CURTOSIS

En teoría de la probabilidad y estadística, la carosis es una medida de la forma o apuntamiento de las distribuciones. Así las medidas de carosis

(También llamadas de apuntamiento o de concentración central) tratan de estudiar la mayor o menor concentración de frecuencias alrededor de la media y en la zona central de la distribución

DEFINICION DE CURTOSIS

El coeficiente de apuntamiento de uso más extendido es el basado en el cuarto momento con respecto a la media y se define como:

donde es el 4º momento centrado o con respecto a la media y es la desviación estándar.

En ocasiones se emplea esta otra definición del coeficiente de curtosis:

donde al final se ha sustraído 3 (que es la curtosis de la Normal) con objeto de generar un coeficiente que valga 0 para la Normal y tome a ésta como referencia de apuntamiento:

Tomando, pues, la distribución normal como referencia, una distribución puede ser:

más apuntada que la normal –leptocúrtica. menos apuntada que la normal- platicúrtica. la distribución normal es mesocúrtica.

En la distribución normal se verifica que , donde es el momento de orden 4 respecto a la media y la desviación típica.

Así tendremos que:

Si la distribución es leptocúrtica y Si la distribución es platicúrtica y Si la distribución es mesocúrtica y

Otra forma de medir la curtosis se obtiene examinando la fórmula de la curtosis de la suma de variables aleatorias. Si Y es la suma de n variables aleatoriestadísticamente independiente todas con igual distribución X, entonces , complicándose la fórmula si la curtosis se hubiese definido como .

La curtosis, una medida ampliamente conocida pero malinterpretada….La curtosis es uno de los conceptos peor comprendidos no solamente por estadísticos sino por los distintos profesionales que son usuarios de la estadística. Es casi imposible encontrar un libro (sea introductorio o avanzado) que se tome la molestia de hacer un alto en el camino y tratar de aclarar que es lo que significa exactamente esta medida. Usualmente los libros introductorios reducen la curtosis a una simple medida que da cuente de que tan apuntada o plana es una distribución sin tener en cuenta las colas o valores atípicos que tienen una gran influencia en el cálculo de esta medida.

Entre las varias fallas que comenten los libros introductorios es de ilustrar el concepto de curtosis en distribuciones que tiene distintas varianzas, por ejemplo, en la figura a continuación se observa que la distribución con línea discontinua tiene una apariencia plana (platicurtica) , la gráfica punteada luce como una distribución apuntada (leptocúrtica) , y en realidad, las tres gráficas fueron generadas por una distribución normal, por tanto las tres distribuciones tienen una curtosis mesocúrtica (este es la medida estándar de curtosis ya que corresponde a la curtosis de nuestra querida distribución normal). La medida de curtosis es adimensional (de hecho en el denominador del cálculo de la fórmula clásica aparece la varianza), los concepto de varianza y curtosis son absolutamente distintos y no se debe prestarse para confusiones. Una buena manera de comparar de manera gráfica la curtosis de varios conjuntos de datos es estandarizar las variables con el propósito de no dar una mala interpretación a la información gráfica.

Fuente: DeCarlo (1997)

DeCarlo (1997) nos da una excelente explicación para comprender e interpretar mejor el concepto de curtosis. Nos explica que la curtosis representa un movimiento de masa que no afecta la varianza. Consideremos el caso por ejemplo de una distribución con una curtosis positiva, en este tipo de distribuciones colas pesadas son acompañadas de picos altos (apuntalamiento), notemos que si hubiera simplemente un desplazamiento importante de la distribución hacia las colas de la distribución esto conllevaría a un aumento de la varianza de la distribución, la manera como se compensa este aumento de la varianza es concentrando la distribución alrededor de la media. Por otro lado una distribución platicúrtica tiene una menor concentración de valores alrededor de la media y no suele tener colas pesadas, se compensa esa “baja varianza” con una mayor variabilidad en el resto de la distribución.

Entre las muchas utilidades que tiene la curtosis es la de detección de la normalidad en un conjunto de datos en combinación con las medidas de asimetría por ejemplo la prueba de detección de normalidad de D’agostino. Es igualmente una excelente manera para detectar la existencia de datos atípicos. Debe verificarse en las pruebas de igualdad de varianzas y en todas pruebas que requieran la normalidad que se verifique al menos de manera aproximada esta propiedad.

También debo anotar que la curtosis tiene una interpretación extremadamente complicada cuando las

distribuciones no son unimodales, en este caso convendría mejor estudiar por regiones la distribución.

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