curso estadistica

MODULO 2

CURSO DE ESPECIALIZACIÓNCONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD

PRACTICA Nº1

EJERCICIOS DE LA GUÍA DEL MODULO 2

Oruro 23 Mayo 2013

GUÍA Nº 1HERRAMIENTA Nº1: DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS

1

MODULO 2

Se ha elegido el archivo REFRESCOS.MTW. Se realizará el diagrama de tallo y hojasVOLUMEN Ordenado Hojas

753 745 1 74 5751 745 2 74 5 a) Se tiene los tallos 74 y 75752 745 3 74 5 74 555889753 748 4 74 8 75 0000000111122222233333333344456667753 748 5 74 8 (muy pocos tallos)753 749 6 74 9752 750 7 75 0 b) Dividiendo tallo en dos partes753 750 8 75 0 74L

754 750 9 75 074U 555889

754 750 10 75 0 75L 00000001111222222333333333444

752 750 11 75 075U 56667

751 750 12 75 0 (aún falta más tallos)752 750 13 75 0750 751 14 75 1 c) Dividiendo tallo con paso de uno753 751 15 75 1 74 5 555755 751 16 75 1 74 6753 751 17 75 1 74 7756 752 18 75 2 74 8 88751 752 19 75 2 74 9 9750 752 20 75 2 75 0 0000000748 752 21 75 2 75 1 1111750 752 22 75 2 75 2 222222753 752 23 75 2 75 3 333333333756 753 24 75 3 75 4 444752 753 25 75 3 75 5 5754 753 26 75 3 75 6 666753 753 27 75 3 75 7 7757 753 28 75 3 Resumen:750 753 29 75 3 Numero de muestras: 40748 753 30 75 3 Mediana:(20-21 muestra) (752+752)/2=752745 753 31 75 3 Moda:753 (ocurre 9 veces)750 753 32 75 3 Los valores están entre 748 y 757752 754 33 75 4 Valores atípicos:745745 754 34 75 4750 754 35 75 4756 755 36 75 5745 756 37 75 6749 756 38 75 6750 756 39 75 6751 757 40 75 7

Con MiniTab:Resultados para: 8. REFRESCOS.MTW Diseño de tallo y hoja: volumen Tallo y hoja de volumen N = 40Unidad de hoja = 0,10 3 745 000 3 746 3 747 5 748 00 6 749 0 13 750 0000000 17 751 0000(6) 752 000000 17 753 000000000 8 754 000 5 755 0 4 756 000 1 757 0

Interpretación: Se tiene un volume de llenado con valores no dispersos a excepción del valor 745. Como valores característicos se aprecia una mediana de 752 y una moda de 753. Al elegir el número de tallos se vio necesario incrementar su número para que pueda ser apreciado mejor la distribución de los datos.

2

MODULO 2

HERRAMIENTA Nº2: HISTOGRAMASe ha elegido el archivo REFRESCOS.MTW. Se realizará el diagrama de Histograma.

Interpretación: Se tiene un volume de llenado con valores no dispersos. Como valores característicos se aprecia una media de 751.6 y una desviación estándar de 2.853

HERRAMIENTA Nº3: BOX-PLOTSe ha elegido el archivo REFRESCOS.MTW. Se realizará el diagrama de CAJA Y BIGOTES.

3

MODULO 2

Interpretación: Se tiene los valores mínimo y máximo de volumen de llenado 748 y 757 (representado por los bigotes). Un valor de mediana de 752 y valores atípicos de volumen de llenado de 745.Si analizamos la gráfica por maquinas se puede apreciar que la máquina 1 presenta mayor asimetría, esto se demuestra por la ausencia de la línea de la mediana en la caja. La máquina 2 presenta mejor distribución de los datos sin datos atípicos.

HERRAMIENTA Nº4: DIAGRAMA DE PARETOSe ha elegido el caso de devolución de productos por día en una agencia de productos lácteos. Se tiene la siguiente lista de productos que son devueltos por mal sellado de las bolsas.

ItemUnidades de-

vueltas precio totalLeche 946 mL 3 4,5 13,5Lechesaboriza-da 3 6,5 19,5chicolac 15 0,4 6Pilfrut 135 0,4 54Aruba 25 0,4 10Yogurt 500ml 1 6 6Leche de Soya L 2 4,2 8,4Yogumon 80ml 54 0,4 21,6

Realizando el diagrama de Pareto se obtiene:

Diagrama A

4

Unidades devueltas 135 54 25 15 9Porcentaje 56,7 22,7 10,5 6,3 3,8

% acumulado 56,7 79,4 89,9 96,2 100,0

Item OtrochicolacArubaYogumon 80mlPilfrut

250

200

150

100

50

0

100

80

60

40

20

0

Unid

ades

devueltas

Porc

enta

je

Diagrama de Pareto de Item

MODULO 2

total 54,0 21,6 19,5 13,5 10,0 8,4 6,0 6,0Porcentaje 38,8 15,5 14,0 9,7 7,2 6,0 4,3 4,3

% acumulado 38,8 54,4 68,4 78,1 85,3 91,4 95,7 100,0

ItemOt

ro

chico

lac

Lech

e de So

ya L

Arub

a

Lech

e 946

mL

Lech

e sa

boriz

ada

Yogu

mon

80m

l

Pilfru

t

140

120

100

80

60

40

20

0

100

80

60

40

20

0

tota

l

Porc

enta

je

Diagrama de Pareto de Item

Diagrama BInterpretación: Se determina que los productos que deberán ser revisados en su proceso de sellado son el Pilfrut y el yogumon que represental el 79.4% del total de productos que son devueltos por los clientes debido al mal sellado de los mismos. Pero debido al costo que representa también deberá tomarse en cuenta para su revisión los productos leche saborizada y leche 946 mL.HERRAMIENTA Nº5: ESTADÍSTICOS DESCRIPTIVOSSe ha elegido el archivo REFRESCOS.MTW.Resultados para: 8. REFRESCOS.MTW

Estadísticas descriptivas: volumen Estadísticas descriptivas: volumen

Error estándar de laVariable maquina N Media media Desv.Est. CoefVar Mínimo Medianavolumen 1 20 752,55 0,344 1,54 0,20 750,00 753,00 2 20 750,70 0,792 3,54 0,47 745,00 750,00

N paraVariable maquina Máximo Modo moda Asimetríavolumen 1 756,00 753 7 0,28 2 757,00 750 5 0,01

Interpretación: Si nuestra norma fuera que el llenado sea de 750ml. Se puede decir que la máquina 1 presenta un llenado por encima, es decir 752ml. La maquina 2 tiene una presentación casi simétrica (valor de asimetría de 0.01 y coincidencia de valores de la moda y la mediana), pero con mayor variabilidad con respecto a la máquina 1 (CoefVar 0.47)Por tanto se debería bajar solo el tiempo de llenado de la maquina 1 para obtener un valor próximo a 750ml.

5

MODULO 2

6

MODULO 2

PARTE II DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADESGUÍA Nº 6

HERRAMIENTA Nº6: DISTRIBUCIÓN DISCRETA - DISTRIBUCIÓN BINOMIALSe ha elegido la resolución de ejercicios planteados en el libro de Control Estadístico de Calidad de Montgomery tercera edición. Capítulo 2.

2.23 Un proceso de producción opera con una salida disconforme de 2%. Cada hora se toma una muestra de 50 unidades del producto y se cuenta el número de unidades disconformes. Si se encuentran una o más unidades disconformes, el proceso se detiene y el técnico de control de calidad debe buscar la causa de la producción disconforme. Evaluar el desempeño de esta regla de decisión.

Distribución: BinomialNúmero de ensayos: 50Probabilidad de evento: 0.02Área sombreada: cola derechaValor X: 1 P(x≥1)

Interpretación:Se tendrá la probabilidad del 63.58% de encontrar una o más unidades disconformes en cada muestra.

Ejercicios de la guía Nº 6

1. Un proceso de manufactura produce miles de artículos por día. En promedio 1% de los artículos son no conformes a las especificaciones. Cada hora, un inspector de calidad selecciona aleatoriamente 50 artículos. Determinar la probabilidad, que el inspector registre 1 o menos artículos defectuosos.

Distribución: BinomialNúmero de ensayos: 50Probabilidad de evento: 0.01Área sombreada: cola izquierdaValor X: 1 P(x≤1)

Interpretación:La probabilidad de registrar 1 o menos artículos defectuosos durante el muestreo es del 91.06%

7

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

1

0,6358

0

Gráfica de distribuciónBinomial; n=50; p=0,02

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

1

0,9106

3


MODULO 2

2. Usted está interesado en el número de elementos defectuosos y no en la gravedad de los defectos. Supongamos que un proceso genera 2% de elementos defectuosos. A usted le interesa saber cuál es la probabilidad de obtener 3 o más elementos defectuosos en una muestra aleatoria de 25 elementos seleccionados del proceso. El número de elementos defectuosos (X) sigue una distribución binomial con n = 25 y p = 0.02.


Interpretación:La probabilidad de registrar 3 o más artículos defectuosos durante el muestreo es del 1.32%

3. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:3.1. ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas?

Distribución: BinomialNúmero de ensayos: 10Probabilidad de evento: 0.05Área sombreada: centroValor X: 2;2 P(x=2)

Interpretación:La probabilidad de registrar 2 artículos defectuosos durante el muestreo es del 7.46%

3.2. ¿y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? (menor o igual)

Distribución: BinomialNúmero de ensayos: 10Probabilidad de evento: 0.05Área sombreada: cola izquierdaValor X: 2 P(x≤2)

Interpretación:La probabilidad de encontrar 2 menos artículos defectuosos durante el muestreo es del 98.85%

8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

3

0,01324

0


0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

2

0,07463

0 3


0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

2

0,9885

3


MODULO 2

3.3. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? (mayor o igual)


Interpretación:La probabilidad de registrar por lo menos un artículo defectuoso durante el muestreo es del 40.13%

4. Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener una molécula rara particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara. Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18 muestras, exactamente 2 contengan la molécula rara.


Interpretación:La probabilidad de registrar exactamente dos muestras con molécula rara durante el muestreo es del 28.35%

5. El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica pañuelos sabe que el 5% de su producción tiene algún tipo de defecto .Los pañuelos se empaquetan en cajas con 15 elementos. Calcular la probabilidad de que una caja contenga:a) 2 elementos defectuosos.


Interpretación:La probabilidad de registrar exactamente dos elementos defectuosos en una caja es de 13.48%

9

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

1

0,4013

0


0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

babili

dad

2

0,2835

0 6


0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

2

0,1348

0 4


MODULO 2

b) Menos de 3 elementos defectuosos

Distribución: BinomialNúmero de ensayos: 15Probabilidad de evento: 0.05Área sombreada: cola izquierdaValor X: 2 P(x<3)=P(x≤2)

Interpretación:La probabilidad de registrar menos de tres elementos defectuosos en una caja es de 96.38%

c) Entre 3 y 5 elementos defectuosos (ambos incluidos)

Distribución: BinomialNúmero de ensayos: 15Probabilidad de evento: 0.05Área sombreada: centroValor X: 3; 5 P(3≤x≤5)

Interpretación:La probabilidad de registrar entre 3 y 5 elementos defectuosos en una caja es de 3.62%

10

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

2

0,9638

4


0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

3

0,03615

50


MODULO 2

HERRAMIENTA Nº7: DISTRIBUCIÓN DISCRETA - DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICASe ha elegido la resolución de ejercicios planteados en el libro de Control Estadístico de Calidad de Montgomery tercera edición. Capítulo 2.

2.29 Un libro de texto tiene 500 páginas en las que podría ocurrir errores tipográficos. Suponer que hay exactamente 10 de estos errores localizados aleatoriamente en esas páginas. Encontrar la probabilidad de que una selección aleatoria de 50 páginas no contenga errores.Encontrar la probabilidad de que 50 páginas seleccionadas al azar contengan al menos dos errores.

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

2

0,2635

0

Gráfica de distribuciónHipergeométrico; N=500; M=10; n=50

Distribución: Hipergeométrica Distribución: HipergeométricaTamaño de la población: 500 Tamaño de la población: 500Conteo de eventos en la población: 10 Conteo de eventos en la población: 10Tamaño de la muestra: 50 Tamaño de la muestra: 50Área sombreada: cola izquierda Área sombreada: cola derechaValor X: 0 P(x≤0) Valor X: 2 P(x≥2)

Interpretación:La probabilidad que no contenga errores es del 34.52%La probabilidad que contenga al menos dos errores es de 26.35%


1. Suponer que un lote contiene 100 artículos, 5 de los cuales no cumplen con los requerimientos. Si seleccionan 10 artículos al azar sin reemplazo, cual es la probabilidad de encontrar uno o menos artículos en la muestra

11

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

0

0,3452

4


MODULO 2

Distribución: HipergeométricaTamaño de la población: 100Conteo eventos en la población: 5 Tamaño de la muestra: 10Área sombreada: cola izquierdaValor X: 1 P(x≤1)

Interpretación:La probabilidad de encontrar 1 o menos artículos que no cumplen con los requerimientos es de 92.31%

2. En un lote tamaño 30 que contiene 3 unidades no conformes. ¿Cuál es la probabilidad que en una muestra de 5 unidades seleccionadas aleatoriamente contengan exactamente 1 no conforme?

Distribución: HipergeométricaTamaño de la población: 30Conteo eventos en la población: 3Tamaño de la muestra: 5Área sombreada: centroValor X: 1;1 P(x=1)

Interpretación:La probabilidad de encontrar una unidad no conforme es de 36.95%

3. Usted recibe un envío de pedido especial de 500 etiquetas. Supongamos que el 2% de las etiquetas tiene defectos. El conteo de eventos en la población es de 10 (.02 * 500). Usted toma una muestra de 40 etiquetas y desea determinar la probabilidad de que haya 3 o más etiquetas defectuosas en esa muestra.

Distribución: HipergeométricaTamaño de la población: 500Conteo eventos en la población: 10 (500*2%)Tamaño de la muestra: 40Área sombreada: cola derechaValor X: 3 P(x≥3)

Interpretación:La probabilidad de encontrar una unidad no conforme es de 3.84%

4. Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo,

12

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

1

0,9231

3


0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

1

0,3695

0 2


0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babili

dad

3

0,03841

0


MODULO 2

(a) ¿cuál es probabilidad de que todas sean del proveedor local?

Distribución: HipergeométricaTamaño de la población: 300Conteo eventos en la población: 100Tamaño de la muestra: 4Área sombreada: centroValor X: 4;4 P(x=4)

Interpretación:La probabilidad de que las cuatro piezas sean del proveedor local es de 1.19%(b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la

muestra sean del proveedor local?

Distribución: HipergeométricaTamaño de la población: 300Conteo eventos en la población: 100Tamaño de la muestra: 4Área sombreada: cola derechaValor X: 2 P(x≥2)

Interpretación:La probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local es de 40.74%

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?

Distribución: HipergeométricaTamaño de la población: 300Conteo eventos en la población: 100Tamaño de la muestra: 4Área sombreada: cola derechaValor X: 1 P(x≥1)

Interpretación:La probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local es de 80.45%

13

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

4

0,01185

0


0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babilidad

2

0,4074

0


0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

babili

dad

1

0,8045

0


MODULO 2

HERRAMIENTA Nº8: DISTRIBUCIÓN DISCRETA - DISTRIBUCIÓN DE POISSONSe ha elegido la resolución de ejercicios planteados en el libro de Control Estadístico de Calidad de Montgomery tercera edición. Capítulo 2.

2.31 Se hacen botellas de cristal vertiendo vidrio fundido en un molde. Cuando se desgasta el ladrillo refractario del horno, pequeños fragmentos se mezclan con el vidrio fundido y se consideran como defectos. Si puede suponerse que los fragmentos ocurren al azar a razón de 0.00001 por botella, ¿Cuál es la probabilidad de que una botella seleccionada al azar contenga al menos uno de estos defectos?

Distribución: PoissonMedia: 0.00001 (0.00001/bot; 1bot)Área sombreada: cola derechaValor X: 1 P(x≥1)

Interpretación:La probabilidad de encontrar una o más botellas con estos defectos es de 0.001%


1. Se conoce que el número de reclamos por hora en la unidad de reclamos de una institución de telefonía es igual a 4. ¿Cuál es la probabilidad que un día particular

existan 3 llamadas entre las 8:30 y 9:30 de la mañana?

Distribución: PoissonMedia: 4 (4/hora; 9:30-8:30=1 hora)Área sombreada: centroValor X: 3;3 P(x=3)

14

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

babilidad

3

0,1954

0 11

Gráfica de distribuciónPoisson; Media=4

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

X

Pro

babilidad

10,00001000

0

Gráfica de distribuciónPoisson; Media=1e-005

MODULO 2

Interpretación:La probabilidad de recibir 3 llamadas de reclamo es de 19.54%

2. Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes decumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el númeropromedio de estos fallos es ocho,2.1. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?

Distribución: PoissonMedia: 2 (8/100 horas; 25 hora)Área sombreada: centroValor X: 1;1 P(x=1)

Interpretación:La probabilidad de que falle un componente en 25 horas es de 27.07%

2.2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?

Distribución: PoissonMedia: 4 (8/100 horas; 50 hora)Área sombreada: cola izquierdaValor X: 2 P(x≤2)

Interpretación:La probabilidad de que falle no más de dos componente en 50 horas es de 23.81%

2.3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?

15

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

babilidad

1

0,2707

0 7


0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

babilidad

2

0,2381

11


MODULO 2

Distribución: PoissonMedia: 10 (8/100 horas; 125 hora)Área sombreada: cola derechaValor X: 10 P(x≥10)

Interpretación:La probabilidad de que falle por lo menos 10 componente en 125 horas es de 54.21%

3. Suponer que el número defectos por unidad en la conexión de alambres que ocurre en un dispositivo semiconductor sigue una distribución poisson con parámetro lamda =4. Cuál es la probabilidad de que un dispositivo semiconductor seleccionado al azar contenga dos o menos defectos en la conexión de alambres.

Distribución: PoissonMedia: 4 (4/disp. 1 disp)Área sombreada: cola izquierdaValor X: 2 P(x≤2)

Interpretación:La probabilidad de que el dispositivo contenga dos o menos defectos en la conexión de alambres es de 23.81%

4. Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro.(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.

Distribución: PoissonMedia: 2.3 (2.3/mm. 1 mm)Área sombreada: centroValor X: 2;2 P(x=2)

Interpretación:La probabilidad de encontrar dos imperfecciones en un milímetro de alambre es de 26.52%

(b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre.

16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

Pro

babilidad

10

0,5421

2


0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

babili

dad

2

0,2381

11


0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

babilidad

2

0,2652

0 8

Gráfica de distribuciónPoisson; Media=2,3

MODULO 2

Distribución: PoissonMedia: 11.5 (2.3/mm. 5 mm)Área sombreada: centroValor X: 10;10 P(x=10)

Interpretación:La probabilidad de encontrar 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre es de 11.29%

(c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de alambre

Distribución: PoissonMedia: 4.6 (2.3/mm. 2 mm)Área sombreada: cola derechaValor X: 1 P(x≥1)

Interpretación:La probabilidad de encontrar al menos una imperfección en 2 milímetros de alambre es de 98.99%

17

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

Pro

babilidad

10

0,1129

2 23


0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

babilidad

1

0,9899

0


MODULO 2

HERRAMIENTA Nº9: DISTRIBUCIÓN CONTINUA - DISTRIBUCIÓN NORMALSe ha elegido la resolución de ejercicios planteados en el libro de Control Estadístico de Calidad de Montgomery tercera edición. Capítulo 2.

2.35 La resistencia de tensión de una pieza metálica sigue una distribución normal con media de 40lb y desviación estándar de 8 lb. Si se producen 50000 piezas. ¿Cuántas dejarían de cumplir con el límite de la especificación mínima de 34 lb de resistencia de tensión?

Distribución: NormalMedia: 40Desviación estándar: 8Área sombreada: cola derechaValor X: 34 P(x≤34)

22.66%*50000=11330Interpretación a):11330 piezas dejarían de cumplir con el límite de especificación mínima de 34 lb.

¿Cuántas tendrían una resistencia de tensión en exceso de 48 lb?

Distribución: NormalMedia: 40Desviación estándar: 8Área sombreada: cola derechaValor X: 48.0001 P(x>48)

15.87%*50000=7935Interpretación b):7935 piezas tendrían una resistencia de tensión en exceso de 48 lb.

Ejercicios de la guía Nº 91. La salida de voltaje de una fuente de poder está normalmente distribuida con un promedio de 12 V. y una desviación estándar 0.05 V. Si los valores de especificación

18

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

X

Densi

dad

34

0,2266

40

Gráfica de distribuciónNormal; Media=40; Desv.Est.=8

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

X

Densi

dad

48

0,1587

40


MODULO 2

inferior y superior son 11.9 V. y 12.1 V. ¿Cuál es la probabilidad que una fuente de poder seleccionada aleatoriamente sea conforme con la norma?

Distribución: NormalMedia: 12Desviación estándar: 0.05Área sombreada: centroValor X: 11.9 ; 12.1 P(11.9≤x≤12.1)

Interpretación:La probabilidad de seleccionar aleatoriamente una fuente conforme a la norma es de 95.45%

2. La resistencia de tensión del papel empleado para hacer bolsas para víveres es una característica importante de la calidad. Se sabe que la resistencia tiene una distribución normal con media u=40 lb/pul2 y desviación estándar d=2 lb/pulg2, lo cual se denota x-N(40,2). El comprador de las bolsas requiere que éstas tengan una resistencia de por lo menos 35lb/pulg2.Cuál es la probabilidad de obtener el requerimiento del comprador?

Distribución: NormalMedia: 40Desviación estándar: 2Área sombreada: cola derechaValor X: 35 P(x≥35)

Interpretación:La probabilidad que el comprador adquiera bolsas de papel con una resistencia conforme a su requerimiento es de 99.38%.

3. Se sabe que X, la venta diaria de una panadería, sigue una distribución normal con una media de 70 barras y varianza 9; es decir, X-N(70,9). Qué probabilidad de que en un día cualquiera las ventas de pan sean superiores a 75 barras?

Distribución: NormalMedia: 70Desviación estándar: 3Área sombreada: cola derechaValor X: 75.0001 P(x>75)

Interpretación:La probabilidad que las ventas de pan puedan ser superiores a 75 barras es de 4.78%.

19

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

X

Densi

dad

11,9

0,9545

12,112

Gráfica de distribuciónNormal; Media=12; Desv.Est.=0,05

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Densi

dad

35

0,9938

40


0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

Densi

dad

75

0,04779

70


MODULO 2

4. La duración de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con media de 7.000 horas y desviación típica de 600 horas.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el láser falle antes de 5.000 horas?

Distribución: NormalMedia: 7000Desviación estándar: 600Área sombreada: cola izquierdaValor X: 5000 P(x≤5000)

Interpretación:La probabilidad que el láser falle antes de 5000 horas es de 0.043%.

HERRAMIENTA Nº10: DISTRIBUCIÓN CONTINUA - DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL


1. Suponemos que un componente electrónico en un sistema de radar tiene un tiempo de vida según una ley exponencial con un índice de falla λ=10-4/hr . El tiempo medio de falla del componente es 1/λ = 10000 hr. Se desea determinar cuál es la probabilidad que este componente falle antes del valor esperado de vida

Distribución: ExponencialEscala (tiempo medio de falla): 10000 (µ=1/λ)Valor umbral (índice de falla): 0.0001 (λ=10-4/h)Área sombreada: cola izquierdaValor X: 10000 P(x≤10000)

Interpretación:La probabilidad que el componente falle antes de las 10000 horas es de 63.21%.

2. la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre antes que falle el ventilador de un motor diesel se describe mediante la función exponencial con una tasa de fallo igual 34,8 fallos por un millón de horas. Si la garantía es de 8000 horas. ¿Cuál es la

probabilidad de que el ventilador falle antes de su garantía?

Distribución: Exponencial

20

0,0007

0,0006

0,0005

0,0004

0,0003

0,0002

0,0001

0,0000

X

Densi

dad

5000 7000

0,0004291


0,00010

0,00008

0,00006

0,00004

0,00002

0,00000

X

Densi

dad

10000

0,6321

0,0001

Gráfica de distribuciónExponencial; Escala=10000; Valor umbral=0,0001

0,00004

0,00003

0,00002

0,00001

0,00000

X

Densi

dad

0,2430

0,000035 8000

Gráfica de distribuciónExponencial; Escala=28735,6; Valor umbral=3,5e-005

MODULO 2

Escala (tiempo medio de falla): 28735.6 (µ=1/λ)Valor umbral (índice de falla): 0.000035 (λ=34.8/106 hr)Área sombreada: cola izquierdaValor X: 8000 P(x≤8000)

Interpretación:La probabilidad que el ventilador falle antes de las 8000 horas es de 24.30%.

3. El tiempo de reparación de unas máquinas de escribir tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media 22 minutos.Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que diez minutos.

Distribución: ExponencialEscala (tiempo medio de falla): 22 (µ=1/λ)Valor umbral (índice de falla): 0.045455 (λ=34.8/106 hr)Área sombreada: cola izquierdaValor X: 10 P(x≤10)

Interpretación:La probabilidad que el tiempo de reparación sea menor a 10 minutos es de 36.4%.

4. El personal de la compañía Onda S.L. usa una Terminal para realizar sus pedidos internacionales. Si el tiempo que cada comercial gasta en una sesión en la Terminal tiene una distribución exponencial con media 36 minutos, encontrar:a) Probabilidad de que un comercial utilice la Terminal 30 minutos o menos.

Distribución: ExponencialEscala (tiempo medio de uso): 36 (µ=1/λ)Valor umbral (índice de uso): 0.027778 (λ=1/36 min)Área sombreada: cola izquierdaValor X: 30 P(x≤30)

Interpretación:La probabilidad que un comercial utilice la Terminal a lo mucho 30 minutos es del 56.5%.

b) El 90% de las sesiones terminan en menos de R minutos. ¿Cuánto vale R?

21

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

X

Densi

dad

10

0,3640

0,04546


0,030

0,025

0,020

0,015

0,010

0,005

0,000

X

Densi

dad

30

0,5651

0,02778


MODULO 2

Distribución: ExponencialEscala (tiempo medio de uso): 36 (µ=1/λ)Valor umbral (índice de uso): 0.027778 (λ=1/36 min)Área sombreada: cola izquierdaProbabilidad: 0.9 Valor(P <90%)

Interpretación:El 90% de las sesiones terminarán en menos de 82.92 min.

PARTE III INFERENCIA ESTADÍSTICA

HERRAMIENTA Nº2: INTERVALO DE CONFIANZA DE UN PROMEDIO VARIANZA CONOCIDAEjemplo. Estimación de límites de confianza del archivo 8.Refrescol.mtw

Z de una muestra: volumen

La desviación estándar supuesta = 2,83

Error estándar de laVariable N Media Desv.Est. media IC de 95%volumen 40 751,625 2,853 0,447 (750,748; 752,502)

Verificación de los valores:

Obtención de zo:

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Densi

dad

-1,960

0,025

1,960

0,025

0


22

0,030

0,025

0,020

0,015

0,010

0,005

0,000

X

Densi

dad

82,92

0,9

0,02778


maquina volumen1 7531 7511 7521 7531 7531 7531 7521 7531 7541 7541 7521 7511 7521 7501 7531 7551 7531 7561 7511 7502 7482 7502 7532 7562 7522 7542 7532 7572 7502 7482 7452 7502 7522 7452 7502 7562 7452 7492 7502 751

x z1

2

n x z

1

2

n

2.83

x 751.625 0.05 zo 1.96 n 40

x zo

n x zo

n

x zo

n 750.748 x zo

n 752.502

750.748 752.502

MODULO 2

Ea=(752.502-750.748)/2Ea=0.877

Error=Ea/X=0.877/751.625Error en términos relativos: 0.1167%

Interpretación: Existe la seguridad, al 95% de nivel de confianza, de que el verdadero promedio de volumen de refrescos está entre 750.75 cc y 752.5 cc. Con un nivel de error de 0.12%

HERRAMIENTA Nº3: INTERVALO DE CONFIANZA DE UN PROMEDIO VARIANZA DESCONOCIDAEjemplo. Estimación de límites de confianza del archivo 8.Refrescol.mtw

Resultados para: 8. REFRESCOS.MTW T de una muestra: volumen

Error estándar de laVariable N Media Desv.Est. media IC de 95%volumen 40 751,625 2,853 0,451 (750,713; 752,537)

Verificación de los valores:Obtención de to:

23

x z1

2

n x z

1

2

n

2.83

x 751.625 0.05 zo 1.96 n 40

x zo

n x zo

n

x zo

n 750.748 x zo

n 752.502

750.748 752.502

x t1

2

S

n x t

1

2

S

n

S 2.853

x 751.625 0.05 to 2.023 n 40

x toS

n x to

S

n

x toS

n 750.712 x to

S

n 752.538

750.712 752.538

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Densi

dad

-2,023

0,025

2,023

0,025

0

Gráfica de distribuciónT; df=39

MODULO 2

Ea=(752.538-750.712)/2Ea=0.913

Error=Ea/X=0.913/751.625Error en términos relativos: 0.1215%

Interpretación: Existe la seguridad, al 95% de nivel de confianza, de que el verdadero promedio de volumen de refrescos está entre 750.71 cc y 752.54 cc. Con un nivel de error de 0.12%

HERRAMIENTA Nº4: INTERVALO DE CONFIANZA DE UNA PROPORCIÓN

1) Estimar la proporción de clientes satisfechos con el servicio. BD satisfacción Minitab. Se empleará el archivo T_espera.mtw

Resultados para: 9. T_ESPERA.MTW Prueba e IC para una proporción: SATISFACCION

Evento = SATISFECHO

Variable X N Muestra p IC de 95%SATISFACCION 20 40 0,500000 (0,338018; 0,661982)

Interpretación:

Existe la seguridad, al 95% de nivel de confianza, de que el verdadero promedio de satisfacción los clientes de cajeros esta entre el 33.8% y 66.2%.

Verificación numérica:

24

x t1

2

S

n x t

1

2

S

n

S 2.853

x 751.625 0.05 to 2.023 n 40

x toS

n x to

S

n

x toS

n 750.712 x to

S

n 752.538

750.712 752.538

CAJE-RO

T_ESPE-RA SATISFACCION

1 48 SATISFECHO1 53 SATISFECHO1 49 SATISFECHO1 52 SATISFECHO1 51 SATISFECHO1 52 SATISFECHO1 63 SATISFECHO1 60 SATISFECHO1 53 SATISFECHO1 64 SATISFECHO1 59 SATISFECHO1 54 SATISFECHO1 47 SATISFECHO1 49 SATISFECHO1 45 SATISFECHO1 64 SATISFECHO1 79 SATISFECHO1 65 SATISFECHO1 62 SATISFECHO1 60 SATISFECHO2 68 INSATISFECHO2 65 INSATISFECHO2 73 INSATISFECHO2 88 INSATISFECHO2 69 INSATISFECHO2 83 INSATISFECHO2 78 INSATISFECHO2 81 INSATISFECHO2 86 INSATISFECHO2 92 INSATISFECHO2 75 INSATISFECHO2 85 INSATISFECHO2 81 INSATISFECHO2 77 INSATISFECHO2 82 INSATISFECHO2 76 INSATISFECHO2 75 INSATISFECHO2 91 INSATISFECHO2 73 INSATISFECHO2 92 INSATISFECHO

p z1

2

p 1 p( )

n p p z

1

2

p 1 p( )

n

p20

400.5 0.05 zo 1.96 n 40

p zop 1 p( )

n p p zo

p 1 p( )

n

p zop 1 p( )

n 0.345 p zo

p 1 p( )n

0.655

0.345 p 0.655

MODULO 2

2) Pág. 106 y 107 MontgomeryEjemplo 3.5 Una fundición produce piezas fundidas de acero usadas en la industria automotriz. Quiere probarse la hipótesis de que la fracción disconforme o porción caída de este proceso es 10%. En una muestra aleatoria de 250 piezas fundidas, se encontró que 41 eran disconformes. Para probar

Ho: p=0.1H1:p≠0.1

Prueba e IC para una proporción

Prueba de p = 0,1 vs. p no = 0,1

Valor PMuestra X N Muestra p IC de 95% exacto1 41 250 0,164000 (0,120333; 0,215836) 0,002

Interpretación: el valor de P-value nos da 0.002 que es menor a 0.05, por tanto se rechaza la hipótesis nula que considera que la fracción disconforme es del 10%.La fracción disconforme es diferente al 10%.El intervalo de confianza al 95% es de 12.03%≤p≤21.58%

Verificación numérica del intervalo de confianza:

25

p z1

2

p 1 p( )

n p p z

1

2

p 1 p( )

n

p41

2500.164 0.05 zo 1.96 n 250

p zop 1 p( )

n p p zo

p 1 p( )

n

p zop 1 p( )

n 0.118 p zo

p 1 p( )n

0.21

0.118 p 0.21

MODULO 2

HERRAMIENTA Nº5: TEST DE CONFORMIDAD DE UN PROMEDIO CON VARIANZA CONOCIDA

Ejercicios planteados en el libro de Control Estadístico de Calidad de Montgomery tercera edición. Capítulo 3.

Ejemplo 3.1 La resistencia a la presión interna de las botellas de cristal para envasar una bebida carbonatada es una característica importante de la calidad. La embotelladora desea saber si la resistencia a la presión media excede 175 psi. Por la experiencia anterior, se sabe que la desviación estándar de la resistencia a la presión es de 10 psi. El fabricante de las botellas le hace llegar un lote de estas botellas a la embotelladora, la cual está interesada en probar la hipótesis

Ho: µ=175H1: µ>175

Se selecciona una muestra aleatoria de 25 botellas, las cuales se colocan en una máquina de prueba de presión hidrostática. La resistencia muestral promedio al estallamiento es 182 psi.Z de una muestra Prueba de mu = 175 vs. > 175La desviación estándar supuesta = 10 Error estándar de la 95% Límite N Media media inferior Z P25 182,00 2,00 178,71 3,50 0,000

Interpretación: El valor de P-value es de 0<0.005. Por tanto se rechaza la hipótesis nula de µ=175. Se determina que el valor de hipótesis alternativa es aceptado µ>175. Al ser mayor el valor de resistencia a la presión de las botellas, se acepta el lote del fabricante.

Ejemplo 3.3 La resistencia a la tensión media de una fibra sintética es una característica importante de la calidad que es de interés para el fabricante, a quien le gustaría probar la hipótesis de que la resistencia media es 50 psi, utilizando α=0.05. por la experiencia pasada, el fabricante está dispuesto a asumir que la resistencia a la tensión tiene una distribución normal; sin embargo, se desconocen tanto la resistencia la tensión media como la desviación estándar de la resistencia a la tensión. Se selecciona una muestra aleatoria de 16 ejemplares de prueba de la fibra y se determinan sus resistencias de tensión.

Ho: µ=50H1: µ≠50

Nota. La varianza de la población no es conocida, por tanto se deberá emplear un análisis de t.T de una muestra: psi

26

Ejemplar psi1 48,892 52,073 49,294 51,665 52,166 49,727 488 49,969 49,2

10 48,111 47,912 46,9413 51,76

MODULO 2

Prueba de mu = 50 vs. no = 50

Error estándar de laVariable N Media Desv.Est. media IC de 95% T Ppsi 16 49,864 1,661 0,415 (48,979; 50,750) -0,33 0,749

Interpretación: El valor de P-value es de 0.749>0.05, por tanto no se rechaza la hipótesis nula.Es decir se acepta el valor de µ=50.

HERRAMIENTA Nº7: TEST DE COMPARACIÓN DE DOS PROMEDIOSSe ha elegido la resolución de ejercicios planteados en el libro de Control Estadístico de Calidad de Montgomery tercera edición. Capítulo 3.

Ejemplo 3.10 Se están analizando dos catalizadores para determinar cuánto afectan el rendimiento medio de un proceso químico. Específicamente, el catalizador 1 se encuentra en uso actualmente pero el catalizador 2 es aceptable. Puesto que el catalizador 2 es mas barato, debería adoptarse sipre que no cambie el rendimiento del proceso. Se corre una prueba en la planta piloto que dio como resultado los datos que se muestran en la tabla. ¿Existe alguna diferencia entre los rendimientos medios?

Ho: µ1=µ2H1: µ1≠µ2

catalizador 1

catalizador 2

91,5 89,1994,18 90,9592,18 90,4695,39 93,2191,79 97,1989,07 97,0494,72 91,0789,21 92,75

Prueba T e IC de dos muestras: catalizador 1; catalizador 2

T de dos muestras para catalizador 1 vs. catalizador 2

Error estándar de la N Media Desv.Est. mediacatalizador 1 8 92,26 2,39 0,84catalizador 2 8 92,73 2,98 1,1

Diferencia = mu (catalizador 1) - mu (catalizador 2)Estimado de la diferencia: -0,48IC de 95% para la diferencia: (-3,37; 2,42)Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = -0,35 Valor P = 0,729 GL = 14Ambos utilizan Desv.Est. agrupada = 2,7009

27

Ejemplar psi1 48,892 52,073 49,294 51,665 52,166 49,727 488 49,969 49,2

10 48,111 47,912 46,9413 51,76

MODULO 2

Interpretación: El valor de P-value es 0.729>0.05. Por tanto no se rechaza la hipótesis nula Ho: µ1=µ2. Se puede emplear el catalizador 2.

HERRAMIENTA Nº12: TEST DE CONFORMIDAD DE UNA PROPORCIÓNSe ha elegido la resolución de ejercicios planteados en el libro de Control Estadístico de Calidad de Montgomery tercera edición. Capítulo 3.

Ejemplo 3.5 Una fundición produce piezas fundidas de acero usadas en la industria automotriz. Quiere probarse la hipótesis de que la fracción disconforme o porción caída de este proceso es 10%. En una muestra aleatoria de 250 piezas fundidas, se encontró que 41 eran disconformes. Para probar

Ho: p=0.1H1:p≠0.1


Prueba de p = 0,1 vs. p no = 0,1

Valor PMuestra X N Muestra p IC de 95% exacto1 41 250 0,164000 (0,120333; 0,215836) 0,002

Interpretación: el valor de P-value nos da 0.002 que es menor a 0.05, por tanto se rechaza la hipótesis nula que considera que la fracción disconforme es del 10%.La fracción disconforme es diferente al 10%.El intervalo de confianza al 95% es de 12.03%≤p≤21.58%

Ejemplo 3.6 En una muestra aleatoria de 80 rodamientos de cigüeñales para automotores, 15 de los rodamientos tienen un terminado superficial cuya aspereza rebasa lo que permiten las especificaciones. La estimación puntual de la fracción disconforme del proceso es p=15/80 Suponiendo que es apropiada la aproximación normal de la distribución binomial, un intervalo de confianza del 95% para la fracción disconforme del proceso se encuentra en:


Muestra X N Muestra p IC de 95%1 15 80 0,187500 (0,108914; 0,290328)

28

MODULO 2

Nota: Muchas de las guías no aplican a mi área, instalación de equipos como ser bombas, PLC, motores, diseño de alumbrado e iluminación. Pero desarrollé los ejercicios que venían planteados en las guías y algunos ejercicios propuestos de Montgomery como práctica del módulo 2.

29

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