curso-niv-tema1-4-anti-transformada-de-fourier

Especialización en Telecomunicaciones Digitales Cohorte Nº 4

Curso de Nivelación

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”VICE-RECTORADO DE PUERTO ORDAZ

Departamento de Ingeniería Electrónica

Especialización en Telecomunicaciones Digitales

CURSO DE NIVELACIÓN

TEMA IANTI-TRANSFORMADA DE FOURIER

Estrategia Metodológica: Tema de Autodesarrollo Procedimiento: Cada participante es responsable del dominio de este tema

SUMARIODefinición de Transformada inversa de Fourier.Métodos para hallar la transformada inversa:Uso de fracciones parcialesUso de tablas de transformadas directamente.

Anti-Transformada de Fourier 1



4.1.- Definición de la transformada inversa de Fourier.

La transformada inversa o anti-transformada de Fourier, que representa el pase del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo, se puede efectuar por medio de la fórmula de anti-transformación que se ha encontrado anteriormente, es decir:

f ( t )= 12 p

∫-¥

¥

F (w )e jwt dw(Ecuación 1)

siempre y cuando la integración sea fácil y posible.

4.2.- Métodos para hallar la Transformada Inversa de Fourier.

La transformada inversa de Fourier, permite llevar una función desde el dominio de la frecuencia al dominio del tiempo, caso contrario al de la transformada directa. Dadas las propiedades que tiene la transformada de Fourier, ocurre que en algunos casos es mas fácil realizar operaciones entre funciones en el dominio de la frecuencia, en vez del dominio del tiempo, ejemplo de ello lo constituye la convolución en el tiempo, que equivale al producto ordinario en el dominio de la frecuencia. De acuerdo a lo anterior es necesario conocer métodos de anti-transformación que faciliten el procedimiento de pasar de un dominio a otro, en este caso del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo.La transformada inversa se puede hallar aplicando la definición, sin embrago, esto rara vez se hace. Mas bien se recurre al uso de las propiedades de la transformada para hallar la transformada inversa, esto permite que en algunos casos podemos aplicar las tablas de transformadas directamente. Esto, por supuesto, requiere la habilidad de ver que propiedad o propiedades se deben aplicar y en que orden. En otros casos se recurre a otra técnica que utiliza fracciones parciales para descomponer una expresión racional en suma de varias fracciones, para luego, aplicar tabla de transformada a cada fracción de manera individual.A continuación se analizarán cada uno de estos métodos.

4.2.a) Transformada de funciones racionales.

Las transformadas de Fourier se presentan en gran parte como funciones racionales, es decir, la razón de dos polinomios.En el caso de anti-transformar funciones racionales es conveniente recurrir al desarrollo de fracciones parciales simples con los métodos conocidos, de manera que cada fracción se anti-transforme separadamente y la anti-transformada total buscada será la suma de todas las anti-transformadas.A continuación veremos el cálculo de una anti-transformada utilizando el método de fracciones parciales.i) Encuentre la anti-transformada de F(w) donde

F (w )=2

( jw+5 ) ( jw+3 )5




Solución:Para hallar la anti-transformada se aplicará el desarrollo en fracciones parciales.Se consideran varios pasos lógicos.

Paso 1: Se hará uso de una variable auxiliar p, donde se define p = jw. Entonces:

F ( p)=2

( p+5 ) ( p+3 )5

Paso 2: Se puede descomponer la función dada en fracciones parciales para obtener:

F (w )= 2

( p+5 ) ( p+3 )5= A

p+5+

B5

( p+3 )5+

B4

( p+3 )4+

B3

( p+3 )3+

B2

( p+3 )2+

B1

( p+3 )1

(Ecuación 2)

Se han utilizado las variables auxiliares A y Bn con n = 1..5

Paso 3: Si se multiplica cada miembro de la ecuación 2 por ( p + 5 ) y se evalúa en p = - 5 se tiene:

2 . ( p+5 )( p+5 ) ( p+3 )5

|p=−5=A ( p+5 )

p+5+ ( p+5 )[ B5

( p+3 )5+

B4

( p+3 )4+

B3

( p+3 )3+

B2

( p+3 )2+

B1

( p+3 )1 ](Ecuación 3)

El segundo sumando de la ecuación 3 al ser evaluado en p = -5, se hace igual a cero, por lo tanto, simplificando se tiene:

2

(−5+3 )5=A⇒ A=

2

(−2)5⇒ A =-

116

Paso 4: Se multiplican ambos miembros de la ecuación 2 por ( p + 3 )5 y se evalúa en p= - 5 se tiene:

2 . ( p+3 )5

( p+5 ) ( p+3 )5|p=−5=

A ( p+3 )5

p+5|p =- 3+

B5 ( p+3 )5

( p+3 )5+ ( p+3 )5[ B4

( p+3 )4+

B3

( p+3 )3+

B2

( p+3 )2+

B1

( p+3 )1 ]|p =- 3

(Ecuación 4)

Operando en la ecuación 4, se tiene:




2−3+5

=A (0 )+B5⇒B5=22⇒B5=1

Paso 5: Operando en la ecuación 4, sin considerar la evaluación en el punto p, se tiene la ecuación general siguiente:

2p+5

=A( p+3 )5

p+5+B5+( p+3 )B4+( p+3 )2 B3+( p+3)3 B2+( p+3)4 B1

(Ecuación 5)

Derivando una vez ambos miembros de la ecuación 5 y evaluando en p = -3 se puede hallar el valor de la variable B4:

−2

( p+5 )2|p =- 3=A (0 )+B4+0⇒B4 =-

12 (Ecuación 6)

Paso 6: Derivando dos veces ambos miembros de la ecuación 5 y evaluando en p = -3 se halla el valor de la variable B3:

4

( p+5 )3|p =- 3=2B3 ⇒B3=

14 (Ecuación 7)

Paso 7: Derivando tres veces ambos miembros de la ecuación 5 y evaluando en p = -3 se halla el valor de la variable B2:

−12

( p+5 )4|p=- 3=6 B2⇒ B2 =-

18 (Ecuación 8)

Paso 8: Derivando cuatro veces ambos miembros de la ecuación 5 y evaluando en p = -3 se halla el valor de la variable B1:

48

( p+5 )5|p =- 3=24 B1⇒B1=

116 (Ecuación 9)

Paso 9:Sustituyendo los valores de Bn ( n = 1..5 ) obtenidos, en la ecuación 2, se tiene:

F (w )=2

( p+5 ) ( p+3 )5=-

1/16p+5

+1

( p+3 )5−

1/2( p+3 )4

+1/4

( p+3 )3−

1 /8( p+3 )2

+1 /16

( p+3 )1

(Ecuación 10)

Si se cambia la variable p por jw en la ecuación 10, se tiene:




(Ecuación 11)Paso 10:Según la tabla de transformadas se tiene:

F−1[ tn−1

(n−1)!. e−at .u( t )]= 1

( jw+a )n

aplicando sucesivamente a la ecuación 11, se encuentra la anti-transformada buscada.

F−1[ 2( jw+5 )( jw+3 ) ]=[− e−5 t

16+ t4 e−3t

24− t3 e−3 t

12+ t2 e−3t

8− te−3t

8+ e−3 t

16 ]u( t )

4.2.b) Uso de tablas de anti-transformadas.

Las tablas no constituyen un método sino un instrumento muy útil. En efecto tener a mano una buena tabla de transformadas y el dominio de las propiedades de la transformada de Fourier ahorra tiempo y permite aumentar el campo de posibilidades de anti-transformaciones.Algunos ejemplos permitirán entender parte de las estrategias a utilizar. Esto no es un procedimiento, ya que, no siempre la lógica de aplicación es igual.i) Determinar la anti-transformada de:

F (w )= e− j3 w

[a+ j(w−5 )]2

Solución:Se propone hacer una secuencia de pasos:La ecuación dada puede ser reescrita de la forma:

F (w )=1

[a+ j(w−5 )]2e− j3 w

Sea F1( w)=

1

(a+ jw )2⇒ f 1( t )=te−at u( t )

Donde se ha aplicado la tabla de transformada directamente.

Considérese ahora


F w

jw jw jw jw jw jw jw jw( )

/ / / / /

2

5 3

1 16

5

1

3

1 2

3

1 4

3

1 8

3

1 16

35 5 4 3 2 1



F2( w)=1

[a+ j(w−5) ]2⇒F2 (w )=F1 (w )+Desplazamiento en frecuencia

Se observa que la F2(w) equivale a F1(w) con un desplazamiento en la frecuencia w = 5 unidades. Aplicando la propiedad de desplazamiento en frecuencia se tiene:

f 2( t )=te−at e j 5t u( t )

Se puede considerar una función F3(w) que sea el resultado de multiplicar F2(w) por un exponencial negativo. Esto, según las propiedades, es equivalente a un desplazamiento en el tiempo. Por lo tanto:

F3( w )=F2( w)e− j 3 w⇒F2 (w )+Desplazamiento en tiempo

Aplicando la propiedad de desplazamiento en frecuencia se tiene finalmente:

f 3( t )=( t−3)e−a( t−3 )e j5 (t−3)u( t−3)

ii) Sea la función G(w) dada, determine la transformada inversa.

G(w )= e− j 3(w−5 )

[ a+ j( w−5 )]2

Solución:Para hallar la solución al problema planteado se consideran varios pasos, en los cuales, se aplicarán sucesivamente las propiedades de las transformadas.Considérese inicialmente una función G1(w) y aplíquese la tabla de transformadas directamente. Esto es:

G1 (w )=1

(a+ jw )2⇒g1( t )=te−at u( t )

Ahora la función G1(w) se puede multiplicar por una exponencial negativa, obteniendo en consecuencia, la aplicación de la propiedad de desplazamiento en el tiempo, es decir:

G2 (w )= e− j3 wt

(a+ jw )2⇒g2( t )=( t−3 )e−a( t−3 )u ( t−3 )

Si a la función G2(w) se aplica la propiedad de desplazamiento en la frecuencia se obtiene la función G3(w):

G3 (w )=G2 (w−5 )= e− j 3(w−5)

(a+ j(w−5 ))2⇒g2( t )e j 5t




Aplicando la propiedad de desplazamiento en la frecuencia se tiene que la anti-transformada de G3(w) es:

g( t )=( t−3 )e−a( t−3 )e j5 t u( t−3)

la cual es la anti-transformada total de la ecuación G(w).

Problemas propuestos.Hallar la anti-transformada de:

a) F (w )=

a− jw

a2+w2b)

F (w )=2a

a2+w2c)

F (w )=1

(1+ jw )(2+ jw )

d)F (w )=

1( jw−1 )( jw−2 ) e) F (w )=2 pd (w−w0 )+2 pd (w+w0 )


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