Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.R. �Alvarez-NodarseDepartamento de An�alisis Matem�ati o. Fa ultad de Matem�ati as. Universidad de Sevilla.Apdo. 1160, E-41080, Sevilla, SpaineInstituto Carlos I de F��si a Te�ori a y Computa ional Universidad de Granada.E-18071 Granada, SpainE-mail: ran� i a.es, renato�gandalf.ugr.esWWW: http://gandalf.ugr.es/erenato/Sevilla, 17 de julio de 1999ResumenEn el presente trabajo se resumen algunas de los m�etodos utilizados para el estudio de laspropiedades espe trales medias de los polinomios ortogonales l�asi os. Un �enfasis espe ial seha e en los m�etodos a partir de las rela iones de re urren ia a tres t�erminos que satisfa en lasfamilias de polinomios ortogonales. Como apli a i�on se muestran algunos ejemplos de familias l�asi as ontinuas, dis retas as�� omo de q-polinomios.�Indi e General1 Algunas propiedades generales de los polinomios ortogonales 11.1 Propiedad de ortogonalidad y rela i�on de re urren ia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Propiedades de los eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 El teorema de separa i�on de Chebyshev- Markov-Stieltjes. . . . . . . . . . . . 32 Polinomios l�asi os y q{polinomios 52.1 Los polinomios l�asi os \ ontinuos". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Los polinomios l�asi os \dis retos". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Los polinomios l�asi os en redes no uniformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Propiedades espe trales. 133.1 Los momentos de la densidad de la distribu i�on de eros a partir de la e ua i�ondiferen ial de grado 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.1 Los momentos de la distribu i�on de eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.2 La densidad WKB de la distribu i�on de eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Los momentos a partir de la rela i�on de re urren ia a tres t�erminos. . . . . . . . . . 193.3 Distribu i�on de eros de los polinomios l�asi os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Distribu i�on de eros de los q-polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Apli a iones. 344.1 Polinomios de Ja obi y Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.1 Densidad WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.2 Densidad asint�oti a a partir de la rela i�on de re urren ia . . . . . . . . . . . 354.2 Polinomios de Charlier y Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 q-Polinomios de Charlier y polinomios de Askey-Wilson. . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.1 Los q-polinomios de Charlier �n(x; q) en la red x(s) = qs. . . . . . . . . . . . 414.3.2 Los q-polinomios de Askey y Wilson pn(x; a; b; ; d). . . . . . . . . . . . . . . 42Bibliograf��a 44

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 11 Algunas propiedades generales de los polinomios ortogonales1.1 Propiedad de ortogonalidad y rela i�on de re urren ia.Sea � una fun i�on no de re iente en (a; b) (�(x) 6= onst) y tal que si el intervalo (a; b) es noa otado, o sea si a = �1, enton es limx!�1�(x) > �1 y si b = 1, enton es limx!1�(x) < 1.Diremos que una fun i�on f pertene e al espa io Lp�[a; b℄ siZ ba jf(x)jpd�(x) <1:Cuando p = 1 es ribiremos simplemente f 2 L�[a; b℄.De�niremos el produ to es alar de dos fun iones f y g pertene ientes a L2�[a; b℄ omo la integralde Stieltjes-Lebesgue < f; g >= Z ba f(x)g(x)d�(x):(1.1)Para una fun i�on � pre�jada de antemano, la ortogonalidad respe to a la distribu i�on d� vendr�ade�nida por la rela i�on: < f; g >= 0 ;y diremos que f y g son ortogonales, o que, f es ortogonal a g respe to a la distribu i�on d�. Si �es absolutamente ontinua en el intervalo (a; b), el produ to es alar (1.1) se puede rees ribir omola integral de Lebesgue: < f; g >= Z ba f(x)g(x)�(x)dx ;(1.2)donde � es una fun i�on medible no negativa tal que 0 < R ba �(x)dx <1. A la fun i�on � la llamare-mos fun i�on peso.Consideremos ahora el espa io ve torial L2�(a; b). De�namos en este espa io el produ to es alar(1.1) y la norma de un ve tor mediante la expresi�on jjf jj = p< f; f >. Si jjf jj = 0 diremos que fes el ve tor nulo. Si jjf jj = 1 diremos que f es un ve tor normalizado. Si f no es nula enton espara ierto valor � 6= 0 el ve tor �f es un ve tor normalizado.De�niremos los momentos �m aso iados a la distribu i�on d�(x), a las antidades�m = Z 1�1 xmd�(x);(1.3)que supondremos �nitos. Si adem�as �(x) tiene un n�umero in�nito de puntos de re imiento en ierto intervalo [a; b℄, enton es el pro eso de ortogonaliza i�on de las poten ias 1; x; x2; � � � ; xn; � � �respe to al produ to es alar (1.2) nos ondu e a una familia de polinomios fPng1n=0, tales queZ 1�1 Pn(x)Pm(x)d�(x) = KnÆnm; Pn(x) = anxn + � � � ; an > 0; Kn 6= 0;que denominaremos polinomios ortogonales respe to a la distribu i�on d�(x). Adem�as, di ha familiaest�a un��vo amente determinada on tal que �jemos la su esi�on de oe� ientes prin ipales fang1n=0.Un aso de gran importan ia y utilidad es el aso de�nido positivo que orresponde a aquel uando

2 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.Kn > 0 para todo n = 0; 1; 2; :::. En el aso uando an = 1 para todo n se di e que la familia esuna familia de polinomios ortogonales m�oni os y su expresi�on expl�� ita esp0(x) = 1; pn(x) =

����������� �0 �1 � � � �n�1 �2 � � � �n+1... ... . . . ...�n�1 �n � � � �2n�11 x � � � xn�������������������� �0 �1 � � � �n�1 �2 � � � �n+1... ... . . . ...�n�1 �n � � � �2n�1 ��������� n = 1; 2; 3; ::: :

Es importante desta ar que en el aso uando �(x), s�olo tiene un n�umero �nito de puntos de re -imiento1, por ejemplo N , el pro eso anterior de ortogonaliza i�on nos ondu e a una familia dis retafPngN�1n=0 [21, 64, 65, 75℄.Una de las prin ipales ara ter��sti as de los polinomios ortogonales es que �estos satisfa en unarela i�on de re urren ia a tres t�erminos (RRTT) de la formaxPn(x) = �nPn+1(x) + �nPn(x) + nPn�1(x);P�1(x) = 0; P0(x) = 1:(1.4)En el aso uando Pn es una familia de polinomios m�oni os, tenemos�n = 1; �n = 1Kn Z 1�1 xP 2n(x)d�(x); n = KnKn�1 6= 0:Existe el re ��pro o de (1.4). O sea, dada una su esi�on de n�umeros �n 2 IR y n > 0 y unasu esi�on de polinomios m�oni os que satisfa e (1.4) existe una distribu i�on d�(x) respe to a la ualdi ha su esi�on de polinomios onforman una su esi�on de polinomios ortogonales m�oni os. Este re-sultado se ono e omo Teorema de Favard [21℄. Es importante desta ar que la distribu i�on d�(x)a la que se ha e referen ia en el teorema de Favard no es ne esariamente �uni a y para que lo sea esne esario que el problema de momentos de Hamburger aso iado a �esta tenga solu i�on �uni a. Elloes equivalente a que la serie P1n=1 KnKn�1 , diverja ( ondi i�on de Carleman) [71, pag. 59℄.Como un orolario de (1.4) se obtiene la ono ida f�ormula de Christo�el-Darboux:Kn(x; y) � nXm=0 Pm(x)Pm(y)d2m = �nd2n Pn+1(x)Pn(y)� Pn+1(y)Pn(x)x� y ; n � 1 :(1.5)Si ha emos tender en (1.5) y ! x, obtenemos la f�ormula on uente de Christo�el-Darboux:Kn(x; x) � nXm=0 P 2m(x)d2m = �nd2n [P 0n+1(x)Pn(x)� Pn+1(x)P 0n(x)℄ n � 1 :(1.6)1Un ejemplo de tales familias son los polinomios dis retos de Hahn y Chebyshev los uales onsideraremos m�asadelante.

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 31.2 Propiedades de los eros.En esta se i�on vamos a enun iar algunos de los resultados m�as generales relativos a los erosde los polinomios ortogonales respe to a una distribu i�on d�(x), siendo �(x) una fun i�on no de re- iente.Teorema 1 Sea [a; b℄ el soporte de d�(x) y fPng una SPO respe to a d�(x). Enton es:1. Todos los eros de Pn son reales, simples y est�an lo alizados en (a; b).2. Dos polinomios onse utivos Pn y Pn+1 no pueden tener ning�un ero en om�un.3. Denotemos por xn;j a los eros del polinomio Pn, ( onsideraremos en adelante que xn;1 <xn;2 < � � � < xn;n). Enton es: xn+1;j < xn;j < xn+1;j+1;es de ir, los eros de Pn y Pn+1 entrelazan unos on otros.4. Entre dos eros onse utivos de Pn, existe al menos un ero de Pm, on m > n.La demostra i�on de estos resultados se puede en ontrar en [2, 21, 64, 75℄.1.2.1 El teorema de separa i�on de Chebyshev- Markov-Stieltjes.Los eros de los polinomios ortogonales juegan un papel importante en el �al ulo n�umeri o deintegrales. Por sen illez, vamos a denotar los eros xn;k del polinomio Pn por xk, k = 1; 2; ::; n.Supondremos adem�as que (a; b) es el soporte de d�(x). Enton es, existen iertos n�umeros f�nkgnk=1,tales que la igualdad Z ba �(x) d�(x) = nXk=1 �nk�(xk);(1.7)es ierta ualquiera sea el polinomio � de grado a lo sumo 2n� 1. Adem�as ,�nk = 1P 0n(xk)Pn�1(xk) Z ba Pn(x)(x� xk)Pn�1(x)d�(x) = anan�1 Kn�1P 0n(xk)Pn�1(xk) = 1Kn(xk; xk) :A la f�ormula (1.7) se le llama f�ormula de uadraturas gausianas.Para probar la primera de las f�ormulas anteriores es su� iente sustituir en (1.7) el polinomio�(x) = Pn(x)Pn�1(x)(x�xk) . La �ultima es inmediata a partir de la f�ormula on uente de Christo�el-Darboux(1.6). Para probar la segunda igualdad es su� iente notar que Pn(x)(x�xk) = anan�1Pn�1(x) + qn�2(x).N�otese que de lo anterior se dedu e que �nk > 0 para todo k = 1; 2; ::; n. Por ello, existir�an iertosn�umeros, no ne esariamente �uni os, y1; :::; yn�1, tales que �nk = �(yk)��(yk�1), (y0 = a; yn = b).Teorema 2 (Teorema de separa i�on de Chebyshev-Markov-Stieltjes [75, Teorema 3.41.1, pag. 49℄)Sean los n�umeros xk, k = 1; 2; :::; n los eros del polinomio ortogonal Pn, y sean yk, k = 1; 2; :::; nlos n�umeros de�nidos anteriormente. Enton es se umple que, para todo k = 1; 2; :::; n � 1�(xk +0)��(a) < �(yk +0)��(a) = �n1+ � � �+ �nk < �(yk+1� 0)��(a) < �(xk+1 � 0)��(a) :O sea, los eros de Pn est�an separados por las antidades yk, xk < yk < xk+1, k = 1; 2; :::; n � 1.

4 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.La demostra i�on de este teorema se puede en ontrar en [75, x3.41-x3.413℄. Por ompletitud daremosla idea de la misma.Ante todo, onstruyamos un polinomio � de grado 2n � 2, tal que, para ada k �jo (1 � k �n� 1), se umpla �(xj) = � 1 j = 1; 2; :::; k0 j = k + 1; :::; ny �0(xj) = 0, j 6= k, donde omo antes xk son los eros del polinomio ortogonal Pn. N�otese quedi ho polinomio � es �uni o. Por el teorema de Rolle, �0 se anula al menos una vez en el interior de ada uno de los intervalos abiertos(x1; x2); :::; (xk�1; xk); (xk+1; xk+2); :::; (xn�1; xn);y por tanto tiene al menos n � 2 eros, que junto a los n � 1 eros impuestos por ondi i�on, nos ondu en a que todos los eros de �0 son reales y simples. Luego, � es una fun i�on mon�otona entredos eros de �0, en parti ular entre el ero del intervalo (xk�1; xk) y xk+1, y por tanto en [xk; xk+1℄.Adem�as, omo �(xk) = 1, y �(xk+1) = 0, � es de re iente en [xk; xk+1℄, luego tendremos que�(x) � 1 a � x � xk�(x) � 0 xk � x � b :Las dos desigualdades anteriores se deben a que todos los eros de �0 son simples, y por tanto sonextremos lo ales de �, de he ho al ser � de re iente en [xk; xk+1℄ y �0(xk+1) = 0 y �(xk+1) = 0,en xk+1 hay un m��nimo lo al. Utilizando este he ho y lo anterior se tienen las desigualdades men- ionadas (ver �gura 1.xkxk-1 xx+1

0

1

Figura 1: El polinomio �.Finalmente, sustituyendo este polinomio �, en la f�ormula de uadratura (1.7), tenemos�n1 + � � �+ �nk = Z ba �(x) d�(x) > Z xk+0a �(x) d�(x) > Z xk+0a d�(x) = �(xk + 0)� �(a):Para probar la desigualdad restante, basta apli ar el mismo razonamiento a la familia de polinomios(�1)nPn(�x), ortogonales respe to a la distribu i�on d(��(�x)), uyos eros est�an lo alizados aho-ra en el interior del intervalo [�b;�a℄ y son los opuestos a los de Pn.Una onse uen ia inmediata del teorema anterior es el siguiente teorema de separa i�onTeorema 3 Si la fun i�on �(x) que de�ne una familia de polinomios ortogonales es onstante enun abierto ( ; d) � (a; b), enton es los polinomios Pn ortogonales respe to a la distribu i�on d�(x),tienen a lo sumo un ero en ( ; d).

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 5Ello es evidente del he ho de que en el abierto (xk; xk+1), siendo xk y xk+1 dos eros onse utivosde Pn, la fun i�on �(xk +0) < �(xk+1� 0), y por tanto �(x) no puede ser onstante entre dos eros onse utivos de Pn.Este teorema es de mu ha utilidad en el aso uando �(x) sea una fun i�on es alonada puesnos di e que entre ada uno de los puntos donde �(x) tiene un salto hay omo mu ho un ero delos orrespondientes polinomios. Ejemplo de tales fun iones son las que onllevan a los polinomiosortogonales dis retos de Hahn, Chebyshev, Meixner, Krav huk y Chalier, respe tivamente [64, 65,75℄.2 Polinomios l�asi os y q{polinomiosEn este apartado daremos una breve introdu i�on a los polinomios l�asi os que nos permitasituarnos en el tema y, m�as tarde, des ribir los problemas espe trales rela ionados on ellos.2.1 Los polinomios l�asi os \ ontinuos".Gran parte de las fun iones espe iales de la F��si a-Matem�ati a son solu i�on de la ono idae ua i�on diferen ial de tipo hipergeom�etri o [64, 65℄:~�(x)y00 + ~� (x)y0 + �y = 0;(2.1)donde ~�(x) y ~�(x) son polinomios de grados a lo m�as 2 y 1, respe tivamente. Las solu iones dedi ha e ua i�on tienen un enorme inter�es pr�a ti o, en parti ular las solu iones polin�omi as que on-du en a los polinomios ortogonales l�asi os de Ja obi, Bessel, Laguerre y Hermite (ver tabla 1).Tabla 1: Los polinomios ortogonales l�asi os: aso ontinuo.Hermite Laguerre Ja obi BesselPn(x) Hn(x) L�n(x) P�;�n (x) B�n (x)[a; b℄ (�1;1) [0;1) [-1,1℄ ir unferen iaunidad�(x) e�x2 x�e�x (1� x)�(1 + x)� ��0 (x) = 2�+1 1Xm=0 (�2)m�(m + �+ 1)xm| �>�1 �;�>�1 � 6= �1;�2; :::�(x) 1 x 1� x2 x2Di hos polinomios satisfa en las siguientes propiedades:1. Si y es solu i�on de (2.1) lasm��esimas derivadas y(m) � ym satisfa en una e ua i�on del mismotipo: ~�(x)y00m + ~�m(x)y0m + �mym = 0;~�m(x) = ~�(x) +m~�0(x); �m = �+m~� 0(x) + m(m�1)2 ~�00:(2.2)2. Las solu iones polin�omi as de (2.1) se pueden expresar mediante la f�ormula de Rodrigues:Pn(x) = Bn�(x) dndxn [~�n(x)�(x)℄; n = 0; 1; 2; ::: :(2.3)

6 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.siendo �(x) la solu i�on de la e ua i�on diferen ial de Pearson[~�(x)�(x)℄0 = ~�(x)�(x); �m(x) = ~�m(x)�(x):(2.4)En general los polinomios Pn dados por la f�ormula de Rodrigues (2.3) no tienen por que seruna su esi�on de polinomios ortogonales. Para que �esto o urra hay que imponer ondi ionesadi ionales. Ello nos ondu e al siguiente teorema [64, 65℄Teorema 4 Supongamos que xk~�(x)�(x)jx=a;b = 0; 8k � 0. Enton es las solu ionespolin�omi as Pn(x) de la e ua i�on (2.2) onstituyen una SPO respe to a la fun i�on peso �(x)de�nida por la e ua i�on (2.4), o sea, se umple que:Z ba Pn(x)Pm(x)�(x)dx = Ænmd2n;(2.5)donde Ænm es el s��mbolo de Krone ker y dn denota la norma de los polinomios Pn.La propiedad anterior nos di e que los polinomios l�asi os satisfa en una rela i�on de re ur-ren ia a tres t�erminos, es de ir,xPn(x) = �nPn+1(x) + �nPn(x) + nPn�1(x); n 6= 0:(2.6)3. Como onse uen ias de la f�ormula de Rodrigues se tiene:(a) ~�(x) es un polinomio de grado exa tamente uno.(b) P 0n(x) es ortogonal respe to a �1(x) = ~�(x)�(x).( ) Es v�alida la f�ormula diferen ial-re urrente~�(x)P 0n(x) = (Anx+Bn)Pn(x) + CnPn+1(x);(2.7)que ondu e a la f�ormula de estru tura:~�(x)P 0n(x) = ~�nPn+1(x) + ~�nPn(x) + ~ nPn�1(x):(2.8)Para m�as detalle sobre los polinomios ortogonales l�asi os v�ease [1, 2, 7, 9, 21, 34, 43, 47, 56,64, 65, 73, 75, 80, 81℄.2.2 Los polinomios l�asi os \dis retos".En [64, 65℄ se onsidera una aproxima i�on de la e ua i�on (2.1) onsistente en sustituir lasderivadas por un esquema en diferen ias �nitas. Existen una gran gama de esquemas a utilizarpero sin duda el m�as sen illo es aquel donde el intervalo real onsiderado se dis retiza medianteuna red uniforme, es de ir utilizar la dis retiza i�on de las derivadas primera y segunday0(x) � 12 �y(x+ h)� y(x)h + y(x)� y(x� h)h � ;y00(x) � 1h �y(x+ h)� y(x)h � y(x)� y(x� h)h � :Ello ondu e a la e ua i�on dis reta de tipo hipergeom�etri o~�(x) 1h �y(x+ h)� 2y(x)� y(x� h)h �+ ~�(x)2 �y(x+ h)� y(x� h)h �+ �y(x) = 0;

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 7que aproxima la e ua i�on original (2.1) en una red uniforme on paso 4x = h hasta un orden O(h2)[65℄. Generalmente se estudia el aso h = 1, que nos ondu e a la e ua i�on equivalente�(x)45y(x) + �(x)4 y(x) + �y(x) = 0;(2.9)es rita en t�erminos de los operadores en diferen ias �nitas 4 y 5 on paso 4x = h = 1 de�nidospor: 4f(x) = f(x+ 1)� f(x); 5f(x) = f(x)� f(x� 1);(2.10)y ono idos omo operadores en diferen ias �nitas progresivas y regresivas, respe tivamente, donde�(x) = ~�(x)� 12 ~�(x), �(x) = ~�(x). N�otese que en (2.9) los oe� ientes �(x) y �(x) son polinomiosde grados a lo m�as 2 y 1. La e ua i�on (2.9) se denomina e ua i�on en diferen ias de tipo hiperge-om�etri o y sus solu iones polin�omi as son los ono idos polinomios l�asi os de variable dis reta deHahn, Meixner, Krav huk, Charlier (ver tabla 2)[64, 65℄.Tabla 2: Los polinomios ortogonales l�asi os: aso dis reto.Hahn Meixner Krav huk CharlierPn(x) h�;�n (x;N) M ;�n (x) Kpn(x) C�n (x)[a; b� 1℄ [0; N � 1℄ [0;1) [0;N ℄ [0;1)�(x) �(N + �� x)�(� + x+ 1)�(N � x)�(x+ 1) �x�( + x)�( )�(x + 1) N !px(1� p)N�x�(N + 1� x)�(x+ 1) e���x�(x+ 1)�; � � �1 ; n � N � 1 > 0; 0 < � < 1 0 < p < 1, n � N � 1 � > 0�(x) x(N + �� x) x x x�(x) + �(x) (x+ � + 1)(N � 1� x) �x+ � � p1� p (x�N) �Los polinomios de variable dis reta solu i�on de la e ua i�on anterior umplen on propiedadesan�alogas a las de los polinomios l�asi os ontinuos:1. Si y es solu i�on de (2.1) las m��esimas diferen ias �nitas 4my � ym satisfa en una e ua i�ondel mismo tipo: �(x)45ym + �m(x)4 ym + �mym = 0;�m(x) = �m�1(x) +4�(x); �m = �m�1 +4�m�1; �0 = �:(2.11)2. Las solu iones polin�omi as de (2.9) se pueden expresar mediante la f�ormula de tipo Rodrigues:Pn(x) = Bn�(x) 5n [�(x+ n) nYk=1�(x+ k)℄; n = 0; 1; 2; ::: :(2.12)siendo �(x) la solu i�on de la e ua i�on en diferen ias de tipo Pearson4[�(x)�(x)℄ = �(x)�(x); �n(x) = �(x+ n) nYk=1�(x+ k):(2.13)Al igual que en el apartado anterior para que las solu iones (2.12) de (2.9) onstituyan unasu esi�on de polinomios ortogonales tenemos que exigir ondi iones extra, onllevando �estas aortogonalidades dis retas y ontinuas. De he ho se tiene que:

8 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.Teorema 5 (Nikiforov, Uvarov [66℄) Supongamos que existen dos valores a y b tales quexk�(x)�(x)jx=a;b = 0, para todo k � 0. Enton es las solu iones polin�omi as Pn(x) de lae ua i�on (2.9) son ortogonales dos a dos respe to a la fun i�on peso �(s) de�nida por lae ua i�on (2.13), o sea, se umple la propiedad de ortogonalidad dis retab�1Xsi=aPn(si)Pm(si)�(si) = Ænmd2n; si+1 + si + 1;(2.14)donde, omo antes, Ænm es el s��mbolo de Krone ker y dn denota a la norma de los polinomiosPn.En el aso de que tenga lugar la ondi i�onZ�4[�(z)�(z)zk ℄ dz = 0; 8k = 0; 1; 2; ::: ; ;(2.15)siendo � un ontorno del plano omplejo, enton es tendremos que se umple la propiedad deortogonalidad ontinua Z� Pn(z)Pm(z)�(z) dz = 0; n 6= m:(2.16)Aqu�� debemos desta ar que, en el primer aso, a y b se suelen es oger de tal forma que�(s)4x(s� 12 ) sea positiva en el intervalo [a; b� 1℄. Para ello se pueden elegir a y b omo lassolu iones de �(a) = 0 y �(b�1)+ �(b�1) = 0 [64, 65℄. En el segundo aso, si los polinomiosson de oe� ientes y variable reales es posible en ontrar, asi siempre, un ontorno � tal quela integral anterior se transforma en una integral sobre el eje real [11, 64, 65℄.Es evidente que al igual que en el aso anterior, la propiedad de ortogonalidad (2.14) o bienla (2.16) nos ondu e a una rela i�on de re urren ia a tres t�erminos de la forma (1.4) para lassolu iones polin�omi as de (2.9).3. Como onse uen ias de la f�ormula de Rodrigues se tiene:(a) �(x) es un polinomio de grado exa tamente uno.(b) 4Pn(x) es ortogonal respe to a �1(x) = �(x+ 1)�(x+ 1).( ) Son v�alidas las f�ormulas diferen ias-re urrente�(x)5 Pn(x) = (Anx+Bn)Pn(x) + CnPn+1(x)[�(x) + �(x)℄4 Pn(x) = ( ~Anx+ ~Bn)Pn(x) + ~CnPn+1(x);(2.17)que ondu en a las dos f�ormulas de estru tura:�(x)5 Pn(x) = ~�nPn+1(x) + ~�nPn(x) + ~ nPn�1(x);(2.18) [�(x) + �(x)℄4 Pn(x) = ��nPn+1(x) + ��nPn(x) + � nPn�1(x):(2.19)Tanto los polinomios l�asi os ontinuos omo dis retos se pueden expresar [2, 47, 64, 65, 66℄ enfun i�on de las fun iones hipergeom�etri as pFq de�nidas porpFq� a1; a2; :::; apb1; b2; :::; bq ����x� = 1Xk=0 (a1)k(a2)k � � � (ap)k(b1)k(b2)k � � � (bq)k xkk! ;(2.20)donde (a)k := a(a+ 1) � � � (a+ k � 1) es el s��mbolo de Po hhammer.Para m�as detalles onsultese los trabajos [2, 7, 34, 47, 38, 64, 65, 75, 80℄.

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 92.3 Los polinomios l�asi os en redes no uniformes.Otra posibilidad onsiste en dis retizar (2.1) en una red no uniforme x(s) lo ual nos ondu e alos q-polinomios. Para ello se aproximan las derivadas y0 e y00 de la siguiente forma:y0(x) � 12 �y(x(s+ h))� y(x(s))x(s+ h)� x(s) + y(x(s))� y(x(s� h))x(s)� x(s� h) � ;y00(x) � 1x(s+ h2 )� x(s� h2 ) �y(x(s+ h))� y(x(s))x(s+ h)� x(s) � y(x(s)) � y(x(s� h))x(s) � x(s� h) � :La raz�on de es ribir el fa tor x(s+ h2 )� x(s� h2 ) es debido a que la diferen ia generalizaday(x(s+ h))� y(x(s))x(s+ h)� x(s)aproxima mejor a la primera derivada en x(s � h2 ), que en x(s) [65, p�ag. 55℄. Sustituyendo lasexpresiones anteriores en (2.1), y ha iendo el ambio lineal de la variable s ! hs obtenemos lae ua i�on: ~�(x(s)) 44x(s� 12)5y(s)5x(s) + 12 ~�(x(s)) �4y(s)4x(s) + 5y(s)5x(s)�+ �y(s) = 0;(2.21)o, equivalentemente, �(s) 44x(s� 12 )5y(s)5x(s) + �(s)4y(s)4x(s) + �y(s) = 0;�(s) = ~�(x(s))� 12 ~�(x(s))4 x(s� 12); �(s) = ~�(x(s));(2.22)donde ~�(x(s)) es un polinomio de grado, a lo sumo, 2 en x(s); ~�(x(s)), de grado 1 y � es una on-stante. Se puede omprobar que (2.22) aproxima a la e ua i�on original (2.1) en la red no uniformex(s) hasta orden O(h2). A la e ua i�on (2.22) se le denomina e ua i�on de tipo hipergeom�etri o enuna red no uniforme y las solu iones y de la misma umplen la propiedad, om�unmente denominadapropiedad de hipergeometri idad, de que sus k-�esimas diferen ias �nitas generalizadas yk, de�nidaspor: yk(s) = 44xk�1(s) 44xk�2(s) : : : 44x(s) [y℄ � 4(k)y;(2.23)donde xm(s) = x(s+ m2 ), satisfa en una e ua i�on del mismo tipo [59, 65℄.Es importante desta ar que no para ualquier fun i�on x(s) la e ua iones (2.21) o ( 2.22) tienensolu iones polin�omi as de tipo hipergeom�etri o en x(s) (ver ejemplo [13, e ua i�on (1.61) p�ag 191℄).El onjunto m�as amplio de fun iones x(s) para las uales se tienen solu iones que formen familiasde polinomios viene dado por el siguiente teorema:Teorema 6 ([13, 65℄) El onjunto m�as amplio de fun iones x(s) para las uales la e ua i�on (2.22)tiene omo solu i�on una familia de polinomios de tipo hipergeom�etri o viene dado por:x(s) = 1(q)qs + 2(q)q�s + 3(q);(2.24)donde q 2 IC, y 1; 2; 3 son onstantes que pueden depender de q, pero son independientes de s.Es ogiendo las onstantes 1; 2; 3 de la forma ade uada, (2.24) se transforma, uando q ! 1, enla familia de fun iones (red uadr�ati a) [66℄:x(s) = ~ 1s2 + ~ 2s+ ~ 3;(2.25)

10 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.a la que pertene en los polinomios de Ra ah y los duales de Hahn [47, 65℄.Ejemplos de q-polinomios son los q-polinomios de Hahn, Meixner, Krav huk y Charlier [2, 47,65, 66℄, Askey-Wilson [10, 47℄, entre otros.Los q-polinomios satisfa en una serie de propiedades similares a la de los l�asi os ontinuos ydis retos:1. Las solu iones polin�omi as de (2.22) se expresan mediante el q-an�alogo de la f�ormula de Ro-drigues para los polinomios de variable dis reta en redes no uniformes:Pn(s)q = Bn�(s) 5(n) [�n(s)℄; 5(n) � 55x1(s) 55x2(s) � � � 55xn(s) ;(2.26)donde �k(s) = �(s+ k) kYm=1 �(s+m);(2.27)y �(s) es la solu i�on de la e ua i�on en diferen ias de tipo Pearson en una red no uniforme:44x(s� 12 ) [�(s)�(s)℄ = �(s)�(s):(2.28)Generalmente la f�ormula de Rodrigues (2.26) se rees ribe de la formaPn(s)q = Bn�(s) � ÆÆx(s)�n [�n(s� n2 )℄; � ÆÆx(s)�n � n ve esz }| {ÆÆx(s) ÆÆx(s) � � � ÆÆx(s) ;donde Æf(s) = 5f(s+ 12 ) � f(s+ 12)� f(s� 12).De manera an�aloga al aso ontinuo o al de una red uniforme des ritos anteriormente, lassolu iones polin�omi as (2.26) son ortogonales respe to a la fun i�on peso �(s). De he ho se tiene unteorema an�alogo al des rito en el apartado anterior.Teorema 7 (Nikiforov, Uvarov [66℄) Supongamos que existen dos valores a y b tales que xk(s �12)�(s)�(s)js=a;b = 0, para todo k � 0. Enton es las solu iones polin�omi as Pn(s)q de la e ua i�on(2.22) son ortogonales dos a dos respe to a la fun i�on peso �(s) de�nida por la e ua i�on (2.28), osea, se umple que:b�1Xsi=aPn(si)qPm(si)q�(si)4 x(si � 12) = Ænmd2n; si+1 + si + 1;(2.29)donde, omo antes, Ænm es el s��mbolo de Krone ker y dn denota la norma de los polinomios Pn.An�alogamente, si Z�4[�(z)�(z)xk(z � 12)℄ dz = 0; 8k = 0; 1; 2; ::: ; :(2.30)para ierto ontorno del plano omplejo, enton es tendremos en vez de (2.29), la propiedadZ� Pn(z)qPm(z)q�(z)4 x(z � 12) dz = 0; n 6= m:(2.31)

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 11Nuevamente, debemos desta ar que a y b se suelen es oger de tal forma que �(s)4 x(s� 12 ) seapositiva en el intervalo [a; b� 1℄. Para ello se pueden elegir a y b omo las solu iones de �(a) = 0 y�(b� 1)+ �(b� 1)4x(b� 1� 12) = 0 [23, 65, 66℄. Tambi�en es posible probar que en aso de que lospolinomios sean de oe� ientes y variable reales es posible en ontrar, en la mayor parte de los asos,un ontorno � tal que la integral (2.31) se transforma en una integral sobre el eje real. Utilizando loanterior se demostr�o de una forma muy sen illa la ortogonalidad de los polinomios de Askey-Wilson[12℄. M�as detalle sobre este tipo de ortogonalidad se puede en ontrar en [10, 12, 11, 47, 65, 66℄.An�alogamente a los asos anteriores, las rela iones (2.29) y (2.31) impli an que los polinomios(2.26) tambi�en satisfa en una rela i�on de re urren ia a tres t�erminos de la forma (1.4).2. Como onse uen ias de la f�ormula de Rodrigues se tiene que1. �(x) es un polinomio de grado exa tamente uno.2. 4Pn(s� 12 )q4x(s� 12) es ortogonal respe to a ~�(s) = �1(s� 12).3. Son v�alidas las f�ormulas diferen ias-re urrente�(s)5Pn(s)q5x(s) = (Anx+Bn)Pn(s)q + CnPn+1(x)q[�(s) + �(s)4 x(s� 12 )℄ 4Pn(s)q4x(s) = ( ~Anx+ ~Bn)Pn(x)q + ~CnPn+1(x)q:(2.32)Es importante notar que la e ua i�on (2.22) se puede rees ribir de la forma�(�s� �)4Pn(s)q4x(s) � �(s)5Pn(s)q5x(s) + �n4 x(s� 12 )Pn(s)q = 0 ;(2.33)y la e ua i�on de tipo Pearson (2.28) en la forma�(s+ 1)�(s) = �(s) + �(s)4 x(s� 12)�(s+ 1) = �(�s� �)�(s+ 1) :(2.34)Adem�as, por omodidad a la hora de tomar l��mites, se suele rees ribir la fun i�on x(s) de la siguienteforma: x(s) = 1(q)[qs + q�s��℄ + 3(q); donde q� = 1(q) 2(q) ;(2.35)siendo 4x(s� 12) = B[2s+ �℄q; donde B = 1(q)q��2 �2q; �q = (q 12 � q� 12 ):En la expresi�on anterior hemos utilizado el s��mbolo [n℄q para denotar a los q-n�umeros[n℄q = q n2 � q�n2q 12 � q� 12 ; n 2 IC:(2.36)Utilizando la propiedad de simetr��a:x(s) = x(�s� �); 4x(s� 12 ) = � 4x(t� 12)jt=�s�� ;(2.37)obtenemos de (2.33) que:~�(x(s)) = 12 [�(�s� �) + �(s)℄; ~�(x(s)) = �(�s� �)� �(s)4x(s� 12 ) :(2.38)

12 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.De las expresiones anteriores se pueden sa ar numerosas on lusiones. Por ejemplo de (2.38) sededu e que para pre�jar una familia de polinomios es su� iente on �jar la red (par�ametros 1, 3 y�) y el polinomio �(s) ya que �(s) queda autom�ati amente pre�jado. Ello indi a que, a diferen iade los asos l�asi os, el papel en el aso \q" lo juega la red, de ah�� la importan ia y el inter�es de la lasi� a i�on propuesta por Nikiforov y Uvarov en 1993 en [66℄. Esta lasi� a i�on, a diferen ia de lapropuesta por Askey y desarrollada en [47℄ por Koekoek y Swarttouw basada en las series b�asi as[39℄, ha sido muy po o estudiada [2, 5, 12, 13, 19, 23, 55, 72℄. Otra on lusi�on inmediata de (2.33)es la f�ormula �n = � Aq� 21(q)�4q [n℄q "2�+ n� 1 + 4Xi=1 si#q ;(2.39)para �n en t�erminos de los eros de la fun i�on �(s), la ual se obtiene igualando las poten ias demayor orden en qs en la e ua i�on (2.33).Las solu iones polin�omi as Pn(s)q de (2.22) se pueden expresar mediante las q-series hiperge-om�etri as p'q, de�nidas por:r'p � a1; :::; arb1; :::; bp ; q ; z� = 1Xk=0 (a1; q)k � � � (ar; q)k(b1; q)k � � � (bp; q)k zk(q; q)k h(�1)kq k2 (k�1)ip�r+1 ;(2.40)donde (a; q)k = k�1Ym=0(1� aqm);(2.41)o, omo mediante la q-fun i�on hipergeom�etri a de�nida pFq de�nida porrFp� a1; a2; :::; arb1; b2; :::; bp ; q ; z� = 1Xk=0 (a1jq)k � � � (arjq)k(b1jq)k � � � (bpjq)k zk(1jq)k h�kqq 14k(k�1)ip�r+1;(2.42)siendo (ajq)k los q-an�alogos del s��mbolo de Po hhammer(ajq)k = k�1Ym=0[a+m℄q = k�1Ym=0 q a+m2 � q�a+m2q 12 � q� 12 ! :(2.43)N�otese que ambas expresiones para r = p + 1, en el l��mite q ! 1 se transforman en la fun i�onhipergeom�etri a l�asi a (2.20).A las familias de polinomios ortogonales solu iones de ualquiera de las e ua iones (2.1), (2.9)y (2.22) se le ono en omo polinomios ortogonales hipergem�etri os [2, 47, 64, 65℄.Para on luir este apartado debo re ordar nuevamente que existen dos puntos de vista paratratar a los q-polinomios. Uno es el des rito aqu�� que onsiste en onsiderarlos omo solu i�on deuna e ua i�on en diferen ias y que fue introdu ido por Nikiforov y Uvarov [59℄ en 1983 y que luegofue desarrollada en [12, 13, 23, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 74℄ (ver para una revisi�on a tualizada [2℄).El otro, y m�as arraigado, es el onsiderado por Askey y sus olaboradores que se basa en el he hode que todas las familias de q-polinomios se pueden expresar omo series hipergeom�etri as b�asi as,por lo que es evidente que este m�etodo es menos general al ser �esta una propiedad intr��nse a de lassolu iones de (2.22).Tambi�en es ne esario desta ar que para los q-polinomios en la red exponen ial x(s) = qs,J. C. Medem [57℄ ha desarrollado un m�etodo an�alogo al des rito en [38, 56℄ que permite una ara teriza i�on de gran parte de los polinomios que apare en en el q-an�alogo de la tabla de

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 13Askey [47℄. Para la red general (2.35) este problema sigue abierto. Para m�as detalle v�ease[2, 6, 10, 14, 36, 47, 48, 49, 50, 57, 64, 65, 74, 80℄3 Propiedades espe trales.Aunque, omo hemos visto, los polinomios l�asi os son bien ono idos, existen en la a tualidadvarios problemas no ompletamente resueltos. Por ejemplo: la distribu i�on de eros y propiedadesglobales exa tas y asint�oti as de eros. Es ono ido que dado un polinomio Pn(x), los momentos�m de la distribu i�on de eros �n(x)�n(x) = 1n nXi=1 Æ(x� xn;i);(3.1)vienen dados por la expresi�on�0 = 1; �(n)m = Z ba xm�n(x) dx; m = 1; 2; :::; n:(3.2)En ambas f�ormulas fxn;igni=1 representan los eros del polinomio Pn(x). El aso de los poli-nomios de Ja obi, Laguerre, Hermite y Bessel ha sido estudiado por diversos autores utilizandodiversas t�e ni as del an�alisis l�asi o e.g. [8, 16, 20, 17, 18, 27, 35, 37, 40, 41, 42, 54, 58, 76, 77,78, 79, 82, 83, 84, 85℄. Sin embargo, el aso dis reto (Hahn, Meixner, Krav huk y Charlier) hane esitado de nuevos on eptos de la teor��a del poten ial logar��tmi o (an�alisis omplejo, ver [70℄)en el plano los uales han sido introdu idos muy re ientemente por Rakhmanov [68℄ y desarrolladospor Dragnev y Sa� [31, 32℄ y Kuilijaars y Van Ass he [52, 53℄ (para una revisi�on del tema v�ease [51℄).De las t�e ni as utilizadas para el estudio de las propiedades globales vamos a omentar breve-mente dos de ellas:1. A partir de la e ua i�on diferen ial2. A partir de la rela i�on de re urren ia a tres t�erminosNo obstante debemos desta ar que desde el punto de vista simb�oli o, el estudio de los momentosa partir de la expresi�on expl�� ita de los polinomios es quiz�as el m�etodo m�as �util. Un estudio detalladodesde este punto de vista se debe a Zarzo [82℄.3.1 Los momentos de la densidad de la distribu i�on de eros a partir de lae ua i�on diferen ial de grado 2Veamos omo a partir de la e ua i�on diferen ial se pueden estudiar las propiedades espe tralesde sus solu iones polin�omi as. Nos entraremos, por simpli idad, en el aso de una e ua i�on difer-en ial de orden 2 (los l�asi os, omo ya hemos di ho antes, satisfa en este tipo de e ua iones)Para al ular los momentos de ualquier orden podemos utilizar un algoritmo general propuestopor Buend��a, Dehesa y G�alvez [18℄. Este m�etodo es muy general pero los �al ulos son extremada-mente tediosos. Por ello suelen ser utilizados para al ular los momentos de orden bajo. Para al ular la densidad de la distribu i�on de eros �n(x) alrededor del origen utilizaremos la aprox-ima i�on semi- l�asi a o WKB propuesta por Arriola, Dehesa, Ya~nez y Zarzo, entre otros: [8, 84, 85℄.Pasemos a des ribir los fundamentos de ambos algoritmos.

14 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.3.1.1 Los momentos de la distribu i�on de eros.En primer lugar des ribamos un algoritmo general para al ular los momentos �r de la distribu- i�on de eros de las solu iones polin�omi as de una e ua i�on diferen ial de grado 2. Este m�etodo esv�alido, en general, para las e ua iones diferen iales de orden arbitrario [18℄. Nosotros nos limitare-mos a estudiar brevemente el aso de una e ua i�on diferen ial de segundo orden.Sea la e ua i�on diferen ial de segundo orden:~�(x) d2dx2Pn(x) + ~�(x) ddxPn(x) + ~�n(x)Pn(x) = 0;(3.3)donde ~�(x) = 2Xj=0 a(2)j xj = a(2)0 + a(2)1 x+ a(2)2 x2 + a(2)3 x3 + � � �+ a(2) 2 x 2 ;~�(x) = 1Xj=0 a(1)j xj = a(1)0 + a(1)1 x+ a(1)2 x2 + a(1)3 x3 + � � �+ a(1) 1 x 1 ;~�n(x) = 0Xj=0 a(0)j xj = a(0)0 + a(0)1 x+ a(0)2 x2 + � � �+ a(0) 0 x 0 ;y a(k)j ; k = 0; 1; 2; j = 1; 2; � � � ; j son iertas onstantes que, en general, dependen de n. Supon-dremos que todos los eros de Pn(x) son simples, lo ual es v�alido para los asos que vamos a onsiderar. Es ribamos el polinomio Pn(x) de la forma:Pn(x) = nYl=1(x� xl) = nXk=0(�1)k�kxn�k; �0 = 1;�k = (�1)kk! Yk(�y1;�y2;�2y3; :::;�(k � 1)!yn);donde Yk denota los, ono idos en la teor��a de n�umeros, polinomios de Bell [69℄ y los yr est�ande�nidos por yr = nXi=1 xrn;i. Para los primeros valores �k tenemos [18, 69℄:�1 = y1;�2 = 12 �y21 � y2� ;�3 = 16 �y31 � 3y1y2 + 3y3� ;�4 = 124 �y41 � 6y1y2 + 8y1y3 + 3y22 � 6y4� :(3.4)Derivando Pn(x) obtenemos, para las derivadas P 0n(x) y P 00n (x), las expresiones:P 0n(x) = nXk=0 nYl = 1l 6= k (x� xl) = nXk=0(�1)k(n� k)�kxn�k�1;P 00n (x) = nXk=0 nXm = 1l 6= k nYl = 1l 6= kk 6= m (x� xl) = nXk=0(�1)k(n� k)(n� k � 1)�kxn�k�2:

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 15Sustituyendo di has expresiones en la e ua i�on diferen ial (3.3), obtenemos:nXk=024 0Xj=0 a(0)j (�1)k�k xn�k+j + 1Xj=0 a(1)j (�1)k�k(n� k)xn�k�1+j++ 2Xj=0 a(2)j (�1)k�k(n� k)(n� k � 1)xn�k�2+j35 = 0:(3.5)Sea q = max( 0; 1 � 1; 2 � 2). Completemos los oe� ientes polin�omi os de (3.3) de la siguientemanera: ~�(x) = q+2Xj=0 a(2)j xj = a(2)0 + a(2)1 x+ a(2)2 x2 + a(2)3 x3 + � � � + a(2)q+2xq+2;~�(x) = q+1Xj=0 a(1)j xj = a(1)0 + a(1)1 x+ a(1)2 x2 + a(1)3 x3 + � � � + a(1)q+1xq+1;~�n(x) = qXj=0 a(0)j xj = a(0)0 + a(0)1 x+ a(0)2 x2 + � � � + a(0)q xq;pudiendo o urrir que algunos de los nuevos oe� ientes a(i)k sean nulos. Ahora (3.5) se puede es ribirde forma ompa ta omo:nXk=0 2Xi=0 q+iXj=0 a(j)j (�1)k (n� k)!(n� k � i)!) �k xn�k+j�i = 0:(3.6)Comparando los oe� ientes de las poten ias de mayor orden (k = 0) en (3.6) obtenemos la ondi i�on: 2Xi=0 a(i)i+q n!(n� i)! = 0;que es una ondi i�on ne esaria para que la e ua i�on diferen ial (3.3) admita solu iones polin�omi asya que en ella s�olo intervienen sus oe� ientes. Si omparamos ahora los oe� ientes de las poten iasxn+q�s, s = 1; 2; :::, obtenemos las e ua iones:sXm=0 2Xi=0 (n+m� s)!(n+m� s� i)!)a(i)i+q�m(�1)s�m�s�m = 0; s > 1:Como vemos, la expresi�on anterior nos da una f�ormula re urrente para al ular el valor de �s, ono idos los s � 1 valores anteriores �k, k = 1; 2; ::; s � 1. Despejando el valor �s obtenemos laf�ormula (ver [18℄, (Se i�on II, f�ormula (13) p�ag. 226):�s = � sXm=1(�1)m�s�m 2Xi=0 (n� s+m)!(n� s+m� i)!a(i)i+q�m2Xi=0 (n� s)!(n� s� i)!a(i)i+q :(3.7)Esta expresi�on, junto on (3.4), nos permite al ular los valores yk para ualquier k y, por tanto,los momentos �k = 1nyk de ualquier orden de la distribu i�on de eros (3.2) de los polinomiosPn(x), solu iones de (3.3). No obstante, omo se dedu e de las rela iones (3.4), esta t�e ni a de

16 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.en ontrar los momentos s�olo es �optima para los momentos de orden bajo, ya que di has rela ionesson altamente no lineales. Existen otros pro edimientos alternativos para al ular los momentosde orden superior que no vamos a onsiderar aqu�� (ver [18℄ y las referen ias ontenidas en el mismo.)3.1.2 La densidad WKB de la distribu i�on de eros.Pasemos a ontinua i�on a des ribir la aproxima i�on semi- l�asi a o WKB [8, 84, 85℄, que nospermitir�a obtener una aproxima i�on de la densidad de la distribu i�on real �n(x) (3.1). Partiremos,al igual que antes, de la e ua i�on diferen ial de grado 2 (3.3). Realizando el ambio en la variabledependiente: Pn(x) = u(x) exp��12 Z ~�(x)~�(x)dx�;podemos es ribir la e ua i�on (3.3) en su forma auto-adjunta:d2dx2u(x) + S(x)u(x) = 0;(3.8)donde la fun i�on S(x) tiene la forma:S(x) = 14~�(x)2 n2~�(x)[2~�(x)� ~� 0(x)℄ + ~�(x)[2~�0(x)� ~�(x)℄o :(3.9)N�otese que Pn(x) y u(x) tienen los mismos eros. Para que las solu iones de (3.8), y, por tanto, de(3.3), tengan m�as de un ero en un intervalo dado es pre iso que S(x) > 0 en di ho intervalo. Elloes onse uen ia del siguiente teorema de ompara i�on de Sturm [15, 22, 44℄:Teorema 8 (Teorema de ompara i�on de Sturm)Sean u1(x) y u2(x) solu iones no triviales de u001(x) + p(x)u1(x) = 0 y u002(x) + q(x)u2(x) = 0,respe tivamente, y p(x) � q(x). Enton es u1(x) se anula, al menos una vez, entre dos eros onse utivos de u2(x).Si onsideramos la e ua i�on u00(x)+ q(x)u(x) = 0, on q(x) � 0, enton es las solu iones no trivialesu(x) no pueden tener m�as que un ero. La demostra i�on es por redu i�on al absurdo. Supongamosque las solu iones u(x) se anulan m�as de una vez entre dos eros onse utivos de la solu i�on deu000(x) = 0, orrespondiente al aso p(x) � 0 � q(x), enton es seg�un el Teorema de ompara i�on deSturm la solu i�on u0(x) � 1 de u000(x) = 0 se tendr�a que anular al menos una vez entre los eros onse utivos de u(x), lo ual es una ontradi i�on.En adelante nos interesaremos por los intervalos I donde S(x) > 0, pues si S(x) � 0 s�olotenemos, a lo sumo, un ero y, por tanto, no tiene sentido hablar de la densidad de la distribu i�onde eros. Continuaremos transformando la e ua i�on diferen ial (3.8) realizando la sustitu i�on deLiouville de�nida mediante las expresiones:d�(x)dx =pS(x); �o �(x) = Z xx0 pS(x)dx; V (�) � v(x) = 4pS(x) u(x):Esta sustitu i�on se apli a, en general, para transformar las e ua iones del tipo (3.8) en e ua ionesde la forma d2v(�)d�2 + f(�)v(�) = 0, donde f(�) es er ana a una onstante. En nuestro aso alrealizar la sustitu i�on de Liouville en (3.8) obtenemos la e ua i�on:V 00(�) + [1 + Æ(�)℄V (�) = 0; V 00(�) � d2V (�)d�2 ;(3.10)

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 17donde Æ(�) � �(x) = 14[S(x)℄2 �5[S0(x)℄24[S(x)℄ � S00(x)� = P (x; n)Q(x; n) ;(3.11)y P (x; n), Q(x; n) son polinomios en x y n. La solu i�on de (3.10) si �(x) << 1 es, en primeraaproxima i�on, igual a V0(x) = C1sen (� + C2) (solu i�on de la e ua i�on V 000 (�) + V0(�) = 0). Parademostrar este resultado podemos es ribir la e ua i�on integral equivalente a (3.10) que se obtieneapli ando el m�etodo de varia i�on de las onstantes [33℄ a (3.11):V (�) = C1sen (�+ C2)� Z ��0 Æ(u)V (u)sen (�� u)du:Esta e ua i�on se puede resolver por m�etodos iterativos. Es de ir, para obtener la solu i�on de lae ua i�on integral podemos sustituir la primera aproxima i�on V0(�) = C1sen (� + C2) por V (�)en la expresi�on de la dere ha y obtenemos la fun i�on V1(�). Luego, se sustituye la fun i�on V1(�)por V (�) en la expresi�on de la dere ha y obtenemos una V2(�), y as�� su esivamente. Para poderdespre iar los t�erminos de orden superior y restringirnos s�olo al valor aproximado V (�) � V0(�)es ne esario que la diferen ia entre las primera y segunda aproxima iones V0 y V1 umplan on la ondi i�on: jV1(�) � V0(�)j = jC1jZ ��0 jÆ(u)j du << 1:En general se veri� a que, para los asos a onsiderar, el grado de P (x; n) es menor que el deQ(x; n), y, por tanto, en ualquier intervalo a otado la ondi i�on es v�alida si n es su� iente-mente grande (re u�erdese que S(x) > 0). Para el aso de intervalos no a otados es pre iso quelimn!1Z 1�0 ����nP (x; n)Q(x; n) ���� du <1.Antes de ontinuar nuestro estudio de los eros vamos a onven ernos de que podemos utilizar,en vez de la solu i�on exa ta V su primera aproxima i�on V0. Es de ir, que el omportamiento de los eros de ambas es pr�a ti amente el mismo. Para ello nuevamente vamos a remitirnos al Teoremade ompara i�on de Sturm. Sea ! = maxx2I jÆ(�)j. Consideremos las e ua iones:U 00� + (1� !)U� = 0; U 00+ + (1 + !)U+ = 0; V 00 + [1 + Æ(�)℄V = 0:Utilizando el Teorema de ompara i�on de Sturm dedu imos que entre dos eros de U� habr�a, almenos, un ero de V y U+, y entre dos eros de V habr�a, al menos, un ero de U+. Pero las solu ionesde U+ y U� son Asen (p1� !�+B), respe tivamente. Adem�as, uando jÆ(�)j << 1, ! << 1 ambasson pr�a ti amente iguales y, por tanto, sus eros tienen el mismo omportamiento. Todo ello nosindi a que, en primera aproxima i�on, podemos onsiderar que las propiedades espe trales de lafun i�on V y las de V0 son pr�a ti amente iguales y en el l��mite n!1 ambas oin iden. Luego, lafun i�on u(x), solu i�on de la e ua i�on (3.8), es, en primera aproxima i�on, igual a:u(x) = C14pS(x)sen (�(x) + C2):Ahora, ya estamos en ondi iones de es ribir la solu i�on del problema planteado. Ante todo,notemos que d�(x)dx =pS(x) > 0, o sea, la fun i�on �(x) es una fun i�on re iente en I. Ordenemoslos eros de u(x) en sentido re iente: x1 < x2 < � � � < xk < � � � < x� (suponemos que u(x) tiene � eros y adem�as omo los eros de u(x) y los de Pn(x) son los mismos, � ! 1 si n ! 1). De laexpresi�on anterior dedu imos que los eros xk de u(x) son tales que:�(xk) = k� � C2; k = 1; 2; :::; �;

18 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.donde, sin p�erdida de generalidad, hemos supuesto que �(x1) = � � C2. Esta rela i�on nos indi aque los eros de u(x) distan en � unidades unos de otros. Adem�as, la fun i�on N(x) = 1��(x) tienela propiedad: N(xk+i)�N(xi) = k;es de ir N(x) nos da el n�umero de eros a umulados de la fun i�on u(x) y, por tanto, de Pn(x) ytiene el sentido de una fun i�on de distribu i�on. Luego, la densidad de la distribu i�on de eros dePn(x) en la aproxima i�on semi- l�asi a o WKB la podemos expresar mediante la f�ormula:�WKB(x) = 1�pS(x); x 2 I � IR :Resumiendo todo lo visto en este apartado, tenemos que:Teorema 9 Sean S(x) y �(x) las fun iones (3.9) y (3.11)S(x) = 14~�(x)2 n2~�(x)[2~�(x)� ~� 0(x)℄ + ~�(x)[2~�0(x)� ~�(x)℄o ;Æ(�) � �(x) = 14[S(x)℄2 �5[S0(x)℄24[S(x)℄ � S00(x)� :Si �(x) << 12 enton es la aproxima i�on semi- l�asi a �o WKB de la densidad de la distribu i�on de eros �n(x) (3.1) de las solu iones de la e ua i�on diferen ial de segundo orden (3.3) es:�WKB(x) = 1�pS(x); x 2 I � IR;(3.12)en ualquier intervalo I donde la fun i�on S(x) sea positiva.Existen ondi iones bastante generales que nos aseguran que la aproxima i�on WKB es unabuena aproxima i�on de la densidad de la distribu i�on de eros, lo ual es equivalente a que existael l��mite: limn!1 1n nXk=1 Æ(x� xn;k) = �(x); para ierta �(x) 2 C(IR)en el sentido de las distribu iones. Para m�as detalle v�ease [83, 86℄ y las referen ias ontenidas enlas mismas.Si queremos omparar esta distribu i�on �WKB(x) on la real �n(x), es evidente que el andidatom�as ade uado para aproximar a �n(x) es la fun i�on 1n�WKB(x) pues el o iente N(x)n representala propor i�on de los eros menores que un x �jo.Por omodidad vamos a de�nir la �WKB(x) de la siguiente forma equivalente:�WKB(x) = 12�~�(x)q2~�(x)[2~�(x)� ~� 0(x)℄ + ~�(x)[2~�0(x)� ~�(x)℄:(3.13)2Ello es equivalente a exigir que supx2I j�(x)j << 1.

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 193.2 Los momentos a partir de la rela i�on de re urren ia a tres t�erminos.Otra forma de ata ar este problema onsiste en explotar la rela i�on, que gra ias a la rela i�on dere urren ia a tres t�erminos (RRTT), existe entre las matri es tridiagonales de Ja obi y las familiasde polinomios ortogonales [21, 75℄. Las matri es de Ja obi son matri es sim�etri as de la forma:Jn+1 = 0BBBBB� ��0 ��0 0 0 : : : 0 0��0 ��1 ��1 0 : : : 0 00 ��1 ��2 ��2 : : : 0 0... ... ... ... . . . ... ...0 0 0 0 : : : ��n�1 ��n1CCCCCA :Es ono ido que di has matri es de Ja obi est�an aso iadas a una su esi�on de polinomios ortonor-males �Pn(x), los uales satisfa e n una RRTT de la forma: x �Pn(x) = ��n �Pn+1(x) + ��n �Pn(x) +��n�1 �Pn�1(x). En este ap��tulo estamos estudiando el aso de los polinomios m�oni os, que satis-fa en una RRTT de la forma: xPn(x) = Pn+1(x) + an+1Pn(x) + b2nPn�1(x). La matriz aso iada adi hos polinomios es una matriz tridiagonal (no sim�etri a) de la forma:Tn+1 = 0BBBBB� a0 1 0 0 : : : 0 0b20 a1 1 0 : : : 0 00 b21 a2 1 : : : 0 0... ... ... ... . . . ... ...0 0 0 0 : : : b2n�1 an1CCCCCA :Para las dos normaliza iones anteriores tenemos ��n = an y ��2n�1 = b2n. La onexi�on entre lasmatri es de�nidas anteriormente y los polinomios ortogonales es evidente pues ualquiera de lasdos RRTT anteriores se puede es ribir en la forma matri ial:x~Pn =M ~Pn + Pn+1(x) ~e (n+1)n+1 ;dondeM denota las matri es Jn+1 en el aso de los polinomios ortonormales �Pn o a Tn+1 en el asode los polinomios m�oni os. En ambos asos, ~Pn denota a los ve tores [ �P0(x); �P1(x); � � � ; �Pn(x)℄T y[P0(x); P1(x); � � � ; Pn(x)℄T , respe tivamente. El ve tor ~e(n+1)j (0 � j � n+1), es el j-�esimo ve torde la base an�oni a de IRn+1. Es evidente de la rela i�on anterior que los autovalores de la matri esJn+1 y Tn+1 son los mismos y oin iden on los eros del polinomio Pn+1(x).El estudio de las propiedades medias de los autovalores de las matri es tridiagonales de Ja obiha sido desarrollado por Dehesa en [24, 25, 26, 27, 29℄ y ofre e un m�etodo sen illo y e� az paraestudiar las propiedades de los eros de las familias de polinomios ortogonales re uperando en mu- hos asos los resultados de los autores antes men ionados y mu hos nuevos ( omo el aso de losmomentos asint�oti os de los polinomios de Hahn y Bessel).Para estudiar las propiedades medias espe trales de los polinomios Pn de�nidos mediante (3.14)se puede utilizar el siguiente resultado [24, 29℄Lema 1 Sea fPn)g una su esi�on de polinomios de�nidas mediante la rela i�on de re urren iaPn(x) = (x� an)Pn�1(x)� b2n�1Pn�2(x)P�1(x) = 0; P0(x) = 1; n � 1(3.14)

20 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. ara terizada por las su esiones fang y fbng, y sean las antidades �0(N)m de�nidas en (3.2) losmomentos espe trales no normalizados a la unidad del polinomio PN (x), orrespondientes a ladensidad dis reta de eros (3.1). Enton es,�0(N)m =X(m) F (r01; r1; :::; rj ; r0j+1)N�tXi=1 ar01i b2r1i ar02i+1b2r2i+1 : : : b2rji+j�1ar0j+1i+j == 1nX(m) F (r01; r1; :::; rj ; r0j+1) n�sXi=1 "j+1Yk=1 ar0ki+k�1#" jYk=1(b2i+k�1)r0k# ; m = 1; 2; :::; n ;(3.15)donde m = 1; 2; :::; N . La suma X(m) es la suma sobre todas las parti iones (r01; r1; :::; r0j+1) deln�umero m tales que:1. R0 + 2R = m, donde R y R0 se expresan mediante las expresiones R = jXi=1 ri y R0 = j�1Xi=1 r0i,o, equivalentemente, j�1Xi=1 r0i + 2 jXi=1 ri = m(3.16)2. Si rs = 0; 1 < s < j, enton es rk = r0k = 0 para ada k > s y3. j = m2 o j = m� 12 si m es par o impar, respe tivamente.En la f�ormula (3.15) el oe� iente F se de�ne mediante la expresi�onF (r01; r1; r02; :::; r0p�1; rp�1; r0p) == m(r01 + r1 � 1)!r01!r1! "p�1Yi=2 (ri�1 + r0i + ri � 1)!(ri�1 � 1)! ri! r0i! # (rp�1 + r0p � 1)!(rp�1 � 1)! r0p! ;(3.17)donde se supone que r0 = rp = 1 y queF (r01; r1; r02; r2:::; r0p�1; 0; 0) = F (r01; r1; r02; r2:::; r0p�1)Adem�as, en (3.15), t denota el n�umero de las ri diferentes de ero involu radas en ada parti i�onde m.La demostra i�on del lema anterior se basa en el �al ulo de los momentos mediante la expresi�on[24, 27℄ �0(N)m = Tr[Mm℄;o sea, son la traza de las poten ias orrespondientes de la matriz M . Es f�a il omprobar la vera i-dad de la f�ormula para los primeros momentos (m = 1; 2; 3). No obstante, el aso general es mu hom�as ompli ado y su demostra i�on la omitiremos [24, 25, 27℄

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 21Utilizando la f�ormula (3.15) se obtienen las siguientes expresiones para los primeros tres mo-mentos: �01 = NXi=1 ai;�02 = NXi=1 a2i + 2N�1Xi=1 b2i ;�03 = NXi=1 a3i + 3N�1Xi=1 b2i (ai + ai+1)�04 = 1n " nXi=1 a4i + 4 n�1Xi=1 b2i (a2i + aiai+1 + a2i+1 + 12b2i ) + 4 n�2Xi=1 b2i b2i+1# :(3.18)Re ientemente, se ha des ubierto [67, 41, 42, 54℄ que los momentos determinados en (3.15) sepueden representar en t�erminos de los polinomios de Lu as de primera espe ie en varias variables, ada una de las uales depende de los oe� ientes de re urren ia (an; bn).3.3 Distribu i�on de eros de los polinomios l�asi os.Consideremos primero el aso uando los oe� ientes de re urren ia an y b2n de�nidos [29℄ por:an = �Xi=0 in��i�Xi=0 din��i � Q�(n)Q�(n) ; b2n = �Xi=0 ein��i Xi=0 fin �i � Q�(n)Q (n) :(3.19)Supondremos que los par�ametros que de�nen a an y b2n son reales. Si, adem�as, los ei y fi son talesque b2n > 0, para n � 1, enton es, el teorema de Favard [21℄ nos asegura que estamos en presen- ia de una familia de polinomios ortogonales ( aso de�nido positivo) fPng1n=0 y enton es diremosque la rela i�on (3.14) de�ne una su esi�on de polinomios ortogonales. A esta lase de polinomiospertene en todos los polinomios l�asi os, tanto ontinuos omo dis retos [4℄.Teorema 10 (Dehesa)Sea fPk; k = 0; 1; :::; n; :::g un sistema de polinomios de�nidos a partir de la rela i�on de re urren ia(3.14), ara terizada por las su esiones fang y fbng. Sean �, �� y ��� las densidades asint�oti asde la distribu i�on de los eros del polinomio Pn de�nidas por�(x) = limn!1�n(x); ��(x) = limn!1�n� xn 12 (�� )� ;���(x) = limn!1�n � xn(���)� ;(3.20)donde �n viene dada por (3.1), y los momentos orrespondientes a las fun iones �, ��, y ��� son�0m = limn!1�0(N)m ; �00m = limn!1 �0(N)mnm2 (�� ) ; �000m = limn!1 �0(N)mnm(���) :(3.21)Enton es, de a uerdo on el omportamiento asint�oti o de sus eros, la familias de polinomiosfPkg1k=0, se pueden dividir en las siguientes siete lases:

22 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.1. Clase � < � y � < . Lo distribu i�on de eros de los polinomios pertene ientes a esta laseest�a ara terizada por las magnitudes�00 = 1; �0m = 0; m = 1; 2; :::2. Clase � < � y � = . Para los polinomios de esta lase se tiene que8>><>>: �02m = �e0f0�m� 2mm � ;�02m+1 = 0; m = 0; 1; 2; :::3. Clase � � � y � > . Los polinomios de esta lase son tales que8>><>>: �002m = 1m(�� ) + 1 �e0f0�m� 2mm � ;�002m+1 = 0; m = 0; 1; 2; :::4. Clase � = � y � < . En este aso se tiene que�0m = � 0d0�m ; m = 0; 1; 2; :::5. Clase � = � y � = . Para los polinomios de esta lase se tiene que�0m = [m2 ℄Xi=0 � 0d0�m�2i�e0f0�i� 2ii �� m2i � ; m = 0; 1; 2; :::6. Clase � > � y � � . Para los polinomios pertene ientes a esta lase se tiene que�000m = 1m(� � �) + 1 � 0d0�m ; m = 0; 1; 2; :::7. Clase � > � y � > . Aqu�� hay que distinguir tres asos:(a) Caso � � � > 12(�� ). Los polinomios de esta sub lase son tales que (v�ease el aso 6)�000m = 1m(� � �) + 1 � 0d0�m ; m = 0; 1; 2; :::(b) Caso � � � = 12(�� ). Para los polinomios de esta sub lase se tiene que�000m = 1m(� � �) + 1 [m2 ℄Xi=0 � 0d0�m�2i�e0f0�i� 2ii �� m2i � ; m = 0; 1; 2; :::( ) Caso � � � < 12(�� ). Los polinomios de esta sub lase son tales que (v�ease el aso 3)8>><>>: �002m = 1m(�� ) + 1 �e0f0�m� 2mm � ;�002m+1 = 0; m = 0; 1; 2; :::

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 23El teorema anterior ara teriza ompletamente a las familias de polinomios que satisfa en unarela i�on de re urren ia a tres t�erminos (3.14) uyos oe� ientes an y b2n son fun iones ra ionales den (grado del polinomio). Como men ionamos anteriormente, este teorema fue probado en el �ambitode las matri es tridiagonales. Es importante desta ar aqu�� que para su prueba s�olo se pre isa dellema 1 sin imponer ninguna ondi i�on adi ional sobre los oe� ientes de la rela i�on de re urren ia.Este he ho ser�a de importan ia en los ejemplos a onsiderar.Clasi� a i�on de los polinomios l�asi os generalizados en fun i�on de sus propiedades espe trales medias� < � 8<: � < (1)� = (2)� � � � > (3)� = � 8<: � < (4)� = (5)� > � 8>>>>>><>>>>>>: � � (6)� > 8>>>><>>>>: � � � > 12 (�� ) 7(a)� � � = 12 (�� ) 7(b)� � � < 12 (�� ) 7( )Finalmente, antes de pasar al aso \q", vamos a enun iar otros dos teoremas importantes queaunque menos generales, omplementen al anterior (aunque no aportan resultados nuevos) y sonv�alidos en el aso de familias in�nitas de polinomios ortogonales.Teorema 11 (Nevai & Dehesa [58℄)Sean IR y IR+ el onjunto de los n�umeros reales y el de los reales positivos, respe tivamente. Sea� : IR+ ! IR+ una fun i�on no de re iente tal que, para todo t 2 IR dadolimx!1 �(x+ t)�(x) = 1:Supongamos, adem�as, que existen dos n�umeros a y b � 0 tales que los oe� ientes en la rela i�onde re urren ia (3.14) satisfagan las rela ioneslimn!1 an�(n) = a; limn!1 bn�(n) = b2 :Enton es, para ada m naturallimn!1 nXk=1 xmnkZ n0 [�(t)℄mdt = [m2 ℄Xj=0 b2jam�2j2�2j � 2jj �� m2j � = am 2F1� �m2 ; 1�m21 ���� b2a2�:(3.22)siendo xnk los eros del polinomio Pn(x).Una extensi�on del teorema anterior se debe a Van Ass he [78℄ para fun iones de varia i�on regularde exponente �. Di ho teorema se puede formular omo sigue:

24 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.Teorema 12 (Van Ass he [78℄)Sean IR y IR+ el onjunto de los n�umeros reales y el de los reales positivos, respe tivamente y sea� : IR+ ! IR+ una fun i�on de varia i�on regular de exponente �, o sea, tal que para ierto � 2 IR ypara todo t 2 IR+ se tiene que 3 limx!1 �(xt)�(x) = x�:Supongamos, adem�as, que existen iertos n�umeros 1, 2, Æ1 > 0 y Æ2 > 0, tales que los oe� ientesen la rela i�on de re urren ia (3.14) satisfa en las rela ioneslimn!1 a2n�(2n) = 1; limn!1 a2n�1�(2n) = 2;limn!1 b2n�(2n) = Æ1; limn!1 b2n�1�(2n) = Æ2:Enton es, para ualquier fun i�on ontinua y a otada f se tiene quelimn!1 1n nXk=1 f � xnk�(n)� = 1� Z 10 dtZ 1�1 f(x)jx� t�jIB(x� t�)pB2t2� � (x� t�)2p(x� t�)2 �A2t2� dx;(3.23)siendo xnk los eros del polinomio Pn(x), = 1 + 22 ; A =r14( 1 � 2)2 + (Æ1 � Æ2)2; B =r14( 1 � 2)2 + (Æ1 + Æ2)2 ;y IB(t) = � 1 t 2 [�Bt�;�At�℄S[At�; Bt�℄0 en otro aso :Utilizando el teorema anterior, Zarzo & Dehesa desarrollaron una lasi� a i�on de los polinomiosortogonales en fun i�on de su RRTT donde apare en las fun iones hipergeom�etri as de Lauri ella[30, 82℄.Un orolario inmediato del teorema anterior uando 1 = 2 = a y Æ1 = Æ2 = b2 > 0, es elsiguiente [77, 78℄Teorema 13 (Van Ass he [77, pag. 123℄)Sean IR y IR+ el onjunto de los n�umeros reales y el de los reales positivos, respe tivamente. Sea� : IR+ ! IR+ una fun i�on de varia i�on regular de exponente �, y supongamos que los oe� ientesde la rela i�on de re urren ia (3.14) son tales quelimn!1 an�(n) = a; limn!1 bn�(n) = b2 > 0:Enton es, para ualquier fun i�on ontinua y a otada f se tiene quelimn!1 1n nXk=1 f � xnk�(n)� = 1� Z 10 dtZ a+ba�b f(xt�)pb2 � (x� a)2 dx:(3.24)3N�otese que ello es equivalente a de ir que �(x) = x� (x) on : IR+ ! IR+ y tal que limx!1 (xt) (x) = 1.

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 25N�otese que si es ogemos en los dos teoremas anteriores la fun i�on f(x) = xm, obtenemos sendasexpresiones para los momentos �0(n)m orrespondientes a la densidad de eros (3.1). N�otese adem�asque en el aso uando � = 0, (3.24) se simpli� a obteni�endoselimn!1 1n nXk=1 f � xnk�(n)� = 1� Z a+ba�b f(x)pb2 � (x� a)2 dx;(3.25)de donde se dedu e que, �� x�(n)� = 1�pb2 � (x� a)2 :En parti ular,limn!1 1n nXk=1� xnk�(n)�m = 1� Z a+ba�b xmpb2 � (x� a)2 dx = [m2 ℄Xj=0 b2jam�2j2�2j � 2jj �� m2j � :3.4 Distribu i�on de eros de los q-polinomios.El m�etodo anterior ha sido utilizado tambi�en en el aso de los q-polinomios [3, 28℄ donde seobtuvieron por primera vez resultados generales sobre los momentos asint�oti os de los eros paramu has de las familias l�asi as de q-polinomios. As��, en [3℄ se onsider�o el problema de estudiarlas propiedades medias y medias asint�oti as de los q-polinomios ortogonales generalizados quesatisfa ��an una rela i�on de re urren ia a tres t�erminos de la forma (3.14) y uyos oe� ientes an yb2n�1 estaban de�nidos por (q real y, sin p�erdida de generalidad, mayor de 1)an = AXm=0 gmXi=0 �(m)i ngm�i! qdmnA0Xm=0 hmXi=0 �(m)i nhm�i! qemn � anumnadennb2n = BXm=0 kmXi=0 �(m)i nkm�i! qfmnB0Xm=0 lmXi=0 (m)i nlm�i! qsmn � (bnumn )2(bdenn )2 ;(3.26)

Esta rela i�on de re urren ia es extremadamente general y en ella est�an ontenidos todos los poli-nomios l�asi os (tanto l�asi os omo los q�polinomios) men ionados en los apartados anteriores.Si ahora le exigimos a los oe� ientes de la rela i�on de re urren ia las siguientes ondi ionesadi ionales1. los f�(m)i ; 0 � i � hmgA0m=0, f (m)i ; 0 � i � lmgB0m=0 no se anulan simult�aneamente, o sea, any b2n est�an de�nidos para todo n,2. los f�(m)i ; 0 � i � kmgBm=0, f (m)i ; 0 � i � lmgB0m=0 son tales que b2n > 0 para n � 1 |o sea,tiene lugar el ya men ionado teorema de Favard| es de ir, la rela i�on de re urren ia (3.14)tiene aso iada una su esi�on de polinomios ortogonales fPn(x)qgNn=0, 4 y4Esta ondi i�on no es impres indible que tenga lugar en general, no obstante para el aso que nos o upa es v�alida.

26 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.3. qd0 > qd1 > : : : > qdA ; qe0 > qe1 > : : : > qeA0qf0 > qf1 > : : : > qfB ; qs0 > qs1 > : : : > qsB0(3.27)y g0 > g1 > : : : > gm; h0 > h1 > : : : > hmk0 > k1 > : : : > km; l0 > l1 > : : : > lm(3.28)enton es se umple el siguiente teorema 5Teorema 14 Sea PN (x)q, on N su� ientemente grande, un polinomio de�nido mediante las ex-presiones (3.14)-(3.28). Los momentos f�0(N)m ;m = 1; 2; :::; Ng de la densidad no normalizada delos eros �N (x) = NXi=1 Æ(x� xN;i) del polinomio PN (x)q tienen el siguiente omportamiento:1. Si d0 � e0 = 12 (f0 � s0) = 0, apare en los siguientes tres asos:(a) Si g0 � h0 > 12(k0 � l0), enton es,�0(N)m � "�(0)0�(0)0 #mN (g0�h0)m+1:(3.29)(b) Si g0 � h0 = 12(k0 � l0), enton es,�0(N)m �X(m) F (r01; r1; :::; r0j+1)"�(0)0�(0)0 #R0 " �(0)0 (0)0 #RN 12 (k0�l0)m+1:(3.30)( ) Si g0 � h0 < 12(k0 � l0), enton es,�0(N)m � " �(0)0 (0)0 #m2 N 12 (k0�l0)m+1:(3.31)2. Si d0 � e0 6= 0 y/o f0 � s0 6= 0, pueden o urrir los siguientes dos asos:(a) Si d0 � e0 � 0 y f0 � s0 � 0, pueden o urrir los siguientes tres sub asos:i. Si d0 � e0 < 0 y f0 � s0 < 0 de forma que 1 6= 0, enton es,�0(N)m �X(m) F (r01; r1; :::; r0j+1)q�2(ln q)M "�(0)0�(0)0 #R0 ��" �(0)0 (0)0 #R dMdM1 � q11� q1� ;(3.32)donde dMdM1 denota la M -�esima derivada respe to a 1.5Estas dos series de desigualdades (3.27) y (3.28) evidentemente no son ninguna restri i�on o p�erdida de generalidaddel problema.

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 27ii. Si d0 � e0 = 0 y f0 � s0 < 0 y g0 � h0 = k0 � l0 = 0, enton es,�0(N)m �X(m) F (r01; 0; :::; 0; r0j+1)"�(0)0�(0)0 #R0 N:(3.33)iii. Si d0 � e0 < 0 y f0 � s0 = 0 y g0 � h0 = k0 � l0 = 0, enton es,�0(N)m �X(m) F (0; r1; :::; rj ; 0)" �(0)0 (0)0 #RN:(3.34)(b) Si d0 � e0 > 0 y/o f0 � s0 > 0, los siguientes tres sub asos tienen lugar:i. Si d0 � e0 > 12 (f0 � s0), enton es,�0(N)m � "�(0)0�(0)0 #m qm(N+1)(d0�e0)qm(d0�e0) � 1 N (g0�h0)m:(3.35)ii. Si d0 � e0 = 12 (f0 � s0). Enton es, tres diferentes situa iones pueden o urrir.A. Si g0 � h0 > 12(k0 � l0), enton es,�0(N)m � "�(0)0�(0)0 #m qm(N+1)(d0�e0)qm(d0�e0) � 1 N (g0�h0)m:(3.36)B. Si g0 � h0 = 12(k0 � l0), enton es,�0(N)m � X(m) F (r01; r1; :::; r0j+1)"�(0)0�(0)0 #R0 " �(0)0 (0)0 #R��q2+m(N+1�t)(d0�e0)qm(d0�e0) � 1 Nm(g0�h0):(3.37)C. Si g0 � h0 < 12(k0 � l0), enton es,�0(N)m � " �(0)0 (0)0 #m2 q(d0�e0)mNq(d0�e0)m � 1N 12 (k0�l0)m:(3.38)iii. d0 � e0 < 12(f0 � s0). Enton es,�0(N)m � " �(0)0 (0)0 #m2 q 12 (f0�s0)mNq 12 (f0�s0)m � 1N 12 (f0�s0)m:(3.39)La suma X(m) y el par�ametro t est�an de�nidos omo en el Lema 1. Adem�as, los par�ametros 1,2 y M est�an de�nidos mediante las expresiones:1 = [(d0 � e0)� 12(f0 � s0)℄R0 + m2 (f0 � s0);(3.40) 2 = (d0 � e0) jXk=1 kr0k+1 + (f0 � s0) j�1Xk=1 krk+1;(3.41) M = [(g0 � h0)� 12(k0 � l0)℄R0 + m2 (k0 � l0):(3.42)

28 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.Tambi�en a partir de la RRTT (3.14) on oe� ientes (3.26) se pueden estudiar [3℄ las propiedadesmedias asint�oti as de los q-polinomios, las uales se dedu en del teorema anterior. Adem�as, omo onse uen ia del teorema anterior se obtiene una lasi� a i�on de los q-polinomios generalizados enfun i�on de sus propiedades espe trales medias obtenidas a partir de los oe� ientes de la rela i�onde re urren ia (3.14) que �estos satisfa en.Clasi� a i�on de los q-polinomios generalizados en fun i�on de sus propiedades espe trales medias1: d0 � e0 =12 (f0 � s0) 8<: (a) g0 � h0 > 12 (k0 � l0)(b) g0 � h0 = 12 (k0 � l0)( ) g0 � h0 < 12 (k0 � l0)2: d0 � e0 6= 0f0 � s0 6= 0

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:(a) d0 � e0 � 0f0 � s0 � 0 8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

(i)� d0 � e0 < 0f0 � s0 < 0 1 6= 0(ii)� d0 � e0 = 0f0 � s0 < 0 g0 � h0 = k0 � l0 = 0(iii)� d0 � e0 < 0f0 � s0 = 0 g0 � h0 = k0 � l0 = 0(b) d0 � e0 > 0y/of0 � s0 > 0 8>>>>>>>><>>>>>>>>:

(i) d0 � e0 > 12 (f0 � s0)(ii) d0 � e0 = 12 (f0 � s0)8<: A) g0 � h0 > 12 (k0 � l0)B) g0 � h0 = 12 (k0 � l0)C) g0 � h0 < 12 (k0 � l0)(iii) d0 � e0 < 12 (f0 � s0)Pasemos ahora a estudiar las orrespondientes densidades asint�oti as.En este punto debemos ha er la siguiente importante observa i�on. Para obtener la mayorinforma i�on posible a er a de la distribu i�on asint�oti a de los eros del polinomio PN (x)q uandolos momentos �0m de la densidad onven ional de los eros �(x) = limN!1 �N (x) divergen seintrodu e un fa tor de normaliza i�on D, o sea, se de�ne la densidad asint�oti a de los eros delpolinomio PN (x)q de la forma: f(x) = limN!1C�N(Dx):(3.43)donde los fa tores C y D son tales que los momentos �m de f(x), expresados mediante la f�ormula:�m = limN!1CDm�0(N)m ;(3.44)sean �nitos [46, p�ag. 68℄. En esto radi a la gran utilidad de las densidades del tipo f(x). Adem�as,el fa tor de es ala D deber�a ser una fun i�on de N y/o qN .Un an�alisis del teorema 14 nos indi a que los momentos �0(N)m de la densidad (no normalizada)de los eros �N (x) dependen de N de la siguiente forma:Nam+1 en el aso 1;Constante en los sub asos 2(a)i;N en los sub asos 2(a)ii-2(a)iii;NamqbmN en el aso 2b;(3.45)

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 29donde las onstantes a y b son ono idas y distintas en ada aso. Por ello, es evidente la ne esidadde de�nir una densidad normalizada de eros �normN (x). La normaliza i�on m�as om�un es imponerque el momento de orden ero sea igual a 1, lo que nos ondu e a la expresi�on para la densidad de eros: �normN (x) = 1N �N (x);(3.46) uyos momentos ~�0(N)m est�an rela ionados on los orrespondientes momentos de �N (x) mediante laf�ormula: ~�0(N)m = 1N �0(N)m ; m � 0:(3.47)Es laro de (3.45) y (3.47) que la dependen ia en N de los momentos de la densidad de erosnormalizada a la unidad vendr�a dada por:Nam en el aso 1;N�1 en los sub asos 2(a)i;Constante en los sub asos 2(a)ii-2(a)iii;Nam�1qbmN en el aso 2b;(3.48)Como ya hemos di ho anteriormente, estamos interesados en la densidad asint�oti a de los eros. Side�nimos di ha densidad de la forma: �(x) = limN!1 �N (x);(3.49)enton es, teniendo en uenta que �0(N)m depende de N de la forma (3.45), sus orrespondientesmomentos �0m de�nidos por: �0m = limN!1�0(N)m ;tender�an a in�nito en el aso 1, los sub asos 2(a)ii y 2(a)iii y el aso 2b; y a una onstante dadapor (3.32) en el sub aso 2(a)i.Si queremos obtener mayor informa i�on a er a de densidad asint�oti a de los eros en los asos1, sub asos 2(a)ii y 2(a)iii y el aso 2b, debemos introdu ir, omo ya hemos di ho anteriormente, unfa tor de normaliza i�on y/o de es ala para la densidad �N (x) (f�ormulas (3.43) y (3.44) ). Estudiemosla densidad rees alada. Para el aso 1 ning�un fa tor de es ala D, ex epto D = N�a� 1m , nos da unadensidad uyos orrespondientes momentos sean no nulos y �nitos, pero este fa tor no nos interesapues depende del orden del momento m y, por tanto, deber��amos de�nir una densidad asint�oti adiferente para ada momento. Sin embargo, para el aso 2b podemos onsiderar el fa tor de es alaD = N�aq�bN y de�nir la densidad dis reta de eros de la forma:���N (x) = �N � xqbNNa� ;y la densidad asint�oti a ���(x) = limN!1�N � xqbNNa� ;(3.50) uyos momentos ���m son, de a uerdo on (3.44), de la forma:���m = limN!1 �0(N)mqmbNNam :(3.51)De (3.45) y (3.51), est�a laro que todos los ���m son �nitos. Ahora, s�olo nos resta es oger los orrespondientes par�ametros a y b para los diferentes sub asos de 2b. Siguiendo este razonamientose demuestran los siguientes tres teoremas que nos dan las expresiones asint�oti as bus adas.

30 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.Teorema 15 Sea PN (x)q un polinomio de�nido omo en el teorema 14 on la ondi i�on adi ional(d0 � e0) = 12 (f0 � s0) = 0. (O sea, el aso 1)Sean �(x), ��1(x) y ��2(x) las densidades asint�oti as (o sea, uando N ! 1) de los eros delpolinomio PN (x)q de�nidas por:�(x) = limN!1�N (x);��1(x) = limN!1 1N �N � xN (g0�h0)� ;��2(x) = limN!1 1N �N � xN 12 (k0�l0)� ;(3.52)y sus orrespondientes momentos: �0m = limN!1�0(N)m ;��m(1) = limN!1 �0(N)mN (g0�h0)m ;��m(2) = limN!1 �0(N)mN (k0�l0)m2 ;(3.53)para m = 0; 1; 2; ::: respe tivamente. En adelante denotaremos por �N (x) la densidad dis reta delos eros del polinomio PN (x)q. Enton es,�0m =1; m � 0;(3.54)y 1. Si g0 � h0 > 12(k0 � l0), enton es,��m(1) = "�(0)0�(0)0 #m ; m � 0:(3.55)2. Si g0 � h0 = 12(k0 � l0), enton es,��m(2) =X(m) F (r01; r1; :::; r0j+1)"�(0)0�(0)0 #R0 " �(0)0 (0)0 #R ; m � 0:(3.56)3. Si g0 � h0 < 12(k0 � l0), enton es,��m(2) = " �(0)0 (0)0 #m2 ; m � 0:(3.57)Los oe� ientes F y el s��mbolo X(m) est�an de�nidos omo en el teorema 14.Teorema 16 Sea PN (x)q un polinomio de�nido omo en el teorema 14 on la ondi i�on adi ional(d0 � e0) � 0 y 12(f0 � s0) � 0. (O sea, el sub aso 2a)

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 31Sean �(x) y �1(x) las densidades asint�oti as de los eros del polinomio PN (x)q de�nidas por:�(x) = limN!1 �N (x); �1(x) = limN!1 1N �N (x);(3.58)y sus orrespondientes momentos:�0m = limN!1�0(N)m ; �0m(1) = limN!1 �0(N)mN ;(3.59)para m � 0, respe tivamente. Enton es,1. Si d0 � e0 < 0 y f0 � s0 < 0 de forma que 1 6= 0, enton es,�0m =X(m) F (r01; r1; :::; r0j+1)q�2(ln q)M "�(0)0�(0)0 #R0 " �(0)0 (0)0 #R dMdM1 � q11� q1� ;(3.60)y �00(1) = 1; �0m(1) = 0; m � 1:(3.61)2. Si d0 � e0 = 0 y f0 � s0 < 0 y g0 � h0 = k0 � l0 = 0, enton es,�0m =1; m � 0:(3.62)�0m(1) = 8>>>><>>>>: 1 m = 0X(m) F (r01; 0; :::; 0; r0j+1)"�(0)0�(0)0 #R0 m � 1:(3.63)3. Si d0 � e0 < 0 y f0 � s0 = 0 y g0 � h0 = k0 � l0 = 0, enton es,�0m =1; m � 0:(3.64) �0m(1) = 8>>>><>>>>: 1 m = 0X(m) F (0; r1; 0; :::; rj ; 0)" �(0)0 (0)0 #R m � 1:(3.65)Los oe� ientes F , el s��mbolo X(m) y los par�ametros 1, 2 y M est�an de�nidos omo en el teorema14.Teorema 17 Sea PN (x)q un polinomio de�nido omo en el teorema 14 on la ondi i�on adi ional(d0 � e0) > 0 y/o 12(f0 � s0) > 0. (O sea, el sub aso 2b)Sean �(x), ���1 (x), ���2 (x), ���3 (x), �++1 (x), �++2 (x) y �++3 (x) las densidades asint�oti as de los eros del polinomio PN (x)q de�nidas por:�(x) = limN!1 �N (x);(3.66)

32 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.���1 (x) = limN!1�N xq�(d0�e0)NN (g0�h0) ! ;���2 (x) = limN!1�N xq�(d0�e0)NN 12 (k0�l0) ! ;���3 (x) = limN!1�N xq� 12 (f0�s0)NN 12 (k0�l0) ! ;(3.67)�++1 (x) = limN!1 [m; q℄[mN ; q℄�N xq�(d0�e0�1)NN (g0�h0) ! ;�++2 (x) = limN!1 [m; q℄[mN ; q℄�N xq�(d0�e0�1)NN 12 (k0�l0) ! ;�++3 (x) = limN!1 [m; q℄[mN ; q℄�N xq� 12 (f0�s0�2)NN 12 (k0�l0) ! ;(3.68)

y sus orrespondientes momentos: �0m = limN!1�0(N)m ;(3.69) ���m (1) = limN!1 �0(N)mN (g0�h0)q(d0�e0)mN ;���m (2) = limN!1 �0(N)mN 12 (k0�l0)q(d0�e0)mN ;���m (3) = limN!1 �0(N)mN 12 (k0�l0)q 12 (f0�s0)mN ;(3.70)�++m (1) = limN!1 [m; q℄[mN ; q℄ �0(N)mN (g0�h0)q(d0�e0�1)mN ;�++m (2) = limN!1 [m; q℄[mN ; q℄ �0(N)mN 12 (k0�l0)q(d0�e0�1)mN ;�++m (3) = limN!1 [m; q℄[mN ; q℄ �0(N)mN 12 (k0�l0)q 12 (f0�s0�2)mN ;(3.71)para m � 0, respe tivamente, y donde [n; q℄ denota el q-n�umero 6[n; q℄ = qn � 1q � 1 :(3.72)Enton es, �0m =1; m � 0(3.73)y 1. d0 � e0 > 12(f0 � s0). Enton es,���m (1) = 8>>><>>>: 1 m = 0"�(0)0�(0)0 #m qm(d0�e0)qm(d0�e0) � 1 m � 1:(3.74)6No onfundir on el q-n�umero [n℄q = q n2 �q�n2�q de�nido en el ap��tulo anterior.

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 33Adem�as, �++m (1) = 8<: 1 m = 0(qm � 1)���m (1) m � 1:(3.75)2. Si d0 � e0 = 12 (f0 � s0). Enton es, pueden o urrir los siguientes tres asos:(a) g0�h0 > 12(k0� l0), enton es, los momentos ���m (1) y �++m (1) oin iden on los del asoanterior, o sea, se expresan mediante las f�ormulas (3.74) y (3.75).(b) g0 � h0 = 12(k0 � l0). Enton es,���m (1) = 8>>>><>>>>: 1 m = 0X(m) F (r01; r1; :::; r0j+1)"�(0)0�(0)0 #R0 " �(0)0 (0)0 #R q2+m(1�t)(d0�e0)qm(d0�e0) � 1 m � 1(3.76)Adem�as, �++m (1) = 8<: 1 m = 0(qm � 1)���m (1) m � 1:(3.77)( ) g0 � h0 < 12(k0 � l0). Enton es,���m (2) = 8>>><>>>: 1 m = 0" �(0)0 (0)0 #m2 1q(d0�e0)m � 1 m � 1:(3.78)Adem�as, �++m (2) = 8<: 1 m = 0(qm � 1)���m (2) m � 1(3.79)3. d0 � e0 < 12(f0 � s0). Enton es,���m (3) = 8>>><>>>: 1 m = 0" �(0)0 (0)0 #m2 1q 12 (f0�s0)m � 1 m � 1(3.80)Adem�as, �++m (3) = 8<: 1 m = 0(qm � 1)���m (3) m � 1:(3.81)Los oe� ientes F , el s��mbolo X(m) y los par�ametros 1, 2 y M est�an de�nidos omo en elteorema 14.Es evidente que este m�etodo, aunque siendo muy general, es bastante laborioso a la hora al ularexpl�� itamente los momentos exa tos y asint�oti os. Por ello, existen otras t�e ni as alternativas que,en mu hos asos, permiten obtener expresiones m�as sen illas. Una revisi�on exhaustiva del temahasta el a~no 1991 se puede en ontrar en [82℄.

34 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.4 Apli a iones.En este apartado onsideraremos algunas familias de polinomios ortogonales m�oni os y estudi-aremos sus propiedades espe trales utilizando los distintos m�etodos antes des ritos.4.1 Polinomios de Ja obi y LaguerreEs ojamos la la fun i�on aso iada a la distribu i�on beta en [�1; 1℄�(x) = 8>><>>: Z x�1(1� t)�(1 + t)� dt �1 � x � 10 en otro asoEnton es d�(x) = (1�x)�(1+x)� dx, es una distribu i�on absolutamente ontinua. A los polinomiosortogonales aso iados a la distribu i�on anterior se le denominan Polinomios de Ja obi P�;�n . Esde ir, los Polinomios de Ja obi son los polinomios que satisfa en la rela i�on de ortogonalidadZ 1�1 P�;�n (x)P�;�m (x)(1 � x)�(1 + x)� dx = Æmn 2�+�+2n+1n!�(n+ �+ 1)�(n+ � + 1)�(n+ �+ � + 1)(2n+ �+ � + 1)(n+ �+ � + 1)2n :Si ahora en onsideramos la distribu i�on gamma�(x) = 8>><>>: Z x0 t�e�t dt x > 00 en otro asoenton es estamos en presen ia de los polinomios ortogonales de Laguerre L�n, los uales satisfa enla rela i�on de ortogonalidadZ 10 L�n(x)L�m(x)x�e�x dx = Æmn�(n+ �+ 1)n!:4.1.1 Densidad WKBComenzaremos al ulando la densidad asint�oti a de los eros mediante la aproxima i�on WKBpara los polinomios de Ja obi P�;�n (x). Para ello utilizamos la e ua i�on diferen ial de segundoorden (3.3), donde~�(x) = (1� x2); ~�(x) = � � �� (�+ � + 2)x; ~�n = n(n+ �+ � + 1):Luego, (3.12) nos ondu e a la expresi�on:�Jwkb(x) == qn2 (4� 4x2) + 4n (1 + �+ �) (1� x2) + 4� �2 (1 + x)2 � 2� (1 + �) (x2 � 1)� � (� � 2 � x� 2 + (� + 2) x2)� (1� x2) :En el aso parti ular de los polinomios de Legendre Pn(x) � P 0;0n (x), tenemos�wkb(x) = p1 + n (1 + n) (1� x2)� (1� x2) :

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 35Obviamente, en ambos asos, uando n tiende a in�nito obtenemos el resultado l�asi o [35℄limn!1 1n�Jwkb(x) = 1�p1� x2 ; �1 � x � 1:(4.1)Pasemos a onsiderar el aso de los polinomios de Laguerre L�n(x). Para di hos polinomiostenemos ~�(x) = x; ~�(x) = �+ 1� x; ~�n = n :Luego, (3.12) nos ondu e a la expresi�on:�Lwkb(x) = p1� �2 + 2x+ 2�x+ 4nx� x22� x :N�otese que si ahora ha emos el ambio, x = ny, la expresi�on anterior se onvierte en�Lwkb(ny) = q(4� y)y�1 + 1��2+2n y(�+1)yn2y22� :Luego, tomando l��mites uando n!1 obtenemos la siguiente expresi�on l�asi a [16, 27, 40, 58,85℄ para la densidad de los eros7�Lwkb(y) = 12� (4� y) 12 y� 12 ; 0 < y < 4 :(4.2)4.1.2 Densidad asint�oti a a partir de la rela i�on de re urren iaPolinomios de Ja obiComo los polinomios de Ja obi satisfa en una rela i�on de re urren ia a tres t�erminos, tambi�enpodemos e har mano de los teoremas 10 11, 12 y En efe to, omo para los polinomios de Ja obi los oe� ientes an y b2n de la rela i�on de re urren ia (3.14) se expresan mediante las f�ormulasan+1 = �2 � �2(2n+ �+ �)(2n� 2 + �+ �) ;b2n = 4n(n+ �)(n+ �)(n+ �+ �)(2n+ �+ � � 1)(2n + �+ �)2(2n+ �+ � + 1) ;(4.3)y por tanto, an = �2 � �24n4 +O(n) ; b2n = 4n4 +O(n3)16n4 +O(n3) :Luego, el teorema 10 nos indi a que estamos en presen ia de una familia de polinomios de la lase2 on los par�ametros � = 0, � = 2, � = = 4, y (e0; f0) = (4; 16). Por tanto, los momentosasint�oti os de la densidad � de la distribu i�on de eros se expresa por8>><>>: �02m = �12�2m� 2mm � ;�02m+1 = 0; m = 0; 1; 2; :::(4.4)y se orresponden on la expresi�on (4.1) obtenida anteriormente.87Re u�erdese que y = xn .8En este aso estamos en presen ia de un problema de momentos determinado (intervalo a otado)

36 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.Utili emos ahora el teorema 11. En este aso, es ogemos �(n) = 1, por tanto a = 0, b = 1,luego el teorema 11 nos ondu e a la expresi�onlimn!1 1n nXk=1 xmnk = [m2 ℄Xj=0 b2jam�2j2�2j � 2jj �� m2j � = 8>><>>: �12�2k � 2kk � ; m = 2k0; m = 2k + 1(4.5)que oin ide on (4.4). Para on luir, n�otese que el teorema 12, o su orolario 13, nos ondu en aid�enti o resultado. Para ello basta es oger la fun i�on �(n) = 1 (luego � = 0), a = 0, b = 1, por loque 13 nos ondu e alimn!1 1n nXk=1� xnk�(n)�m = 1� Z 10 dtZ 1�1 xmp1� x2dx = 1� Z 1�1 xmp1� x2dx == 8>><>>: �12�2k � 2kk � ; m = 2k0; m = 2k + 1(4.6)Como hemos visto, los uatro teoremas ondu en, omo era de esperar, al mismo resultado.Finalmente, para al ular los momentos espe trales para ada n podemos utilizar ualquiera delos m�etodos aqu�� des ritos, o bien a partir de la e ua i�on diferen ial (3.3), mediante las expresiones(3.7) y (3.4), o bien a partir de la e ua i�on de re urren ia, es de ir utilizando (3.15). Ello nos ondu e a las siguientes expresiones �0(n)1 = � � �2n+ �+ � ;�0(n)2 = 4n3 + 4n2 (�+ � � 1) + 2n ((�� 2)�+ (� � 2)�) + (�+ �) ��2 + (� � 1)� � � (1 + 2�)�(2n� 1 + �+ �) (2n+ �+ �)2 ;�3 = � 1(�2 + 2n+ �+ �) (2n+ �+ � � 1) (2n+ �+ �)3��� (�� �) �16n4 + 4n2 (�+ � � 2) (4�+ 4� � 1) + 4n3 (7�+ 7� � 6)++ (�+ �)2 �2 + (�� 3)�� 3� � 2�� + �2�+ 2n (�+ �) �4 + � (2�� 9)� 9� + 2�� + 2�2�� �:Polinomios de LaguerreConsideremos ahora los polinomios de Laguerre. En este aso los oe� ientes an y b2n de larela i�on de re urren ia (3.14) se expresan mediante las f�ormulasan+1 = 2n+ �� 1; b2n = n(n+ �):(4.7)Luego, pertene en a la lase 7b des rita en el teorema 10 on par�ametros � = 1, � = 0, � = 2, = 0, y ( 0; d0) = (2; 1), (e0; f0) = (1; 1), respe tivamente y sus momentos espe trales asint�oti osson �000m = 1m+ 1 [m2 ℄Xi=0 2m�2i� 2ii �� m2i � = 1m+ 1 � 2mm � ; m = 0; 1; 2; ::: ;(4.8)que ara terizan un aso espe ial de la distribu i�on Beta [45, Vol. 2, p. 210℄. Con retamente,

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 37��xn� = 12� �xn�� 12 �4� xn� 12 ; 0 � xn � 4 ;(4.9)y oin ide on (4.2). Obviamente si utilizamos el teorema 11 obtenemos el mismo resultado. Paraello basta utilizar omo fun i�on �(n) = n y notar que enton es a = b = 2. Por �ultimo, si utilizamosel teorema 13, tenemos quelimn!1 1n nXk=1� xnk�(n)�m = 1� Z 10 dtZ 40 xmtmp4� (x� 2)2 dx == 1�(m+ 1) Z 40 xmp4� (x� 2)2 dx = 1m+ 1 [m2 ℄Xi=0 2m�2i� 2ii �� m2i � ;(4.10)que oin ide on (4.8).Finalmente, para los momentos espe trales de los polinomios de Laguerre las e ua iones (3.7)y (3.4), o (3.15) nos ondu en a�0(n)1 = n+ �; �0(n)2 = (n+ �) (2n+ �� 1) ;�0(n)3 = (n+ �) �5n2 + n (5�� 6) + �2 � 3�+ 2� ;�0(n)4 = (n+ �) �14n3 + n2 (21� � 29) + n (�� 2) (9�� 11) + (�� 3) (�� 2) (�� 1)� :

-1 1x

1

2

1 2 3 4x

1

2

Densidad de eros de los Polinomios de Ja obi y Laguerre.

38 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.4.2 Polinomios de Charlier y ChebyshevPasemos a onsiderar el aso dis reto. Aqu�� laramente s�olo podemos utilizar el m�etodo a partirde la rela i�on de re urren ia pues no tenemos ninguna e ua i�on diferen ial. Estudiemos los poli-nomios de Charlier y Cheby hev respe tivamente.Si a diferen ia del apartado anterior, onsideramos ahora que �(x) es una fun i�on es al�on onsaltos de magnitud �(x) = e���x�(x+1) , en los puntos x = 0; 1; 2; :::, enton es, estamos en presen iade una familia de polinomios ortogonales que satisfa en una rela i�on de ortogonalidad dis reta, esde ir se umple queZ 1�1 �n(x) �m(x)d�(x) = 1Xx=0 �n(x) �m(x) e���x�(x+ 1) = Æmnn!�nA los miembros de di ha familia se le denominan polinomios de Charlier 9 que son solu i�on de unae ua i�on en diferen ias de la forma (2.9), on retamentex45y(x) + �� x4 y(x) + ny(x) = 0:Un aso muy distinto se tiene al tomar �(x) omo una fun i�on es al�on on saltos unitarios enN puntos, digamos x = 0; 1; 1::; N � 1. Este aso orresponde una familia �nita de polinomios ono ida omo polinomios dis retos de Chebyshev tn(x;N) y que son el an�alogo dis reto de los yamen ionados polinomios de Legendre. En este aso tenemosZ 1�1 tn(x;N)tm(x;N)d�(x) = n�1Xx=0 tn(x;N)tm(x;N) = Æmnn!2(N + n)!(n+ 1)�2n(2n+ 1)(N � n� 1)! :Polinomios de CharlierEn el primer aso tenemos que los polinomios de Charlier �n(x), satisfa en una rela i�on dere urren ia a tres t�erminos (3.14) uyos oe� ientes an y b2n son:an = n+ �� 1; b2n = n�:(4.11)Luego son representantes de la lase 7a des rita en el teorema 10 on � = 1, � = 0, � = 1, = 0y ( 0; e0) = (1; 1). Por tanto sus momentos asint�oti os orrespondientes a la densidad asint�oti a���(x) = limn!1 � �xn�, son �000m = 1m+ 1 ; m = 0; 1; 2; :::(4.12)O sea, la densidad asint�oti a de los eros rees alados de los polinomios de Charlier orresponden ala distribu i�on uniforme [45, Vol 2, p. 276℄,��xn� = 1; 0 � xn � 1:(4.13)Este resultado es evidente a partir del teorema 11 uando es ogemos �(n) = n, enton es tenemosa = 1 y b = 0, por lo que 11 nos ondu e a la expresi�onlimn!1 1n nXk=1�xnkn �m = 1m+ 1 :9Usualmente tambi�en se le llaman polinomios dis retos de Charlier.

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 39Este resultado ha sido en ontrado tambi�en por Kuijlaars{Van Ass he [52℄ utilizando otras t�e ni as.Adem�as, el lema 1 nos permite al ular los momentos de orden bajo�0(n)1 = n+ 2�� 12 ; �0(n)2 = (n� 1) (2n� 1)6 + 2 (n� 1)�+ �2;�0(n)3 = (n� 1)2n4 + 3(n� 1)2�+ 9 (n� 1)�22 + �3;�0(n)4 = n2 (10 + 3n (2n� 5))� 130 + 4(n� 1)3�+ 2 (n� 1) (6n� 7)�2 + 8 (n� 1)�3 + �4:Polinomios de ChebyshevEl aso de los polinomios de Chebyshev tn(x;N) es ompletamente distinto pues ellos, a diferen iade los Charlier, onstituyen una familia �nita de polinomios ortogonales (n = 0; 1; 2; :::; N � 1)[21, 64, 65, 75℄. Por tanto, en este aso, de las dos t�e ni as anteriores, teoremas 10 y 11, s�olopodemos utilizar la primera. Veamos omo pro eder en este aso los oe� ientes de la rela i�on dere urren ia (3.14) tienen la formaan = N � 12 ; b2n = n2(N2 � n2)4(4n2 � 1) ;(4.14)y por tanto los momentos espe trales tienen la forma (ver f�ormula (3.15))�0(N)m = 1nX(m) F (r01; r1; :::; rj ; r0j+1) n�sXi=1 j+1Yk=1 �(N � 1)2 �r0k jYk=1 �(i+ k � 1)2[N2 � (i+ k � 1)2℄4[4(2i + 2k � 1)2 � 1℄ �rk ;de donde se dedu en las expresiones�0(n)1 = N � 12 ; �0(n)2 = 2n2 � n3 + n(3N � 2)2 � 6 (N � 1)N � 224n� 12 ;�0(n)3 = (N � 1) �(2� n)n2 + (2� 4n)N + (5n� 4)N2�16n� 8 ;para los tres primeros momentos.Por onvenien ia se suele utilizar mu has ve es en vez de los tn, los polinomios rees aladosTn(x;N) � �N � 12 ��n tn�N � 12 (x+ 1); N� ;(4.15)y uyos oe� ientes de la rela i�on de re urren ia (3.14) sonan = 0; b2n = n2(N2 � n2)(N � 1)2(4n2 � 1) :(4.16)Enton es, (3.15) se transforma en�0(N)m = 8>>>><>>>>: 2n kXp=10�X(m) F (0; r1; 0; r2; :::; 0; rp)1A n�pXi=1 pYk=1 � (i+ k � 1)2[N2 � (i+ k � 1)2℄(N � 1)2[4(i+ k � 1)2 � 1℄ �rk ; m = 2k0 ; m = 2k + 1 ;

40 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.de donde dedu imos para los primeros momentos no nulos�0(n)2 = (n� 1) �3N2 � n2 + n� 1�3 (2n� 1) (N � 1)2 ;�0(n)4 = 115 (2n� 3) (2n� 1)2 (N � 1)4 h45n3N4 + 98n� 200n2 + 276n3 � 274n4 + 172n5 � 60n6 + 9n7++90N2 � 360nN2 + 510n2N2 � 360n3N2 + 150n4N2 � 30n5N2 � 45N4 + 150nN4 � 150n2N4 � 21i:Al ser los polinomios de Chebyshev una familia �nita, tenemos que onsiderar dos posibilidadesa la hora de en ontrar los momentos de su distribu i�on asint�oti a. La primera onsiste en pre�jarN , el n�umero de puntos de re imiento de la medida on respe to a la ual �estos son ortogonales,y ha er tender n a in�nito, on lo que tendr��amos el aso n > N y por tanto estar��amos en pres-en ia de polinomios no ortogonales [21, 65℄, o bien ha er tender n ! 1 pero de tal forma quen < N . Esto �ultimo se puede onseguir si, por ejemplo, imponemos la ondi i�on n=N = t 2 (0; 1)((n;N)!1) [31, 32, 51, 68℄.En el primer aso, o sea, n!1 y N �jo, para los polinomios tn(x;N) tenemosan = (2N � 2)n2 +O(n)4n2 +O(n) ; b2n = �n6 +O(n5)16n4 +O(n3) ;por tanto el teorema 10 nos di e que estos polinomios (ya no ortogonales pero que satisfa en unarela i�on de re urren ia) perten es a la lase 7 . Luego, los momentos de la distribu i�on asint�oti a on densidad ��(x) = limn!1 � �xn� se expresan de la forma8>><>>: �002m = 12m+ 1 ��116 �m� 2mm � ;�002m+1 = 0; m = 0; 1; 2; :::(4.17)Consideremos ahora el segundo aso. Como ejemplo tomemos los polinomios rees alados. Eneste aso los oe� ientes de la rela i�on de re urren ia se omportan asint�oti amente omoan = 0; b2n = � nN�1�2 h1� � nN �2i4 � nN �2 � 1N2 ;por tanto sus momentos son�1 = 0; �2 = 12 � t26 ; �3 = 0; �4 = 38 � t24 + 3 t440 ; �5 = 0;�6 = 516 � 5 t216 + 3 t416 � 5 t6112 ;que orresponden on la densidad asint�oti a de la distribu i�on de eros�(x) = 8>>><>>>: 1�t ar tan� tpr2 � x2� x 2 [�r; r℄;12t jxj 2 [r; 1℄; r =p1� t2;obtenida por Rakhmanov en [68, Eq. (1.3) page 114℄ (ver adem�as [51℄) mediante t�e ni as de teor��adel poten ial.

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 41-1 -0.5 0.5 1

x0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-1 -0.5 0.5 1x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Densidad de eros de los Polinomios de Chebyshev y Charlier.4.3 q-Polinomios de Charlier y polinomios de Askey-Wilson.4.3.1 Los q-polinomios de Charlier �n(x; q) en la red x(s) = qs.Los q-polinomios de Charlier son los polinomios ortogonales aso iados a la fun i�on de distribu i�ond�(x) uando �(x) es una fun i�on es alonada on saltos de magnitud �(s) = �x(f1�qg�;q)1�q(s+1) , q < 1,donde �q(s) = 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>: (1� q)1�s 1Yk=0(1� qk+1)1Yk=0(1� qs+k) ; 0 < q < 1q (s�1)(s�2)2 �q�1(s); q > 1 ;(4.18)es el q-an�alogo de la fun i�on gamma de Euler, y(a; q)1 = 1Ym=0(1� aqm):(4.19)Estos polinomios satisfa en una RRTT del tipo (3.14) de la formax �n(x; q) = �n+1(x; q) + �1 + �qq2n+ 32 n�+ q� 3(n+1)2 [n℄q (1� �(1� q)qn)o� �n(x; q)++��2qq 5n2 �1[n℄qf1� �(1� q)qng �n�1(x; q);y una e ua i�on en diferen ias del tipo (2.22) onx(s) = qs; �(s) = qs(qs � 1); �(s) = �q(q � 1) + 1� qs�q ; �n = [n℄q q� (n�1)2�q :

42 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.Como estamos en el aso q < 1, y el teorema esta probado para q > 1, tenemos que ser uidadosos al apli arlo. Ante todo notemos que los t�erminos dominantes para los oe� ientes de larela i�on de re urren ia sonan � (1� q� 12 ) = �(0)0 q0n; b2n � ��q�qq2n = �(0)0 q2n:Como q < 1, estamos en presen ia del aso gm = hm = km = lm = 0 para todo m = 0; 1; ::N yd0 = 0; e0 = 0; f0 = �2; s0 = 0:O sea, d0� e0 = 0 y f0� s0 = �2 < 0, lo que orresponde al aso 2(a)ii del teorema 14. Por tanto,la e ua i�on (3.63) del teorema 16 nos da:�0m(1) = 8>>><>>>: 1 m = 0X(m) F (r01; 0; :::; 0; r0j+1)�1� q� 12�R0 m � 1:(4.20)para los momentos orrespondientes a la densidad asint�oti a de los eros �(x).Por ompletitud vamos a obtener el resultado anterior dire tamente del lema 1. Como an ��(0)0 q0n y b2n � �(0)0 q2n, q < 1, utilizando la expresi�on (3.15), tenemos�0(N)m =X(m) F (r01; r1; :::; rj ; r0j+1) n�sXi=1 "j+1Yk=1 ar0ki+k�1#" jYk=1(b2i+k�1)r0k# ��X(m) F (r01; r1; :::; rj ; r0j+1)(�(0)0 )R0(�(0)0 )Rq2Pj�1k=1 krk+1 n�sXi=1 �q2R�i :Ahora bien, la fun i�on Pn�si=1 �q2R�i = q2R 1�q2R(N�t)1�q2R tiene su m�aximo (q < 1) en R = 0, lo ual orresponde a la parti i�on (r01; 0; r02; 0; :::; 0r0j+1), luego�0(N)m �X(m) F (r01; 0; :::; 0; r0j+1)��(0)0 �R0 N;que nos ondu e dire tamente a la densidad asint�oti a bus ada.4.3.2 Los q-polinomios de Askey y Wilson pn(x; a; b; ; d).Como �ultima apli a i�on, en ontremos los momentos asint�oti os de los polinomios de Askey yWilson [47℄, para q > 1; q 2 IR. Estos polinomios satisfa en una [47, p�ag. 51℄:xpn�1(x; a; b; ; d) = pn(x; a; b; ; d) +Bn�1pn�2(x; a; b; ; d)++12 [a+ a�1 � (An�1 + Cn�1)℄pn�1(x; a; b; ; d);(4.21)donde Bn�1 = An�1Cn�1, yAn = �1� a b d q�1+n� (1� a b qn) (1� a qn) (1� a d qn)a (1� a b d q2 n) (1� a b d q�1+2 n) ;Cn = a �1� b q�1+n� �1� b d q�1+n� �1� d q�1+n� (1� qn)(1� a b d q�2+2 n) (1� a b d q�1+2 n) :

Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales. 43Si omparamos (4.21) on (3.14) obtenemos que:anumn = ��(0)0 q3n = qab d(ab + abd+ a d+ b d+ q(a+ b+ + d))q3n;adenn = ��(0)0 q4n = 2a2b2 2d2q4n;y (bnumn )2 = �(0)0 q8n = a4b4 4d4q8n; (bdenn )2 = (0)0 qnn = a4b4 4d4q8n:Luego, gm = hm = km = lm = 0 para todo m = 0; 1; ::N yd0 = 3; e0 = 4; f0 = 8; s0 = 8:O sea, el aso d0 � e0 = �1 < 0 y f0 � s0 = 0 2(a)iii. Por tanto, la e ua i�on (3.65) del teorema16 nos da la siguiente expresi�on para los valores de los momentos orrespondientes a la densidadnormalizada a la unidad �1(x) (3.58):�0m(1) = 8>><>>: 1 m = 0X(m) F (0; r1; 0; :::; rj ; 0) m � 1: :(4.22)

44 Propiedades espe trales de los polinomios ortogonales.Referen ias[1℄ W.A. Al-Salam, Chara terization Theorems for Orthogonal Polynomials. En Orthogonal Polynomi-als. Theory and Pra ti e. P. Nevai (Ed.) Vol. 294, Kluwer A ad. Publ., Dordre ht, 1990, 1-24.[2℄ R. �Alvarez-Nodarse, Polinomios hipergeom�etri os y q-polinomios. Monograf��as de la A ademia deCien ias de Zaragoza (1998) (en prensa).[3℄ R. �Alvarez-Nodarse, E. Buend��a and J.S. Dehesa, On the distribution of zeros of the generalizedq-orthogonal polynomials. J. Phys. A: Math. Gen. 30 (1997) 6743-6768.[4℄ R. �Alvarez-Nodarse and J. S. Dehesa, Zero distribution of dis rete and ontinuous polynomials fromtheir re urren e relation. Preprint (1998).[5℄ R. �Alvarez-Nodarse and Yu.F. Smirnov, q-Dual Hahn polynomials on the non-uniform latti e x(s) =[s℄q[s + 1℄q and the q-algebras SUq(1; 1) and SUq(2). J. Phys. A: Math. and Gen. 29 (1996), 1435-1451.[6℄ G. E. Andrews, q-Series: Their Development and Appli ation in Analysis, Number Theory, Combi-natori s, Physi s, and Computer Algebra. Conferen e Series in Mathemati s. Number 66. Ameri anMathemati al So iety. Providen e, Rhode Island, 1986.[7℄ G. E. Andrews and R. Askey, Classi al Orthogonal Polynomials. Polynomes orthogonaux et appli- ations. C.Brezinski et al. (Eds.) Le ture Notes in Mathemati s. Vol. 1171. Springer Verlag, Berlin,1985, 36-62.[8℄ E. R. Arriola, A. Zarzo and J.S. Dehesa, Spe tral properties of the bi on uent Heun di�erentialequation. J. Comput. Appl. Math. 37 (1991), 161-169.[9℄ R. Askey, Orthogonal Polynomials and Spe ial Fun tions. Regional Conferen es in Applied Mathe-mati s. 21, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1975.[10℄ R. Askey and R. Wilson, Some basi hypergeometri orthogonal polynomials that generalize Ja obiPolynomials. Mem. Amer. Math. So . 319 Providen e, Rhode Island, 1985.[11℄ N. M. Atakishiyev and S. K. Suslov, Continuous orthogonality property for some lassi al polynomialsof a dis rete variable. Rev. Mexi ana F��s. 34 (1988), 152-167.[12℄ N. M.Atakishiyev and S. K. Suslov, On Askey-Wilson polynomials. Constru tive Approx. 8 (1992),1363-369.[13℄ N. M. Atakishiyev, M. Rahman and S. K. Suslov, On lassi al orthogonal polynomials. Constru tiveApprox. 11 (1995), 181-226.[14℄ W.N. Bailey, Generalized Hypergeometri Series. Cambridge University Press, England, 1935.(reprinted 1964 by Ste hert-Hafner Servi e Agen y, New York-London)[15℄ G. Birkho� and G. Rota, Ordinary Di�erential Equations. John Willey & Sons. New York, 1989.[16℄ B. V. Bronk, Theorem relating the eigenvalue density for random matri es to the zeros of the lassi alpolynomials. J. Math. Phys. 12 (1964), 1661-1663[17℄ E. Buend��a, S. J. Dehesa and M. A. San hez-Buend��a, On the zeros of eigenfun tions of polynomialdi�erential operators. J. Math. Phys. 26 (1985), 2729-2736.[18℄ E. Buend��a, S. J. Dehesa and F. J. G�alvez, The distribution of the zeros of the polynomial eigen-fun tion of ordinary di�erential operators of arbitrary order. Orthogonal Polynomials and their Ap-pli ations. M.Alfaro et al. (Eds.) Le ture Notes in Mathemati s. Vol. 1329, Springer Verlag, Berlin,1988, 222-235.[19℄ C. Campigotto, Yu. F. Smirnov and S. G. Enikeev, q-Analogue of the Krav huk and Meixner orthog-onal polynomials. J. Comput. Appl. Math. 57 (1995), 87-97.

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