple T1=1+R1. De aquí se deduce que le reflexión es la misma independiente del lado del material, con solamente una inversión de fase. si Z2<Z1. Sin embargo la transmisión dependerá del lado de la incidencia y curiosamente se puede dar el caso que la onda que se transmita pueda tener mayor amplitud que la incidente (si Z2>Z1). 1.6 Atenuación. Existen dos magnitudes importantes que caracterizan la propagación ultrasónica en un material. La primera es la velocidad de la onda ya sea de fase o de grupo; la segunda es la atenuación, que manifiesta la pérdida de amplitud de la onda a su paso a través del material. En este caso se cumple una ley del tipo: A A e l= −

0( )α

(1.30) A y Ao: amplitudes final e inicial de una onda que atraviesa un material de longitud l, α es el coeficiente de atenuación, que caracteriza acústicamente al material (además de la velocidad).

23

Es importante preguntarnos, ¿cual es el mecanismo de atenuación en un material?. Si asumimos que excitamos con un palpador ideal de ondas planas, entonces el coeficiente α dependerá de los mecanismos de pérdida acústica que pueden existir en el mismo con un gran número de orígenes. En la práctica los palpadores presentan un patrón de radiación tal, que es una aproximación burda considerarlos como productores de ondas planas. Por tanto existirá un mecanismo de atenuación, llamado geométrico, que no dependerá del material y podremos afirmar finalmente que se cumple la siguiente relación

materialgeométricototal ααα += (1.31) Las unidades de atenuación se dan en dB (o Neper) por unidad de longitud. En muchos casos se expresa una dependencia adicional con la frecuencia. Existen varios métodos para medir velocidad y atenuación, con variantes continuas y pulsadas. Estas formas de medición tienen sus particularidades en dependencia de que el material sea un sólido, líquido o gas. A continuación se hará una descripción de algunos de estos sistemas. 1.7 Medición de velocidad. 1.7.1 Sistema de pulso/transmisión. Uno de los sistemas clásicos de medición de velocidad en sólidos, por el método de pulso transmisión se muestra en la Fig. 1.12. Se utilizan dos transductores y el sistema mide el tiempo de propagación de un pulso ultrasónico que sale de un palpador emisor hasta un palpador receptor, colocados a ambos lados del material6. El tipo de onda generada depende del palpador; las más usadas son las longitudinales. Algunas firmas, como James, han sacado al mercado este equipamiento y las frecuencias de trabajo oscilan en el intervalo de 25 KHz a 1 MHz aproximadamente. Las aplicaciones básicas están en la determinación de propiedades mecánicas (constantes elásticas) de sólidos, ejemplo los materiales de construcción. El método de medición solo permite una resolución de 0.1 µseg, que implica decenas de m/seg en la velocidad. Son conocidos por el nombre de "Material Tester" o probadores de materiales.

Fig. 1.12. Velocímetro ultrasónico (“Material Tester”). 6 Hay otras formas que veremos en el capítulo 4.

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Este sistema presenta el inconveniente de que no se puede observa la forma del pulso que llega al receptor (aunque el James muestra en un display una representación aproximada). Por tanto no se conoce la forma de la onda de llegada. Esto es importante pues como se observa en la Fig. 1.13 la forma de la onda, para el caso de un hormigón7 sin rajaduras, tiene un comienzo bien definido el cual puede ser detectado perfectamente por el comparador de voltaje incorporado en el bloque de control, que define un nivel de comparación y que determina la llegada del pulso que atraviesa el material y por tanto el tiempo medido. En caso de que exista algún defecto, puede ocurrir que ese comienzo se indefina y el tiempo marcado sea superior. Esto puede conducir a un valor quizás bajo de velocidad, lo cual debe servir de advertencia al operador. La Fig. 1.14 muestra un ejemplo donde se compara después del comienzo. Sobre esto volveremos en el capitulo 4.

Fig. 1.13 Señal recibida para el caso de un material homogéneo.

Fig. 1.14. Señal recibida en un hormigón con micro fisuras o con camino indirecto de la onda por obstáculo interno (posibles cavidades). 7 Se usará de igual forma la palabra hormigón y concreto, para denotar el material formado por cemento, áridos gruesos (piedras) y arena. La palabra mortero (mortero de cemento) es la mezcla de cemento y arena.

Señal recibida

Nivel de comparación

Nivel de comparación

Señal recibida

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Algunos equipos sin embargo presentan la forma de la señal, incorporando la misma en una pantalla ya sea digital y analógica del tipo osciloscopio. Aunque no existe un nombre general son conocidos por el autor como betonoscopios (del francés “beton”). 1.7.2 Otros sistemas. Existen otros sistemas para la medición de la velocidad del ultrasonido pero que tienen aplicación en metales como es el caso del llamado “overlapping” y para el caso de líquidos del sistema “sing around”, Detalles de los mismos pueden observarse en la literatura del final del capítulo. 1.8 Teoría de transductores. En este apéndice se plantean los elementos básicos de la teoría de transductores piezoeléctricos (también conocidos como palpadores o sensores). Se inicia con una descripción de un transductor típico de pulso-eco o pulso-transmisión. Mas adelante se hace un resumen de las magnitudes mecánicas, eléctricas y piezoeléctricas, así como las relaciones entre ellas, que caracterizan el fenómeno piezoeléctrico. Se plantean las ecuaciones de movimiento mecánico para el caso particular de un piezoeléctrico plano, consecuente con la mayoría de las aplicaciones de pulso. Considerando condiciones de frontera mecánicas, se obtiene un sistema de ecuaciones en forma matricial que caracteriza el fenómeno piezoeléctrico, mediante un esquema eléctrico formado por tres puertos; dos acústicos y uno eléctrico. A partir de la interpretación de este sistema de ecuaciones se consideran, a través de la teoría de redes, los tres circuitos equivalentes más estudiados. Finalmente se analizan los mecanismos de perdidas que existen en un transductor piezoeléctrico. 1.8.2 El transductor ultrasónico. En la Fig. 1.15 se muestra un corte de un transductor ultrasónico para aplicaciones de pulso eco y pulso transmisión. El mismo está formado por varios elementos, siendo la lámina piezoeléctrica la encargada de realizar la conversión electromecánica, la cual está conectada eléctricamente al exterior a través de contactos soldados a las caras metálicas que cubre al elemento piezoeléctrico.. Junto a dicha lámina activa, se encuentran otros elementos no activos que determinan las características temporales de emisión y/o recepción. Estos elementos son el llamado “backing” o contramasa y la lámina de acoplamiento. Los mismos representan reales condiciones de frontera mecánica a la vibración longitudinal en espesor que como veremos mas adelante presenta la placa piezoeléctrica. Estos sistemas mecánicos pasivos tienen como función realizar una asimetría de emisión, lo cual se entiende de la siguiente manera. La placa piezoeléctrica vibra en el llamado modo

26

espesor, como un resorte, emitiendo energía mecánica en ambos sentidos. Las aplicaciones prácticas, solo utilizan de la emisión en una sola de las caras. Con este fin se coloca la contramasa en la cara posterior que tiene como objetivo fundamental absorber la energía mecánica en esa dirección además de reducir la respuesta temporal del sensor. Esto último permite agrupar los transductores en dos categorías, de alta respuesta temporal y baja respuesta. Por su parte la lámina de acoplamiento tiene otra función. La misma se encarga de permitir determinada eficiencia de transmisión de la energía mecánica en esa cara y el elemento al cual se aplica la misma, que puede ser desde una pieza de metal hasta el propio cuerpo humano. Este elemento es el que es denominado como “carga”. Para estudiar las características temporales de emisión (y recepción) de este tipo de transductor electromecánico es conveniente “convertirlo” en un circuito eléctrico, en los cuales los tres elementos que lo forman, estén dados por diversos elementos pasivos eléctricos como son resistencias, capacidades e inductancias, estás última solas o en forma de transformadores. Esta descripción eléctrica fue lo que condujo al concepto de circuito equivalente. La concepción de un circuito equivalente de un transductor ultrasónico, comienza primero con el análisis de las vibraciones del elemento piezoeléctrico que lo forma. En los siguientes tópicos se expone brevemente la teoría que conduce a esta concepción. Como veremos la misma no es única y existen varias versiones, de las cuales se exponen las tres más importantes, cuyas diferencias radican en considerar que las componentes eléctricas que lo forman son concentradas, en forma de condensadores, bobinas etc., o son distribuidas en forma de líneas de transmisión. La contramasa, la lámina de acoplamiento y la propia carga, serán elementos eléctricos adicionales, cuya influencia es determinante en el trabajo de un transductor.

Figura 1.15. Esquema de un transductor piezoeléctrico.

27

La presente sección asume dos modos de utilización del transductor dado en la Fig. 1.15. Un primer modo será el modo de transmisión, en el cual el transductor es excitado por una función escalón de voltaje y se pretende predecir la forma del pulso temporal en la zona conocida como límite de campo cercano/lejano. Esto se realiza en la práctica mediante el uso de hidrófonos, que deben tener respuesta plana en el intervalo de frecuencia de trabajo. El segundo modo es el llamado pulso-eco. En este modo el transductor es excitado de igual forma, enviando un pulso, el cual después de viajar por un medio, se reflejará en una placa infinita colocada en el mismo límite del campo cercano/lejano. El mismo transductor registra el pulso que le llega. En ambos modos es típico utilizar agua como medio de propagación y la señal se adquiere mediante osciloscopios digitales, en el cual se realiza el registro de la forma del pulso, para su posterior comparación con el modelo desarrollado. 1.8.3 Relaciones Constitutivas Piezoeléctricas. 1.8.3.1 Fenómeno Piezoeléctrico. La piezoelectricidad es una interacción entre sistemas eléctricos y mecánicos. Para describir esta interacción es necesario conocer y definir las distintas magnitudes eléctricas y mecánicas. El efecto de la piezoelectricidad fue descubierto en 1880 por Pierre y Jacques Curie al observar la polarización eléctrica producida por un esfuerzo mecánico y de forma inversa. Fue inicialmente estudiado en cristales de cuarzo, pero luego se descubrieron otros materiales con la misma propiedad, como la sal de Rochelle, así hasta llegar al desarrollo de elementos cerámicos, como titanato de bario y la PZT, creados en laboratorios. Estos últimos materiales a diferencia del cuarzo presentan el fenómeno de ferroelectricidad. Por último surgieron los plásticos piezoeléctricos como es el caso del PVDF8. En lo el siguiente se presentará un resumen breve de las magnitudes, constantes y relaciones que describen este fenómeno, necesario para desarrollar la concepción de circuitos equivalentes. 1.8.3.2 Magnitudes. Para estudiar la piezoelectricidad es necesario primero considerar las magnitudes mecánicas y eléctricas que describen el fenómeno y las relaciones físicas entre ellas. En la siguiente Tabla 1.1 se muestran las mismas. Tabla 1.1. Magnitudes utilizadas en la descripción de la piezoelectricidad

Tipo Nomenclatura Rango Esfuerzo (Stress) T 3x3 Deformación (Strain) S 3x3 Campo Eléctrico E

r 1x3

Desplazamiento Eléctrico rD 1x3

8 También se han desarrollado los llamados piezocompuestos, formados por una mezcla de cerámicas piezoeléctricas y diferentes resinas plásticas.

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Como se observa de la Tabla anterior, dichas magnitudes poseen carácter tensorial para el caso mecánico de esfuerzo y deformación y carácter vectorial para los vectores eléctricos. 1.8.3.3 Relaciones piezoeléctricas fundamentales. Las relaciones piezoeléctricas fundamentales, también conocidas como relaciones constitutivas, relacionan entre sí las magnitudes descritas en el epígrafe anterior. Diferentes autores plantean un formulismo termodinámico basado en el método de potenciales para obtener dichas relaciones. En este epígrafe el análisis se limitará a describir las relaciones en sí, las cuales se resumen en la siguiente Tabla 1.2. Tabla 1.2. Relaciones constitutivas piezoeléctricas

Variables independientes Relación Piezoeléctrica S,

rD T= cD S- h

rD r

E = -h S + βS rD

T, rE S= sE T + d

rE r

D = d T + εT rE T,

rD S= sD T + g

rD r

E = -g T + βT rD S,

rE T= cE S - e

rE

Dr

= e S + εS rE El efecto piezoeléctrico puede ser descrito por cualquier par de relaciones tensoriales de la Tabla 1.2. Las relaciones anteriores establecen una serie de magnitudes tensoriales, elásticas, dieléctricas y piezoeléctricas, que se resumen en la Tabla siguiente: Tabla 1.3. Magnitudes dieléctricas, mecánicas y piezoeléctricas.

Tipo Nomenclatura Nombre Rango Elástica cE,D

sE,D rigidez (stiffness) complacencia (compliance)

3x3 3x3

Dieléctrica εS,T βS,T

constante dieléctrica impermeabilidad dieléctrica

3x3 3x3

Piezoeléctrica

h d g e

Constante de transmisión Constante deformación piezoeléctrica Constante piezoeléctrica de voltaje Constante piezoeléctrica de tensión

3x6 3x6 3x6 3x6

La columna de rango de la Tabla 1.3 asume que las ecuaciones constitutivas para el caso de las magnitudes T y S están expresadas en nomenclatura reducida, es decir

rT y

rS pueden

ser expresadas como vectores de 1x6, debido a la simetría de los tensores originales.

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El supraíndice de las constantes elásticas y dieléctricas representa las condiciones de frontera mecánicas y eléctricas respectivamente, a las que se obtienen las mismas, esto se muestra en la siguiente Tabla: Tabla 1.4. Condiciones de frontera.

Supraíndice Condición de frontera T “stress” esfuerzo)=0 Libre S “strain” (deformación)=0 Rígida E campo eléctrico = constante Corto circuito D vector de desplazamiento constante Circuito abierto

Por ejemplo cE significa la rigidez a corto circuito y εT la constante dieléctrica con fronteras libres. En el análisis de movimientos ondulatorios en piezoeléctricos, las condiciones de simetría y de frontera, conducen a la simplificación de las ecuaciones constitutivas tensoriales a ecuaciones lineales simples. En este caso el sistema se dice que está descrito por constantes elásticas, dieléctricas y piezoeléctricas, cuyo número dependerá de las condiciones de simetría que tenga el piezoeléctrico. Los tensores de la Tabla 1.3 son considerados con componentes dados por números reales constantes e independientes de la frecuencia. Esto se cumple en el caso de un material en el que no se tengan en cuenta las pérdidas. Un modelo que considere las pérdidas puede ser planteado tomando estas constantes como complejas y dependientes de la frecuencia, como se verá mas adelante. 1.8.4 El transductor como una red de tres puertos. Consideremos un transductor uniforme, formado por un material piezoeléctrico, con electrodos en la superficie normal a la dirección Z como se muestra en la Fig.1.16. Analizando el movimiento en esta dirección y considerando que el material es infinito en las direcciones X y Y, se puede afirmar que el transductor operará con ondas longitudinales en Z por las condiciones de simetría en X y Y. Fig. 1.16. Transductor piezoeléctrico con electrodos en las superficies perpendiculares a la dirección z.

Z

30

Consideremos ahora al elemento piezoeléctrico como una red de tres puertos, donde dos de ellos corresponden a las caras mecánicas (puerto acústico) y el tercero al eléctrico. Aquí se considera una analogía en la cual la fuerza en la superficie del transductor equivale al voltaje y la velocidad v a la corriente eléctrica. En la Fig. 1.17 se observa un esquema de esta red.

Figura 1.17. El transductor como una red de 3 puertos Las condiciones de frontera, para el caso del puerto acústico pueden a partir de las fuerzas ejercidas sobre las cargas dadas a través de sus impedancias acústicas multiplicadas por el área. Se puede demostrar a partir de las 2da ley de Newton y las ecuaciones constitutivas que existe una relación entre los parámetros de fuerza y velocidad de los puertos acústicos junto a los valores de voltaje y corriente del eléctrico9, es decir:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

2

1

1

)()(cos

)(cos)(

3 Ivv

oChh

hklctZlkecZ

hlkecZlkctZ

iVFF

CC

CC

ωωω

ω

ω (1.32)

donde Co es la capacidad para condición rígida (“clamped”) del transductor y viene dada por:

CA

l

S

0 =ε

(1.33)

y la impedancia acústica de radiación Zc, viene definida por: 9 Estos valores corresponden a las amplitudes pues se asume que el elemento vibra en régimen armónico.

31

CAAZZC ρ== 0 (1.34) El sistema de ecuaciones (1.32) dado en forma matricial, refleja la relación física de las condiciones de frontera existente entre los tres puertos del transductor piezoeléctrico. A partir del mismo se puede realizar un análisis electromecánico del comportamiento del mismo. Mediante dicho sistema se puede calcular la impedancia eléctrica de entrada considerando impedancias de radiación (de carga) en cada uno de los puertos mecánicos Z1 y Z2 . Se puede demostrar de la forma matricial anterior que:

( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+−−+

+==lklkZZZilkZZZ

lkZlkZZZik

CiIV

ZCC

CCt )cos()()sin(

))cos(1(2)sin()(11

21212

2212

03

33 ω

(1.35)

El parámetro kt es definido, para ondas longitudinales, como la constante de acoplamiento piezoeléctrico para un material lateralmente rígido, (“clamped”). Este factor es importante debido a que aparece reflejado en las tablas de características piezoeléctricas que entregan los fabricantes. Si observamos la expresión (1.35) vemos que si kt→0 (material no piezoeléctrico), la impedancia de la cerámica tiende a la reactancia de un condensador, por tanto se comporta como un simple dieléctrico. Si tomamos Z1 = Z2 =0 (frontera libre), que sería un caso típico de un resonador de cuarzo, entonces de acuerdo al producto kl, el sistema tendrá impedancia de entrada entre cero e infinito, típico de este tipo de resonador, utilizado en osciladores. Los fabricantes de transductores usan el mínimo de esta expresión para informar la frecuencia de trabajo de un sensor. 1.9 Circuitos Equivalentes. 1.9.1 Circuito Equivalente Mason. Se puede demostrar que el sistema matricial se puede describir por el circuito de la siguiente figura.

Figura 1.18. Circuito equivalente Mason. N= hC0 , )cot(11 lkZiZ C−=

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−=−

2tan))(cot)((cos1211

lkZilklkecZiZZ CC

)(cos12 klecZiZ C−= .

Este circuito de Mason se destaca por tener un transformador donde se separa la parte mecánica y eléctrica del transductor, lo cual es uno de sus logros. Sus aplicaciones están vinculadas mas a los problemas de potencia y resonadores que a las aplicaciones de pulsos. Las impedancias de las ramas mecánicas no tienen una explicación física directa y es un circuito típico de parámetros concentrados. Posteriormente se hicieron simplificaciones del mismo, para los casos de baja impedancia en los puertos, que conduce al cambio de las impedancias por condensadores e inductancias puras. 1.9.2 Circuito Equivalente Redwood. La red T (con las impedancias Z11, Z12, Z22) del circuito equivalente de Mason puede ser representada por una línea de transmisión de impedancia ZC. La línea de transmisión puede ser considerada como una línea coaxial cuyo recubrimiento está conectado al transformador.

Figura 1.19. Circuito equivalente Redwood. Este modelo es particularmente útil cuando se trabaja con pulsos de excitación cortos, sobre todo si la longitud del pulso es menor que el tiempo que demora la onda acústica dentro del transductor. En este caso la impedancia de la línea coaxial es ZC y es fácil determinar la respuesta impulsiva del sistema. Colocando en este circuito las cargas o las modificaciones necesarias para convertirlo en un transductor real se pueden calcular diferentes parámetros del transductor. Existen además sistemas de cálculo en computadora (PSpice) donde pueden ser simuladas las características de un transductor, mediante el modelo Redwood.

33

1.9.3 Modelo KLM. El modelo KLM, que debe el nombre a sus autores: Krimholtz, Leedom, Mattaei (KLM), dicho de manera muy simplificada es un circuito que propone una red eléctrica de componentes dependientes de la frecuencia y conectada al centro de una línea de transmisión acústica. Este modelo (Figura 1.20) describe al piezoeléctrico como una línea de transmisión de longitud finita con un transformador de acoplamiento electro-acústico dependiente de la frecuencia. Aquí se considera que la fuente de emisión se encuentra en el centro de la línea de transmisión. Se representa por una red de 3 puertos.

Figura 1.20. Modelo de transductor KLM. ψ=kt(π/ωoCoZC)1/2sinc(ω/2ωo) , C’=-Co/(kt

2sinc(ω/ωo)) De igual forma a los casos anteriores presenta dos puertos acústicos y un puerto eléctrico. Este circuito equivalente relaciona el voltaje V3 y la corriente I3 en el puerto eléctrico con las fuerzas F1 y F2 y las velocidades v1 y v2, lo cual es muy conveniente porque expresa los parámetros acústicos en términos de línea de transmisión equivalente. Esta línea se interpreta físicamente como el medio a través del cual se desplaza una onda mecánica. En este sentido se acerca más a la realidad, aunque su principal inconveniente es el transformador dependiente de la frecuencia. El acople de dicho transformador al centro de la línea equivale a plantear que la excitación de ondas mecánicas se desarrolla en el centro de la placa piezoeléctrica. Este circuito representó un paso de avance en el estudio de sistemas pulsados por ser mas conveniente su forma a este estudio mediante el uso de transformada de Laplace. 1.9.4 Mecanismos de pérdidas. Podemos considerar tres mecanismos de pérdidas en un material piezoeléctrico: las pérdidas mecánicas, dieléctricas y piezoeléctricas. En todos los casos las mismas pueden expresarse a través de tangentes de pérdidas que están asociada a la existencia de la parte imaginaria de las magnitudes que describen este fenómeno (Tabla 3.1) y que hasta el momento las habíamos considerados reales e independientes de la frecuencia. Dicha tangente define a un

Puerto acústico frontal

Puerto acústico posterior

Puerto Eléctrico

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ángulo, cuyo significado físico corresponde a una desfasaje adicional que se la agrega a la relación causa-efecto que existe en cada caso considerando movimiento sinusoidal. Las pérdidas dieléctricas representan el fenómeno de disipación dieléctrica así como las pérdidas mecánicas señalan los efectos de disipación mecánica. Algunos autores han planteado además las pérdidas piezoeléctricas, refiriéndose a la imperfección de la conversión de energía piezoeléctrica. Cuando se habla de pérdidas en el dieléctrico asumimos que el efecto es una desviación de la fase entre el voltaje y la corriente diferente de π/2. Las pérdidas mecánicas producen un defasaje entre la aplicación del esfuerzo y la aparición de la deformación. 1.9.4.1 Pérdidas mecánicas. Si bien se pueden considerar las pérdidas mecánicas a través de magnitudes elásticas en forma de números complejos, es más conveniente considerar este mecanismo a través del vector de onda k, mediante una parte imaginaria. Esto se puede hacer, ya que el mismo está relacionado con las magnitudes elásticas a través de la velocidad de fase y la frecuencia. Por tanto podemos considerar: k (vector de onda, elástico)→k – i α (caso de pérdidas mecánicas) (1.36) aquí α es el coeficiente de atenuación, que está relacionado con el factor de calidad mecánico Q de la siguiente forma: Q=k/2α (1.37) y con la tangente de pérdida mecánica δmec de la forma: Q-1=tan(δmec) (1.38) En las ecuaciones el parámetro que se valora es el coeficiente de atenuación, en cambio en las tablas lo que aparece es la tangente de pérdidas mecánicas, por eso se hace la conversión, que finalmente queda: α=tan(δmec)k/2 (1.39)

35

1.9.4.2 Pérdidas dieléctricas. Las pérdidas dieléctricas serán consideradas a través de la capacidad C0, que pasará a ser una magnitud compleja, Co=εSA/l (1.40) C0 es la propiedad capacitiva del material piezoeléctrico, εS es la constante dieléctrica, A es el área, l longitud. En realidad la constante que tiene en cuenta las pérdidas es la constante dieléctrica que en el caso de un material sin pérdidas será real εS → real. (1.41)

Y si el material tiene pérdidas, estas serán tenidas en cuenta en la tangente de pérdida eléctrica δE de la forma siguiente: εS → εS(1-itan(δE)), (1.42) 1.9.4.3 Pérdidas piezoeléctricas. Las pérdidas piezoeléctricas, de la misma manera, estarán representadas en la constante piezoeléctrica de deformación d asumiendo ahora su carácter complejo: d→d((1-itan(δP)) (1.43) considerar d real es una buena aproximación 1.9.5 Factor de Calidad Acústico En el presente trabajo se manejan las pérdidas tanto por el concepto del factor de calidad Q, como por el de tangente de pérdidas. Atendiendo a esto tendremos dos factores de calidad Q, la asociada a las pérdidas mecánicas y a la dieléctrica. No obstante durante la discusión de los resultados se utilizará un tercer factor de calidad al que denominaremos Q acústica que nos da, el comportamiento del transductor en forma temporal y determina la caída (”damping”) de las oscilaciones del mismo. Este es un factor muy utilizado por los fabricantes de transductores para aplicaciones médicas e industriales. El mismo permite agrupar a los transductores en dos grupos: banda ancha (alto amortiguamiento, baja Q, pulsos cortos) y banda estrecha (bajo amortiguamiento, alta Q, pulsos largos). En el caso de transductores de hormigón se caracterizan por ser de banda estrecha es decir de alta Q (aunque esto puede variar).

36

1.10 Radiación ultrasónica. Un transductor ultrasónico emite y recibe energía siguiendo un patrón de directividad que define entre otros aspectos su patrón de radiación. Este estudio es muy similar a los de difracción de la óptica, pues en realidad la radiación de un transductor de superficie finita puede considerarse como una difracción por una apertura de igual área y forma que la cara del transductor. En este epígrafe solo expondremos los aspectos más relevantes y necesarios para poder utilizar estos dispositivos en el ensayo ultrasónico a pulso. Para poder abordar este tipo de radiación es conveniente primeramente estudiar la radiación continua y después la radiación pulsada. 1.9.1 Radiación continua. Para las aplicaciones en materiales de la construcción se emplea mucho el transductor de área circular caracterizado por un radio a, es decir por un diámetro 2a, que es denominado apertura del transductor. Veamos primeramente la intensidad en el eje central del transductor en un líquido donde solo es posible la propagación de ondas longitudinales. La Fig. 1.21 muestra la forma en que varía este parámetro.

Fig. 1.21- Distribución de intensidades en el eje de un transductor de apertura 2a. La figura muestra la existencia de dos zonas denominadas campo cercano y campo lejano, donde las características del primero son las variaciones de la intensidad que incluyen el valor cero, es decir el “silencio ultrasónico”.

Fig. 1.22 Campo de radiación continua de un transductor de 20 mm de diámetro y frecuencia de 1 MHz. Medio de propagación = agua.

37

En la Fig. 1.22 se muestra una foto mediante técnicas ópticas para la visualización de un transductor10, donde se observa en color negro, las zonas de silencio ultrasónico. La zona de campo lejano muestra al final una caída de intensidad que varía con el inverso del cuadrado de la distancia, esto es típico de una fuente puntual. ¿Por qué el campo cercano? Es debido a mecanismos de interferencia entre la onda que nace en el borde y la onda de la cara que en la zona cercana a la apertura pueden interferir con efecto destructivo. La magnitud que define la posición de la frontera entre ambos campos viene dada por (CC).

λ

2aCC = (1.44)

La siguiente tabla muestra valores típicos para hormigón, acero y cuerpo humano (medicina), para algunas aperturas. Tabla 1.5 CC en mm. para diferentes materiales y frecuencias típicas.

Apertura (2a) mm. Hormigón (50KHz).

Acero (4 MHz) Cuerpo-humano (4MHz)

10 0.4 17 67

30 3.7 150 600

50 10 420 1667

De la tabla tenemos que el caso del hormigón apenas presenta campo cercano y casi toda su radiación es formada por campo lejano. La Fig. 1.23 muestra la forma espacial que tiene la radiación de un transductor en un fluido, con forma de embudo.

10 1 MHz, 25 mm. diámetro.

38

Fig. 1.23 Estructura especial de un campo de radiación de un transductor circular de apertura 2a en un fluido. Junto con la distancia de campo cercano CC, existe otra característica importante y es la forma con que se abre el cono del campo lejano. En la figura antes mencionada se observa este valor dado a través de 2α, donde se cumple que

aλα 6.0)2sin( = (1.45)

Esta expresión, que es valida para valores pequeños de λ/a, muestra cierta relación inversa con la (1.44), por tanto si el campo cercano es corto entonces se abrirá con mayor ángulo que en el caso de un campo cercano mas alejado. Como dato importante tenemos que al depender de la longitud de onda ambos parámetros, entonces dependerá no solo de la frecuencia del transductor, sino de la velocidad en el medio. De esta forma transductores iguales tendrán campos diferentes en distintos medios. Otra forma conveniente para ensayos de materiales es graficar el campo lejano en diagramas polares. En la Fig. 1.24 se observa este detalle para varias relaciones entre la apertura y la longitud de onda.

39

Fig. 1.24. Radiación en campo lejano de un transductor circular de apertura 2a. Medio = fluido. En estos gráficos se observan que con el aumento de los valores de 2a/λ, se afina el haz y aparece otro fenómeno que son los llamados lóbulos secundarios que acompañan al principal descrito con anterioridad. En el caso de ensayos no destructivos en hormigón, estaríamos en presencia de bajas frecuencia (60 KHz p.ej.) con lo cual aumenta la longitud de onda y hacen que el parámetro 2a/λ sea bajo y entonces tendremos la situación dado por el ejemplo 0.5 de la figura anterior, es decir una radiación con poca directividad. Esto es muy diferente cuando se trabaja en ensayos de metales donde la alta frecuencia (2 MHz p.ej.) hace que tengamos altos valores de 2a/λ, lo cual hace que el haz sea mucho mas direccional como se ejemplifica en la figura con el valor =4. Hasta aquí hemos considerado radiación en un fluido, entonces: ¿que sucede en un medio sólido?. En este caso los mecanismos de conversión (ver reflexión y refracción) hacen que un transductor circular aplicado sobre un sólido pueda producir los tres tipos de ondas para un medio infinito, es decir longitudinal, transversal y superficial. La Fig. 1.25 muestra la radiación de un transductor longitudinal normal sobre una superficie. Debemos destacar que el transductor es del tipo longitudinal donde se observa tres situaciones. La situación (a) y (b) corresponde a los transductores de baja frecuencia típico de los ensayos de hormigón, pues para una velocidad longitudinal promedio de 3000 m/s a una frecuencia estándar de 50 KHz. la longitud de onda es λ= 60 mm., que debe ser igual o mayor que la apertura de un transductor. Por tanto es posible generar ondas transversales y superficiales respectivamente. El caso (c) corresponde al caso contrario típico de los ensayos no destructivos en acero (C = 5900 m/s, f = 4 MHz, λ=1.5 mm), aquí solo se observa la generación de ondas longitudinales. Es conveniente aclarar que en el caso de metales existen otros palpadores de

40

ángulo que produce ondas transversales y superficiales. Esta tecnología no es típica del caso de los materiales de la construcción. En resumen los transductores longitudinales empleados en hormigón se caracterizan por tener poco campo cercano y por tanto su radiación está constituida fundamentalmente por campo lejano. El mismo casi no tiene directividad y por tanto radia en todas las direcciones. Se presentan adicionalmente lóbulos transversales y superficiales.

Fig. 1.25 Radiación en un sólido en campo lejano, para diferentes relaciones de longitudes de onda vs. apertura L = longitudinal, T = transversal, S = superficial. 1.9.2 Radiación a pulsos. El régimen de pulsos se diferencia básicamente del continuo en el comportamiento del transductor en el campo cercano. Como consecuencia de dicho régimen el campo estará caracterizado por diferentes frecuencias y longitudes de ondas (de acuerdo al teorema de Fourier) , por lo cual la posición de las zonas de silencio estarán en ubicadas en posiciones diferentes según cada frecuencia. Esto implica que esta zona se “suavizará” respecto a los máximos y mínimos del caso continuo. Desde el punto de vista teórico existen varios modelos basados en la teoría de sistema con el concepto de respuesta al impulso tanto

41

espacial como temporal, lo cual es un enfoque diferente a los métodos clásicos de la óptica de difracción. De esta forma un transductor puede ser evaluado como un filtro espacial. Por el alcance de este folleto se deja a la referencia del Kino a aquellos que pretendan aumentar sus conocimientos del tema. Por otro lado como los transductores de hormigón trabajan en baja frecuencia, es decir longitudes altas de ondas, trae como consecuencia que prácticamente producen campo lejano, en donde los problemas continuos y de pulsos se asemejan.

42

1.11 Bibliografía del capítulo 2. Gordon S. Kino, Acoustic Waves: Devices, Imaging, and Analog Signal Processing. Prentice – Hall, inc 1987 Landau L.D.,Lifschitz, Teoría de Elasticidad, MIR, 1971. Krautkrämer J., Krautkrämer H., Ultrasonic Testing of Materials, Third Edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1983. Kolsky H. “Stress Waves in Solids”, Journal of sound and Vibration. No.1, 1964 Ultrasonic Measurement Methods, Physical Acoustic vol.XIX, edited by Thurston and Pierce, Academic Press 1990 Filipczynski L, Pawlowski Z., Wehr J. Ultrasonic Methods of Testing Materials.Butterworths 1966. Mason W.P. Physical Acoustics and the Properties of Solids. . D. Van Nostrand Co. 1958. INTA Métodos de ensayos no destructivos. Tomo 1.

43

Cap. 2. Método de Resonancia.

2.1 Introducción El método de resonancia se utiliza para determinar propiedades elásticas de materiales sólidos como son el módulo de Young, el de cizalladura y el coeficiente de Poisson. También es posible utilizarlos para obtener mecanismos de pérdidas, vinculados a fenómenos no elásticos. Este método se basa en la formación de ondas estacionarias en muestras con geometrías bien definidas, es decir las mismas deberán tener una forma determinada y en dependencia de esta se obtienen expresiones que relaciones las magnitudes elásticas con las distintas frecuencias naturales propias del material. Mientras mas simples sean las formas mas fáciles serán las expresiones a considerar. Debido a que en los ensayos destructivos de materiales de la construcción se realizan sobre muestras con determinada forma, los métodos de resonancia se han adaptado a las mismas. Por ejemplo es común la confección de barras con dimensiones 16x4x4 cm. que se utilizan para el ensayo de resistencia de mortero; también están las cúbicas y los cilindros que junto a testigos circulares se extraen de diferentes obras. En lo que sigue se obtendrán relaciones de las constantes elásticas para muestras con estas geometrías en función de las frecuencias naturales o de resonancia11. Utilizar una u otra dependerá de las condiciones particulares de cada laboratorio y las necesidades del propio ensayo. Físicamente el método de resonancia se basa en el fenómeno de ondas estacionarias que se produce dentro de un material. Para esto se deben ejecutar reflexiones en las fronteras de la muestra y mediante un mecanismo de superposición producirse este fenómeno. Es por tanto, un tipo de onda que no transporta energía. 2.2 Resonancia longitudinal y torsional en barras. 2.2.1 Resonancia longitudinal. Asumamos una barra homogénea de densidad ρ y longitud l con sección transversal uniforme con dimensión mucho menor que la longitudinal. Analicemos las vibraciones longitudinales en la dirección x asumiendo condiciones libres de fronteras (es decir la tensión es cero en toda la superficie del cuerpo). Consideremos un elemento de volumen diferencial de esa barra tal como se muestra en la Fig. 2.1. Para que el cuerpo como un todo se deforme longitudinalmente, será necesario el desplazamiento u de dicho elemento en la dirección x, lo cual vendrá determinado por las acciones externas al mismo. Estas no son más que las tensiones de los elementos vecinos T1 y T2 que deberán ser desiguales y por tanto dadas por: 11 Formalmente se deben llamar frecuencias naturales o propias. La frecuencia de resonancia corresponde a la excitación externa sinusoidal que se aplica a una muestra y que se iguala a la natural.

44

dxdxdTTT

T

+= 12

1

(2.1)

Fig. 2.1. Elemento de una barra en resonancia longitudinal. Por la segunda ley de Newton la fuerza resultante será F1-F2 =(T1 –T2 )A y estará aplicada sobre este elemento de volumen diferencial dm de longitud dx y área A. De esta forma nos queda:

2

2

tumdAdx

dxdT

∂∂

= (2.2)

O lo que es igual

2

2

tu

dxdT

∂∂

= ρ (2.3)

Haciendo uso de la ley de Hooke para barras

xu

ET∂∂

= (2.4)

Donde E es el módulo de Young. Sustituyendo (2.4) en (2.3) nos queda

ρEC

tuC

tu

=∂∂

=∂∂

02

2

02

2

; (2.5)

Lo que seria la ecuación de movimiento en una barra; Co es la llamada velocidad en barra (en inglés extensional velocity). La ecuación anterior es posible de resolver asumiendo condiciones de fronteras libres y solución armónica. En ese caso se obtiene la siguiente expresión para la frecuencia naturales longitudinales:

45

K3,2,1;2

== kEl

kf l ρ (2.6)

aquí k al tomar los valores indicados refleja el modo fundamental y los armónicos correspondientes. Como vemos esta frecuencia natural estará determinada por la longitud de la muestra, la densidad y el módulo de Young. Su validez asume la condición de barra, es decir que la longitud sea varias veces la dimensión lateral. Ahora bien ¿cuantas veces?, esto es algo que depende del error con que se quiera calcular este valor, formalmente una relación de 10:1 es recomendada, pero es posible aplicar a un factor mucho menor como de 4:1, tal como se obtiene en las probetas de mortero de cemento. Un detalle importante es que el módulo de Young obtenido por este método corresponde al modulo adiabático o dinámico de Young, como se había expresado en el capitulo 1. Por tanto los resultados de este ensayo van a diferir de los obtenidos mediante ensayos estáticos. Esto es valido en cualquier cuerpo que se considere elástico, donde es real el valor de la constante elástica e independiente de la frecuencia. Sin embargo la condición elástico puro no existe en realidad, pues han de existir mecanismos de fricción interna que dan lugar a perdidas por calor y que conducen al concepto mas general de sólido viscoelástico. Entonces las constantes elásticas pasarán a ser complejos y dependiente de la frecuencia. Sobre esto se hablará mas adelante. 2.2.2 Resonancia torsional. Este tipo de resonancia asume otro tipo de deformación que corresponde a un movimiento de tornillo de la barra (Fig. 2.2).

Fig. 2.2 Elemento de una barra en resonancia torsional De igual forma al caso anterior analizaremos un elemento diferencial de la barra, pero en ese caso la misma realizará movimientos circulares alrededor del eje x. Tal como en el caso anterior se puede obtener la ecuación diferencial que caracteriza los movimientos torsionales de una barra a partir de la segunda ley de Newton de la dinámica rotacional y la ley de Hooke. La misma viene expresada por:

2

22

2

2

xC

t s ∂∂

=∂∂ ϕϕ (2.7)

ϕ

46

donde ϕ es el ángulo de rotación de cada elemento. Cs esta dada por:

p

ts J

JGC

ρ= (2.8)

G es el modulo de cizalladura, Jp el momento de inercia polar definido como:

( )∫∫ += dydxyxJ p22 (2.9)

y Jt el modulo de rigidez de torsión dado por

∫∫= dydxJ t ψ2 (2.10) ψ es conocida como función de esfuerzo. Para el caso de barras con sección transversal cuadrada el valor Jp/Jt=1.1853 y para el caso de sección transversal circular Jp/Jt=1. Resolviendo la ecuación de movimiento para condiciones de frontera libres y considerando soluciones armónicas tenemos:

p

tt J

JGl

kfρ2

= (2.11)

De donde se obtiene el módulo de cizalladura G dado por la siguiente expresión para el caso k=1

t

pt J

JflG ρ224= (2.12)

47

2.2.3 Coeficiente de Poisson A partir de la expresión G=E/2(1+µ) es fácil obtener el coeficiente de Poisson µ con los datos aportados por la resonancia longitudinal y torsional. Combinando (2.11) y (2.6) se obtiene:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= 2

/1

21

2

2

t

l

tpf

fJJ

µ (2.13)

Donde se supone que el módulo de Young E es independiente de la frecuencia, lo cual se cumple para el cuerpo elástico, no así para el viscoelástico. En la práctica el valor de la frecuencia natural a torsión corresponde a algo más de la mitad de la frecuencia longitudinal. Por tanto la posible influencia viscoelástica dependerá del material en si, la cual podemos reducir si trabajamos con otro método donde las frecuencias naturales involucradas en el cálculo de Poisson estén menos separadas. Este es el caso de la resonancia en placas cuadradas que veremos mas adelante. 2.2.4 Formas de medición. Las Fig. 2.3 muestran la colocación de los excitadores y captadores para la medición de resonancia longitudinal y transversal respectivamente. Para el excitador pueden emplearse transductores electroestrictivos y magnetoestrictivos aplicado a la salida de un amplificador de audio excitado a su vez por un generador de señales sinusoidales de audio. El receptor puede ser un acelerómetro aplicado a un osciloscopio o un detector de amplitudes. En experimentos se debe asumir un valor aproximado inicial de estas resonancias. Para esto se debe comenzar por la medición longitudinal calculando el valor aproximado a partir de un estimado de la velocidad Co que puede aproximarse al valor de velocidad longitudinal obtenida con ultrasonidos C1. Con este valor y el de la distancia longitudinal (L) se puede obtener la frecuencia de resonancia fundamental en forma aproximada (f=C/2L) y poder medir además los armónicos asociados a los numero naturales veces la frecuencia de resonancia fundamental. Por su parte la resonancia torsional, siempre quedar por debajo a un 60% aproximadamente del valor longitudinal.

48

Fig. 2.3. Colocación de los transductores excitadores y receptores. Arriba Resonancia longitudinal. Debajo resonancia cizalladura. 2.2.5 Muestras cúbicas. El concepto de barras no es mas que asumir una forma sencilla de la ley de Hooke tal como fue expresado en la relación (2.4), esto no es mas que argumentar el hecho de que las tensiones que son ceros en las superficies, mantengan ese valor en sus componentes normales de la dirección lateral. Sin embargo en la práctica de los ensayos de elementos constructivos nos encontramos muestras confeccionadas con geometría cúbica, a las cuales es posible aplicar el método de resonancia. Sin entrar en detalles se pueden hacer deducciones similares teniendo en cuenta este factor en la ley de Hooke, pudiéndose obtener: Vibración torsional

ρ22732.4 tflG = (2.14) Vibración longitudinal

ρµ 224)1( loflE += (2.15) 2.2.6 Determinación del parámetro de amortiguamiento Una forma de medir las perdidas mecánicas en el material es el llamado parámetro de amortiguamiento ζ que puede calcularse, siguiendo un esquema dado por la Fig. 2.4, y la expresión:

resfff 12 −

= πζ (2.16)

49

Donde fres es la frecuencia de resonancia longitudinal, torsional u otra. Este parámetro puede vincularse a propiedades no elásticas de los materiales de la construcción como es el caso de contenido de humedad en una probeta de mortero u hormigón.

Fig. 2.4 Curva de resonancia para el cálculo del amortiguamiento 2.3 Resonancia en placas cuadradas. Para el caso de placas cuadradas no existe una solución exacta que explique sus modos de vibración. Los modos 2 y 3 (Fig. 2.5) pueden ser analizados por un modelo mecánico con dos grados de libertad. En este caso se asume la deflexión de un punto de la placa como si estuviese formada por dos deflexiones de un sistema de dos barras perpendiculares entre si y que se suponen están en los ejes x y y, es decir:

yx www += (2.17) La deflexión de cada barra se separa en variables como sigue:

( ) ( )xFtww iixx .= , ( ) ( )yFtww iiyy .= (2.18) Donde Fi corresponde a la vibración a flexión en el modo i-ésimo. wix(t) y wiy(t) son las coordenadas generalizadas.

50

De acuerdo a los postulados de la mecánica clásica, para obtener la solución se resuelve el sistema de ecuaciones de Lagrange de 2do tipo (expresado en coordenadas generalizadas) siguiente:

( )( ) ( )

0=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂−

∂−∂

°

tw

Kdtd

twLK

ixix

(2.19)

( )( ) ( )

0=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂−

∂−∂

°

tw

Kdtd

twLK

iyiy

El punto indica una derivada temporal. K y L son las energías cinética y potencial respectivamente. Para un medio continuo, la energía cinética se define como:

∫••

=v

ii dvuuK ρ21

(2.20)

e integrando en el espesor h de la placa:

∫ ∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂=

L Lyx dydx

tw

twhK

0 0

22

2ρ

(2.21)

La energía potencial:

∫=v

dvWL ~ (2.22)

Donde W~ es la densidad volumétrica de la energía de deformación, que para un sólido es igual a:

θµ

θµµ

µ ′+

+−+

=)1(2)21)(1(2

~ 2 EEW (2.23)

donde

51

zzyyxx uuu ++=θ (2.24)

∑=′3

1

2jiuθ (2.25)

uii es la deformación unitaria. Trabajando de forma similar para el caso de la flexión pero con la condición dada por (2.17) se tiene que:

∫ ∫ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=L L

yxyx dydxyw

xw

yw

xwDL

0 02

2

2

22

2

22

2

2

22

υ (2.26)

Donde D es la constante de la placa, definida como:

)1(12 2

3

µ−=

EhD (2.27)

Conociendo las soluciones para una barra a flexión y resolviendo las ecuaciones de Lagrange, se obtiene, tomando soluciones armónicas, el siguiente sistema de ecuaciones:

06903.0)( 02*02* =+− yx WW µωωω (2.28)

0)(6903.0 02*02* =−+ yx WW ωωµω Donde Wi

0 es la amplitud de las oscilaciones correspondientes a cada eje, en el modo fundamental de cada barra. ω es la frecuencia angular. Además:

hD

L ρλω 2

2* = , (2.29)

y 73.4=λ , se obtiene de la teoría de flexión en barras en el autovalor correspondiente. El sistema tiene solución si el determinante es igual a cero, de donde tenemos dos soluciones para la frecuencia ω :

)69035.01(2*22,1 µωω ±= (2.30)

52

de aquí se puede calcular una expresión para µ:

1

14486.1 2

2

3

2

2

3

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

ff

ff

µ (2.31)

f2 y f3 son las frecuencias naturales correspondientes a ω 1 y ω 2. (La no correspondencia de los índices se debe a que por este modelo no se obtiene un modo de frecuencia menor, f1, en el cual las líneas nodales corresponden a las soluciones nulas de este caso). Las Fig. 2.5 muestra estos modos, donde las líneas de puntos destacan los nodos correspondientes. Los puntos negros por su parte nos enseñan las posiciones de los excitadores y receptores respectivamente y que pueden ser intercambiados.

Fig. 2.5 Frecuencias naturales f2 y f3 respectivamente, Finalmente para el módulo de Young:

µµρ

6903.0110789.0 2

34

+−

= flEd (2.32)

La expresión para el coeficiente de Poisson obtenida aquí tiene la ventaja sobre otros métodos que, debido a la cercanía de las frecuencias f2 y f3, la influencia viscoelástica se hace muy pequeña. Se ha supuesto que el módulo de Young es independiente de la frecuencia, aunque para el caso viscoelástico esto no es cierto. En realidad existe una dependencia real, pero en un intervalo pequeño de frecuencia se puede tomar este valor como constante y utilizar este método.

f2 f3

53

2.4 Resonancia en placas circulares. Las placas circulares son muy convenientes para ensayos de resonancia pues las mismas pueden ser obtenidas en estructuras mediante maquinas perforadoras. Una de las características de estos testigos es su espesor relativamente alto en comparación con el diámetro, lo cual hace que no sea posible aplicar las teorías de láminas delgadas. Analicemos por tanto la teoría de vibraciones de placas circulares gruesas. Para esto utilizaremos la ecuación general que describe este fenómeno físico.

01112

2

4

4

223

2

2

223

=∂∂

+∂∂

+∂∆∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∆∆

tw

Dh

tw

CCtw

CCw

RR

ρ (2.33)

w representa es desplazamiento de la superficie de la placa en su dirección perpendicular, donde:

( )23 1 µρ −=

EC (2.34)

es la velocidad de propagación en placas delgadas y

ρχGCR = (2.35)

es la velocidad de ondas superficiales o de Rayleigh, cuyo término

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=µ

µχ1

72.187.0 (2.36)

Para este caso el Laplaciano vendrá expresado en coordenadas cilíndricas:

2

2

22

2 11φ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆rrrr

(2.37)

Podemos obtener la solución para el caso armónico de la forma siguiente:

tierwtrw ωφφ ),(),,( = (2.38) donde hemos separado la parte espacial de la parte temporal de la deflexión. Sustituyendo (2.38) en la ecuación (2.33) se obtiene la siguiente ecuación

0))(( 22 =−∆+∆ wβα (2.39)

54

donde α y β vienen dados por:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2422

3

2

223

4

223

2

2422

3

2

223

4

223

2

1114

112

1114

112

ωρωωωβ

ωρωωωα

Dh

CCCCCC

Dh

CCCCCC

RRR

RRR (2.40)

La deflexión de la superficie w(r,t) puede ser expresado por la relación siguiente:

L,2,1,0);().cos(),( =+= nrunArw n ϑφφ (2.41) n denota el número de diámetros nodales y ϑ es un ángulo arbitrario. Entonces la función u(r) cumple con el siguiente par de ecuaciones diferenciales.

01

01

2

22

2

2

2

22

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

urn

drdu

rdrud

urn

drdu

rdrud

β

α (2.42)

Estas ecuaciones son las que generan las funciones de Bessel real Jn(αr) e imaginario In(βr) para la primera y segunda ecuación respectivamente. De este modo la solución w(r,φ) puede ser expresada de la siguiente forma:

[ ] L,2,1,0);cos()()(),( =++= nnrIBrJArw nnnn ϑφβαφ (2.43) Para conocer los valores de los coeficientes arbitrarios An y Bn es necesario conocer y utilizar las condiciones de frontera, que para el fenómeno de resonancia son las llamadas condicione libres tanto en fuerzas tangenciales Q como en momentos M en los bordes de la placa de radio R, es decir: ( )

0)(0)(0

==

=

=

=

=

Rrr

Rrr

Rrr

MQM

φ

(2.44)

55

El ¿por que? de estas condiciones esta mas allá del alcance de este texto, pero puede estudiarse en la literatura al final del capítulo. De las ecuaciones anteriores es posible obtener un sistema de ecuaciones homogéneas y haciendo el determinante igual a cero calcular la ecuación de frecuencia. Estos pasos debido a su complejidad no serán expuestos en este folleto. Esta ecuación de frecuencia dependerá de los valores del número natural n expresado dentro de la función coseno en la ecuación (2.43) Los valores n=0 y n=2 12 corresponden a dos frecuencias f1 y f2 que son muy usadas en este tipo de ensayos (Fig. 2.6) y cuya razón f2/f1 es muy sensible al valor del coeficiente de Poisson. En la misma figura se observa la colocación que debe hacerse experimentalmente del excitador y el receptor de vibraciones.

Fig. 2.6 Frecuencias f1 y f2 de las frecuencia propias de una placa circular. Los puntos negros corresponden a las posiciones del generador y receptor indistintamente. Se puede demostrar que los valores de la frecuencia angular de resonancia puede expresarse como:

ρϖω ER

= (2.45)

el valor de ϖ deberá ser calculado mediante el uso de programas de computo. La Fig. 2.7 muestra una gráfica de esos resultados, donde h es el espesor y R el radio.

12 El valor n=1 corresponde a un modo con una sola línea nodal dividiendo en dos el elemento circular.

f1 f2

56

Fig. 2.7 Diagrama para el cálculo del factor ϖ en función de la relación h/R. 2.5 Método de resonancia en elementos constructivos con refuerzos. Cuando nos encontramos con elementos de hormigón con refuerzos metálicos, es posible aplicar el método de resonancia aunque hay que tener en cuenta la presencia de un material tipo compuesto, caracterizado por dos fases: la del concreto y la del acero. Vemos como se deduce el método longitudinal en este caso Consideremos un elemento diferencial del material (Fig. 2.8). Siguiendo un razonamiento similar al caso de la barra longitudinal, podemos plantear la siguiente ecuación diferencial que describe el movimiento de este elemento de la 2da ley de Newton:

dxx

TA

tudxm x

∂∂

=∂∂

2

2

(2.46)

57

Fig. 2.8 Elemento de concreto reforzado con acero. aquí A es el área total compuesta que se puede expresar como A=Ac+Aa, es decir el área del concreto (subíndice c) y el del acero (subíndice a). m es la masa por unidad de longitud. Podemos entonces considerar que el esfuerzo Tx, esta repartido de la siguiente forma según el “peso” de cara área:

AATAT

T aaccx

+= (2.47)

La ley de Hooke vendrá expresada para el caso longitudinal como:

xu

AAEAE

T aaccx ∂

∂+= (2.48)

en este caso Ec y Ea, serán los valores del módulo de Young del concreto y del acero respectivamente. Sustituyendo (2.46) en las anteriores se obtiene:

(2.49)

donde

mAEAE

C aacc +=0 (2.50)

es la velocidad de propagación. De igual forma es fácil demostrar mediante la expresión C0=λ f, y la condición de resonancia λ=2l para el fundamental, que las frecuentas naturales vienen dadas por:

dx

Adxx

TT x

x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+ATx

Acero

Concreto

;2

2202

2

xuC

tu

∂∂

=∂∂

58

lC

f lo 20= (2.51)

donde l es la longitud total de la muestra. Mediante sustitución de (2.51) en (2.50) se puede demostrar que:

c

aaloc A

AEmflE

−=

224 (2.52)

es decir podemos calcular el módulo de Young del concreto en función de la frecuencia obtenida mediante la resonancia y conocido el módulo de Young del acero. Este último mucho más estable y conocido que el del concreto. Si asumimos que el área del acero es mucho menor que el del concreto entonces podemos plantear que Ac≅A y usando m=Aρ entonces nos queda:

ηρρ100

44 2222 alo

aaloc

Efl

AAE

flE −=−= (2.53)

donde

100AAa=η (2.54)

es el por ciento de acero de la estructura en área. De esta forma se puede evaluar las propiedades del concreto presente en la muestra que es el factor mas importante a controlar.

59

2.6 Bibliografía del capítulo 2. Filonenko M. Teoría de Elasticidad. Editorial Platina 1959 447 p Timoshenko S. Teoría de Elasticidad. Editorial El ateneo, 1946, 497 p. Sokolnikoff I.S. Mathematical Theory of Elasticity. McGraw HillSecond Edition 476 p. Landau L.D., Lifshitcz: Theorie de L´Elasticite. MIR 1971 Cabanas G: Fundamentos del Método de resonancia a flexión para la determinación del módulo de Young en morteros y hormigones. Rev. Ingeniería Industrial No.2 1982, p109. ISPJAE, Cuba Martincek. Theory and methods of dynamic nondestructive testing of plane elements. VEDA, Brastislava.1975.

60

Cap 3. Método de Velocidad de Fase. 3.1 Introducción El método se velocidad de fase se basa en la excitación de ondas continuas mediante la aplicación de un transductor sobre una superficie de una muestra. Este método es empleado en la zona de bajas frecuencias que incluye la región de audio. Por tanto emplea longitudes de ondas largas y trata de explotar el fenómeno de dispersión geométrica que se da, tanto en placas constructivas y en capas (como es el caso de carreteras con sus estratos). Veamos primeramente la teoría de propagación de ondas continuas en elementos planos que conduce a los llamados modos de Lamb. Después veremos la propagación en carreteras. 3.2 Propagación de ondas en elementos planos. Consideremos un elemento plano infinito tal como se ve en la Fig. 3.1.

Fig. 3.1 Elemento plano de espesor h. a los ejes x y z les corresponderán desplazamiento u y w respectivamente. La ecuación vectorial de Lamé quedará solamente en estas direcciones, pues el eje y es simétrico e infinito. h es el espesor. Las mismas en coordenadas cilíndricas tendrán la forma:

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂

−∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+=

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+−

∂∂

+∂∂

+=∂∂

zru

zu

rzw

rrwG

zw

zu

rxruG

tw

zrw

zuG

zrw

ru

ru

rruG

tu

2

2

2

2

221

2

2

2

2

22

22

21

2

2

1112

12

λρ

λρ

(3.1)

en esta forma u y w serán los desplazamientos radial y axial respectivamente13. Para poder resolver esta ecuación será necesario expresar de igual modo la ley de Hooke dada por: 13 Esta forma de resolver el problema no es única, también puede hacerse en coordenadas cartesianas

x

z

h

61

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++∂∂

+=zw

ruG

ruGTr )2( 1λ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++∂∂

+=ru

ru

zwGTz

11 )2( λλ (3.2)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

==rw

zuGTT zrrz

Una forma de resolver la ecuación de Lame es mediante el concepto de potenciales. Recordemos la expresión (1.11), en este caso solo una componente del potencial ψ en la dirección y existirá y por tanto se puede expresar lo siguiente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−∂∂

=

∂∂∂

+∂∂

=

rr

rrzw

zrru

ψφ

ψφ 2

(3.3)

sustituyendo en la ecuación de Lame se obtiene el mismo sistema de ecuaciones con dos potenciales (ahora escalares ambos sin comparamos con 1.12):

2

2

22

2

2

22

1

1

tc

tc

T

L

∂∂

=∇

∂∂

=∇

ψψ

φφ (3.4)

donde el operador ∇ en coordenadas cilíndricas viene dado por:

2

2

2

22 1

zrrr ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ (3.5)

y además CL y CT, serán las velocidades longitudinal y transversal dadas por las conocidas expresiones:

)21)(1(121

µµµ

ρρλ

−+−

=+

=EGcL (3.6)

)1(21

µρρ +==

EGcT (3.7)

62

Para resolver este problema físico, varias vías pueden usarse, una es a través de los potenciales antes descritos, pero otra forma que seguiremos aquí será a partir de proponer una solución de la ecuación (3.1). Si asumimos que la velocidad de fase puede expresarse a partir de su definición:

αω

=c (3.8)

donde α14 es el módulo del vector de onda (α=2π/λ) (nota15). Entonces se puede proponer una solución para los desplazamientos u y w de la siguiente forma:

tierHzUu ωα )()( )2(1= (3.9)

tierHzWw ωα )()( )2(

0= (3.10) donde H0

(2) y H1(2), son las funciones de Hankel de orden cero y primer orden

respectivamente. Sustituyendo en (3.1) se obtiene el sistema de ecuaciones:

WGdzdG

dzdUG

UdzdGG

dzdWG

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++=+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=+

22

2121

2

22121

)2()(

)2()(

αλρωαλ

αλρωαλ (3.11)

Podemos ahora usar una función auxiliar F definidas mediante las expresiones:

FdzdGGW

FdzdGU

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=

+=

2

2212

1

)2(

)(

αλρω

λα (3.12)

entonces la primera ecuación (3.11) deviene en una identidad y la segunda conduce a:

02143

21432 22

4

2

224

2

22

2

2

4

4

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−+TLLL ccc

Fcdz

Fddz

Fd ωαωµµαω

µµα (3.13)

la cual tiene raíces características:

14 En esta parte el módulo del vector de onda se denominar por α en vez de k 15 Aquí λ es la longitud de onda y no debe confundirse con la primera constante de Lamé

63

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

222

2

222

1

1

T

L

ccs

ccq

α

α (3.14)

esta función puede ser expresada como solución general de la siguiente:

szszqzqz eAeAeAeAzF −− +++= 4321)( (3.15) Veamos ahora los casos particulares que se derivan a partir de condiciones de simetría y de frontera. Aunque estamos estudiando el caso de una placa de espesor h, analicemos primeramente un caso muy importante y es el llamado semiespacio, cuya solución es necesaria para entender la propagación en placas. 3.3 Ondas superficiales de Rayleigh. Este problema plantea la búsqueda de ondas considerando una superficie z=0, con la condición que la misma solo exista en la propia superficie. Entonces los términos A1 y A3, deben ser iguales a cero. La solución deberá buscarse en la forma:

szqz eAeAxF −− += 42)( (3.17) lo cual conduce mediante (3.12) a:

szqz

szqz

eAeqAW

eAqeAU−−

−−

+=

+=2

42

2

42

α

αβα (3.18)

Para buscar una solución debemos encontrar el valor de los coeficientes A2 y A4, para esto debemos hacer uso de las condiciones de frontera libre de la superficie, es decir que no exista ni esfuerzo normal ni de cizalladura, por tanto: ( ) ( ) 0,0 00 == == zrzzz TT (3.19) por tanto, mediante las dos últimas expresiones (3.2), las condiciones de frontera serán:

( )

0

02

0

0

11

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++∂∂

+

=

=

z

z

rw

zu

ru

ru

zw

G λλ

(3.20)

mediante las sustituciones y arreglos necesarios nos conduce a:

64

( )[ ]

( ) 02

02222

42

2

24

21212

=++

=+−+

ααα

ααλλ

sAqA

sGAqGqA (3.21)

Esto no es más que un sistema de ecuaciones en A2 y A4 que tiene solución si su determinante es igual a cero. Resolviendo este determinante se conduce a la llamada ecuación de frecuencia:

0)1616()1624(8 21

21

21

41

61 =−+−+− αχαχχ (nota16) (3.22)

donde

T

R

CC

=1χ (3.23)

y

)1(2212

1 µµα

−−

= (3.24)

Esta ecuación nos permite obtener el valor de la velocidad de fase de esta onda, que se caracteriza por ser constante con la frecuencia y por tanto no es dispersiva, si el material es elástico, es decir si sus constantes elásticas son reales y no dependen de la frecuencia. La siguiente tabla muestra soluciones de esta ecuación para diferentes valores la relación de Poisson. Tabla 3.1 Soluciones de velocidad superficial en función de Poisson

µ 0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 CR/CT 0.874 0.892 0.910 0.926 0.941 0.952 CR/C0 0.618 0.601 0.587 0.575 0.562 0.549

3.4 Ondas simétricas en placas. Volvamos a la placa de espesor h y busquemos los modos de vibración que se derivan de la solución de la ecuación de Lame, expresada particularmente por las expresiones (3.1). Tomemos de punto de partida la función F(z) esta vez definida a partir de funciones hiperbólicas que también son soluciones de la ecuación (3.13). Por tanto:

)cosh()sinh()cosh()sinh()( szDszCqzBqzAzF +++= (3.25)

16 Esta relación es mas exacta que la mostrada en (1.20)

65

busquemos primeramente las soluciones que sean simétricas respecto a la parte media de la placa, en este caso debemos tomar los términos que sean sinh(qz).

)sinh()sinh()( szCqzAzF += (3.26) haciendo uso de (3.9), (3.10) y (3.12) tendremos que los desplazamientos u y w vienen dados por:

ti

ti

erHszCqzqAw

erHszsCqzqAuω

ω

αα

ααα

)())sinh()sinh((

)())cosh()cosh(()2(

022

)2(1

−−=

+= (3.27)

En este caso las condiciones de frontera necesarias para el cálculo de los coeficientes A y C, vienen dadas por las expresiones (3.2) evaluadas en z=±h. A partir de ellas se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

( )[ ]

( ) 02

sinh2

sinh2

02

cosh22

cosh2

222

22121

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

shsCqhqA

shsGCqhqGqA

ααα

ααλλ (3.28)

cuya solución es posible si su determinante es cero. Esto nos conduce a la ecuación de frecuencia que no es más que la ley de dispersión dada por:

222

22

22

22

2

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

shh

shqhh

qhth

shth

α

α (3.29)

Si atendemos a (3.14), la expresión de arriba nos da una dependencia de la velocidad C de fase con la relación h/λ. La Fig. 3.2 nos muestra esta dependencia y nos anuncia la existencia de un modo fundamental, según la periodicidad dada por la función th. El modo fundamental hallado por el índice 1 de la figura, tiende al valor de velocidad (cuando h/λ =0) dado por:

)1(1

23 µρ −=

EC (3.30)

Este límite se conoce como velocidad longitudinal en placas delgadas. Las curvas de dispersión tienden al valor de CR, es decir a la velocidad de ondas superficiales o de Rayleigh, cuando λ→0, es decir cuando las frecuencias toman valores altos.

66

Fig. 3.2 Curvas de dispersión para el modo simétrico de Lamb. 1=modo fundamental, 2 y 3 modo superiores. C es la velocidad de fase, C0= velocidad en barras, CR= velocidad ondas de Rayleigh. C3= ondas en placas delgadas 3.5 Ondas antisimétricas en placas. De igual forma que el simétrico buscaremos soluciones dado en este caso por las funciones cosh para la función F(z) es decir:

)cosh()cosh()( szDqzBzF += (3.31) De esta forma el desplazamiento en z quedará antisimétrico es decir en el mismo sentido. Mediante (3.9),(3.10) y (3.12) los desplazamientos u y w vendrán dados por:

ti

ti

erHszDqzBqw

erHszsDqzqBuω

ω

αα

ααα

)())cosh()cosh((

)())sinh()sinh(()2(

022

)2(1

−−=

+= (3.32)

tomando las mismas condiciones de frontera que el caso simétrico, o sea que el esfuerzo normal y tangencial sean cero en cada superficie. Nos queda entonces el siguiente sistema de ecuaciones:

( )[ ]

( ) 02

cosh2

cosh2

02

sinh22

sinh2

222

22121

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

shsDqhqB

shsGDqhqGB

ααα

ααλλ (3.33)

67

De igual forma tendrá solución si su determinante es igual a cero. Como en el caso simétrico, este razonamiento nos conduce la ecuación de frecuencia del modo antisimétrico.

222

22

22

22

2

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

shh

shqhh

shth

qhth

α

α (3.34)

muy similar al simétrico, con la sola inversión de la razón de las funciones th. La Fig. 3.3 muestra las curvas de dispersión que nos da esta ecuación. Como detalle comparativo tenemos que el modo fundamental tiende a cero cuando la razón h/λ tiende a igual valor.

Fig. 3.3 Curvas de dispersión para el modo antisimétrico de Lamb. 1=modo fundamental, 2 y 3 modo superiores. C es la velocidad de fase, C0= velocidad en barras, CR= velocidad de ondas de Rayleigh Esto tiene una consecuencia práctica inmediata y es que para valores de h/λ, entre 0 y 1, tendremos una fuerte dependencia del espesor con la velocidad. Por tanto escogiendo adecuadamente una frecuencia de excitación que asegure el intervalo mencionado, podremos calcular el espesor mediante la medición de la velocidad de fase C. En realidad para que esto sea posible necesitaremos conocer previamente el valor del coeficiente de Poisson (parámetro que determina la situación de las curvas de dispersión) y el valor de la velocidad C0 (velocidad en barras delgadas) del material.

68

¿Como solucionar esto?

• Para el coeficiente de Poisson, será necesario importarlo de otro método como puede ser el método de resonancia. Este valor en hormigón, varía poco en muestras diferentes, asumiendo un endurecimiento de más de 28 días.

• Para el caso de C0, se podría pensar en importar de resultados de resonancia, pero aquí la práctica nos enseña una mayor variación de valores entre muestras. Entonces una salida es medir la velocidad de fase a altas frecuencias en la cual se pasa a los valores de velocidad de Rayleigh. Aplicando las relaciones entre CR y CT, es posible calcular el valor de C0. También es posible medir C0 a través de la medición en un borde como veremos mas adelante.

Queda algo importante ¿Cómo medir la velocidad de fase? En un próximo epígrafe se expondrán los métodos experimentales. Por último debemos destacar que este método emplea en la práctica longitudes de onda mucho mayores que cualquier árido presente en el material, lo cual hace que el mismo se comporte como homogéneo. Esto no elimina la posibilidad de un comportamiento ortotròpico debido a la presencia de refuerzos metálicos. En este caso el modelo deberá ser ajustado. En toda esta teoría se ha supuesto que el material es elástico. Sin embargo en la realidad se dan los fenómenos de atenuación, lo cual esta vinculado a un segundo fenómeno de dispersión que se conoce como dispersión viscoelástica, en el cual las constantes elásticas dependen de la frecuencia. Veamos continuación los elementos básicos de esta teoría y su influencia en la propagación de ondas en placas y después veremos los métodos de medición 3.6 Ondas en medios viscoelásticos. La viscoelasticidad es consecuencia de las fricciones internas al paso de una onda. Físicamente considera dos aspectos, el primero es el fenómeno ondulatorio, donde la energía se propaga sin que se desplace la masa del medio y un segundo vinculado al flujo de masa. Por tanto son dos fenómenos contrarios. Para estudiarlos es conveniente realizar una separación de la deformación en aquella vinculada a la del volumen y la vinculada a la de la forma. Usaremos una nueva notación en este epígrafe en particular en lo referente a la ley de Hooke y las definiciones de esfuerzo y deformación.

69

Tensor general Tensor normal Tensor desviación esfuerzo

)()()(

)(2)()(3)(

)()()(

,,

ttet

teQtsPtQtP

tstt

ijij

ijij

ijij

εε

εσ

σσ

↔+↓↓

==

↑↑

+↔

Tensor desviación Tensor deformación deformación general

normal deformación De esta forma hemos separado el tensor general en dos partes , el normal causante de deformaciones volumétricas y la desviación causante de cambios en la forma.. Al final tenemos lo mismo en función de deformación. En este esquema P y Q (con y sin supraíndice) representan operadores que caracterizan el proceso viscoelástico. Por ejemplo analizando el caso elástico contemplado como un límite viscoelástico tendremos:

jiGesB

ijij ≠==

23 εσ

(3.35)

Esto no es más que la ley de Hooke expresada en este fenómeno, donde B es conocido como módulo elástico volumétrico y G el de cizalladura. En el caso viscoelástico la ley queda, como se expresa en el esquema anterior, es decir:

)(2)()(3)( ,,

teQtsPtQtP

ijij == εσ

(3.36)

donde Los operadores P y Q están dados por las expresiones:

01

1

1

01

1

1

,01

1,

1,,

,01

1,

1,

qt

qt

qQ

pt

pt

P

qt

qt

qQ

pt

pt

P

n

n

nn

n

n

m

m

mm

m

n

n

nn

n

n

m

m

mm

m

++∂∂

+∂∂

=

++∂∂

+∂∂

=

++∂∂

+∂∂

=

++∂∂

+∂∂

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

L

L

L

L

(3.37)

70

En las expresiones anteriores pueden tomarse los valores de p y q de diversas maneras que definen muchas variantes de modelos viscoelásticos; ejemplos son el modelo de Voigt y el lineal. Estos modelos representan una combinación de muelles y amortiguadores en una especie de circuito. La Fig.3.4 muestra estos dos ejemplos, donde se observa además, en la parte baja de la figura, para el caso lineal como el sistema responde en el tiempo a la acción de un esfuerzo que aparece en t=0 y desaparece en un tiempo medio. Como se muestra el sistema tiene un efecto de relajación debido al acomodamiento interno de las deformaciones y esfuerzos.

Fig. 3.4. Arriba = Modelos de cuerpos viscoelásticos. Debajo= Fenómeno de relación para el modelo viscoelástico lineal. La formulación antes expuesta es lo que se conoce como modelo de operadores, sin embargo no es la única representación matemática de la viscoelasticidad. En el caso de fenómenos cíclicos de esfuerzo y deformación, es más conveniente utilizar el modelo de números complejos, en el cual las constantes “elásticas” pasan a ser números complejos que se pueden expresar de la siguiente forma:

)1(

)1(

)1(

,*

,

,*

,

,*

,

ETT

GTT

BTT

iEE

iGG

iBB

δ

δ

δ

ωω

ωω

ωω

+=

+=

+=

(3.38)

donde T es la temperatura. δ define el defasaje que existirá entre el esfuerzo y la deformación cumpliéndose además:

ijTji

T

eGs

B*

,,

*,

2

3

ω

ω εσ

=

= (3.39)

o simplemente (usando la nomenclatura reducida) para una barra:

3*

,3 SET Tω= (3.40) La física de los materiales viscoelástico lleva implícito el principio de causalidad, en el cual el material se deforma un tiempo después de que aparezca una acción en forma de esfuerzo. En el caso cíclico se da un fenómeno de retrazo entre esfuerzo y deformación, típico de

71

estos materiales. Ahora bien ¿como queda entonces la propagación de ondas mecánicas en estos materiales? Si recordamos el Cap. 1 habíamos visto que en un medio infinito y en una superficie se podrían propagar ondas longitudinales, transversales y superficiales respectivamente que no presentaban el fenómeno de dispersión, es decir su velocidad es independiente de la frecuencia. Entonces en el caso de materiales viscoelásticos tendremos que esta propagación si será dispersiva. La Fig. 3.5 muestra en forma cualitativa la variación de la velocidad longitudinal, transversal o superficial con la frecuencia. Para una guía de ondas (placas y/o barras) tendremos que el fenómeno de dispersión se presentará en dos formas: la geométrica y la viscoelástica.

Fig. 3.5 Velocidad longitudinal, transversal o superficial en función de la frecuencia para un modelo viscoelástico. Las Fig. 3.6 y Fig. 3.7 muestran el fenómeno combinado de dispersión geométrica y viscoelástica en los modos de Lamb simétricos y antisimétricos respectivamente. Se comparan con el caso elástico.

72

Fig. 3.6. Efecto de la viscoelasticidad en el modo simétrico de Lamb.

Fig. 3.7. Efecto de la viscoelasticidad en el modo antisimétrico de Lamb. En el caso antisimétrico se observa que para bajas longitudes de onda (o alta frecuencia) existirán dos velocidades de ondas superficiales, correspondientes al caso elástico y viscoelástico respectivamente.

73

3.7 Métodos experimentales para la medición de la velocidad de fase. En la siguiente figura (Fig. 3.8) se muestra un esquema experimental para la implementación del método de velocidad de fase. Describamos cada parte T. Corresponde a un transductor emisor de ondas, que puede ser magnetoestrictivo o electroestrictivo que se caracteriza por su baja impedancia de entrada del orden de algunos ohms. Su tamaño y forma es variada según el tamaño de la muestra y la potencia requerida. R. Es el receptor de las ondas que se propagan, es un acelerómetro que puede ser fabricado con un piezoeléctrico del tipo PZT-5. A. Es un amplificador de audio de algunas decenas de watts según las necesidades de la muestra. G. Es simplemente un generador de audio aunque se asume que parte de su diapasón se encuentre en la zona ultrasónica. Osciloscopio. Es usado para comparar la fase de las señales, aunque puede ser sustituido por un metro de defasaje. La esencia del método es medir con una cinta métrica la distancia de los transductores en los cuales se obtenga la misma diferencia de fase de las señales. Se puede por tanto, realizar un diagrama como muestra la Fig. 3.9. De esta forma se puede obtener la longitud de onda. En la práctica es conveniente hacer un barrido a diferentes frecuencias según el tipo de onda que se quiera emplear. En particular el esquema mostrado se utiliza para la formación de ondas antisimétricas de Lamb las cuales tiene la ventaja de trabajar desde un solo acceso o lado del material.

Fig. 3.8 Esquema experimental del método de velocidad de fase.

74

Fig. 3.9 Forma de medición de la fase vs. longitud entre transductores. La velocidad de fase es calculada entonces a través de la conocida relación:

fC λ= (3.41) donde λ debe ser obtenida, tal como mencionamos, a partir de la medición directa sobre la muestra con una cinta métrica. Es recomendable usar varias frecuencias para así obtener una relación de dispersión. Las mismas deberán escogerse según las características del experimento tratando de barrer un intervalo desde las bajas hasta la zona de Rayleigh. Esto dependerá del material y sus dimensiones. Como se explicó el método experimental corresponden para la formación de ondas antisimétricas. Veamos a continuación esquema experimental que resume los diferentes modos de medición, donde se destaca la colocación de los transductores emisores de ondas mecánicas y receptores de los mismos.

75

3.8 Formas de medición

Fig. 3.10 Esquema de medición. a) modo simétrico de Lamb, b) modo antisimétrico de Lamb, c) onda transversal, d) onda de borde (Rayleigh). La Fig. 3.10 muestra los diferentes esquemas de medición que incluyen varios casos. En (a) y (b) tenemos la forma de medir para modos de Lamb simétrico y antisimétrico, donde la flecha o el punto determina la forma de colocación del excitador G y el receptor R. En el caso de este último, la doble flecha indica el eje del acelerómetro, por tanto puede quedar perpendicular al material o acostado sobre el mismo. Los caso c y d, corresponden a

76

mediciones de ondas de cizalladura y de borde. Con esto último se concluye que el método de velocidad de fase no solamente es adecuado para medir ondas de Lamb sino que también es posible aplicarlo en otras ondas. El caso (d) u onda de borde, es en realidad una onda superficial con valor igual a la velocidad de Rayleigh Cs. Este caso como el caso (c) nos debe dar una línea recta en un diagrama de velocidad vs. frecuencia. Estas mediciones tienen la ventaja de estar vinculadas a C0 y necesarias por tanto para las aplicaciones de ondas de Lamb. 3.9 Aplicaciones del método de velocidad de fase Veamos varias aplicaciones del método de velocidad de fase 3.9.1 Medición de características elásticas. Con la velocidad CR y la velocidad CT se pueden obtener el módulo de Young, y el coeficiente de Poisson. Este último puede tener diferencias con el método de resonancia debido a la viscoelasticidad del material. 3.9.2 Medición de espesores. Conociendo el valor de C0 y el coeficiente de Poisson, es posible mediante el método antisimétrico evaluar el espesor de una placa desde un solo lado. Para esto se debe usar la curva teoría de este modo y obtener el espesor con diferentes frecuencias con el fin de obtener un valor medio. Como ejemplo de una medición del modo antisimétrico se muestra en la Fig. 3.11 la comparación de resultados experimentales con teóricos en ferrocemento (un material formado por mortero de cemento y mallas de acero que se emplea en la construcción de barcos así como contenedores de fluidos). La curva teoría asume un valor del coeficiente de Poisson igual a 0.2 que fue tomado del valor del mortero a partir de la resonancia.

77

Fig. 3.11 Velocidad de fase en muestra de ferrocemento. Dimensiones 2x1 metros. Espesor 2 cm. 6 capas de mallas y alambrón de acero de 6 mm separados 75 cm. 14 días de curado Estas mediciones fueron realizadas siguiendo el esquema (a) de la Fig. 3.10. La siguiente tabla muestra los valores obtenidos sobre el borde de la muestra CR y el calculado C0. Se tomó un coeficiente de Poisson de 0.2 Tabla. 3.2 Velocidad experimental de Rayleigh en muestra de ferrocemento.

Tiempo endurecimiento (días)

CR (experimental) (m/s)

C0 (calculado) (m/s)

1 1749 2973 3 1736 2950 7 1975 3356 14 2065 3509

3.9.3 Características viscoelásticas. El método de velocidad de fase puede ser usado para determinar características viscoelásticas. Para esto es conveniente realizar mediciones donde no exista el fenómeno de dispersión geométrica, como es el caso de onda de borde. Cualquier variación de este parámetro será consecuencia de variaciones propias de la influencia de la viscoelasticidad. La Fig. 3.12 muestra un ejemplo en cloruro de polivinilo, donde también se muestra dos formas en que puede darse en coeficiente de amortiguamiento α obtenido a través de la expresión:

78

xeAA α−= 01 (3.42)

donde A1 y Ao, son dos amplitudes a la distancia x de las señales recibidas. Se puede entonces utilizar la siguiente ecuación:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

1ln1AA

xα (3.43)

donde se define además otra forma de analizar la atenuación mediante el siguiente parámetro:

λαυ = (3.44)

Fig. 3.12 Velocidad de ondas de Rayleigh en cloruro de polivinilo, obtenido mediante ondas de borde. Se muestra además la atenuación. 3.9.4 Evaluación de la rigidez de carreteras. Unas de las propiedades a evaluar en un pavimento de una carretera es su capacidad para soportar cargas. La técnica de velocidad de fase permite obtener un método para este fin basado en la propagación de ondas generalizadas de Lamb, las cuales como su nombre indica corresponden a una generalización respecto a as condiciones de frontera, ya que en el caso hasta ahora estudiado, las ondas de Lamb asumen una placa con sus dos lados libres. Ahora sin embargo tenemos un pavimento que se ha colocado sobre un subsuelo o substrato, tal como se muestra en la Fig. 3.13. Por tanto una de sus fronteras no será libre.

79

Fig. 3.13 Estructura de una carretera formada por el pavimento y el subsuelo. En realidad en la figura anterior el pavimento esta formado por varias capas las cuales se van depositando sobre el subsuelo. Para estudiar su comportamiento dinámico se puede considerar como una sola capa equivalente sobre el subsuelo. La curva de dispersión para este problema tendrá la siguiente forma (Fig. 3.13)

Fig. 3.14. Modelo de dispersión de lámina (pavimento) sobre un semiespacio (subsuelo). Se compara con la lámina o placa libre. Esta curva de dispersión para longitudes de onda menor que λ1 se comporta como si fuese una placa libre en modo antisimétrico de Lamb, con un límite de alta frecuencia o λ=0 hacia la velocidad de ondas de Rayleigh17. Sin embargo según aumente λ o disminuya la frecuencia, el efecto del subsuelo aumenta y la curva no sigue su curso hacia velocidad cero (tal como ocurre en el modo antisimétrico de Lamb) sino que se desvía hacia la velocidad de ondas de Rayleigh del subsuelo. Para fines prácticos se analizará un modelo teórico tal como

17 Note que la figura tiene en el eje de las abscisas λ y no h/λ, como ocurre en la Fig. 3.3

80

se muestra en la propia Fig. 3.13, en la cual se tiene una placa libre de espesor he para λ<λ1 y un semiespacio caracterizado por una sola velocidad para λ>λ1. La propagación de ondas antisimétricas en una placa libre se puede tomar a partir de la expresión (3.34) del modo antisimétrico de Lamb. Sin embargo esta expresión representa una función implícita de C vs. λ. Resulta mas conveniente tomar un modelo de placa en flexión teniendo en cuenta la influencia rotacional de los elementos y la cizalladura. Este modelo aunque aproximado es lo bastante exacto para fines prácticos y nos da una forma de la función C vs. λ adecuada para trabajar. No es objetivo del curso explicar el origen de las expresiones que siguen y solo se darán para fines computacionales. Por tanto tendremos que la expresión para la curva de dispersión de ondas a flexión está dada por:

qppCC −−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ 2

0

0 (3.45)

donde

)()( 22

2

1 µϕλµϕeh

p += (3.46)

)1(4)1(21)( 0

21 µχ

µµϕ

++

−= (3.47)

)1(43

)( 20

2 µπχ

µϕ+

= (3.48)

)1)(1(2 20

µµχ

+−=q (3.49)

2

0 112.187.0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=µ

µχ (3.50)

µ como sabemos es el coeficiente de Poisson y

ρEC =0 (3.51)

La rigidez dinámica de una placa definida como

ρ12

320 ehC

JE = (3.52)

81

donde E es el módulo de Young y J el momento de inercia de la sección transversal nos plantea que el problema de obtener este valor se resume en calcular E y he. Para esto podemos usar las expresiones anteriores dadas por (3.45)-(3.51) y plantearnos obtener dos velocidades a dos frecuencias (dos longitudes de onda) respectivamente. Por tanto deberemos medir sobre la superficie del pavimento:

bb

aa

CC

λλ

,,

(3.53)

con este par de valores podemos entonces obtener una ecuación bicuadrática a partir de (3.45) de la cual extraer la solución:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−±−−

=

222

2222

212

20 12

1)(41)1(

ba

baba

CC

CCCC

Cηφ

ηηφφηη

(3.54)

donde el signo “mas” es valido cuando Ca>Cb y viceversa para el caso del signo “menos”. Por su parte he puede ser calculada por la expresión:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

2

20

220

2

11a

a

ae

CC

CC

h

φφφ

λ (3.55)

donde se definen las siguientes expresiones:

a

b

λλη = (3.56)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−=

31

)1(32

0

2

µχπφ (3.57)

)1(2)1(2

0

2

1 µχµ

φ−+

−−= (3.58)

)1()1(2 20

02 µχµ

χφ

−++−

= (3.59)

Con este conjunto de ecuaciones es posible entonces hacer el cálculo para obtener la rigidez dinámica del pavimento (3.52). En la práctica se recomienda utilizar un valor sobre los 250

82

Hz para obtener λb y un valor de 20 KHz para λa en pavimento de concreto y 10 KHz en pavimento de asfalto. Otro parámetro importante es la deflexión del pavimento w bajo una carga que caracteriza toda la estructura del pavimento mas subsuelo. Si asumimos una carga puntual p0 aplicada entonces este factor viene dado por:

∫ ∫∞

+−

=1

1022

20

20

0)sin(

2)sin(

2)1( γ

γ

γγ

γρ

γγ

γµd

Chap

dC

apw

eTsub

sub (3.60)

donde

20 aPp

π= (3.61)

λπγ a2

= (3.62)

λπγ a2

1 = (3.63)

El parámetro w es importante en el control de calidad en pavimentos que sufren grandes cargas como es el caso de aeropuertos. Por tanto podemos resumir un algoritmo de la siguiente manera para la evaluación de una carretera o pavimento Datos de entrada a) Subsuelo: Velocidad transversal CT-sub, coeficiente de Poisson µsub y la densidad ρsub b) Velocidades medidas y longitudes de onda Ca, Cb, λa λb, coeficiente de Poisson µ y densidad del pavimento ρ (o su estructura). c) Radio de la placa circular cargada a. Con estos datos de entrada se calcula a) C0 para el material de la placa equivalente que forma el pavimento. b) El espesor de la placa equivalente he. c) La rigidez dinámica de una “barra unitaria” del pavimento EJ d) Deflexión w debido a una carga normal con intensidad p0 actuando sobre un radio circular a. Para poder obtener estos parámetros es necesario medir sobre el subsuelo previo a la colocación del pavimento y después sobre este. En caso de pavimentos de múltiples capas es

83

recomendable realizar mediciones de control sobre cada capa depositada en la medida de lo posible.

84

3.10 Bibliografía del capítulo 3. Martincek G. Dynamic diagnostication of road surfaces. VEDA. Bratislava (in slovak)1983. Moreno E. Propagación de ondas mecánicas en elementos planos de materiales compuestos. Tesis Doctorado. La Habana 1994. Martincek. Theory and methods of dynamic nondestructive testing of plane elements. VEDA, Bratislava.1975.

85

Cap 4. Método de Pulso Ultrasónico. 4.1 Introducción En este capítulo de analizará la técnica de pulso ultrasónico aplicado a la medición de propiedades elásticas y resistencia a la compresión del hormigón, así como a la detección de defectos dentro del material. Primeramente se expondrán los métodos clásicos de medición, para pasar finalmente a una evaluación de las técnicas actuales experimentales.

.

4.2 Propagación ultrasónica en elementos constructivos. En el epígrafe 1.8.1 se describió un sistema básico para la medición del tiempo de propagación de un pulso ultrasónico a partir del uso de dos transductores. Esto es lo que se conoce por el método de pulso-transmisión a diferencia del método de pulso-eco, donde solo se utiliza un transductor. A partir del tiempo de vuelo del pulso, se puede calcular la velocidad del mismo a partir de la conocida expresión:

tLC /? = (4.1) donde L es la longitud de la muestra y t el tiempo obtenido por el equipo, el subíndice ? nos plantea la cuestión de ¿que tipo de velocidad se esta midiendo?, si la de fase, la de grupo u otra. Por lo pronto usaremos el símbolo C aunque queda por discutir este aspecto. Una de las aplicaciones mas importantes es la correlación que existe entre la velocidad medida por este método y la resistencia a la compresión. Sobre esto volveremos mas adelante. En el caso de los materiales de la construcción, la forma de colocar los transductores sobre el material nos define tres formas o métodos de medición como se observan en la Fig. 4.1. Los transductores 1y 2 son el emisor y receptor o viceversa. La utilización de cada método tiene sus ventajas y desventajas, así vemos que el método a) presenta la ventaja de poder examinar el material en toda su profundidad a diferencia del método c). Sin embargo este último tiene la ventaja de que pueden realizarse mediciones desde un solo lado del material, pues a veces no se tiene acceso a ambas caras del mismo o la forma irregular no permite el método directo. El método b) es un intermedio entre ambos métodos. Otra de las diferencias entres los tres métodos, es la característica de la señal que se recibe, así como el método de medición empleado. Por desgracia en los equipos digitales no es posible ver la señal y se precisa de gran habilidad del operario para analizar ¿que esta ocurriendo? internamente en el momento de la detección. El uso de un osciloscopio puede ayudar al operario a entender esto y es recomendable sobre todo en la etapa de aprendizaje. Veamos las características de cada uno de los métodos.

86

Fig. 4.1 Esquemas de medición. a) Método directo b) Método semindirecto c) Método indirecto o superficial. 4.2.1 Método directo. Este método, el más simple de todos y el mas preciso, requiere sin embargo de un correcto alineamiento de los transductores para asegurar su posición frente a frente. El error de la medición puede estar en el entorno de +/- 10 m/seg. Un aspecto importante, tanto en este método como en los otros, es asegurar un buen contacto acústico mediante uso de grasa así como una adecuada terminación de la superficie. Con esto se evita el error de uno o varios ciclos que nos conduce a tiempos mayores y por tanto velocidades menores. La forma del pulso que se recibe es similar a la Fig. 4.2 en una base de tiempo mayor. La misma es consecuencia del proceso de propagación del ultrasonido en un material de estructura gruesa y del uso de transductores de frecuencias bajas, (lo que implica patrones de radiación anchos), lo que trae como consecuencia una “dispersión”18 del pulso. En el mismo se observa además un fenómeno de múltiples reflexiones entre ambas caras del material que es

18 Esta dispersión se entiende por la traducción de “scattering”, no por la dependencia de la velocidad con la longitud de onda.

87

difícil de diferenciar como en el caso de los metales. Sin embargo la caída de la amplitud puede ser utilizada para una medición en tiempo de la atenuación.

Fig. 4.2. Forma del pulso recibido. Un aspecto importante en la medición es la forma y amplitud del primer semiciclo del pulso recibido. En el epígrafe 1.8.1 ya se había expresado la situación de la influencia de la forma con respecto a la posible presencia de defectos. En relación a la amplitud existen dos formas de medición: amplitud constante y amplitud infinita. En el caso de equipos digitales “ciegos” se trabaja generalmente a amplitud infinita, mientras que en betonoscopios se trabaja a amplitud fija. La Fig. 4.3 muestra las señales tal como se verían en un osciloscopio. Estos equipos siempre requieren de un patrón de tiempo para su calibración, por tanto el método de amplitud empleado siempre debe ser el mismo entre patrón y muestra. Sin embargo existe otro problema y es la posibilidad de que la viscoelasticidad de la muestra sea lo suficientemente fuerte para que el primer semiciclo pierda componentes de alta frecuencia e introduzca un error adicional en la medición, como se observa en la Fig.4.4

Fig. 4.3. Métodos de detección para le medición de tiempo de propagación 1= amplitud constante, 2= amplitud infinita.

88

Fig. 4.4. Influencia viscoelástica en la medición de tiempo de propagación de un pulso ultrasónico. 4.2.2 Método indirecto. Se emplea cuando se tiene acceso a una esquina del material (Fig. 4.1, (b)). Su problema radica en el error introducido por el cálculo de la distancia entre los transductores, que siempre será aproximada, por la situación geométrica misma. Por otro lado se da un fenómeno de propagación interesante conocido como onda lateral, que no es mas que un frente de onda formado a partir de la propagación longitudinal y transversal que surge a consecuencia de la posición de los transductores.

Fig. 4.5 Formación de onda lateral Por su parte la Fig. 4.6 muestra la señal recibida con el fenómeno de superposición entre ambas ondas. Mediante las siguientes expresiones es posible obtener su velocidad.

89

Fig. 4.6 Forma de la señal en el método indirecto.

L

T

CC

=)sin(α (4.2)

)sin()sin(βα

α+

= Llateral CC (4.3)

El único problema para este cálculo es que los equipos digitales no detectan este tipo de onda. 4.2.3 Método superficial. Se basa en el esquema (c) de medición mostrado en la Fig. 4.1, donde en el transductor receptor se recibe una señal compuesta por una longitudinal y una superficial19, (Fig. 4.7). La señal longitudinal forma la parte delantera por ser la de mayor velocidad.

19 Y quizás parte de una transversal

90

Fig. 4.7 Señal recibida en el método superficial. Para aplicaciones prácticas se utiliza este método en la medición longitudinal CL con el fin de obtener una correlación con la resistencia del material. Sin embargo el error introducido en la determinación de la distancia entre los transductores hace necesario la realización de varias mediciones a distancias diferentes entre los transductores, así es posible confeccionar diagramas espacio-tiempo llamados hodogramas, cuya pendiente (o su inverso) nos da el valor de la velocidad longitudinal. El espacio entre transductores puede tomarse entre un punto medio, extremo u cualquier otro. Esto no afectaría la pendiente (y por tanto el valor de velocidad) y solamente el intercepto de la recta. En este método es recomendable la utilización de ajustes por mínimos cuadrados.

Fig. 4.8 Hodograma para el cálculo de la velocidad. L= distancia, t= tiempo medido.

91

La medición mediante este método siempre da algo menor que la medición por el método directo (a) a consecuencia del camino recorrido20, es recomendable establecer correlaciones entre ambas mediciones, pues dependen básicamente de la configuración del equipo ultrasónico. Demostrar esto está más allá del alcance de este folleto. 4.2.4 Defectos superficiales. Mediante este método es posible investigar la existencia de capas deterioradas en el material. En general esto ocurre en la capa exterior y hace que el ultrasonido encuentre un camino más rápido a través de partes mas profundas del hormigón con mayor dureza y por tanto mayor velocidad de propagación. Las Fig. 4.9 y 4.10 muestran este fenómeno y su influencia en el hodograma.

Fig. 4.9. Capa superficial de hormigón con baja resistencia. Camino recorrido por el ultrasonido a distancias grandes.

Fig. 4.10. Cambio de pendiente en hodogramas influenciado por la capa de hormigón con baja resistencia. 20 algunos autores hablan de un 1.05% de diferencia en relación

92

4.3 Medición de rajaduras Unas de las aplicaciones del método superficial es para la determinación de profundidades de una rajadura superficial. Asumamos una rajadura perpendicular a la superficie. Se pueden realizar dos mediciones como se muestra en la Fig. 4.11, a distancia iguales entre los transductores.

Fig. 4.11 Método de medición de rajadura superficial. El tiempo t2 va a se mayor a t1, como consecuencia de que la onda debe “rodear” a la rajadura. De esta forma se puede calcular la profundidad mediante la expresión:

12

2

1

2 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ttsh (4.4)

donde s es la distancia entre los transductores. Si la rajadura tuviese una inclinación hacia uno de los lados es posible determinar hacia que lado mediante movimientos consecutivos de cada transductor, de tal forma que la inclinación de la misma estará sobre el que menos afecte la medición de tiempo.

Fig. 4.12. El desplazamiento (a) afecta menos el tiempo de propagación que el (b), debido a la inclinación de la muestra.

93

4.5 Influencia del acero. La velocidad longitudinal en el acero de reforzamiento puede ser superior en una razón de 1.2 a 1.9 a la velocidad del hormigón. Esto hace que las mediciones puedan ser afectadas por este factor. En una estructura siempre será lo más importante caracterizar al hormigón por ser el material a calificar en un proceso constructivo, ya que se asume que el acero presenta un control de la calida previo a su introducción. Existen dos posibilidades de colocación del acero, veamos cada uno de los casos. 4.3.1 Acero perpendicular al haz. La Fig. 4.13 muestra esta situación. Para caracterizar la posible influencia del acero es preciso obtener el siguiente parámetro:

ca

caa CC

CCak

−+

= 2 (4.5)

donde Ca es la velocidad en el acero y Cc en el hormigón. a es el radio de la barra de acero. Si asumimos que L es la distancia recorrida por el ultrasonido, entonces se puede demostrar que si: L ≤ ka ⇒ No hay influencia del acero Si:

L > ka ⇒ 222cac

ca

CCLaC

CCc

−+= (4.6)

94

Fig. 4.13. Refuerzo de acero paralelo al haz con diámetro 2a. 4.3.2 Acero paralelo al haz Si el refuerzo es paralelo al haz, como se muestra en la Fig. 4.14, entonces la velocidad en este material “compuesto” será:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

a

ca

c

CC

LL

CC

11 (4.7)

La es la longitud total del acero con sección φ1 , φ2 ,…. φn.

Fig. 4.14 Influencia del acero perpendicular a la propagación.

95

4.4 Cálculo de la resistencia del hormigón. Efecto de la relación agua-cemento e

influencia de los áridos. En el hormigón el uso del ultrasonido se emplea en dos aspectos: la detección de fallas por oquedades, grietas corrosión etc. y el cálculo de la resistencia a la compresión. Este aspecto se basa en el hecho de que la velocidad longitudinal está en relación con la resistencia a la compresión de este material. Es decir:

)( LC CfR = (4.8) La idea del método es obtener primeramente en el laboratorio esta función a partir de probetas que deberán ser medidas previamente con ultrasonidos y ensayadas destructivamente en prensa a compresión. Lo ideal es realizar este ensayo con un conjunto estadístico que contemple tiempos de endurecimiento del material de 1, 3, 7 y 28 días. El problema surge en la determinación de la función f de calibración que no es única pues depende muy fuertemente de la relación agua/cemento y del tipo de árido21. También del contenido de humedad y de la compactación realizada. Por este motivo se debe tener cuidado en el uso de esta técnica nivel de obra, pues debe respectarse las condiciones del hormigón empleado en la función f de calibración. La función de calibración obtenida empíricamente a través una norma, que deberá establecerse en cada país, región etc., puede ser ajustada mediante técnicas estadísticas. Una de las empleadas es la siguiente:

nLc CAR = (4.9)

o en forma equivalente

)ln()ln()ln( Lc CnAR += (4.10) donde A y n son constantes a determinar. En la práctica se ha obtenido que el valor de n es cercano a 4. La Fig. 4.15 muestra los resultados experimentales del incremento de la velocidad con el tiempo de endurecimiento en 72 muestras de mortero de cemento a 1, 3, 7, 28 días. Con estos resultados y la resistencia a la compresión se obtuvieron los siguientes valores n = 4.16 A =3.69e-13 (para Rc en kgf/cm2 y CL en m/s) Coeficiente de correlación = 0.90

21 el método ultrasónico es muy difícil de aplicar en hormigones de alta resistencia.

96

Fig. 4.15. Relación entre la velocidad longitudinal y el endurecimiento en 72 muestras de mortero de cemento.

Fig. 4.16 Efecto de la compactación en muestras planas de ferrocemento. A con compactación de 30 golpes de una maquina vibradora B sin compactación. La siguiente Fig. 4.17 muestra los diferentes valores que pueden darse en el hormigón entre la resistencia y la velocidad de propagación. Estos resultados nos advierten el hecho de tener cuidado a la hora de implementar una función de calibración para predecir la resistencia in situ del hormigo mediante curvas obtenidas en laboratorios. La correlación existe siempre y cuando se respeten las condiciones en ambos lugares. Una opción a este problema es la extracción de testigos, lo cual no siempre es posible, u obtener mediciones relativas entre

97

diferentes lugares de una construcción. Esto último nos conduce al concepto de coeficiente de homogeneidad.

Fig. 4.17 Relación entre resistencia y velocidad para hormigón con diferentes condiciones de curado relación agua/cemento (W/C) y tiempo de curado. 4.5 Coeficiente de homogeneidad. Este coeficiente nos dice, cuan homogénea es una estructura, respecto a la resistencia a la compresión en diversos puntos de ella. Se define por la expresión:

M

R

RCH

σ= (4.11)

donde Rm es la resistencia media en diversos puntos de una estructura y σR es la desviación estándar. Un valor = 0 de este coeficiente nos habla de un material perfectamente homogéneo y por tanto de alta calidad. A partir de la expresión (4.9) y asumiendo un exponente 4 es fácil demostrar que:

M

C

CCH

σ4= (4.12)

similar a la anterior pero en términos de la velocidad medida en diferentes puntos. En la práctica a partir de mediciones de mortero en una muestra de más de 30 unidades se obtuvo un valor de 15% que sería una condición que podemos catalogar como ideal. Valores alrededor de un 20% son aceptables de buena calidad.

98

4.6 Influencia del agua. La Fig. 4.18 muestra los resultados de un trabajo publicado en la literatura sobre la influencia de la cantidad de agua en una muestra de hormigón.

Fig. 4.18 Influencia de la cantidad de agua en la velocidad de propagación. Estos resultados demuestran una vez más la importancia de conocer las condiciones de un laboratorio y en situ para correlacionar valores de resistencia.

4.7 Efecto de la geometría de la muestra, leyes de dispersión en pulsos. En todos lo que antecede en este capítulo se ha hablado del concepto de velocidad asociado a propiedades elásticas del material. Particularmente los conceptos de velocidad longitudinal, transversal y superficial se han usado asociado a distintas partes de un pulso ultrasónico. Con valores de la velocidad longitudinal es posible obtener la resistencia del material. Queda un aspecto, que fue adelantado en el epígrafe 4.1, sobre ¿que tipo de velocidad se refiere si a la de fase o de grupo?; definiciones analizadas en el capitulo 1. Por tanto el concepto de dispersión vamos a retomarlo analizando ¿que ocurre físicamente en la propagación de pulsos ultrasónicos?, y si esto podemos usarlo a nuestro favor. Recordando dispersión es el fenómeno ondulatorio en el cual la velocidad de fase depende de la frecuencia o la longitud de onda. La expresión (1.18) nos da una conclusión similar para la velocidad de grupo. Por tanto podemos obtener las siguientes conclusiones:

99

• Si hay dispersión, tanto de la velocidad de fase como de grupo son diferentes y

ambas dependen de la frecuencia (o longitud de onda), y esta dependencia no puede ser la función constante.

• Si no hay dispersión, ambas velocidades son iguales e independiente de la frecuencia.

¿Qué ocurre por tanto en los materiales elásticos infinitos con las velocidades longitudinal, transversal y superficial? Que estas velocidades corresponden a una situación no dispersiva y por tanto ambas velocidades de fase y de grupo será las mismas y por tanto ambas dependerán solamente de las constantes elásticas. Pero ¿Qué es un material elástico infinito? Es un material en el cual sus constantes elásticas como el módulo de Young, relación de Poisson y el módulo de cizalladura no dependen de la frecuencia y que lateralmente no hay influencia de las fronteras, lo cual no es mas que una comparación entre las dimensiones laterales y la longitud de onda. ¿Cuáles son las causas de la dispersión? Son dos:

• Geométrica. • Viscoelástica.

La geométrica se refiere a las guías de ondas como son los casos de elementos planos, estudiado en el capitulo 3 y las barras. La viscoelástica ya fue también tratado en el capitulo 3 y se refiere a que las “constantes elásticas” pasan a ser verdaderas funciones de la frecuencia., así que, por ejemplo, tendremos ondas longitudinales dispersivas por este motivo. ¿Cómo afecta a la propagación de un pulso? Tal como habíamos expresado las velocidades de fase y de grupo serán diferentes y dependerán de la frecuencia ambas. Se observará un fenómeno curioso de un pulso donde su centroide se propaga a la velocidad de grupo mientras que su “envoltura” se propagará a la de fase. Veamos esto en un ejemplo para el caso de placas.

100

4.7.1 Dispersión en placas. La Fig. 4.19 muestra a un pulso ultrasónico a cuatro diferentes distancias entre el receptor y el transmisor. La flecha marca un punto a fase constante que muestra un desplazamiento a través del pulso según aumenta la distancia. De esta forma el punto marcado se retraza temporalmente respecto al centroide del mismo. Esto muestra una situación de dispersión en la cual la velocidad de fase es menor que la velocidad de grupo, situación típica del modo antisimétrico de Lamb. Con equipos digitales “ciegos” es difícil seguir este proceso, sin embargo, mediante el uso de una pantalla es posible realizar mediciones de puntos de fase constante tal como se muestra en la Fig. 4.20. La figura mencionada muestra los hodogramas de tres puntos de fase constantes. Los resultados de las velocidades nos indican valores bajos de velocidad, lo cual es típico del modo antisimétrico de Lamb, pero que se debe corroborar con la curva teórica del mismo. La Fig. 4.21 observamos la correspondencia entre los valores medidos de velocidad de fase mediante diferentes transductores.

Fig. 4.19. Fotos de pulsos obtenidos en diferentes posiciones del transductor receptor. 46 KHz, placa de duraluminio de espesor =2.05 mm distancia inicial 14 cm. , distancia adicional 1 cm.

101

Fig. 4.20. Hodogramas hechos en tres puntos de fase constante.

Fig. 4.21 Valores experimentales comparados con curvas teóricas.

102

La forma de medir la velocidad de grupo se describe en la Fig. 4.22.

Fig. 4.22 Esquema de medición de velocidad de grupo. Los pulsos mostrados en diferentes posiciones del transductor sobre una lámina, esconden sin embargo otro proceso físico, y es que no se observa en la parte delantera del pulso, una señal que deberá propagarse a la velocidad longitudinal para sí cumplir el principio de causalidad. En las fotos antes mostradas no es posible observar este fenómeno debido a las condiciones de amplificación del experimento. Sin embargo la Fig. 4.23 muestra dos pulsos en PVC a dos distancias, en donde si se observan dos señales superpuestas. La parte delantera que corresponde a la propagación longitudinal formando la cabeza del mismo. La secuencia muestra como la parte antisimétrica de Lamb se va separando de la parte delantera.

Fig. 4.23. Pulso en PVC, 46 KHz, espesor 3.2 mm. La flecha muestra el comienzo de las ondas de Lamb antisimétricas.

103

¿Por qué el principio de causalidad en la parte delantera del pulso? Esto es consecuencia de que la parte delantera del pulso necesita “enterarse” de la existencia de las fronteras a ambos lados de la lámina, ya que las ondas de Lamb pueden considerarse como un tipo de onda que viaja en la dirección de la lámina, superpuesto a un fenómeno de resonancia transversal. Los experimentos hasta aquí descritos muestran la necesidad de poder observar la forma de la señal antes de sacar conclusiones sobre una medición. Sin embargo con el uso de los equipos digitales “ciegos” esto no es posible y por tanto surge la duda de si el equipo detecta o no la parte delantera del pulso, que viaja a la velocidad longitudinal, o si simplemente detecta la parte de Lamb. Esto depende de varios factores como son la atenuación con la distancia y la capacidad del equipo de amplificar señales de alta frecuencia, presentes en su parte delantera. Por este motivo diferentes fabricantes han propuesto el siguiente esquema empírico dado por la Fig. 4.24.

Fig. 4.24. Problema de dimensión del medio. La curva delimita dos zonas donde la velocidad es igual a CL o es un valor intermedio. φ es la apertura de la muestra (espesor), λlim, respuesta límite del receptor, L longitud de medición Esta figura limita dos regiones: la superior muestra la condición en la cual la relación entre en espesor y la longitud de onda límite (frecuencia máxima de corte del receptor) con la longitud del material, permite asegurar que la medición corresponde a la velocidad longitudinal, mientras que la inferior señala donde hay incertidumbre en la medición. Se puede considerar en la práctica:

104

lim

35f

CsiCC L ≥= φK (4.13)

lim

33 f

CsiCC ≤= φK (4.14)

Si consideramos la no homogeneidad del material se cumplirá

dsiCC L 5≥= φK (4.13) donde d es el tamaño de la partícula máxima de árido. Lo hasta aquí expresado nos enseña que es necesario una experiencia previa con un equipo en particular para poder obtener conclusiones de una medición. Es recomendable un entrenamiento con diferentes muestras patrones para poder conocer que estamos realmente midiendo. Vale destacar que la figura anterior se debe estudiar para cada sistema de medición pues depende de muchos parámetros de un equipo que el fabricante no da. 4.8 Procesamiento de señales ultrasónicas, filtraje digital y Transformadas tiempo

frecuenciales y de ondeleta. El actual desarrollo de técnicas de computación basadas tanto en computadoras personales como en portátil, junto al desarrollo de conversores análogos digitales rápidos, ha permitido la introducción de técnicas de procesamiento de señales en los ensayos no destructivos ultrasónicos, haciendo posible además el empleo de técnica de pulso-eco mas cómoda que la técnica de pulso transmisión. Esto se debe a que se reduce el número de transductores a solo uno además de poder estudiar el hormigón desde un solo lado. Por otro lado las técnicas de formación de imágenes acústicas que fueron desarrolladas para la medicina están actualmente en desarrollo para el hormigón. Estas imágenes se forman mediante el concepto de barrido ultrasónico, de los cuales existen varias alternativas y que por alcance de este texto no se discutirán. Dentro de ellas una variante del llamado B/-Scan conocido por SAFT aparece en la literatura con algunos ejemplos de este tipo. Para la utilización de técnicas de procesamiento de señales se requiere la adquisición de las señales ultrasónicas después de atravesar un medio. Los actuales equipos comerciales permiten esto y para resolver este dilema se emplean osciloscopios digitales acoplados a PC.

105

Existen varios métodos que pueden emplearse y que están vinculados.

• Transformada de Fourier • Filtros digitales • Transformada Tiempo Frecuencia • Transformada de Ondeleta.

La Fig. 4.25 muestra un esquema que puede ser utilizado para este estudio por el método de pulso eco.

Fig. 4.25. Esquema de sistema de procesamiento de señales. El osciloscopio digital se comunica con una PC por el puerto serie RS232 o a través del sistema GPIB auque este último es mucho mas caro. Mediante MATLAB y en particular el “toolbox” de instrumentación es fácil comunicarse con el osciloscopio para obtener las señales requeridas. Se recomienda el Tektronic y Agilent, como osciloscopio aunque hay que considerar la memoria de los mismos que debe ser ampliada de acuerdo a los modelos del mercado. Esto dependerá de las necesidades de experimento, que implican resolución y profundidad de exploración. El uso de cada uno de los métodos digitales actualmente está en proceso de investigación, así vemos que una tendencia es tratar de eliminar ruido tratando de aumentar la relación señal ruido. En un inicio se emplearon técnicas de filtraje digital, aunque después se pasó a técnicas mas novedosa como la transformada de ondeleta que permite observar una señal a diferentes niveles de detalles. Las transformada tiempo frecuenciales no es mas que una forma de distribuir la energía de un pulso en el espacio tiempo frecuencia que implica poder analizar la evolución espectral de la misma en el transcurso del tiempo. Diversas transformada se han desarrollado y fueron agrupadas con lo que se conoce como clase de Cohen. Su uso recién comienza, y se empieza

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a ver trabajos de restauración de monumentos para la búsqueda de fallas en iglesias antiguas hechas con mortero de cal. En la literatura que se anexa a este curso en un CD se exponen diversos trabajos en este sentido, además de trabajos en la formación de imágenes tomográficas en el hormigón. Estos trabajos aun están en desarrollo.

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4.9 Bibliografia del capítulo 4. Schickert M. Ultrasonic NDE of Concrete.Institute for Materials Research and Testing (MFPA Weimar) at the Bauhaus-University Weimar, Germany, 99423. 2002 IEEE Ultrasonics Simposium pp.718-726. Moreno et al. Pulse Propagation in Plate Elements. European Journal of Mechanics A/Solids 22 (2003) 283–294. Moreno et al. Thickness measurements in composite material using Lamb waves. Ultrasonic 35, 581–586. 1998. Moreno E. Propagación de ondas mecánicas en elementos planos de materiales compuestos. Tesis Doctorado. La Habana 1994. Martincek. Theory and methods of dynamic nondestructive testing of plane elements. VEDA, Brastislava.1975. Paginas Web que se adjunta en CD del curso.