2.1- Ecuación paramétrica de la línea recta

La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen numerosas formas de representar una recta, lo que incluye tanto laforma paramétrica como la vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuación vectorial que denote una línea recta. El parámetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una relación particular con la ayuda de los parámetros. Por tanto, una ecuación paramétrica es una ecuación que está basada en una variable en particular. Una ecuación paramétrica, en términos generales, se conoce también como representación paramétrica. Ejemplo: Considere la ecuación x = 2 + 3t. En esta ecuación, t denota el parámetro y la ecuación se conoce como ecuación paramétrica en términos de t.

Si así consta, por lo general, las ecuaciones de la forma x = x0 + ta; y = y0 + tb; z = z0 + tc representan las ecuaciones paramétricas delínea recta. Para conseguir un punto particular en la recta, todo lo que tenemos que hacer es tomar el valor de t de cualquiera de las ecuaciones e insertarlo en otra ecuación. Como resultado, obtenemos las coordenadas reales de un punto determinado en la recta.

Consideremos un ejemplo con el fin de encontrar una ecuación paramétrica para una recta entre los puntos (−1, 3) y (1, 1).

Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (−1, 3) como punto inicial.

Paso 2: Ahora, tomemos las coordenadas x para los rangos indicados. Es posible observar que −1 está a 2 unidades de distancia del 1. Por tanto, x = −1 + 2t

Paso 3: Del mismo modo, teniendo en cuenta las coordenadas y para los rangos indicados, es posible ver que el 3 está a −2 unidades de distancia del1. Por tanto, y = 3 - 2t.

Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas para la recta entre los puntos (−1, 3) y (1, 1) son x = −1 + 2t e y = 3 - 2t. Otra forma de ecuación paramétrica en el campo del cálculo vectorial se denomina ecuación vectorial. El cálculo de la ecuación vectorial se basa en el concepto del cálculo de la ecuación paramétrica.

Por ejemplo: Suponga que queremos encontrar una ecuación vectorial para una línea entre los puntos (−1, 3) y (1, 1).

Se procede de la siguiente manera:

Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (−1, 3) como punto inicial.

Paso 2: Un vector de dirección es calculado. Es el vector que muestra movimiento desde el punto inicial hasta el punto final. Ahora, con el fin de alcanzar al punto (1, 1), debemos mover a x e y a 2 y −2 unidades, respectivamente. Por tanto, el vector de dirección viene a ser (2, −2).

Paso 3: Por consiguiente, la ecuación vectorial toma la forma de: (−1, 3) + (2, −2) t.

La principal diferencia entre la ecuación paramétrica y la vectorial de la recta es el hecho de que con la ayuda de la ecuación vectorial de la recta, la forma del vector es conocida, mientras que la forma paramétrica ayuda a conocer las coordenadas reales del punto.

2.2- Curvas planas

Las curvas son una parte esencial de las matemáticas.

Existe una gran variedad de curvas que serán tratadas en la vida matemática.

Una curva que se encuentra en un plano individual se dice que es una curva plana.

Una curva plana puede ser clasificada en plana cerradao plana abierta.

La solución de una ecuación algebraica en un plano definido, por ejemplo, f(x, y) = 0 o la solución de una ecuación simple en el espacio, esto es, por ejemplo g(x, y, z) = 0, forma una curva plana.

Algunas de las propiedades de los planos en los cualesse encuentran las curvasson las siguientes:

1). Sólo se puede obtener una curva plana a través de tres puntos que no sean de origenco-linear.

2). Sólo puede existir un plano que contenga dos líneas concurrentes.

3). Sólo puede obtenerse1 plano perpendicular en una dirección dada y a una distancia dada desde el origen.

4). Un solo plano puede ser obtenido desde un punto dado y enuna dirección perpendicular dada.

Por tanto, a partir de estas propiedades, puede decirse que tres puntos dados especifican un plano dado, que dos rectas concurrentes especifican un plano dado, una normal a un plano y la distancia del plano desde el origen especifican

un plano particular y, por último, que un punto en el plano y una normal al plano especifican un plano particular.

La ecuación que representa una curva plana se basa enteramente en el sistema de coordenadas. Algunas de las ecuaciones de las curvas planas con el sistema de coordenadas incluyen:

polar, f(r,θ) = 0

rectangular, f(x,y) = 0

paramétrica, x = f(t), y = g(t)

La creación de curvas planas puede efectuarse a través de curvas de contorno o nivel para una función de 2 variables.

Una función de dos variables generará un gráfico triple ordenado en 3D (x, y, z). Aquí z = f (x, y).

Una ecuación algebraica también puede ayudar a generar una curva plana.

Una ecuación algebraica es aquella ecuación en la cual sólo algunas de las operaciones están involucradas, lo que incluye la suma, resta, división, multiplicación, hastalas potencias fraccionarias o integrales y la extracción de la raíz.

Unacurva Plana Algebraica forma también una categoría importante en el concepto de curvas planas.

En el caso que la ecuación Cartesiana que esté definiendo la curva sea algebraica, entonces se dice que la curva es una curva algebraica.

Cuando el grado de la curva algebraica es mayor que dos, en ese caso, la curva algebraica se conoce como curva de niveles superiores.

El grado está asociado con todas y cada una de las curvas algebraicas y, puede calcularse mediante la determinación del número total de intersecciones de una recta genérica y en una curva.

Junto con las curvas planas algebraicas, otro tipo de curva plana comúnmente estudiada son las curvas suaves.

Una curva suave puede definirse como una curva situada en el plano Euclidiano y también es una variedad diferenciable 1-D.

Veamos algunos ejemplos de curvas planas:

Aquí la figura (a) representa una estrofoide derecha. La figura (b) es un tridente de Newton. La figura © es un cardioide. La figura (d) es un deltoide. La figura (e) es un “Palo Chino en dos”. La figura (f) es un lemnisco de Bernoulli.

2.3- Ecuaciones Parametricas De Algunas Curvas

Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica

En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y. Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana.

Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo parámetro, generalmente, este parámetro es ‘t’.

Una curva que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el parámetro ‘t’ como,

x = f(t) y = g(t)

Por ejemplo, una ecuación que represente la caída de una partícula desde una altura x en un tiempo t, se representa generalmente a través de una ecuación

Cartesiana, sin embargo esta puede ser presentada a través de una ecuación paramétrica que sea función del tiempo t.

La curva paramétrica es el conjunto de todos los puntos de t que a su vez representan un par (x, y) o (f (t), g (t)).

Trazar una curva paramétrica es ligeramente diferente a trazar una curva plana.

Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la más conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y obtener los valores correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en coordenadas Cartesianas.

Sin embargo, existen problemas importantes asociados con este método, siendo uno que no conocemos los límites del parámetro. Y en ausencia de límite la gráfica se extendería en ambas direcciones hasta el infinito.

En efecto, no existe una solución adecuada a este problema, ya que todo depende completamente del problema dado y la única solución es limitarla uno mismo hasta un valor específico y asumir que esta es la extensión del gráfico.

Otro método para graficar una curva paramétrica es eliminar el parámetro de la ecuación y reducir la ecuación en términos de una ecuación Cartesiana, la cual puede ser graficada con mayor facilidad. De hecho existen varios métodos para hacer esto.

Uno de estos métodos consiste en resolver una de las ecuaciones paramétricas para la variableparamétrica ‘t’.

Reemplace este valor de ‘t’ en la otra ecuación paramétrica y déjela así, esta es una ecuación Cartesiana en términos de x e y.

Sin embargo la técnica anterior no es siempre fructífera, especialmente cuando se trata de funciones trigonométricas, ya que puede convertirla ecuación a una forma más críptica que definitivamente no pueda ser resuelta.

Hacer uso de las identidades trigonométricas definitivamente sería una mejor opción en este escenario.

Asimismo existe una amplia gama de técnicas disponibles, todo dependerá de la función dada, esto seentenderá con más práctica.

Ahora tratemos de resolver un ejemplo que involucre las técnicas descritas anteriormente para arrojar algo de luz sobre los conceptos tratados.

p = 4cos (t) q = 3 sin (t) 0 <= t <= 2

La función dada implica funciones trigonométricas así que tratemos de hacer uso de las identidades trigonométricas para reducirla. p/ 5 = cos (t) q/ 3 = sin (t)

p2/ 25 = cos2 (t) q2/ 9 = sin2 (t)

Podemos hacer uso de la identidad sin2 (t) + cos2 (t) = 1. Entonces,sume las dos ecuaciones para producir una ecuación única como,

p2/ 25 + q2/ 9 = 25cos2 (t)/ 25 + 9sin2 (t)/ 9

p2/ 25 + q2/ 9 = 1

La ecuación reducida es una ecuación Cartesiana que puede sergraficada mediante la elaboración de una tabla que represente los valores de entrada y salida de la función como, p q 5 0 0 2 -5 0 0 −2

El gráfico de la función sería,

2.4- Derivada de una función dada paramétricamente

Existe una relación paramétrica entre dos ecuaciones cuando ambas actúan como función del mismo valor.

Un gráfico puede ser trazado para estas ecuaciones, el cual forma una curva que no es descrita con respecto a su función directamente, sino a través de alguna otra variable común entre ambas relaciones, y esta podría ser una curva que se trace sobre su propio recorrido.

Tales funciones de la curva formanuna parte integral del vector cálculo.

La funciónparamétrica puede ser representada de la manera siguiente:

x = f (t), y = g (t)

Es posible observar que no existe una relación directa entre x e y, pero que si están relacionadas a través de otra variable, t.

Esta t es llamada el ‘parámetro’. En otras palabras, una ecuación paramétrica es una ecuación que se basa en una variable en particular.

Una ecuación paramétrica, en términos generales, se conoce también como representación paramétrica y tales funciones se llaman funciones en su forma paramétrica.

La función de una curva es escrita en forma paramétrica en caso de que la curva no pueda ser escrita en forma de una sola ecuación.

Estas funciones paramétricas en la física son definidas con el fin de reflejar el cambio de posición de un objeto en particular usando el tiempo como referencia.

Es a veces necesario encontrar la razón de cambio de una función paramétrica.

Para calcular la derivada, debemos diferenciarla con la ayuda de una regla determinada. Conocemos que y con respecto a t, mostrará la siguiente relación

dy/dt = (dy/dx) . (dx/dt)

dy/dx = (dy/dt) . dx/dt

En ambos casos, dx/dt no debe igualarse a 0.

El concepto anterior se conoce como regla de la cadena.

En los lugares donde las derivadas se calculan directamente, es decir, donde no existe una fórmula directa para el cálculo de derivadas, la regla de la cadena puede aplicarse con el fin de hacer el cálculo más fácil.

Vamos ahora a entender mejor la aplicación de la regla de la cadena, así como el concepto de diferenciación de las funciones paramétricas con un ejemplo.

Encontremos la ecuación de la recta tangente en un valor dado de t, cuando

x= 3t2 - t

t = 4

Para calcular las co-ordenadas, tenemos la siguiente relación

y – y1 = m (x – x1)

Aquí, vamos a calcular la pendiente de la ecuación y las co-ordenadas. El valor de x para t = 4, es

t = 4, x = 3 x 42 – 4

= 3 x 16 – 4

= 48 – 4

= 44

y el valor de y sería,

A partir de estos valores, deducimos que cuando t = 4, la tangente pasa por las coordenadas (44,2).

Ahora, para calcular la pendiente, m, que es dy/dx, tenemos que aplicar la fórmula de la regla de la cadena como:

dy/dx = (dy / dt) / (dx / dt)

dy/dt = 

Sin colocar el valor de t en ambos lados de la ecuación, obtenemos

= (¼) / (24 −1)

= (¼) / 23

= 1 / 92

Después de colocar los valores que hemos obtenido, conseguimos la ecuación para la tangentede la curva como de la manera que sigue

y – 2 = 1 / 92 (x - 44)

2.5 -Coordenadas polares

Un sistema de coordenadas bidimensionaltambién es conocido como sistema de coordenadas polares. En tales sistemas de coordenadas, cada uno de los puntos situados sobre un plano particular se determina con respecto a un ángulo de dirección fija y a una distancia fija del punto. El punto fijo se conoce como Polo y un rayo en una dirección particular que se origine del polo se conoce como eje polar. La distancia fija se conoce como radio o coordenada radial y el ángulo de dirección fija se conoce como ángulo polar o coordenada angular.

En general, el radio está representado por ‘r’, lo cual convierte a la coordenada radial y al ángulo polar mediante t, o a veces mediante , lo cual convierte las coordenadas polares o las coordenadas angulares. Estos ángulos polares se calculan en radianes o grados. Un valor positivo del ángulo polar sugiere que fue calculado en sentido contrario a la dirección del eje correspondiente.

se mide en el sentido contrario a las manecillas del reloj desde el primer cuadrante o eje x.

Una coordenada polar también puede convertirse en una coordenada Cartesiana correspondiente, por ejemplo

x = r cos

y = r sin

Aquí x e y son las coordenadas Cartesianas correspondientes a las coordenadas polares ry . Por tanto,

En este caso, siempre estará en el intervalo (-π, π]. Esto es, entre 180 º a −180 º grados. Sin embargo, las fórmulas anteriores consideran que el polo está en el origen de las coordenadas Cartesianas, el eje x es el eje polar, y el eje y se encuentra en la dirección de 90 º.

Consideremos las ecuaciones circulares en términos de coordenadas polares:

Una ecuación circular con un radio a y el origen como su centro estárepresentado por x2 + y2 = a2.

Ahora haciendo uso de las ecuaciones

x = r cos

y = r sin

Obtenemos,

r2cos2 + r2sin2 = a2

Esto produce,

r2 (cos2 + sin2 ) = a2

Ahora, por la reglatrigonométrica, cos2 + sin2 = 1

Esto da, r2 = a2

Esto es, r = a.

Por consiguiente, la ecuación del círculo x2 + y2 = a2en coordenadas Cartesianas puede transformarse a la ecuación en coordenadas polares r = a.

Entendamos ahora los pasos para la obtención de las coordenadas polares de un punto que se encuentra sobre el plano.

•Sea O un punto estático sobre el plano, nómbrelo como polo.

•Dibuje el eje xy el eje y que pasa por el punto elegido. El vector que yace sobre el eje x es E, cuyo valor absoluto es 1.

•A continuación, elija otro punto P y dibuje una línea a través de O que intersecte con este punto P.

•El ángulo entre el eje x y la recta es . •Y la coordenada radial ‘r’ es igual a P = r. U

•Por tanto (r, t) o (r, ), es el par de coordenadas polares para el punto P.

Pueden existir numerosas coordenadas polares para un solo punto en el plano.

A modo de ilustración, en el ejemplo anterior (r, t + 2.c. ) y (-r, t + (2.c + 1). ) también forman un par de coordenadas polares para el punto P. Aquí c es un valor entero.

2.6- Graficación del Plano Polar de una Curva

Las curvas polares, a diferencia de las curvas algebraicas, son definidas principalmente en términos de su ángulo, este es .

Un polo está situado en un lugar de manera tal que el valor de es siempre cero para todos los valores de r.

Por lo tanto, graficar una función polar es diferente quegraficar una función algebraica. El pre-requisito fundamental para graficar una función polar es un sistema de coordenadas polares.

Esta gráfica contiene los puntos de la forma (r, ), los cuales en conjunto forman la gráfica de la función dada.

Como sabemos que un gráfico polar contiene puntos de la forma (r, ), deberíamos asegurarnos de que esté expresado en términos de grados o en radianes, y también de que todos los puntos estén en una de estas formas. Con el fin de convertir los grados en radianes, multiplique la cantidad dada por / 180.

Mientras se grafica una función polar hay ciertas cosas que son necesarias a tener en cuenta. Algunos de ellos son:

1. Muchas de estas curvas son de forma simétricastales como lascardiodes. Por lo tanto, en lugar de trazar los valores de iguales a cero a 360, sólo los valores hasta 180 puede ser encontrados y el gráfico restante puede ser trazado con simetría.

2. Seleccione los valores de que hagan el valor de r máximo, mínimo o cero. Esto se hace para encontrar los puntos de intercepción.

3. Como ejemplo, para una función, r = 4 sin ( ), sustituyendo el valor de con cero, haría el valor de r igual a cero. Por lo tanto, el punto en el gráfico se convierte en (0, 0) el cual es un punto de intercepción.

Los pasos paragraficar una función polar son los siguientes:

1. Determine el valor de la función para los distintos valores de . Por lo general, la función de entrada se calcula para / 6, / 4, / 3, / 2, 2 / 3, 3 / 4, 5 / 6 y .

2. Puede utilizaruna calculadora gráfica para calcular del valor de la función.

3. Note si la función está mostrando la simetría para los valores más altos de . Si no es así, calcule la salida de la función para los valores más altos de también.

4. Dibuje una tabla para todos los valores de y para el valor correspondiente de la salida de la función.

5. Con la ayuda de esta tabla, empiece a trazar el gráfico de la función sobre un gráfico que exhiba el sistema de coordenadas polares, como se muestra a continuación,

6. Una los puntos marcados en el gráfico unos con otros. Para una función que exhiba simetría, amplíe el gráfico hacialos cuadrantes opuestos para completar la gráfica.

Algunas de las funciones polaresimportantes son de graficocardiode, caracol, espiral equiangular, mariposa, etc. Representemos ahora una de estas funciones. r = 2 + 3 sin ( )

El primer paso es dibujar una tabla que muestre la salida de la función para diferentes valores de .

(Grados) 00 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 27003000 3300 3600

(Radianes) 0 /6 /3 /2 2 /3 5 /6 7 /6 4 /3 3 /25 /3 11 /6 2

r=2+3sin( ) 2 3.5 4.60 5 4.6 3.5 2 0.5 −0.60 −1 −0.60 0.5 2

Ahora debemos trazar estos puntos sobre un sistema de coordenadas polar,

Finalmente una todos los puntos para obtener la gráfica como,

Cibergrafia

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