CURVAS HORIZONTALES EN CARRETERAS Se clasifican en:

1) CURVAS CIRCULARES.- Se dividen en: CURVAS HORIZONTALES CIRCULARES

SIMPLES.

CURVAS HORIZONTALES COMPUESTAS.

CURVAS HORIZONTALES REVERSAS.

2) CURVAS DE TRANSICIÓN.-

Son curvas de radio variable.

Ejemplo: La Clotoide, la Parábola Cúbica,

la Lemniscata de Bernoulli, etc.

CURVAS HORIZONTALES CIRCULARES SIMPLES

• En todo trazo de un eje, se requiere reemplazar los vértices de la poligonal abierta que constituye el eje por curvas horizontales.

CROQUIS FUNDAMENTAL QUE INDICA LOS ELEMENTOS DE UNA CURVA HORIZONTAL

CIRCULAR

PUNTOS PRINCIPALES DE LA CURVA CIRCULAR

• El PC.

• El PT.

• El punto medio F de la curva.

FORMULAS PARA EL CALCULO DE LOS

ELEMENTOS DE LA CURVA –Longitud de las tangentes (T):

• T= R.tg I/2–Longitud de la curva circular (L):

• L= R..I ; También: L = 0.017453292.R.I 180°

–Longitud de la externa o external (E):• DF= E = R(sec I – 1) ; También: E = T.tg I/4• 2

–Longitud de la cuerda mayor (EG=C):• C = 2.R.sen I/2

–Ordenada media (FH):• FH= R(1-cos I/2) •NOTA.- Los ángulos DEG y DGE son iguales puesto que el triángulo EDG es isósceles.• O sea: DEG = DGE = I/2

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LAS FÓRMULAS

1. En la figura siguiente calcular la longitud de las tangentes, la longitud de la curva de enlace y la longitud de la externa.

SOLUCION:1) T= R.tg I/2=100tg 102°22’/2= 124.301m

2) L= R..I = 100 102°22’= 178.664m 180° 180°

3) E=R(sec I/2-1)= 100(sec 102°22’/2-1) E= 59.533m

4) C= 2Rsen I/2 = 2x100.sen 102°22’/2 C=155.831m

2. Uno de los tramos de una carretera, tiene el siguiente trazo:

PUNTO DISTANCIA ANGULO RADIO PI-1 95.10m 25°32’D 100m PI-2 55.00 23°40’I 100 PI-3 86.20 35°50’D 100 PI-4 60.00

Se pide:Dibujar la poligonal del trazo a escala 1/1000. Los ángulos se dibujarán por el método de las tangentes.Dibujar las curvas de enlace.Indicar las distancias al origen cada 5 estacas (o sea cada 100m, puesto que se supone que se ha estacado de 20 en 20m), con números arábigos y los kilómetros con números romanos.

SOLUCION

• CALCULOS PARA DIBUJAR LOS ANGULOS POR EL METODO DE LAS TANGENTES

PUNTO UNIDAD (U) a () tg a U.tg a PI-1 10 25°32’D 0.477690 4.777m PI-2 10 23°40’I 0.438276 4.383 PI-3 10 35°50’D 0.722108 7.221

ELEMENTOS DE CURVASCURVA N° ANGULO () R T L

1 25°32’D 100 22.658 44.564 2 23°40’I 100 20.952 41.306 3 35°50’D 100 32.331 62.541

CASOS ESPECIALES

• Normalmente se dispone de dos datos para el diseño y replanteo de las curvas circulares: y R en casos especiales.

• Se calcula el radio, conociendo y E ó y T.

EJEMPLO DE CASOS ESPECIALES

• 1er Caso.- Se dispone del ángulo de intersección y el radio de la curva R.

• Este caso se presenta comúnmente en carreteras, ferrocarriles, en los cuales el radio será un número entero de metros.

2do Caso.- Se dispone de los datos: y T; por lo tanto se tiene que calcular el radio R.

3er Caso.- Se dispone de , E debiéndose calcular el radio R.

GRADO DE LA CURVA (G)• Se llama grado de la curva al ángulo en el

centro subtendido por una cuerda de 20m.• Por ejemplo, en la figura la curva será de 5°

grado si el ángulo en el centro correspondiente a la cuerda de 20m es de 5° grado.

FORMULA PARA CALCULAR EL GRADO DE LA CURVA (G)

• Sen G/2 = 10 ; Donde: G= grado de la curva

R R= radio de la curva

• Ejemplo.- Cálculo del Grado de una curva de 200 de radio.

• SOLUCION:

• Sen G/2 = 10/R= 10/200 = 0.05

• G= 2x(arc sen 0.05) = 5°43’55.08”

LONGITUD DE LA CURVA (S)

• La fórmula exacta para calcular la longitud de una curva, sabemos que es:

• S= R. I = 0.017453292xR.I ……..(1)

180°

• Generalmente las longitudes de las curvas de trazos extensos se mide por el número de cuerdas de 20m que contiene.

• La longitud de la curva en cuerdas de 20m está dada por la siguiente fórmula:

L= I/G ...........(2)

• Siendo: L= longitud de la curva en

cuerdas de 20m

• I= Angulo de intersección o también

• G= Grado de la curva

EJEMPLOS• Ejemplo 1.- Calcular la longitud de una curva sabiendo que: I=46°;

G=5°.• SOLUCION:• L= I/G = 46°/5° = 9.6 cuerdas de 20m que contiene esa curva.•

Luego, la longitud de la curva en metros será: S= 9.6x20 = 192.00m.

• Ejemplo 2.- Calcular la longitud de una curva sabiendo que: =53°06’; G=9°.

• SOLUCION:• L= /G = 53°06’/9° = 95.9 cuerdas de 20m que caben en esa curva.•

Luego, la longitud de la curva en metros será: S= 5.9x20 = 118m.

• Ejemplo 3.- Cálculo del Grado de una curva de 200 de radio.• SOLUCION:• Sen G/2 = 10/R= 10/200 = 0.05• G= 2x(arc sen 0.05) = 5°43’55.08”

METODOS DE TRAZO Y REPLANTEO DE LAS CURVAS CIRCULARES

• Se estudiarán los métodos más importantes para trazar y replantear dichas curvas.

• Sabemos que todos los puntos de la circunferencia equidistan de su centro; ésta importante propiedad de las curvas circulares, permite trazar las curvas de pequeño radio, midiendo distancias iguales a partir del centro;

• Pero no las curvas de las carreteras y de las vías férreas cuyos centros están muy distantes y a veces en sitios inaccesibles, puesto que la aplicación de éste método haría la operación imposible o por lo menos inexacto y difícil. Es por esto que para trazar las curvas de gran radio se ha ideado diversidad de métodos, los cuales están basados en otras propiedades que conducen a trazados rápidos y exactos.

REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES SIMPLES“METODO DE LOS ANGULOS DE DEFLEXIÓN”

• Este método es el preferido en América y está basado en las propiedades de la circunferencia.

• Se aplican las siguientes consideraciones:1) La curva circular se divide en arcos que pueden

ser iguales o desiguales, de acuerdo al tipo de trazado o proyecto. La suma de las longitudes de todos estos arcos será igual a la longitud de la curva circular.

2) Para replantear cada punto de la curva circular se necesita determinar previamente dos elementos: su ángulo de deflexión total y la longitud del arco correspondiente.

DEFLEXION PARCIAL Y TOTAL

ANGULO DE DEFLEXIÓN PARCIAL DE UN PUNTO DE LA CURVA CIRCULAR (d)

• Es el ángulo formado por la cuerda que une el PC y dicho punto con la cuerda que une el PC con el punto inmediato anterior.

• En la figura: PC-a=a-b=bc, luego los ángulos de deflexión parcial de los puntos a, b y c serán iguales: d.

• La deflexión parcial para el PT es d’ y su arco es c-PT, según la figura.

ANGULO DE DEFLEXIÓN TOTAL DE UN PUNTO DE LA CURVA CIRCULAR

Es el ángulo que forma la tangente inicial PC-PI con la cuerda que une el PC con el punto considerado de la curva circular.Para el primer punto de la curva (a) el ángulo de deflexión total es igual a su ángulo de deflexión parcial: d.•En la figura:•La deflexión total para el punto b es: 2d•La deflexión total para el punto c es: 3d•La deflexión total para el PT es: 3d+d’= Esto 2Es la Comprobación del Cálculo y del Replanteo.

3) Como en el terreno no se miden los arcos sino sus cuerdas correspondientes, no deberán tomarse arcos mayores de la décima parte del radio de la curva circular (R/10) para que no se aprecie el error, ya que las cuerdas son menores que los arcos. Si se cumple ésta condición, la longitud de las cuerdas se tomarán iguales a la longitud de los arcos.

4) La longitud de los arcos pueden ser de 5m, 10m, ó 20m de acuerdo a los requerimientos del proyecto a replantear.

5) Si por razones impuestas al trazado, nos vemos obligados a tomar arcos mayores de R/10, se deberá calcular la longitud de la cuerda correspondiente a dicho arco mayor de R/10, aplicando la fórmula:

• C = 2Rsen d.•

• Siendo: d= ángulo de deflexión del arco mayor de R/10 tomado. R = radio de la curva circular. C = cuerda• La longitud de la cuerda resultante de ésta

fórmula, es la que se medirá en el campo.

6) El ángulo de deflexión parcial de un arco se calcula con la siguiente fórmula:

• d = 28.64789 ( l ); Siendo: l = longitud del arco (m). R R = radio de la curva

circular en metros. d = ángulo de deflexión en grados y decimales de

grado.

7) El ángulo de deflexión es igual a la mitad del ángulo en el centro correspondiente al arco o a la cuerda.

• Si es el ángulo en el centro correspondiente a un arco de longitud l, tendremos que: d=

2

8) Si no se requiere llevar la numeración de las estacas, los arcos iguales se comienzan a tomar desde el PC, resultando el último arco desigual.

• EJEMPLO:

SOLUCION

a) R = 56 = 5.6m Luego tomaremos arcos de 5m.

10 10

b) Longitud de la curva (L):• L= ()R; =53°43’

180 R=56m

• L= 52.502m

c) El último arco será de 2.502m

9) Si es necesario llevar la numeración del estacado, el primero y el último arco resultarán desiguales, mientras que los arcos intermedios serán iguales..

SOLUCION

a) R = 56 = 5.6m Luego tomaremos arcos de 5m.

10 10b) Longitud de la curva(L) y de la tangente(T): L= ()R; =53°43’ R=56m L= 52.502m

T= R.tg = 56 tg 53°43’ 2 T= 28.359m

c) CALCULO DEL NUMERO DE LAS ESTACAS DEL PC y PT:

Estaca del PI ........................ 211.460 Menos T=28.359 ................... 28.359 ESTACA DEL PC ................. 183.101 N°(18+3.101) Más L= 52.502 ...................... 52.502 ESTACA DEL PT .................. 235.603 N°(23+5.603)

d) En el croquis se determina el estacado gráfico de la curva circular.

e) Una vez determinado el estacado de la curva circular, se procede a calcular los ángulos de deflexión parcial para los arcos de 1.899, de 5m y de 0.603m aplicando la fórmula:

d= 28.64789( l ); Enseguida se calculan los ángulos R de deflexión total por sumatorias.

REPLANTEO10) Para replantear cada punto de la curva

circular, primero se replantea el PC y PT.

Enseguida estacionando el teodolito en el PC (o en el PT) se dirige la visual con ceros en el PI y luego se rota hasta formar el ángulo de deflexión total correspondiente al punto que se va a replantear, mientras los cadeneros miden la longitud de la cuerda respectiva y así sucesivamente hasta replantear el último punto de la curva.

TOLERANCIAS

11) Tolerancias para el replanteo por este método:

a) Tolerancia Angular.- Sabemos que al estar estacionado el teodolito en el PC de la curva y al deflexionar hasta visar al PT, debemos obtener en el limbo horizontal del teodolito: /2.

La tolerancia angular será: 01’

b) Tolerancia lineal.- La distancia entre el último punto replanteado de la curva y el PT deberá ser igual a la última cuerda calculada, con una tolerancia de: 0.10m.

12) En curvas circulares de gran longitud y cuando se requiere mayor exactitud en el replanteo, se recomienda trazar la mitad de la curva desde el PC y la otra mitad desde el PT, para disminuir los errores acumulativos que se originarían al hacer el trazado continuo desde el PC.

TANGENTE A LA CURVA CIRCULAR EN UNO CUALQUIERA DE SUS PUNTOS

EJEMPLO• Se desea trazar la tangente TT’ a la curva en el

punto b. = ángulo de deflexión total correspondiente al

punto b.

PROCEDIMIENTO DE CAMPO:a) Se hace estación en el punto b que ya se ha

replanteado.b) Se visa al PC y luego se rota hasta formar el

ángulo igual al ángulo de deflexión total correspondiente a la estaca b, colocándose la estaca referencial T; se da vuelta de campana al anteojo y se coloca la otra estaca referencial T’.

• Trazando la perpendicular a la tangente T-T’ se determina la dirección del radio que pasa por la estaca b, en la cual se medirían los semi-anchos de la vía.

• La tangente T-T’ podría reemplazar a la tangente inicial PC-PI para replantear la estaca c y d que no es posible replantearlas desde el PC porque un obstáculo interfiere las visuales hacia c y d.

• A partir de la tangente b-T’ se medirían las nuevas deflexiones totales de los puntos c y d, considerando las mismas deflexiones parciales.

NUMERACIÓN DE LAS ESTACAS DE UN TRAZO PLANIMETRICO

• Tiene dos finalidades:

1) Determinar la ubicación correlativa con respecto a las demás estacas del trazo.

2) Determinar la distancia horizontal de cada estaca con respecto al origen del trazo, considerando que en cada kilómetro se reinicia la numeración de las estacas.

CROQUIS EXPLICATIVO

CONSIDERACIONES DEL SISTEMA DEL ESTACADOEl sistema de numeración de las estacas de un trazo más

utilizado en el Perú aplica las siguientes consideraciones:a) El módulo de distancia entre cada dos estacas

consecutivas es de 20m.b) A la estaca origen del trazo se le asigna el número

0+00, teniendo presente que en cada kilómetro la estaca 0+00 corresponde al origen de dicho kilómetro.

c) A las estacas que distan 20m de la anterior se les asigna números pares. O sea: 0+00, 2+00, 4+00, etc.

d) A las estacas que distan 10m de la anterior se les designa números impares.

e) A las estacas que distan menos de 10m de la anterior se les llama estacas fraccionarias y se les asigna el número de la estaca anterior más la distancia que la separa de dicha estaca anterior.

f) En este sistema de numeración multiplicando mentalmente por 10 el número de cada estaca, se obtiene su respectiva distancia horizontal con respecto al origen del trazo.

g) Para transformar en número de estaca una distancia horizontal de un trazo, se divide mentalmente entre 10 dicha distancia horizontal.

Por ejemplo, si una estaca del trazo dista 425.86 del origen, el número de dicha estaca será: N°(42+5.86).

VARIACIÓN DEL KILOMETRAJE CON LA INCORPORACIÓN DE LAS CURVAS

Consideremos la siguiente poligonal del trazado en planta.

Llamemos:PI (j)= sin curvaPI’(j)= con curvaL (j)= Longitud de la curva N° j.

PLANTA

INCORPORACION DE LAS CURVAS

• Al incorporar las curvas tendremos que:

• Vemos que:• PI’(1)= PI(1) PC(1)= PC’(1) PT(1)= PT’(1) = PC(1) + L(1)• Además:• PI’(2)= PT(1) + X; PI’(2)= PT(1) + PI(2) - PI(1) – T(1)• Luego: • PC(2)= PI’(2) - T(2) X• PT(2)= PC(2) + L(2) • Generalizando:• PI’(j)= PT(j-1) + PI(j) - PI(j-1) – T(j-1)• Luego: • PC(j)= PI’(j) - T(j) X• PT(j)= PC(j) + L(j)

EJEMPLO• La poligonal del trazo de un tramo de carretera,

antes de diseñarse las curvas circulares respectivas, se muestra en el siguiente croquis:

• Se pide: Elaborar el cuadro de elementos de curvas, considerando que los radios respectivos de las curvas circulares del eje son: R1 = 60m, R2 = 46m, R3 = 56m (rectificando las distancias de los PI con respecto al Kilómetro 3).

SOLUCION

CUADRO DE ELEMENTOS DE CURVAS

CURVA N°

R L T E PI PC PT

1 32°18’12”D 60 33.828 17.377 2.466 3+085.345 3+067.968 3+101.796 2 46°16’16”I 46 37.149 19.654 4.023 3+179.494 3+159.840 3+196.989 3 53°43’00”D 56 52.502 28.359 6.771 3+308.375 3+280.016 3+332.518 4 3+492.699

REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES SIMPLES“METODO DE LOS ANGULOS DE DEFLEXIÓN”

EJEMPLO DE APLICACIÓN 1• El croquis siguiente muestra una curva

horizontal circular simple de un tramo de carretera;

Se pide:

1. Elaborar el cuadro de elementos de curva.

2. Efectuar todos los cálculos necesarios para su replanteo por el método de los ángulos de deflexión, considerando arcos de 10m.

SOLUCION

a) CALCULO DE L, T y E. L = R ( ) = 37.149 m 180° T = R tg = 19.654 m 2 E = R(sec - 1) = 4.023 m 2 Cuerda mayor (C): C = 2R.sen = 36.148 m 2

b) CALCULO DEL N° DE LA ESTACA DEL PC y PT• Estaca del PI ........................... 42 + 9.019• Menos: T= 19.654/10 ............... 1 + 9.654• Estaca del PC ......................... 40 + 9.365• Más: L= 37.149/10 .................. 3 + 7.149• 43 + 16.514• Estaca del PT ........................... 44 + 6.514

c) CUADRO DE ELEMENTOS DE LA CURVA

CURVA N° R L T E PI PC PT 1 46°16’16”D 46 37.149 19.654 4.023 3+429.019 3+409.365 3+446.514

d) CALCULOS PARA EL REPLANTEO CONSIDERANDO ARCOS DE 10m R = 46 = 4.6 m No se deben utilizar arcos 10 10 mayores de 4.6 m; pero se

impone utilizar arcos de 10m; luego se debe calcular la longitud de las cuerdas correspondientes a los arcos

mayores de R/10.

e) ESTACADO GRAFICO En el croquis para determinar las estacas que se

deberán replantear.

f) CALCULO DE LOS ANGULOS DE DEFLEXIÓN PARCIAL (d)

Para el arco de 0.635m: (ENTRADA)

d = 28.64789 (0.635/46) = 0°23’44”

Para el arco de 10m:

d = 28.64789 ( 10/46) = 6°13’40”

Para el arco de 6.514m: (SALIDA)

d = 28.64789 (6.514/46)= 4°03’24”

g) CALCULO DE LA CUERDA CORRESPONDIENTE A LOS ARCOS DE 10r/10.

• C= 2 R sen d = 2x46 sen 0°23’44” = 0.635 m

• C= 2 R sen d = 2x46 sen 6°13’40” = 9.980 m• C= 2 R sen d = 2x46 sen 4°03’24” = 6.508 m

CUADRO DEL REPLANTEO POR DEPLEXIONES

ESTACA ARCO CUERDA DEFLEXIÓN . N° PARCIAL TOTAL PC(40+9.365) ---- ---- ---- ---- 41+00 0.635 0.635 0°23’44” 0°23’44” 42+00 10.000 9.980 6°13’40” 6°37’24” 43+00 10.000 9.980 6°13’40” 12°51’04” 44+00 10.000 9.980 6°13’40” 19°04’44” PT(44+6.514) 6.514 6.508 4°03’24” 23°08’08”

/2 = 46°16’16”/2= 23°08’08” Error de cálculo 0°00’00” OK

REPLANTEO DEL PUNTO MEDIO DE LA CURVA (F)

CALCULO DE LA DIRECCION DE LA EXTERNA E

• Primero determinamos la dirección de la externa (E). Para esto tenemos que calcular el ángulo b.

• Fórmula: b= 90°+I/2• Deducción:• b= a+I ……………...(1)• a= 90°+I/2 ………….(2)• Reemplazando 2 en 1:• b= 90°-I/2+I• b= 90°+I/2

OPERACIÓN DE CAMPO

• Estacionándonos en el PI lanzamos la visual al PC con ceros en el limbo horizontal,

• Damos vueltas de campana al anteojo y rotamos hasta formar el ángulo b en el limbo horizontal,

• Sujetamos el tornillo de presión del teodolito y en esa dirección medimos la longitud de la externa E, determinando así el punto F, que es el punto medio de la curva.

REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES POR EL METODO DE LAS ABSCISAS Y ORDENADAS SOBRE LAS

TANGENTES

CROQUIS EXPLICATIVO

PROCEDIMIENTO

• En este método, tomamos como origen de coordenadas el PC de la curva, como eje de las abscisas (XX’) la tangente inicial ED; como eje de las ordenadas (YY’) el radio OE que pasa por el PC de la curva.

• Por consiguiente, un punto cualquiera de la curva quedará perfectamente ubicado por sus dos coordenadas (X,Y). Así por ejemplo, el punto L de la curva quedará ubicado por su abscisa X=EP y por su ordenada Y=PL.

• Luego antes de proceder a replantear la curva por este método, tendremos que calcular las coordenadas de los puntos de la curva.

FORMULAS PARA CALCULAR LA ABSCISA Y ORDENADA

• CALCULO DE LA ABSCISA DE CADA PUNTO:

X= R.sen ....................... (1)

• CALCULO DE LAS ORDENADAS: Y= R(1-cos ) .................. (2)

• Por consiguiente, para calcular las coordenadas de los puntos de la curva, aplicando las fórmulas (1) y (2), tendremos que calcular previamente los ángulos respectivos; estos ángulos , son los ángulos en el centro correspondientes a los puntos de la curva.

Como las abscisas y las ordenadas de los puntos de la segunda mitad de la curva pudieran ser demasiado largos, se toman para los puntos de la segunda mitad de la curva la tangente DM como eje de las abscisas, el radio OM como eje de las ordenadas y como origen de coordenadas el PT de la curva.

Para ubicar las estacas en el terreno, se mide sobre la tangente a partir del PC la longitud calculada de las abscisas de cada punto y sobre las respectivas perpendiculares se mide los valores hallados para las ordenadas; para la segunda mitad de la curva se toma como origen de coordenadas el PT.

EJEMPLO DE APLICACIÓN • Calcular las coordenadas de las estacas

necesarias para replantear una curva circular con un ángulo de intersección I= 48°00’ y cuyo radio es 163.80m, sabiendo además que los números de las estacas del PC, PI y PT son:

• PI= N°(156+3.25)

• PC= N°(152+10.33)

• PT= N°(159+7.47)

CROQUIS

SOLUCIONA. Primera mitad de la curva:a) Cálculo de los ángulos en el centro para las

cuerdas de 20m: Sabemos que Grado de una curva circular, es el

ángulo en el centro correspondiente a una cuerda de 20m, luego calculando el grado de la curva tendremos el ángulo en el centro para cada cuerda e 20m.

• Fórmula del Grado de la curva: sen G/2 = 10/R ; R= 163.80m sen G/2 = 10/163.80 De donde: G/2 = 3°30’ G = 7°

b) Cálculo del ángulo en el centro para la cuerda de 9.67m:

Formamos la siguiente proporción:

20 = 9.67 = 7°x9.67m

7° 20m

= 3°23’

Deducidos los valores de , correspondientes a las estacas que se trata de fijar, aplicamos las fórmulas (1) y (2) para obtener las coordenadas X e Y de dichos puntos.

c) Cálculo de la abscisa correspondiente a la estaca N°153:Fórmula: X= R.sen .....................................(1)

X= 163.80 x sen 3°23’X= 9.64m

d) Cálculo de la ordenada correspondiente a la estaca N°153:Fórmula: Y= R(1-cos ) .................................(2)

Y= 163.80 (1-cos 3°23’)Y= 0.29m

Y así sucesivamente para el cálculo de las coordenadas de los demás puntos.

CUADRO DEL RESULTADO DE LOS CALCULOS PARA EL REPLANTEODE LAS ESTACAS DE LA PRIMERA MITAD DE LA CURVA

COORDENADAS ESTACA N° CUERDA X Y

153 9.67 3°23’ 9.64 0.29 154 20.00 10°23’ 29.52 2.67 155 20.00 17°23’ 48.94 7.48 156 20.00 24°23’ 67.62 14.61

B. Trazar la segunda parte de la curva:

Para trazar la segunda parte de la curva tomamos el PT como origen de coordenadas, haciendo previamente los cálculos correspondientes para esta segunda mitad de la curva.

e) Cálculo del ángulo en el centro para la cuerda de 7.47m: Formamos la siguiente proporción:

20 = 7.47 = 7°x7.47m 7° 20m

= 2°37’Deducidos los valores de , correspondientes a las estacas que se trata de fijar, aplicamos las fórmulas (1) y (2) para obtener las coordenadas X e Y de dichos puntos.

f) Cálculo de la abscisa correspondiente a la estaca N°159:Fórmula: X= R.sen .....................................(1)

X= 163.80 x sen 2°37’X= 7.47m

g) Cálculo de la ordenada correspondiente a la estaca N°159:Fórmula: Y= R(1-cos ) ................................(2)

Y= 163.80 (1-cos 2°37’)Y= 0.17m

Y así sucesivamente para el cálculo de las coordenadas de los demás puntos.

CUADRO DEL RESULTADO DE LOS CALCULOS PARA EL REPLANTEODE LAS ESTACAS DE LA SEGUNDA MITAD DE LA CURVA

COORDENADAS ESTACA N°

CUERDA X Y

159 7.47 2°37’ 7.47 0.17 158 20.00 9°37’ 27.36 2.30 157 20.00 16°37’ 46.84 6.84 156 20.00 23°37’ 65.62 13.72

PROCEDIMIENTO PARA REPLANTEAR ANGULOS CON TEODOLITOS DE MICROMETRO

• Replantear los siguientes ángulos que se muestran en el croquis:

PROCEDIMIENTO DE CAMPO

• Estando el teodolito (Wild T1) estacionado en el punto E, para replantear los ángulos a partir de la alineación E-1 se realiza lo siguiente:

1) Poner ceros en 1; luego con el tornillo micrométrico poner los 12’30”, soltar el tornillo de presión del limbo y barrer hasta obtener en el limbo horizontal 24° aproximadamente; sujetar el tornillo de presión del limbo y con el tornillo tangencial del limbo afinar los 24° exactamente y así tenemos la alineación E-2.

2) En dicha alineación ponemos con el tornillo micrométrico los 25’00” exactamente en el micrómetro; soltamos el tornillo de presión del limbo y barremos hasta obtener en el limbo horizontal los 55° aproximadamente y sujetamos el tornillo de presión del limbo y con el tornillo tangencial del limbo afinamos exactamente los 55° en el limbo horizontal, obteniéndose de esta manera la dirección de la alineación E-3.

3) Con el tornillo micrométrico pongo los 17’20” exactamente en el micrómetro; soltamos el tornillo de presión del limbo y barremos hasta obtener en el limbo horizontal aproximadamente los 78°; sujeto el tornillo de presión del limbo y con el tornillo tangencial del limbo afinamos exactamente los 78°, obteniéndose de esta

manera la dirección de la alineación E-4.

Ing. E. Gutiérrez C. - F. Cruz M.

Lima, Junio 1971

OBSTÁCULOS EN EL TRAZO DE LAS CURVAS

1) Cuando el PI es inaccesible.-

PROCEDIMIENTO DE CAMPO

• Sean ED y DM dos alineamientos rectos de un plano preliminar, siendo el PI inaccesible.

• En dicho plano preliminar mido una distancia arbitraria conveniente tal como RS y además medimos los ángulos a y b en dicho plano, luego procedemos a replantear los puntos R y S.

• En el triángulo DRS conocemos un lado y dos ángulos adyacentes a dicho lado, con estos elementos procedemos a calcular los lados DR y DS de dicho triángulo, aplicando la ley de los senos, obteniendo de esta manera las siguientes fórmulas:

FORMULAS DR= (RS).sen b sen(a+b) DS= (RS).sen a sen(a+b)Una vez calculados estos dos lados del triángulo, procedemos a calcular las distancias RE y SM que son los elementos que necesitamos para ubicar el PC y el PT respectivamente.Por observación de la figura tendremos que: RE= T- DR ......................................(1) SM= T – DS …………………………(2)Siendo: T= R.tg I/2O sea: T = R.tg a+b 2Luego para fijar en el terreno el PC y PT bastará medir a partir de R y S las magnitudes RE y SM respectivamente, cuyos valores están dados por las expresiones (1) y (2).

2) Cuando un obstáculo intercepta la curva.-

• Partiendo del PC se traza la parte de la curva Ee y partiendo del PT se traza la parte Mm que está al otro lado del obstáculo.

3) Cuando el PC es inaccesible.-

PROCESO DE CAMPO

• Supongamos calculada la curva, conocidos por consiguiente los valores de I, R, L, y , T, además el número de las estacas del PC y PT, siendo inaccesible el PC.

• Se hace estación en la estaca del PT y se traza la curva en sentido inverso, hasta el obstáculo que hace inaccesible al PC.

4) Cuando el PC y el PT son inaccesible

PROCESO DE CAMPO

• Para solucionar este problema trazamos por el punto medio de la curva la tangente TT’ y con relación a esa tangente que se tomará como tangente inicial, se deflexionará a ambos lados de dicho punto medio para ubicar las estacas correspondientes hasta llegar antes de los obstáculos.

CURVAS COMPUESTAS • Son aquellas curvas formadas por dos o más curvas

circulares simples, tangentes entre sí de distinto radio y cuyos centros respectivos se encuentran en el mismo lado de la curva.

• Se recurre a las curvas compuestas por las siguientes razones:

a) Para adaptar el trazo a la configuración del terreno, disminuyendo el costo del movimiento de tierras.

b) Cuando la curva ha de iniciar en un punto fijo y terminar en otro, resultando las tangentes desiguales.

c) En todos aquellos casos en que una curva simple no pueda satisfacer las condiciones impuestas al trazado.

CURVA COMPUESTA DE DOS CENTROS

Donde:PCC= Punto de Curva compuestaPCC= PT1 = PT2

FÓRMULAS PARA EL DISEÑO:1) = 1+22) t1= R1 tg 1 2 3) t2= R2 tg 2 2 4) VG = VH = t1+ t2 sen 1 sen 2 sen5) T1 = VH + t16) T2 = VG + t2

• Si por ejemplo, se tiene que mantener fijo uno de los valores de T; entonces el método más conveniente sería medir a escala 1 o 2 y mantener fijo el R adyacente únicamente. O sea que si tenemos como dato y 2, T1 y R1 tenemos que hallar 1, T2 y R2 aplicando las fórmulas anteriores.

• La diferencia de Radio no debe ser mayor de 30%.

• Estas curvas también se aplica cuando se tiene los pasos a desnivel, tal como la figura siguiente:

1) T1 = R1 tg 1

2

2) T2 = R2 tg 2

2

3) T3 = R3 tg 3

2

CURVAS REVERSAS• Son curvas circulares simples tangentes entre sí

cuyos radios están en distintos lados de la curva, siendo el radio de una de ellas prolongación del radio de la otra.

• Las curvas reversas son utilizadas en carreteras en zonas montañosas donde la dirección directriz es muy pequeña; las Normas Peruanas de Caminos especifican que las curvas reversas deben evitarse, dejando una tangente intermedia de longitud conveniente (24m) para poder efectuar la transición del peralte.

• En ferrocarriles y carreteras de altas velocidades quedan totalmente descartadas.

ENLACE DE DOS ALINEAMIENTOS RECTOS PARALELOS POR MEDIO DE UNA CURVA REVERSA

• Por ejemplo, en las estaciones de los ferrocarriles, donde se desarrolla baja velocidad.

P.CR= punto de curva reversa; observando:d= m1+m2 ................................(1)m1= R2-O2Q = R2-R2cos = R2(1-cos )m2= R1-O1P = R1-R1cos = R1(1-cos )d= R1(1-cos )+R2(1-cos )

d= (R1+R2)(1-cos ) ....................(I)

D= PM + MQD= R1sen +R2sen

D= (R1+R2) s.en .................................(II)

• Intervienen en este diseño 5 cantidades: (d, D, R1,R2, )

• Asignando valores convenientes a 3 cualquiera de ellas podemos calcular por (I) y (II) las 2 cantidades restantes; para que la curva reversa resulte más cómoda los radios deben ser iguales:

R1 = R2 = R; obteniéndose: PM = MQ = D 2 Por lo tanto tendremos en m1= m2 = d este caso: 2

d= 2R(1-cos ) .................................(I’)

D= 2R.sen ..............................…..(II’)

Además:

Tg = d1 … ..............................…..(III’)

2 D

CURVA DE VOLTEO• Un problema especialmente importante lo

constituyen las curvas de volteo. Ellas deben ser en menor número y debe elegirse con mucha atención el lugar donde se construirán: corresponderá al lugar más plano que sea posible encontrar. Faltando una distancia L (determinada más adelante) para llegar al terreno donde empezará la curva de volteo, la pendiente del trazo debe ser nula (horizontal); se llegará a la curva y se la trazará íntegramente.

• Para esto será necesario identificar el centro de la curva y, usando una wincha cuyo inicio se ubique en dicho centro, se trazarán los arcos de círculo que representan los extremos exterior e interior de la vía.

GRAFICO DE LA CURVA DE VOLTEO

•CURVA DE VOLTEO•P.T.= Punto de tangencia•P.C.= Principio de la curva•C.C:= Centro de curvatura•Ri = Radio interior•Re = Radio exterior•Re min = 10m•Ri min = 6m

TRAZO DE LA CURVA DE VOLTEO

1. El responsable del trazo decidirá el punto de tangencia en el borde INTERIOR de la curvatura y continuará trazando la línea de gradiente, con pendiente nula (horizontal) hasta alejarse una distancia L de la curva de volteo, en que podrá darle nuevamente la pendiente normal de la línea de gradiente.

2. Debe observarse que se ingresa a la curva de volteo por el extremo exterior, se sale de ella por el extremo interior. La diferencia entre ambos es el ancho de la vía.

3. El ancho mínimo para el trazo de la vía en estas condiciones será de 4.00m, debiendo incluir zonas más anchas (6.00m mínimo) cada cierta longitud, para permitir el cruce de los vehículos. Dicha distancia depende de la frecuencia de tránsito que tenga la carretera, pues conforme aumente el tránsito se deberá ir aumentando el número de las plazuelas de cruce. El objetivo final consiste en ensanchar toda la carretera hasta un ancho tal que permita el cruce de los vehículos en cualquier lugar.

4. El objetivo de acercarse y alejarse de la curva de volteo con pendiente nula consiste en descontar el desnivel que tiene el extremo inicial y el final de la misma por encontrarse a media ladera. Vista de perfil, la línea de gradiente queda de la siguiente manera:

VISTA DE PERFIL

OTRA MANERA DE TRAZAR EN EL CAMPO

UNA CURVA DE VOLTEO

5. El responsable del trazo deberá ubicar aproximadamente el P.C. en el arco de círculo exterior, en la parte más baja, y de allí trazar una línea horizontal en el terreno hasta intersectar a la línea de gradiente ya trazada.

6. Asimismo, se ubicará el P.T. en la parte más alta del círculo interior y se trazará una línea horizontal hasta intersectar a la línea de gradiente ya trazada.

7. La línea de gradiente deberá volver a estacarse partiendo de la primera intersección con la recta en el campo, siguiendo los alineamientos ya conocidos en el campo, con la finalidad de llevar el conteo correcto de la distancia.

• Para construir la carretera en la curva de volteo será necesario hacer cortes y rellenos que modificarán totalmen-te las líneas de referencia que se han usado para su trazo.

• El control de la longitud del trazo, en la curva de volteo, debe hacerse en el eje (centro) de la carretera, para lo cual, después de haber trazado la línea exterior como la interior, se estacará cada 5.00m el eje, partiendo del P.C. (principio de curva) y terminando en el P.T. (punto de tangencia). Estas estacas se ubican en el terreno y es necesario medir sus desniveles, para encontrar el desnivel total de la curva de volteo; con ese dato, escoger la longitud e la línea de gradiente con pendiente nula.

• Al tomar la longitud “L” horizontal, antes y después de la curva de volteo, se garantiza que, después de construida la carretera, resulte con pendiente uniforme en toda la longitud, siempre que dicha pendiente se mida en el eje

central del camino.

• Otra manera de trazar en el campo una curva de volteo, consiste en:

1. Trazar la línea de gradiente sin variación de pendiente, hasta llegar al extremo de la curva de volteo propuesta (punto M).

2. Invertir el sentido de trazo en este punto y continuar trazando la línea de gradiente de llegada.

• De esta manera, en el terreno queda dibujado un ángulo agudo con vértice en M.

3. Partiendo de M, trazar la bisectriz del ángulo formado y medir en dicha recta el radio exterior, ubicando de esta manera el C.C. (centro de curvatura).

4. A partir de C.C. replantear el círculo que determina el radio exterior (que pasa por M), el radio interior y el radio del eje.

PERALTE• Cuando los vehículos ingresan a las curvas, se

genera una fuerza centrífuga que los empuja hacia el lado exterior de la vía. El efecto de esa fuerza centrífuga se contrarresta sobre-elevando el extremo exterior con respecto al interior; ésta sobre-elevación se llama PERALTE. Por lo tanto todas las curvas horizontales deben ser peraltadas.

• Según las Normas Peruanas de Caminos, el peralte tendrá como valor máximo normal el 6% y como valor máximo excepcional el 10%. Los valores correspondientes a los peraltes del radio mínimo normal y excepcional para cada velocidad directriz están indicados en las respectivas tablas de éstas Normas.

GIRO DEL PERALTE

• Según las Normas Peruanas, el giro del peralte se hará en general, alrededor del eje de la calzada.

• En los casos especiales, como por ejemplo en terreno excesivamente llano, cuando se desea resaltar la curva, puede realizarse el giro alrededor del borde interior.

TRANSICIÓN DEL PERALTE O RAMPA DE PERALTE

Los puntos A y B pertenecen al alineamiento recto y a la curva circular.

• Por pertenecer al alineamiento recto, estos dos puntos A y B deben quedar a la misma altura; pero por pertenecer también a la curva circular, el punto A debe estar sobre-elevado con respecto al punto interior B de la sección AB, pero como no es posible pasar bruscamente de un nivel a otro, porque se formaría una grada como en la figura (b), se debe diseñar y construir una rampa llamada “RAMPA DE PERALTE” o “LONGITUD DE TRANSICIÓN DEL PERALTE”, levantando gradualmente el extremo exterior, hasta alcanzar el peralte requerido por la curva circular.

La longitud de la rampa de peralte o longitud de transición del peralte, según las Normas Peruanas de Caminos, está dado por la tabla 5.3.4.5 pág. 33, en la cual se ingresa con el ancho del pavimento y con el peralte en porcentaje.

Cuando el alineamiento recto se enlaza directamente con la curva circular, la longitud de la transición del peralte se toma la mitad de dicha longitud desde el PC hacia el alineamiento recto y la otra mitad se toma desde el PC hacia la curva hasta alcanzar el peralte total.

TRANSICIÓN DEL PERANTE

GIRO DEL PERALTE

• L= Longitud de transición del peralte

• p= peralte en porcentaje (%)

• b= bombeo en porcentaje (%)

• P= Peralte máximo en metros, o desnivel máximo respecto al eje.

• B= Bombeo máximo en metros o desnivel respecto al eje.

En la tabla 5.3.4.5 pág 33 entramos con el peralte (p) y con el ancho del pavimento en metros, obteniendo la longitud de transición del peralte.

EJEMPLO

Para un peralte de 6% y un ancho de pavimento de 6m obtenemos una longitud de transición del peralte de 36m.Cálculo del término: bL ; Suponiendo un bombeo b= 2%. pbL = 0.02x36 = 12m p 0.06

Cuando se usan CURVAS DE TRANSICIÓN, la transición del peralte se forma en la longitud de tales curvas hasta que en el punto de empalme con la curva circular se llegue al peralte total, continuando con dicho peralte total en toda la curva circular, comenzando luego a disminuir a partir de la curva de transición de salida. Luego, la longitud de la curva de transición no debe ser menor que la longitud de la rampa de peralte.

SOBREANCHO DE LAS CURVAS HORIZONTALES

El vehículo al ingresar a una curva ocupa un ancho mayor que en recta, porque las ruedas traseras no siguen exactamente la línea de las delanteras, debido a la rigidez de la base del vehículo

Debido a este concepto, las secciones transversales en curva horizontal deberán ser provistas del sobreancho necesario para compensar el mayor espacio requerido por los vehículos.Según las Normas Peruanas de Caminos, el sobreancho variará de acuerdo al tipo de vehículo, del radio de la curva y de la velocidad directriz. Los valores del sobreancho se obtienen del gráfico correspondiente de las mencionadas Normas, ingresando con el radio y con la velocidad directriz. El valor del sobreancho se puede obtener también aplicando la siguiente fórmula: S= n(R- (R2-L2)) + V ; S= Sobreancho en metros 10R V= Velocidad en Km/h R= radio en metros

N= número de carriles, generalmente 2.

L= distancia entre ejes del vehículo (6 metros).

EJECUCIÓN DEL SOBREANCHO • Según las Normas Peruanas de Caminos el

sobreancho afectará solamente a la superficie de rodadura y seguirá la misma inclinación del peralte respectivo, permaneciendo inalteradas las dimensiones y la inclinación de las bermas.

• El sobreancho se adosará íntegramente al lado interior de las curvas, si ellas no están provistas de curvas de transición.

• La realización del sobreancho será gradual, a lo largo de la longitud de transición prevista para el peralte, y de acuerdo al procedimiento que indican las Normas.

FIN