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El razonamiento matemático

En este número

Pág. Pág.

Problemas medievales .................La enseñanza de la matemática

(A, Agazzi) ...............................Las definiciones en la enseñanza

323Carta al lector .........Geometrías no enclidianas (Luis A.

Santaló) ....................................Razonamiento matemático en la

escuela secundaria (G. Gozzer) 11Los enunciados de los problemas

de aritmética (C. Depover) .... 18El postulado de la continuidad (L.

Campedelli)

4 30

de la matemática (L. Campede-Ni) ............................................. 39

La pasión de la cifra (G. Petitjean) 43 Bibliografía 46

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©ÍÜCERTOS¡No quede fuera

de la GUIA!DE MATEMATICA

AÑO XI Octubre-Noviembre-Diciembre 1977 N° 44CONCEPTOS

DE MATEMATICAPUBLICACION TRIMESTRAL

Redacción y Administración: Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A. 1121 Buenos Ai-i CARTA AL LECTOR

Consignamos nuestra satisfacción por haber dado cima a nuestro undécimo año de vida. Bien se saben las dificultades que hemos debido superar y no en balde el doctor Luis A. Santaló ha manifesta­do que la aparición de "Conceptos de matemática era realmente un "verdadero milagro".* Por serio nos sentimos más obligados a agradecer

ia colaboración de nuestros consecuentes lectores que no sólo nos han expresado su solidaridad sino que, también, algunos de ellos, han recomendado Iá revista a sus alumnos de cursos de profesorados de matemática y los han convertido en nuevos suscrip- tores.

res.

Director — Editor JOSE BANFIGUIA

Suscripción Anual: Argentina $ 3.500.-- Exterior 8 dóla­res o el equivalente en mo­neda de cada país. Los gi­ros postales o bancarios so­bre Bs. As., deben ser ex­tendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATE­MATICA.

de Nuestro agradecimiento no sólo se refiere a la colaboración económica sino también a la oportuni­dad que hemos tenido de poder llevar a todos los lectores excepcionales trabajos que, de otro modo, seguramente les hubiera sido difícil conseguir.* Por esa senda andaremos. Publicaremos lo mejor

que llegue a nuestras manos de autores modernos, pero no descuidaremos los trabajos de autores clási­cos que, a nuestro juicio, sean convenientes para las finalidades de nuestra publicación. Nos gustaría tam­bién recibir colaboraciones de profesores de nuestro país y de otros países sudamericanos aún cuando no desconocemos que la intensidad de sus tareas les resta tiempo para ello.* El precio de la suscripción por 1978 será de

TRES MIL QUINIENTOS PESOS. No necesitamos explicar el porque del aumento. Quien esté infro- mado del precio de las revistas, habrá comprobado cómo ha aumentado su precio y cómo ese aumento se produce de un número para otro. Es la única manera de poder seguir publicando y, por ello, espe­ramos seguir contando con la comprensión de los lectores.

Nos complacemos en augurarles prosperidad para el próximo año 1978.

Los saluda cordialmente.

COOPERATIVASEjemplar suelto o atrasado: S

1.200.-EDITA Y DISTRIBUYE

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Para colaboraciones, números atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse directamen­te al editor.

RIVADAVÍA 767 Tel. 34-1769BUENOS AIRES3X-Registro de la Propiedad Inte­

lectual: N° 1.037.530.LLENÉ Y ENVIE ESTE CUPON

Impreso en COGTAL Rivadavia 767, CapitalNombre de /a cooperativa

Rubro a que se dedicaDomicilio .Localidad

SoJ INTERES GENERAL Concesión N° 8205

= 11 • u ? FRANQUEO PAGADO Concesión N° 2687s « EL DIRECTOR

3

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Rectas paralelas son scjus113s que, estando en un mismo plano, no sg encuentran al prolon­garlas indefinidamente en ambas direcciones.

No es nuestro objeto detenernos en poner de manifiesto los inconvenientes y la inconsis­tencia de las primeras definiciones anteriores. Responden al afán, que la autoridad de Eucli- des hizo perdurar durante siglos, de definirlo todo, incluso las nociones primitivas de las cuales hay que partir en cualquier construc­ción lógica y que no pueden definirse en tér­minos más simples. En las construcciones axio­máticas modernas, el punto y la recta, por ejemplo, se introducen como elementos que satisfacen ciertos axiomas, es decir, se definen por sus propiedades (ver Hilbert (25)).

Siguen después los cinco postulados siguien-

para definir la iguadad hace falta definir el movimiento que permite llevar una figura so­bre otra, punto de vista que fue ampliamente discutido por Helmholtz y que, además, cons­tituye la base de la definición de la geometría según Klein.

Tratándose de figuras, en vez de "igualdad" se acostumbra a utilizar la palabra "congruen­cia", precisamente para indicar que puede lle­varse una de ellas a coincidir con la otra.

Con los cinco postulados anteriores y las nociones comunes citadas se intenta edificar toda la geometría. A la luz de la crítica mo­derna, el sistema presenta varios defectos. No figura, por ejemplo, aunque es usado con fre­cuencia, el postulado de la continuidad, que en la forma dada por Dedekind se enuncia:

Si los puntos de una recta están divididos en dos clases, de manera que los de la primera dase precedan a todos los de la segunda, en­tonces existe un punto, y sólo uno, que separa a ambas clases, es decir, que sigue a todos los de la primera y precede a todos los de la segunda.

También es usado, sin que sea postulado explícitamente, el hecho de que un punto de. una recta divide a ésta en dos partes separa­das, o de que una recta de un plano divide a éste en dos regiones, así como el siguiente postulado de Arquímedes, que en realidad es consecuencia del de la continuidad, y que lue­go resultó fundamental para la construcción axiomática rigurosa de la geometría:

Dadas dos magnitudes entre las cuales están definidas la suma y la relación de mayor a menor, tal como para segmentos o ángulos, existe siempre un múltiplo de la primera que es mayor que la segunda.

Sin estos postulados, u otros equivalentes, pueden señalársele varias fallas lógicas a los Elementos. Por ejemplo, ya en su primer pro­blema, que consiste en la construcción de un triángulo equilátero de lado dado, al hacer la construcción habitual de trazar dos circunferen­cias, de radio igual al lado dado, por los extre­mos de un segmento de la misma longitud (lo que puede hacerse por el postulado II), no que­da demostrado que dichas circunferencias deban cortarse.

Sin embargo, todos los defectos que pueden señalarse resultan insignificantes com­parados con el mérito extraordinario de haber oonstruido una ciencia deductiva a partir del cúmulo de conocimientos dispersos, en su ma­yoría empíricos, que constituían la matemáti­ca anterior a la griega. Además, el hecho de

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L.A. SANTALO (Argentina)

las escuelas. Es el primer libro de fundamenta- ción geométrica, y su estilo y ordenación fue­ron los moldes a los que se ajustaron todas las obras posteriores de matemática.

No se trata, en absoluto, de un manual práctico o de un conjunto de reglas útiles que puedan servir para calcular o medir, al estilo de los documentos egipcios o babilónicos de épocas anteriores. Se trata de una estructura lógica que responde exactamente al concepto de Platón de la geometría: "Como si se tratara de alguna finalidad práctica, los geómetras ha­blan siempre de cuadrar, prolongar, agregar, cuando en verdad la ciencia se cultiva con el único fin de conocer." (República, Libro Vil, 527.)

1.1. Euclides. Poco se sabe con certeza de la vida de Euclides. Según el testimonio de Pro- clo, un matemático que vivió en Bizancio en­tre los años 410 y 485 de nuestra era, "Eucli­des floreció durante el reinado de Ptolomeo I (que murió en 283 a.J.C., pues es citado por Arquímides, que nació hacia fines del reinado de ese soberano). Además, se cuenta que un día Ptolomeo preguntó a Euclides si para aprender geometría existía un camino más breve que el de los Elementos, obteniendo la respuesta de que en geometría no existe camino real. Eucli­des es, pues, posterior a Platón (428-348 a.C.) y a sus discípulos (como Aristóteles, 384-322 a.c.), pero anterior a Eratóstenes (aproximada­mente 280-192 a.C.) y a Arquímides (287-212 a.C.)."

Debido a estas noticias es costumbre ubicar a Euclides como habiendo vivido alrededor del año 300 antes de nuestra era. Sin embargo, teniendo en cuenta que el comentario de Pro- clo fue escrito más de setecientos años des­pués, y que se carece de referencias más direc­tas, se comprende que algunos historiadores pongan en duda tal fecha y aun la existencia misma de Euclides, atribuyendo sus obras ya sea a otro matemático griego, o a la labor conjunta de una escuela que habría pretendido compendiar todos los conocimientos matemá­ticos de la época.

Prescindiendo de la persona, real o hipoté­tica, lo que interesa para la historia de la matemática es (a obra, y ésta, aunque a Eucli­des se le atribuyen algunos escritos más, se reduce fundamentalmente a los famosos Ele­mentos.

es:I. Desde cualquier punto a cualquier otro

se puede trazar una recta.II. Toda recta limitada puede prolongarse

indefinidamente en la misma dirección.III. Con cualquier centro y cualquier radio

se puede trazar una circunferencia.IV. Todos los ángulos rectos son iguales

entre si.V. Si una recta, al cortar a otras dos, forma

de un mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos.

Finalmente, Euclides sienta unas cuantas nociones comunes (llamadas por algunos auto­res axiomas) cuyo número es variable según los textos llegados hasta nosotros, pero entre las cuales se encuentran siempre las siguientes:

1. Cosas iguales a una misma cosa, iguales entre sí.

2. Si a cosas iguales se les agrega cosas iguales, las sumas son iguales.

3. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.

4. (ó 7 según los textos). Cosas que se pueden superponer una a la otra son iguales entre sí.

5. (u 8 según los textos). El todo es mayor que la parte.

De estas nociones comunes interesa señalar la cuarta. En efecto, la ¡dea de superposición lleva implícita la de un movimiento que lleve

figura (o cosa) sobre otra, y, precisamen­te, la manera de llevar una figura sobre otra, para decidir acerca de su igualdad, es una de las características esenciales de cada geome­tría. Es decir, ya Euclides, aun expresándolo en forma vaga, vislumbró que, en geometría.

Las bases de que parte Euclides para edifi­car su geometría son las definiciones, los pos­tulados y Jas nociones comunes.

Las definiciones son veintitrés, al comienzo, aunque luego en el texto se van introduciendo otras más, hasta un total de ciento dieciocho. Con ellas se intenta dar nombre a los elemen­tos con los cuales se va a construir la geome­tría. Citaremos algunas como ejemplo.

Punto es lo que no tiene partes.Linea es una longitud sin anchura.Recta es aquella línea que yace igualmente

respecto de todos sus puntos.Superficie es lo que tiene únicamente longi­

tud y anchura.Plano es la superficie igualmente situada

respecto de sus rectas.Angulo es la inclinación entre dos líneas de’

un plano, las cuales se encuentran y no están en línea recta. Si las dos líneas que contienene ángulo son rectas, el ángulo se llama recti­líneo.

Rectas perpendiculares: si una recta forma ángulos adyacentes iguales, cada uno

de estos ángulos es recto y las rectas se llamanperpendiculares.

son

1.2.Los Elementos. Los Elementos de Eu­clides forman un conjunto de 13 libros dedica­dos a los fundamentos y al desarrollo, lógico y sistemático, de la geometría. Es la obra bre de la matemática griega. Durante siglos ha sido el texto obligado de geometría en todas

una

cum- con otra

4 5

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jantes es algo característico de la geometría euclidiana. En las geometrías no euclidianas, si dos triángulos tienen sus ángulos iguales, son congruentes (es decir, se pueden superponer), pues el tamaño de un triángulo queda deter­minado por sus ángulos, como ocurre con los [triángulos esféricos.

guen". Queda así abierta la posibilidad de que existan rectas asintóticas, es decir, rectas que,

ocurre con la hipérbola y sus asíntotas, encuentren, pero que sin embargo no

señalar como postulado al quinto de ellos, que dio origen a tantos estudios y discusiones du­rante más de veinte siglos, demuestra una in­tuición genial acerca de uno de los puntos clave del pensamiento geométrico.

imuestra que dicho postulado es equivalente, al siguiente:

V6. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos.

Saccheri llega a este resultado a través de una figura de la que hace muy frecuente uso (llamada cuadrilátero de Saccheri, ver 5.8). Sea AB un segmento arbitrario; perpendicular­mente a él se toman dos segmentos AD = BC, y se forma el cuadrilátero ABCD.

comoinunca se

se conserven equidistantes, sino que su distan­cia llegue a hacerse tan pequeña como se quie­ra, sin reducirse nunca a cero. Si explícita-

excluye esta posiblidad, el postulado de las paralelas puede demostrarse, es decir, se le puede dar la forma siguiente, debida a Posi- donio (siglo I a.C.):

Vi. Dos rectas paralelas son equidistantes.Muy análoga es la forma dada al postulado

de las paralelas por C. Clavius (1537-1612):V2. Si tres puntos están de un mismo lado

de una recta y equidistan de ella, los tres puntos pertenecen a una misma recta.

Este enunciado equivale a pedir que el lu-

1.3. El postulado V o postulado de las paralelas. De los cinco postulados del sistema de Euclides, los cuatro primeros traducen pro­piedades más o menos evidentes para nuestra intuición geométrica. El mérito consiste en haber sabido seleccionar, de entre el sinnúme­ro de tales propiedades, una cantidad reducidí­sima de ellas que fuera suficiente para truir la geometría. El postulado V en cambio, llama la atención, y ello desde él principio, por su mayor complicación y por carecer de la evidencia intuitiva de que gozan los demás. Es probable que al mismo Euclides no se le esca­para esta diferencia y procurase, en toda su obra, evitar lo más posible este postulado, que aplica por primera vez para demostrar la pro­posición 29 del Libro I, a saber: una recta que corta a dos paralelas forma con ellas ángulos alternos internos ¡guales, correspondientes iguales, e interiores de un mismo lado suple­mentarios. Este esfuerzo de Euclides por evitar el uso de su postulado V, mientras puede, y por construir la geometría con independencia del mismo, justifica la muy repetida frase de que Euclides fue el primer geómetra no eucli- diano, o bien, que la geometría no euclidiana nació negando su paternidad.

Hay que observar que en algunos manuscri­tos el postulado de las paralelas aparece como- axioma XI (algunas nociones comunes pasan ser postulados). Así se lo menciona también en algunos trabajos posteriores, por ejemplo en los de J. Bolyai. Siguiendo la costumbre general, que históricamente parece ser la más exacta, nosotros seguiremos llamándole postu­lado V.

La primera ¡dea, que prevaleció por más de veinte siglos, fue la de querer "demostrar" este postulado. Los sucesivos ensayos de de­mostración no dieron otro resultado que lle­varlo a otras formas equivalentes, aunque a veces de apariencia muy distinta a la del enun­ciado original. Vamos a mencionar algunas de estas equivalencias, algunas de las cuales presu­ponen que las rectas son no cerradas, condi­ción ésta que antes se consideraba implícita en el postulado li (ver 2.3).

Una tendencia, que afloró repetidas veces, consiste en modificar la definición de rectas paralelas. Según Euclides, son aquellas "no se encuentran por más que se prolon-

mente se i

D Ccons-

gar geométrico de los puntos equidistantes de una recta (de un mismo lado de ella) sea otra

90°BArecta.

Proclo, el matemático bizantino al que se deben las pocas noticias que sobre Euclides se conocen, y los primeros comentarios sobre los Elementos, se apoya en la siguiente proposi­ción (que atribuye a Aristóteles y toma cómo evidente): la distancia entre dos puntos de dos rectas que se cortan puede hacerse tan grande como se quiera prolongando suficientemente las dos rectas. A partir de este lema, que «.vale siempre que las rectas se consideren líneas no cerradas, el postulado V equivale a

V3. Si una recta encuentra a una de dos paralelas, encuentra necesariamente a la otra; también puede enunciarse de estos modos:

V'3. Por un punto uxteior a una recta se traza una y sólo una paralela a dicha recta;

V"3. Dos rectas paralelas a una tercera son siempre paralelas entre sí.

La forma V'3 es la más comúnmente utiliza­da en la actualidad en los textos de geometría, y se atribuye generalmente a Playfair, matemá­tico inglés del siglo XVIII.

De! mismo tipo, aunque muy posterior, es la forma a que lo reduce A. M. Legendre (1752-1833), a saber:

V4. Por un punto cualquiera, tomado en el interior de un ángulo, se puede siempre trazar una recta que encuentre a los dos lados del ángulo.

De índole muy diferente, pero de gran im­portancia conceptual, es la forma siguiente da­da por J. Wallis (1616-1703):

V5. Dado un triángulo cualquiera existe siempre uno semejante de magnitud arbitraria.

Es decir, la existencia de triángulos seme-

T.A'A C H Sin el uso del postulado V se demues­tra fácilmente que el ángulo C es igual al D. Caben entonces tres casos, según que este án­gulo sea recto, agudo u obtuso. Se demuestra que siempre se está en el mismo caso cuales­quiera que sean las dimensiones de la base AB y de los segmentos iguales AD y BC. Aparecen así tres posibilidades que pueden tomarse co­mo hipótesis: la del ángulo agudo, según lo sea el ángulo C=D. Saccheri demuestra que el postulado de las paralelas equivale a la hipóte­sis del ángulo recto, y trata luego de probar que las otras hipótesis llevan a un absurdo. Para la hipótesis del ángulo obtuso consigue demostrar que ella conduce a la conclusión de que las rectas son finitas, lo que toma como el absurdo deseado, y por lo tanto excluye tal posibilidad. En cambio, para la hipótesis del ángulo agudo no consigue llegar a contradic­ción alguna. Efectivamente, tal contradicción no existe y es precisamente la búsqueda de la misóla lo que habría de conducir, un siglo más tarde, al descubrimiento de las geometrías no euclidianas.

No es difícil demostrar que las tres hipóte­sis (del ángulo recto, obtuso o agudo) equiva­len respectivamente a suponer que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual, mayor o menor que dos rectos.

Finalmente, es interesante la forma obteni­da por Gauss (carta a W. Bolyai en 1799 (18)):

Es interesante el razonamiento de Wallis para demostrar la equivalencia de las formas V y V5. Sean las rectas AB y CD que forman los ángulos ay/3 con la secante AH (fig. 1). Su­pongamos que a + 0< 180°. Traslademos AB hasta CB1 de modo que se conserve el ángulo a que forma con AH. Siendo ft< 180°— j3 , la recta CBl caerá dentro del ángulo DCH. Por consiguiente, durante la traslación habrá un punto A' en que la recta A'B' cortará a CD. Si P es el punto de intersección se tiene el triángulo A'CP. Si se puede construir un triángulo semejante al A'CP cuyo lado sea AC, el punto homólogo del P será el de en­cuentro de AB y CD; es decir, estas rectas se cortan, lo que prueba la vigencia del postulado de las paralelas. Que éste implica Vs es evi­dente.

ia

Wallis opina que su forma V5 del postulado es la más próxima al pensamiento de Euclides, puesto que el postulado IV establece la exis­tencia de circunferencias semejantes, y parece natural el paso sucesivo de postular la existen­cia de figuras semejantes también para otras figuras geométricas.

Otra orientación, que hace ver bajo un nue­vo aspecto la incidencia del postulado de las paralelas sobre teoremas geométricos al pare­cer muy distintos, es la iniciada por el jesuíta G. Saccheri (1667-1733) y seguida posterior­mente por J. H. Lambert (1728-1777) y A. M. Legendre (1752-1833), según la cual se de-

V7. Existen triángulos de área tan grande como se quiera.

que

6 7

alejándose infinitamente, tanto hacia un lado como hacia el otro. Pueden presentarse tres casos:

los dos últimos, pues Gauss, princeps mathe- maticorum, ya coronado de fama por otras investigaciones, temió siempre que las relativas a la teoría de las paralelas fueran consideradas

contemporáneos como divagaciones in­

punto P. Sea el punto en que LL 'corta a r. Según el postulado I de Euclides (interpreta­do en el sentido de que por dos puntos pasa una sola recta), el punto debe ser único, y el mismo tanto si M se aleja hacia la derecha como hacia la izquierda. La recta r resulta así cerrada y, por lo tanto, finita. Es decir:

En la geometría elíptica las rectas son ce­rradas.

Si se admite esta proposición, el postulado V también puede demostrarse.

Hemos dado varias formas diferentes del postulado de las paralelas. Se podrían citar todavía otras más. Todas ellas fueron encon­tradas durante las tentativas de "demostrar” dicho postulado. El resultado fue siempre la sustitución del mismo por otro equivalente, de enunciado más o menos simple, o más o me­nos evidente. Así se fue llegando al convenci­miento de que se trataba efectivamente de un verdadero postulado —no de un teorema que pudiera demostrarse con el solo uso de los postulados precedentes—, y que, por lo tanto, iban a ser inútiles todas las tentativas de demos­tración.

En este sentido, Wolfang Bolyai (1775-1856) escribía a su hijo Johann, uno de los creadores de la geometría no euclidiana (21): "Te ruego que no intentes tú también luchar con la teoría de las líneas paralelas. Perderías el tiempo y sus teoremas quedarían sin decmostrar.. Estas impenetrables tinieblas pueden derribar a miles de torres como New- ton. Nunca se aclararán en la Tierra, y el desdichado género humano nunca poseerá en el mundo nada completo, ni aun en la geome­tría. Esto constituye una grande, y eterna heri­da en mi alma."

2. Geómetras no eucl¡dianas2.1. Las obras de Gauss, Lobachevsky y

Bolyai. Si el postulado V, en la forma dada por Euclides u otra equivalente, es un verdade­ro postulado, el hecho de negarlo, aceptando los demás, no debe conducir a contradicción alguna. Esta fue la idea que maduró en la Primera mitad del siglo XIX, y. que dio por resultado el nacimiento de las geometrías no euclidianas, es decir, de las geometrías en que el postulado V de Euclides deja de ser válido.

Como toda ¡dea que llega a la madurez en un determinado momento de la historia, di­chas geometrías no pueden atribuirse total­mente a una sola persona. Fueron gestadas por la obra de todos los matemáticos anteriores que intentaron ver claro el significado del fa­moso postulado, y. cosechadas simul­táneamente por varios matemáticos, entre los cuales, y como más significativos, se cita siem­pre al gran matemático alemán Karl Friedrich Gguss (1777-1855), al ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) y el húngaro Jo­hann Bolyai (1802-1860).

En realidad, los únicos que publicaron du­rante su vida los resultados obtenidos fueron

I

por sussensatas del orden de la,cuadratura del círculo o del movimiento continuo. Por eso, a pesar de que reconoció el mérito de tales trabajos y los alentó, y en cartas privadas dio noticias

de sus propias investigaciones, no quiso No puede decirse que sean "limitadas", puesto que no tienen puntos donde empiecen o terminen; por lo tanto no hay estricta con­tradicción con el postulado II. Sin embargo, implícitamente se había entendido siempre que las rectas debían ser abiertas e infinitas.De aquí que la conclusión de que debían ser cerradas se estimase una contradicción con el postulado II, y la geometría elíptica no fuera considerada, en un principio.

La geometría elíptica es la geometría sobre la superficie esférica cuando se consideran co­mo rectas las circunferencias máximas. Sola­mente hay que convenir, para evitar que dos rectas se corten en dos puntos diferentes, que los puntos diametralmente opuestos sean un solo punto. En regiones suficientemente limi­tadas para que no haya en ellas puntos diame­tralmente opuestos, la identidad, entre la geo­metría sobre la esfera y la geometría elíptica, es completa. Se tiene así el primer ejemplo de geometría en que no se cumple el postulado V. Por tratarse de un ejemplo muy familiar, es muy útil para comprender algunos hechos que a primera vista parecen paradójicos. Por ejem­plo, el resultado de Wallis, de que no puede haber figuras semejantes en una geometría no euclidiana, se cumple evidentemente sobre la esfera, donde un triángulo queda determinado completamente por sus ángulos. También, si se considera el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una circunferencia máxima (recta de la geometría elíptica), resulta una circunferencia menor, que ya no es una recta; se comprende así el postulado V2 deCiavius.

Con esta interpretación de la geometría elíptica es fácil deducir todas sus propiedades, por lo que no vale la pena detenerse en ella. Así: la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que dos rectos, el área de un triángulo es proporcional a su exceso esférico, en un cuadrilátero de Saccheri se cumple la hipótesis del ángulo obtuso, etcétera.

Análogamente, la trigonometría correspon­diente a la geometría elíptica coincide con la trigonometría esférica.

A veces se considera también como geome-

acercapublicar nada durante su vida "por temor al griterío de los beodos" (carta a Bessel en 1829).

Los primeros trabajos de Lobachevsky da­tan de 1826 (memoria presentada a la Univer-

í

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sidad de Kazán y cuyo manuscrito se ha perdi­do), siguiendo después varias publicaciones en­tre 1830 y 1840, fecha esta última en que aparecen sus famosas Investigaciones geométri­cas sobre la teoría de las paralelas, obra escrita en alemán.

1. Existe una única posición LL,'6e la recta variable a,en la cual no corta a r. Esta única posición límite será la paralela por Par. Estamos en el caso euclidiano: por P pasa una sola paralela.

2. Cualquiera que sea la recta que pasa por P, siempre corta a r: por P no pasa ninguna paralela.

3. Existen dos posiciones límite, EE y FF‘ para las rectas secantes; son las correspondien­tes a los dos sentidos en que M puede alejarse infinitamente. Las rectas que pasan por P y están comprendidas en el ángulo FPE cortarán a r: serán secantes. Las que pasan por P y están comprendidas en el ángulo EPF'no cor­tarán a r: serán no secantes. Las EE y FF'óe separación entre ambos tipos de rectas, se lla­man paralelas. Es decir, en esta caso: por el punto P pasan dos paralelas are infinitas no secantes.

(Obsérvese que las rectas no secantes res­ponden también a la definición de rectas para­lelas dada por Euclides (ver 1 . 2); sin embar­go, las posiciones límite tienen ciertas propie­dades particulares que hacen conveniente con­servar sólo para ellas el nombre de paralelas, para así distinguirlas de las no secantes.)

Los casos 2 y 3 corresponden a las geome­trías no euclidianas, llamadas, respectivamente, elíptica e hiperbólica.

2.3. La geometría no euclidiana elíptica. La geometría elíptica es la que resulta de sustituir el postulado de las paralelas por el siguiente:

Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela, es decir, todas las rectas que pasan por un punto exterior a otra cortan a esta última.

Consideremos (fig. 3) la recta PH>perpend¡- cular a r y la LL 'perpendicular a PH por el

Los trabajos de Bolyai empiezan alrededor de 1823, según cartas a su padre Wolfang y a otros amigos, pero su publicación se retrasa hasta 1832, en que aparecen como apéndice del primer tomo de un libro de su padre.

Tanto Lobachevsky como Bolyai ponen en estos trabajos las bases de la geometría y de la trigonometría no euclidianas. Bolyai se dedica especialmente a distinguir las proposiciones geométricas que necesitan el postulado de Eu­clides de aquellas que son independientes del mismo, a las que llama propiedades absolutas o absolutamente verdaderas. Lobachevsky construye más decididamente la geometría no euclidiana, al negar de entrada el postulado V y suponer, en cambio, que por un punto ex­terior a una recta pasa más de una paralela.

2.2. Las geometrías no euclidianas. Dejando de lado el desarrollo histórico, así como la difícil tarea de distinguir a quién pertenece cada una de las ¡deas que forman la geometría no euclidiana -y que se encuentran muy en­tremezcladas en las obras de Lobachevsky, Bolyai, y otros autores de su época, como F'. C. Schweikart (1780-1859) y F.A. Taurinus (1794-1874) vamos a presentarlas tal como quedaron una vez pulidas y sedimentadas. Un estudio histórico y bibliográfico puede verse en el libro de B o no I a, Geometría euclidiana, ESPASA-CALPE Arg., Bs.As., 1945.

Sea una recta r^AB y un punto P exterior a ella (fig. 3). Tomemos un punto cualquiera M sobre r> y consideremos la recta a=PM. Supongamos que el punto M se mueve sobre r,

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ORIENTACIONdad de geometrías distintas de la euclidiana, en lugar de adquirir el convencimiento de que el postulado V era indemostrable y que, en consecuencia, existían otras geometrías igual­mente verdaderas, mostraron una constante preocupación por averiguar, por vía experi­mental, cuál era la "verdadera" geometría, es decir, cuál era la geometría válida en la natu­raleza.

tría no euclidiana a la geometría esférica pro­piamente dicha, es decir, la geometría sobre la esfera sin la identificación de los puntos dia­metralmente opuestos. En este caso el postula­do I debe entenderse en el sentido de que por dos puntos pasa por lo menos una recta.

Como la idea de estudiar la geometría so­bre una superficie determinada —en el caso actual, la esfera— tomando como rectas las geodésicas o curvas de longitud mínima entre dos de sus puntos (suficientemente próximos) es de B. Riemann (1826-1866), a las geome­trías elíptica y esférica se las suele llamar geometrías no euclidianas de Riemann.

Razonamiento

en la escuelamatemáticosecundaria

El mejor método que a uno se le ocurre pensar, para ello, consiste en medir la suma de los ángulos de un triángulo y comprobar si ella es igual, mayor o menor que dos rectos. El primer ensayo lo hizo Gauss, midiendo los ángulos del triángulo formado por las cimas de los montes Brocken, Hohenhaben e Inselberg, triángulo cuyos lados miden varias decenas de kilómetros. El resultado fue que la suma dife­ría de 180° en cantidades muy pequeñas, atri- buibles a errores de observación.

Lobachevsky ensayó lo mismo con el trián­gulo formado por los extremos de un diáme­tro de la eclíptica terrestre y la estrella Sirio, siempre con el mismo resultado de que la diferencia era del orden de los posibles errores de observación. Estos errores, inevitables por precisas que sean las mediciones, hacen que mediante este tipo de experiencias no sea posi­ble decidir cuál es la geometría real de la naturaleza; a lo sumo-sirven para llegar a la conclusión de que, para los usos ocrrientes de las ciencias experimentales, la geometría eucli­diana es perfectamente válida. Las no euclidia­nas tienen interés puramente teórico, cuando se considera que conocer es el único fin de la geometría, pero tienen valor escaso como geo­metrías para medir u observar los fenómenos

Giovanni GOZZER (I tafia)

La enseñanza de la matemática y la prepa­ración para el razonamiento matemático en la escuela de la adolescencia (11 a 14 años) cons­tituye uno de los aspectos más importantes y, al mismo tiempo, uno de los más complejos que se presentan a quienes se preocupan por las cuestiones didácticas relativas a este tipo de escuelas.

En efecto, la matemática, por su carácter de ciencia "pura" basada en un rígido procedi­miento hipotético deductivo, parece ser la en­señanza más reacia para admitir esos procedi­mientos didácticos que, en cambio, parecen fáciles de adoptar en otras materias, en las cuales, evidentemente, los automatismos y los procedimientos mecánicos son bastante menos fáciles, mientras que para esta enseñanza parti­cular parecería, a primera vista, casi necesario prescindir de las posibilidades inmediatas de comprensión del alumno para llevarlo directa­mente al campo del estudio abstracto y de la pura "aplicación" de los procedimientos.

Justamente en relación con estos problemas particulares la tendencia de la escuela moderna o nueva, en estos últimos decenios, ha consis­tido en aplicar a la enseñanza de la matemáti­ca la gradación que parecería corresponder a las fases del desenvolvimiento mental del joven y a su sucesión, experimentalmente estudiadas.

Elaborada, pues, una psicología de la edad evolutiva basada sobre el criterio de las fases y los estudios sucesivos, la enseñanza de la mate­mática (aritmética y geometría), requería na­turalmente una adaptación de la materia a las posibilidades adquiridas del jovencito, para el cual no sólo se pasaba de un estadio de ense­ñanza "concreta" para llegar a través de suce­sivas etapas a una enseñanza abstracta en la cual se desplegaba el aspecto racional de la enseñanza, sino que en cada fase de esta mis­ma enseñanza se respetaba el procedimiento intuición-representación-abstracción que se

considera esencial para la adquisición de cual­quier elemento de la matemática.

Coherentemente con estos principios, la es­cuela moderna tiende a una adaptación de la enseñanza matemática en las diversas fases o edades psicológicas y, en primer término, en la escuela secundaria, con una constante deriva­ción del dato puramente racional del dato intuitivo. En este sentido hoy nos encontra­mos frente a un movimiento radical del trata­miento tradicional de la enseñanza de la mate­mática en la escuela secundaria. Esto se apoya, por otra parte, en la tradición más genuina.

La actual escuela secundaria en su primer trienio ha padecido casi constantemente de un defecto que está vinculado con sus propios orígenes, esto es, el de ser considerada más bien como un momento y una anticipación de la escuela de los grados siguientes que en su fisonomía de escuela de traspaso entre dos edades psicológicas distintas y diversamente calificadas, correspondientes respectivamente a la escuela primaria y a las escuelas superiores. Por tanto, el problema de la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria está estre­chamente vinculado con la realización de la enseñanza en esta escuela caracterizado por una posibilidad no alcanzada de desarrollo no completo de las facultades lógico-racionales.

Viceversa: el. hábito incluido en la enseñan­za de la aritmética y la geometría que hoy, todavía muy frecuentemente, se encuentra, es el del método apriorístico consistente en pre­sentar la figura anticipadamente, luego la fór­mula, el procedimiento de posesión que deriva del estímulo de la memoria y de su adquisi­ción puramente mecánica.

No se insiste lo bastante sobre la compren­sión, o sea sobre la posibilidad de aferrar in­tuitivamente el procedimiento, sino, más bien, sobre la capacidad objetiva, con el objeto de habituar a la mente a aplicar un procedimien-

i

2.4. La geometría no euclidiana hiperbóli­ca. El caso 3 de 2.2 corresponde a la geome­tría no euclidiana propiamente dicha. Es la geometría desarrollada por Gauss, Lobachev­sky y Bolyai, a la que Klein dio el nombre de geometría hiperbólica.En ella las rectas son abiertas e ¡limitadas. Se cumplen los cuatro primeros postulados de Euclides y deja de cumplirse el quinto, el cual se sustituye por el siguiente:

Por un punto exterior a una recta pasan dos paralelas, que separan las infinitas rectas no secantes de las infinitas secantes.

La posibilidad de esta geometría deriva de que, sin contradecir los primeros postulados, Puede haber rectas que no se corten (por lo tanto, paralelas según Euclides) y cuya distan­cia mutua sea variable, llegando a ser tan pe-, queña como se quiera. De esta manera las Paralelas EE' y FF¡ de la figura 3, resultan rectas "asintóticas" a la r—AB, a la cual se' acercan infinitamente sin llegar a cortarla. El ánguloa: = HPE=HPFse llama ángulo de para­lelismo y depende de la distancia d=PH. En la geometría euclidiana es siempre a = 90°; en la no euclidiana, a varía desde cero, para d infinito, hasta 90° para d tendiendo (ver 6.4.) En ella, la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos y, por lo tanto, corresponde a la hipótesis del ángulo agudo de Saccheri.

2.5. Geometría y realidad. Es curioso ob­servar cómo los creadores de la geometría no euclidiana de la primera mitad del siglo XIX, a pesar de su obra capital, parece que se hubie­ran alejado del concepto platónico que preside los Elementos de Euclides y hubiesen retroce­dido, volviendo a considerar la geometría co­mo una ciencia destinada a medir las cosas de la Tierra. En efecto, al vislumbrar la posibili-

naturales. Para ello la euclidiana es suficiente, y es también la más práctica, por ser la más simple y la más adaptada a la intuición.

Es explicable que así sea. Los postulados en que se basa una geometría se eligen lo más evidentes posible para la intuición. Pero ésta es producto de la observación de la naturaleza por los sentidos. Por lo tanto, al menos mien­tras nos mantengamos en el orden de magni­tud apreciable por los sentidos, la geometría euclidiana será la más acorde con la naturale­za, por ser el postulado de Euclides el más evidente para la intuición. Otra cosa puede ocurrir al tratar fenómenos cuyo orden de magnitud sea muy diferente del que aprecian directamente los sentidos, como distancias es­telares o diámetros de partículas elementales. En estos fallara

a cero

casos podría ser que la intuición Y que otras geometrías fueran más

(sigue en pég. 17)1011

continuar y ser extendidos a otros campos de la enseñanza matemática.

Justamente cuando Grosgurin, en su Meto­dología, ponía en guardia contra el abuso de las definiciones, contra la enseñanza que pre­senta a priori fórmulas o procedimientos que anticipan el desarrollo real del espíritu o del razonamiento, acordando en cambio particular importancia a la participación directa del alumno, o la construcción, a la representación gráfica, tratando de remediar mediante formas concretas el enunciado de los problemas, a poner de relieve en los cálculos las relaciones que subsisten entre las figuras y los símbolos.

Sobre la base de observaciones e investiga­ciones hechas con alumnos de 10 a 18 años y a los más recientes resultados de los estudios psicológicos, se podría trazar el siguiente es­quema aproximado de la subdivisión en esta­dios de la enseñanza matemática:

1er. estadio (escuela elemental): Operacio­nes fundamentales con números; contar, sus­traer, multiplicar, dividir, con el aprendizaje de los mecanismos operativos, pero con cons­tante preocupación por hacer intuitiva a cada operación.

2o estadio (escuela secundaria, 11 a 14 años): número decimal y número fraccionario, con operaciones relativas, siempre traducibles en el plano intuitivo; la operación formal con el procedimiento mecánico podrá ser realizada sólo cuando el alumno esté en condiciones de comprender las operaciones elementales y tra­ducirlas inmediatamente al plano concreto; por ejemplo no será posible hacerle operar sobre fracciones hasta que las operaciones mentales sobre éstas (mitad de un quinto, do­ble de un sexto, mitad de un tercio) no sean cumplidas por él con plena conciencia, vale decir, hasta que pueda representarlas de inme­diato; para esto es necesario: a) trabajar con elementos intuitivos, con operaciones concre­tas y moverse gradualmente hacia la operación formal compleja; b) no abusar ¡nicialmente del procedimiento mnemónico o mecánico, no so­meter a los alumnos a operaciones muy com­plicadas que requieran exclusivamente de él la aplicación de técnicas formales.

3er. estadio: razones y proporciones. El ter­cer estadio se podría considerar como aproxi­madamente correspondiente a las clases cuarta y quinta del gimnasio (14 a 16 años) y corres­ponde a la adquisición del concepto de razón con las respectivas aplicaciones prácticas. Es necesario, empero, que a este estadio sólo se

llegue cuando las operaciones previstas en los estudios precedentes hayan sido adquiridas con seguridad por el alumno.

4to. estadio: la operación algebraica formal. Esta operación representa el momento más difícil del desarrollo del razonamiento mate­mático, y su anticipación, actualmente común en la escuela, constituye ciertamente uno de los más graves prejuicios en la formación y en el desarrollo del razonamiento matemático en el joven; también en este campo es evidente que el elemento de mayor importancia deriva de la gradualidad y de la traducibilidad sobre el plano concreto-intuitivo de los elementos fundamentales de los cuales se pasa luego, gradualmente, a las operaciones complejas.

Esta subdivisión en estadios, entiéndase bien, no quiere ser un encuadramiento absolu­to sino sólo una indicación aproximada deriva­da de los resultados de las experiencias cum­plidas sobre las posibilidades de los jóvenes de adquirir los elementos fundamentales del razo­namiento matemático.

Tal subdivisión no se basa sólo en una subdivisión de las edades sino sobre los princi­pios y sobre los fundamentos psicológicos de adquisición del razonamiento matemático. En efecto, para que la operación matemática sea asimilada, es decir comprendida, el elemento esencial es la reversibilidad de la operación realizada. Impuesto al alumno un problema cualquiera, podrá resolverlo gracias a cierto convencionalismo en los procedimientos, pero esta solución no es suficiente y no denota totalmente desarrollo de capacidad lógica. Lo importante es que el alumno tenga certeza sobre el desarrollo de la operación realizada.

Un alumno es sometido a la solución de una simple operación con fracciones: 1/4: 1/2. Podrá cumplirla de tres modos:

a) con la simple aplicación de las reglas: producto de la primera fracción por la recí­proca de la segunda, pero la solución obtenida es una aplicación pura del procedimiento aprendido, y el resultado obtenido nada le dice al joven.

b) con una aplicación de las reglas acompa­ñada por la preocupación genérica de darse cuenta del resultado obtenido.

c) con el control del resultado mediante la aplicación del principio de reversibilidad, vale decir, mediante la reconstrucción inverso del procedimiento operativo (si 1/4 dividido por 1/2 da 1/2, 1/2 por 1/2 debe dar 1/4). Evi­dentemente, esta reversibilidad presupone comprensión plena del procedimiento matemá-

rior, por ejemplo, a un entero determinado, esinadmisible.

En efecto, el mecanismo con que se realiza la operación formal lleva fácilmente al error si falta esa posibilidad de control. Johannot saca algunas importantes conclusiones entre las cua­les citaremos las siguientes:

1) en la escuela secundaria, la mayor parte de los adolescentes no comprenden el razona­miento abstracto y se valen, por lo contrario, de métodos y fórmulas adquiridas mecánica­mente y, a la vez, mecánicamente aplicadas.

2) si el joven aprende una regla o una fórmula en un período anticipado con respec­to al que le permitiría comprender el sentido, podrá aplicarla mecánicamente, pero no podrá comprenaer su procedimiento y, sobre todo, no tendrá modo de controlar la exactitud y de 'tener confianza en los resultados de la opera­ción realizada.

3) la poca seguridad que demuestran los adolescentes en las soluciones algebraicas de los problemas que se les someten deriva del hecho de no haber tenido manera de haber podido hallar una solución intuitiva previa del problema propuesto. Por tanto, es fácil que para los alumnos de este tipo de escuela, la enseñanza se reduzca a un puro mecanismo de operaciones efectuado según determinadas nor­mas pero sin que exista la posibilidad de la comparación y, por tanto, de confiar en la ope­ración realizada.

Esto también explica la dificultad del cálcu­lo literal, que es todavía más complejo que el aritmético, cuando faltan las premisas encon­tradas.

to determinado según los principios rigurosos del método lógico-deductivo.

En otros términos, en la escuela secundaria se debería considerar el procedimiento abstrac­to más bien como punto de llegada que como punto de partida.

En una publicación aparecida hace algunos decenios (Louis Johannot, Le raisonement ma- thématique, Delachaux y Nestlé, París, 1944) el autor, formado en la escuela psicológica de Piaget, después de una serie de estudios y observaciones sobre un complejo verdadera­mente notable de jóvenes de la escuela secun­daria delineaba, en lo que se refiere al desarro­llo del razonamiento matemático, cuatro esta­dios; de un problema dado se presentan, pues, varias formas resolutivas.

1) Solución en el plano concreto.2) Solución en el plano de la representa­

ción gráfica.3) Solución en el plano formal aritmético.4) Solución en el plano formal algebraico.

No hay razonamiento sin intuición -afir­ma— y no hay intuición sin un regreso a nociones todavía muy simples. El joven li­ceísta de 18 años resuelve el problema en el plano algebraico traduciéndolo al aritmético (pasaje del cuarto al tercer estadio); un joven estudiante de escuela media resuelve el pro­blema aritmético llevándolo al plano gráfico (mediante objetos, etc.).

La tarea fundamental en la enseñanza de la matemática consiste precisamente en asegurar al joven la posibilidad de recorrer los cuatro estadios, y tal capacidad se alcanza cuando el alumno se encuentra con la posibilidad de descubrir el error que eventualmente pudo co­meter; empero, este descubrimiento exige que pueda volver a recorrer de vuelta el camino del procedimiento matemático seguido o apli­cado, dándose cuenta, siquiera sea en forma aproximada, de los errores eventuales cometi­dos en su procedimiento.

Sea, por ejemplo, sometida al alumno de escuela media una operación sobre una serie de fracciones: 2/10 + 1/5 + 3/7. Podrá reali­zar la operación en el plano aritmético formal mediante un procedimiento adquirido mecáni­camente (búsqueda del mínimo común múlti­plo, etc.) pero un error eventual cometido en la resolución podría fácilmente escapársele; lo importante es que sepa proceder al revés y ver la inaplicabilidad y la intraducibilidad sobre el plano concreto del cálculo efectuado por él, viendo de inmediato que un resultado supe-

Veamos un ejemplo práctico: un joven de primer año secundario aprende a calcular la superficie de polígonos regulares; la razón en­tre lado y apotemia, expresado para cada polí­gono por el número fijo, puede muy bien ser captada por el alumno, el cual también se puede hallarlo por su lado cómodo, pero ¿es verdaderamente útil que aplique una fórmula de la cual no sabe de dónde procede? En efecto, si no tiene la noción clara de razón, la operación que realice se reducirá exclusiva­mente a un mecanismo puro.

Si nosotros nos preocupáramos exclusiva­mente por una enseñanza matemática con fi­nalidad práctica, podríamos muy bien conten­tarnos con estas soluciones mecánicas, pero si el objetivo de la enseñanza es el de preparar para el razonamiento matemático, no podre­mos sino verificar la insuficiencia del método seguí o, los ejemplos, evidentemente, podrían

una

1312

otros. Esta subdivisión se puede realizar en la forma siguiente:

a) desarrollo vertical: operación sobre el plano concreto, sobre el plano concreto-abs­tracto, sobre el plano puramente abstracto. Un problema como el siguiente: A > B, B>C. Por consiguiente: A>C. Esto, que para el adulto es de evidencia absoluta, no le parece así al joven, con un enunciado tan abstracto, sino a cierto nivel y a determinada edad psico­lógica, mucho más avanzada de cuanto se piensa habitualmente.

b) desarrollo horizontal: un problema idén­tico se presnta en forma distinta según que lo coloque, por ejemplo, en números enteros, en números decimales, o en números fracciona­rios, en términos algebraicos; por eso, en un mismo nivel de desarrollo mental las diversas nociones se reagrupan según leyes organizati­vas y según un orden constante.

Señaladas estas premisas, volvamos al punto de partida.

El problema que nos preocupaba era el de la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria. ¿A qué conclusiones hemos llega­do luego de una serie de investigaciones reali­zadas con jóvenes de escuelas medias, y poste­lementales, de 12 a 14 años? Helas aquí, sucintamente:

1) El adolescente cumple un esfuerzo men­tal al resolver un problema sobre el plano exclusivamente abstracto y recurre a la repre­sentación gráfica o a la ayuda concreta toda vez que le resulte posible.

2) Encuentra notables dificultades para comprender las operaciones (casi siempre con las fracciones) que se les imponen y que debe efectuar. Las operaciones elementales traduci­bles en el plano concreto (por ejemplo, dividir 1/4 por 1/8) le satisfacen más que las opera­ciones no traducibles intuitivamente (por ejemplo 2/45 multiplicada por 8/15).

3) Las operaciones en las cuales adquiere seguridad y autoridad son aquéllas que derivan de una experiencia directa en el plano concre­to o en el plano representativo y en las que, por consiguiente, la regla, como esquematiza- ción del procedimiento, es apresada en sus elementos esenciales y se apoya sobre la expe­rimentación y sobre factores intuitivos.

4) El adolescente trata constantemente de establecer analogías entre los elementos abs­tractos del problema propuesto y las nociones simples y elementales que posee mediante un constante trabajo de trasposición.

5) Huye del razonamiento exclusivamente abstracto porque éste no le permite establecer analogías con nociones ya asimiladas y no le consiente concretar o volver visible a la opera­ción.

ejemplo, el alumno no sea capazta que, porde comprender y de traducir también en el plano concreto la operación 1/4 x 1/4 dándose

de que también multiplicando dos nú- fraccionarios obtiene un resultado infe-

tico y del valor de los símbolos, o sea, la comprensión de las operaciones con números fraccionarios.

Concluyendo estas observaciones podemos decir que la plena comprensión de un procedi­miento no se manifiesta en la capacidad de aplicar la regla, sino en la aplicación conscien­te del principio de reversibilidad de las opera­ciones realizadas y, por consecuencia, el alum­no comprende la regla cuando comprende las operaciones que ella esquematiza.

Algunos matemáticos, o docentes de mate­mática, frente a nuestros razonamientos sobre la necesidad de un reordenamiento didáctico de esta enseñanza, sobre lo absurdo de conti­nuar exigiendo al 80 % de los jóvenes la reali- zación de operaciones o ejercicios de los cua­les no comprenden el procedimiento, sobre el error de habituar al niño a la aplicación de reglas o fórmulas como automatismos puros, nos han hecho estas observaciones. La aplica­ción de los procedimientos automáticos es una necesidad; ¿cómo podría, de otro modo, el niño de cuarto o quinto grado elemental, com­prender el procedimiento de la multiplicación o de la división? Ocurre un poco lo que sucede en las aplicaciones del mundo indus­trial. Por ejemplo, no pretendemos que un radioescucha conozca todas las uniones de un aparato o que la criada sepa ajustar una hela­dera o que el automovilista ponga a punto el motor; lo importante es que sepan mover las palancas o las conexiones que permitan el fun­cionamiento de las correspondientes máquinas.

Del mismo modo, para hallar la longitud de la circunsferencia lo importante es que sepa­mos multiplicar por 7r sin proponernos que se conozca qué es 7T.

A tal razonamiento, que justifica muy pro­funda y cómodamente el procedimiento usado por quien enseña matemática en la escuela secundaria (habituar exclusivamente a las solu­ciones formales) me parece que se debe res­ponder que la enseñanza de la matemática no tiene por objetivo la adquisición de automatis­mos operativos sino la preparación para el razonamiento matemático, esto es, el procedi­miento hipotético deductivo que caracteriza al cálculo matemático. Por eso, en este caso, el automatismo, la fórmula, las uniones, sólo ser­virán para abreviar un camino, pero no para substituirlo.

Lo importante ¿s adquirir y poseer con seguridad los elementos fundamentales del procedimiento y traducirlos luego en esquema- tizaciones aplicables bajo forma de regla. Has-

cuentamerosrior porque multiplica (es decir, toma) la can­tidad múltiplicada un número de veces inferior a la unidad, todas las propiedades que podrá aplicar en el plano formal, todas las solucio­nes, incluso las exactas, que podrá dar de los problemas propuestos, serán extrínsecas, inúti­les para los fines del desarrollo del razona­miento matemático, serán puras convenciones mnemónicas. Esto justifica nuestra opinión de

la enseñanza de la matemática no se

6) La aplicación mecánica de la regla deter­mina en él un hábito peligroso que le hace adaptarse y aceptar pasivamente procedimien­tos que no estimulan su capacidad reflexiva, ni su posibilidad para establecer analogías.

7) Por consiguiente, muy a menudo el es­tudio de la matemática determina verdaderas inhibiciones en el desarrollo del razonamiento lógico y la convicción de que el mundo mate­mático es un mundo de símbolos y operacio­nes extrañas, incomprensibles y muy a menu­do injustificables (se han hecho muchos expe­rimentos para ver cómo los alumnos de tercer año justificaban la operación (—x) (—x) = x2 y constantemente se oía decir que "menos por menos da más" o que "ésta es la regla".

que entrata de adquirir habilidad aplicativa y que la tesis de que basta saber poner en movimiento la palanca es absurda y nefasta a los efectos de la enseñanza, pero que, por otra parte, hasta que la enseñanza de la matemática tenga sobre la escuela media una anticipación (con respecto a la edad psicológica y al desarrollo mental) como la prevista en los programas

8) Las operaciones interpretables por el jo­ven de la escuela media y, por tanto, capaces de favorecer el desarrollo de sus posibilidades razonativas, son las representables o transferi- bles al concreto; mientras sólo en un estadio posterior él comprende el enunciado matemá­tico abstracto, esto es, cuando está sólidamen­te anclado el complejo de las nociones prece­dentes, y el enunciado algebraico es transferi­do al plano aritmético (pero hacia los 17-18 años) antes de ser adquirido como procedi­miento exclusivamente algebraico. En otros términos, entre los cuatro estadios se determi­nan fases intermedias que favorecen el pasaje de uno a otro y el pleno desarrollo del proce­so de conquista del razonamiento matemática

vigentes en Italia (y sabemos cuánto han in­tentado los matemáticos reducirlos o por lo menos desarrollarlos en un lapso mayor), los profesores de matemática se verán constreñi­dos a hacer de esta enseñanza lo contrario delo que debería ser; a hacer un ejercicio de puro mnemonismo, con la esperanza de que más tarde las cosas aprendidas sean, cuando se haya alcanzado la plenitud del desarrollo men­tal, reconsideradas y reconquistadas. Pero esto sólo ocurre en un porcentaje de casos muy exiguo, y el procedimiento matemático queda, en la mayoría de nuestros jóvenes, como un extraño mundo de signos y de operaciones obligadas. En suma, el razonamiento matemá­tico, no es anticipado con respecto a la capaci­dad mental del niño y, por consiguiente, las operaciones sobre las cuales se basa no pueden ser impuestas simplemente como ejercicios de memoria; los cuatro estadios (números ente­ros, decimales, razones, símbolos algebraicos) corresponden exactamente a estudios experi­mentales, y la posibilidad de establecer una hipótesis y de desarrollarla deductivamente es­tá evidentemente vinculada con cierto nivel del desarrollo mental.

Estos principios de Johannot y del mismo Piaget, los ilustran en una especie de diagrama en el cual la ordenada representa las fases sucesivas del desarrollo del razonamiento ma­temático; las abscisas, los diversos agrupamieg- tos de los sistemas o complejos de nociones como se los recoge a unos con respecto a los

i

Por eso, en esta fase (11-14 años), parece­ría que el objetivo fundamental de la enseñan­za matemática sea buscar constantemente el significado de las operaciones efectuadas repre­sentándolas (siquiera sea aproximadamente); no se trata, por supuesto, de la exclusiva intui­ción que caracteriza, o debería caracterizar, la enseñanza en la escuela elemental, sino de una constante búsqueda para vincular al elemento abstracto con el elemento intuitivo (represen­tación) con el fin de llegar a la operación en el plano abstracto cuando esté apoyada sobre un complejo de operaciones seguras y nociones precedentemente asimiladas. La función del elemento intuitivo es, pues, la de volver posi­ble la adquisición del procedimiento que sienta proceder a la solución también sobre un plano puramente abstracto.

con-

14 15

de síntesis. Una buena cultura matemática de- be extenderse más en profundidad que en su­perficie y al raciocinio más que a la memoria. El complejo de conocimientos que se exigen de él no ouede superar los debidos límites so pena de dañar su verdadera formación. Debe­mos, pues, deshojar al programa de todo lo que en él hay de demasiado libresco y dar una parte más amplia a las aplicaciones, las únicas que ponen verdaderamente en evidencia la per­sonalidad de los escolares. La elección de las ejercitaciones prácticas debe hacerse con gran discernimiento. Muy a menudo el docente no sigue ninguna directiva en su elección, en sus relaciones inmediatas con la teoría estudiada recientemente, en su gradación, en su adecua­ción a la vida cotidiana. Los ejercicios deben ser fáciles al principio para que el alumno pueda aplicar a lo máximo su pensamiento sobre el hecho matemático que debe aplicar.

limitado. El alumno se convencerá también de que la solución de un problema de matemática

un caso feliz sino una operación lógica de la mente relativa a los procedimientos pues­tos de relieve. Cuando se llega a la solución del mismo problema siguiendo métodos dis­tintos se tiene ocasión de comparar los diver­sos métodos por su elegancia y su rendimien-

En conclusión : quisiéramos que muchos ca­pítulos del programa de matemática aparecie­ran en la escuela secundaria acompañados por una mayor disponibilidad de tiempo para desa­rrollar las cosas esenciales; la escuela secunda­ria no debería enseñar más que la numeración decimal y fraccionaria, con las respectivas apli­caciones prácticas; sería necesario dejar que los muchachos expresen sus razonamientos, construyan, midan, pesen y calculen; en otros términos, experimenten, como hacían en sus escuelas los antiguos matemáticos.

Nueve décimos de nuestra enseñanza actual serán inútiles hasta que los nueve décimos de nuestros escolares no sepan ver detrás del símbolo aritmético la realidad concreta que él puede representar, del mismo modo que sería inútil estudiar la notación musical sin hacer sentir, además de las notas, los sonidos que representan. Nuestra enseñanza se reduce a menudo a un juego de combinaciones y desor­denamientos, eliminaciones, sustituciones, in­versiones, realizadas sin que el joven se dé cuenta de por qué se las realiza.

Es necesario hacer pocas, poquísimas cosas, pero hacerlas de manera de asegurarse la com­prensión y la adquisición de los alumnos. En pocas palabras, es necesario "graduar" la ense­ñanza matemática de manera acorde con la edad y a la posibilidad de asimilación; es nece­sario eliminar "lo innecesario y lo vano" que todavía contiene; es necesario recordar, en fin, que el procedimiento abstracto formal es el vértice de la enseñanza, el punto de llegada al cual, como para todas las cosas, la naturaleza del joven no llega nunca "per saltus".

aliviará mucho si se le dan sólidas bases racio­nales, y los conocimientos, reagrupados en tor­no a conceptos fundamentales adquirirán ma­yor unidad.

Finalmente, es evidente que las ciencias matemáticas, por su rigor intrínseco, requieren una terminología exacta. Todos se lamentan por la incapacidad casi general de los alumnos para expresar exactamente su pensamiento, y por la pobreza de su vocabulario. Estas graves deficiencias deben ser enérgicamente combati­das y la enseñanza de la matemática puede participar eficazmente en esta batalla. El do­cente debe suscitar el gusto y la preocupación por la exactitud exigiendo términos apropia­dos, definiciones y enunciados correctos, res­puestas sobrias, claras y completas. Con tal propósito es oportuno que las nociones ya bien asimiladas se recuerden bajo la forma de reglas concretas y exactas. Se sobrentiende que el docente no puede someter al alumno a un rígido automatismo que, apoyándose sobre la memoria, excluya la contribución del racio­cinio.

no es

to.

Una buena enseñanza de la matemática de­be también aprovechar todas las ocasiones pa­ra infundir en la mente de los alumnos, sin esperar que tenga la edad de las clases superio­res, algunos de los más importantes conceptos de simetría y de analogía.

El docente debe recurrir a menudo a la recapitulación, a la síntesis después de la ex­posición de cada teoría, a las comparaciones con teorías similares. Por otra parte cada lec­ción debe ser la ocasión para incesantes retor­nos a la materia precedentemente estudiada. Debe mostrar también que las diversas ramas de la matemática no están separadas en com­partimentos estancos, sino que se compenetran y las respectivas disciplunas se ayudan recípro­camente. Así, el trabajo de la memoria se

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apropiadas, de la misma manera como para grandes velocidades, superiores a las observa­das directamente por los sentidos, deja de ser exacta la mecánica newtoniana (la más eviden­te para la intuición) y debe ser sustituida por la einsteiniana.

Desde el punto de vista de la matemática pura, en cambio, todas las geometrías tienen igual valor. Son estructuras metemáticas distin­tas pero igualmente valederas, cuyo interés puede variar según la aplicación que se les encuentre. Para los usos de la práctica, la geometría euclidiana es la que mejor se adap­ta. En cambio, para ciertos capítulos de la matemática pura (teoría de la relatividad) los esquemas de las geometrías no euclidianas son más apropiados.

Lobachevsky y Bolyai desarrollaron su geo­metría por vía elemental. Prescindiendo del postulado V o sustituyéndolo por otro, pero siguiendo un camino análogo al de los Elemen­tos, llegaron a muchos resultados interesantes de la geometría y trigonometría no euclidia*

Al no encontrar contradicción en sus ra­zonamientos, llegaban a la convicción de que el postulado de Euclides era verdaderamente un postulado, puesto que su negación no con-

En cuanto a los métodos, partiendo del hecho de que nuestras ideas tienen su origen en lo concreto, en la conquista de cada nuevo conocimiento, debe evitarse recurrir rápida­mente a la abstracción. Esta debe ser precedi­da, más bien, por consideraciones sobre lo concreto, que sirven como introducción. Las nociones abstractas serán comprendidas mejor si se fundan sobre bases intuitivas más simples y más sólidas. Por lo demás, el profesor adver­tirá frecuentemente sobre la necesidad de bus-

Por lo contrario, debe dejar cierta libertad de expresión aun cuando exija exactitud mate­mática y corrección en la forma.

ducía a resultados contradictorios. Sin embar­go, esto era nada más que una convicción, no una demostración, puesto que quedaba la du­da de si la contradicción aparecería en algún nuevo teorema. Así, en ciertos momentos, el mismo Bolyai creyó, por un error de'cálculo, haber llegado a una contradicción y, por lo tanto, haber "demostrado" el postulado de Euclides (ver Bonola (pág. 116|).

La prueba de la indemostrabilidad del pos­tulado de Euclides no fue dada hasta más tarde, por caminos diversos. Primero por Bel- trami (1835-1900), en 1868, y luego por F. Klein (1849-1925) en una memoria famosa, en la cual sistematizó las geometrías no euclidia­nas desde el punto de vista de la geometría proyectiva, construyendo modelos con los cua­les se podían obtener todos los teoremas de las mismas. Llegó incluso más lejos que Loba­chevsky y Bolyai y, sobre todo, demostró que nunca se encontraría contradicción en sus ra­zonamientos, puesto que ello conduciría a una contradicción en el modelo, el cual estaba construido a partir de la geometría euclidiana. Es decir, demostraba que si hubiera contradic­ción en la geometría no euclidiana, también la habría en la euclidiana.

car en lo concreto una noción que se podía creer definitivamente comprendida y adquiri­da .

Estas importantes recomendaciones valen especialmente para el curso inferior en el cual la instrucción tiene importancia fundamental.APENDICE

La enseñanza de la matemática en la uni­versidad y en la escuela secundaria, si se la entiende bien, tiene un profundo valor forma- tivo. No es menor su importancia práctica si se considera la contribución de la matemática al estudio de las otras ciencias y al incesante progreso de sí misma.

No obstante sin menospreciar la importan­cia del segundo objetivo, la reforma actual entiende, sobre todo, defender la verdadera formación espiritual. Su objetivo fundamental es de volver a los jóvenes capaces para obser­var objetivamente y con método todos los problemas que deberá resolver no sólo en la enseñanza universitaria a la cual sólo llega una minoría, sino en la vida cotidiana. Por eso, debe­mos suscitar en el alumno el espíritu crítico y desarrollar su preciosa capacidad de análisis y

Durante la lección el profesor debe-evitar el método dogmático que de hecho repugna a la actividad del alumno. Para que ella salga de su actividad de pasividad es oportuno usar el método socrático que, mediante una sucesión de preguntas bien graduadas, suscita en la mente de los alumnos los vínculos de depen­dencia entre los datos y la conclusión y los lleva naturalmente a descubrir el procedimien­to que conduce a la solución. Un método tal lleva vitalidad a la clase, consolida la fe de los alumnos en sí mismos, estimula su interés y fortalece en ellos el sentido de la investiga­ción.

El profesor cuidará de poner de relieve, siempre que pueda, los diversos procedimien­tos de investigación, clasificarlos, compararlos y mostrar que, al final, su número es muy

ñas.

16 17

LA EXPERIENCIAsegunda persona del singular) más bien que una forma más impersonal (tercera persona del plural) (hipótesis 3).

4. La explicación de ciertos datos conteni­dos de manera implícita en el enunciado del problema (hipótesis 4).

5. Ausencia de números grandes en el enunciado del problema (hipótesis 5).

6. Presentación de los datos del problema de acuerdo con el orden de su empleo (hipóte­sis 6).

en tiempo presente más bien que en pasado facilita el descubrimiento de la solución co­rrecta.

Hipótesis 5. La formulación del enunciado en tiempo presente más bien que en pasado ejerce una influencia tanto más importante sobre el descubrimiento de la solución correc­ta cuanto más difícil es el problema.

Hipótesis 6. La formulación del enunciado en tiempo presente más bien que en pasado ejerce una influencia tanto más importante sobre el descubrimiento de la solución correc­ta cuando el nivel del alumno en resolución de problemas es poco elevado.

2.3. Hipótesis relativas a la posición de la pregunta.

Hipótesis 7. La formulación de la pregunta al comienzo del enunciado facilita el descubri­miento de la respuesta correcta.

Hipótesis 8. La formulación de la pregunta a! comienzo del enunciado ejerce una influen­cia tanto más importante sobre el descubri­miento de la solución correcta cuanto más difícil es el problema.

Hipótesis 9. La formulación de la pregunta al comienzo del enunciado ejerce una influen­cia tanto o más importante sobre el descubri­miento de la solución correcta cuando el nivel del alumno para la resolución de problemas es poco elevado.

Hipótesis 10. La formulación de la pregun­ta al comienzo del enunciado ejerce una in­fluencia tanto más importante sobre el descu­brimiento de la solución correcta cuando el enunciado es larga

2.4. Hipótesis relativas a la explicación de los datos

Hipótesis 11. La explicación de ciertos da­tos contenidos de manera implícita en el enunciado del problema facilita el descubri­miento de la solución correcta.

Hipótesis 12. La explicación de ciertos da­tos contenidos de manera implícita en el enunciado del problema ejerce una influencia tanto más importante sobre el descubrimiento de la solución correcta cuando el nivel de los alumnos para la resolución de problemas es poco elevado.

3. Tratamiento de los resultados

La verificación estadística de las hipótesis emitidas se apoya en el uso del análisis de la varianza a dos dimensiones. Esta técnica per­mite poner en evidencia no sólo el efecto de

4. El nivel de dificultad de los problemas fue esta­blecido mediante su experimentación.

Los enunciados de os

problemas de aritméticaC. DEPOVER

(Bélgica)

cuenta el carácter determinante ele ciertas va­ríales del enunciado.

7. La ausencia de datos superfluos (hipóte­sis 7). O, si hay informaciones inútiles, el he­cho de subrayar los datos pertinentes (hipóte­sis 7').

8. La formulación de conceptos metodoló­gicos (referencia a un esquema, estrategia de la lectura del enunciado, estrategia de la resolu­ción) (hipótesis 8)

9. La formulación de la pregunta al co­mienzo del enunciado (hipótesis 9).

Estas nueve hipótesis fueron controladas mediante una experimentación realizada con 120 alumnos de sexto grado primario. Esto permitió seleccionar cuatro hipótesis entre las propuestas arriba.

El análisis estadístico confirmó cinco de esas hipótesis (24-7-8-9); la hipótesis contraria fue confirmada en tres casos (1-3-5) en tanto que el tratamiento correspondiente a la hipó­tesis 6 no ha provocado ninguna diferencia.

Estas comprobaciones así como la necesi­dad de no conservar más que las hipótesis que puedan expresarse en términos dicotómicos (presencia-ausencia) nos condujo a la selección de cuatro variables de enunciado que nosotros cuidaremos de precisar controlando las fuentes de variación suplementaria.

El problema de aritmética cumple una do­ble función en nuestras clases: es a la vez objeto de aprendizaje e instrumento de evalua­ción. 1. Itinerario de la investigación emprendida

La presencia de estos dos componentes ori­gina una serie de interrogantes con respecto al uso de las situaciones de los problemas. ¿Qué parte hay que asignar a una función y a la otra? Y además ¿a qué nivel taxonómico1 es preciso ubicarlas? ¿El de la aplicación de principios que requieren del alumno la capaci­dad para aplicar una regla que ha aprendido o el de la resolución de problemas que requiere una elaboración original de esas reglas? O ¿acaso podría ocurrir así pues con la mayor frecuencia la cuestión ni siquiera se plantea? Los maestros enseñan a resolver problemas sin tratar de distinguir, en lo que hace el alumno, lo que constituye realmente una acti­vidad de resolución de problemas,2 diferente de lo que constituye una simple aplicación. Resulta así que con la mayor frecuencia es una falacia hablar de resolución de problemas; más bien se debería declarar que se enseña a los alumnos a aplicar ciertos algoritmos3 de resolución en situaciones en que se precisaría el grado de semejanza con la situación que ha constituido el objetivo del aprendizaje.

Sólo mediante una cuidadosa especificación de los objetivos lograremos controlar los nive­les de conocimiento a que ha llegado el alum­no. Por ejemplo, no basta decir que se enseña reparticiones desiguales, sino que conviene pre­cisar en qué tipo de situaciones (por ejemplo, con datos superfluos o sin ellos) deseamos que los alumnos puedan resolver esos problemas.

La experiencia que aquí relatamos constitu­ye una primera aproximación en esa perspecti­va. Intentando circunscribir-la significación de ciertas variaciones con respecto a la situación habitual de aprendizaje, esperamos no sólo su­brayar la necesidad de diversificar las situa­ciones de aprendizaje sino también tener en

Hemos redactado sucesivamente dos series de problemas destinados a poner en evidencia el efecto de diferentes variaciones en la pre­sentación del enunciado.

La investigación se cumplió en dos etapas. La primera experiencia nos permitió poner a punto instrumentos más precisos para asegu­rarnos un refinamiento de nuestro análisis es­tadístico. La segunda nos condujo a la elabo­ración de conclusiones sobre el efecto de cier­tas variables de presentación del enunciado.

La elección de hipótesis que regularan la construcción de las pruebas fue dictada por un estudio de la literatura especializada que condujo a la selección de nueve hipótesis que enumeramos a continuación.

Las siguientes variables facilitan el descubri­miento de la solución:

1. El empleo de un vocabulario familiar en lugar de un vocabulario matemático específico (hipótesis 1).

2. La formulación del enunciado en tiempo presente másTíien que en el pasado, (hipótesis 2

3. La presentación del enunciado en forma que implique más al alumno (empleo de la

nos

2. Hipótesis de la experimentación.

2.1. Hipótesis relativas a la presencia de datos superfluos

Hipótesis 1. La presencia de datos super­fluos en el enunciado del problema molesta en. el descubrimiento de la solución correcta.

Hipótesis 2. La presencia de datos super­fluos ejerce una influencia tanto más impor­tante sobre el descubrimiento de la solución corriente cuando más difícil es el problema4.

Hipótesis 3. La presencia de datos super­fluos ejerce una influencia tanto más impor­tante sobre el descubrimiento de la solución correcta cuando el nivel del alumno para la resolución de problemas es poco elevado.

2.2. Hipótesis relativas al tiempo de verboHipótesis 4. La formulación del enunciado

1 Una taxonomía designa una clasificación jerár quica realizada según un principio explícito; la taxo­nomía de Bloom está jerarquizada ségún el principio de complejidad creciente de las actividades, en tanto que la de Gagné (1965) (a la cual nos referiremos generalmente en esté trabajo) está organizada según e tipo de aprendizaje que comprende la realización de las diferentes actividades cognoscitivas.

2. Cuando hablamos de actividad cion de problemas

real de resolu-. , nos referimos a la definición psi­

cológica de dicha noción: actividad .cognoscitiva Pleta que implica de parte del sujeto una nueva combinación de las reglas que dispone.

I término algoritmo designa la descripción de serie de operaciones jerarquizadas que conducen

a la solución de una clase de problemas.

com-

3. Eluna

18 19

enunciado así como el del tiempo de la ac­ción. Borid y Wagner (1966) se interesan en la dificultad de los problemas en los cuales los datos no se presentan en el orden de su uso en la resolución. La inserción en el enunciado de datos no pertinentes ha sido el objetivo de estudios conducidos por Paradis (1968) y Ar- ter (1974). El efecto vinculado con la presen­cia de palabras que sugieren ciertas operacio­nes matemáticas, ha sido controlado por Early (1967). Variables como la longitud del enun­ciado o la posición de la pregunta, han origi­nado investigaciones de Williams (1966).

Estos estudios, para evitar el sesgo experi­mental coherente con el primer enfoque, pres­tan, sin embargo, un flanco para la crítica. Todas las condiciones que imponen el uso de técnicas estadísticas no siempre son cumplidas, pero sobre todo la interacción de esas varia­bles con la dificultad intrínseca del problema o el nivel de los alumnos no es jamás examina-

sos. Si nos limitamos a la distinción que he­mos establecido entre resolución de problemas y aplicación de principios, no se puede hablar ciertamente de verdadera resolución de proble­mas, dificultad ante la cual se encuentra el alumno: el alumno explora el problema, lo identifica como perteneciente a una clase de­terminada de situaciones y después aplica el algoritmo de cálculo que juzga adecuado. Pero, ante todo, cuando existen lagunas en la capa­cidad de conceptualización, creemos poder atribuir la dificultad inherente a la introduc­ción de datos no pertinentes o al cambio de lugar de la pregunta.

El principio "remediador" en ese nivel pasa por una reconstrucción jerárquica de los pro­cesos cognoscitivos tal como la que ha presen­tado Gagné (1965). Debemos, en una primera ocasión, enseñar a los alumnos a identificar los problemas como pertenecientes aunadetarmina- da clase de situaciones, es decir, llevarlos a practicar una actividad de conceptualización ante toda situación que se le presente. Para ello, se tendrá cuidado de proponer una gran variedad de ejercicios insertando, sucesivamen­te primero y simultáneamente después, el ma­yor número de variaciones posibles. Sólo con esta condición se podrá pasar a la explicación de los principios y, por qué no, a una progre­sión cuidadosamente dosificada, a situaciones de problemas reales que exigirán del alumno la combinación de diversos principios que ya ha­brá conceptual izado.

En lo que concierne a la evaluación, el control de variables como las que hemos pues­to en evidencia constituye una condición sine que non para la validez de la evaluación. En toda evaluación, ¿no se debe en primer térmi­no saber qué se evalúa? Hace tiempo que se sabe de la necesidad de conocer la parte de las dificultades vinculada a la aplicación de los procesos resolutivos y de las vinculadas con la conceptualización de los problemas. Si nos contentamos con evaluar el resultado, será im­posible establecer un diagnóstico válido que nos permita remontarnos a la fuente del fraca­so y establecer un programa de remedios efi-

fuentes de dificultad en el proceso de investi­gación de una estrategia de resolución).

La toma de conciencia de esta doble deter­minación ha subrayado las debilidades de un acercamiento centrado sobre el aspecto estric­tamente matemático de la cuestión. La actitud con respecto a estas situaciones de problemas ha pasado así de una concepción donde sólo el aspecto matemático era tenido en cuenta a un tratamiento disciplinario que engloba no sólo el primer aspecto sino también las dificul­tades ligadas a la estructura de la presentación del enunciado.

Esta renovación de los intereses ha origina­do numerosas investigaciones que se articulan alrededor de dos ejes fundamentales.

a) El interés de los investigadores se locali­zó, en primer término, sobre un enfoque que calificaremos de sintético: intentar liberar las competencias que favorecen el éxito en la re­solución de problemas.

Johnson (1950) insiste sobre la importancia de la correlación entre aptitudes en vocabula­rio y capacidad para resolver problemas. Han- sen (1954) aclara esos resultados subrayando que el conocimiento de un vocabulario general desempeña un papel menor que el de un voca­bulario específico de la matemática. El víncu­lo con el nivel de lectura ha sido examinado bien a menudo (Terry, 1922) y más precisa­mente con ciertas estrategias de lectura (Bruechner y Bond, 1955; Treacy, 1944; Han- sen, 1944; Fay, 1955). Sin embargo, el interés acordado a esas investigaciones ha disminuido considerablemente después de la publicación por Balow (1964) y Aiken (1972) de resulta­dos que señalan la parte importante que ocupa la inteligencia general en las correlaciones re­gistradas. Esto representa un giro en la manera de examinar las situaciones de los problemas.

b) Se ha pasado así de estudios en que las ambiciones estaban en notorio desequilibrio con respecto a la precisión de los medios de investigación empleados, a las investigaciones puntillistas que ponen deliberadamente el acento sobre ciertos aspectos particulares de las situaciones.mente ¡lustrada por Linville (1969) y Rimoldi (1968) que atraen la atención sobre las dificul­tades en el léxico de ciertos enunciados. Miala- ret (1967) subraya el papel desempeñado por la presencia de los grandes números en el

5. Un estudio realizado aparte, por lo contrario, ha revelado enunciado en primario.

las variables testadas (hipótesis 1-4-7-11) si no también su interacción con otras fuentes de variación (hipótesis 2-3-5-6-8-9-10-12).

4. Análisis de los resultados4.7. Presencia de datos superfluos Nuestros resultados confirman la hipótesis

1 pero no la 2 y la 3: los datos superfluos constituyen un obstáculo para la solución y su efecto no depende ni de la dificultad de los problemas ni del nivel de los alumnos.

4.2. Tiempo del verboLa hipótesis 4 no fue confirmada lo mismo

que la 5 y la 6. El tiempo de verbo no constituye, pues, una fuente de variación ca­paz de provocar un aumento de dificultad entre los alumnos de sexto grado pr¡marios. Este resultado es constante cualquiera sea la dificultad del problema o el nivel de los alum-

í

nos.da.4.3. Posición de la pregunta

Nuestros resultados invalidan la hipótesis 7. Esto nos lleva a aceptar la hipótesis contraria: la pregunta planteada al final del enunciado favorece el descubrimiento de la respuesta co­rrecta. Además, ni la dificultad del problema ni el nivel de los alumnos provocan una modi­ficación del efecto comprobado; la misma lon­gitud del problema también tiene poca in­fluencia.

4.4. Explicación de los datos implícitosEl estudio estadístico confirma que la ex­

plicación de ciertos datos facilita el descubri­miento de la solución. Siendo, no obstante, las diferencias registradas netamente más impor­tantes en ciertos problemas, nos detendremos en el análisis interno de los mismos para inten­tar aclarar las razones de la variabilidad del efecto comprobado. El papel desempeñado por esa variable es, por lo contrario, indepen­diente del nivel de los alumnos.

Una de las repercusiones más fructuosas de esas investigaciones ha sido la creación de un clima nuevo con respecto a los problemas de aritmética, clima en el cual los desniveles no están limitados a los laboratorios de pedagogía experimental, pero que cada vez más, se ex­tienden a todos los medios pedagógicos. Se ha pasado así progresivamente de una visión mo­nolítica a una perspectiva pluridisciplinaria. Buena parte de la inercia del proceso de cam­bio en ese dominio nos parece ligado a la psicología del educador, mejor asegurada cuan­do puede atribuir de inmediato una debilidad del alumno a una deficiencia particular. En efecto, según una perspectiva unitaria, un fra­caso en un problema de aritmética, requiere necesariamente un remedio en ese nivel.

Analizaremos nuestros resultados con una doble preocupación: ¿cuál es el papel desem­peñado por la variable estudiada y cómo llegar a superar la dificultad consecutiva a la presen­cia de esas variantes de situación?

Entre las tres hipótesis confirmadas, sin ninguna restricción, por nuestra experimenta­ción, distinguiremos, por una parte las que tienen que ver con la estructura de la presen­tación del enunciado (los datos no pertinentes y el lugar de la pregunta) y, por otra parte, las hipótesis vinculadas con las dificultades sintácti­cas del enunciado (la explicación de los datos implícitos).

La introducción de datos no pertinentes lo mismo que la presentación de la pregunta, se traducen en un aumento del número de fraca-

5. Discusión de los resultados e implicaciones de la investigación realizada

Al filo de esta discusión seguiremos un ca­mino que, partiendo de una sensibilización so­bre la necesidad *de un control experimental de los enunciados, nos conducirá a la elabora­ción de ciertas observaciones de orden meto­dológico.

Un primer examen permite distinguir dos niveles de dificultad en una situación referente a problemas de aritmética: el nivel lingüístico y el nivel del tratamiento de los datos mate­máticos (estando íntimamente ligadas esas dos

Esta perspectiva está notable- caz.La precisión en el vocabulario del enuncia­

do parece tener un papel determinante en los problemas de aritmética. Esta comprobación nos conduce a precisar dos aptitudes que nos parecen complementarias. En una primera ins­tancia, tratar de controlar cuidadosamente la estructura del léxico del enunciado clarifican­do las ambigüedades. A continuación, llevar

una diferencia significativa en favor del i presente para alumnos de segundo grado a

20 21

ORIENTACIONANEXO: Ejemplos de problemas empleados en la experiencia./. Variable presencia de datos superf/uos

Item 6: Un comerciante compra una pieza de género de lana de 62 m en 6200 francos,

pieza de 24 m. de tergal en 8300 francos y tina pieza de franela de 30 m. en 2400 francos. La pieza de lana ha sido vendida en 9500 francos.

¿Cuál es el beneficio obtenido por el co­merciante para 1 m. de dicha pieza?

Item 6: Un comerciante compra una pieza de género de lana de 62 m en 6200 francos. La pieza fue vendida en 9300 francos. ¿Cuál es el beneficio que obtuvo el comerciante para 1 m de dicha pieza?2. Variable tiempo de verbo

Item IV. En el comercio, 3 botellas de vino de 0,75 I cuestan 160 francos, 2 kg de manteca cuestan 250 francos y 2 kg. de lechu­ga, 65 francos. ¿Qué precio paga mamá para comprar 5 botellas de vino de 0,75 I ?

Item 11. En el comercio, 3 botellas de vino de 0,75 I, 160 francos, 2 kg de manteca cuestan 250 francos y 2 kg de lechuga, 65 francos. ¿Cuál es el precio que mamá pagar para comprar 5 botellas de vino de 0,75|?'3. Variable posición de la pregunta

Item 12'. ¿En qué comercio es más venta­joso el precio de las manzanas? Los dos co­mercios venden manzanas de la misma calidad. Los precios difieren: uno vende 3 manzanas por 10 francos y el otro 2 manzanas por 6 francos.

Item 12. En dos comercios venden manza­nas de la misma calidad. Los precios difieren: uno vende 3 manzanas por 10 francos y el otro 2 manzanas por 6 francos. ¿En qué co­mercio es más ventajoso el precio de las man­zanas?

los alumnos a adoptar una posición crítica con respecto a los componentes del enunciado y adiestrarlos para reconstruir metódicamente la estructura del mismo. Prever ejercicios que conduzcan a la construcción por el alumno de sus propios problemas y a criticar la redacción de problemas contenidos en sus manuales; son éstas actividades que pueden contribuir eficaz­mente a la construcción de una actitud de exploración reflexiva de los enunciados.

Los resultados obtenidos con nuestra expe­riencia nos llevan a insistir sobre esta capaci­dad de exploración del enunciado que nos parece condicionar toda estructuración adecua­da de los datos. En efecto, la influencia de la variable nos ha parecido particularmente signi­ficativa cuando requería de los alumnos una reconstrucción de ciertos datos a partir del contenido del enunciado. En el ítem 10', por ejemplo (confrontar anexo), la reconstrucción del dato ausente (el hecho de gastar durante los 7 días de la semana), implica una actitud de análisis crítico que supera al dato inmedia­to. Aquí nos parece importante atraer la aten­ción sobre el hecho de que los maestros no son siempre conscientes de los rodeos que imponen a sua alumnos. Cosas que le parecen "ir de por sí" como el hecho de que se gaste todos los días de la semana requieren a veces del alumno un conjunto de actividades cog­noscitivas que a veces estamos lejos de supo-

postu ado de a

continuidaduna

L. CAMPEDELLI (Italia)

En efecto, si hubiera dos, Pi y P2, cada punto comprendido entre Pi y P2 no podría pertenecer a Pt porque seguiría aPj y no po­dría ser de G2 porque precedería a P2

Adviértase aquí que entra en juego otro postulado (explícitamente incluido en el elen­co de Hilbert (1) según el cual cada segmento Pj P2 contiene siempre puntos distintos de los extremos)

El punto de separación pertenece necesaria­mente a uno u otro de los dos grupos.

La propiedad deducida del postulado N°3 •viene presentada comúnmente como postula­do, conocido con el nombre de postulado de la continuidad de Dedekind que, habitual­mente, se enuncia ai:

Si un segmento orientado, AB, está dividí- do en dos partes tales que

cada punto de AB pertenece a una de las dos partes,

el extremo A pertenece a la primera parte y B a la segunda,

cada punto de la primera parte precede a todos los puntos de la segunda,

entonces existe un sólo punto P tal que cada punto de AB que precede a P pertenece a la primera parte, y cada punto que lo sigue es de la segunda (siendo el punto P de una u otra de las dos partes).

1. Los grupos "separados" sobre un segmento Dado un segmento AB sobre el cual se ha fijado un sentido (por ejemplo, el de A haciaB).

Sobre AB se tienen dos grupos (o clases) de puntos, Gj y G2,formados, uno o ambos, por un número finito o infinito de puntos, pero, en cada caso, no vacío, esto es, tal que cada uno de ellos contenga por lo menos un punto.

Decimos que los grupos G! y G2 están separados cuando todos los puntos de Gj pre­ceden (en el sentido prefijado sobre AB) a los de G2.

Los grupos separados, Giy G2 son entre sí contiguos si, fijado un segmento e, arbitraria­mente pequeño, es posible hallar un punto de Gj y un punto de G2 cuya distancia sea menor que e (esto es, constituyen los extre­mos de un segmento más pequeño que e)

Necesariamente, cuando G¡ y G2 son con­tiguos, por lo menos uno de ellos posee infini­tos puntos.

2. Los puntos de separaciónSe dice que P es un punto de separación

para los grupos separados, Gi y G2. cuan- dp P no es precedido por algún punto de G2 y no es seguido por ningún punto de G¡.

El punto P puede estar fuera de los grupos Gj y G2 o puede pertenecer a uno de ellos (pero no a ambos, puesto que G! y G2 no tiene puntos en común)

va a

ner.

Creemos que debemos dirigirnos a una edu­cación de esta capacidad de exploración del problema. Esta tesis se sostiene en otros resul­tados experimentales. Un estudio de la explo­ración ocular de los problemas de aritmética (análisis de las modalidades según las cuales el sujeto toma conocimiento y usa la informa­ción contenida en el enunciado), hecho en el marco del Servicio de Estudios de los Métodos y de los Medios de Enseñanza de Bélgica, reveló diferencias apreciables en las estrategias de lectura del problema. Datos que se están elaborando actualmente, nos llevan a creer que deberían existir estrategias optimales para disponer las informaciones en un enunciado de aritmética.

La educación de esta capacidad nos parece que pasa a la vez por una participación de los alumnos en todos los niveles de elaboración de los enunciados y por una inquietud constante por asegurar una variedad tan grande como sea posible en las situaciones presentadas a los alumnos.

5. ObservaciónBusquemos la relación entre el postulado

general de la continuidad (N° 3) y el de Dedekind.

Si los grupos separados y G2 no com­pletan todo el segmento AB, se puede susti­tuirlo por otros dos, GÍ y G2f para los cuales ocurra eso.

4. Variable "explicitación" de los datosItem 10. En una familia el padre gana 950

francos por día. Trabaja durante 5 horas. Los gastos medios ascienden a 550 francos por día para la familia. ¿Cuánto le queda al final de la semana?

Item 10. En una familia el padre gana 950 francos por día. Trabaja durante 5 horas. Los gastos medios acienden a 550 francos por día para la familia y se gasta durante los 7 días de la semana. ¿Cuánto le queda al final de la semana?

3. El postulado general de la continuidad Dos grupos separados admiten, por lo

nos, un punto de separación.

4. El postulado de continuidad según De­dekind

Se deduce, en seguida, que, si los puntos de los grupos separados completan el segmento AB, el punto de separación es único.

me-

1. Es el segundo postulado del grupo II, “Axiomas de orden": si A y C son puntos de una recta, siempre existe sobre la recta por lo menos un punto B, comprendido entre A y C, y por lo menos un punto D tal que C está entre A y D.

22 23

puntos de AB, del postulado de Dedekind se deduce la existencia de un (solo) punto de separación (y la condición de la contigüidad es superflua).

Supongamos que los puntos de Gx y G2 no completen todo el segmento ÁB. Entonces el postulado de Dedekind dice que existe un segmento P' P" formado todo por puntos de separación por el par (Glf G2), y la hipótesis de la contigüidad lleva a que necesariamente aquel segmento se reduzca a un punto: P'= P"

Para probar que en cambio del postulado de Cantor no se reduce al de Dedekind valen las consideraciones del siguiente párrafo.

Los grupos Gx y G2 completan todos los puntos de AB y son separados; por tanto, por hipótesis, resultan contiguos. Tomemos ahora un segmento e, tan pequeño que siendo AH = e, el punto H pertenezca aGj.

Podemos encontrar dos puntos P¡ y P2, uno de G{ y el otro de G2, tales que Pl?2<e. Pero, tomando un entero n conveniente, se tiene:

puntos, tales que:sus puntos se suceden en el sentido de A

hacia B prefijado sobre AB, o en el opuesto;cada punto de Gx (excluido el último, si

existe) resulta seguido por infinitos puntos de Gj mismo, en el sentido opuesto;

Se dice entonces que Gi está limitado su­periormente cuando sus puntos se suceden en el sentido de A hacia B, y a él no pertenece

Coloquemos por esto en G\ los puntos de Gx y todos los otros puntos de AB que prece­den por lo menos a un punto de Gx. En G2 coloquemos los puntos remanentes de AB (y en particular los de G2)

El par (Gi y G2) determina un único pun­to P'\ (que, si- pertenece a G¡, es un punto de

La repartición de AB en relación con los grupos Gj y G2 también puede hacerse de otro modo.

Coloquemos en un grupo, G2, a todos los puntos de G2 y los ulteriores puntos de AB que son precedidos por lo menos por un pun­to de G2. En G? colocamos los puntos restan­tes (y por tanto también los de GJ

Dados que los grupos G'( y G2 completan los puntos de AB, conducen a un sólo punto separador, P", (que, si es de G2, se encuentra en G2).

Cuando Gx = G¡ y G2 = G2, y también Gx = G" y G2 = GJ; por tanto P' = P".

G.)

n. AP2 >AB 2 n. AP2 > AB

2/7. AP! < AB 2 n. P, P2 <2/7. AH<AB

B.Supongamos que, por ejemplo, Gj esté li­

mitado superiormente y dividamos a los pun­tos de AB en dos grupos, G'i y G'2 , colo­cando en G#2 los puntos de Gj y todos los puntos de AB que preceden, en el sentido de A hacia B, algún punto de G^En G'2 ubíca­

los puntos restantes de AB.Por el postulado de Dedekind queda así

determinado un punto P (perteneciente o no a G'2 y si es de G'2 es también de Gj) tal que todos los puntos de Gx preceden a P, mientras que cada punto que precede a P pertenece a G', y, por tanto, es, en cada caso, seguido por infinitos puntos de Gi.

Estas consideraciones se expresan en una forma del todo equivalente al postulado de Dedekind, la cual :constituye el postulado de la continuidad según Pea no.

Si el grupo Gx está limitado superiormente (interiormente) admite un (solo) extremo supe­rior (inferior)

Se entiende por extremo superior (inferior) al punto P que no es seguido (precedido) por algún punto de G¡ mientras que cada punto que lo precede (sigue) es siempre seguido (pre­cedido) por puntos de Gi.

8. Examen comparativo de los diversos enun­ciados del postulado de la continuidad.

y también mientras es:J>\

Por otra parte:9. El significado de la "contigüidad" para dos

grupos separados que comprenden todos lospuntos de AB.Indiquemos con Gj y G2 dos grupos de

puntos separados y que comprenden todos los puntos de AB.

Supongamos que para la recta a que perte­nece AB valga el principio de Arquímedes (o, como también se denomina, de Eudoxio-Ar- químedes).

Entonces los puntos de Gx y G2 resultan contiguos.

En efecto, fijado un segmento e,arbitraria­mente pequeño, construimos sobre AB, a par­tir de A, tantos segmentos consecutivos AA¡ — A0Aii Aj A2,A2 A3,. .., de longitud e hasta alcanzar, por lo menos a un punto P2 de G2. Será necesario proseguir la construcción indicada hasta cierto segmento An-i An; esto, además de P2 de G2, contiene puntos de G Si P| es uno de ellos resulta Px P2 < e. Por tanto, Pj y P2 son contiguos.

Viceversa: hagamos la hipótesis de que de cualquier modo que se repartan todos los pun­tos de AB en dos grupos separados Gx y G2, estos son contiguos. Entonces, vale la propie­dad expresada por el principio de Arquímedes.

AP2 = AP, +PxP2 2/7. APx + 2 /?. PjP2 > 2. AB

y esto es absurdo, puesto que los dos suman­dos del primer miembro son ambos menores que AB.

Por tanto:> la hipótesis de que cada reparti­ción del segmento AB en dos grupos separados da lugar a grupos contiguos, equivale al postu­lado de Eudoxio-Arquímedes.

De modo que:mos

6. El postulado de continuidad según Cantor.El punto de separación, P, de los grupos

G¡ y G2 es único aun cuando estos no sean contiguos.

En efecto, en esta hipótesis, si existieran dos de esos puntos, P' y P", la distancia entre un punto de Gj y un punto de G2 no podría nunca resultar inferior al segmento P' P" con­tra la hipótesis de la contigüidad.

Estas circunstancias se toman en cuenta en un enunciado distinto del postulado de la con­tinuidad que, sustancialmente, se debe a Can-

10. Independenciadel postulado de Dedekind del de Cantor.

Admitamos la validez del postulado de Can­tor y de Arquímedes: entonces la propiedad expresada por el postulado de Arquímedes queda establecida como teorema.

En efecto, si los grupos Gx y G2 son sepa­rados y comprenden todos los puntos de AB, aquéllos son contiguos y (por el postulado de Cantor) existe un punto de separación.

Esto es, el postulado de Dedekind es conse­cuencia de los de Cantor y Arquímedes.

Por lo tanto, para investigar la naturaleza del vínculo entre los postulados de Cantor y Dedekind, es necesario conocer la relación existente entre los postulados de Arquímedes y Cantor.

En otros términos: admitido el postulado de Cantor, sólo se puede aplicar para deducir la existencia del punto de separación de los gru­pos separados Gj y G2 que comprenden todos los puntos de AB, entonces, y sólo entonces, sólo si Gx y G2 son contiguos, y para ello se requiere el postulado de Arquímedes.

Si tal postulado resulta del de Cantor, este último lleva por si solo al postulado de Dede­kind. Si, en cambio —como lo probaremos— e( postulado de Arquímedes resulta indepen-

>i •

tor:Dados dos grupos, G¡ y G2/ de puntos del

segmento AB, si cada punto del segmento AB precede (en un sentido prefijado sobre AB) a todos los puntos de G2. y, fijado un segmento arbitrariamente pequeño, etsiempre es posible encontrar un punto Gx y un punto de G2 que sean los extremos de un segmento menor que

Como hemos visto, los enunciados de Dede­kind y de Peano son equivalentes. Del postula­do de la continuidad deriva el de Peano, y viceversa (en efecto, los dos grupos Gj y G2 de que se habla en el postulado de Dedekind y que completan todo el segmento AB, pre­sentan las circunstancias indicadas en 7; el primero de ellos admite un extremo superior y el segundo un extremo inferior que coincide con aquél)

En cambio, el postulado de, Dedekind y el de Cantor no son equivalentes porque del pri­mero se deduce el segundo pero no viceversa. Mostremos la primera parte de esta afirma­ción.

En efecto, supongamos que este principio no subsista, esto es, para cada punto Px de AB no es posible hallar siempre un número n tal que n, APx>AB. No obstante, existen cier­tamente puntos de AB para lo cual la cosa ocurre. Por ejemplo, si C es 'un punto interno de AB y AC > CB resulta 2.AC > AB.

Ahora dividamos a AB en dos grupos, Gx y G2, ubicando en Gx a cada punto Px para el cual no existe un entero n tal que /7APx>AB, y en G2 los puntos P2 para los cuales se puede tener /7.AP2>AB.

e.entonces, existe un (sólo) punto, P, que no

es seguido por algún punto de G j y no es precedido pór ningún punto de G2.

El punto P puede pertenecer a uno u otro de los grupos Gx y G2, pero también puede estar fuera de ellos.

7. El postulado de la continuidad según Peano.

Sobre el segmento AB (orientado de A ha­cia B), sea un grupo (o clase), Gx de infinitos

Sean Gj y G2 dos grupos separados y con­tiguos. Si G y G2 comprenden todos losi

2524

A quien acoja el postulado de Dedekind, esta proposición aparece como teorema, y no conviene calificarla de postulado, sino principio de Eudoxio y Arquímedes.

En conclusión, la propiedad establecida, y las que hemos establecido en 8 y 10 consien­ten en escribir la relación (válida en ambos sentidos):

postulado de Dedekind = postulado de Cantor + postulado de Arquímedes.

En los Elementos de Euclides se indica el modo de dividir un segmento AB en n partes ¡guales (cualquiera sea n)

La construcción (bien conocida) se hace mediante el trazado de oportunas rectas para­lelas, y se justifica con el recurso de la seme­janza de ciertos triángulos; se basa, pues, en el postulado de las paralelas.

Y tiene la función de mostrar la existencia de la enésima parte de un segmento esto es la divlsi/idad del segmento en partes ¡guales.

El procedimiento seguido está de acuerdo con el criterio habitual en Euclides, quien, para probar la existencia de cualquier ente geométrico, hace la efectiva construcción.

Este es el motivo por el cual, mientras en Euclides está establecida la divisibilidad del segmento, falta en cambio la demostración de la propiedad análoga para el ángulo porque, con los medios de que disponía Euclides, tal divisibilidad puede ser reconocida mediante una construcción efectiva para valores particu­lares de n (n = 2m) siendo imposible, por ejemplo, dividir un ángulo en tres partes ¡gua­

ma de Cantor (lo que se justifica por haber aceptado ya el postulado de Arquímedes y el de la divisibilidad, de modo que el postulado de Dedekind, vendría ¡núltilmente a pedir de nuevo, de modo implícito, algunas proposicio­nes ya explícitamente concedidas.

diente del de Cantor, y de la suma de estos se obtiene la proposición de Dedekind.

cho al interlocutor. Se le dice: consiénteme tal propiedad y te deduciré tales consecuencias).

Naturalmente, también este pedido inicial está subordinado a algunas condiciones, y cuando más restrictivan sean éstas, tanto me­nos amplia parece la concesión hecha. En su­ma, a quien, al pedir, ofrece más, se les dará menos.

En el postulado de Dedekind se ponen las condiciones:

a) que los grupos G¡ y G2 sean separados;b) que los grupos G! y G2 comprendan

todos los puntos del segmento AB.En cambio, en el postulado de Cantor se

establece la condición a) pero la b) es sustitui­da por:

b') los grupos Gx y G2 son contiguos.El pedido es el mismo para los dos postula­

dos: conceder la existencia del punto de sepa­ración

como11. Independencia de los postulados de Ar­

químedes y CantorN M

•-----*B A 15. Xa cuadratura del círculo y la rectificación de la circunferencia

Observemos que la construcción de un polí­gono regular de cualquier número de lados requiere:

a) el postulado de Dedekind (= post. de Cantor 4- post. de Arquímedes) para la divisi­bilidad en partes iguales del ángulo de un giro;

b) el postulado de las paralelas, por la pro­piedad según la cual los ángulos en la circunfe­rencia, inscritos en arcos iguales, son iguales.

Ya recordamos que la división de un seg­mento en un número cualquiera de partes iguales, se prueba con una construcción que no se vale del postulado de la continuidad (ni del de Arquímedes) sino del postulado de las paralelas. Y también dijimos que no ocurre lo mismo con el ángulo que no se puede dividir en partes iguales salvo que se trate de ángulos particulares. Así, en relación con la divisibili­dad del ángulo de un giro, mediante la regla y el compás, se construyen efectivamente los polígonos regulares cuyo número de lados es 2m, o 3,2m, o 5f2m o bien 15,2™.

Sobre la semirrecta AM f¡ jemos como sentido positivo el que va de A hacia M; y sobre la semirrecta BN el de N hacia B. Veamos el conjunto de puntos (a distancia finita) de las semirrectas AM y BN como constituyentes de un segmento AB orientado de A hacia B.

Sus puntos resultan ordenados puesto que un punto M precede a N si —yendo de A hacia B, en el sentido de A a M y, sucesiva­mente, de N hacia B— se encuentra primero a M y luego a N.

Decimos que un segmento AN, contenido en AB, es mayor que otro AM, si N sigue a M en el orden prefijado.

Claro es que para el segmento AB, así en­tendido, no vale el postulado de Arquímedes.

En cambio vale el postulado de Cantor cuando se lo haya admitido para la recta AB en la acostumbrada acepción de la geometría eucl ¡diana.

Este ejemplo prueba la independencia del postulado de Arquímedes del de Cantor. Y confirma ulteriormente las consideraciones del párrafo anterior, puesto que, incluso admitien­do el postulado de Dedekind para la recta AB, éste no subsiste para el segmento entendido en el sentido predicho.

En verdad, los puntos de AB pueden divi­dirse en dos grupos separados, colocando en Gj a todos los puntos de la semirrecta AM, y en G2 a todos los de la semirrecta BN. Los grupos Gi y G2 no admiten un punto de separación (de acuerdo con el postulado por el cual la semirrecta resulta infinita)

Viceversa: resulta claro que del postulado de Arquímedes no se sigue el de Cantor (ni, por tanto, el de Dedekind).

En efecto, consideramos a la recta como constituida sólo por la totalidad de puntos de abscisa racional; para ella se verifica el postula­do de Arquímedes, pero no el de Cantor (ni el de Dedekind).

A

Frente a b) la condición b'J se presenta como más restrictiva. Implica, añadida a la b'J, el recurso de un nuevo postulado (el de Arquímedes). Esto es, si admitimos-la ó), para satis'acer a la b') es necesario introducir tam­bién el postulado de Arquímedes.

En cambio, si aceptamos la b'/ de la a) se pasa a la b) sin ninguna nueva hipótesis, me­diante la sustitución de los grupos G'j y G'2 a los dados G¡ y G2.

Por tanto, las condiciones bajo las cuales se afirma la existencia del punto de separación en el postulado de Cantor son más restrictivas de las que exige el postulado de Dedekind. De modo que aceptando este último postulado se concede más de lo que se concede aceptando el postulado de Cantor.

Esto explica porqué el postulado de Dede­kind aparece como de mayor alcance que el de Cantor.

I

!

Otra observación. Se demuestra que, fijado un número e, positivo arbitrario, pueden siem­pre construirse dos polígonos regulares, del mismo número de lados, uno inscrito y el otro circunscrito a una circunferencia dada, de mo­do que lá diferencia entre sus perímetros sea

que a. Para esto basta tomar a n suf ¡cíen­

les..i

En cambio, una vez aceptado el postulado de Dedekind, de él resulta la posibilidad de dividir, en' cualquier número de partes iguales, un segmento o un ángulo cualquiera.

• II

menor temente grande.

Si se quiere, n siempre puede ser elegido de la forma b.2m, siendo h= 1 ó 3 ó 5, ó 15.

Esto sentado, pasemos a la cuestión de la rectificación de la circunferencia: se trata de

14. Intersección de rectas -y circunferencias y de circunferencias entre si.13. ¡Principales consecuencias del postulado de

Arquímedes: el postulado de Arquímedes y la divisibilidad del segmento y del ángulo.Del postulado de Arquímedes se deducen

algunas notables proposiciones que, a menudo, en la geometría elemental, por comodidad y didáctica oportuna, se introducen como postu­lados autónomos. Se refieren a cuestiones de existencia.

En primer término, recordemos que, como es fácil probar, del postulado de Dedekind se sigue el postulado de Eudoxio-Arquímedes:

dados dos segmentos (finitos) cualesquiera, existe siempre un múltiplo del menor que su­pera aI mayor.

Del postulado de Dedekind se deducen también estas dos propiedades: dada una cir­cunferencia C y dos puntos A y B de su plano, uno interno y el otro externo a C, el segmento AB encuentra a C en un punto;

lo mismo ocurre a cada arco de circunfe­rencia que tenga un extremo en A y el otro en B.

precisar, en forma racional, el concepto intui­tivo por el cual la longitud de la circunferen­cia aparece mayor que el perímetro de todo polígono convexo inscrito y menor que el perímetro de todo polígono convexo circuns­crito.

Para esto se introduce la definición (defini­ción nominal): di cese circunferencia rectifica­da al segmento que es mayor que el perímetro de los polígonos convexos inscritos y menor que el perímetro de los polígonos convexos circunscritos a la circunferencia dada.

En geometría elemental, estas dos proposi­ciones se aceptan como postulados dado su carácter de gran intuitividad, mayor de la que presenta el postulado de Dedekind que se in­troduce más tarde (para la rectificación de la circunferencia), prefiriéndose a menudo la for--

12. Alcance de los postulados de Dedekind y Cantor

Un postulado, ubicado como base de un tratamiento, tiene el efecto de un reclamo, de un pedido ("postulado" significa "pedir"] he-

2726

I

"si los puntos de Gx preceden (o no siguen) a todos los puntos de G2 *, y los puntos de G2 siguen (o no preceden) a los puntos de

Naturalmente, para que la definición sea aceptable, es necesario probar que el ente de­finido resulta plenamente caracterizado, es de­cir, probar que es único.

Es necesario, además, demostrar que existe (en el sentido que tiene esta palabra en la lógica científica) y, por tanto, en nuestro ca­so, según los criterios del procedimiento lógi­co-deductivo sobre el cual está organizada la geometría elemental; esto es, es necesario transformar la definición de "nominal" en "real".

Aquí entra en juego el postulado de la continuidad que se puede tomar en la forma de Cantor.

los elementos, interpretar la geometría y crear al mismo tiempo un instrumento que permita desarrollos posteriores, nuevas investigaciones y mayor profundidad.

La operación b responde a la pregunta: ¿se puede tener un "modelo" de la geometría construida con el primer procedimiento (aun­que se limite a los entes reales) valiéndose de la geometría de la intuición común, organiza­da racionalmente?

La respuesta es muy simple. Se trata de mostrar que no sólo dado un punto sobre la base del método b), se pueden encontrar las coordenadas sino que, viceversa, dado un par de números reales (esto es, un "punto" real del primer procedimiento) "existe" en el pla­no (del segundo tipo) un punto que tiene por coordenadas esos dos números.

La cuestión es evidente para dos números enteros o racionales; para los números irracio­nales es necesario, en cambio, que sobre la recta (del tipo b) valga el postulado de la continuidad (y esto, por el mismo modo en que se introducen los números irracionales).

necesario mostrar que cuando sobre una recta dos pares de puntos no se separan, existe un tercer par que los divide armónicamente entre ambos, y que entra en juego el postulado de la continuidad. Al teorema de Standt se le puede dar la forma equivalente: una corres­pondencia biunívoca armónica entre dos pun­tuales sobrepuestas, que posea tres elementos unidos, es una identidad.

Bajo este aspecto aparece clara su limita­ción al campo real.

Puesto que si llamamos x y x' a las absci­sas de dos puntos y hacemos

X' = X0

siendo x0 el número complejo conjugado de x; la fórmula anterior representa una corres­pondencia biunívoca armónica entre los pun­tos xyx' que es idéntica solo para los valores reales de x (correspondencia introducida por C. Segre).

La demostración del teorema fundamental se consigue también en forma analítica me­diante un procedimiento en el cual se encuen­tra la conocida ecuación funcional de Dar- boux:

Gi\los dos pares (Gx y G2) y (Gx * y G2*)

admiten un mismo punto de separación P.Supongamos tener en cambio dos puntes

de separación distintos, P y P* y, para fijar las ¡deas, el punto P*, por ejemplo, siga a P en el sentido en que están ordenados Gj y G2 (y también Gx * y G2 *).

En el segmento PP* no puede caer ningún punto de G¡ (porque tales puntos no siguen a P); tampoco puede caer ningún pupto de G2 * (porque esos puntos no preceden a P*).

i

Pero no puede hallarse ningún punto de Gi * y de G2.

En efecto, dividamos al segmento PP* por la mitad mediante el punto H. Por la continui­dad de los grupos (G¡ y G2) en el interior de P H caen siempre puntos de G2; análogamen­te, por la continuidad de (Gx* y G2*), en el interior de HP* se encuentran puntos de Gj *. Esto contradice a la hipótesis de que los pun­tos de G! * no siguen a los de G2.

Pero el hecho de que el segmento PP* no contenga puntos ni de Gi ni de G2 (ni de G! * ni de G2 *) contradice a la contigüidad de

Consideremos todos los polígonos convexos inscritos en la circunferencia dada C y lleve­mos sobre una semirrecta r, a partir del origen 0, segmentos ¡guales a los perímetros de esos polígonos. Los segundos extremos de tales seg­mentos constituyen un grupo ordenado de (in­finitos) puntos. Lo indicamos con G

Análogamente procedemos con los polígo­nos convexos circunscritos a C (obteniendo así sobre r un segundo grupos de puntos G2).

Los dos grupos Gi y G2 resultan separados y contiguos y, por tanto, existe un punto de separación P que es único y no pertenece ni a Gj ni a G2 (porque la sucesión de perímetros de los polígonos inscritos no tiene máximo, ni la de los polígonos circunscritos tiene míni-

1 •

17. El postulado de la continuidad y la geo­metría proyectiva f (x+ y) = f (x) + f (y)

en el cual la ayuda del postulado de Dedekind se esconde en el uso de las coordenadas cuan­do se las interpreta en el campo racional.

De este modo, ese postulado entra entre los que deben ser colocados como base de la geometría proyectiva tratada en modo autóno­mo como ciencia hipotético-deductiva. Los otros postulados de que se vale son los de pertenencia y de orden.

Surge una pregunta: Hemos dicho que el postulado de Dedekind sigue al de Arquíme- des, ¿qué ocurre ahora con el postulado —de carácter esencialmente métrico- cuando el postulado de Dedekind se transporta al campo de la geometría proyectiva?

El postulado subsiste, pero debe ser inter­pretado proyectivamente en forma convenien-

Cuando se desarrolla la geometría proyecti- .va mediante consideraciones exclusivamenteesos grupos.

Por tanto, necesariamente P = P*Consideraciones análogas valen para la cua­

dratura del círculo, sólo que, en lugar de seg­mentos se deben considerar clases de magnitu­des (áreas) de distinta naturaleza las que, sin embargo, son, como es notorio, reconducibles a segmentos y para las cuales valen, por tanto, ¡guales consideraciones (2).

gráficas, la proyectividad (entre dos rectas se define como una correspondencia biunívoca construible con proyecciones y secciones (Pon- celet).

Se introduce después, mediante el cuadrán­gulo completo, el denominado grupo armóni­co, y se observa que una proyectividad conser­va los grupos armónicos.

Surge entonces el problema de saber si esta propiedad caracteriza a la proyectividad, esto e§, si, viceversa, cada correspondencia biunívo­ca armónica (o sea, que conserva las cuaternas armónicas) entre dos puntuales (o dos formas de primera especie) es una proyectividad.

La respuesta es afirmativa (limitándonos al real al cual se circunscriben las conside-

mo).El segmento 0 P da la circunferencia rectifi­

cada.Entran en estas consideraciones, además de

los habituales postulados de pertenencia, or­den, igualdad, etc., también los postulados de Cantor, Arquímedes (sustituibles por el de De­dekind) y el postulado de las paralelas.

En lugar de emplear todos los polígonos inscritos y circunscritos a la C, nos podemos limitar a considerar los polígonos regulares (llegando, en lugar de Gj y G2, a dos grupos también separados y contiguos), o también se puede recurrir sólo a polígonos regulares del tipo particuter construibles con regla y compás (esto es, que tengan un número de lados da­dos por 2m o 3.2m, o 5.2m o 15.2m.

Empero, para demostrar que mediante dis­tintos procedimientos se llega siempre al mis­mo punto P, es necesario probar que sobre una recta:

dados dos grupos de puntos separados y contiguos G! y G2, y también dos grupos de puntos separados y contiguos Gj * y G¿* (or­denados en el mismo sentido que Gj y G2),

16. El postulado de la continuidad y la geome­tría analítica.

Hablemos, por comodidad, de la geometría analítica del plano; dos caminos se pueden seguir para construirla, a) Un método abs­tracto que consiste en denominar "punto" a un par ordenado de números ("coordena­das" de dicho punto); "plano" a la to- totalidad de esos pares, "recta" (en el plano) la totalidad de los pares que satisfacen a una ecuación de primer gra'do; etc.

b) En el segundo procedimiento, el plano, sus puntos, sus rectas, ya se consideran intro­ducidos según las maneras habituales y ya se conoce la geometría. Se trata entonces de lle­gar con los medios del álgebra (o, más en general, del análisis matemático) a representar

te.Es notorio como se define la escala armóni-campo

raciones gráficas) y se deduce del teorema fundamental, el cual asegura que una corres­pondencia biunívoca armónica está individuali­zada por dos ternas de elementos correspon­dientes.

Este teorema se debe a Staudt, pero su primera demostración lógicamente rigurosa fue dada por Enriques quien recurrió al postulado de la continuidad bajo la forma de Dedekind, el cual, obviamente, tiene carácter gráfico.

Para establecer el teorema enunciado, es

ca, individualizada por tres puntos alineados- A, B0 Bj. Se trata de la serie de puntos Bn,.. .B-!, B0, B1#... Bn,... obtenidos toman­do aB<*conjugadode B¡.2 con respectoaAyBj.j. Bj-i.

Entonces el postulado proyectivo de Arquí­medes dice que, si A, B0, P son elementos distintos de una forma de primera especie y los pares A Bx y B0 P se separan, existe un número n entero y positivo tal que, indicando

a

2928

De este modo no es posible dar de todos los entes geométricos una "definición nomi­nal" que sirva para ligarlos con otros entes geométricos; por tanto, algunos deben siderados como primitivos.

Para ellos es necesario señalar qué propieda­des emplearemos en nuestro tratamiento: las proposiciones que expresan tales propiedades constituyen los "postulados" y sirven para dar una "definición implícita" de los entes se refieren.

Es interesante leer las palabras empleadas por Dedekind: escribe después de formular su postulado, las que muestran cómo había tenido en cuenta la doble génesis que se le puede atribuir:

"Como ya he dicho, creo no equivocarme al admitir que todos reconocerán de inmediato la exactitud del principio enunciado. La mayo­ría de mis lectores sufrirá una gran desilusión al comprender que es otra trivialidad lo que debe develar el misterio de la continuidad. Al respecto observo lo siguiente. Que todos en­cuentren al principio tan evidente concuerda con la propia representación de la recta; esto me satisface en máximo grado porque ni a mí ni a los demás resulta posible dar de este principio una demostración cualquiera. La pro­piedad de la recta expresada en este principio no es más que un axioma, y pensamos la continuidad de la recta sólo bajo la forma de este axioma, esto es, reconocemos a la recta su continuidad. No ocurre lo mismo en efecto con el espacio, si éste tiene existencia real, que sea necesariamente continuo; muchas de las propiedades permanecerían tales y cuales aunque fuera discontinuo. Si supiésemos con certeza que el espacio es discontinuo, nada nos impediría, si fuese cómodo, colmar sus lagunas en nuestra mente y volverlo de ese modo continuo. Pero esta operación mental consistiría en la creación de nuevos elementos puntuales que debería ser realizada según di­cho concepto".20. Clases continuas de cantidades

El postulado de la continuidad, enunciado para la recta, se transporta al haz de rayos o de planos, de modo que también para éstos vale el concepto de continuidad. V de las puntuales se extiende la continuidad a todo el plano y al espacio.

Pero se puede generalizar ulteriormente.Un conjunto de (infinitos) entes se dice

que constituye una c/ase de cantidades con- respecto a una relación determinada (que se considera como una igualdad) y a cierta opera­

ción ( a la que se da el nombre de adición y se llama suma a su resultado) cuando:

a) para la relación de igualdad valen las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva;

b) La operación suma es asociativa y con­mutativa, y aplicada a dos o más cantidades de la clase produce una (sola) nueva cantidad de la misma clase.

c) Sumas de cantidades iguales son ¡guales;d) dos cantidades de la clase, A y B, pue­

den siempre ser comparadas entre sí y origi­nan uno (y sólo uno) de los tres casos siguien­tes: A=B; A>B; A<B, el segundo de los cuales significa que existe una tercera cantidad C de la clase, para la cual A=B+C (y análogamente para el tercero).

De A > B y*B > C se sigue que A > C.Una clase de cantidades se considera conti­

nua en ei sentido de Dedekind cuando vale para ella el postulado de la continuidad de Dedekind (que puede enunciarse en términos del todo análogos a los usados para el caso de los puntos, dado que el criterio de compara­ción entre las cantidades de la clase permite disponerlos en orden creciente como, sobre la semirrecta, los segmentos que tienen origen coincidente con el déla misma semirrecta).

De este postulado se deduce la existencia de la cantidad cuarta proporcional entre tres cantidades dadas.

Con el postulado de Dedekind se verifica también el de Arquímedes; vale decir, la clase considerada es arquimediana.

Ella resulta continua en ei sentido de Can­tor si subsiste el postulado de la continuidad en la forma de este autor.

Cuando es también arquimediana se recae en el caso anterior.

Empero, se puede construir efectivamente ejemplos de clases de cantidades no arquime* dianas y continuas según Cantor; han sido indicadas por Veronese, Hilbert, Klein y otros.

encuentra por lo menos un tercero; estas dos proposiciones son, pues, ^ las que traducen la continuidad de la recta.

con Bp el enésimo elemento de la escala armó­nica individualizada por A, B0,Pi, ios pares A Bn y B0P no se separan. ser con-

19. Génesis de la continuidadDetengamos la atención sobre las últimas

palabras escritas. El lector debe interpretarlas así: Hay algo preexistente (la recta) que goza de cierta propiedad, (la de ser continua), y nosotros nos preocupamos por encontrar las palabras para enunciar esa propiedad enuncian­do proposiciones ("postulados") que valen pa-

*ra indicar los elementos que la caracterizan.Esto corresponde a uno de los modos de

concebir la esencia de la geometría. Desde este punto de vista, los entes geométricos aparecen como datos fuera de nosotros, como si tuvie­ran una existencia objetiva, aun si estuvieran relegados en un mundo que es el de las ¡deas, fuera de nuestra experiencia sensible. Pero a través de esta experiencia sensible nos damos cuenta de su existencia; se nos presenta como "abstracciones" de objetos materiales, como constituidas por lo que forma lo abstracto de dichos objetos; vale decir, el aspecto bajo el cual nos interesa conservarlos para reconocer ciertas propiedades particulares: las propieda­des geométricas.

Y si los entes geométricos tienen una exis­tencia objetiva, no queda otra cosa por hacer que "describirlos": los postulados señalan jus­tamente algunas propiedades esenciales y los teoremas expresan otras, que podrían obser­varse directamente, pero que es más cómodo deducirlas de las primeras. Y es lícito hacerlo porque el mundo al que pertenecen esos entes está gobernado por las leyes de la lógica, las mismas a las cuales obedecen las facultades racionales de nuestra mente.

Los filósofos definen al "racionalismo" co­mo la posición del pensamiento mediante la cual toda la realidad se traduce en términos de "razón", de modo que la esencia se recoge, independientemente de toda experiencia, me­diante al análisis de los principios de la misma razón.

Y bien, la realidad del mundo de los entes geométricos admite la más absoluta posición racionalista de su investigador.

La segunda manera de concebir la geome­tría consiste en considerarla como una crea­ción de pensamiento puro (aun si a nosotros nos es sugerida por circunstancias adquiridas mediante la experiencia o lo que a nosotros nos haya llegado desde afuera) organizada en ciencia hipotético-deductiva.

18 Continuidad de la rectaEl postulado de Dedekind (traduce el con­

cepto intuitivo por el cual se dice que la recta es continua y se habla de la continuidad de i a recta.

!

a queExaminemos la cuestión. Sobre el segmento

orientado A B tomemos dos grupos separados de puntos Gj y G2. Hemos enunciado el pos­tulado general de la continuidad y dedujimos la existencia de un segmento P' P", pertene­ciente a AB y constituido totalmente de pun­tos de separación para Gj y G2.

Pueden presentarse los siguientes casos:1) los puntos P' y P" son distintos, esto es,

P'P" no se reduce a un punto,2) es P—P"=P, pero P pertenece a uno o al

otro de los grupos Gx y G2,3) también es P'=P"= P pero P no pertene­

ce ni a uno ni a otro de los grupos G! y G2.En el primer caso, se dice que los gruposY están separados por un intervalo; en

el segundo, que resultan continuos; en el ter­cero, que presentan una laguna.

El’postulado de Dedekind asegura que si Gi G2 completan los puntos del segmento AB, son dos grupos continuos.

Y como esto ocurre para cada segmento perteneciente a una recta, esta es una línea continua.

El hecho se aclara mejor mediante el con­traste con lo que ocurre cuando GL y G2 no completan todos los puntos de AB.

Por ejemplo, si los grupos G¡ y G2 com­prenden exclusivamente los puntos de abscisa entera perteneciente a AB, aparecen separados por un intervalo (de longitud unitaria).

I

!

!

¡

En cambio, cuando ubicamos en Gj a to­dos los puntos de abscisa racional menor que cierto número irracional k, y en G2 a los de abscisa también racional pero mayor que k, los grupos Gi y G2 poseen una laguna consti­tuida justamente por k

Vale decir, sobre la recta, los puntos de abscisa entera dan lugar a una distribución a "intervalos"; los de abscisa racional a una dis­tribución con "lagunas"; los de abscisa real constituyen una totalidad "continua".

El postulado de Dedekind se deduce, como hemos visto en 4 del postulado general de la continuidad y de aquél por el cual se asegura que entre dos puntos de una recta siempre se

21. El postulado de la integridad según Hil­bert.

Hilbert introduce la continuidad de un mo­do indirecto que parece sugerido por ¡deas diversas de las acostumbradas. Se sabe que Hilbert coloca como base de su construcción racional de la geometría elemental cinco gru­pos de postulados, o axiomas, como los llama:

I. Axiomas de pertenencia.II. Axiomas de orden.III. Axiomas de la igualdad o congruencia.IV. Axioma de las paralelas.V. Axiomas de la continuidad.

¡Sigue en pág 35)31

30

este juego hacer que pierda el jugador que reti­re la última moneda, en cuyo caso, cada de los números claves excede en la unidad a un múltiplo de m + /.

LO AMENO Y CURIOSO itaje total, digamos 50, y un jugador que se vea forzado a superar 50 pierde.

"Supongamos que juegan así. A juega un 6 y suma 6; B un 2 y suma 8; A un 5 y suma 13; B un 2 y suma 15; A un 5 y suma 20; B un 2 y suma 22; A un 5 y suma 27; B un 2 y suma 29; A un 5 y suma 34; B un 6 y suma 40; A un 1 y suma 41; B un 4 y suma 45; A un 3 y suma 48; B ahora debe jugar 1 y así sumar 49; A juega 1 y vence.

"En estas variantes, el objetivo de cada jugador es llegar a uno de los números claves con tal de que haya disponibles suficientes números remanentes que le permitan conservar la posesión de cada número clave subsiguiente: El número de cartas empleadas, los puntos de las mismas, y el puntaje pueden cambiarse como se desee; cuanto mayor sea el puntaje que debe alcanzarse más difícil es pronosticar el resultado y el decir si es ventajoso comen­zar el juego".

El problema de Josefo. Otro de estos anti­guos problemas consiste en disponer un grupo de hombres a lo largo de un círculo de modo que si se mata cada emésimo hombre, los restantes serán ciertos individuos especificados. Tales problemas pueden ser resueltos fácilmen­te en forma empírica.

Hegesipo dice que Josefo salvó su vida me­diante un artificio semejante. De acuerdo con su relato, después que los romanos hubieron capturado Jotapat, Josefo y cuarenta judíos más se refugiaron en una caverna. Para su disgusto, Josefo se encontró que todos los demás, excepto él y otro hombre, estaban resueltos a matarse para no caer en manos de los conquistadores. Temiendo mostrar su opo­sición demasiado abiertamente Josefo consin­tió pero opinó que la operación debía realizar­se de manera ordenada y sugirió que podían colocarse alrededor de un círculo y que cada tercera persona sería muerta hasta que quedara un solo hombre, el cual entonces debía perpe­trar su suicidio. Se afirmó que él se colocó en el lugar 31° y colocó al otro hombre en el lugar 16°.

La cuestión medieval usualmente se presen­tó de la siguiente manera. Un barco, cuyos pasajeros eran 15 Turcos y 15 Cristianos, en­contró una tormenta y, para poder salvar el barco y la tripulación, la mitad de los pasaje­ros fueron ubicados alrededor de un círculo y cada noveno hombre, a partir de un lugar prefijado, era arrojado al agua. Se deseaba hallar un ordenamiento mediante el cual se

unoi

Otra variedad consiste en disponer circular­mente p fichas y permitir que cada jugador retire no más de m de ellas que estén en sucesión ininterrumpida: m debe ser menorque p y mayor que la unidad. En este caso, el segundo de ambos jugadores puede siempre vencer. I

Estos juegos son simples, pero si al proble­ma original le imponemos la restricción de que cada jugador no puede sumar el mismo núme­ro mas que, digamos, tres veces, el análisis no resulta fácil de ninguna manera. "De esta exten­sión del problema, Rouse BalI afirma: Nunca vi impresa esta extensión y la enunciaré amplia­mente. Supongamos que a cada jugador se le dan dieciocho cartas, tres marcadas con 6, tres con 5, tres con 4, tres con 3, tres con 2, y tres con 1. Ellos juegan alternadamente, A comienza jugando una de sus cartas; luego B juega una de las suyas, así sucesivamente. Ven­ce el primero que juega una carta que haga que la suma de los puntos o números de todas las cartas jugadas exactamente igual a 50, pero pierde si juega una carta que haga que esta suma exceda a 50. El juego puede ser jugado anotando números en un pedazo de papel, y no es necesario emplear cartas. Supongamos que juegan de la siguiente manera. A juega un 4 y la suma es 4; B juega un 3 y suma 7; A un 1 y suma 8; B un 6 y suma 14; A un 3 y suma 17; B un 4 y suma 21; A un 4 y suma 25; B un 5 y suma 30; A un 4 y suma 34; B un 4 y suma 38; A un 5 y suma 43. B puede ahora vencer, pues puede seguramente jugar un 3, puesto que A no tiene otro 4 con el cual proseguir; y si A juega menos que 4, B vencerá en la siguiente jugada.

"Ahora, supongamos que juegan de este modo: A,6; B,3; A,1; B,6; A,3; B,4; A,2; B,5; A, 1; B,5; A,2; B,5; A,2; B,3. A ahora se ve forzado a jugar 1 y B vence jugando 1.

OriginalmenteNos referiremos a algunos problemas que durante siglos han aparecido en casi todas las obras de matemática recreativa y que estimamos han de resultar muy útiles para los docentes que quieran amenizar sus clases con ejemplos ilustrativos y curiosos que, sin duda, han de atraer la atención de los alumnos. Las princi­pales obras referentes a estas cuestiones, lo hemos dicho en otra ocasión, son la de W.W. Rouse Bal I, Mathematical recreations and essays y la de O. Gherzi, Mathematica di/ette- vole é curiosa que, además de estar escritas en idiomas extranjeros, son muy difíciles de con­seguir, lo que justifica la escritura de este artículo tomado de dichas obras

24 130 8

16 816 03 133 88 8

11 5OriginalmentePrimeroSegundoTerceroCuartoQuintoSexto

11 500

8 0 i!8 08 50 0

Tercer ejemplo. El siguiente es un juego no común jugado entre dos personas, A y B. A comienza mencionando algún número no ma-

. yor que, digamos seis; B puede agregar a éste cualquier número no mayor que seis; A puede agregar a ésto, de nuevo, cualquier número no mayor que seis, y así sucesivamente. Vence el primero que alcanza, por ejemplo , a 50. Ob­viamente, si A dice 43, entonces cualquiera sea el número que B agregue, A puede vencer en la próxima vez. Semejantemente, si A dice 36, B no puede impedir que A diga 43 en la próxima oportunidad. Resulta claro, pues, que los números claves son los que forman la pro­gresión aritmética 43, 36, 29, 22, 15, 8, 1 y por tanto, el que comienza el juego debería vencer.

En forma semejante, si no se puede agregar ningún número mayor que m en cada jugada, y n es el número que debe decir el vencedor, entonces los números claves son los que forman la progresión aritmética cuya diferen­cia común es m + 1 y cuyo término menor esel residuo que resulta de la división de n por- m +1.

ii

Primer ejemplo. He aquí una muestra de este tipo de problemas. Un hombre va tina de agua con dos jarros, uno de los cuales contiene exactamente 3 litros y el otro 5. ¿Cómo debe hacer para traer de vuelta 4 litros de agua exactamente? La solución no presenta dificultad.

a unaf

f

Segundo ejemplo. He aquí otro problema de la misma clase. Tres hombres roban caballero un jarrón que contenía 24 onzas de bálsamo. Mientras huían encontraron vendedor de artículos de vidrio al cual praron 3 vasos. Llegados a lugar seguro quisie­ron repartir el botín, pero advirtieron que los tres vasos contenían 5, 11 y 13 onzas respecti­vamente. ¿Cómo podían dividir el bálsamo en tres partes iguales? Problemas como éste sólo se pueden resolver mediante ensayos.

a un

a un com-

"Se ha sugerido una variante ligeramente diferente del juego. En este caso se colocan sobre la mesa un número de cartas previamen­te acordado —digamos, por ejemplo, los cuatro ases, dos, tres, cuatro, cinco y seis de un mazo de cartas. El puntaje en cada oportunidad es la suma de los puntos de todas las cartas

B. Vence el primeroi

El mismo juego puede jugarse en otra for­ma colocando p monedas, fósforos u otros objetos sobre una mesa y haciendo que, por turno, cada jugador retire no más que m de ellas. Obviamente, los números claves son múl­tiplos de m + 1, y el primero que pueda reti­rar un múltiplo exacto de (m + 1) monedas podrá vencer. Acaso sea una variante mejor de

Hay varias soluciones de la división de 24 onzas en las condiciones especificadas. Una de las solucio­nes es la siguiente

jugadas, sea por A o por que selecciona una carta que haga que el pun-Los pasos a cumplir son:

32 33

para A que hizo la distribución). Por parte, si A distribuye dos grupos iguales, B no puede ayudarse volviéndolos desiguales, y A debe eventualmente vencer si en cada etapa hace que se vuelvan nuevamente ¡guales. Tal distribución es entonces una combinación sa­tisfactoria para A. El hecho real es que cada combinación es satisfactoria o insatisfactoria, en el sentido de que cada combinación no satisfactoria mediante una jugada adecuada puede volverse satisfactoria mientras que cada combinación satisfactoria en cada jugada se vuelve no satisfactoria. Así si A distribuye según una combinación satisfactoria, B al jugar no puede evitar volverla no satisfactoria; A, jugando acertadamente, la vuelve satisfactoria de nuevo, y así sucesivamente, hasta que final­mente B se ve obligado a dejar un solo mon­tón y entonces A vence. Por otra parte, si A distribuye una combinación no satisfactoria, B jugando adecuadamente la transforma en satis­factoria, y entonces el juego prosigue como antes hasta que finalmente B vence.

Rápidamente se ha comprobado que mon­tones que contienen 1,2/7 2n + ^ filas, o bien n, 7 —n, 7 fichas; o 2,3,4,5 fichas, son combi­naciones satisfactorias, y que dos combinacio­nes satisfactorias separadas forman una combi-

(Viene de pág 31) ■ ■ -------------Este último grupo comprende dos enuncia­

dos: uno es el postulado de Arquímedes, y el otro —llamado postulado de la integridad o de la completitud— que trata de aclarar ulterior­mente las relaciones entre los aspectos abstrac­tos y los intuitivos de los conceptos en los cuales se inspira la geometría.

Reexaminemos las consideraciones desarro­llada? en 16 y las dos “geometrías" -de tipo a) y de tipo b) — entonces construidas. Estas coinciden —o como conviene decir con más corrección— son isomorfas en relación con las hipótesis de continuidad (permaneciendo, se comprende, la a) en el campo real|).

Analicemos mejor las circunstancias.Supóngase que se sabe construir —sobre la

recta del tipo b)— todo segmento cuya longi­tud se exprese, con respecto a una unidad de medida prefijada, por cualquier número racio­nal. Ésto implica el postulado de Arquímedes, puesto que sobre esa recta, dos grupos de puntos separados que completan un segmento resultan siempre contiguos (por 9).

Ahora bien, cada “punto" del tipo a), que esté constituido por un par ordenado de nú­meros racionales, tiene por “imagen" un pun­to en el plano de tipo b), que tiene coorde­nadas racionales, y viceversa.

nación satisfactoria. Estos hechos son usual­mente suficientes para jugar con un novicio, pero Bouton ha mostrado que ellos son casos especiales de una regla general.

Supongamos que haya fichas en el mon­dón k. Expresamos ar en la escala binaria, y expresemos el coeficiente del 2P mediante drp (= 0 o 1). Por tanto

ar=c*ro + 2 dn + 22 dr2 + 23 dr3 + .. .Hagamos esto para cada montón y sea sp la

suma de los coeficientes de 2P así determina­dos; por tanto

a lo largo del círculo para cada agregado de un solo hombre al grupo original.

Supongamos ahora que con n hombres, el último sobreviviente (r= 1) ocupó original­mente el lugar p, y que con ( n + x) hombres, el último sobreviviente ocupó el lugar y. En­tonces, si nos limitamos al menor valor de x que hace x<m, tenemos y— (p+m x) ~ -(n + x).

Basándose en esta propiedad, podemos cal­cular rápidamente, para cualquier valor especi­ficado de n, la posición ocupada por el último sobreviviente. Por ejemplo, tomemos el proble­ma de Josefo en que m = 3. Entonces, sabe­mos que el último sobreviviente de 41 hom­bres ocupó originalmente el lugar 31. Supon­gamos, que cuando hay [41 <x) hombres, el sobreviviente ocupa el lugar y. Luego, si consi­deramos sólo el menor valor de x que hace y<x, tenemos: y = (31 + 3x) —(41 + x)= 2x—10. Ahora bien, debemos tomar un va­lor de x que haga positivo a y y menor que m, esto es, en este caso, iguala 1 o 2. Esto es x = 6, lo que hace y = 2. Por tanto, habiendo 47 hombres, el hombre últimamente elegido había ocupado originalmente el segundo lugar. Semejantemente, habiendo (47 + x) hombres, el hombre habría ocupado originalmente el lugar y, donde, con las mismas condiciones que antes,

otrasalvaran todos los cristianos. Para ello los hombres deben disponerse de la siguiente ma­neraCCCCTTTTTCCTCCCTCTTCCTTTCTTCCT

indicando C a los cristianos y T a los turcos. El orden se puede recordar por las posiciones de las vocales en la siguiente expresión:

From number's a id and art. never will fame depart. *en la cual a vale 1, e vale 2; / vale 3, o vale 4 y u vale 5. Por tanto, el orden es o Cristianos, u Turcos, etc.

Si cada décimo hombre debe arrojarse al mar, una frase mnemotécnica es

fíex paphi cum gente bona dat signa serenaUn marco oriental de este problema es más

o menos así: En cierta época vivía un rico hacendado que tenía 30 niños, 15 de su pri­mera esposa que había muerto y 15 de su segunda esposa. Esta última estaba impaciente para que su hijo mayor heredara la propiedad. Consecuentemente, cierto día le dijo: “Queri­do esposo, te estás volviendo viejo. Debemos elegir quién será tu heredero. Coloquemos nuestros 30 niños alrededor de un círculo y contando a partir de uno de ellos eliminemos cada décimo niño hasta que quede uno solo. El propósito parecía razonable. Cuando el pro­ceso de selección se fue cumpliendo, el hacen­dado se iba asombrando cada vez más al ver que los primeros 14 que fueron eliminados eran de su primera mujer y advirtió que el próximo que correría tal suerte sería el restante miem­bro de esa familia. De modo que sugirió que se contara en sentido contrario a partir de ese momento. Ella, forzada a tomar una decisión inmediata y reflecionando que la ventaja era ahora de 15 a 1 a favor de su familia, pronta­mente y asintió. ¿Quién resultó el heredero?

En el caso general, se dispone m hombres alrededor de un círculo. Comenzando en cual­quier parte, continuamos girando alrededor del círculo escogiendo cada emésimo hombre has­ta que quedan r. Sea uno de ellos el hombre que originalmente ocupa el lugar p Entonces, habiendo comenzado con el hombre n + 1, habría ocupado originalmente el lugar [p+m] cuando p+m no es mayor que n + 1 y el lugar [p+m-ni) cuando p+m es mayor que n + 1. Entonces, siempre que hayan dado r hombres, sus posiciones originales se habrán trasladado a m lugares hacia adelante

:'i

sp = d¡p + d2p + d2p + .. .Veremos que esta combinación es satisfac­

toria o no satisfactoria según que S0/ S\, S2 .. . sean todas pares o no todas pares.

Si S0l S\, S2 ..., no son todas pares, sea ; Sq la última de ellas que es impar. Entonces drq = 1 para un valor de r reduciéndolo ,de manera tal de alterar drp para los valores de p que hacen a S impar. Esta operación tiene naturalmente el efecto de. hacer a S0 Si S2 ... todos pares. Pues’to que el otro jugador debe tomar por lo menos una ficha no puede ayudarse cambiando a una de las S por 1 y volviéndola así impar.

!

a I

!

Pero estos puntos no completan ni a uno ni a otro de los dos planos. Mientras del primero, no se verifica la inversa (en el campo real) cuando -para el plano de tipo b)— no se agrega el postulado de Cantor al de Arquíme-

tenemos: y = (2 + 3x) —(47 + x) = 2x — 45. Si x = 23 y = l.Con 70 hombres, el último hombre elegido habría ocupado el primer lugar. El proceso puede continuar. De estos resultados se obtienen por aplicación repetida de la propiedad, para valo­res intermedios de n, las posiciones ocupadas por los últimos hombres elegidos.

í des.Hemos hecho referencia, por simplicidad, a

la geometría plana (real); podemos abandonar esa restricción y decir, por tanto, que el pos­tulado de Cantor expresa la condición necesa­ria y suficiente para el isomorfismo de la geometrías de tipo a) y b) con la hipótesis de que para la segunda valgan los postulados de los grupos 1, //, III y IV de Hilbert y el de Arquímedes.

Esta conclusión se puede presentar en otra forma, admitiendo como nuevo postulado el isomorfismo de las dos precitadas geometrías. Es lo que efectivamente hace Hilbert quien -en términos sustancialmente equivalentes- incluye, como hemos dicho, este postulado en el grupo V, después del de Arquímedes.

La denominación de postulado de la com­pletitud se debe a que, para él, el sistema geométrico del tipo b) aparece completo y no es ampliable en uno de tipo a) (real).

En conjunto, los dos postulados del grupo V resultan equivalentes al de Dedekind.

El juego de Nim

He aquí un juego que tiene un análisis matemático completo. Se supone que un nú­mero cualquiera de fichas se divide arbitraria­mente en varios montones. Dos personas jue­gan alternadamente. Cada uno, cuando llega su turno, puede elegir un montón cualquiera y retirar de él todas las fichas o el número de ellas que desee (pero, por lo menos una). Eljuga o que retira la última ficha (o fichas) es el vencedor.

Supongamos que las fichas son distribuidas por el jugador A

.1

que-

Y pue el jugador B juega primero. Si A distribuye sólo un montón, B Pue e vencer de inmediato retirando todas las fichas. Tal distribución ción

Un buen ejercicio sería formar una frase en caste­llano para reemplazar a esta frase en inglés. es, pues, una combina-

no satisfactoria (esto es, no satisfactoria(Sigue en pág 38) 3534

!REFLEXIONES perseguida, verificada, hecha progresar, presu­

pone el concurso, por ejemplo, de la intuición y el razonamiento, de la deducción discursiva y de la coherencia lógica interna, cuando pe­netra en el mundo escolar, en su plano educa­tivo, y aun más simplemente en su "progra­ma", automáticamente al docente -maestro o profesor— los problemas de "cómo enseñarla", (porque ung cosa es "saber" y otra cosa "saber enseñar el saber", y plantea también el problema de cómo hacer surgir en el escolar la "necesidad matemática", el interés, la investi­gación, la capacidad y los actos aritméticos, geométricos, algebraicos, y de hacerlos surgir de modo tal que no sea tanto el profesor que "explica" la matemática y la participa al alum­no como ciencia perfecta, ya totalmente cons­truida, sino más bien que sea el escolar el que la descubre por intuición interior y por refle­xión propia, que la redescubra y la reconstru­ya genéticamente por su actividad propia de pensamiento y de raciocinio, de manera que la matemática más que "enseñada" por el profe­sor sea precisamente "apresada" —por descu­brimiento íntimo, actividad íntima, alegría por el esfuerzo interior— por el alumno.

Estudio de la matemática: esta expresión,

mente; la poesía, estéticamente, y así sucesiva­mente. Todo "estudio" conserva siempre, jun­to.a un valor cultural un valor específico propio de formación de acuerdo con sus propios ca­racteres estructurales, además de un valor pro­pio del uso o instrumental.

La eficacia formativa que puede conseguir una disciplina en educación está, sobre todo, más que en su contenido nocional, en el pro­ceso que ella implica y en el proceso de la "adquisición" que exige, vale decir en el "mo­do en que se la estudia".

Un método mnemotécnico, verbalista, dog­máticamente repetitivo, que descuida las exi­gencias de la comprensión, de darse cuenta, de verificar, de expresarse en forma personal, mortifica en lugar de desarrollar, termina inha­bilitando y atrofiando las actividades del pen­samiento en lugar de desarrollarlo y volverlo ágil y vigoroso. Por eso, está fuera de duda que el primer fin de la enseñanza de la mate­mática —en la escuela (o sea en educación)— no es tanto el de "cerebrar" la matemática cuanto el dé concurrir a la formación y a la explicación de ía mente del alumno (también por medio de la matemática), única manera, por otra parte, para cerebrar, al final, la mis­ma matemática, tanto en su augusta y solemne objetividad, separada del acaecer y de las cues­tiones mundanas cuanto a su fecunda produc­tividad de maravillas, de utilidad y de valores en el multivariado campo de la humanidad civilizada.

enseñanza de la matemáticaALDO AGAZZl

(Italia) es

!Demos por adquirido y sabido que' la solu­

ción del problema didáctico, o sea la posibili­dad de un fructífero acto de enseñanza, presu­pone cumplidas por el educador cuatro condi­ciones inderogables:

1) El conocimiento de la ciencia a enseñar (instancia científica);

2) El conocimiento de la estructura —la "lógica interna"— propia de esa ciencia (ins­tancia epistemológica relacionada con las di­versas articulaciones de la estructura cultural del espíritu);

3) El conocimiento del alumno y de los procesos mentales específicos con

confines de esta fase de la edad evolutiva del hombre.

Fijemos la edad evolutiva en los conocidos períodos: la infancia, de 0 a 6 años; la niñez (puericia) de 6 a 9; la pubertad o "primera adolescencia", entre los 9 y los 13; la adoles­cencia en sentido propio, entre los 14 y los 17; la juventud entre los 17 y los 20 (para algunos aspectos hasta los 24), edad en la cual se alcanza la madurez del adulto; se puede, correspondientemente, determinar también las edades escolares correlativas, esto es, de 3 a 5 años, período de la escuela materna o infantil; de 6 a 10, escuela elemental o del niño; de 11 a 13, escuela media o secundaria o del mucha­cho de la primera adolescencia; de 14 a 15, escuela media superior, primer período, o del adolescente

que apren­de, en general, y expresan en sí y de por sí esa misma ciencia en particular (instancia psi­cológica).

4) El conocimiento de sí mismo como do­cente y educador, esto es, de su propia capaci­dad y habilidad y de las deficiencias que debe remediar (deficiencias de estudio, de psicolo­gía, de pedagogía, de pedagogía y de arte didáctico).

Sólo con esta prospectiva se podrá, en efec­to, recoger en su sustancia y extensión, en su viveza, los problemas esenciales de una didác­tica válida para la enseñanza de la matemática.

hablando didáctica y pedagógicamente, no pa­recería poder aspirar, en la escuela y en la educación, a una gran fortuna, si es verdad que, en la escuela, debe ceder su lugar a la enseñanza, más que al aprendizaje de la mate­mática. Pero digamos que las cosas no son totalmente así. Todo saber, en verdad, toda "noción" puede desarrollarse y se desarrolla siempre por sí misma, porque se interna de alguna manera en un espíritu activo que rápi­damente la considera y elabora. En definitiva, p^ra educar no basta tan sólo con los métodos con que se da o admite la verdad, los cuales no son más que "medios", sino que es funda­mental la verdad misma. Cada verdad forma, desarrolla y potencia, más que en general, en formas propias de ella, características e insusti­tuibles. El denominado transferí (esto es, la equivalencia del contenido diverso o de las diversas disciplinas para la formación y el de­sarrollo de la capacidad mental) ha sido firmado por la investigación psicológica y se han verificado experimentalmente los límites: el latín, la matemática, el alemán, la física desarrollan cierta capacidad de la mente huma-

sólo pueden equivalerse

en sentido propio; de 16 a 18, escuela media superior, segundo período o del joven.

Hablaremos de las exigencias de una buena enseñanza de la matemática en las escuelas de la adolescencia en general (primera adolescen­cia y adolescencia en sentido propio); después, en particular, de la enseñanza en la escuela de la primera adolescencia, en la escuela media, o sea, secundaria (de los 11 a los 14 años).

fAspectos formativos del estudio de la matemática

Como medio de formación espiritual, la matemática se configura con miras al conoci­miento, y con fines de desarrollo de la capaci­dad mental, lo que equivale a decir —en una visión conjunta y unitaria de estos dos aspec­tos- como potenciadora del espíritu. El espí­ritu se desarrolla y refuerza ejercitando sus potencias en los procesos que la matemática —junto a los requeridos por las otras discipli­nas- exige y le propone, y ejerce de hecho sus poderes sobre las cosas y sobre el mundo, usando conocimientos,' principios, resultados específicos v propios de los cuales las ciencias matemáticas -junto a las otras— le van hacien­do donación (que él va aclarando y conquis­tando por sí mismo).

Casi empíricamente, considerando y enume­rando, la matemática, comienza presentándose a la mayoría como materia "instrumental", como uno de los tres pilares de la instrucción

f

Influjo del estudio de la matemática sobre el desarrollo de la capacidad intelectual del adolescente

Adolescencia es un término impreciso c, los mismos psicólogos y tiene significados to­

davía menos precisos en el lenguaje literario y corriente.

La matemática y la educación

Después de esta primera consideración sur­ge una segunda. Afrontamos, no el problema de la matemática sino el del "estudio de la matemática", sabiendo que se transformará na­turalmente desde estudio de la "finalmente en el "aprendizaje" de la misma, como única formulación auténtica de un con­cepto pedagógico y didáctico de la función y de los modos de ser de una ciencia en la escuela para los fines de un proceso educativo.

Aquella matemática que tiene sus estructu­ras propias y características, la cual para ser estudiada", 0 sea para ser construida, basada,

entre

el primer momento en el enseñanza de la matemática''' y,En cambio, la ubicación de nuestro proble-

—influencia del estudio de la matemática sobre el desarrollo de la matemática en la edad adolescente— como aspecto del problema educativo, conducido sobre la base de la psico­logía en función natural, tiene cierto punto de conciencia didáctica a los fines de una mejor enseñanza, exige preliminarmente precisar los

con-m a

na y, por tanto, no sino incluso sustituirse en un programa educa­tivo; pero también es verdad que el latín for­ma latinamente; la matemática, matemática-

3637

el adolescente, estos sugestivos resultados."elemental" (la instrucción que proporciona los elementos primarios y comunes de todo saber) como el "hacer cuentas" (numerar, me­dir, computar, junto a "leer" y "escribir"), sin lo cual no sería posible la adquisición de nin­guna forma de.cultura. Pero muy poco des­pués, la matemática se pone en evidencia co­mo reveladora de un mundo totalmente pro­pio y autónomo, el "mundo del número" y de sus leyes, la ciencia de las situaciones en el espacio, lá realidad de armonías, de concor­dancias y de perspectivas, estables y por venir, capaces de proporcionar las exaltaciones de los dos "infinitos" pascalianos (preparación para entender el verdadero infinito filosófico, que no es una cadena inagotable o una progresión de productos o de cocientes de cantidades finitas, sino algo "no fiñito" por naturaleza y esencia) y de consentir la representación de un orden matemático del universo, sea metafísica- mente, según las concepciones de Pitágoras y de Platón, de Bruno y de Spinoza, por ejem­plo; sea científicamente, según reducciones a cálculo y medida, según el modo de Leonardo y de Galileo, de Newton y de Planck, de Eins- tein y de Heisenberg. Tan pronto como el muchacho se introduce en el estudio de la matemática —o de las ciencias físicas— este estudio le testimonia el poder objetivo (o apa­rentemente tal) que la matemática confiere al hombre en el conocimiento o dominio del mundo; le da el sentido de la unidad, de orden, de la coherencia (efectiva o sólo inte­lectual) de la realidad; lo vuelve capaz de generalizar y de unlversalizar; le vuelve efecti­vamente inteligible el mundo mismo del traba­jo y de la economía; le da claridad y precisión de pensamiento, sobriedad y eficacia de expre­sión, aptitud para reducir las cuestiones a la evidencia, para concretar la valoración, le con­fiere el habito del razonamiento riguroso y confirmado por pruebas; se convierte en la y ejercicio de seriedad y carácter.

Y bien, ya enumerados los influjos pedagó­gicamente más notables del estudio de la ma­temática en el desarrollo y la formación del adolescente; estudio que, tal cual es, abraza a la vez la vida cotidiana y las especulaciones y predispone al pensamiento para la acción vigi­lada y conciente. Sólo que esto es sólo verifi­car, no establecer cómo se consiguen: limitar­nos a describirlas sería quedarse en lo genérico y eludir la verdadera cuestión puesto que las verdaderas dificultades del problema residen justamente en la determinación de cómo po­der alcanzar verdaderamente, en la escuela y

con

Las definiciones en la

enseñanza de la matemáticaLa enseñanza de Pitágoras, Arquímedes y Pascal frente a Euclides y al cartesianismo

Es muy interesante, y metodológicamente fecundo, verificar como, en los mismos tipos clásicos de demostración matemática, se vuelve a encontrar la preponderancia y la caracteriza­ción del procedimiento matemático según una u otra de las formas de "intuición" y "racio­nalidad".

PITAGORAS expresa su matemática como intuición de la verdad, como evidencia inme­diata, como "visión" de la evidencia, como contemplación directa de la íntima esencia matemática de las cosas y de las razones: los seres que aparecen, "números" (uno o más, pares o impares), siente y ve la estructura matemáticamente representable de cada cosa, y la armonía del cosmos (su ordenamiento matemático): para Pitágoras el proceso mate­mático consiste en recoger esta anima mathe- matica rerum y, como procedimiento, es una "dialéctica" de tipo platónico cuya intención es apresar la idea, la esencia constituyente del mundo, su estructura y sus hechos: él quiere llegar a una "comprobación" (no a una de­mostración) de validez.

¡

L. CAMPEDELLI (Italia)

(individuales y sociales, constituidos por la fas­cinación de la magia y el fetichismo; fruto de la actitud de detenerse en lo que da sensación de reposo, evitando cualquier vigilia crítica, y del perezoso dirigirse a otros que parecen ha­ber pensado antes que nosotros. No se olvide que José Lombardo Radice llega incluso a asegurar: "también en la matemática se educa para la falta de sinceridad, haciendo creer al niño que saber quiere decir repetir bien una serie de palabras enseñadas por el maestro".

He visto un cuadernillo de apuntes dictado por una maestra a sus pequeños alumnos (que la malhadada costumbre de dictar apuntes co­mienza desde la escuela elemental por parte de ciertos docentes incapaces de elegir un libro de texto o de apartarse del único que conocen por ser el mismo que estudiaron cuando mu­chachos); dp modo que alguno agrega aguda­mente: "el círculo es un conjunto de infinitos puntos todos colocados en redondo".

No obstante, el episodio no puede sólo ser considerado como motivo de chanza: su signi­ficado va mucho más allá porque sirve para testimoniar la inconsulta necesidad, que a ve-

iPero el que conciba a la enseñanza como

un suministro ininterrumpido de nociones con- densadas en "definiciones", "teoremas", "re­glas" de diverso género, no construye ciencia. Sea dicho esto para la ciencia de "observa­ción" cuanto para la de pura especulación

manía, de las "definiciones" que tances esfrecuentemente se encuentran en la enseñanza

ARQUIMEDES representa el pasaje de la intuición empírica de la experiencia a las abs­tracciones unlversalizantes, en donde, para él, la matemática es una interpretación gnoseoló- gica y científica del mundo (como lo es des­pués para Galileo) capaz de consentir los mila­gros de la técnica y de permitir -siempre que se haya puesto un punto de apoyo— incluso de levantar al mundo (o de descubrir, tan sólo con el cálculo, un nuevo cuerpo celeste).

EUCLIDES

elemental.Esto entra en una visión restringida de la

escuela que lleva a concebir la exposición de una ciencia como un cuadro ordenado en don­de todo está clasificado con bella caligrafía y abundancia de subrayados en rojo. Están sus breves definiciones y luego, una después de otra, todas las propiedades que el muchacho debe aprender.

.Es un método que puede ser cómodo e incluso parecer claro, pero resulta carente de contenido en lo que concierne a los alumnos y revela superficialidad y falta de sentido crítico en el docente.

El muchacho es llevado a engañarse porque es conducido a cambiar por verdad sucesiones vacías de palabras y se le hace suponer que ha logrado alguna concepción científica cuando, en cambio, no ha hecho más que retener en la memoria una serie de enunciados presuntuo-

lógica.En las primeras, "definir" significa sólo pre-

t cisar y circunscribir, entre los millones de ob­jetos o de los fenómenos observados aquellos hechos que son motivo de la propia investiga­ción; para las segundas —en las cuales se desa­rrolla una obra de construcción para la cual el pensamiento proporciona el material y el me­dio- la operación de "definir", que quiere ser clarificación, es una empresa ardua y delicada como corresponde a todos los problemas del conocimiento.

rompe -al menos en inten- con la intuición sensible; la matemática

es un asunto de pura coherencia interna entre postulados, teoremas, demostraciones, teoremas y una silogística referente a figuras y magnitudes que va generando explícitamente nuevos conocimientos; por sí misma no tiene relación alguna con el mundo empírico y es autónoma

ción-escue-

nuevosSobre este argumento nos detendremos tra­

tando de abrir al maestro horizontes que —aunque quizás más ampliamente explorados por otros— puedan haberles quedado cerrados. De esta conciencia de la cuestión llevará direc­tamente al reflejo al espíritu con que desarro­llará su propia enseñanza y también las modes­tas nociones de aritmética y de geometría que deberá impartir se le iluminarán con un suges­tivo sabor humanístico.

Definir, sea un objeto material o una con­cepción puramente mental, significa expresar

y pura en su racionalidad; su proce­so es una cadena deductiva entendida para expresar una realidad sobre la base de l..- verificada coherencia interior con los postula­dos. La matemática euclidiana no es un proce­dimiento metafísico o científico sino lógica, y no es una lógica aristotélicamente "órgano", instrumento medio "para llegar a una reali­dad"; más bien

sos.una En esa forma no se nutre la mente y se daña al carácter; no se hace comprender la necesidad de reflexionar y se habitúa a la‘ retórica, a la palabra que sustituye al concep­to. Se alimentan los gérmenes, Jatentes en ca­da uno de nosotros, de esos 'graves males;I

es una "lógica por sí misma y38 39

f

ciencia, no es posible dar la definición y que, por tanto, se presuponen notorios o adquirí-

guetes, se denomina trompo al juguete truido de tal modo que funciona así y así”.

Igualmente, al referirnos a los preceptos morales, se explicara que, entre las virtudes, se llama "obediencia” a aquélla por la cual. ..”

Y, si se hace geometría, explicaremos que entre las figuras planas, toma el nombre de "triángulo” la figura que. . .

Pero en cada una de tales frases se hace referencia a una dase de objetos materiales (los juegos. . .), o de conceptos morales (las virtudes. . .) o geométricos (las figuras. ..) en las cuales se cree reconocer la existencia mate­rial o abstracta, y en ninguna de estas clases se da el nombre a aquel elemento particular (in­dividuo) o grupo de elementos (de individuos).

Hagamos algo más que el simple acto de atribuir un nombre; se presupone la existencia del ente denominado. Se tiene entonces con más propiedad lo que se acostumbra a desig­nar como "definición real” y que parece el resultado de una "definición nominal” y una' "prueba” o "hipótesis [postulado) de existen­cia”. Nace más bien una "descripción” que una simple definición, dado que ella implica la enumeración de la circunstancias que caracteri­zan al objeto examinado. Tal es el criterio que se sigue en las ciencias naturales, por lo menos en los capítulos que constituyen la "sistemáti­ca”.

las características haciendo referencias a otros objetos o conceptos conocidos o presupuestos.

Pero aquéllos que no hayan tenido esto en cuenta, deberán comprender plenamente, saber lo que son; esto es, tendrán necesidad de su definición la cual, a su vez, podrá darse me­diante el recurso de un tercer grupo de obje­tos o conceptos y así sucesivamente. •

¿Hasta cuándo? En una ciencia experimen­tal hasta que no se pueda tomar materialmen­te un objeto físico y decir al interlocutor: "Bien, fíjate qué es lo que entiendo llamar con tal nombre o indicar con tal palabra”.

En una ciencia abstracta no es posible ha­cer lo mismo; se pasa de concepto en concep­to a través de las más variadas experiencias y diferentes acciones educativas o adquisiciones culturales que aparecen cada vez más "simples” y "claras” hasta llegar a un punto en el cual cada uno exclama intuitivamente. "Pero esto se bien qué significa, no tengo necesidad de otras explicaciones".

Es el logro de la fase de la "evidencia". Y cada uno sabe qué se quiere decir con esto aun cuando a cada uno de nosotros nos resul­ta difícil explicarlo a los demás.

Se estila aclarar la cuestión con una conoci­da paradoja. Piénsese en lo que es un dicciona­rio. Se trata de un libro en el cual está ¡lustra­do el significado de "todas" las palabras exis­tentes en cierta lengua. Pero ¿realmente de "todas”? ¿De qué modo se dan las explicacio­nes?

ción real". Por tarito, se puede asegurar que en matemática intervienen sólo "definiciones no­minales".

cons-

dos*. *

El docente, lo hemos dicho, debe tener bien aclaradas estas ¡deas; de otra manera fal­seará su propia obra.

Pero ¿se pueden llevar estas ideas a la es-

También dijimos que definir significa expre­sar un concepto mediante otros, los cuales a su vez deberán estar vinculados con otros con­ceptos, y así sucesivamente. Al término de la cadena, si se imagina hacerla ir de lo más "simple" a lo más "complejo" aparecen los "conceptos primitivos".

Algunos de éstos (también llamados "axio­mas") están formados por proposiciones de la lógica (tales que no se podría pensar lo con­trario) y en sus operaciones (incluso al dar un nombre a un objeto está implícita la ¡dea de igualdad, de la posibilidad de ubicar una pala­bra en lugar de una frase completa: triángu­lo o polígono de tres lados). Pero no es sobre esto que deba detenerse la atención, puesto que son los mismos instrumentos de nuestro pensamiento, confundibles con su esencia y con su modo de revelársenos.

Los conceptos primitivos que conviene exa­minar difieren en las diversas ciencias. En ma­temática encontramos los conocidos con los nombres de "número", "punto", "recta", "plano", "orden", "clase".

Por el mismo hecho de ser elementos primi­tivos, no se puede responder a la pregunta: ¿Qué son? (Esto equivaldría a ubicar en su lugar otros entes que se deberían considerar como "primitivos" y, por consiguiente, conti-, nuar la cadena de la cual habíamos alcanzado el principio inicial.

Pero si se reflexiona rápidamente se adverti­rá que no es necesario saber "qué son" esos objetos primitivos que basta conocer el uso que se puede hacer de ellos, esto es, la propie­dad que poseen.

Así, considerando a una casa como un agre­gado de ladrillos, al constructor no le interesa preguntar "qué son los ladrillos" (de qué sus­tancias químicas están compuestos, cómo se los prepara, etc.) sino que necesita conocer sus propiedades; éstas les permitirán disponerlos de modo y en número tal de obtener para su edificio los requisitos deseados de forma, resis­tencia, etc.

Totalmente análoga es la posición de quien construye en el campo del pensamiento y la lógica: le basta conocer las propiedades de los conceptos primitivos. Estos -cuando es posi­ble— se expresan mediante una serie de propo­siciones que constituyen los "postulados" de

cuela?Depende del tipo de escuela de que se

trate. Cuando el alumno no ha alcanzado to­davía la edad de la formación mental adecua­da, hablar de este tipo de cosas sería hacerle un mal o, por lo menos, en la mejor de las hipótesis, llevarlo a agregar nuevos aprendiza­jes a los otros modos que, sin embargo, con­servará en la memoria y en las orejas.

Pero a jóvenes que han avanzado más en sus estudios, no se les deben callar estas ele­mentales cuestiones gnoseológicas. Se les dará así la justa medida del valor y de la potencia del pensamiento humano y también será ho­nesto mostrarles sus límites y la esencia cons­tructiva.

Si las verdades científicas rio tienen un sig­nificado absoluto esto no significa empobreci­miento porque aparece como consecuencia, co­mo un vínculo más estrecho de ella con la mente humana. La ciencia se enriquece de humanidad: la obra del hombre no es en ella simplemente la de la simple invención sino una creación.

Nótese en los conceptos fundamentales, que el hombre debe aceptar para elevar sobre ellos su edificio científico, que ellos no son imposiciones dogmáticas o arbitrarias, es guia­do a ellos por una elección que se le aparece

libre" como le parece libre todo lo congénito con él y a lo que es guiado por su "instinto", o "inspiración", o "intuición", o como quiera que se llame esa reflexión hacia afuera que hace de las vibraciones de su mente o de su alma.

i

ii

Pero en las ciencias de puro pensamiento las cosas ocurren en forma diferente: la mente que construye vigila de por sí y en cada pe­queño paso indaga el significado y no puede admitir que en los pliegues de una "defjni- ción" se esconda una hipótesis de existencia. Ya Aristóteles advirtió que la existencia de

puede establecer por defini-

El significado de cada palabra se expresa mediante la ayuda de otras, cada una de las cuales es aclarada -en la página debida- diante nuevas palabras, y así sucesivamente. Pero no se puede continuar indefinidamente. A menos que no se cometan "peticiones de principio", es decir, círculos viciosos (en el sentido de que de una palabra sé pasa a otra- y de esta se torna a la primera), a menos que no se proceda de esta manera vacía de sentido se llega necesariamente a un pequeño grupo de palabras de las cuales, en el diccionario, da el significado que, sin más, se supone noto­rio. En suma, es como si el autor del dicciona­rio se dirigiese al propio lector y le dijera: si tu sabes lo que quieren decir estos pocos tér­minos, yo, mediante ellos, le explico el signifi­cado de todas las demás palabras de nuestra lengua.

La conclusión es que en la base de toda ciencia hay necesariamente algunos conceptos (denominados "primitivos" o "fundamenta­les") de los cuales en el ámbito de la propia

r

me-

una cosa no se pión.

como

¡Y entonces? ¿Qué significa "existir"? Es­ta palabra expresa ideas bien distintas si se refiere a un objeto material o a una figura geométrica, cuando se refiere a un número

(un millón de estrellas, media docena de continentes) o a un número abstracto (da­do un número natural, por grande que sea,

concretono se * # *Volvamos a nuestro argumento.En sustancia "definir" significa atribuir un

nombre (definición nominal) con el fin de ograr simplicidad en la exposición y claridad e lenguaje. Tanto es así que, para verificar la

exactitud de una definición, se debe colocar, en los razonamientos en que se alude a ella, la 'locución definidora" en el lugar de lo "defi­nido".

existe siempre uno mayor).En el ’campo'de las ciencias especulativas,

la matemática, la existencia es compati­bilidad de condiciones lógicas y, por tanto "definir", esto es dar un te diferente que afirmar —y más aun que pro­bar— esa compatibilidad.

De aquí la necesidad de distinguir la e i nición nominal" de la demostración o del pos­tulado de existencia que se muda en de ini-

como

nombre, es totalmen-11

Asi definimos al "trompo" cuando, diri­giéndonos al niño, le decimos: "Entre tus ju-

40 41

\

De todos los objetos de su entorno nace la ¡dea de número y la cuerda extendida entre dos clavos habla de la recta y de los dos puntos necesarios para determinarla. Así, poco a poco la figura geométrica se vuelve familiar y habla, por sus. ojos, a la mente, abriendo las nociones que dan a los niños la fascinación de la armonía frente al descubrimiento de las pri­meras leyes y las más elementales propiedades. Es un interés que puede llevar lejos.

Así, al pensar en todas las rectas paralelas a una dada, nace la idea de "dirección" (o tam­bién del punto impropio) común a ellas. Si tomamos los segmentos ¡guales en longitud uno dado y paralelos a él, y sobre él señala­mos un sentido concorde para todos ("seg­mentos equipotentes") ese algo que tienen en común por haber sido elegido del modo dicho es el "vector" por ellos definido.

En estas consideraciones está implícita la idea de una igualdad: los objetos o entes a los cuales se recurre vienen considerados como "¡guales" a los efectos de lo que interesa po-

en evidencia. Por ejemplo, las rectas para­lelas son "¡guales" con respecto a su "direc­ción"; los segmentos equipotentes lo son co­mo vectores.

La relación de dos cantidades se define por abstracción (al modo de Euclides), haciendo ver cuándo dos razones se deben considerar ¡guales; lo mismo ocurre, en física, para la temperatura (dos cuerpos tienen igual tempe­ratura si, puestos en contacto —directamente o por medio de un tercer cuerpo— no intercam­bian calor) o, en mecánica, por las masas.

Hagamos una observación: para hablar de igualdad se requiere la satisfacción de las pro­piedades fundamentales (reflexivas, simétrica y transitiva) que, en nuestra concepción, cian a esta ¡dea.

icuyo conjunto nace la "definición implícita” de los entes introducidos. Así se construye la matemática considerada como ciencia hipotéti­ca deductiva.

a pasión a citra*Otro modo de definir está d'Jo por la denominada "definición por abstracción". Consiste en presentar una serie de objetos o conceptos (precedenemente definidos) que pre­sentan una circunstancia, una propiedad, algo, cierto quid en común; ese quid resulta defini­do a su vez. En sustancia, eso constituye lo "abstracto" del criterio con que se eligió el conjunto de los entes considerados entre los entes de la familia a la que pertenecen, como hicieron Guillermo de Occam (siglo XVI), Pas­cal (1623-1622), Hobes (1588-1679), Leibniz (1646-1716), etc., hasta los lógicos modernos. Entre éstos, sobretodo dichos lógicos matemá­ticos o, también, los cultores de las ciencias exactas, han contribuido a precisar las nuevas ¡deas, bajo el influjo de la obra de esclareci­miento y de crítica a que han sido sometidas las ¡deas sobre la naturaleza y el alcance de las concepciones matemáticas (Peano, Enriques, Russell, etc.).

!Gerard PETITJEAN

(Francia)

nusa..." y lo que sigue, ya había sido demos­trado perfectamente por los chinos en el siglo VIII antes de Cristo y también por los tamu­les, una raza del sur de la India que contaba con algunos buenos matemáticos.

Según Georges Ifrah, los babilonios, mil ochocientos años antes de nuestra era, tam­bién tenían sus ¡deas sobre la cuestión. Pero Pitágoras parece poder hacerse acreedor al be­neficio de la duda: lo ignoraba probablemente.

"Pascal era un impostor".-Un pequeño pro­fesor de matemática cuenta esto muy tranqui­lo. ¡El gran Pascal! El autor de los Pensa­mientos, el inventor de la máquina de calcular, el jansenista rígido sorprendido con la mano en la bolsa. La historia es graciosa. Pero Georges Ifrah, matemático de veintiocho años, la cuenta sin sonreír, apoyándose en documen­tos. El famoso triángulo aritmético de Pas­cal. . . no era de Pascal. Se encuentra en un manuscrito árabe del siglo XII: no podemos saber todo. O todavía más, en una obra china

data de 1303: no todo el mundo lee chino. Pero el famoso triángulo figuraba tam­bién en la obra de aritmética de un tal Stiegl, editada en 1543 y de la cual, seguramente, Pascal tenía conocimiento. Algo cercano al pillaje.

Pitágoras parece más excusable. Por cierto, su célebre teorema, "el cuadrado de la hipóte-

a

IIContar los dedos de los piesneriGeorges Ifrah no es un apasionado destruc­

tor de estatuas. Las debilidades de Pascal sólo forman parte de un aspecto de la investigación

lo ha paseado por los museos y por los archivos del mundo entero siguiendo las hue­llas de un producto de gran consumo altamen­te trivializado en nuestros días: la cifra. "Las

dan cuenta hasta qué punto el

que

queEstamos pues ante una tarea más bien

plicada. Pero no se asuste el joven maestro. Las pocas noticias que le hemos dado valdrán para ponerlo en guardia sobre un problema del que ahora conoce la existencia

com-

gentes no se sistema de numeración que utilizan todos los días es una cosa perfecta. La más perfecta que pueda imaginarse. Una obra maestra".

La historia de esta obra maestra indica que fueron necesarios muchos balbuceos antes de llegar a dicha perfección. Ella comenzó hace mucho tiempo y no sabemos dónde. Se conta­ba "uno, dos, muchos. ..". Es el grado cero del cálculo, si se puede decir, puesto que el

estaba muy lejos de haberse inventado. Todavía se cuenta de esta manera en algunas

y en cuyoespíritu ha penetrado. Esto basta para crearle la defensa de la autocrítica y darle el sentido de la medida y de la orientación para cuando esté en la escuela, en mqdio de sus alumnos.

Si está dispuesto a dar definiciones lo de-, tendrá una imprevista sujeción. Reflexionará mejor sobre las palabras que estaba por pro­nunciar, retornarán a su mente ciertas diablu­ras de los "nombres", de la "existencia", de la "abstracción" y tendrá cierta timidez. Y en­tonces dejará a un lado toda esa cosa abstracta y se abandonará al benéfico impulso del hom­bre culto que olvida blará a los niños como

f

i

se aso-

ceroEl problema lógico de "definir" los objetos-

a cuyo estudio se dedica una ciencia determi­nada, y los conceptos que son el argumento de un tipo particular de especulación ha fati­gado largemente a los filósofos, los cuales, ya desde épocas delicado

Un profesor de matemática francés, Georges Ifrah, ha emprendido una vasta investigación sobre el origen de los números y su papel en las distintas sociedades, a lo largo del tiempo y del espacio. Los resultados provisionales de esa búsqueda permiten

algunas conclusiones inesperadas: muchas conquistas de la matemática moderna ya han sido puntualmente detalladas por las civilizaciones que solemos denominar "primitivas"; los grandes sabios occidentales tuvieron oscuros antecesores a los que no se puede silenciar... En el artículo que sigue, Gerard Petitjean, de Le Nouvel Observateur traza

ocurrente crónica de los hallazgos de Ifrah.

sus propios libros y ha- se les debe halar: de

modo llano, con referencias concretas, con comparaciones adecuadas, despertando su fan­tasía y confiando en su sentido de observa­ción.

muy antiguas, han advertido lo y complejo de la cuestión.

Sobre ello discute Platón (fines del Siglo V. a J. C. y principios del Siglo IV) por boca de Sócrates y, poco después, Aristóteles (384-322 a J.C.) intenta la sistematización, dedicaron después mucho de tantes pensadores.

sacar

Será para ellos una invitación socrática paradarse cuenta de que, en resumen, muchas de las cosas que enseña el señor maestro ellos ya las saben y las pueden ver como se debe.

iA ello se los más impor- una

4342

1

Un día se tuvo la idea de reemplazar las piedritas por objetos convencionales. Todo eso pasaba en la región de Elam, no lejos del Golfo Pérsico. Un gran cono por cien piedritas o cien ovejas o cien medidas de trigo. Un

más pequeño por diez, un disco chato

tros conocemos (un tres no tiene el mismo valor si está colocado en la columna de las unidades, de las decenas, de las centenas o de los millares) pero su cero era balbuciente. No sabían servirse de él sino en la mitad de un número. Los mayas colocaban el cero en el medio y al final pero no se servían de él para efectuar las operaciones. El cero indio de los tamules tenía exactamente las mismas posibili­dades del que nosotros conocemos. Este es el que nos ha sido transmitido por los árabes (con el nombre de al sifr, que significa vacío o nada y que en español ha dado lugar a la palabra cifra), al mismo tiempo que las famo­sas cifras llamadas árabes que no son otras que las cifras tamules.

Escuchando a Georges Ifrah, uno se pone a soñar en una matemática menos descarnada, más cultural, más humana, en síntesis, que

aldeas de las Nuevas Hébridas, de Nueva Gui­nea y de Africa. V, para Georges Ifrah, la cifra "tres" es una supervivencia de esta manera primitiva de calcular: la palabra latina tres y trans tienen un mismo origen; trans significa "más allá"...

Rápidamente se logró algo mejor: la natura­leza suministraba ejemplos. Existen dialectos africanos en los cuales uno se dice yo; dos se dice ala; tres, trébol; cuatro, patas; cinco, ma­nos. Para decir diez se dice dos manos. Como todo el mundo comenzó a calcular de esta manera, la mayoría de los sistemas de numera­ción que existen se basan en el diez:, sólo tenemos diez dedos. Algunos, más originales, eligieron el doce. Los mayas, los aztecas y los antiguos celtas, que se habían dado cuenta que agachándose un poco podían contar con los dedos de sus pies, habían adoptado el número veinte como base de su sistema. En cuanto a los babilonios que, por el solo hecho de haber inventado el cero merecerían quedar en la historia, contaban, no se sabe por.qué, teniendo como base de su numeración, el se­senta (como se sabe, la base es el número de unidades necesarias para formar una unidad de orden inmediatamente superior. La base del sistema decimal es diez', la del sistema binario es dos). Ellos nos legaron esos endemoniados problemas de división en horas, minutos y segundos que todos los escolares conocen y ese círculo dividido extrañamente en 360 gra­dos. Pero ahí se trata ya de cálculos sofisti­cados.

visite el país Je la matemática", afirma Goerges Ifrah, quien confiesa que él mismo escribió, hace tiempo algunos libros de mate­mática que conducían inevitablemente a la somnolencia. Hasta el día en que encontró su camino de Damasco. "Un alumno de los últi­mos cursos me pidió al final del año que le explicara cómo calculaban los egipcios. Me quedé mudo".

La respuesta le costó cara a Georges Ifrah. Diez millones de centavos. Es el precio de una investigación que nadie ha querido subvencio­nar. Ni en las universidades: "La historia del número no es una tesis, es una síntesis", le contestaron finamente. Ni en el Centro Nacio­nal de Investigaciones Científicas: "demasiado interdisciplinario". No sabían a qué inciso tenían que imputar los gastos. Para pagar su vuelta al mundo con el fin de verificar en los lugares de existencia de documentos que le indicaban, Georges Ifrah hizo en cada lugar todos los oficios posibles: nadador, mozo de café, lavacopas, etcétera. Hoy, da conferencias en casi todos lados, hasta en la Escuela Nor­mal Superior y escribe, libros. Es de esperar que los chicos lo conozcan un día en las escuelas, entre dos soluciones de ecuaciones de segundo grado.

cono.para las unidades. Antes de conducir el ganado del propietario a pastar en los campos de los alrededores, el pastor iba a presentarse al con­tador de la ciudad. Este encerraba conos gran­des o pequeños y discos en una gran bola de arcilla fresca que se hacía secar al sol después de haberle estampado el sello del propietario. Cuando el rebaño volvía, se rompía la bola y se verificaba sí el pastor había hecho bien su

I

trabajo. Era el principio del montón de piedri­tas, un poco más perfeccionado. Pero no era muy práctico. Para verificar la importancia del rebaño, había que quebrar cada vez la bola de arcilla. Entonces se tuvo la ¡dea de trazar tallas de tamaño variable sobre la bola de arcilla en función del número de conos y de discos. Y luego, un día, una de las bolas se rompió. Los conos se perdieron pero el conta­dor se dio cuenta, muy sorprendido, de que las marcas sobre la bola eran suficientes como para reconstituir la importancia del rebaño. Aquel día, entre los años 3300 y 300 antes de Cristo, en la región de Susa, un contador tor­pe inventó la escritura, si es que se le puede creer a Georges Ifrah. Y por qué no creerle, aunque ello Contradiga la teoría clásica que quiere que la escritura haya nacido para fijar el pensamiento. Esas bolas de arcilla son visi­bles en el Museo del Louvre.

Es emocionante ver hasta qué punto, en sus investigaciones a tientas, los hombres más ale­jados emprendieron el mismo camino. El ába- co, descendiente directo de las piedritas primi­tivas, todavía es utilizado hoy en la URSS, en China Popular y en el Japón, países que se tocan o casiconsiste en anudar cuerdas pequeñas para tar los números era utilizado por los incas antes de que los pescadores de la isla de Oki­

lo descubrieran. Todavía hoy se utiliza la misma práctica para efectuar multiplicaciones con los dedos de las dos manos en China Popular, en la URSS, en la India, en Arabia, en Irak y en Auvernia. Es verdad que el méto­do en cuestión ya existía en el año 1500 antes de Cristo. Como lo egipcias.

Es fascinante asistir a las etapas del razona­miento matemático. Los babilonios habían in­ventado la numeración de posición

aquella que a uno le asestan en los colegios secundarios: (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2. . . Dedonde no se sale. De donde no se sale nunca a menos que se tenga un gusto perverso y rarísi­mo pornormales, curiosos, aquellos que prefieren la novela policial al tratado de lógica, están con­denados desde el comienzo al aburrimiento y a la nulidad. "Casi no se alienta a que la gente

la ascesis intelectual. Los espíritus

(Viene de pág. 36)PASCAL: la matemática es una lógica tam­

bién para él, sólo que la demostración no es procesión de confirmaciones anteriores ha­

cia nuevas deducciones garantizadas por la au­tenticidad respetada del proceso (como en la lógica silogística, la garantía está dada por la eliminación de todo vicio paralogístico), sino

vuelta al principio "evidente por sí

en sí misma". Se puede observar que el esque­ma euclidiano es el mismo esquema aristotéli- co-silogístico llevado por la lógica a la mate­mática, esquema que será retomado por Des­cartes, seguido por Spinoza, quienes lo lleva­ron de la matemática a la gnoseología en fuñ­

ar i stoté-

La bola y el rebañoLos guerreros de Abisinia, hace no demasia­

do tiempo, tenían todavía una costumbre muy práctica: antes de partir a la pelea, cada uno depositaba una piedrita sobre un montón. Al volver, los sobrevivientes retomaban cada una piedrita. Se evaluaban así las pérdidas según el grosor del montón. Y

una

ción metafísica; pero es el esquema Iico absolutizado en autosuficiencia antes que

función cognoscitiva de la esencia de las cosas, lo que concluirá conduciendo a

matemática sin ninguna validez certifíca­la realidad objetiva;

solamente y sólo

unoque es unamismo", es un volver a los principios como verificación de validez, una reducción a la evi­dencia de un enunciado primario, incontrover­tible porque su evidencia excluye toda necesi­dad -más que toda posibilidad- de demostra­ción, en el sentido de que sería absurdo que­rer demostrar lo que no tiene necesidad de ello, que, además, no tiene en sí exigencia alguna de demostrabilidad. Es una reproduc­ción del procedimiento aristotélico-leibmziano de volverse al principio de no contradicción, de manera de no exigir y admitir demostra­ciones.

se tocan. Pero el método queno vaya a

creerse que esos abisinios razonaban como sal­vajes. Hace no más de diez años, el panadero de una pequeña aldea cerca de Troyes vía de cortes hechos en un pedazo de madera para calcular el número de hogazas que le debían sus compatriotas. Dichos compatriotas recibían igualmente una punta de madera tada del mismo modo para evitar toda discu­sión. En el siglo pasado, esta rústica contabili­dad se utilizaba en toda Francia. Y cuando decimos "cálculo", la palabra nos remite nuestros antepasados de las cavernas. En latín calculus significa piedra.

asunto enano-

unable en sus relaciones con "verdadera" para nosotros, para nosotros. Como "construcción" del inte­lecto humano (Vico, Hume, Kant, con el cual la matemática vuelve a ser ciencia del mundo que contiene necesariamente un elemento in-

el mundo es también para construcción

se ser- nawa

cor-

tuitivo, sólo porque nosotros "nuestro mundo", una categorial de nuestro intelecto que incluye for-

puras de la intuición sensible, las formas priori de espacio y tiempo).

atestiguan las pinturas

aa

masque noso-

4544

BIBLIOGRAFIA

LEDESMASOCIEDAD ANONIMA AGRICOLA INOUSTRIAl

que ha hecho de Jujuy y del Noroeste Argentino un polo de desarrollo de nuestra economía, produce y transforma muieria prima nacional recursos y mano de obra del país y concreta en los hechos una tarea de gran trascendencia económico-social.

COTI

BUDDEN, F. J. La fascination des groupes, 622 páginas, Ediciones O.C.D.L. París, 1977.

Acaso sea la cuestión que se plantea un gran matemático que no gusta del álgebra, una cuestión a la manera del famoso "¿Cómo se puede ser persa? ". Digamos de paso que el gran matemático citado sabe toda el álgebra que necesita y probablemente mucho más.

Es verdad que existen en la naturaleza y en muchas otras actividades comunes maneras de motivar estudios geométricos y que, como consecuencia de una experiencia pedagógica más larga, la enseñanza de la geometría, inclu­so la elemental, es rica en ejercicios interesan­tes. A su lado, la enseñanza del álgebra parece pobre.

¿No es más que una apariencia? ¿No es más que el efecto de un menor esfuerzo de imaginación para presentar ese tema? E| libro que comentamos permite responder a la últi­ma pregunta de manera afirmativa.

Un libro grande para tratar un tema impor­tante: los grupos; 600 páginas no son demasia­das. E| autor toma su tiempo para introducir progresivamente las nociones útiles. Una una: componer operaciones reconocer la ciatividad, elemento neutro, elementos inver­sos. Teniendo definida la estructura de grupo, se dan ejemplos variados, se investigan las pro­piedades generales, se definen los subgrupos, el producto directo de grupos, las clases de equi­valencia en los grupos, elementos conjugados y subgrupos distinguidos, homomorfismos de grupos y grupos cocientes, siempre con la preocupación de explicar las cosas simplemen­te e ilustrar los resultados con ejemplos suges­tivos.

sición de B. Saulin, propiciada por la Regional de París de la "Asociación de Profesores de Matemáticas de la Enseñanza Pública" sobre "Arte de tañer las campanas. La asistencia, desgraciadamente, era escasa, sea que el título de la charla no indicara suficientemente que se trataría de asuntos de combinatoria y de teo­ría de grafos, sea que la próxima primavera, las elecciones o el partido de rugby entre Francia e Irlanda habían reducido la rrencia a las benévolas tentativas de diestramiento de los organizadores.

En la charla, hubo constantes referencias a los grupos y como algunos puntos no resulta­ban demasiado claros para mí, quize volver a las fuentes y para ello busqué en mi biblioteca el libro adecuado. Encontré el grueso libro de Budden... Fue una agradable sorpresa descu­brir en él todo un capítulo sobre la "ciencia del carillón" donde hallé lo esencial y quizás un poco más, de las consideraciones de la exposición de Laulin. Habiéndoseme abierto el apetito por esta lectura estimulante, me volvía al capítulo anterior que se refiere a "Grupos y música". Allí también no fui decepcionado: la exposición es clara, rica, bien ilustrada, al al­cance de personas que, como yo, llegaron algo tardíamente a las "matemáticas actuales". Luego, dos capítulos atrajeron mi atención "Los Grupos en Geometría", donde encontré una exposición muy clara sobre geometría proyectiva y algunas indicaciones sobre geome­tría finita, y el intitulado "Los modelos de dibujos con modelos repetitivos" que reco­miendo a los profesores que puedan ser llama­dos a trabajar junto a profesores de dibujo. Brevemente: hay en el libro una documenta­ción

I

• AZUCAR • PAPEL

• ALCOHOL • FRUTA

concu-rea-

í

Por razones fácilmente explicables, solicitamos de nuestros lectores, nos remitan el importe de su suscripción por 1977 (y el importe de las deudas que puedieran tener) con toda urgencia.

Esto nos permitirá realizar nuestra programación con mayor seguridad.

Muchas graciasa

aso-

I

MATEMIITICAMe había decidido a recomendar simple­

mente este libro estimulando cuando recibí de Lean Sauvy esta nota que me resulta de lo mejor como conclusión:

"E| sábado 19 de marzo asistí

muy preciosa para los educadores que tratan de hacer más viva su enseñanza refirién­dola a la vida de todos los días.

a una expo-G. Walusinski 1121 Paraguay 1949 - 6° A - Buenos Aires

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