Curso iniciación matemáticas

Elvira Hernandez Garca Curso 0 Matematicas

Algebra y GeometraProf. Elvira Hernandez Garca

Departamento de Matematica Aplicada IETSI Industriales

1

Indice general

1. Introduccion y objetivos . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Prueba de autodiagnostico . . . . . . . . . . . . . 5

3. Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1. Ficha 1: Matrices . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. Ficha 2: Determinantes . . . . . . . . . . . 193.3. Ficha 3: Polinomios . . . . . . . . . . . . . 273.4. Ficha 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales . 36

3.5. Ficha 5: Vectores, Rectas y Planos . . . . 463.6. Ficha 6: Conicas . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Prueba de autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . 61Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Indice alfabetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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1. Introduccion y objetivos

El Algebra estudia estructuras, relaciones y cantidades y es

una rama principal de las Matematicas. La Geometra estudiaabstracciones del espacio como son: puntos, rectas, planos, cur-

vas, superficies, etc.Los temas de este bloque, presentados de forma esquematica

y sintetica, son muy relevantes en el estudio de cualquier ma-teria de primer curso de Escuelas de Ingeniera y Facultades de

Ciencias. Dicho bloque pretende recopilar de forma resumidalos principales conceptos y tecnicas fundamentales del AlgebraLineal Basica con el fin de proporcionar un material de apoyo

para afrontar cualquier otro estudio superior de Algebra. Lostemas relativos a Geometra son muy puntuales y se pueden

complementar con otros bloques.Al final del bloque se presentan varios medios bibliograficos,

considerados de facil manejo para profundizar o ampliar los con-ceptos presentados y otros no senalados por problemas de espa-

cio.1.1. Objetivos

En este bloque de contenidos se pretende por un lado y deforma especfica:

promover la formacion basica en algebra lineal,

reconocer y fijar los objetos algebraicos fundamentales,

proporcionar algoritmos y metodos de resolucion basicos,

recordar ciertos conceptos geometricos,

y, por otro lado, de forma mas general:

3


familiarizar al estudiante con el lenguaje matematico y elaparato logico-formal-deductivo,

utilizar el formalismo matematico,

adquirir fundamentos para enfrentarse al estudio de cualquierasignatura de matematicas.

Version: Junio de 2010.

Elvira Hernandez Garca

[email protected]

4


2. Prueba de autodiagnostico

Haga el test siguiente de Verdadero o Falso para saber el nivel

de conocimientos que tiene en este bloque.

5


(2 1 53 2 4

) 1 6 72 2 43 5 1

=(19 24 2319 31 29

) Verdadero Falso

Sean A y B matrices cuadradas del mismoorden, entonces: (A+B)2 = A2+B2+2AB

Verdadero Falso

Siempre existe el determinante de una ma-triz

Verdadero Falso

x2 + 4x+ 4

x2 4 = x 2Verdadero Falso

El rango de la matriz

2 1 02 3 21 1 28 8 4

es 3 Verdadero FalsoEl sistema x+ y z = 1; x+ 2y z = 0;xyz = 1 es compatible indeterminado

Verdadero Falso

La ecuacion x2 + y2 + 2x = 4 define unacircunferencia

Verdadero Falso

El vector (1,2,1) es perpendicular alplano definido por x+ 2y + z = 1

Verdadero Falso

4x+ 4

4x2 36 +2

2x 6 =2x+ 4

(x 3)(x+ 3) .

Verdadero Falso

x2 y2 = 0 define una hiperbola y y2 = xuna parabola

Verdadero Falso


Si ha tenido muchas dificultades y el numero de respuestascorrectas no le parece aceptable, debe hacer de forma ordenada

todas las fichas que encontrara a continuacion. Si solo ha tenidodificultades en algunos casos, localice las fichas correspondientesy repaselas. Si ha respondido todo correctamente puede pasar a

otro bloque.

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3. Contenidos

3.1. Ficha 1: Matrices

Definicion Una matriz es un objeto de la forma

A =

a11 a12 . . . a1n... ... ... ...

am1 am2 . . . amn

donde m, n N y aij son sus elementos. El orden (o di-mension) de la matriz A es m n. Posee m filas y n co-lumnas. La columna jesima de A es (a1j, . . . , amj), y lafila iesima de A es (ai1, . . . , ain). De forma abreviada sedenota A = (aij).

Si aij R para todo i, j, entonces la matriz A se llamamatriz real.

En este bloque siempre consideraremos matrices reales.

Mmn denota el conjunto de matrices (reales) de orden m n.

Tipos Si n = m entonces A es una matriz cuadrada.

La diagonal principal de A es (a11, . . . , ann). La sumade los elementos de la diagonal se llama traza de A.

Si los elementos debajo (resp. encima) de la diagonalprincipal son todos nulos, entonces A es triangular su-perior (resp. inferior).

Si aij = aji para todo i, j, entonces A es simetrica. Si aij = aji para todo i, j, entonces A es antisimetricao hemisimetrica. (Notese que debe ser aii = 0, i).

8


La matriz identidad de orden n, In, es una matriz cuadra-da de orden n tal que los elementos de la diagonal prin-

cipal son unos y el resto son ceros.

La matriz nula de orden n, 0n, es una matriz cuadradade orden n tal que todos sus elementos son ceros.

A Mmn es escalonada por filas si el primer elementono nulo de cada fila se encuentra a la derecha del primer

elemento no nulo de la fila siguiente y las filas nulas, si lashay, estan al final.

La matriz escalonada no es unica.A es escalonada reducida si es escalonada y, ademas, en ca-

da fila el primer elemento no nulo vale 1 y cumple que todoslos elementos por debajo y por encima de el son ceros.

La matriz escalonada reducida es unica.De igual forma se puede definir la matriz escalonada y es-calonada reducida por columnas.

Submatriz Se dice que B Mrs es una submatriz de A Mmn sien-do r m y s n si B se obtiene mediante la interseccionde r filas de A y s columnas de A.

Operaciones Si A, B,Mmn, la matriz suma C = A+ B es de ordenm n y esta definida por cij = aij + bij i, j.Propiedades: conmutativa, asociativa, elto. neutro y elto.opuesto.

Si R, la matriz producto por numero real D =A es de orden m n y esta definida por dij = aij i, j.Propiedades: distributiva respecto a la suma de matrices,

distributiva respecto a la suma de reales, asociativa respectoa los reales y elemento unidad.

Si A Mmn y B Mnr, la matriz producto P = AB9


es de orden m r y sus elementos estan definidos por

pij =n

k=1

aikbkj.

Propiedades: asociativa, distributiva respecto a la sumade matrices y asociativa respecto al producto de un numero

real. Ademas, en el caso de matrices cuadradas (n = m) secumple la propiedad elemento unidad.

Observese que el producto de matrices NO cumple las propiedadesconmutativa y elemento opuesto.

Traspuesta Se llama matriz traspuesta de A Mmn a la matriz At =(aij) Mnm tal que aij = aji, es decir, la fila iesima deAt es la columna iesima de A i.Propiedades: (A+B)t = At +Bt; (AB)t = BtAt;((A)t)t = A;

una matriz cuadrada A es simetrica si y solo si A = At.

Operaciones elem. Las siguientes operaciones en una matriz A Mmn sellaman operaciones (o transformaciones) elementales por

filas (resp. columnas):

1. Permutar dos filas (resp. columnas),

Fi Fj.2. Multiplicar una fila (resp. columna) por un real no nulo

Fi Fi con 6= 0.3. Reemplazar una fila Fi (resp. columna) por la suma de

ella mas un multiplo de otra Fj, Fi Fi + Fj . Deforma mas general (considerando todas las m filas)

Fi Fi+1F1+ +i1Fi1+i+1Fi+1+ +mFm.

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Estas operaciones elementales permiten de forma mas sen-cilla: resolver sistemas de ecuaciones, calcular el rango y la

matriz inversa (si existe) de una matriz.

Escalonar Escalonar por filas una matriz A Mmn consiste en re-ducir A a una matriz escalonada por filas mediante opera-

ciones elementales por filas.

Rango El rango de una matriz A Mmn es un numero natural,rang(A), y es el numero de filas (resp. columnas) NO nulasde la matriz que se obtiene al escalonar A por filas (resp.

columnas).El rango de una matriz tambien se calcula mediante el de-

terminante (Ver Ficha Determinantes).Las operaciones elementales por filas (resp. columnas) deuna matriz A dejan invariante el rango de A.

M. Inversa Se llama matriz inversa de una matriz cuadradaA Mnn,a la matriz A1 tal que A1A = AA1 = In.La matriz inversa NO siempre existe y si existe esta esunica.

Si A posee matriz inversa se llama regular. En caso con-trario se llama singular.

Propiedades: (AB)1 = B1A1;((A)1)1 = A.A1 existe si y solo si rang(A) = n. Para el calculo de lamatriz inversa ver la Ficha de Determinantes.

11


Ejemplo 1. Sea la matriz de orden 3 2 definida por

A =

1 22 3

1 4

,

entonces su matriz traspuesta At es de orden 2 3 y es:

At =

(1 2 12 3 4

).

12


Ejemplo 2. Una empresa fabrica tres tipos de productos: A,B, y C. Se sabe que ha producido 23 unidades del producto

A, 16 del producto B y 10 del producto C. Por otro lado,para fabricar un producto del tipo A se requieren 7 horas de

trabajo, del tipo B 9 horas de trabajo y del tipo C 11 horasde trabajo. Calcular el coste total para manufacturar dichos

productos sabiendo que el coste de cada unidad de productoes 45 euros y el coste de cada hora de trabajo 60 euros.

Es claro que:el coste del producto A es: 23 45 + 7 60 = 1455,el coste del producto B es 16 45 + 9 60 = 1260 yel coste del producto C es: 10 45 + 11 60 = 1110.El coste total se puede representar por la matriz fila

(1455 1260 1110

).

Si el coste de unidad de producto y de la hora de trabajo serepresenta por la matriz fila

(45 60

)resulta que el coste to-

tal pedido se puede calcular mediante el siguiente producto:(45 60

)( 23 16 107 9 11

)=(

45 23 + 60 7 45 16 + 60 9 45 10 + 60 11 ) =(1455 1260 1110

).

Notese que este ejemplo ayuda a explicar la definicion del pro-ducto de matrices.

13


Ejemplo 3. Sean A =

(1 42 1

), calcular A1 si existe.

Si A1 =(a b

c d

)entonces A1 debe cumplir

(a b

c d

)(1 42 1

)=

(1 00 1

),

o equivalentemente,(a+ 2b 4a+ bc+ 2d 4c+ d

)=

(1 00 1

).

Igualando los elementos que ocupan el mismo lugar resultanlas siguientes igualdades:

a+ 2b = 4c+ d = 1 y 4a+ b = c+ 2d = 0.

Resolviendo se obtiene:

A1 =( 1

747

27

17

).

Se puede comprobar que tambien

AA1 =(

1 42 1

)( 17

47

27

17

)=

(1 00 1

).

14


Ejemplo 4. Si A =

1 2 22 3 4

1 4 2

y B =

2 2 11 3 4

3 1 2

, calcular

2AB, AB y BA.

Por definicion:

2AB =

2

1 2 22 3 4

1 4 2

2 2 11 3 4

3 1 2

=

2 2 4 2 4 14 1 6 3 8 4

2 3 8 1 4 2

=

0 2 33 3 41 7 2

.

Ademas AB =

1 2 22 3 4

1 4 2

2 2 11 3 4

3 1 2

=

2 + 2 + 6 2 + 6 + 2 1 + 8 + 44 + 3 + 12 4 + 9 + 4 2 + 12 + 8

2 + 4 + 6 2 + 12 + 2 1 + 16 + 4

=

10 10 1319 17 22

12 16 21

.

Analogamente se obtiene:

BA =

7 14 1411 27 22

7 17 14

.

Observese que con este ejemplo se comprueba que el productode matrices no es conmutativo.

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Ejemplo 5. Escalonar por filas la matriz A =

1 4 32 1 3

2 2 3

y

calcular su rango.Se trata de realizar operaciones elementales por filas de A paraobtener una matriz escalonada.

Como a11 no es nulo, el primer paso es obtener a21 = 0 (uncero en la segunda fila). Para ello, por ejemplo, la segunda

fila F2 se sustituye por ella menos la tercera F2 F2 F3 y

resulta:

1 4 30 1 0

2 2 3

. En el siguiente paso, hay que obtener

a31 = a32 = 0 (dos ceros en la tercera fila). Para obtener a31 =0, basta con sustituir la tercera fila por ella menos dos veces

la primera, F3 F3 2F1: 1 4 30 1 0

0 6 3

. Para obtener

a32 = 0, a la tercera fila obtenida se suma 6 veces la segunda

fila, F3 F3 + 6F2 y resulta una matriz escalonada 1 4 30 1 0

0 0 3

.

Entonces rang(A) = 3.

Notese que la matriz escalonada NO es unica.

Ejercicios propuestos

Ejercicio 1. Sea A =

(2 1

1 3). Calcular At y A1 si existe.

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Ejercicio 2. Sean A =

2 11 3

3 4

y B =

(1 2 1 1

1 3 5 2

). Cal-

cular AB, BA y A 3I3.

Ejercicio 3. Sean A =

4 1 01 2 1

3 5 1

y B =

(6 2 11 3 5

). Calcu-

lar 3A y BA.

Ejercicio 4. Cuantas submatrices cuadradas tieneA =

2 11 2

1 4

?

Soluciones

Solucion 1. Por definicion: At =

(2 11 3

). Para calcular la

inversa de A, se supone que A1 =(a b

c d

)y se impone la

condicion de matriz inversa, es decir,

(a b

c d

)(2 11 3

)=(

1 0

0 1

). Despues de hacer el producto de matrices e igualar

elemento a elemento en la identidad anterior resulta:

A1 =(a b

c d

)=

(37

17

17

27

).

Solucion 2. La matriz A tiene dimension 32 y la matriz B 24. Por tanto no es posible realizar las operaciones: BA y A3I3.

La matriz AB de dimension 34 es: 2 11 3

3 4

( 1 2 1 1

1 3 5 2

)=

17


2 + 1 4 + 3 2 + 5 2 + 21 + 3 2 + 9 1 + 15 1 + 6

3 + 4 6 + 12 3 + 20 3 + 8

=

3 7 7 44 11 16 7

7 18 23 11

.

Solucion 3. La matriz A es cuadrada de orden 3. El producto

3A =

3 4 3 1 3 03 1 3 2 3 1

3 3 3 5 3 1

=

12 3 03 6 3

9 15 3

y el producto BA,

(6 2 1

1 3 5

) 4 1 01 2 13 5 1

=

(24 + 2 + 3 6 + 4 + 5 2 + 1

4 + 3 + 15 1 + 6 + 25 3 + 5

)=

(29 15 3

22 32 8

).

Solucion 4. En total posee 9 submatrices cuadradas. Seis deorden 1 definidas cada una de ellas por cada elemento aij de A,

es decir, (2), (1), (1), (2), (1), (4) y tres de orden 2:

(2 1

1 2

),(

1 2

1 4

)y

(2 1

1 4

).

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3.2. Ficha 2: Determinantes

Consideremos A = (aij) Mnn una matriz cuadrada.El determinante de una matriz A cuadrada es un numero real yse denota por |A|.

Definicion. n 3 Si A = ( a11 ) entonces |A| = a11.Si A =

(a11 a12a21 a22

)entonces |A| = a11a22 a12a21.

Si A =

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

entonces |A| es:

a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31a13a22a31a23a32a11a21a12a33.Adjunto Se llama adjunto de un elemento aij A y se denota por

Aij al determinante de la matriz de orden n 1 que resultade eliminar en A la fila i y columna j afectado del signo +si i+ j es un numero par o del signo si i+ j es impar.Se llama matriz adjunta de A y se denota por Adj(A) a lamatriz que resulta al sustituir cada elemento aij por Aij.

Definicion El determinante de A desarrollado por la fila iesima es:|A| = ai1Ai1 + + ainAin.

El determinante de A se puede calcular de varias formas.

Propiedades Si A es una matriz cuadrada, se cumple:

Si en A realizamos operaciones elementales por las filaso columnas (ver Ficha Matrices) el determinante de la

matriz que resulta al hacer la nueva operacion verificalas siguientes propiedades:

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Si se realiza la operacion elemental 1,el determinante es el mismo cambiado de signo.

Si se realiza la operacion elemental 2,el determinante queda multiplicado por .

Si se realiza la operacion elemental 3,el determinante es el mismo.

Si A tiene alguna fila Fi tal queFi = 1F1+ +i1Fi1+i+1Fi+1+ +nFn (1)con i R, entonces |A| = 0.Si Fi cumple la expresion anterior (1) para ciertos jse dice que la fila iesima es combinacion del resto defilas.

Las propiedades anteriores son validas si se reemplaza fila

(Fi) por columna (Ci).

|A| = |At|, |In| = 1 y |0n| = 0.Si B Mnn y R, |AB| = |A||B| y |A| = n|A|.

Aplicaciones El determinante es una herramienta util para el calculo dematriz inversa y rango de una matriz.

Matriz inversa La matriz A posee matriz inversa A1 si y solo si |A| 6= 0.Ademas

A1 =1

|A| [Adj(A)]t.

En particular comoAA1 = In, teniendo en cuenta las propiedadesdel determinante resulta

|A1| = 1|A| .

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Menor Se llama menor de A al determinante de una submatrizcuadrada de A. El orden de un menor es el orden de la

submatriz asociada a dicho menor.

Rango El rango de A, rang(A), es el mayor de los ordenes de sus

menores no nulos.Teniendo en cuenta las propiedades del determinante:

Para calcular el rango de un matriz se pueden eliminarla filas (resp. columnas) que son combinacion del resto

de filas (resp. columnas).

El rango de una matriz no vara si se realizan transfor-maciones elementales entre sus filas o columnas.

rang(A) = rang(At).Notese que el rango de una matriz no puede superar al numero

de filas o columnas que posee.

Ejemplo 6. Sea A =

(1 23 4

)y B =

1 2 42 6 3

5 1 3

.

Entonces:|A| = 1 4 2 3 = 4 6 = 2,|B| = 1 6 3+(1) 2 4+2 3 54 6 5(1) 3 12 2 3 =18 8 + 30 120 + 3 12 = 89.

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Ejemplo 7. Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Cal-cular la matriz

(AB)2.Aplicando las propiedades asociativa del producto de matrices

resulta:(A B)2 = (A B)(A B) = AA AB BA + BB =A2 AB BA B2.

Notese que como el producto de matrices NO es conmu-

tativo, en general, AB 6= BA por tanto:(A B)2 6= A2 2AB +B2.

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Ejemplo 8. Sea A =

2 1 11 2 3

4 2 5

. Calcular el determi-

nante de A desarrollado por los adjuntos de la primera fila ysu matriz inversa (si exste).

Por definicion, |A| = 2 2 32 5

1 1 34 5

1 1 24 2

=2(4) 1(17) 1(10) = 8 + 17 10 = 15.Como el determinante de A es no nulo, 3 es el mayor de los

ordenes de sus menores no nulos. Luego rang(A) = 3 y existeA1. Como,

A1 =1

15[Adj(A)]t,

solo falta calcular la adjunta de A.

Adj(A) =

10 6 (5 12) 2 + 8(5 + 2) 10 + 4 (4 4)

3 2 (6 + 1) 4 1

=

4 17 103 6 0

1 7 5

. Entonces

[Adj(A)]t =

4 3 117 6 7

10 0 5

y

A1 =

415

15

115

1715

25

715

23 0

13

.

23


Notese que la matriz inversa de una matriz A si existe esunica.

Ejemplo 9. Calcular el rango de la matriz

1 0 23 4 2

1 2 2

.

El rango es 3 porque el unico menor de orden 3 es NO

nulo ya que 1 0 23 4 2

1 2 2

= 8 + 12 + 0 8 4 = 8.


Ejercicio 5. Calcular las matrices inversas de A =

1 4 32 1 3

2 2 3

y B =

3 3 21 2 2

0 3 4

.

Ejercicio 6. Calcular el determinante de

A =

3 3 2 00 2 2 10 2 6 2

1 2 2 3

.

24


Ejercicio 7. Calcular el rango de

A =

1 0 1 2

1 0 1 20 1 2 11 3 5 1

.

Ejercicio 8. Sea A una matriz triangular superior de orden 3cuyos elementos de la diagonal principal son no nulos. Podemosasegurar que existe A1?

Soluciones

Solucion 5. Como |A| = 3 se tiene

A1 =1

3[Adj(A)]t.

La matriz adjunta de A es 3 0 26 3 6

9 3 7

por tanto

A1 =

1 2 30 1 1

23 2 73

.

Sin embargo B1 no existe porque |B| = 0.Solucion 6. El determinante de A desarrollado por los adjuntosde la segunda fila es

0(1)3 2 02 6 2

2 2 3

+23 2 00 6 2

1 2 3

+2(1)3 3 00 2 2

1 2 3

+13 3 20 2 6

1 2 2

.

25


Luego|A| = 0 + 92 24 10 = 58.

Solucion 7. El rango es 2. Como la primera y segunda fila soniguales, se puede eliminar una de ellas.Ademas, la tercera fila F3 =

13F1 +

13F4, es decir, la F3 es com-

binacion del resto de filas. Por tanto, tambien se puede eliminarF3. Entonces, de acuerdo con las propiedades de los rangos:

rang(A) = rang

1 0 1 2

1 0 1 20 1 2 11 3 5 1

=

rang

1 0 1 20 1 2 1

1 3 5 1

=

rang

(1 0 1 2

1 3 5 1)

= 2. Utilizando menores de orden 2 de

la matriz anterior, se obtiene que rang(A) = 2.

Compruebese que todos los menores posibles de orden 3 de lamatriz inicial son nulos.

Solucion 8. S porque su determinante es no nulo ya que eldeterminante de una matriz triangular se obtiene multiplicando

loa elementos de la diagonal principal.

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3.3. Ficha 3: Polinomios

Definicion Un polinomio de coeficientes reales P (x) de grado n en x

es una expresion de la forma

P (x) = anxn + an1xn1 + + a1x+ a0

siendo ai R i. Los elementos ai se llaman coeficientesde P (x), los terminos aix

i se llaman monomios del polino-mio y x es la variable del polinomio (a cada real a R lecorresponde un valor P (a)).

Si el grado es 2, n = 2, el polinomio se llama cuadratico.

En particular, a R es un polinomio de grado 0.

Sean P (x) y Q(x) dos polinomios en x.

Operaciones El polinomio suma P (x)+Q(x) y se obtiene sumando termi-no a termino los coeficientes de P (x) y Q(x). El producto

de polinomios P (x) Q(x) se obtiene al sumar los productosde cada termino de P (x) por todos los terminos de Q(x).

El cociente de polinomios P (x)Q(x)

se obtiene aplicando el algo-

ritmo de la division.Recuerdese que el metodo de Ruffini permite calcular el co-

ciente y el resto de la division del polinomio P (x) y (x)siendo R.

Notese que P (x) = Q(x) si y solo si son iguales monomio amonomio.

Raz Se dice que a R es una raz real de P (x) si P (a) = 0.Si a es una raz de P (x) entonces P (x) = (xa)Q(x) siendoQ(x) el cociente de P (x) y (x a).El polinomio (x a) se llama factor lineal de P (x).

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Un polinomio de grado n tiene a lo mas n races.Races de un polinomio cuadratico: sea ax2 + bx + c = 0,

entonces sus races se calculan por la formula

bb2 4ac2a

.

Recuerdese que si a, b R entonces (a b)2 = a2 + b2 2ab,(a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab y a2 b2 = (a+ b)(a b).

Observese que un polinomio P (x) puede no tener races reales.Por ejemplo x2 + 1.

Factorizacion Un polinomio P (x) se llama reducible si se puede descom-poner en producto de polinomios de grado menor que P (x).

Factorizar un polinomio P (x) consiste en expresar dicho polino-mio P (x) como producto de polinomios irreducibles.Se puede factorizar un polinomio P (x) a traves de sus races.

(Un metodo de factorizacion es el Metodo de Ruffini).

Pol. Racionales Sean P (x) y Q(x) polinomios en x.Operaciones.Para realizar la suma

P (x)

Q(x)+P (x)Q(x)

se reduce a comun denominador.Por otro lado, se cumple:

P (x)

Q(x) P

(x)Q(x)

=P (x) P (x)Q(x) Q(x)

yP (x)

Q(x):P (x)Q(x)

=P (x) Q(x)Q(x) P (x).

28


Ejemplo 10. Sean

P (x) = 2x 1 y Q(x) = x3 2x2 x 2.

Calcular P (x) Q(x), P (x)+Q(x), P (x)Q(x), 3P (x) y Q(x)P (x) .

Se verifica:P (x) Q(x) = (2x 1)(x3 2x2 x 2) =2x(x3 2x2 x 2) 1(x3 2x2 x 2) =2x4 4x3 2x2 4x x3+ 2x2+ x+ 2 = 2x4 5x3 3x+ 2,

P (x) +Q(x) = 2x 1 + x3 2x2 x 2 =x3 2x2 + (2 1)x+ (1 2) = x3 2x2 + x 3,

P (x)Q(x) = 2x 1 (x3 2x2 x 2) =x3 + 2x2 + 3x+ 1,

3P (x) = 6x2 3.Por ultimo, aplicado el algoritmo de la division resulta

Q(x)

P (x)=

x3 2x2 x 22x 1 =

1

2x2 3

4x 7

8

238

2x 1,

es decir, el cociente es

1

2x2 3

4x 7

8

y el resto es

238.

29


Ejemplo 11. Calcular la suma de polinomios racionales

x 1(x 2)2 +

x+ 3

x 1.

Para sumar fracciones se reduce a comun denominador, es de-cir, se hallan otras fracciones equivalentes a las originales de

forma que tengan todas igual denominador.Para ello, se calcula el mnimo comun multiplo de los denomi-

nadores que en este caso es

(x 2)2(x 1).Entonces se obtiene:

x 1(x 2)2 +

x+ 3

x 1 =(x 1)(x 1)(x 2)2(x 1) +

(x+ 3)(x 2)2(x 2)2(x 1) =

(x 1)2 + (x+ 3)(x 2)2(x 2)2(x 1) .

30


Ejemplo 12. Simplificar

(x 2)2x2 4 y

x3 4x2 + 5x 2(x 1)2 .

En primer lugar se comprueba si los polinomios numerador ydenominador son reducibles. En efecto, se cumple que

x2 4 = (x 2)(x+ 2)luego

(x 2)2x2 4 =

(x 2)2(x 2)(x+ 2) =

x 2x + 2

.

Por otro lado,

x3 4x2 + 5x 2 = (x 1)2(x 2).Entonces

x3 4x2 + 5x 2(x 1)2 =

(x 1)2(x 2)(x 1)2 = x 2.

31


Ejemplo 13. Factorizar el polinomio cubico x3 2x+ 1.

Utilizando el metodo de Ruffini se puede comprobarque 1 es una raz. En efecto,

1

1

1

1

0 2 11

1

1

1

0

1

1

2 1

1

1

1

1

0

1

1

21

1

1

1

1

1

1

0

1

1

21

1

1

10

Por lo tanto x3 2x + 1 = (x 1)(x2 + x 1). Segun elmetodo de factorizacion de polinomios cuadraticos, las racesdel polinomio x2 + x 1 son

112 4 1 (1)2

,

es decir, 1+5

2 y15

2 . Por consiguiente la factorizacion delpolinomio dado es

(x 1)(x 1 +5

2)(x+

1 +5

2).

32


Ejemplo 14. Expresar

x 5x2 5x+ 6

como suma de fracciones.

En primer lugar se debe expresar el denominador comoproducto de factores. Utilizando el metodo de factorizacion de

polinomios cuadraticos se tiene que x25x+6 = (x3)(x2).Por tanto podemos concluir:

x 5x2 5x+ 6 =

A

x 3 +B

x 2siendo A y B numeros reales. Para calcular el valor de A y Bbasta con establecer las igualdades que se obtienen al operar

en ambos terminos. Como

A

x 3+B

x 2 =A(x 2) +B(x 3)

(x 3)(x 2) =Ax+Bx 2A 3B

x2 5x+ 6se tiene que:

x 5x2 5x+ 6 =

Ax+ Bx 2A 3Bx2 5x+ 6 =

(A+ B)x 2A 3Bx2 5x+ 6 .

Luego(A+B)x 2A 3B = x 5,

es decir, A+B = 1 y 2A 3B = 5.Resolviendo se tiene A = 2 y B = 3. Entonces se concluye:

x 5x2 5x+ 6 =

2(x 3) +

3

(x 2).

33


Ejemplo 15. Calcular

x 4x 1

(x+ 1)2

(x 1)3 yx 4x 1 :

(x+ 1)2

(x 1)3 .

Por definicion de producto y division de polinomios resulta:

x 4x 1

(x+ 1)2

(x 1)3 =(x 4)(x+ 1)2(x 1)(x 1)3 =

(x 4)(x+ 1)2(x 1)4

x 4x 1 :

(x+ 1)2

(x 1)3 =(x 4)(x 1)3(x 1)(x+ 1)2 =

(x 4)(x 1)2(x+ 1)2

.


Ejercicio 9. Calcular el grado de 2x3+x4x+4x3x(x32).Ejercicio 10. Factorizar x2 a2, x2+2ax+ a2 y x2 2ax+ a2.Ejercicio 11. Calcular la suma

x

x 2 +1

x 3 +2

(x 2)2 .

Ejercicio 12. Calcular la division

x2 4x+ 5x 2 .

Ejercicio 13. Hallar las races de x4 3x3 3x2 + 11x 6.

34


Soluciones

Solucion 9. En primer lugar hay que simplificar el polinomio

dado y reescribirlo de la forma general de un polinomio. Secumple que

2x3 + x4 x+ 4 x3 x(x3 2) = x3 + 2x.Es decir, el grado es 3.

Solucion 10. Se verifica que

x2 a2 = (x a)(x+ a),x2 + 2ax+ a2 = (x+ a)2

yx2 2ax+ a2 = (x a)2.

Solucion 11. Reduciendo a comun denominador se obtiene:

x

x 2 +1

x 3 +2

(x 2)2 =

x(x 2)(x 3)(x 2)2(x 3) +

(x 2)2(x 2)2(x 3) +

2(x 3)(x 2)2(x 3)

y operando resulta

x3 4x2 + 4x 2(x 2)2(x 3) .

Solucion 12. Como x2 4x+ 5 = (x 2)2+ 1 se concluye quex2 4x+ 5

x 2 =(x 2)2 + 1

x 2 =(x 2)2x 2 +

1

x 2 = x2+1

x 2.Solucion 13. Las races son 3, 1 (doble) y 2. Por tanto

x4 3x3 3x2 + 11x 6 = (x 3)(x 1)2(x+ 2).

35


3.4. Ficha 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales

Definicion Una ecuacion lineal (real) con n incognitas es una expresion

de la forma

a1x1 + a2x2 + + anxn = bsiendo ai R i y b R. Los elementos xi se llamanincognitas y b termino independiente.Un sistema de m ecuaciones lineales (reales) y n incognitas

es un conjunto dem ecuaciones lineales (reales) de la forma:

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1...

... . . ....

......

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm(2)

siendo aij R y bj R.Solucion Si existen numeros reales (1, . . . , n) tales que xi = i

para cada i, verifican las m ecuaciones lineales se dice que

(1, . . . , n) es una solucion del sistema (2).El sistema (2) puede tener solucion (compatible) o puede

no tener solucion (incompatible).Cuando existe solucion solo pueden suceder los casos si-guientes:

Existe una unica solucion. Compatible determinado. Existen infinitas soluciones. Compatible indetermina-do.

El conjunto de todas las soluciones del sistema (2) se llamaconjunto de soluciones del sistema.

S. Equivalentes El sistema (2) es equivalente a otro sistema de n incognitas

si ambos poseen el mismo conjunto solucion.

36


Transf. posibles Denotamos por Ei la ecuacion i-esima del sistema (2), esdecir:

Ei = ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi.Las siguientes transformaciones entre las ecuaciones del sis-

tema (2) proporcionan sistemas equivalentes a (2).

Permutar ecuaciones del sistema, Ei Ej Multiplicar una ecuacion por un numero real no nulo,Ei Ei

Reemplazar una ecuacion por la suma de ella y unacombinacion del resto de ecuaciones,

Ei Ei + 1E1+ + i1Ei1+ i+1Ei+1+ + nEn. Eliminar una ecuacion Ei que se obtiene mediante unacombinacion de las otras ecuaciones. Es decir, siEi = 1E1 + + i1Ei1 + i+1Ei+1 + + nEn,entonces la ecuacion Ei se llama redundante y se puedeeliminar del sistema inicial.

M. Asociadas La matriz de coeficientes A =

a11 a1n... . . . ...

am1 amn

y la ma-

triz de coeficientes ampliada A =

a11 a1n b1... . . . ... ...

am1 amn bm

.

Clasificacion Si rang(A) = rang(A) es compatible (Teorema de Rouche-Frobenius).

Si rang(A) 6= rang(A) es incompatible.Si rang(A) = rang(A) = n es compatible determinado.Si rang(A) = rang(A) < n es compatible indeterminado.

37


Resolucion Resolver un sistema es hallar su conjunto de soluciones.

Existen varios metodos de resolucion del sistema (2).Reduccion. Se eliminan las ecuaciones lineales que se ob-

tienen como suma de otras.Sustitucion. Se despeja una de las incognitas en funcionde las otras y se sustituye su valor en las otras ecuaciones.

Eliminacion gaussiana. Consiste en transformar el sis-tema dado en otro equivalente cuya matriz de coeficientes

ampliada es escalonada.Para obtener dicho sistema se escalona por filas la matriz

de coeficientes ampliada A.Notese que escalarizar por filas la matriz A consiste enobtener un sistema equivalente al inicial teniendo en cuen-ta en que consisten las transformaciones elementales de unamatriz y las transformaciones posibles entre ecuaciones de

un sistema.

El sistema obtenido es de tipo triangular y se resuelve facil-mente mediante sustituciones hacia atras.

Regla de Cramer. Si n = m y rang(A) = n, entoncesla solucion del sistema (es unica) se obtiene mediante la

formula

xi =

a11 a1i1 b1 a1i+1 a1n... . . .

......

... . . ....

an1 ani1 bn a1i+1 ann

|A|

para cada i.

38


Ejemplo 16. Clasificar y resolver sistema{2x 3y = 5x y = 1

por el metodo de sustitucion.

La segunda ecuacion del sistema es equivalente a x = 1 + y.Llevando esta relacion a la primera ecuacion resulta

2(1 + y) 3y = 5, es decir, 2 + (2 3)y = 5. Entonces

y =3

1 = 3.

Teniendo en cuenta la primera ecuacion resulta

x = 1 3 = 2.En conclusion, el sistema dado es un sistema compatible de-terminado y la solucion es

x = 2, y = 3.

39


Ejemplo 17. Resolver el sistema

x z = 2x y +z = 13x y z = 5

por reduccion.

La tercera ecuacion es redundante porque se obtiene

sumando a la segunda dos veces la primera. Es decir, laecuacion E3 se obtiene realizando las operaciones E2 + 2E1.Por tanto el sistema dado es equivalente al sistema de dosecuaciones: {

x z = 2x y +z = 1

En la expresion anterior (sustituyendo) resulta:

x = 2 + z; 2 + z y + z = 1,es decir,

x = 2 + z; y = 1 + 2z.

Entonces, el sistema es compatible e indeterminado y las solu-

ciones dependen de un parametro . El conjunto de solucioneses

x = 2 + , y = 1 + 2, z =

siendo R.

40


Ejemplo 18. Resolver sistema{ax 3y = 5x +y = 1

segun el valor del parametro a.

Utilizaremos el Teorema de Rouche-Frobenious.Para ello se calcula el rango de la matriz de coeficientes

A =

(a 31 1

).

Como |A| = a+3 hay que diferenciar los casos en que a = 3y a 6= 3.Caso a = 3. Se tiene rang(A) = 1 y el rango de la matriz decoeficientes ampliada

A =( 3 3 5

1 1 1

)

es 2 porque

3 51 1 6= 0.

Por lo tanto, el sistema es incompatible si a = 3.Caso a 6= 3. En este caso, el sistema es compatible deter-minado porque rang(A) = rang(A) = 2 y 2 es el numero deincognitas.

41


Ejemplo 19. Resolver el siguiente sistema mediante la reglade Cramer

x y +z = 12x y +z = 0x +2y z = 0

En primer lugar comprobemos que se trata de un sistema com-

patible determinado. En efecto, ya que1 1 12 1 11 2 1

= 1

se cumple que rang(A) = rang(A) = 3 y 3 es el numero deincognitas.

Aplicando la regla de Cramer resulta

x =1

1

1 1 10 1 10 2 1

= 1,

y =1

1

1 1 12 0 1

1 0 1

= 3,

z =1

1

1 1 12 1 01 2 0

= 5.La solucion es x = 1 y = 3 z = 5.

42


Ejemplo 20. Resolver sistema

x +2y +z = 1x z = 22x +4y = 3

por

eliminacion Gaussiana.

Se trata de escalonar la matriz de coeficientes ampliada

A =

1 2 1 11 0 1 2

2 4 0 3

.

En primer lugar la segunda fila F2 se cambia por ellamenos la primera fila, es decir, F2 F2 F1 y resulta 1 2 1 10 2 2 1

2 4 0 3

.

A continuacion, realizamos la trasformacion F3 F3 2F2 y

se obtiene una matriz escalonada

1 2 1 10 2 2 1

0 0 2 1

. Enton-

ces, el sistema dado es equivalente al sistema que tiene comomatriz de coeficientes ampliada la matriz escalonada:

x +2y +z = 12y 2z = 1

2z = 1.

El sistema anterior (de tipo triangular) se resuelve sustituyen-

do hacia atras. Despejando z en la tercera ecuacion resul-ta z = 12. Llevando este valor a la segunda ecuacion setiene y = 0. Sustituyendo los valores anteriores en la primeraecuacion obtenemos x = 32.

43


Ejercicios Propuestos

Ejercicio 14. Clasificar y resolver el sistema de ecuaciones

2x y 2z = 1x +z = 2x y z = 3

.

Ejercicio 15. Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres

incognitas homogeneo siempre es compatible determinado?

Ejercicio 16. Clasificar y resolver el sistemax z = 0x 2y +2z = 0x y +z = 0

Ejercicio 17. Dado un sistema de dos ecuaciones lineales contres incognitas. Decidir que tipo de sistema puede ser y dar

ejemplos.

Ejercicio 18. Clasificar y resolver

x y 2z = 12x 2y +z = 0x +y z = 0

Soluciones

Solucion 14. El rango de la matriz

2 1 21 0 1

1 1 1

es 3 porque

su determinante vale 2 luego el sistema es compatible determi-nado. Sustituyendo x = 2 z (segunda ecuacion) resulta el sis-tema de dos incognitas 2(2 z) y 2z = 1 (primera ecuacion)(2 z) y z = 3 (tercera ecuacion). Resolviendo se obtiene:

x = 0, y = 5, z = 2.

44


Solucion 15. No. Un sistema (homogeneo o no homogeneo)puede tener ecuaciones redundantes y por tanto puede ser inde-

terminado.

Solucion 16. Se trata de un sistema homogeneo luego es com-patible porque siempre posee la solucion nula. Ademas, es de-

terminado porque el rango de la matriz de coeficientes es 3 yaque el determinante es no nulo (vale 3). Como la solucion esunica se concluye que es: x = 0, y = 0, z = 0.

Solucion 17. La matriz de coeficientes A es de dimension 23 yla dimension de la matriz ampliada A es 2 4. Entonces puedeser incompatible (rang(A) = 1 y rang(A) = 2) o compatibleindeterminado (rang(A) = rang(A) = 2) pero nunca puede sercompatible determinado porque rang(A) < 3.

Solucion 18. Sistema compatible determinado porque1 1 22 2 11 1 1

= 10.

Su unica solucion es:

x =110

, y =310

, z =25.

45


3.5. Ficha 5: Vectores, Rectas y Planos

En terminos generales, un vector en el espacio R3 (resp. en el

plano R2) es una terna ordenada (resp. un par de ordenado) denumeros (x1, x2, x3) R3 (resp. (x1, x2) R2).Si queremos precisar mas, es necesario considerar el concepto devector fijo y vector libre.

En esta ficha nos centraremos en vectores en el plano R2.Vector Fijo Un vector fijo

AB en R2 es un segmento orientado del plano

que tiene como origen A y como extremo B. Si A(a1, a2) y

B(b1, b2),AB(b1 a1, b2 a2).

El modulo deAB es la longitud de

AB,

|AB| = +(b1 a1)2 + (b2 a2)2

(tambien a este modulo se le llama distancia del punto Aal punto B).

La direccion deAB es la direccion de la recta que lo con-

tiene y el sentido deAB es el definido por B.

Vector Libre Un vector libre es el conjunto de vectores del plano que

posee el mismo modulo, direccion y sentido. Se trata deuna clase de equivalencia de los vectores fijos con la mismadireccion, modulo y sentido. Un representante de dicha clase

se denota por u.

46


0 1 2 30123

x

y

A(1, 1)

B(2, 3)

Vector FijoAB = (1, 2)

0 1 2 30123

x

y

Algunos elementos del Vector libre u(1, 2)

Operaciones Sean (u1, u2), (v1, v2) R2 vectores del plano y un numeroreal (o escalar) R . Entonces (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 +v1, u2 + v2) y (u1, u2) = (u1, u2).

0 1 2 30123

x

y

Vector suma (1, 3) + (2, 2) = (3, 5)(regla del paralelogramo)

0 1 2 30123

x

y

Vector producto 2(2, 1) = (4, 2)

Analogamente, si (u1, u2, u2), (v1, v2, v3) R3,(u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)y si R (escalar)(u1, u2, u3) = (u1, u2, u3).

Combinacion lin. Se llama combinacion lineal de los vectores {v1, . . . , vm} deR

3 al vector 1v1 + + mvm siendo i R i.Si un vector del conjunto {v1, . . . , vm} se puede obtener co-mo combinacion lineal del resto de vectores de {v1, . . . , vm},entonces {v1, . . . , vm} son linealmente dependientes.

47


Es caso contrario, se dice que {v1, . . . , vm} son linealmenteindependientes.

Recta en R2 Un recta r en el plano R2 esta determinada por un puntoP (x0, y0) y un vector direccion u(u1, u2).Los puntos (x, y) que pertenecen a una recta se pueden ex-

presar de las siguientes formas equivalentes:Vectorial : (x, y) = (x0, y0) + (u1, u2).

Parametricas :

{x = x0 + u1y = y0 + u2

siendo R el parametro.

Continua: xx0u1

= yy0u2

.Cartesiana: ax+ by+ c = 0, que se obtiene operando en la

anterior.Explcita: y = mx + n, que se obtiene despejando y en laanterior. La pendiente de la recta r es m.

Punto-pendiente: y y0 = m(x x0).

2 424

2

4

2x

y

Recta de ecuacion cartesiana 6x 8y + 8 = 0

Observese que se puede obtener la ecuacion cartesiana eli-minando el parametro de la expresion en parametricas. Com-pruebese como se pasan de una expresion a otra cualquiera.

48


Plano en R3 Un plano pi en el espacio R3 esta determinado por un punto

P (x0, y0, z0) y dos vectores directores linealmente indepen-dientes u(u1, u2) y v(v1, v2).Los puntos (x, y, z) que pertenecen al plano pi se pueden

expresar de las siguientes formas equivalentes:Vectorial : (x, y, z) = (x0, y0, z0)+(u1, u2, u3)+(v1, v2, v3).

Parametricas :

x = x0 + u1 + v1y = y0 + u2 + v2z = z0 + u3 + v3

siendo , R los parametros.

Cartesianas : ax + by + cz + d = 0 siendo a, b, c, d R. Elvector n(a, b, c) es perpendicular al plano y se llama vectornormal al plano.

Observese que eliminando o anadiendo parametros se puedepasar de la expresion parametrica a la expresion cartesiana

o viceversa.

Posiciones Sean r y s dos rectas del plano R2 con pendientes mr y ms.

Si mr = ms, son paralelas y si mrms = 1, son perpendi-culares entre s.

Dos planos en el espacio pueden tener las siguientes posi-ciones: coincidentes, paralelos (el sistema de las ecuacionesdadas por cada plano es incompatible) o se cortan en una

recta (el sistema de las ecuaciones dadas por cada plano escompatible indeterminado).

49


Ejemplo 21. Dados los vectores A(2, 4), B(3, 5) y C(4, 1).

Calcular los vectores fijosAB,

AC y

BC y sus modulos.

Por definicion:AB(3 2, 5 4) = (1, 1) y |AB| = +12 + 12 = +2,AC(4 2, 1 4) = (2,3) y |AC| = +22 + (3)2 = +13,BC(4 3, 1 5) = (1,4) y |BC| = +12 + (4)2 = +17.

50


Ejemplo 22. Sean los vectores (1, 4), (2, 3) y (2, 5). Calcularlos vectores: (1, 4) + (2, 3), (2, 3)+ (2, 5) y 3(2, 3). Comprobarsi los tres son linealmente dependientes y si (1, 4) y (2, 3) son

linealmente independientes.

Se cumple:(1, 4) + (2, 3) = (3, 7),

(2, 3) + (2, 5) = (4, 8)

y

3(2, 3) = (6, 9).

Los vectores dados son linealmente dependientes si uno deellos, por ejemplo (2, 5) se puede escribir como combinacion

lineal del resto, es decir, si existen , R tales que(1, 4) + (2, 3) = (2, 5).

En efecto, resolviendo el sistema que resulta de la igualad an-terior, + 2 = 2; 4+ 3 = 5 se obtiene:

=4

5y =

3

5.

Por tanto los tres vectores son linealmente dependientes.

Sin embargo (1, 4) y (2, 3) son linealmente independientes yaque la ecuacion (1, 4) = (2, 3) no tiene solucion.

51


Ejemplo 23. Escribir las expresiones de la recta que pasapor (1, 3) y (2, 2) y obtener la recta perpendicular a ella que

pasa por (1, 1).

Un vector direccion de la recta se obtiene restando dos puntosque pasan por ella, por ejemplo,:(u1, u2) = (1, 3) (2, 2) =(1, 1).Expresion Vectorial:

(x, y) = (1, 3) + (1, 1) R.Parametrica:

x = 1 , y = 3 + , R.Continua:

x 11

=y 31 .

Cartesiana:

y + x 4 = 0.Explcita:

y = 4 x.Punto pendiente:

y 3 = (x 1).Cualquier recta perpendicular a ella tiene como pendiente

m = 11 = 1

ya que1 es la pendiente de r. Entonces la recta perpendiculara r que pasa por el punto (1, 1) tiene como expresion

y 1 = x 1 (en forma punto-pendiente).52


Ejemplo 24. Sea el plano de ecuacion vectorial (x, y, z) =(1, 0, 1)+(1, 2, 3)+(2, 0, 2). Escribir las distintas expresionesy hallar un vector normal al plano.

Parametricas:

x = 1 + + 2, y = 2, z = 1 + 3+ 2 , R.Cartesianas: se obtienen eliminando los parametros de la ex-

presion parametrica. En este caso, es facil comprobar que

x+ y = 1 + 3+ 2,

por tanto la expresion en cartesianas es: x + y = z o equiva-lentemente

x+ y z = 0.

Un vector normal al plano es (1, 1,1) o cualquier multiplosuyo (2, 2,2), (5,5, 5),. . .Notese que un punto del plano queda determinado para un

valor de y un valor de , por ejemplo, dos puntos del planoson: (4, 2, 6) para = 1 y = 1 y (3, 0, 3) para = 0 y = 1.


Ejercicio 19. Es el vector (5, 8) combinacion lineal de los vec-

tores (1, 1) y (1, 2)?

Ejercicio 20. Calcular el modulo del vector (1, 2) + (3, 4).

Ejercicio 21. Calcular la pendiente de la recta x = 2 + 3,y = 1 , R.

53


Ejercicio 22. Calcular un vector normal del plano x = 1+ 2,y = 3, z = 2 siendo , R.Ejercicio 23. Hallar el punto de corte de las rectas x y = 2y 2x y = 4.

Soluciones

Solucion 19. Si porque (5, 8) = 2(1, 1) + 3(1, 2).

Solucion 20. El modulo del vector (1, 2) + (3, 4) = (4, 6) vale+42 + 62 = +

52 = +2

13.

Solucion 21. La pendiente de una recta aparece en su expresion

explcita. En este caso la ecuacion dada es en forma parametrica.Si se despeja el parametro de ambas ecuaciones, = x23 y = y + 1 se obtiene la expresion continua:

x 23

= 1 yy operando se deduce:

y = 13x+

5

3.

Entonces la pendiente de la recta dada es:

m = 13.

Solucion 22. Un vector normal es cualquier multiplo del vector

(0, 0, 1) ya que el plano dado tiene por ecuacion cartesiana

z = 2

como se deduce de la ecuacion en parametricas dada.

Solucion 23. El punto de corte es (2, 0) debido a que x = 2, y =

0 es la solucion del sistema

x y = 2; 2x y = 4.

54


3.6. Ficha 6: Conicas

Las conicas son casos particulares de la siguiente ecuacion

de segundo grado

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0

siendo x e y las variables y a, b, c, d, e, f R. Sus puntoscumplen cierta propiedad geometrica en el plano R2. Estas cur-

vas tambien se conocen con el nombre de secciones conicas porquese obtienen al seccionar un cono con un plano.

Se clasifican en circunferencia, elipse, hiperbola y parabola.Circunferencia Una circunferencia es el conjunto de puntos P (x, y) que

equidistan r > 0 de un punto fijo C(x0, y0) (centro).Ecuacion general: (x x0)2 + (y y0)2 = r2.

y0

x0

C

r

x

y

Circunferencia de centro (x0, y0) y radio r.

Elipse Una elipse es el conjunto de puntos P (x, y) cuya suma de

distancias a dos puntos fijos F y F (focos) es constante|PF |+ |PF | = 2a (a > 0).Ecuacion general con centro (x0, y0) y focos F (c, 0) y F

(c, 0)(c > 0) siendo a > 0 el semieje mayor y b > 0 el semieje

55


menor:(x x0)2

a2+

(y y0)2b2

= 1.

Se verifica a2 = b2 + c2.

F F a a

b

bP

x

y

Elipse con centro (0, 0).

Notese que la circunferencia es un caso particular de la elipse(cuando a = b).

Hiperbola Una hiperbola es el conjunto de puntos P (x, y) cuya dife-

rencia de distancias a dos puntos fijos F y F (focos) esconstante |PF | |PF | = 2a (a > 0).Ecuacion general con centro(x0, y0) y focos F (c, 0) y F

(c, 0)(c > 0):

(x x0)2a2

(y y0)2

b2= 1

siendo a > 0 el semieje mayor y b > 0 el semieje menor. Severifica que c2 = a2 + b2.

La hiperbola posee dos asntotas que son dos rectas simetri-cas que pasan por el centro (x0, y0).

56


33

3

3

x

y

Hiperbola equilatera de ecuacion xy = 1 referida respecto a sus asntotas.

Una hiperbola es equilatera si a = b.

Parabola Una parabola es el conjunto de puntos P (x, y), tales que

equidistan de un punto fijo F (foco) y de una recta (direc-triz). El punto medio entre el foco y la directriz se llama

vertice V = (u, v).La recta que pasa por el foco y el vertice se denomina ejede la parabola. La parabola es simetrica respecto a su eje.

Ecuacion general con vertice V = (u, v) y directriz

y = v p:(x u)2 = 4p(y v).

directriz

eje

verticeb

Parabola

57


Ejemplo 25. Clasificar la siguiente conica

2x2 + 2y2 4x+ 8y 10 = 0.Desarrollando (x x0)2 + (y y0)2 = r2 resulta

x2 + y2 2xx0 2yy0 + x20 + y20 r2 = 0.Por otro lado la ecuacion dada es equivalente a

x2 + y2 2x+ 4y 5 = 0.Igualando ambas expresiones resulta x0 = 1, y0 = 2 y r =10. Luego la conica dada es una circunferencia de centro

(1,2) y radio 10.

Ejemplo 26. Calcular los focos de la elipse

x2

9+y2

4= 1.

El centro de la elipse es (0, 0). Los focos F y F estan en el ejede abscisas por tanto son de la forma F = (c, 0) y F (c, 0).Como a = 3 y b = 2 teniendo en cuenta que a2 = b2 + c2 seobtiene:

c = 5

y los focos son (5, 0) y (5, 0).

58


Ejemplo 27. Calcular el eje y el vertice de la parabola y =2x2 4, o equivalentemente

1

2y = x2 2.

Desarrollando la expresion de la parabola (xu)2 = 4p(yv)siendo (u, v) el vertice y y = v p la directriz resulta:

x2 + u2 2xu+ 4pv = 4py.Igualando, se obtiene

u = 0, 4p =1

2, u2 + 4pv = 2,

es decir, u = 0, v = 4 y p = 18. Por tanto el vertice es (0,4),la directriz es y = 4 18 y el eje de simetra es x = 0.

Ejemplo 28. Hallar la ecuacion de la circunferencia de centro

el punto (1, 0) y que pasa por el punto (4, 4).Como el centro es (1, 0) la circunferencia pedida es de la forma

(x 1)2 + y2 = r2.Para calcular el radio r se impone que pase por el punto (4, 4),

es decir, (4 1)2+42 = r2. Entonces r = 5 y la circunferenciapedida es:

(x 1)2 + y2 = 25.

59


Ejemplo 29. Calcular los focos de la hiperbola

x2

9 y

2

4= 1.

Los focos F y F estan en el eje de ordenadas por tanto sonde la forma F (c, 0) y F (c, 0). Como a = 3 y b = 2 teniendoen cuenta la relacion c2 = a2 + b2 se deduce que

c = 9 + 4 = 13

y los focos son: F (13, 0) y F (13, 0).


Ejercicio 24. Escribir la ecuacion de la circunferencia de centro

(1, 5) y radio 3.Ejercicio 25. Calcular el centro de la circunferencia que pasapor los puntos (0, 0), (1, 2) y (6, 3).

Ejercicio 26. Calcular el eje de simetra y el vertice de la

parabola y2 4y 2 = x.Ejercicio 27. Clasificar la conica (x y)(x+ y) = 1.

Soluciones

Solucion 24. La circunferencia es (x+ 1)2 + (y 5)2 = 9.Solucion 25. El centro es (256 ,

56 ).

Solucion 26. El eje es y = 2 y el vertice (2,2).Solucion 27. Se trata de una hiperbola equilatera.

60


4. Prueba de autoevaluacion

Haga el test siguiente de Verdadero o Falso para saber el nivel

de conocimientos que tiene en este bloque.

61


Si A y B son matrices cuadras regulares,entonces AB posee inversa.

Verdadero Falso

El determinante de

1 2 12 3 22 2 1

es 1. Verdadero FalsoLas races reales del polinomio x3 3x2x+ 3 suman 3.

Verdadero Falso

Un sistema de 3 ecuaciones lineales con2 incognitas tal que ninguna de sus ecua-ciones es redundante, puede ser compati-ble indeterminado.

Verdadero Falso

El sistema de ecuaciones 3x y + z =1; x y = 2; x + y + z = 0 es compa-tible determinado.

Verdadero Falso

La suma de las coordenadas de cualquiervector normal al plano de ecuacionesparametricas: x = 2, y = 1+, z = 22es un numero par.

Verdadero Falso

(3, 3) es un vector direccion de la rectade ecuacion 2x+ 2y = 1.

Verdadero Falso

x 1x2 1 +

1

x+ 1=

2

x+ 1.

Verdadero Falso

La ecuacion x24x+y22y+4 = 0 defineuna circunferencia.

Verdadero Falso

x = 2 es el eje de la parabola y = x2 2x 4.

Verdadero Falso

Bibliografa

Cualquier libro utilizado en el Curso de Acceso a la Univer-

sidad.

Un material mas completo lo forman:

libros de primero y segundo de bachillerato (tanto de CienciasSociales como Ciencias Experimentales).

Asimismo cualquier libro del antiguo Curso de OrientacionUniversitaria o C.O.U.

Recursos on line:WWW (World Wide Web)

Matex. Javier Gonzalez. Universidad de Cantabriahttp://personales.unican.es/gonzaleof/

Descartes. Ministerio de Educacion y Cienciahttp://descartes.cnice.mecd.es/

Otros sitios de apuntes, ejercicios y videos.http://www.matematicasies.com/

63

Indice alfabetico

adjunto de un elemento, 19

conica, 55circunferencia, 55

combinacion lineal, 47

determinante, 19diagonal principal, 8

distancia entre dos puntos, 46

ecuacion lineal, 36

termino independiente, 36incognitas de una, 36

eje, 57eliminacion gaussiana, 38

elipse, 55escalar, 47escalonar, 11

factor lineal, 27foco, 57

hiperbola, 56equilatera, 57

linealmenteindependientes, 48

dependientes, 47

metodo de Ruffini, 27, 28

modulo, 46matriz, 8

adjunta, 19

antisimetrica, 8columna de una, 8

cuadrada, 8dimension de una, 8

elementos de una, 8escalonada, 9

escalonada reducida, 9fila de una, 8hemisimetrica, 8

identidad, 9inversa, 11, 20

menor de una, 21nula, 9

orden de una, 8rango de una, 11, 21real, 8

regular, 11simetrica, 8

singular, 11

64


traspuesta de una, 10triangular, 8

monomios, 27

operacionesmatrices, 9

polinomios, 27vectores, 47

operaciones elementales, 10

parabola, 57

pendiente, 48plano, 49

polinomio, 27coeficientes de un, 27grado del, 27

raz de un, 27racional, 27

reducible, 28

recta, 48

reduccion, 38regla de Cramer, 38

sistema de ecuaciones linealescompatible, 37incompatible, 37

resolver un, 38solucion de, 36

submatriz, 9sustitucion, 38

traza, 8

vertice, 57vector, 46

direccion, 48fijo, 46libre, 46

normal, 49

65

CURSOS O

CURSOS O

Departamento de Matemtica AplicadaETSI Industriales

Daniel Franco Leis

Aplicaciones, funciones y grficas

MATEMTICAS

Indice general

1. Introduccion y objetivos . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Prueba de auto-diagnostico . . . . . . . . . . . . . 4

3. Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1. Ficha 1: Aplicaciones . . . . . . . . . . . . 5

3.2. Ficha 2: Funciones . . . . . . . . . . . . . 123.3. Ficha 3: Funciones algebraicas . . . . . . . 213.4. Ficha 4: Funciones transcendentes . . . . . 32

4. Prueba de autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . 40Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Indice alfabetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2

Daniel Franco Leis Curso 0 Matematicas

1. Introduccion y objetivos

Las aplicaciones y funciones son una herramienta basica que

debe conocer y manejar con soltura.

En este bloque recordaremos la definicion de aplicacion y al-

gunas de las propiedades mas importantes. Tambien estudiare-mos en este bloque las funciones que, como veremos, no son masque un tipo particular de aplicacion.

En el caso de las funciones prestaremos especial atencion alas representaciones graficas. Todo estudiante de carreras tecni-

cas o cientficas debe conocer la representacion grafica de lasfunciones mas importantes y al finalizar este bloque lo lograra.

1.1. Objetivos

Comprender la definicion de aplicacion.

Estudiar algunas propiedades basicas de las aplicaciones.

Comprender la definicion de funcion.

A partir de la grafica deducir el comportamiento de unafuncion.

Identificar la grafica de las funciones mas importantes.

3


2. Prueba de auto-diagnostico

Haga el test siguiente para evaluar el nivel de conocimientosque tiene en este tema.

Una aplicacion siempre asignaimagenes distintas a elementosdistintos.

Verdadero Falso

Una aplicacion inyectiva siempre essobreyectiva.

Verdadero Falso

Dadas dos aplicaciones siempre sepueden componer.

Verdadero Falso

La funcion dada por f(x) = x2 es in-yectiva.

Verdadero Falso

El dominio y el rango de la funcionvalor absoluto coinciden.

Verdadero Falso

A partir de la grafica de una funcionse puede deducir su dominio y rango

Verdadero Falso

La grafica de una funcion puede con-tener una circunferencia completa

Verdadero Falso

La funcion dada por f(x) = lnx tienedominio (0,)

Verdadero Falso

La funcion 2x es sobreyectiva Verdadero Falso

Si ha tenido muchas dificultades y el numero de respuestascorrectas no le parece aceptable, debe hacer de forma ordenadatodas las fichas que encontrara a continuacion.

Si solamente ha tenido dificultades en algunos casos, localicelas fichas correspondientes y repaselas. Si ha respondido todocorrectamente puede pasar a otro bloque.

4


3. Contenidos

3.1. Ficha 1: Aplicaciones

Una aplicacion p entre dos conjuntos no vacos A y B se

denota porp : A B

y significa que p asigna a todo elemento de A (conjunto de

partida o inicial) uno de B (conjunto de llegada o final) ysolo uno.

Para informar de que la aplicacion p asigna B al elementoa A escribiremos:

p(a) = op : A B

a ,

y diremos que es la imagen de a por p.

La informacion del primer parrafo de esta pagina es impor-

tante. Si algun elemento de A no tiene imagen (no esta definida)o algun elemento de A tiene mas de una imagen (no esta bien

definida) no tenemos una aplicacion.

Ejemplo 1. Consideremos las asignaciones descritas por:

a

b

c

a

b

c

En el primer caso no tenemos una aplicacion porque no esta de-finida la imagen del elemento c, en el segundo caso no tenemosaplicacion porque no esta bien definida la imagen de b.

5


Una aplicacion es inyectiva si no existen dos elementos dis-tintos del conjunto de partida con la misma imagen. Una apli-

cacion es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto dellegada son imagenes de alguno del de partida. Una aplicacioninyectiva y sobreyectiva se dice biyectiva.

Ejemplo 2. Dadas las aplicaciones siguientes:

a

b

c

a

b

c

La primera aplicacion no es ni inyectiva (a y c tienen la mismaimagen) ni sobreyectiva ( no es imagen de ningun elemento).La segunda es sobreyectiva (todos los elementos del conjunto

final reciben una flecha) pero no inyectiva (hay dos flechas queapuntan al mismo elemento).

Ejemplo 3. Dadas las aplicaciones siguientes

a

b

a

b

c

La primera aplicacion es inyectiva (las imagenes de elementos

distintos son distintas) pero no sobreyectiva. La segunda esbiyectiva por ser inyectiva y sobreyectiva.

6


Sean p : A B y M A, el conjunto imagen de M porp se denota por p(M) y se trata del conjunto formado por los

elementos de B que son imagenes de algun elemento de M porp, esto es,

p(M) = {b B : b = p(a) para algun a M}.De forma similar el conjunto imagen recproca de un sub-

conjunto N de B es

p1(N) = {a A : p(a) N}.

Ejemplo 4. Dada p : N N que a cada natural le asignasu doble y dados P = {2, 4, 6, 8, . . .} e I = {1, 3, 5, 7, . . .}calculemos p(P ), p(I), p1(P ) y p1(I).

Como el doble de un numero par es un multiplo de 4 y el doblede un numero impar es un multiplo de 4 menos 2, se tiene

p(P ) = {4, 8, 12, 16, . . .}, p(I) = {2, 6, 10, 14, . . .}.Por otro lado, para calcular p1(P ) debemos encontrar los ele-mentos de N cuya imagen por p es un numero par, es decir,cuya imagen pertenece a P . Como la imagen por p de cualquier

numero natural es un numero par tenemos que

p1(P ) = N.

Finalmentep1(I) =

porque un numero impar no es el doble de ningun numero.

7


Si tenemos dos aplicaciones p : A B y q : B C es posibledefinir una aplicacion entre A y C de la forma siguiente:

q p : A Ca q(p(a)).

A

B

C

p q

q p

La aplicacion q p se llama composicion de p con q o sim-plemente p compuesta con q.

Una aplicacion p : A B se puede componer solamente conaplicaciones que partan de conjuntos que contengan al conjuntoimagen p(A).

Ejemplo 5. La composicion de p : N Z, dada por p(n) =1 n, con q : Z Q, dada por q(z) = z

z2+1, es una aplicacion

entre los conjuntos N y Q dada por

q p(n) = q(p(n)) = q(1 n) = 1 n(1 n)2 + 1 =

1 nn2 2n+ 2.

8


Se llama aplicacion identidad a la que lleva a un elementoen s mismo, se suele denotar por id o por I. Por tanto,

id : A Aviene dada por id(a) = a para todo a A.

Mediante p : A B asignamos a cada elemento de A unode B. Sera posible encontrar una aplicacion que deshaga esaasignacion?, esto es, que compuesta con p resulte la identidad.

La respuesta es afirmativa solamente si p es inyectiva, sien-do ademas unica. Se llama aplicacion inversa, se denota porp1 : p(A) B A y verifica

p1 p = p p1 = id.

Ejemplo 6. Calculemos la aplicacion inversa de p : N Ndada por p(n) = 3n.

Claramente p es inyectiva porque

n 6= m p(n) = 3n 6= 3m = p(m)y tenemos garantizada la existencia de aplicacion inversa.Se debe cumplir p1 p(n) = n, esto es, p1(3n) = n. Ahorahaciendo m = 3n tenemos que p1(m) = m3 . Por tanto, laaplicacion inversa vendra dada por la expresion p1(m) = m

3.

Veamos que p p1 = id. Efectivamente, sustituyendo resulta

p p1(n) = p(n3) = 3

n

3= n.

Luego la aplicacion p1 : {3, 6, 9, . . .} N dada por la expre-sion p1(m) = m3 es la inversa de p.

9



Ejercicio 1. Esta bien definida p : N Q tal que p(n) = npara todo n N?

Ver respuesta correcta.

Ejercicio 2. Si las aplicaciones p : N Q y q : Z N vienendadas por p(n) = n

2

n+1 y q = n2 n N, senale que aplicaciones

se pueden definir de entre las siguientes: p q, q p, q (p q),p (p q)


Ejercicio 3. Es posible calcular la aplicacion inversa de la apli-cacion p : R R que a cada x le asigna x2?


Ejercicio 4. Calcule la aplicacion inversa de la aplicacion

p : (, 0] Rque a cada x le asigna x2.


10


Soluciones ejercicios propuestos

Solucion Ejercicio 1: No. Recuerde que por ejemplo2 no

es un numero racional. Por lo tanto, no lleva elementos deN en elementos de Q.

Solucion Ejercicio 2: Sabemos que:

Una aplicacion f : A B se puede componer so-lamente con aplicaciones que partan de conjuntosque contengan al conjunto imagen de f .

Por tanto, solamente tiene sentido p q.Solucion Ejercicio 3: No es posible calcular la aplicacioninversa porque la aplicacion no es inyectiva. Por ejemplo,

1 y 1 tienen la misma imagen.Solucion Ejercicio 4: En este caso la aplicacion s es inyec-

tiva porque el cuadrado de dos numeros negativos distintosno puede coincidir.

La inversa debe cumplir

p1 p = id p1(x2) = xy sabemos que x es un numero negativo.

Haciendo y = x2 tenemos que x = y. Por tanto, laaplicacion

p1 : [0,) (, 0]dada por p1(x) = x para todo numero positivo es lainversa de p.

11


3.2. Ficha 2: Funciones

Las funciones es el nombre que se les da a las aplicaciones en

calculo. Por lo tanto, una funcion no es mas que una aplicacion.Aqu nos centraremos en las funciones reales de variable real.

Una funcion real de variable real es una aplicacion f de unsubconjunto1 no vaco de R en R

f : R R.

Ejemplo 7.

f : R Rx 2

Esta funcion asigna la misma imagen a todos los elementos de

R. Se dice que es una funcion constante.

En muchas ocasiones, en lugar de la notacion empleada enlos ejemplos anteriores encontraremos la siguiente:

f : R R dada por f(x) = 2.

Ejemplo 8.

f : R Rx x2

Esta funcion asigna a cada elemento de R el valor de su cuadra-

do. As, f(1) = 1, f(2) = 4.

1Recuerde que un conjunto es subconjunto de si mismo, por tanto puede ser enocasiones R.

12


Ejemplo 9.

f : R Rx |x|

Esta funcion asigna a cada elemento su valor absoluto, es decir,f(x) = |x| = x signo(x).

Ejemplo 10.

f : [0,) Rx +

x

Esta funcion no esta definida para los numeros negativos.

Daremos nombres a tres conjuntos importantes que se definen

a partir de una funcion f : D R R:El conjunto D se llama dominioy se denota por dom(f).

El conjunto f(D) se llama rango.

El conjunto {(x, f(x)) : x D} se llama grafica de lafuncion.2

Observese que los conjunto dominio y rango son el conjunto

origen y el conjunto imagen ya vistos.

Ejemplo 11. La funcion f : [0, 1] R R dada por f(x) =2x tiene por dominio el intervalo [0, 1], por rango el intervalo[0, 2] y por grafica {(x, 2x) : x [0, 1]}.

2Fjese que el dominio y el rango son subconjuntos de R mientras que la grafica es unsubconjunto de R2 = R R.

13


Es muy habitual que una funcion venga dada por una ex-presion f(x) sin hacer mencion a su dominio. En este caso, se

sobreentiende que el dominio de la funcion es el mayor subcon-junto de R en el que la expresion f(x) tiene sentido.

Ejemplo 12. La funcion definida por f(x) =pi

x 1 tiene pordominio R{1} porque para 1 se anula el denominador de laexpresion

pi

x 1 y por tanto no tiene sentido f en 1.

Ejemplo 13. La funcion definida por f(x) = lnx tiene pordominio (0,) porque para valores no positivos el logaritmoneperiano no esta definido.

La grafica de una funcion f : D R R es extremadamenteutil para entender su comportamiento. Su grafica {(x, f(x)) :x D} es un subconjunto de R2 que puede ser dibujado conayuda de unos ejes coordenados. Conocida la grafica podremos

saber rapidamente si un elemento esta en el dominio, si un ele-mento esta en el rango, si la funcion es inyectiva o si la funcion

es sobreyectiva.

14


(x, f(x))

x

f(x)

x

y

Para conocer la imagen de un punto x debemos trazar unarecta perpendicular al eje X pasando por x. Tal recta cortara a

la grafica de la funcion como mucho en un punto (si la cortaseen mas de un punto la funcion no estara bien definida: x ten-

dra mas de una imagen). Si no corta a la grafica significa queese elemento x no esta en el dominio. Si por el contrario la cor-

ta, trazando una recta paralela al eje X en el punto de corteobtendremos el valor de la imagen, f(x), en el eje Y .

Para saber si un elemento y R esta en el rango de la funciontrazamos una recta paralela al eje X desde el punto y en el ejeY . Si esa recta corta a la grafica, el elemento y pertenece al

rango.

A la vista de la grafica de una funcion podemos deducir si es

inyectiva o sobreyectiva:

Si todas las rectas paralelas al eje X cortan a la grafica de

la funcion, esta es sobreyectiva.

Si ninguna recta paralela al eje X corta a la grafica en mas

de una ocasion, esta es inyectiva.

15


Ejemplo 14. Consideremos las dos graficas siguientes:

x

y

x

y

La primera grafica corresponde a una funcion inyectiva y so-breyectiva (cualquier recta horizontal corta a la grafica en una

ocasion y solamente en una). La segunda a una funcion que noes ni inyectiva (hay rectas horizontales que cortan a la grafica

en mas de una ocasion) ni sobreyectiva (hay rectas horizontalesque no cortan a la grafica en ninguna ocasion).

16



Ejercicio 5. Coinciden el dominio de f(x) = |x| y su rango?Ver respuesta correcta.

Ejercicio 6. Dadas dos funciones con expresiones f(x) y g(x)

podemos definir una nueva funcion f g que recibe el nombre defuncion producto y que viene dada por la expresion f(x) g(x).El dominio de la funcion producto f g es la interseccion de losdominios de f y g? Calcule el dominio de h(x) = 1

x1 ln x.Ver respuesta correcta.

Ejercicio 7. La grafica siguiente corresponde a una funcion?

x

y


Ejercicio 8. La grafica siguiente corresponde a una funcion?

Es su dominio todo R? Es su rango un intervalo acotado?

17


x

y


18



Solucion Ejercicio 5: No. El dominio de la funcion valor

absoluto es todo R ya que la expresion |x| tiene sentido paratodo x. Sin embargo, la funcion solamente toma valores no

negativos y por tanto su rango es [0,). A continuacionaparece la grafica de la funcion valor absoluto.

f(x) = |x|

x

y

Solucion Ejercicio 6: S. El dominio de la funcion producto

f g viene dado por los valores de x para los que la expresionf(x) g(x) tenga sentido. Por tanto deben tener sentidotanto f(x) como g(x). As el dominio esta formado porlos elementos que estan en los dominios de f y g a la vez

dom(f g) = dom(f) dom(f).Para calcular el dominio de

h(x) =1

x pi ln x

calculamos el dominio de cada uno de los factores que de-finen h. La expresion 1

xpi da lugar a una funcion con do-minio R {pi} y la expresion lnx da lugar a una funcion

19


con dominio (0,). El dominio buscado es[R {pi}] (0,) = (0,) {pi}.

Solucion Ejercicio 7: No. Un elemento x no puede tener

dos imagenes distintas. Trazando, por ejemplo, una rectaparalela al eje Y por el punto (0, 0) vemos que interseca a

la grafica en dos ocasiones.

Solucion Ejercicio 8: S, corresponde a una funcion porque

cada x tiene a lo sumo una imagen f(x).

Su dominio es R {0} porque salvo que la situemos enx = 0 toda recta vertical corta a la grafica.

Su rango es R{0} porque salvo que la situemos en y = 0toda recta horizontal corta a la grafica. Por lo tanto, el

rango de la funcion no es un intervalo acotado.

20


3.3. Ficha 3: Funciones algebraicas

En esta ficha y la siguiente recordaremos las graficas de algu-

nas funciones muy importantes y a partir de ellas deduciremosvarias de las propiedades que las hacen singulares3.

Antes de empezar estableceremos que una funcion es estric-tamente creciente en un intervalo si al situarnos sobre su grafi-

ca en ese intervalo y avanzar de izquierda a derecha la graficasube. De forma similar diremos que una funcion es estricta-mente decreciente en un intervalo si al situarnos sobre su

grafica en dicho intervalo y avanzar de izquierda a derecha lagrafica baja.

Por ejemplo, la funcion valor absoluto que aparecio represen-tada anteriormente es estrictamente creciente en (0,) y estric-tamente decreciente en (, 0).Funciones potenciales

Las funciones f(x) = xn con n N son habitualmente lla-madas funciones potenciales. Tienen dominio todo R y el

rango depende de si n es par o impar, siendo[0,) para n par.R para n impar.

Mire con detenimiento las graficas de las funciones poten-ciales f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = x3 y f(x) = x4 que aparecen

a continuacion.3Si nunca ha visto las graficas de estas funciones este recordatorio no es suficiente y

necesitara utilizar la bibliografa complementaria para adecuar su formacion

21


f(x) = x

f(x) = x2

f(x) = x3

f(x) = x4

224

2

2

4

x

y

Las graficas muestran que para n par existe una simetracon respecto al eje 0Y y para n impar existe una simetra con

respecto al origen (0, 0).

Ahora no debe sorprendernos que una funcion simetrica con

respecto al eje 0Y , esto es, que verifica f(x) = f(x) para todox, se llame funcion par y una funcion que es simetrica con

respecto al origen, esto es que verifica f(x) = f(x), se llamefuncion impar.

Las funciones potenciales son estrictamente crecientes en todoR para n impar. Sin embargo, para n par son estrictamente

decrecientes en (, 0) y estrictamente crecientes en (0,).22


Funciones polinomicas

Una combinacion lineal de funciones potenciales da lugar a

una funcion polinomica. En otras palabras,

f(x) = anxn + + a1x+ a0

donde an 6= 0 y ai R para i {0, 1, . . . , n} es una funcionpolinomica de grado n. Por ejemplo, f(x) = 3x3 + x + 1 of(x) = x6 + x4 + 1 son funciones polinomicas de grado 3 y 6respectivamente.

El dominio de estas funciones es todo R y el rango depende

al igual que en las funciones potenciales del caracter par o impardel grado n.

Como un polinomio de grado n puede tener a lo sumo nraces reales, la grafica de una funcion polinomica de grado ncorta al eje 0X como mucho en n ocasiones y tendra tambien

como mucho n1 cumbres (maximos relativos) o valles (mnimosrelativos).

A continuacion dibujaremos las graficas de tres funcionespolinomicas de grados 1, 2 y 3 respectivamente. Fjese con de-tenimiento en el comportamiento de cada una de ellas, cuenteel numero de cortes con los ejes, cuente el numero de cumbres yvalles, verifique el dominio y el rango.

23


f(x) = x+ 3

f(x) = x2

2+ x+ 4

f(x) = x3 + 4x

224

4

8

12

4

8

12

x

y

Algunas funciones polinomicas tienen nombre propio debidoa su importancia:

Las funciones dadas por f(x) = m con m R se llamanfunciones constantes y su grafica es una lnea recta hori-zontal.

Las funciones dadas por f(x) = mx con m R, m 6= 0 sellaman funciones lineales y su grafica es una lnea rectade pendiente m que pasa por el origen.

Las funciones dadas por f(x) = mx + n con m,n R sellaman funciones afines y su grafica es una lnea recta de

pendiente m que pasa por el punto (0, n).

24


Las funciones dadas por f(x) = ax2 + bx + c con a 6=0 se llaman funciones cuadraticas y su grafica es una

parabola4.

Funciones racionales

Son las que se construyen dividiendo dos funciones polinomi-

cas, por ejemplo, f(x) =x+ 1

x3 + 3.

Su dominio es R menos los posibles puntos en los que se anuleel denominador5.

Su comportamiento vara enormemente tal y como muestran

las graficas que aparecen a continuacion.Observamos que justo antes y justo despues de los puntos

que no pertenecen al dominio la funcion crece o decrece estric-tamente tomando valores tan grandes (o tan pequenos) como se

quiera.

f(x) = 1x

f(x) = 1x

f(x) = xx2+1

x

y

f(x) = 12x2

f(x) = 21+x2

x

y

4Con forma de si a > 0 y con forma de si a < 05Si el denominador y el numerador tiene races comunes antes debemos simplificar, por

ejemplo, f(x) = x21

(x1)(x+2) =x+1x+2 .

25


f(x) = 1(x1)(x+1)(x+2)

x

y

Funciones radicales

Las funciones f(x) = nx con n N son habitualmente lla-

madas funciones radicales.

Tienen dominio [0,) si n es par y todo R si n es impar. Elrango tambien depende de la paridad de n: si n es par entonces

es [0,), si n es impar entonces el rango es todo R.Son funciones estrictamente crecientes en su dominio de defini-

cion con independencia de si n es par o impar. Pero tal y como seobserva en la figura crecen mucho mas despacio que las funcionespotenciales.

26


f(x) =x

f(x) = 3x

224

2

2

x

y

Las funciones radicales y las potenciales son inversas unasde otras pero debemos tener cuidado. Si n es impar no hay

problema porque la funcion f(x) = xn es inyectiva y su inversaes f1(y) = n

y.

Las dificultades aparecen para n par ya que f(x) = xn no es

inyectiva y en consecuencia no tiene inversa en todo su dominio.Sin embargo, si restringimos el dominio a (, 0) o (0,) s soninyectivas y sus inversas son respectivamente f1(y) = ny yf1(y) = n

y.

27



Ejercicio 9. Las funciones son siempre estrictamente crecientes

o estrictamente decrecientes?Ver respuesta correcta.

Ejercicio 10. Senale en que intervalos es estrictamente cre-ciente y en que intervalos es estrictamente decreciente la funcion

cuya grafica aparece a continuacion.

1 2 31234

2

4

2

x

y


Ejercicio 11. La grafica siguiente corresponde a una funcionracional de expresion f(x) = 1(xa)(x+b) con a y b numeros realespositivos. Puede determinar los valores de a y b?

28


1 2 31234

2

2

4

x

y


Ejercicio 12. Todas las funciones radicales f(x) = nx son

estrictamente crecientes en su dominio de definicion?.


Ejercicio 13. Clasifique y calcule el dominio de la funcion dadapor f(x) = x

3

x2+1.


29



Solucion Ejercicio 9: No. Por ejemplo, una funcion con-

stante no es ni estrictamente creciente ni estrictamente de-creciente. Su grafica no sube ni baja al avanzar de izquierda

a derecha. A continuacion aparece la grafica de la funcionconstante f(x) = 2.

224

2

2

x

y

Solucion Ejercicio 10: Si avanzamos de izquierda a derecha

sobre la grafica vemos que hasta x = 1 la grafica baja,entre x = 1 y x = 0 la grafica sube, entre x = 0 y x = 1la grafica baja y a partir de x = 1 la grafica sube. Portanto, la funcion es estrictamente creciente en los intervalos

(1, 0) y (1,+), mientas que la funcion es estrictamentedecreciente en los intervalos (,1) y (0, 1).Solucion Ejercicio 11: Se trata de una funcion racional.

Sabemos que las races del denominador determinan el do-minio. En la grafica observamos que la funcion no esta defini-

da para x = 1 y x = 2. Por lo tanto los valores buscadosson a = 2 y b = 1, siendo la funcion f(x) = 1(x2)(x+1).

Solucion Ejercicio 12: S. Las funciones radicales son estric-

tamente crecientes en su dominio de definicion.

30


Solucion Ejercicio 13: Se trata de una funcion racional porquesu expresion viene dada por el cociente de dos polinomios.

El dominio es todo R porque el polinomio x2 + 1 no tieneraces reales.

31


3.4. Ficha 4: Funciones transcendentes

Funciones exponenciales

La expresion f(x) = ax con a > 0 define una funcion expo-nencial de base a.

El dominio de una funcion exponencial es todo R con in-dependencia del valor de la base a > 0. Si a = 1 la funcionexponencial es la funcion constante 1 y en este caso su rango es

{1}. Si a > 1 la funcion es creciente y si a < 1 la funcion esdecreciente, en ambos casos el rango es (0,).

Cuando se habla de funcion exponencial sin especificar la base

se sobrentiende que nos referimos a la funcion exponencial debase e, esto es, f(x) = ex o como aparece en algunos textos

f(x) = exp(x).

f(x) = 2xf(x) = (1

2)x = 2x

f(x) = 5xf(x) = (1

5)x = 5x

224

2

x

y

Como vemos, las funciones exponenciales son estrictamentecrecientes si su base es mayor que 1 y estrictamente decrecientes

si su base es menor que 1.

32


Funciones logartmicas

Una funcion exponencial con base a 6= 1 es inyectiva. Porlo tanto tendra inversa. La funcion inversa recibe el nombre defuncion logartmica o funcion logaritmo de base a, f(x) =

loga x. Si la base es el numero e la funcion se llama funcionlogaritmo neperiano y se denota por f(x) = lnx.6

Dado que son inversas de funciones exponenciales (que co-mo vimos tienen dominio todo R y rango (0,)), su dominiosera (0,) y su rango todo R.

224

2

2

4

x

y

f(x) = log 1e

(x)

f(x) = loge(x) = lnx

Son funciones sobreyectivas e inyectivas que en 1 toman el

valor 0. Si la base es mayor que 1 la funcion logartmica es es-trictamente creciente, si por el contrario la base pertenece al in-

tervalo (0, 1) la funcion logartmica es estrictamente decreciente.

Funciones seno, coseno y tangente

6Al igual que ocurra con la funcion exponencial si no nos referimos a la base estamossobrentendiendo que nos referimos a la funcion logaritmo neperiano.

33


Las funciones trigonometricas son las que a cada x le asignanel valor de alguna razon trigonometrica de x. Las mas impor-

tantes son senx, cosx y tg x.La grafica de la funcion seno, f(x) = senx, aparece a con-

tinuacion y vemos que el dominio de la funcion es todo R y el

rango es [1, 1].

2 4246

2

2

x

y

sen(x)

No es una funcion sobreyectiva ni inyectiva. Se verifica que

sen 0 = 0, senx = sen(x) y sen(x+2pi) = senx. Por lo tantoes una funcion impar y periodica.

La grafica de la funcion coseno, f(x) = cosx, aparece acontinuacion y vemos que el dominio de la funcion es todo R y

el rango es [1, 1].

2 4246

2

2

x

y

cos(x)

34


No es una funcion sobreyectiva ni inyectiva. Se verifica quecos 0 = 1, cosx = cos(x) y cos(x + 2pi) = cosx. Por lo tantoes una funcion par y periodica.

La grafica de la funcion tangente, tg x = senxcos x , aparece acontinuacion y vemos que no pertenecen al dominio de la funcion

los numeros de la forma npi y que su rango es R. Se verifica quetg 0 = 0, tg x = tg(x) y tg(x + pi) = tg x. Por lo tanto esuna funcion par y periodica.

x

y

35



Ejercicio 14. Coinciden el dominio de f(x) =

ln x, x > 00, x = 0

ln |x|, x < 0y su rango? Podra dibujarla?


Ejercicio 15. El dominio y el rango de f(x) = sen 2x y g(x) =2 senx coinciden?


Ejercicio 16. La grafica siguiente corresponde a una funcion ex-

ponencial, logartmica o polinomica. Puede determinar a cual?

224

2

2

4

x

y


Ejercicio 17. Una de las siguientes graficas se corresponde conla de sec x = 1

cosx, determnela.

36


x

y

x

y


37



Solucion Ejercicio 14: S. El dominio de la funcion es todo

R puesto que esta bien definida para todo numero real. Porotro lado el rango tambien es R porque la funcion logarit-

mo neperiano verifica ln((0,)) = R. La grafica aparece acontinuacion.

b

224

2

2

4

x

y

Solucion Ejercicio 15: El dominio coincide pero el rangono. Ambas estan definidas en todo R y por lo tanto su

dominio es el mismo. Sabemos que senx toma valores en elintervalo [1, 1], por tanto 2 senx tomara valores en [2, 2].Por otro lado, si llamamos w = 2x, tenemos que sen 2x =

senw que como ya hemos dicho toma valores en [1, 1]. Acontinuacion aparecen las graficas de ambas funciones

38


2 4246

2

2

x

y

2 sen(x)sen(2x)

Solucion Ejercicio 16: La grafica tiene que ser de una fun-cion logartmica porque las otras dos tienen dominio todo

R y como vemos los numeros negativos no tienen imagenpara la funcion representada en la grafica. Ademas, como

es estrictamente decreciente, podemos afirmar que la basees un numero del intervalo (0, 1).

Solucion Ejercicio 17: En la primera la imagen de 0 es 0.Pero sec 0 = 1cos 0 = 1. Por tanto, es la segunda.

39


4. Prueba de autoevaluacion

Dada una aplicacion sobreyectiva:dos elementos distintos siempretienen imagenes distintas.

Verdadero Falso

Una aplicacion sobreyectiva siemprees inyectiva.

Verdadero Falso

Dadas dos aplicaciones siempre sepueden componer.

Verdadero Falso

La funcion dada por f(x) = x4 es in

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