Curso Propedeutico de

´

Algebra Lineal:

Motivacion

Juan Carlos Martınez Garcıa

Mayo 2017

Departamento de Control Automatico - Cinvestav

Contenido

Ejemplo ilustrativo: Crecimiento exponencial.

Ejemplo ilustrativo: Crecimiento logıstico.

Analisis de estabilidad por linealizacion

Ejemplo ilustrativo: crecimiento exponencial.

Con la finalidad de ilustrar el uso del algebra lineal en el contextode la teorıa matematica del control, en esta primera seccion seaborda un ejemplo relacionado con el control de poblaciones.

Considere entonces una poblacion abstracta. Esta podrıa estarrepresentando: bacterias, rumores, mensajes que circulan por unenlace de Internet, grietas en un muro, moleculas diluidas en untubo de ensayo, neuronas en el cerebro, etcetera.

Nos interesa describir el comportamiento de la poblacion enrelacion con ella misma y con su entorno, para lo cual elegimoscomo variable descriptora una cantidad que describa una propiedadpuntual de la poblacion.

Consideramos entonces como variable descriptora, esto es como elestado del sistema constituido por nuestra poblacion, a su masa(biomasa en el caso de una poblacion de organismos vivos, pecasen la piel de una persona, etcetera).

Nota:

En el contexto de la teorıa matematica de los sistemas

dinamicos la nocion de estado tiene un significado formal

concreto (que engloba aspectos tales como el de

causalidad, por ejemplo).

En lo que nos concierne no abordaremos de manera

especıfica dicha conceptualizacion formal.

El fenomeno que nos interesa describir (o incluso regular), es delcrecimiento de la poblacion.

Definimos entonces el crecimiento de la poblacion en un tiempodado, como el cambio en su masa en un cierto intervalo de tiempo.Esto es:

x (t + h)� x (t) =: G (x (t) , h) ,

donde:

Ix (t) denota la masa de la poblacion en el instante t,

Ih denota un incremento en t y

IG (x (t) , h) define el cambio en la masa de la poblacion quese produce en el intervalo cerrado [t, t + h].

El fenomeno que nos interesa describir (o incluso regular), es delcrecimiento de la poblacion.

Definimos entonces el crecimiento de la poblacion en un tiempodado, como el cambio en su masa en un cierto intervalo de tiempo.Esto es:

x (t + h)� x (t) =: G (x (t) , h) ,

donde:

Ix (t) denota la masa de la poblacion en el instante t,

Ih denota un incremento en t y

IG (x (t) , h) define el cambio en la masa de la poblacion quese produce en el intervalo cerrado [t, t + h].

Note que la funcion de crecimiento corresponde en terminosmatematicos a una funcion en dos argumentos, que toma susvalores en los numeros reales.

Para simplificar consideraremos que la variable G (x (t) , h) essuave con respecto a sus argumentos t y h.

Esto quiere decir que supondremos que G (x (t) , h) no presentacambios abruptos al variar de manera continua tanto x (t) como elincremento h.

Esto nos lleva a considerar que G (x (t) , h) puede ser expandidamediante una serie de Taylor.

Recuerde que para una funcion f (x , y), su expansion en serie deTaylor en el punto (a, b) (suponiendo que en el se satisfacen losrequerimientos de continuidad y de diferenciabilidad), esta dadapor:

f (x , y) = f (a, b) + f

x

(a, b) (x � a) + f

y

(a, b) (y � b)

+ 12!

hf

xx

(a, b) (x � a)2 + 2fxy

(a, b) (x � a) (y � b)

+f

yy

(a, b) (y � b)2i+ . . .

donde: fx

:= @f@x , fy := @f

@y , fxx := @2f

@x@x , fxy := @2f

@x@y , fyy := @2f

@y@y .

Aplicando entonces esta expansion (suponiendo que existe), a lafuncion de crecimiento G en el punto (x , h):

G (x , h) = a+ bx + ch + ex

2 + fh

2 + Kxh

+ funciones cubicas de h y de alto orden,

donde a, b, c , . . . son constantes.

Dado que:G (0, h) ⌘ 0 y G (x , 0) ⌘ 0,

Entonces a = b = c = f = N = 0.

En consecuencia:

G (x , h) = Kxh + funciones cubicas de h y de alto orden.

Ası, para h y x pequenos:

x (t + h) = x (t) + Kx (t) h

Lo cual dice en palabras que dada una masa de la poblacion iguala x (t) en el tiempo t, al transcurrir un lapso igual a h la poblacionse habra incrementado (o decrementado) en una cantidad igual alproducto de la masa en t por k y por h.

Note que la constante K puede tener un valor positivo o negativo.

Dado que x (t + h) = x (t) + Kx (t) h, entonces:

Kx (t) =x (t + h)� x (t)

h

.

Para h ! 0 (esto es suponiendo un incremento infinitesimal):

lımh!0

Kx (t) = lımh!0

x (t + h)� x (t)

h

.

Note que el termino de la izquierda corresponde a la definicion dela derivada. Ası:

dx (t)

dt

= Kx (t) .

Note que:

x

dxdt

pendiente K

x(0)

xx(0)

pendiente K

dxdt

K > 0

K < 0

Resolviendo por partes la ecuacion diferencial:

dx

x

= Kdt )Z

dx

x

=

ZKdt ) ln x = Kt + c .

En t = 0, tenemos ln x (0) = c . Entonces ln x = Kt + ln x (0) y:

lnx (t)

x (0)= Kt.

Por lo tanto la ecuacion gobernante del sistema esta dada por:

x (t) = x (0) eKt .

vNota:

El sistema tiene un unico punto de equilibrio en el origen.

t

x(t)

K > 0

crecimiento exponencial

punto de equilibrio inestable

Regresando a la ecuacion diferencial:

dx (t)

dt

= Kx (t) .

Denotemos dx(t)dt

como x . Entonces x = Kx

Esto se traduce en palabras diciendo que la tasa de cambioinstantaneo de la masa es proporcional a esta.

Note que dado que x , x 2 R, entonces K : R ! R

Sin preocuparnos demasiado por los valores que en la realidadtoman x , x y K , podemos decir por el momento que K es unmapeo lineal (u operador lineal) actuando sobre un espaciovectorial.

Algunas reflexiones:

I El modelo poblacional obtenido es muy simple y por ello hasido facil obtener la ecuacion gobernante (entre otras cosas seconsidero que las entidades que integran la poblacion no estanlimitadas en cuanto a lso recursos disponibles para sucrecimiento).

I La aplicacion de la antiderivada reposa en la existencia depropiedades de integrabilidad adecuadas en x .

I No se hacen distingos entre los diferentes miembros de lapoblacion (etapa de maduracion, por ejemplo).

I No se consideran ninguna interaccion con el entorno, esto esel sistema se supone autonomo.

I Al considerar la fisicalidad del sistema (esto es G (0, h) ⌘ 0 yG (x , 0) ⌘ 0,), el modelo se simplifico y al considerar h y x

pequenos, se fijo la naturaleza lineal de la dinamica delsistema.

Ejemplo ilustrativo: crecimiento logıstico.

Consideremos que una vez mas a la poblacion abstracta descritamediante la ecuacion diferencial:

x = Kx .

Nos interesa ahora agregar al modelo la limitante que el entornoimpone al crecimiento.

La investigacion de poblaciones reales ha mostrado que enausencia de depredadores (o de enfermedades), estas crece primeroexponencialmente y despues el crecimiento se frena hastaestabilizarse en una situacion en la que los decesos y losnacimientos se anulan.

A este fenomeno se le denomina limitacion por la capacidad de

soporte del entorno.

La inclusion de la capacidad de soporte se agrega al modelox = Kx (supongamos que K es una constante positiva), mediantela sustraccion de una parabola:

x (t) = Kx (t)� K

B

x

2 (t) ,

donde B > 0 es la capacidad de soporte.

Note que:

x (t) = Kx (t)� K

B

x

2 (t) = Kx (t)

✓1� x (t)

B

◆.

Lo que significa que este sistema tiene dos puntos de equilibrio(recuerde que en el equilibrio x = 0). Esto es:

x1 = 0 y x2 = B .

x

dxdt

x1 = 0 x2 = B

Note que:dx

dx

= Kx

⇣1� x

B

⌘= K

x (B � x)

B

Resolviendo la ecuacion diferencial (autonoma) por separacion devariables: Z

Bdx

x (B � x)=

ZKdt.

Por lo que:

Z ✓1

x

+1

B � x

◆dx =

ZKdt ) ln

✓x

B � x

◆= Kt + c

)

x

B � x

= ce

Kt ) x (t) =cB

c + e

�Kt

) c =x (0)

B � x (0).

Ası:

x (t) =x (0)B

x (0) + (B � x (0)) e�Kt

.

t

x(t)

B

Note que:

I La funcion f1 (x) := Kx es lineal.

I La funcion f2 (x) := Kx � K

B

x

2 es no lineal.

En efecto, para la constante ↵ la funcion f1 (x) := Kx satisface:

f1 (↵x) = ↵f1 (x) = ↵Kx .

y para x1 y x2 y para las constantes � y �:

K (�x1 + �x2) = f1 (�x1 + �x2) = �f1 (x1)+�f1 (x2) = �Kx1+�Kx2.

En lo que respecta a la funcion f2 (x) := Kx � K

B

x

2:

Note que:

f2 (↵x) = ↵Kx � ↵2K

B

x

2.

Esto difiere obviamente de:

↵f2 (x) = ↵Kx � ↵K

B

x

2,

exceptuando para ↵ = 1.

Algunas reflexiones:

I El modelo de crecimiento logıstico es mas complejo que elmodelo de crecimiento exponencial, aunque sigue siendosimple.

I La inclusion de la capacidad de soporte del entornotransformo al sistema de lineal a no lineal.

I La naturaleza no lineal del modelo explica la multi-estabilidad(se tienen ahora dos puntos de equilibrio).

I La realidad suele describirse mejor con modelos matematicosno lineales.

Analisis de estabilidad por linealizacion

Con respecto al modelo de crecimiento logıstico, el analisis delplano de fase:

x

dxdt

x1 = 0 x2 = B

nos permite ver que el primer punto de equilibrio es inestable y elsegundo estable. ¿Existe otra manera de analizar las propiedadesde estabilidad de los puntos de equilibrio? Sı, por linealizacion.

Considere una vez mas el modelo decreciminto logıstico:

x = f2 (x) := Kx � K

B

x

2 = Kx

⇣1� x

B

⌘

y el punto de equilibrio x2 = B .

Como podemos ver, el gradiente de f2 (x), digamos Grad (f2, x)esta dado por:

Grad (f2, x) =@f2@x

= K � 2K

B

x

Al evaluar en x2:

Grad (f2, x2) =@f2@x

= K � 2K

B

B = K � 2K = �K .

Del polinomio caracterıstico de Grad (f2, x2), esto es:

p

c

(�) = det (�� Grad (f2, x2)) = �� (�K ) = �+ K

cuyo unico valor propio es igual a �K , concluimos que x2 es unpunto de hiperbolico (esto, es su valor propio no posee unicamenteparte imaginaria). Aquı se esta aplicando el Teorema deHartman-Grobman.

Esto nos lleva a concluir que el punto x2 es estable.

¿Que pasa con x1?

Comentarios:

I Aunque el modelo de crecimiento logıstico es no lineal,herramientas del algebra lineal permiten la realizacion decomputos utiles para extraer conclusiones en cuanto alcomportamiento del sistema.

I Una de las razones fundamentales de importancia del algebralineal radica en que proveen metodo computacionalesconfiables (a lo cual muchas veces se le denomina computomatricial). Cuando se utiliza computo numerico el algebralineal adquiere el adjetivo del numerica.

Existen varias razones por las que es importante manejar confacilidad los conceptos y metodos del algebra lineal:

I Por curiosidad.

I Porque da al analisis las herramientas requeridas para abordarel control de sistemas lineales.

I Porque permite desarrollar metodos computacionalespotentes, de uso cotidiano en diversos campos de la ciencia yde la tecnologıa.

Cabe mencionar que:

I El algebra lineal es una de las ramas del conocimientomatematico mas desarrolladas (es antigua y ha sido de granimportancia en el desarrollo cientıfico-tecnologico).

I ¿Que serıa de Google sin el algebra lineal?

I Es el soporte fundamental del computo cientıfico.

Regresando al crecimiento logıstico:

x = Kx

⇣1� x

B

⌘

¿Como lo controlarıa?

Para dar a esta respuesta primero se tiene que formular un objetivode control concreto.

Supongamos que nuestro modelo describe la dinamica de labiomasa de una cierta especie de peces en el oceano.

Supongamos que el objetivo de control se centra en establecer unacierta pauta de captura de peces, bajo ciertas condiciones:

x = Kx

⇣1� x

B

⌘� u (t) .

Eligiendo:u (t) = kx (t)

tenemos:

x = Kx

⇣1� x

B

⌘�kx = (K � k) x�K

x

2

B

= (K � k) x

✓1� K

K � k

x

B

◆.

Por lo que en lo que respecta al analisis de estabilidad:

x1 = 0 y x2 =(K � k)B

K

son los puntos de equilibrio. Note que x1 es inestable si k < K ybajo esa condicion x2 es estable.

El gradiente de f3 (x) = Kx

�1� x

B

�� kx con respecto a x esta

dado por:

Grad (f3 (x) , x) =@f3 (x)

@x= K � 2

K

B

x � k

Ası:Grad (f3 (x) , x1) = K � k

y:

Grad (f3 (x) , x2) = K � 2K

B

(K � k)B

K

� k = � (K + k) .

De los polinomios caracterısticos respectivos:

�� (K � k) y �+ (K + k)

concluimos que los dos puntos son hiperbolicos y aplicando elTeorema Hartman-Grobman sabemos que el primer punto esinestable y el segundo estable.