UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

PROFESOR: ING. JORGE A. MONTAÑO PISFIL

CURSO: MECÁNICA DE SÓLIDOS II

CAPÍTULO 4:

TORSIÓNRotura por TORSIÓN de eje de hidrogrúa

CURSO DE MECÁNICA DE SÓLIDOS II

CAPÍTULO 4:

TORSIÓN4.1 DEFORMACIONES POR TORSIÓN DE UNA FLECHACIRCULAR.-Cuando una flecha con sección transversal circular estásometida a un par de torsión, la sección transversalpermanece plana mientras que las líneas radiales giran.Esto ocasiona una deformación unitaria cortante dentrodel material que varía linealmente a lo largo de cualquierlínea radial, de cero en el eje de la flecha a un máximo ensu borde exterior.

* Un par de torsión es un momento que tiende a hacer girar aun miembro con respecto a su eje longitudinal. Su efecto es deinterés primordial en el diseño de ejes o flechas de impulsiónusadas en vehículos y en maquinaria.

CAPÍTULO 4:

TORSIÓN4.2 LA FÓRMULA DE LA TORSIÓN.-Si una flecha está sometida a un par de torsión externo,entonces , por equilibrio, debe desarrollarse un par de torsióninterno en la flecha.

Para un material homogéneo elástico lineal, debido a la ley deHooke ( ) , el esfuerzo cortante a lo largo de cualquierlínea radial de la flecha también varía linealmente, de cero ensu eje a un máximo en su borde exterior. Este esfuerzocortante máximo no debe exceder el límite proporcional.

Se cumple que:

Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzo cortantecomo una función de la posición radial ρ del elemento.

max

c

G

JcT

max

JT

El esfuerzo cortante máximo se calcula mediante laecuación siguiente:

Donde: máx = esfuerzo cortante máximo en la flecha, el cual ocurre en la

superficie exterior.T = par de torsión interno resultante que actúa en la seccióntransversal. Este valor se determina por el método de secciones yla ecuación de equilibrio de momentos con respecto al ejelongitudinal de la flecha.J = momento polar de inercia del área de la sección transversalc = radio exterior de la flechaUsando las dos ecuaciones dadas, el esfuerzo cortante en ladistancia intermedia ρ se puede determinar con la sgte ecuación:

(Fórmula de la torsión)

(Fórmula de la torsión)

Nota.- Las fórmulas de la torsión se usan solamente cuando laflecha es circular y el material es homogéneo y se comporta demanera elástico-lineal.

FLECHA SÓLIDASi la flecha tiene una sección transversal circular sólida, el momento polarde inercia J está dado por:

4

2cJ

J es una propiedad geométrica del área circular y es siempre positiva.

FLECHA TUBULARSi una flecha tiene una sección transversal tubular, con un radio interior ci

y un radio exterior c0, entonces, podremos determinar su momento polar

de inercia restando J para una flecha de radio ci del calculado para una

flecha de radio c0. El resultado es:

)(2

440 iccJ

ESFUERZO TORSIONAL MÁXIMO ABSOLUTOEn cualquier sección transversal dada de la flecha, el esfuerzocortante máximo se presenta en la superficie exterior. Sin embargo,si la flecha está sometida a una serie de pares externos o el radio(momento polar de inercia) varía, el esfuerzo torsional máximo enla flecha podría entonces ser diferente de una sección a la siguiente.Si se va ha determinar el esfuerzo torsional máximo absoluto,resulta importante encontrar la posición en que la razón T c/J esmáxima. Para esto puede ser de ayuda mostrar la variación del parinterno T en cada sección a lo largo del eje de la flecha por mediode un diagrama de momento torsionante. Específicamente, estediagrama es una gráfica del par interno T versus su posición x a lolargo de la longitud de la flecha. De acuerdo con una convención designos T será positivo si de acuerdo con la regla de la manoderecha, el pulgar está dirigido hacia afuera de la flecha cuando losdedos se curvan en la dirección del giro causado por el par. Una vezque se ha determinado el par interno en toda la flecha, puedeidentificarse entonces la razón máxima T c/J .

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISISLa fórmula de la torsión puede aplicarse usando el siguiendoprocedimiento:

- Seccione la flecha perpendicularmente a su eje en el punto en que elesfuerzo cortante debe determinarse y use el diagrama de cuerpo librenecesario y las ecuaciones de equilibrio para obtener el par interno en lasección (la carga interna).

- Calcule el momento polar de inercia de la sección transversal.

- Para calcular el esfuerzo cortante, especifique la distancia radial ρmedida desde el centro de la sección transversal al punto en que se va acalcular el esfuerzo cortante. Aplique luego la fórmula de la torsión = Т ρ/J, o si el esfuerzo cortante máximo se va a determinar usando

máx = T c/J.

El esfuerzo cortante actúa sobre la sección transversal siempre en formaperpendicular a ρ. La fuerza que genera debe contribuir a formar el par detorsión respecto al eje de la flecha que tiene el mismo sentido que el parresultante interno T que actúa sobre la sección.

4.3 TRANSMISIÓN DE POTENCIALas flechas y los tubos que tienen secciones transversales circularesse usan a menudo para transmitir la potencia desarrollada por unamáquina. Cuando se usan para este fin, quedan sometidos a paresde torsión que dependen de la potencia generada por la máquina yde la velocidad angular de la flecha. El trabajo transmitido por unaflecha en rotación es igual al par de torsión aplicado por el ángulode rotación. Por tanto, si durante un instante de tiempo dt un parde torsión aplicado T ocasiona que la flecha gire un ángulo dӨ,entonces la potencia instantánea es:

dtdTP

Dado que la velocidad angular es ω = dӨ/dt, la potencia se puedeexpresar como:

TP

Para la maquinaria, a menudo se reporta la frecuencia, f, derotación de la flecha. Ésta es una medida del número derevoluciones o ciclos de la flecha por segundo y se expresa en hertz(1 Hz = 1 ciclo/s). Puesto que 1 ciclo = 2 π rad, entoncesω = 2π fy la ecuación anterior para la potencia resulta

TfP 2DISEÑO DE UNA FLECHACuando la potencia transmitida por una flecha y su frecuencia seconocen, el par de torsión desarrollado en la flecha puede determinarsecon la ecuación T = P/2πf. Conociendo T y el esfuerzo cortante

permisible para el material, perm , podemos determinar el tamaño de lasección transversal de la flecha usando la fórmula de la torsión, siempreque el comportamiento del material sea elástico-lineal. Específicamente,el parámetro geométrico o de diseño J/c es:

perm

TcJ

4.4 ÁNGULO DE TORSIÓNEl ángulo de torsión se determina relacionando el par aplicado alesfuerzo cortante usando la fórmula de la torsión, = Т ρ/J, yrelacionando la rotación relativa a la deformación unitaria cortanteusando . Finalmente estas ecuaciones se combinanusando la ley de Hooke, , lo que da la ecuación siguiente:

/dxd G

L

x

X

GJdxT

0)(

)(Donde:Ф = ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro (semide en rad).T (x) = par de torsión interno en una posición arbitraria x, hallado a partirdel método de las secciones y de la ecuación del equilibrio de momentosaplicada con respecto al eje de la flecha.J (x) = momento polar de inercia de la flecha expresado en función de laposición x.G = módulo de rigidez del material.

PAR DE TORSIÓN Y ÁREA DE LA SECCIÓNTRANSVERSAL CONSTANTES.En la práctica de la ingeniería el material es homogéneo por lotanto G es constante. Además, el área transversal de la flecha y elpar de torsión aplicado son constantes a lo largo de la longitud dela flecha ; luego, el par de torsión interno T(x) = T, el momentopolar de inercia J(x) = J, y al integrar la ecuación de Ф se obtiene:

GJLT

Ф

T

T

Si la flecha está sometida a varios pares de torsión diferentes, o siel área de la sección transversal o el módulo de rigidez cambianabruptamente de una región de la flecha a la siguiente, la ecuaciónanterior puede aplicarse a cada segmento de la flecha en que estascantidades sean todas constantes. El ángulo de torsión de unextremo de la flecha con respecto al otro se halla entonces por lasuma vectorial de los ángulos de torsión de cada segmento. En estecaso,

GJLT

CONVENCIÓN DE SIGNOS.

Utilizando la regla de la mano derecha, tenemos que el par y el ángulo detorsión son positivos si el pulgar se aleja de la sección de la flechacuando los dedos restantes se curvan para indicar el sentido del par. Elpar y el ángulo de torsión son negativos si el pulgar se acerca a lasección de la flecha cuando los dedos restantes se curvan para indicar elsentido del par.

4.5 MIEMBROS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS CARGADOS CON PARES DE TORSIÓNUna flecha sometida a torsión puede clasificarse comoestáticamente indeterminada si la ecuación de equilibrio pormomentos, aplicada con respecto al eje de la flecha, no es suficientepara determinar los pares de torsión desconocidos que actúan sobrela flecha. En la figura se muestra un ejemplo de esta situación

A

C

B

T

TA TB

TA

TA

TB

TB

T

Al hacer el DCL de la flecha , los pares de torsión reactivos en lossoportes A y B son desconocidos. Si aplicamos sumatoria demomentos, respecto al eje de la flecha, igual a cero, tenemos que:

0 BA TTTPuesto que aquí sólo se tiene una ecuación de equilibrio y existendos incógnitas, este problema es estáticamente indeterminado.La condición necesaria de compatibilidad, o condición cinemática,requiere que el ángulo de torsión de un extremo de la flecha conrespecto al otro extremo sea igual a cero, ya que los soportes enlos extremos son fijos. Por tanto,

0/ BA

Para escribir la ecuación anterior en términos de los pares detorsión desconocidos, supondremos que el material se comporta demodo elástico-lineal, de modo que la relación carga-desplazamiento quede expresada por Ф = TL/JG. Considerandoque el par interno en el segmento AC es +TA y que en el segmentoCB el par interno es –TB (ver la fig. anterior), la ecuación decompatibilidad anterior puede escribirse como:

0GJLT

GJLT BCBACA

Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para las reacciones yconsiderando que L = LAC + LBC, además que JG es constante, obtenemos

LLTTy

LLTT AC

BBC

A

Observe que cada par reactivo crece o decrece linealmente con laubicación de LAC o LBC al par de torsión aplicado.