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ingo. Luis Hernan Otalvaro M1 Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 2
Astroide Catenaria
Bicorn Cicloide
Bruja de Agnessi
Circulo
Cardiode Cissoid de Diocles
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 3
Cochleoid Curva de Kappa
Conchoid Curva Del Diablo
Conchoid de de Sluze
Curvas De la Cáscara De Dürer
Corazón
Curva de frecuencia
Curva del Ocho
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 4
Curva de Persecución
Espiga
Elipse espiral de Arquímedes
Epicicloide Espiral de Fermat
epitrochoide Espiral logarimica
Escarabajo Espiral Hiperbólico
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 5
Espiral Equiangular
Hipérbola
Espirales sinusoidales
Involuta del circulo
Folium Insecto
Folium de Descartes
Gotica de agua
Folium Doble Hipotrochoide
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 6
Hipocicloide Lissajous
Kampyle de Eudoxus
Lituus
Lemniscata de Bernoulli
Mariposa I
Limacon de Pascal
Mariposa II
Línea recta Molino de viento
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 7
Nephroid Parábola de Neile
Nephroid de Freeth
Parábola de Newton
Ovalo Cartesiano
Plateau
Óvalos de Cssinian
Perlas de Sluze
Parábola Quadratrix de Hippias
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 8
Quartic en forma de pera
Sextic de Cailey
Rosa de Grandi
Strophoid derecho
Secciones de Spiric
Super elipse
Serpentina Talbot
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 9
Torpedo Trident de Newton
Tractrix Trifolium
Trébol Equilátero
Trisectrix de Maclaurin
Tricuspoid Tschirnhaus Cúbico
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 10
Watt
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 11
AstroideEcuación cartesiana
x2/3 + y2/3 = a2/3 Ecuación Paramétrica
x = a cos3(t), y = a sin3(t )
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 12
Bicorn Ecuación
cartesiana: y 2 ( 2 - x 2) = ( x 2 + 2 ay - a) 2
Curva estudiada por Sylvester en 1864 , Cayley en 1867.
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 13
Bruja de AgnesiEcuación
Paramétricax = at, y = a/(1 +
t2)
Ecuación Cartesiana
Y = a3 / ( x2 + a2 )
Curva estudiada por Agnesi en1748, Fermat y Guido Grandi en 1703.
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 14
Cardiode Ecuación Cartesiana (x2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 +
y2)
Ecuación Polar r = 2a (1 + cos)
Curva estudiada por Romer, 1674 ;Vaumesle, 1678 ; La Hire, 1708 ; Castillon, 1741.
Ver mas
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 15
Ovalo CartesianoEcuación cartesiana
((1 - m2)(x2 + y2) + 2m2cx + a2 - m2c2)2 = 4a2(x2 + y2)
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 16
Cicloide Ecuación Paramétrica
x = r(t- sent) ; y = r(1 – cost )
Ver mas
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 17
Óvalos de CassinianEcuación Cartesiana
(x2 + y2)2 - 2a2(x2 - y2) + a4 - c4 = 0
Curva estudiada por Cassini en 1680 y Malfatti en 1781.
Ver mas
Ecuación polarr4 -2a2r2cos2 + a4 =
b4
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 18
Catenaria y = acosh(x/a)
Curva estudiada por Leibniz, Huygens, y Johann Bernoulli
Ver Aplicaciones
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 19
Sextic De Cayley Ecuación Polar r = 4a cos3(/3)
Ecuación Cartesiana (x2 + y2 - ax)3 = 27a2(x2 +
y2)2
Curva estudiada por Cayley
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 20
Cissoid de Diocles Ecuación Cartesiana
y 2 = x 3 /(2 a - x)
Ecuación Polar r = 2asentag
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Curva inventada por Diocles en el año 180 Ac
Ver mas
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 21
Cochleoid Ecuación Polar r = a sin()/
Curva estudiada por J. Peck en 1700
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 22
Conchoid de De Sluze Ecuación Polar
a(r cos() + a) = k2cos2()
Ecuación Cartesiana
a(x + a)(x2 + y2) = k2x2
Curva estudiada por René de Sluze en 1662
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 23
ConchoidEcuación Polarr = a + b sec()
Ecuación Cartesiana
(x - b)2(x2 + y2) - a2x2 = 0
x
y
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
-15
-10
-5
0
5
10
15
Curva estudiada por NicomedesDiciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 24
Curva Del Diablo Ecuación Polar( Caso
especial)r = √[(25 - 24tan2())/(1 -
tan2())]
Ecuación Cartesiana
y4 - x4 + a y2 + b x2 = 0
Curva estudiada por G. Cramer in 1750 y Lacroix in 1810Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 25
Folium Doble Ecuación Polar
r = 4a cos sen2Ecuación Cartesiana
(x2 + y2)2 = 4axy2
Curva estudiada por Longchamps, 1886 ; Brocard, 1887.
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Ver mas
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 26
Curvas De la Cáscara De Dürer Ecuación Cartesiana
(x2 + xy + ax - b2)2 = (b2 - x2)(x - y +
a)2
Curva estudiada por Dürer en 1525. a= 0.4 , b= 2
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 27
Epicycloide Ecuación Paramétricax = (a + b) cos(t) - b cos((a/b +
1)t), y = (a + b) sen(t) - b sen((a/b +
1)t)
Estas curvas fueron estudiadas por Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler
(1745), Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 28
Epitrochoid Ecuación
Paramétricax = (a + b) cos(t) - c cos((a/b +
1)t), y = (a + b) sin(t) - c sin((a/b +
1)t)
Estas curvas fueron estudiadas por la Hire, Desargues, Leibniz,
Newton Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 29
Espiral Equiangular Ecuación Polar
r = a exp(cot b)
Inventada por Descartes en 1638 y trabajada por Torricelli
A=1.5 , b=8
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 30
Espiral De Fermat Ecuación Polar
r2 = a2
Discutida por Fermat en 1636Ir a un mundo de Espirales
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 31
Elipse Ecuación cartesianax2/a2 + y2/b2 = 1
Ecuación paramétrica
x = a cos(t), y = b sin(t)
Curva estudiada por Menaechmus, Euclides , Apolonio, Pappus.
Ver Aplicaciones
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 32
Folium Ecuación Polar
r = -b cos + 4a cos sin2Ecuación Cartesiana
(x2 + y2)(y2 + x(x + b)) = 4axy2
En el folium hay tres casos: Si b = 4a : Folium simple,
b = 0: Doble folium , b = a :Trifolium
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 33
Nephroid De Freeth Ecuación Polar
r = a(1 + 2sin(/2))
Curva trabajada por el matemático Inglés T J Freeth)
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 34
Gotica de Agua Ecuación Paramétrica
x= acos2t ; y=a2cos3tsent
Ecuación Cartesianab2y2 = x3(a – x )
Curva estudiada por Wallis en 1685 et Bonnet en 1844.
Ver Aplicaciones
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 35
Curva De Frecuencia Ecuación Cartesiana
y = √(2) exp(-x2/2)
Curva estudiada por de Moivre in 1733, Laplace y Gauss
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 36
Espiral Hiperbólico Ecuación Polar
r = a/
Descubierta por Pierre Varignon en 1704 y estudiada por Johann Bernoulli entre 1710 y 1713 y
Cotes en 1722.
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 37
El Escarabajo Ecuación Polar
r = acos + bsen - rsen cos
Ecuación Cartesiana (x2 +y2)2 = (x2 + y2)(ax +by) +rx(x2 -
3y2)
Curva estudiada por Laurent et Painvin
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 38
Hipocicloide Ecuación
Paramétrica x = (a - b) cos(t) + b cos((a/b -
1)t) y = (a - b) sin(t) - b sin((a/b - 1)t)
Esta curva fue estudiada por :Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745,
1781). Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 39
Involuta de un círculo Ecuación
Paramétricax = a(cos(t) + t sin(t)), y = a(sin(t) - t cos(t))
Esta curva fue estudiada por HuygensDiciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 40
Hypotrochoide Ecuación
Paramétrica x = (a - b) cos(t) + c cos((a/b -
1)t),
y = (a - b) sin(t) - c sin((a/b -1)t)
Esta curva fue estudiada por: La Hire, Desargues, Leibniz, Newton.
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 41
Hipérbola Ecuación
Paramétrica x = a sec(t), y = b tan(t)
Ecuación Cartesiana
x2/a2 - y2/b2 = 1
Curva estudiada por Euclides , Aristaeus ,Apolonius, Pappus
Ver Aplicaciones
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 42
El Círculo • Ecuación Cartesiana
(x – a )2 + (y – b)2 = r2
Cuando a = b = 0 ,el circulo asume la posición canónica
Ver Aplicaciones
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 43
InsectoEcuación Paramétrica
r = (5sen3 (/2).cos2(4))/ tan(3/2)
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Ver Aplicaciones
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 44
Lemniscate de Gerono o del Ocho
Ecuación Polar r2 = a2 ( cos2 )/
cos4
Ecuación Cartesiana
x4 = a2(x2 – y2)
Curva estudiada por Grégoire de St Vincent en 1647, Cramer en 1750, Aubry en 1895 , Christophe
Gerono
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 45
Corazón Ecuación Paramétrica
x= 2sen7 t
y= - 4.5cost(1+1.2cost) + (cos2t )1/8 + 2.5
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 46
Espiral Logarítmica Ecuación Paramétrica
r = a.eb
Ecuación Cartesiana
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 47
Kampyle de Eudoxus Ecuación Polar
r = b2/(a cos2()) Ecuación Cartesiana
a2x4 = b4(x2 + y2)
Esta curva fue estudiada por Eudoxus
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 48
Curva De Kappa Ecuación Polar
r = a cot() Ecuación cartesiana
y2(x2 + y2) = a2x2
Esta curva fue estudiada por Newton y Johann Bernoulli.
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 49
Molino de Viento Ecuación Polar
r = tan(2 )
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Ver Aplicaciones Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 50
Lemniscate de Bernoulli Ecuación Polar r2 = a2cos(2 )
Ecuación cartesiana
(x2 + y2)2 = a2(x2 - y2)
Curva estudiada por Jacob Bernoulli en 1694
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 51
Limacon o Caracol de PASCAL Ecuación Polar
r = b + 2a cos( ) Ecuación Cartesiana
(x2 + y2 - 2ax)2 = b2(x2 + y2)
Esta curva fue descubierta por Étienne Pascal , padre de Blais Pascal y estudiada por Dürer en 1525
x
y
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Ver Mas Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 52
Curvas De Lissajous Ecuación
Paramétrica x= a sen(nt + c),
y = b sen(t)
Curva estudiada por lissajous
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 53
Parábola Ecuación Cartesiana
y = ax2 + bx + c
Curva estudiada por Menaechmus ,Euclides, Apolonio, pappus, Pascal, Galileo, Gregory y
Newton.Ver Aplicaciones
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 54
Parábola De Neile Ecuación Cartesiana y3 = a x2
Curva estudiada por William Neile
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 55
Parábolas divergentes de Newton
Ecuación Cartesiana
ay2 = x(x2 - 2bx + c), a > 0
Curvas estudiadas por Isac Newton
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 56
Perlas de de Sluze Ecuación Cartesiana
yn = k ( a - x)p xm
Curva estudiada por de Sluxe para los valores n = 4, k = 2, a = 4, p = 3, m = 2.
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 57
Quartic En forma de Pera Ecuación Cartesiana
b 2 y 2 = x 3 ( a - x)
Esta curva fue estudiada por G de Longchamps en 1886
Ver Aplicaciones
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 58
Curvas De Plateau Ecuación
Paramétrica x = a sen(m+n)t/sen(m-n)t, y = 2a sen(mt) sen(nt)/sen(m -
n)t
Esta curva fue estudiada por Belgium y por Plateau
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 59
Curva De Persecución Ecuación Cartesiana
y = cx2 - log(x)
Curva estudiada por Pierre Bouguer en 1732
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 60
Quadratrix de Hippias Ecuación Polar
r = 2a/(sin())Ecuación Cartesiana
y = x cot( x/2a)
Curva descubierta por Hippias y estudiada por Dinostratus
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 61
Strophoid Derecho Ecuación Polar
r = acos(2)/cos()Ecuación Cartesiana
y 2 = x 2 ( a - x)/( a + x)
Esta curva fue estudiada por Barrow , Torricelli ,Roberval
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 62
Serpentina Ecuación Cartesiana
x 2 y + aby - 2x = 0, ab > 0
Curva estudiada por Isac Newton en 1701
Ver Aplicaciones
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 63
Espirales Sinusoidales Ecuación Polar rp = ap cos(p)
Curva estudiada por Maclaurin. si p = -1 : línea; si p =1: circulo ; si p =1/2:cardiode ;si p =-1/2:parábola;
si p =-2: hipérbola; si p =2: lemiscta de Bernulli
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 64
Secciones De Spiric Ecuación Cartesiana
(r2 - a2 + c2 + x2 + y2)2 = 4r2(x2 + c2)
Curva estudiada por Perseus
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 65
Línea Recta Ecuación Polar
r = b / ( sen - m cos )
Ecuación Cartesiana
Y = m x + b
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Ver Aplicaciones
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 66
Curva De Talbot Ecuación
Paramétrica x = (a2 + f2sen2(t))cos(t)/a,
y = (a2 - 2f2 + f2sen2(t))sen(t)/b
Esta curva fue estudiada por Talbot
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 67
El TorpedoEcuación Polar
r = acoscos2 = (asen4/4sen)Ecuación Cartesiana (x2 + y2)2 = ax(x2 – y2
)
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Ver Mas Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 68
Tricuspoid Ecuación
Paramétricax = a(2cos(t)
+cos(2t)), y = a(2sin(t) -
sin(2t))
Ecuación Cartesiana
(x2 +y2+12ax + 9a2)2 = 4a(2x + 3a)3
Esta curva fue estudiada por Euler en 1745 y Steiner en 1856
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 69
Trident de NewtonEcuación
Cartesiana xy = cx3 + dx2 +
ex + f
Esta curva fue estudiada por Isac Newton
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 70
Trisectrix de Maclaurin Ecuación Polar
r = 2a sin(3)/sin(2)
Ecuación Cartesiana
y2(a + x) = x2(3a - x)
Curva estudiada por Colin Maclaurin en 1742
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 71
Tschirnhaus Cúbico Ecuación Cartesiana
3a y2 = x(x-a)2
Esta curva fue estudiada por Tschirnhaus, de L'Hôpital y Catalan
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 72
Curva de Watt Ecuación Polar
r2 = b2 - [a sin()±√ (c2 - a2cos2())]2
Curva estudiada por James Watt
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 73
Trifolium Regular Ecuación Polar r = a cos (4sin2
- 1)
Ecuación Cartesiana
(x2 + y2)(y2 + x(x + b)) = 4axy2
Curva estudiada por Longchamps en 1885, Brocard y d'Ocagne en 1887. Al trifolium regular se le llama rosa de tres
pétalos
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 74
Trébol Equilátero Ecuación Polar
r = a /cos3
Ecuación Cartesiana x(x2 – 3y2) = a(x2 +
y2 )
Curva estudiada por Longchamps en 1888
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 75
Tractriz o curva del Perro Ecuación Paramétrica
x = 1 / cosh(t)y = t – tanh(t)
Esta curva fue estudiada por Huygens en 1692, Leibniz, Johann Bernoulli
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 76
NEFROIDEEcuación
Paramétrica x = a(3cos(t) - cos(3t)), y = a(3sen(t) - sen(3t))
Curva estudiada por Huygens en 1678
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 77
Rosa de Grandi
Curva estudiada por Grandi en 1723. Esta curva también recibe el nombre de Rhodonnee, Multifolium,
rosetón de Troya . El valor de n determina el número de pétalos
Ecuación Polar r = acosn o r =
asen(n)
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 78
Curva de Lame o Super Elipse Ecuación Paramétrica
x(θ) = ±a cos2/n(θ) y(θ) = ±b sin2/n(θ)
Ecuación Cartesiana (x/a)n + (y/b)n = 1
Curva estudiada por Gabriel Lameen 1818 , Piet Hein .
Diciembre 7 de 2006
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Espiral de ArquímedesEcuación Polar
r= a
Curva estudiada por Arquímedes
x
y
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120
-60
-40
-20
0
20
40
60
Ver Aplicaciones
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Lituus Ecuación Polar
r 2 = a2
Curva estudiada por Maclaurin en 1722
x
y
-15 -10 -5 0 5 10 15
-10
-5
0
5
10
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Ver Aplicaciones
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Mariposas Matemáticas I Ecuación
Paramétricax = asen (5t) cos (t)
y = asen (5t) sen (4t)
Ver Aplicaciones
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Mariposas Matemáticas IIEcuación Paramétrica
x = asen (5t) cos (t)y = asen (5t) cos (4t)
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Espiga Ecuación Polar
r = a / cos(n) o r = a / sen(n)
Curva estudiada por Aubry en 1895 . También se conoce con el nombre de espiral de Cotes
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Ver Mas Diciembre 7 de 2006
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Folium de DescartesEcuación Polar
r= (3asen cos )/(cos3 + sen3 )
Ecuación Cartesiana
x3 + y3 = 3axy
Curva estudiada por Descartes
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
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Aplicaciones de las curvas
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Propiedades de reflexión de la parábola
Esto se basa en el hecho de que, en los espejos planos, cóncvos y convexos, los rayos iguales se reflejan en ángulos iguales.
Existe la leyenda que dice que Arquímedes de Siracusa (287-212 AC) utilizó esta propiedad para incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa.
Diciembre 7 de 2006
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Arcos parabólicos
Fuentes del Paseo del Prado de Madrid
El Gateway Arch, en San Luis EE.UU.,es un arco parabólico que mide 192 metros de altura
Diciembre 7 de 2006
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Arcos parabólicos
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 89
Arcos parabólicos
Diciembre 7 de 2006
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Arcos parabólicos
Arco parabolico Viaducto de GarabitDiciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 91
Arcos parabólicos
Parque de Lion Diciembre 7 de 2006
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Forma de trazar una parábola mediante el método del sastre
• El método del sastre es uno de los más sencillos. Lo usan esos profesionales cuando quieren coser una tela en forma de curva.
• Se dibuja un ángulo cualquiera. Se marcan divisiones iguales en cada uno de los dos lados, numeradas empezando en ambos casos por el vértice. Se unen los puntos cuyos valores suma una constante, por ejemplo 11, (se puede hacer con cualquier otro número). La envolvente de las rectas obtenidas es una parábola.Diciembre 7 de 2006
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La parábola en el billar
Diciembre 7 de 2006
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La Catenaria
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 95
La Catenaria
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 96
La Catenaria
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 97
La hipérbola en el billar
Diciembre 7 de 2006
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LITUUS
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Espiral de Arquímedes
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Gotica de Agua
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Molino de Viento
Diciembre 7 de 2006
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El Torpedo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 103
El Torpedo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 104
El Torpedo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 105
El Torpedo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 106
Rosa de Grandi
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 107
Rosa de Grandi
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 108
Rosa de Grandi
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 109
Rosa de Grandi
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 110
Rosa de Grandi
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 111
La Super-Elipse
Jardines del VaticanoDiciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 112Plaza de san pedroDiciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 113
Circulo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 114
Circulo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 115
Circulo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 116
Circulo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 117Pintura de Escher
Circulo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 118Pintura de Escher
Circulo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 119Pintura de Escher
Circulo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 120
Circulo
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 121
Pera
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 122
Serpentina
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Línea Recta
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 124
Línea Recta
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ingo. Luis Hernan Otalvaro M 125
Línea Recta
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 126
Línea Recta
Diciembre 7 de 2006
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Insecto
Diciembre 7 de 2006
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Insecto
Diciembre 7 de 2006
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Mariposa
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 130
Mariposa
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 131
Un Mundo de Espirales
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 132Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 133Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 134Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 135Diciembre 7 de 2006
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ingo. Luis Hernan Otalvaro M 144Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 145Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 146Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 147Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 148Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 149Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 150Diciembre 7 de 2006
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Turbina de aviónairbus
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Algunas animaciones de
curvas
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La Ciclode • La cicloide se produce cuando se hace
rodar un disco sobre una superficie horizontal.
• Esta curva fue estudiada por Charles Bouvelles en 1501, Mersenne y Galileo en 1599, Roberval en 1634, Torricelli en 1644
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La Parábola Las parábolas son las curvas que se obtiene al
cortar una superfice cónica con un plano paralelo a una sóla generatriz (arista).
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La Parábola
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La Hipérbola Las hipérbolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).
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La Hipérbola
Diciembre 7 de 2006
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La ElipseLas elipses son las curvas que se obtienen cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.
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La Elipse
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Cardioide• Se trata de una
curva epicicloide. Estas curvas son descritas por un punto de una circunferencia rodante que gira exteriormente, sin deslizamiento, sobre otra circunferencia fija.
• Dependiendo de la relación entre los radios se obtienen distintas hipocicloides.
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Cardioide
Diciembre 7 de 2006
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LIMAÇON DE PASCAL
Diciembre 7 de 2006
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LIMAÇON DE PASCAL
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 164
Rosa de Grandi
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 165
Rosa de Grandi
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 166
Bifolium
Diciembre 7 de 2006
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Espiral de Arquímedes
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 168
Espiral de Arquímedes
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 169
Espiral de Arquímedes
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 170
Espiral de Arquímedes
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 171
LITUUS
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 172
Espiga o espiral de Cotes
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ingo. Luis Hernan Otalvaro M 173
Óvalos de Cassini
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 174
Cisoide de Diocles
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 175
Cisoide de Diocles
Diciembre 7 de 2006
ingo. Luis Hernan Otalvaro M 176
Las Cónicas• El Matemático griego Menecmo (350 A.C.)
descubrió estas curvas, y fue Apolonio de Perga (262-190 A.C.) el primero en estudiarlas detalladamente, y encontrar la propiedad plana que las define.
• Apolonio, descubrió que se pueden clasificar en tres tipos, y les dio el nombre de elipse, hipérbolas y parábolas.
• En el libro I de su tratado sobre las cónicas presenta los modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas.
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