DBH3 8gaia

8/12/2019 DBH3 8gaia

1/28

242

Leku geometrikoak.

Irudi lauak8

PARALELOGRAMOAK

ETA TRIANGELUAK

EDOZEIN

POLIGONO

ZIRKUNFERENTZIAREN

LUZERA

IRUDI ZIRKULARREN

AZALERA

POLIGONOEN

ANGELUAK

ZIRKUNFERENTZIAREN

ANGELUAK

IRUDI LAUENANGELUAK

POLIGONOEN

PERIMETROAK

ETA AZALERAK

POLIGONO

ERREGULARRAK

ARKU BATEN

LUZERA

ZIRKULUAREN

AZALERA

IRUDI ZIRKULARREN

PERIMETROAK ETA AZALERAK

8/12/2019 DBH3 8gaia

2/28

Jakintsuen aberastasuna

Hura gehiegizkoa zen: hain jakintsua izanda aberatsa ez izateak barkamenik ez zuelaleporatzen zion amak berak. Lehenago ere entzun izan zuen arren,inoiz baino min handiagoa egin zion Tales Miletokoari.Etxean sartu eta plan bat prestatzeari ekin zion.

Astroak aztertu zituen eta urtea laborantzarakooso ona izango zela aurresan zuen.Beraz, zuen diru guztia eta maileguz lortu ahalizan zuena bildu eta Miletoko nahiz albokoKios herriko olio-prentsa guztiak bereganatu zituen.

Klimari buruz aurresandakoa erabat bete zen. Auzokoakpozik zeuden oliba-uztak etekin onak emango zizkielakoan.

Baina olibak ehotzera joan zireneanirribarrea okertu zitzaien, Talesek eskatutakoaordaintzea beste irtenbiderik ez zutelako.

Mendekua burutu eta aberastu ondoren, prentsaketa lurrak saldu, eta filosofia eta matematika ikasteariekin zion. Baina aurrez hau esan zien auzokoei:Zeuek hartu kontuan gainerakoei ematen dizkiezuen aholkuak.

Talesen postulatuetako batek dioenez, zirkunferentzierdibatean inskribatutako angeluak angelu zuzenak dira beti.

Nola egingo zenuke 4 cm-ko hipotenusa duentriangelu angeluzuzena?

Konpasa erabiliz, 2 cm-ko erradioko

zirkunferentzia marraztu eta diametro bat

markatu behar da. 4 cm-ko luzera izango

du eta hipotenusa da. Gero, zirkunferentziaren

edozein puntu hartu (diametrokoa ez dena),

A, eta puntua diametroaren bi muturrekin

elkartuz, triangelu angeluzuzena

lortzen da.

A

2cm

8/12/2019 DBH3 8gaia

3/28

244

ARIKETAK

Marraztu koadernoan baldintza hauek betetzen dituzten puntuen leku

geometrikoa.

a) 6 cm-ko luzera duen zuzenki baten muturrekiko distantziakideak dira.

b) 90-ko angeluaren aldeekiko distantziakideak.

c) Ppuntutik 2 cm-ra daude.

a) Leku geometrikoa 6 cm-ko luzerako zuzenki baten erdibitzailea da.

b) Leku geometrikoa 90-ko angeluaren erdikaria da.

c) Leku geometrikoa 2 cm-ko erradioko eta P zentroko zirkunferentzia da.

Zehaztu zuzen batekiko distantziakideak diren puntuen leku geometrikoa.

Zuzen batekiko distantziakideak diren puntuak bi zuzen paralelo dira eta

jatorrizko zuzenetik distantzia berera daude.

Definitu zuzen gorriak, leku geometriko gisa.

a)

b)

a) Leku geometriko bat da, r zuzenetik distantziara

dagoena.

b) r-tik d distantziara eta P puntuarekin lerrokatuta dauden puntuek

osatutako leku geometrikoa da, harekin zuzena osatzen dutela.

Marraztu irudiko triangeluen zirkunferentzia zirkunskribatuak.

a) b)

a) b)

004

d

2

003

002

001

Leku geometrikoak. Irudi lauak

dr

r

dP

d

2

d

2

A

C

A B

C

B

A

C

B

C

B

A

8/12/2019 DBH3 8gaia

4/28

245

8

Marraztu triangelu aldeberdin bat, eta adierazi barizentroa eta zirkunzentroa. Ba al

dago ezer aipagarririk? Gauza bera gertatzen al da edozein triangelu aldeberdinetan?

Edozein triangelu aldeberdinetan, barizentroa

eta zirkunzentroa bat datoz,

erdibitzaileak eta erdibidekoak

bat datozelako.

Definitu barizentroa leku geometriko gisa.

Barizentroa aurkako aldeetarako distantzia erpinetarako distantziaren

halako bi duten puntuen leku geometrikoa da.

Marraztu triangelu hauetako bakoitzean inskribatutako zirkunferentzia.

a) b)

a) b)

Marraztu triangelu aldeberdin bat eta adierazi ortozentroa zein intzentroa. Ba al

dago ezer aipagarririk? Gauza bera gertatzen al da edozein triangelu aldeberdinetan?

Edozein triangelu aldeberdinetan,

ortozentroa eta intzentroa bat datoz,

erdikariak eta altuerak bat

datozelako.

Definitu zirkunferentzia inskribatua leku geometriko gisa.

Zirkunferentzia hau betetzen duen leku geometrikoa da: puntu guztietatik

intzentrorako distantzia eta intzentrotik triangeluaren aldeetarako distantzia

berdinak dira.

32 cm eta 24 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzenean, kalkulatu

hipotenusa.

a = + = =32 24 1 600 402 2 . cm

010

009

008

007

006

005

ERANTZUNAK

C

A B

C

A

B

8/12/2019 DBH3 8gaia

5/28

246

Aztertu ea neurri hauek triangelu angeluzuzen baten aldeen luzerak

diren.

a) 8 cm, 5 cm eta 4 cm b) 10 cm, 8 cm eta 6 cm

a) Ez da angeluzuzena, 82 52 + 42 delako.

b) Angeluzuzena da, 102 = 82 + 62 delako.

Triangelu angeluzuzen baten bi alde 28 eta 21 cm-koak dira. Zer luzera du

hirugarren aldeak?

Alde ezagunak katetoak badira:

Alde ezagunak hipotenusa eta kateto bat badira:

Azaldu zergatik ezin den izan angeluzuzena 35, 77 eta 85eko aldeak dituen

triangelua.

35 eta 77 7ren multiploak direnez, haien berbiduren batura ere

7ren multiploa da, eta 85 ez denez 7ren multiploa, haren berbidura

ere ez da izango. Beraz, Pitagorasen teorema ez da betetzen.

Kalkulatu zenbatekoa den a, triangelu aldeberdinean eta karratuan.

a) b)

a)

b)

Kalkulatu karratu baten aldearen luzera, jakinik diagonala 8 cm-koa dela.

Kalkulatu 28 cm-ko altuera duen triangelu aldeberdinaren aldearen luzera.016

d2 2 2 2 22 64 2 32 5 66= + = = = =l l l l l , cm

015

a= + = =6 6 72 8 492 2 , cm

a= = =4 2 12 3 462 2 , cm

014

013

a= = =28 21 343 18 522 2 , cm

a= + = =28 21 1 225 352 2 . cm

012

011

l l

l l

l

2 2

2

22

2

282

7844

4 3 136

= +

= +

=

. ++ = =

=

l l l

l

2 2 23 3 1363 136

3

32 33

..

, cm


4 cma

6 cma

h

=

28cm

8/12/2019 DBH3 8gaia

6/28

247

8

Kalkulatu poligono hauen azalera.

a) Trapezioa. Oinarriak, 12 eta 8 cm; altuera, 5 cm.

b) 12 cm eta 9 cm-ko diagonalak dituen erronboa.

a) b)

Kalkulatu irudiaren azalera.

Azalera osoa = Laukizuzenaren azalera + 1. triangeluarena + 2. triangeluarena

Laukizuzenaren azalera = 26 2 = 52 cm2

1. triangeluaren azalera =

2. triangeluaren azalera =

Azalera osoa = 52 + 16 + 30 = 98 cm2

Kalkulatu 3 cm-ko altuera eta 5 cm-ko diagonala dituen laukizuzenaren azalera.

Azalera = 4 3 = 12 cm2

Kalkulatu triangelu bakoitzaren azalera.

Alboko triangeluak berdinak dira:

Erdiko triangeluaren azalera: A =

Kalkulatu heptagono erregular baten apotema. Aldea: 6 cm; azalera: 130,8 cm2.

Kalkulatu 7 cm-ko aldea duen karratuaren azalera, poligono erregularren

azaleraren formula aplikatuz.

A = A = A = = 49 cm228

7

2

2

42

l l

2

P a

2

022

A P a

a A

P=

=

=

=

2

2 2 130 8

6 76 23

,, cm

021

12 10

260

= cm2.

A =

=12 5

230 cm2

020

Oinarria cm= = =5 3 16 42 2

019

10 6

230

= cm2

16 2

216

= cm2

018

A =

=12 9

254 cm2A =

+ =

( )12 8 5

250 cm2

017

ERANTZUNAK

10 cm

2 cm

6 cm

26 cm4 cm

10 cm

12 cm

8/12/2019 DBH3 8gaia

7/28

248

Kalkulatu 6 cm-ko aldea duen hexagono erregularraren azalera.

Apotema 6 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren altuera da; triangelu

hori bi triangelu angeluzuzenetan bana daiteke.

Kalkulatu alboko irudiaren azalera. Kontuan hartu barrukoa

hexagono erregularra dela.

Azalera 2 cm-ko aldea duen hexagonoaren azalera halako.

bi da. Apotema 2 cm-ko aldea duen triangelu

aldeberdinaren altuera da.

Irudiaren azalera: 2 10,38 = 20,76 cm2.

Kalkulatu 2 dm2-ko azalera duen triangelu aldeberdinaren altuera eta perimetroa.

Altuera aldearen mende:

h= 0,87 2,14 = 1,86 dm

P= 3 2,14 = 6,42 dm

Kalkulatu 6 cm-ko diametroa duen zirkuluaren azalera.

r= r= = 3 cm

L= 2r L= 2 3 = 18,84 cm

A= r2 A= 32 = 28,26 cm2

Bi zirkunferentzia zentrokideren erradioak 5 eta 3 cm-koak dira, hurrenez

hurren. Kalkulatu bien arteko koroa zirkularraren azalera. Kalkulatu sortzen

dituzten zirkuluen azalerak ere.

Koroaren azalera = (R2 r2) = (52 32) = 16 = 50,24 cm2

Zirkulu handienaren azalera = r2 = 52 = 25 = 78,5 cm2

Zirkulu txikienaren azalera = r2 = 32 = 9 = 26,26 cm2

027

6

2

d

2

026

A = =

= =20 87

2

4

0 872 14

l ll

,

,, dm

h=

= =l l

l l.2

22

2

3

40 87,

025

A =

=12 1 73

210 38

,, cm2

a= = =2 1 3 1 732 2 , cm

024

A =

=36 5 2

293 6

,, cm2

a= = =6 3 27 5 22 2 , cm

023


2 cm 2 cm

2 cm 2 cm

2 cm

8/12/2019 DBH3 8gaia

8/28

Kalkulatu 120-ko eta 20 cm-ko erradioko sektorearen segmentu zirkularraren

azalera.

AZuzenkia= ASektorea ATriangelua

ASektorea=

r2 = h2 + h= = 17,3 cm

ATriangelua=

AZuzenkia= 418,67 173 = 245,67 cm2

Zer erlazio dago bi zirkunferentziaren erradioen artean, bien arteko koroa

zirkularraren azalera zirkulu handienaren azaleraren erdia bada?

Zirkunferentzia handienaren azalera txikienaren azaleraren bikoitza da; beraz,

zirkunferentzia handienaren erradioa txikienarena bider da.

ARIKETAK

Erlazionatu elementu hauek.

a) Barizentroa 1) Altuerak

b) Intzentroa 2) Erdibitzaileak

c) Zirkunzentroa 3) Erdibidekoak

d) Ortozentroa 4) Erdikariak

a) 3) c) 2)

b) 4) d) 1)

Marraztu zenbait triangelu angeluzuzen eta adierazi ortozentroa.

Non dago?

Angelu zuzenaren erpinean dago.

031

030

2

029

b h=

=

2

20 17 3

2173

,cm2

20 10 3002 2 =r

2

2

=

20 120

360418 67

2

, cm2

028

249

8ERANTZUNAK

C C

C

BA

B

ABA

H

H

H

8/12/2019 DBH3 8gaia

9/28

250

Marraztu lerrokatuta ez dauden hiru puntu eta haietatik igarotzen den

zirkunferentzia.

Puntuak elkartzen dituzten zuzenkiak eta

erdibitzaileak marraztuko ditugu. Ebakidura-puntua

zirkunferentziaren zentroa da.

Marraztu triangelu angeluzuzen bat eta haren erdibitzaileak. Ondoren, adierazi

zirkunzentroa. Zer hauteman duzu?

Zirkunzentroa hipotenusaren erdiko puntuan

dago.

Triangelu angeluzuzen isoszele batean, hipotenusa 10 cm luze da.

Zirkunferentzia zirkunskribatua bada, zenbatekoa da erradioa?

Intzentroa hipotenusaren erdiko puntuan dagoenez, hipotenusa da

diametroa; beraz, erradioa 5 cm-koa da.

36 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinean, zirkunferentzia

zirkunskribatua egin dugu. Erdibidekoa 10,39 cm-koa dela jakinik, zenbatekoa

da zirkunferentziaren erradioa?

Triangelu aldeberdinetan zuzen eta puntu nabarmenak bat datozenez,

erradioa barizentrotik zentrorako distantzia da: r= 10,39 2 : 3 = 6,93 cm.

Triangelu angeluzuzenetan, barizentroa, ortozentroa, zirkunzentroa eta intzentroa

hemen egoten dira:

a) Triangelutik kanpo. c) Alde batean.

b) Triangeluaren barruan.

Intzentroa eta barizentroa barruko puntuak dira; ortozentroa eta

zirkunzentroa, berriz, alde batean daude.

Triangelu angeluzuzen isoszele batean, adierazi zirkunzentroa eta ortozentroa.

Triangeluaren bi puntu lotzen dituen zuzenkia hau da:

a) Erdibidekoa b) Erdibitzailea c) Altuera d) Erdikaria

Triangelu angeluzuzen eskalenoetan ere betetzen al da hori?

Zuzenkia bat dator erdibideko, erdibitzaile,

altuera eta erdikari batekin. Triangelua eskalenoa

bada, hori ez da betetzen.

037

036

035

034

033

032


A B

C

O

A

C

O

H

BA

B

C

O

8/12/2019 DBH3 8gaia

10/28

251

8

Triangelu angeluzuzen isoszeleetan:

a) Hipotenusaren altuera kateto bat baino handiagoa al da?

b) Hipotenusaren erdibidekoa kateto bat baino handiagoa ala

txikiagoa da?

a) Ez. Izan ere, altuerak bi triangelu angeluzuzen osatzen ditu eta haien

hipotenusa hasierako triangeluaren katetoa da. Hipotenusa alde handiena da.

b) Erdibidekoa altuerarekin bat dator eta txikiagoa da, a) atalean

adierazitakoagatik.

Triangelu angeluzuzen baten hipotenusa 12 cm-koa da, eta kateto bat, 6 cm-koa.

Kalkulatu beste katetoaren luzera.

Kalkulatu triangelu angeluzuzen bakoitzean falta den aldearen luzera

(a hipotenusa da).

a) a= 34 cm, b= 30 cm b) b= 28 cm, c= 21 cm

a)

b)

Kalkulatu triangelu angeluzuzen baten hipotenusaren luzera, jakinik katetoen

arteko kendura 2 cm-koa dela eta txikienak 6 cm dituela.

Katetoen luzera: 6 cm eta 6 + 2 = 8 cm. Hipotenusaren luzera:

Adierazi ea angeluzuzenak diren triangelu hauek. Hala diren kasuetan, adierazi

hipotenusaren eta katetoen neurriak.

a) 5, 12 eta 13 cm-ko aldeak dituen triangelua.

b) 6, 8 eta 12 cm-ko aldeak dituen triangelua.

c) 5, 6 eta cm-ko aldeak dituen triangelua.

d) 7, 24 eta 25 cm-ko aldeak dituen triangelua.

a) Angeluzuzena. Hipotenusa 13 cm luze da,

eta katetoak, 12 cm eta 5 cm luze.

b) Ez da angeluzuzena.

c) Angeluzuzena. Hipotenusa cm luze da, eta

katetoak, 6 cm eta 5 cm luze.

d) Angeluzuzena. Hipotenusa 25 cm luze da,

eta katetoak, 24 cm eta 7 cm luze.

25 24 7 6252 2= + =

6161 5 62 2= +

12 8 6 100 102 2 + = =

13 12 5 1692 2= + =

61

042

a = + = =36 64 100 10 cm

041

a = + = =784 441 1 225 35. cm

c = = =1 156 900 256 16. cm

040

b = = =144 36 108 10 39, cm

039

038

ERANTZUNAK

8/12/2019 DBH3 8gaia

11/28

252

Kalkulatu adierazitako zuzenkien luzera.

a) b)

a)

b)

Triangelu isoszele baten alde berdinak 7 cm-koak dira, eta beste aldea,

4 cm-koa. Kalkulatu altuera.

72 = h2 + 22

h2

= 72 22

h2

= 49 4

h = 6,71 cm

Kalkulatu 30 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinaren altuera.

Aldea: 30 : 3 = 10 cm. Altuera:Azalera: 10 8,66 : 2 = 43,3 cm2.

Kalkulatu triangelu isoszele baten oinarriaren luzera, jakinik alde berdinak

17 cm-koak direla, eta altuera, 8 cm-koa.

Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdina

osatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuz gero,

hau lortuko dugu:

bb

217 8 225 15 302 2= = = =cm cm

046

100 25 75 8 66 = = , cm

045

h = 45

044

FE = + =18 16 34

FB FC FD = + = = + = = + =4 4 8 1 8 3 9 9 18

EB EC ED = + = = + = = + =1 4 5 1 5 6 1 6 7

043


2 cm

4cm

2 cm

1cm

3cm

2 cmA

A F

E

E?

?

DD

B B

CC

1cm

1cm

1cm

7 cm 7 cm

h

4 cm

8/12/2019 DBH3 8gaia

12/28

Kalkulatu triangelu isoszele baten alde berdinen luzera, jakinik alde desberdinak

42 cm dituela eta altuera 20 cm-koa dela.

Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdina

osatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:

Kalkulatu 6 cm-ko altuera duen triangelu aldeberdinaren aldearen

luzera.

Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdinaosatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:

049

h2 2

2

2 2

2

3

436

3

448 6 93=

= = = =l l

l l l , cm

048

l = + = =21 20 841 292 2 cm

047

EGIN HONELA

NOLA KALKULATZEN DA EDOZEIN TRIANGELUREN ALTUERA, ALDEEN LUZERA

JAKINIK?

Kalkulatu 5 cm, 8 cm eta 10 cm-ko aldeak dituen triangeluaren altuera.

LEHENA. Triangelua marraztu eta elementu guztiak izendatu behar dira.

Altuerak oinarria bi zatitan banatzen du:

AH; haren luzerari x esango diogu.

HB; haren luzera 10 xizango da.

BIGARRENA. Lortutako bi triangelu angeluzuzenei Pitagorasen teorema aplikatu

behar zaie.

AHC triangeluan: 52 = x2 + h2 h2 = 52 x2

HBC triangeluan: 82 = (10 x)2 + h2 h2 = 82 (10 x)2

HIRUGARRENA. Bi adierazpenak berdindu eta ekuazioa ebatzi behar da.

25 x2 = 64 (100 + x2 20x)

25 x2 = 64 100 x2 + 20x

20x= 61 x= 3,05 cm

LAUGARRENA. hkalkulatu behar da.

h x h2 2 2 2 25 5 3 05 3 96= = = , , cm

h x

h xx x

2 2 2

2 2 2

2 2 25

8 105 8 10

= =

=

( )( ))2

253

8ERANTZUNAK

5 cm 8 cm

C

A H B

x 10 x

h

10 cmG F

8/12/2019 DBH3 8gaia

13/28

254

Kalkulatu triangelu baten altuera, jakinik aldeen luzerak hauek direla:

a) AB= 4 cm BC= 7 cm CA = 9 cm

b) AB= 6 cm BC= 10 cm CA = 14 cm

c) AB= 5 cm BC= 11 cm CA = 15 cm

a)

16 x2 = 49 81 + 18x x2

18x= 48 x= 2,67 cm

b)

36 x2 = 100 196 + 28x x2

28x= 132 x= 4,71 cm

c)

25 x2 = 121 225 + 30x x2

30x= 129 x= 4,3 cm

Kalkulatu Ppuntuaren eta A puntuaren arteko distantzia, CP zuzenkiaren eta

DPzuzenkiaren luzerak berdinak izan daitezen grafikoetan.

a) b)

a) Baldin CP= PD= d

4 + x2 = 9 + 49 14x+ x2

14x= 54 x= 3,86 cm

b) Baldin CP= PD= d

4 + x2 = 9 + 36 12x+ x2

12x= 41 x= 3,42 cm

d x d2 2 22 4 18 49 3 96= + = + = , , cm

d x

d xx x

2 2 2

2 2 2

2 2 2 22

3 62 3 6

= +

= +

+ = +

( )( )

d x d2 2 24 16 18 49 5 56= + = + = , , cm

d x

d xx x

2 2 2

2 2 2

2 2 2 24

3 74 3 7

= +

= +

+ = + ( )

( )

051

h x h2 2 25 25 18 49 2 55= = = , , cm

h x

h xx

2 2 2

2 2 2

2 2 25

11 155 11 15

=

=

=

( )( x)2

h x h2 2 26 36 22 22 3 71= = = , , cm

h x

h xx

2 2 2

2 2 2

2 2 26

10 146 10 14

=

=

=

( )( x)2

h x h2 2 24 16 7 11 2 98= = = , , cm

h x

h xx x

2 2 2

2 2 2

2 2 2 24

7 94 7 9

=

=

=

( )( )

050


7 cm

4 cm

C

A

P

D

B 6 cm

2 cm3 cm 3 cm

C

A

P

D

B

8/12/2019 DBH3 8gaia

14/28

255

8

Kalkulatu zer luzera duen x-k irudietan.

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)

Behatu irudiari eta kalkulatu.

a) Erronboaren aldea.

b) AB, katetoaren luzera, ACkatetoarena eta BChipotenusarena.

a)

b)

Kalkulatu irudi hauen perimetroa.

a) b)

a)

P= 28 + 25 + 18 + 26,93 = 97,93 cm

b)

P= 17,46 + 14 + 28 + 12 + 18,44 + 8,6 + 5 + 28 + 16 = 147,5 cm

c = + = =14 12 340 18 442 2 , cm

b = + = =5 7 74 8 62 2 , cm

a = + = =16 7 305 17 462 2 , cm

x = + = =25 10 725 26 932 2 , cm

054

BC AC AB AC = + = + =2 2 2 224 18 30 cm

AB d

d= + = + =2

12

212 18 cm

AC D

D= + = + =2

16

216 24 cm

l = + = + = =8 6 64 36 100 102 2 cm

053

x = = = =117 9 117 81 36 62

2 cm

x = + = =8 5 89 9 432 2 , cm

10100

250 7 072 2 2 2= + = = =x x x x , cm

x = + = =4 4 32 5 662 2 , cm

052

ERANTZUNAK

117

cm

4 cmx

x

5 cm

10cm x

9 cm

8 cm

x

G F

12 cm

G

F

16cm

C

l

A B

25 cm

28 cm 18 cm

12 cm

5 cm16 cm

14 cm

7 cm

28 cm

a

c

b

x

8/12/2019 DBH3 8gaia

15/28

256

Behatu irudiari.

Laukizuzenaren aldeak 15 eta 20 cm luze badira,

zer luzera du zirkunferentziaren erradioak?

Erradioa diagonalaren erdia da:

Demaguntangram txinatarraren zazpi pieza hauek ditugula.

Kalkulatu tangramhonen pieza bakoitzaren

azalera.

Karratuaren diagonala kalkulatuko dugu:

ATriangelu handiena=

ATriangelu ertaina= = 12,5 cm2

ATriangelu txikiena=

AKarratua=

AErronboidea= b h= AErronboidea= 5 2,5 = 12,5 cm2

Pieza guztien azaleren batura karratuaren azalera osoaren berdina dela

egiaztatuko dugu, 102 cm2:

2 25 + 12,5 + 2 6,25 + 12,5 + 12,5 == 50 + 12,5 + 12,5 + 12,5 + 12,5 = 100 cm2

Aukeratu erantzun zuzena, kasu bakoitzean.

a) 2 cm eta 4 cm-ko diagonalak dituen erronboaren azalera hau da:

I) 4 cm2 III) 6 cm2

II) 2 cm2 IV) 12 cm2

b) 10 cm eta 8 cm-ko oinarriak eta 6 cm-ko altuera dituen trapezioaren azalera:

I) 240 cm2 III) 108 cm2

II) 54 cm2 IV) 60 cm2

c) 10 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren azalera hau da:

I) 86,6 cm2 III) 43,3 cm2

II) 50 cm2 IV) 100 cm2

a) I) 4 cm2 b) II) 54 cm2 c) I) 86,6 cm2

057

l l

2 4

d

4

10 2

4

100 2

16

2 2

=

=

= 112 5, cm2

d d

4 4

2

10 2

4

10 2

4

2

100 2

16 26 25

=

=

= , cm2

5 5

2

5 2 5 2

2

25 2

225

=

= cm2

d d= + = =l l l2 2 2 10 2 cm

056

r= +

= =400 225

2

625

212 5, cm

055


20 cm

15 cm

G

5 cm

5 cm

2,5 cm

2,5cm

8/12/2019 DBH3 8gaia

16/28

257

8

Triangelu isoszele baten azalera 24 m2-koa da, eta alde desberdinaren luzera,

6 m-koa. Kalkulatu beste aldeen luzera.

Triangelu angeluzuzen baten azalera 12 cm2-koa da, eta kateto baten luzera,

6 cm-koa. Kalkulatu hipotenusaren luzera.

Beste katetoaren luzera: 12 2 : 6 = 4 cm

eta hipotenusarena:

Kalkulatu 90 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinaren azalera.

Aldea: 90 : 3 = 30 cm

Altuera:

Azalera =

Triangelu aldeberdin baten azalera 30 cm2-koa bada, kalkulatu aldearen luzera.

Aldea xbada, altuera: h =

Azalera = 30 = x= 8,32 cm

Kalkulatu 13 cm-ko hipotenusa duen triangelu angeluzuzenaren azalera,

kateto bat 5 cm-koa bada.

Beste katetoa:

eta azalera: (5 12) : 2 = 30 cm2.

Kalkulatu karratu baten azalera, jakinik diagonala 7,07 cm-koa dela.

Karratua erronbo gisa hartzen badugu,

azalera: (7,07 7,07) : 2 = 25 cm2.

Kalkulatu laukizuzen honen azalera.

Oinarriaren erdia: ,

eta beraz, azalera: 10 8 = 80 cm2.

Kalkulatu laukizuzen baten azalera. Oinarria: 10 cm; diagonala: cm.

Altuera: eta azalera: 10 4 = 40 cm2.116 100 4 = cm

116065

41 16 5 = cm

064

063

169 25 144 12 = = cm

062

x x

x

=

3

2

2

3

4

2

x x x

=

2

3

2.

061

25 98 30

2789 7

,,

= cm2

30 15 675 25 982 2 = = , cm.

060

36 16 52 7 21+ = = , cm.

059

A b h h

h=

=

=

=

= + = +

224

6

2

24 2

68

3 8 9 642 2 2 2

m

l l ll = =73 8,54 m

058

ERANTZUNAK

4 cm41

cm

8/12/2019 DBH3 8gaia

17/28

258

Kalkulatu laukizuzen baten azalera; oinarria: 7 cm; perimetroa: 24 cm.

7 + 7 + 2h = 24 2h = 10 h = 5 cm

Azalera = 5 7 = 35 cm2

Kalkulatu margotutako gunearen azalera.

A = 6 8 + 4 9 + 11 8 + 9 4 = 48 + 36 + 88 + 36 = 208 cm2

068

067

066


4 cm

6 cm

9 cm

4 cm 11 cm

8 cm

F

EGIN HONELA

NOLA KALKULATZEN DA TRAPEZIO ISOSZELE BATEN AZALERA, ALTUERA JAKIN GABE?

Kalkulatu trapezio

isoszele honen

azalera.

LEHENA. Altuera mugatzen duen triangelu angeluzuzenaren oinarria kalkulatu behar

da. Trapezio isoszelea denez, altuerek bi triangelu angeluzuzen berdin mugatzen

dituzte; haien oinarriak trapezioaren oinarrien arteko kenduraren erdia dira.

BIGARRENA. Altuera mugatzen duen triangelu angeluzuzenari Pitagorasen teorema

aplikatu behar zaio.

1,52 + h2 = 2,52

h2

= 2,52 1,52 = 4

HIRUGARRENA. Azalera kalkulatu behar da.

A B b h

=+

=+

=( ) ( )

2

8 5 2

213 2cm

h = =4 2 cm

AE FB AB CD

= =

=

=

2

8 5

21,5 cm

5 cmD C

A 8 cm

2,5 cm

B

5 cmD

hh

C

A 8 cm

2,5 cm2,5 cm

1,5 1,5

BE F

D

h

A

2,5 cm

1,5

E

8/12/2019 DBH3 8gaia

18/28

259

8

Kalkulatu trapezio isoszele hauen azalera.

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)

Kalkulatu irudi hauen azalerak:

a) 2 cm-ko aldeko hexagono erregularrarena.

b) 48 cm-ko perimetroko oktogono erregularrarena.

a) Apotema hau da:

b) Aldea 6 cm luze da.

6 18 4 24

4 246

27 24

2 2 2= + = =

= + =

=

x x x

a

A P a

,

, ,

cm

cm

22

48 7 24

2173 76=

=

,, cm2

a

A P a

= = =

=

=

=

2 1 3 1 73

2

12 1 73

210 38

2 2 ,

,,

cm

cm2

070

b

A B b h

= =

= +

= +

=

14 2 4 6

2

14 6 3

230

m

m2( ) ( )

AE

B AB

= = =

= = + =

4 13 3 5 4 81 2 19

7 2 2 19 11 3

2 2, , , ,

, ,

m

88

2

11 38 7 4 13

237 95

m

m2A B b h

= +

= +

=( ) ( , ) ,

,

h DE

A

= = ( )

= =16424 16

2148 12 17

22

, m

== +

= +

=( ) ( ) ,

,B b h

2

24 16 12 17

2243 4 m2

h DE

A B b

= =

= =

= +

310 6

25 2 242

2

,

( )

cm

hh

2

10 6 2 24

217 92=

+ =

( ) ,, cm2

069

ERANTZUNAK

6 cm 7 m

16 m

24 m 14 m

4 m3 m

3 cm3,5 m

4,13 m

10 cm

164 m

6cm

x

x

x

D C

EA F B

a

a

8/12/2019 DBH3 8gaia

19/28

260

Kalkulatu irudiko zuzenki gorriaren luzera.

Zuzenkiaren erdibitzailea marratuz gero,

erpinerako distantzia erradioaren erdia da, 3 cm,

eta triangelu aldeberdina osatzen du hexagonoaren

alde batekin eta zuzenkiaren erdiarekin. Beraz,

zuzenkiaren erdia:

eta zuzenkia 10,4 cm-koa da.

Adierazi zer azalera duten margotutako guneek.

a) Karratu handiena Karratu txikiena 2 triangelu

A=

b) Hexagonoa osatzen duten triangelu aldeberdinak marraztuz gero,

margotutako gunea triangelu bakoitzaren erdia da, eta beraz, hexagonoaren

azaleraren erdia izango da. Hexagonoaren apotema 3,46 cm-koa denez,

azalera 41,57 cm2

-koa da, eta margotutako gunearena, 20,78 cm2

-koa.c) Hexagonoa osatzen duten triangelu aldeberdinak marraztuz gero,

margotutako gunea triangelu oso bat eta beste biren erdiak dira; hau da,

bi triangeluren baliokidea da edo hexagonoaren herena. Hexagonoaren

apotema 2,6 cm-koa denez, azalera 23,4 cm2-koa da, eta margotutako

gunearen azalera, 7,8 cm2-koa.

d)

Azalera osoa triangeluen azalera da:

x=

A= Triangelu handiena + Triangelu txikiena == 5,54 5,54 : 2 + 5,54 1,15 : 2 = 18,53 cm2

Kalkulatu 6 cm eta 8 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzeneanzirkunskribatutako zirkuluaren azalera.

Hipotenusa 10 cm-koa da eta diametroarekin bat dator; erradioa 5 cm-koa

da, eta azalera, 25 = 78,5 cm2-koa.

Kalkulatu 8 cm-ko aldeko karratuan zirkunskribatutako eta inskribatutako

zirkunferentziek mugatutako koroa zirkularraren azalera.

Barruko zirkunferentziaren erradioa aldearen erdia da: 4 cm; eta kanpokoa

diagonalaren erdia ( ): 5,66 cm.

Azalera = (32 16) = 50,24 cm264 64 128 11 31+ = = , cm

074

073

9 7 67 1 33 1 15 = =, , , cm.

5 2 5 25 2 5

26 252 2

=,

,, cm2

072

36 9 27 5 2 = = , cm,

071

6 cm


4 cm 3 cm5 cm

3 cm

a) b) c) d)

G

5,54 cm

x

3cm5,5

4cm

8/12/2019 DBH3 8gaia

20/28

261

8

Kalkulatu 60-ko anplitudea eta 12 cm-ko luzerako zirkunferentziaren erradioa

dituen sektore zirkularraren azalera.

Zirkunferentzia 12 cm-koa bada, erradioa 6 cm-koa da. Sektorea

zirkuluaren seiren bat denez, azalera:

Kalkulatu zirkulu baten azalera, jakinik haren diametroa eta 7 cm-ko aldea duen

karratuaren perimetroa berdinak direla.

Diametroa 28 cm-koa da, erradioa 14 cm-koa eta azalera: 196 = 615,44 cm2.

5 cm-ko erradioa duen zirkunferentzian triangelu angeluzuzen isoszele bat

inskribatu da. Kalkulatu zirkuluaren eta triangeluaren arteko azalera.

Triangeluaren oinarria eta diametroa bat datoz, bai eta altuera eta erradioa

ere; beraz, azalera: 10 5 : 2 = 25 cm2. Zirkuluaren eta triangeluaren

arteko azalera: 25 25 = 53,5 cm2.

Kalkulatu margotutako gunearen azalera, jakinik zirkunferentziaren diametroa

10 cm-koa dela.

a) 25 2 6,25 = 39,25 cm2

b) 5 cm-ko aldea duen hexagonoaren azalera: , eta

gunearen azalera: 25 64,95 = 13,55 cm2.

c) Zirkuluaren erdia da: 25 : 2 = 39,25 cm2.

Kalkulatu irudi hauen azalera.

a) Zirkuluerdi bat da, azalera jakin bat batuta eta kenduta; beraz, azalera

zirkuluerdiarena da: A = 36 = 113,04 cm2.

b) Zirkuluerdi bat gehi zirkulu-laurden bat da; hau da, zirkuluaren hiru

laurden gehi triangelu aldeberdin bat.

A = 0,75 4 + 2 1,73 : 2 = 11,15 cm2

079

30 4 33

264 95

=

,, cm2

078

077

076

36

618 84

= , .cm2

075

ERANTZUNAK

10 cm

b)a) c)

10 cm

10 cm

4 cm

a)

12 cm

b)

8/12/2019 DBH3 8gaia

21/28

Kalkulatu irudi hauen azalera.

a) Laukizuzen bat ken karratu bat da: A = 7 5 3 3 = 26 cm2.

b) Irudiari azalera jakin bat kendu eta batu zaio; beraz, azalera jatorrizko

irudiaren azalera da: A = 10 4 = 40 cm2.

c) Karratu bat gehi triangelu aldeberdin bat ken zirkulu bat da:

h= = 4,33 A = 5 5 + (5 4,33) : 2 4 = 23,27 cm2.

d) Irudiari azalera jakin bat kendu eta batu zaio; beraz, azalera jatorrizko

irudiaren azalera da: A = 2,5 2,5 = 6,25 cm2.

081

5 2 52 2 ,

080

EGIN HONELA

NOLA KALKULATZEN DA TRAPEZIO ZIRKULAR BATEN AZALERA?

Kalkulatu bi erradiok

mugatutako koroa

zirkularraren zatia

(trapezio zirkularra).

LEHENA. Bi sektore zirkularren azalera kalkulatu behar da.

Kasu honetan, 30-ko anplitudea dute, eta erradioak 20 eta 8 cm-koak dira,

hurrenez hurren.

BIGARRENA. Bi sektoreen azaleren kenketa egin.

Trapezio zirkularraren azalera 87,92 cm2-koa da, gutxi gorabehera.

A A1 22104 67 16 75 87 92 = =, , , cm

A2

228 30

36016 75=

=

, cm

A1

2220 30

360104 67=

=

, cm

262


a) c)

5 cm

7 cm

5 cm

5 cm

2 cm

b) d)

10 cm 2,5 cm

2,5 cm4 cm

3 cm

8cm

20 cm

30F

8/12/2019 DBH3 8gaia

22/28

10m

6 m

263

8

Kalkulatu aurreko ariketako koroa zirkularrak sortutako trapezio zirkularraren

azalera, anplitudea 120-koa bada.

Hiruko erregela aplikatuz, hau lortuko dugu:

Kalkulatu trapezio zirkular baten azalera. Erradioak: 12 eta 6 cm. Anplitudea: 270.

ASektore handiena=

ASektore txikiena =

ATrapezioa= 339,12 84,78 = 254,34 cm2

Behatu bitxiloreari eta kalkulatu lore-hosto bakoitzaren zati zuriaren azalera, zati

horiarena eta guztizko azalera.

Zati zuriko sektore bakoitzaren azalera:

A = = 6,28 cm2

Zati horiko sektore bakoitzaren azalera:

A'= = 18,84 cm2

Azalera osoa:

AOsoa= 6 (A + A') = 6 (6,28 + 18,84) = 6 25,12 = 150,72 cm2

Behatu dorreari eta haren itzalari.

Zer distantzia dago dorrearen punturik

altuenaren eta itzalaren muturraren artean?

d2 = 1502 + 2002 d2 = 62.500

d= 250 m

10 m-ko eskailera bat horma baten kontra dago jarrita.

Eskaileraren oinaren eta hormaren artean 6 m daude.

Zer altuera hartzen du eskailerak horman?

102 = h2 + 62 h2 = 100 36 = 64

h= 8 m

086

085

=

( ) , ( )8 4 45

360

3 14 64 16 45

360

2 2

4 45

360

2

084

=

6 270

36084 78

2

, cm2

=

12 270

360

339 122

, cm2

083

30 87 92

12087 92 4 351 68

,, ,

AA

= = cm2

082

ERANTZUNAK

4 cm45

GG

10 m

6 m

h

200 m

150m

8/12/2019 DBH3 8gaia

23/28

264

Lau angeluko lur-sail baten aldeetan 32 zuhaitz landatu dituzte, 5 m-ko tarteak

utzita. Zer azalera du lur-sailak? Zer luzera du aldeak?

32 zuhaitz daudenez eta karratuaren perimetroa osatzen denez,

5 m-ko 32 tarte egongo dira; hau da:

P= 32 5 = 160 m 4l = 160 l = 40 m

Azalera hau da: A = l2 A = 402 = 1.600 m2.

Bide-seinale honek nahitaez gelditu beharra adierazten du.

Kalkulatu azalera, 90 cm-ko altuera eta 37 cm-ko aldea baditu.

Apotema altueraren erdia da: 45 cm;perimetroa: 37 8 = 296 cm.

Eraikin bateko 50 etxebizitzen oinplanoa irudian ikus

daitekeena da. Hexagonoaren aldea 30 m-koa da.

Lurreko moketaren prezioa 20 /m2-koa

bada, kalkulatu zenbat ordaindu duten eraikin

osoko moketa.

Apotema hau da: a=

AHexagonoa =

AKarratua = 302

= 900 m2

ATriangelua =

Solairu baten azalera: 2.340 + 900 + 390 = 3.630 m2.

Solairu bateko moketaren prezioa: 3.630 20 = 72.600 .

Eraikin osoko moketaren prezioa: 50 72.600 = 3.630.000 .

Mikelek erronboide formako

lorategia du. Bide bat ere

badago, eta bidearen neurriakbadakizkigu. Kalkulatu

lorategiaren azalera eta

perimetroa.

Perimetroa: P= 2 (x+ y) + 2 45 =

= 2 (15,4 + 46,4) + 2 45 = 213,6 m

Azalera: A = b a= (x+ y) 38 =

= (15,4 + 46,4) 38 = 2.348,4 m2

y = =60 38 46 42 2 , m

x = =41 38 15 42 2 , m

090

1

230 30

3

2390 = m2

P a A = =2

6 30 262

2 340 . m2

30 15 675 262 2 = = m.

089

A =

=296 45

26 660. cm2

088

087


30 m

6dam

4,1

dam

38

m

4,5

dam

60m

45

m

38 m

y

x

41 cm

G

8/12/2019 DBH3 8gaia

24/28

265

8

Beirate triangeluar bat jarri dugu. Kalkulatu beira gorrizko

gunearen azalera, jakinik leihoa 1 m-eko aldea duen

triangelu aldeberdina dela.

Triangelu gorri bakoitza aldearen 1/8 m da eta aldeberdina;

beraz, altuera hau da:

At=

27 triangelu gorri daudenez, azalera osoa hau da:

A= 27 0,007 = 0,189 m2

Pista zirkular batean 15 kg hondar bota dituzte metro koadroko.

Guztira 4.710 kg hondar bota badituzte, zer erradio du pistak?

Lehendabizi, pistak zenbat metro koadro dituen kalkulatu

behar da:

4.710 : 15 = 314 m2

A= r2 314 = r2 r2 = 100 r= 10 m

30 m-ko diametroa duen pista zirkular batean, 30 kg hondar bota nahi dituzte

metro koadroko.

a) Zenbat tona hondar behar dira?

b) Eskorga mekaniko batean 5na kg-ko 157 zaku jarri dituzte. Zenbat bidaia

egin beharko dituzte?

D= 30 m r= 15 m A= 152 = 706,5 m2

a) 30 kg/m2 706,5 m2 = 21.195 kg 21,2 t hondar behar dira.

b) Bidaia bakoitzean: 5 157 = 785 kg.

Beraz, = 27 bidaia egin beharko dituzte.

Lorategi karratu batean, zirkulu bat egin nahi dute,

lauzak erabiliz, irudian ageri den moduan.

a) Zer azalera du lauzatutako gainazalak?

b) Zer azalera du soropila duen gainazalak?

a) AZirkulua= r2 A= 52 = 78,5 m2

b) AKarratua= 102 = 100 m2

ASoropila= AKarratua AZirkulua= 100 78,5 = 21,5 m2

094

21 195

785

.

093

092

b h=

=

2

1 8 0 11

2

0 007/

m2,

,

h=

= =1

8

1

16

1

64

1

256

32 2

1160 11= , m

091

ERANTZUNAK

1 m

10 m

8/12/2019 DBH3 8gaia

25/28

266

Gozogile batek azukrea bota du irudikoaren moduko

200 erroskillaren goialdean. 5 kg azukre erabili baditu,

zenbat gramo azukre beharko dira erroskilla baten

1 cm2 estaltzeko?

Erroskila bakoitzaren goiko aldearen (laua)

azalera kalkulatuko dugu:

A= (R2 r2) A= (8,52 2,52) = 66= 207,24 cm2

200 erroskila direnez, estali beharreko azalera:

200 207,24 = 41.448 cm2

5 kg azukre erabili badira, cm

2

-ko kantitate hau behar da:5.000 g : 41.448 cm2 = 0,12 g

Monokulo baten armazoia egin dugu, 10 cm burdin hari erabiliz.

Zer azalera izango du armazoian ahokatzen den leiarrak?

L= 2r 10 = 2r r= 1,6 cm

A= r2 A= 1,62 = 8 cm2

Kalkulatu disko trinko baten gainazal grabagarriaren azalera (argazkian urdinez

ageri da). Diskoaren azalera osoaren zer ehuneko erabiltzen da grabatzeko?

A= (62 22) = 32 = 100,5 cm2

Erabilitako azalera = 100 = % 88,9

Lorezain batek soropila landatu du

koroa zirkular bat osatuz. Koroa

zirkularrean marraz daitekeen

zuzenkirik handiena 15 m-koa da?

Zer azalera du lorezainaklandatutako soropilak

Eskatutako azalera koroa zirkularrarena da:

A = (R2 r2)

Zuzenkia 15 cm luze denez, Pitagorasen teorema

aplikatuko dugu:

R2 =r2 + R2 r2 = 7,52

Ordezkatuz, hau lortuko dugu:

A= (R2 r2) = 7,52 = 176,63 m2

15

2

2

098

100 5

113

,

097

096

095


R

7,5

r

6cm

5cm

G

F

G

F

6 cm

2 cm

G

FGF

8/12/2019 DBH3 8gaia

26/28

267

8ERANTZUNAK

A B C1.500 m 3.200 m

Hona hemen Brasilgo bandera. Neurtu eta

kalkulatu azalera osoaren zer ehuneko dagokion

kolore bakoitzari.

AZirkulua= 62

= 113 mm2

AErronboa= D d= 27 18 = 486 mm2

ALaukizuzena= 37 24 = 888 mm2

Urdina = 100 = % 12,7 Horia =

Berdea =

A hiriko teleferikoa mendi baten

oinetik atera eta gailurreraino

iristen da. Handik B edo C hirira

joaten da.

a) Zer distantzia egiten du

teleferikoak A eta C

hirien artean?

b) Eta A eta B hirien artean?

a) Distantzia (A-Gail.) =

Distantzia (Gailurra-C) =

= 3.298,48 mDistantzia (A-C) = 1.700 + 3.298,48 = 4.998,48 m

Pintore batek irudi hauek erabili ditu hesi bat apaintzeko. Margotutako hesiaren

metro koadroko 32 kobratzen badu, zenbat kobratuko du irudi bakoitza?

1. irudia: hesiko irudia lau aldiz errepikatzen da. Irudiaren azalera 2 m-ko

erradioa duen zirkuluerdiaren azalera da; hau da: A= 4 : 2 = 6,28 m2.

4 irudi direnez, azalera 25,12 m2

-koa da, eta prezioa:

32 = 0,08 = 8 zentimo

2. irudia: 5 m-ko aldea duen karratu batean inskriba daitezkeen 8 lore-hosto

dira, karratuaren diagonalarekiko simetrikoak. Erdi bakoitzaren azalera hau

da: 90-ko angelua eta 5 m-ko erradioa dituen sektore zirkularrarena ken

5 m-ko oinarria eta altuera dituen triangeluarena: .

Lore-hostoaren azalera 14,25 m2-koa da, eta 8 lore-hostoena, 114 m2-koa;

prezioa: 32 = 0,36 = 36 zentimo.114

10 000.

25

4

5 5

27 125

= , m2

25 12

10 000

,

.

101

10 240 000 640 000 10 880 000. . . . .+ = =

2 250 000 640 000 2 890 000 1 700. . . . . .+ = = m

100

888 486

888100 45 3

= % ,

486 113

888100 42

= %

113

888

099

4 m

10 m

800 m

8/12/2019 DBH3 8gaia

27/28

268

Triangelu batean, edozeinetan, erdibidekoak marraztu ditugu, eta 6 triangelu

eratu dira, barizentroa erpin komuna dutela. Azaldu zergatik duten guztiek

azalera bera. Hori aintzat hartuta, frogatu barizentrotik erpin bakoitzerako

distantzia barizentrotik aurkako aldearen erdiko punturakoaren bikoitza dela.

A eta B triangeluen oinarriak berdinak dira (erdibidekoaren definizioadela-eta), eta altuerak ere berdinak direnez, azalerak bat datoz.

Hau da, SA= SB, SC= SD, SE= SF.

Triangelu osoa kontuan hartuta eta arrazoiketa berari jarraituz:

SA+SB+SC=SD+SE+SF.

SC= SD denez SA+SB=SE+SF 2SA= 2SE SA= SE.

Beraz, SA=SB=SE= SF, eta arrazoiketa edozein erdibidekorekin errepikatuz,SC eta SD-ren berdinak direla lortuko dugu:

SA= SB= SC= SD= SE= SF.

denez eta , eta gainera, SB=SC=SD:

Zer da handiena, ABC triangelu angeluzuzenaren

azalera ala L1 eta L2-ren azaleren batura?

(Irudiko zirkunferentzien diametroak triangeluaren

aldeak dira.)

A1 eta A2 L1 eta L2-ri dagozkien zirkuluerdi osoen azalerak balira, hiru

zirkuluerdien azalera hauek lirateke:

A1= A2= A3=

Pitagorasen teorema aplikatuz:

A1+ A 2= = = = =A 3

Triangeluari zirkuluerdi handienaren azalera izateko falta zaion azalera

L1 eta L2-ri falta zaiena da. L1 eta L2-ren azalera triangeluaren bera da.

r32

2

(r12 +r2

2)

2

r22

2

r12

2

r32

2

r22

2

r12

2

103

b b h

h

b1

2 2

2 2=

=2

2 2

1 2b h b h

=

2

2 2

1 2b h b h

=

S S b h

C D+ = 2

2S

b hB=

1

2

SA= SB; SE= SF

102


C

A B

L1L2

F

A B

E D

C

D

Ch

B

b2

b1

8/12/2019 DBH3 8gaia

28/28

Documents

DBH3 8gaia