Cuando k = 1, el ngulo vara a lo largo de un ciclo completo de 0 a 2 conforme el ndice del tiempo va de t = 0 a t = n.

Para el segundo armnico, cuando k = 2, el ngulo completa un ciclo conforme t se incrementa de 0 a n/2, y ejecuta un segundo ciclo entre t = n/2 y t = n.

Para el tercer armnico, el ngulo vara a lo largo de tres ciclos conforme t se incrementa de 0 a n.

De manera similar al caso de un armnico, los coeficientes Ak y Bk pueden obtenerse usando (transformada discreta de Fourier):

Cualquier conjunto de datos, sin importar qu tan complicado parezca, puede representarse exactamente usando la ec. 8.62.

Si n es impar, slo se requerirn (n-1)/2 armnicos para representar completamente a la funcin. Si n es par, habr n/2 trminos en la sumatoria, pero el ngulo fase para el armnico ms alto, , ser cero.

Se pueden o no usar todos los armnicos en la ecuacin dependiendo del contexto. Si queremos definir, por ejemplo, un ciclo anual de una cantidad climatolgica, los primeros armnicos pueden proporcionar una representacin bastante adecuada. Si el objeto es encontrar una funcin que pase exactamente por todos y cada uno de los puntos, entonces se deben usar todos los armnicos.

Anlisis espectralAnlisis espectral En las ecuaciones usadas para determinar los valores de los coeficientes A k

y Bk, se observa que stas dependen solamente del armnico cuyos coeficientes se estn calculando (k). Esto implica que Ak y Bk para cualquier armnico particular, pueden calcularse independientemente de los de cualquier otro armnico (a diferencia de los parmetros del modelo de regresin que tienen que ser recalculados cada vez que se agrega un predictor al modelo).

Las funciones armnicas no estn correlacionadas (para datos igualmente espaciados y completos) y las amplitudes y fases para los distintos armnicos no cambian, independientemente del nmero de armnicos que se utilicen.

Esta caracterstica se conoce como propiedad de ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

La proporcin de la varianza de yt representada por cada armnico tambin es fija y se puede estimar mediante:

Cada armnico representa una escala de variacin temporal diferente. Podemos entonces ver a una serie de tiempo como una coleccin de

coeficientes de Fourier que son funcin de las frecuencias , lo cual tiene la ventaja de que nos permite estimar en forma separada las contribuciones hechas a la serie de tiempo por procesos que varan en distintas frecuencias (espectro).

Periodograma o espectro de Fourier o espectro de potencias: consiste de las amplitudes al cuadrado Ck

2 como funcin de las frecuencias. Un espectro no proporciona un panorama completo del comportamiento de la serie de tiempo a partir de la cual se calcul y no es suficiente para reconstruirla.

Comnmente el eje vertical en un espectro se convierte a escala logartmica.

El eje horizontal consiste de n/2 frecuencias angulares si n es par, y (n-1)/2 si n es impar.

La frecuencia ms pequea es la frecuencia fundamental que corresponde a la funcin coseno que ejecuta un solo ciclo sobre los n puntos temporales.

La frecuencia ms alta, es llamada la frecuencia de Nyquist, la cual corresponde a la onda que ejecuta un ciclo completo en solo dos intervalos de tiempo y n/2 ciclos sobre el registro completo de datos.

La frecuencia de Nyquist depende de la resolucin temporal de la serie original de datos yt, e impone una limitacin importante sobre la informacin que se puede obtener de un anlisis espectral.

En el eje horizontal tambin se pueden usar las frecuencias

que tienen dimensiones de tiempo-1. Bajo esta convencin, las frecuencias admisibles van de f1 = 1/n para la fundamental a fn/2 = 1/2 para la de Nyquist.

El eje horizontal tambin puede ser escalado de acuerdo con el recproco de la frecuencia, es decir, el perodo del k-simo armnico:

El perodo especifica la longitud de tiempo requerida para que un ciclo de frecuencia sea completado.

Series de FourierSea f(x) una funcin definida en un intervalo de la forma tal que existe.

Queremos saber si es posible representar a f(x) como una serie de senos y cosenos:

Las constantes a0, ai y bi, i = 1,,n, son conocidas como los coeficientes de Fourier.

Usando las siguientes igualdades para las funciones trigonomtricas:

Se pueden probar los siguientes incisos:i) Si n y m son enteros no negativos y n m, entonces:

ii) Para cualquier m y n enteros:

iii) Para cualquier entero positivo n:

Usando lo anterior, podemos integrar la expresin para f(x) miembro a miembro y se obtiene:

ya que todas las integrales dentro de la serie son 0.

De aqu se puede despejar a0:

Para encontrar los dems coeficientes se elige un entero positivo k y se multiplica la expresin para f(x) por el trmino para obtener:

Y se integra como antes:

Todas las integrales del lado derecho son 0, excepto aquellas cuando el integrando es de la forma

y con n = k.De aqu se obtiene que:

de donde se despeja ak:

igualdad que es vlida para todo entero positivo k

El procedimiento para obtener los coeficientes bi es similar pero ahora se multiplica la expresin por

sen

Ejemplo Encontrar la serie de Fourier de la funcin f(x) = x , - x

an = 0 para n 0

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