TEMA:CURVA NORMAL

introduccin

En general cualquier caracterstica que se obtenga como suma de muchos factores Esta distribucin es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadsticas.Su propio nombre indica su extendida utilizacin, justificada por la frecuencia o la normalidad con la que los ciertos fenmenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucin.Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcin de densidad cuya grfica tiene forma de campana.En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n, p), para un mismo valor de p y de valores de n cada vez mayores, se ve que sus polgonos de frecuencias se aproximan a una forma en forma de campana.En resumen, la importancia de la distribucin normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la normal.- Caracteres morfolgicos de individuos (personas, animales, plantas,) de una especie.Por ejemplo: tallas, pesos, envergaduras, dimetros, permetros,- Caracteres fisiolgicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un frmaco, o de una misma cantidad de abono.- Caracteres sociolgicos, por ejemplo: consciente intelectual, grado de adaptacin a un medio.- Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.- Valores estadsticos maestrales, por ejemplo: la media.- Otras distribuciones como la binomial o la Poison son aproximaciones normales.

CURVA NORMAL

Las distribuciones de frecuencias de la mayora de las variables de las Cs.Sociales, psicolgicas, sociolgicas, antropolgicas, cuando representan a un nmero importante de observaciones, se aproximan a un tipo de curva en forma de campana que se conoce como curva normal o campana de Gauss (tomando el nombre del matemtico, si bien quien plante la formulacin matemtica fue De Moivre en 1773):las observaciones se concentran en el centro y van bajando simtricamente a derecha e izquierda, hay pocas observaciones en los puntajes bajos de la escala, un nmero creciente hacia el centro, (donde encontramos el modo) y decrecen las frecuencias hacia los puntajes altos de la variable.Esta curva normal es un modelo terico probabilstico, es un concepto formal,matemtico. Muchos aspectos de la realidad, cuando de variables continuas se trata, tienen un comportamiento isomrfico con la curva normal, de all que podamos aplicar las propiedades de ese modelo terico a la realidad. Como ya expresamos, numerosas variables del campo de la psicologa se distribuyen de manera aproximadamente normal, tales como el cociente intelectual, la ansiedad, la capacidad de razonamiento abstracto, la memoria, etc., de tal manera que las conclusiones matemticamente vlidas para la distribucin normal, puedan aplicarse a observaciones de la realidad.Toda curva normal queda caracterizada por la media y el desvo, hay infinitascurvas normales, al sealar el valor que le corresponde a su media y su desvo standard, queda definido a qu curva normal se refiriere.Existen curvas con la misma forma o dispersin de las observaciones pero tienendistinta media, o por el contrario, pueden compartir el mismo valor en su media y diferir en cuanto al valor del desvo estndar, es decir en su homogeneidad o heterogeneidad.

Comparacin de dos curvas normales de medias iguales con desviacin estndar diferentes

CARACTERISTICAS Y PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL. Su representacin se realiza con un trazo continuo, no como el histograma opolgonograma, dado que representa infinitos casos de una variable continua. Es unimodal y mesocrtica, es decir tiene una curtosis media (grado deelevamiento o achatamiento de la curva) Coinciden el valor del modo, la media y la mediana Es simtrica, teniendo como eje vertical el que pasa por la media. Hasta esevalor de la media se encuentra el 50 % de las observaciones. Es asinttica, no corta el eje de la variable o abscisa, ni al comienzo ni al final dela curva. Podemos decir que entre 3 valores de desviacin standard por debajo y porencima de la media se halla el 99,74% de las observaciones mientras que ms ymenos una vez el valor del desvo delimita la zona de normalidad estadstica(68,26%) Existen tantas curvas normales como pares de valores de media y desvostandard se establezcan. 3 El rea total bajo la curva indica la probabilidad correspondiente a la totalidadde los valores y vale 1. Bajo la curva normal se halla el 100%de los casos. Entre dos puntos de la variables se encuentra siempre la misma proporcin decasos, cualquiera sea la curva normal de que se trate. Esta propiedad es la quetorna particularmente interesante la utilidad de la curva normal. Cualquiera sea el valor de la media y el desvo que pueda tener una curvanormal en particular, hay un rea constante (una proporcin de casos constante)entre dos ordenadas, trazadas una en la media (por ejemplo) y otra a una ciertadistancia de la media, medida en trminos de unidades de desvo.Esta propiedad permite que se haya construido una tabla para curva normal, paracualquier curva normal. La tabla est construida para una curva normal estndar, cuya media vale 0 y el desvo 1.

TRANSFORMACIN DE PUNTAJESEl puntaje que obtiene una persona en determinada prueba, adquiere su totalsignificado cuando podemos compararlo con las puntuaciones de sus pares. Ya hemos visto que no es vlido comparar los puntajes originales de una persona en distintas pruebas, dado que no es lo mismo sacar 30 puntos cuando el mximo de una prueba es de 40 puntos que sacar 30 puntos si el mximo es 100 puntos. Por lo tanto necesitamos transformar los puntajes a una escala comn para poder compararlos.La transformacin de puntuaciones en bruto u originales a una escala comn,posibilitan comparar los resultados de: Distintas observaciones de un mismo sujeto o de sujetos distintos. Variables medidas de distinta forma o entre distintas variables. La posicin de una persona dentro de la distribucin, segn el porcentaje decasos que supera (escala percentilar).-Si slo tengo estos datos, de los puntajes obtenidos por una persona en dos pruebas distintas:a) 17 p. M = 15 S= 2b) 52 p. M = 50 S= 5Puedo comparar los resultados?Lo primero que hara es compararlo con la media, y decir si est por encima opor debajo de ella, pero esto no me permite decir en cul anduvo mejor, pues en ambos supera a la media. Lo tengo que relacionar con el desvo, para ello utilizo latransformacin en puntaje z:

z = a)

b) De esta manera yo puedo comparar los dos puntajes en funcin de cunto sealejan de la media en unidades de desvo standard. En este caso obtuvo un mejor rendimiento en la prueba a) pues se alej ms de la media en valores positivos. 4Cualquier puntuacin directa que sea exactamente igual a la media es equivalente a una puntuacin z igual a 0. Por lo tanto, todos los sujetos que tengan puntajes por debajo de la media, tendrn z con signo negativo. Adems, puesto quela amplitud total de la mayora de los grupos no se extiende ms all de 3 z por encima y 3 z por debajo de la media, habr que utilizar por lo menos un decimal a fin de producir la diferenciacin suficiente entre los individuos.

Veamos algunos ejemplos:1.- Calcular los puntajes z correspondientes a los siguientes valores de una distribucin normal cuya media = 40 y S = 6:

X1= 48 (z =1,33) ; X2 = 34 (z =-1); X3= 52 (z = 2) ; X4 = 25 (z =-2,5)2.- Puedo tambin plantearme lo inverso Cul es el valor de la variable o puntaje que le corresponde a los siguientes puntajes z?

Parto de la frmula para calcular y realizo pasaje de trminos: X= Z. S + M

Z1 = - 1,5 (X = 31); z2= 2,34 (X= 54,04) ; z3 = 1,55 (X = 49,3) ; z4= -1,96 (X= 28,24)

USO DE LA TABLA DE PROBABILIDAD NORMAL

Cuando conocemos de una distribucin el n, M y S , podemos calcular porejemplo, la cantidad o porcentaje de individuos que hay entre dos puntajes, o porencima o por debajo de un puntaje dado de la distribucin. Para ello utilizamos lastablas que ya estn calculadas para la curva normal estndar, llamada tabla de reas, que nos permite saber el porcentaje de casos que hay a partir de la media, (en el caso de la tabla con la que trabajamos). La utilizamos como una tabla de doble entrada, en que la primer columna de la izquierda, indica el entero y el primer decimal del puntaje z reducido, en los encabezamientos de las sucesivas columnas encontramos los centsimos de z. En la interseccin de fila y columna, tenemos el porcentaje de casos.

z01..9

0.0.0000.0040.0359

0.1.0398.0832 0754

0.20.793.0832... 1141

... .

1.0.3413.3438.3621

.....

2.0.4772.4778.4817

.....

3.0.4987.4987.4990

Como la curva es bilateralmente simtrica estos valores se aplican tanto para zpositivos o negativos. Si bien el rea bajo la curva equivale a 1, como estamoshabituados a utilizar porcentajes, para lograr estos, multiplicamos el resultado por 100. 5Qu porcentaje de casos hay entre :

0 y 3z = 49,87%

+1z y +2 z = 13,59%

- 1z y +2 z = 81,85%

- 1z y 3 z = 15,73 %

Nos podemos plantear el problema inverso. Dado determinado porcentaje decasos, averiguar los puntajes z que los delimitan:Entre qu puntajes z se encuentra el:

90 % central (+ - 1,65z)

90 % superior (-1,28 y 3 z)

90 % inferior ( -3 z y + 1,28z)

Z DERIVADO.

Los inconvenientes que tiene el puntaje z es que opera convalores negativos y trabaja con decimales. Para evitar estos inconvenientes se utiliza otra transformacin de puntajes, lineal, es decir que no deforma la distribucin original de los puntajes. Se reemplaza la media y el desvo por valores arbitrariamente fijados, generalmente se utiliza M = 50 y S = 10 esto nos permite obviar los valores negativos y los decimales.

Z = Ma + Sa . z

As el Z que corresponde a un z =1 , ser:Z = 50 + 10 . 1 = 60

PERCENTILES Otra transformacin de puntajes es a percentiles ya se ha descrito al desarrollar las medidas de orden. Vale recordar la principal desventaja de ellos y es que no respetan la forma de la distribucin original, tienden a agruparse en el centro y a dispersarse hacia los extremos, sin embargo, son fciles de entender por todos y se pueden emplear para cualquier tipo de test, ya sea que mida aptitud o rasgos de personalidad.Si quisiramos transformar valores de la variable a percentiles, el procedimientosera:

1) Pasar x a z2) Buscar el rea correspondiente en la tabla de reas3) Determinar el percentil correspondiente que resultar de sumar o restar el reahallada a 50, dependiendo de que se trate de un z positivo o negativo.

Por ejemplo: Si los puntajes de un test se distribuyen normalmente con media= 100 y desvo = 20, qu percentil le corresponde a un sujeto A)que obtuvo 80 puntos y cul a otro sujeto B) que obtuvo 110 puntos.Qu datos tenemos?

M = 100 X1 = 80 P= ?S = 20 X2 = 110 P= ?

Una vez obtenido el puntaje z, busco en la tabla el rea correspondiente a cada uno;para z1 el rea es 34,13 % , este porcentaje hallado me est indicando el porcentaje de casos que hay entre la media y un valor de desvo estndar, que no es lo que estamos buscando, pues el percentil se define por el porcentaje de casos que quedan por debajo de l. Como el z1 es negativo, al 50% que hay entre el comienzo de la distribucin y la media le resto 34,13% y obtengo el percentil correspondiente a z = - 1 que es P 15

En el caso de z2 que es positivo, le sumo al 50% que hay hasta la media el reacorrespondiente a z =0,5 que es 19,5% . El percentil que obtengo es P= 69

Tambin puede ocurrir que tenga los puntajes expresados en percentiles y los quiera transformar a valores de la variable, es decir recorrer el camino inverso.Por ejemplo, si los puntajes de un test se distribuyen normalmente con una mediade20 y un desvo de 5. qu puntajes le corresponder a un sujeto A que obtuvo el P70?

Y a otro B que obtuvo el P40?M = 20 P70 Xa = ?S = 5 P40 Xb = ?Para el sujeto A, busco en la tabla el rea del 20% (recordar que el Percentil sedefine por el porcentaje de casos que deja por debajo y la tabla me da el rea desde el centro) que le corresponde a un z= 0.53, luego aplico la frmula para hallar x,X = z.s + MX = 0.53. 5 + 20 X = 22,65 7

El mismo procedimiento utilizo para hallar el puntaje del sujeto B. Busco en la tablael 10 % (resulta de restar a 50, el percentil 40), le corresponde un z = 0.25X = - 0.25 . 5 + 20 X = 18,75

Sintetizando: cada vez que realizo una transformacin de percentiles a valores de la variable o de stos a percentiles, debo necesariamente pasar por z.

INTERRELACION ENTRE LAS PUNTUACIONES TRANSFORMADAS El tipo de transformacin de puntajes que utilicemos para expresar laspuntuaciones originales, est dictada en gran medida por la conveniencia, lafamiliaridad y la facilidad en la creacin de normas. Todos los tipos de puntuacionestransformadas son fundamentalmente anlogos si su transformacin ha sido cuidadosa y se interpreta adecuadamente. Las distintas transformaciones se pueden apreciar en el grfico siguiente:

2.14% 0.13%

34.13%

34.13%

13.59%

0.13%2.14%13.59%

Puntuacin de test 40 60 80 100 120 140 160

Puntuacin z_________________________________________-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

puntuacion_________________________________________10 20 30 40 50 60 70 80 90

percentil__________________________________________ 1 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 99

Relaciones entre diferentes tipos de puntuacin de test en una distribucin normal

APLICACIONES EN PSICOLOGIA DE LA CURVA NORMAL.- Podramos resumir las aplicaciones de la curva normal en: La determinacin del porcentaje de casos que hay entre determinados lmites o por encima o debajo de un puntaje dado. Lo inverso, es decir hallar los lmites que incluyen determinado porcentaje de casosy eventualmente realizar la transformacin a una escala percentilar. Determinar la dificultad relativa de preguntas, problemas o tems de una prueba. Dividir un grupo dado en subgrupos segn la capacidad, cuando la caractersticaconsiderada est distribuida normalmente.

CONCLUSIONES

Las distribuciones de frecuencias de la mayora de las variables de las C S. Sociales, psicolgicas, sociolgicas, antropolgicas, cuando representan a un nmero se aproximan a un tipo de curva en forma de campana que se conoce como curva normal o campana

Esta curva normal es un modelo terico probabilstico, es un concepto Formal, Matemtico. Muchos aspectos de la realidad, cuando de variables continuas se trata.

Existen curvas con la misma forma o dispersin de las observaciones pero tienen.Distinta media, o por el contrario, pueden compartir el mismo valor en su media y diferir

Su representacin se realiza con un trazo continuo, no como el histograma oPolgono grama, dado que representa infinitos casos de una variable continua