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¿DE QUÉ HABLAMOS CUANDO

HABLAMOS DE ESTADÍSTICA?

TOMO II–Estadística Inferencial

Alberto A. Alonso

¿DE QUÉ HABLAMOS CUANDO HABLAMOS DE ESTADÍSTICA?

¿DE QUÉ HABLAMOS

CUANDO HABLAMOS DE

ESTADÍSTICA?

“Dejamos de temer, aquello que se

ha aprendido a entender” Marie Curie


Toda obra grande, en arte como en ciencia,

es una gran pasión al servicio de una gran idea. Santiago Ramón y Cajal

¿DE QUÉ HABLAMOS

CUANDO HABLAMOS DE

ESTADÍSTICA?

TOMO II

Estadística Inferencial

Alberto A. Alonso

Buenos Aires - Argentina

Alberto A. Alonso es Ingeniero Químico por la Universidad Nacional de La Plata,

posee una certificación internacional en Administración de Riesgos por ALARYS

y un curso de especialización en Estadística Descriptiva por el CONICET. En su

vida profesional, ha sido declarado “Experto en Temas de Ingeniería por el

Ministerio de Educación y Justicia de la Nación –Resolución D.N.A.U. Nº 86

del año 1987. Actualmente, es Profesor titular de Estadística Aplicada en el

IUPFA, para las Licenciaturas en Seguridad, Accidentología y Prevención

Vial, Trabajo Social, e Ingeniería en Siniestros.

Ver CV completo en: http:// www.anticiparconsultoria.com


Fecha de catalogación: 21/04/2015

ISBN - Primer tomo: 978-987-45197-1-9

ISBN - Obra completa: 978-987-45197-0-2

Ediciones anticipar: http://www.anticiparconsultoria.com

Esmeralda 582 –Piso 8º Of. 30 – (C1007ABD) –Ciudad Autónoma de Buenos

Aires

Primera edición. Abril 2015.

© Alberto A. Alonso

Todos los derechos reservados.

Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida en cualquier

forma o por cualquier medio electrónico o físico, incluyendo fotocopiado, gra-

bación, escaneado, o cualquier otro sistema de archivo y recuperación de in-

formación, sin el previo permiso por escrito del autor.

Queda hecho el depósito que prevé la ley 11.723

Alonso, Alberto A. ¿De qué hablamos cuando hablamos de estadística? : tomo II: estadísti-ca inferencial. 1ª. ed. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Ediciones Anticipar, 2015. 420p. ; 24 x 17 cm. E-Book.

ISBN 978-987-45197-9-5

1. Estadísticas. I. Título CDD 310.4

http://www.anticiparconsultoria.com/


Corrección de estilo:

Trad. María Jimena Alonso

María Jimena Alonso es Traductora Pública Nacional y Profesora en Lengua

y Literatura Inglesas por la UNLP, y Correctora de Estilo por Fundación

LITTERAE. Actualmente dirige la firma Glôssa Soluciones Lingüísticas

(www.glossa.com.ar)


Si te atreves a enseñar,

no dejes de aprender.

John Cotton Dana

Prefacio

Han pasado algunas estaciones de nuestro

espacio interactivo, desde que se publicó el

primer tomo de este emprendimiento pe-

dagógico-literario destinado a brindar, a

todos aquellos que abrazaron alguna carre-

ra de las ciencias sociales, una visión senci-

lla y amigable de lo que es la Estadística,

dejando aclarado que ese principio de sim-

plicidad no va en desmedro del rigorismo

científico que debe poseer todo libro de es-

tudio.

Sin embargo, entre aquel tomo y este hay una diferencia muy importante. El

primero corresponde a un curso de estadística descriptiva que abarca todo lo re-

lacionado con la descripción y tratamiento de los datos, que cualquier profesio-

nal, en algún momento del ejercicio de su profesión, deberá enfrentar y ejecu-

tar.

El segundo, por su parte, corresponde a un curso de estadística inferencial bási-

co. La finalidad de la llamada estadística inferencial o inductiva es arribar a

conclusiones que exceden el alcance de los datos analizados. Es decir, se trata

de técnicas que se emplean para inferir o deducir características desconocidas a

partir de un conjunto de datos conocidos, apoyándonos, fundamentalmente, en

el cálculo de probabilidades.

Y esto es así dado que, como resulta imposible examinar la población entera de

los fenómenos que estudiamos, la construcción de leyes y teorías se tiene que

apoyar en datos muestrales, y es por eso que a partir de unos pocos datos reco-

gidos o datos muestrales se trata de obtener información de la población en su

conjunto.

La definición clásica de estadística inferencial dice que es aquella parte de la

estadística cuyo principal objetivo es estimar las propiedades de una población

a partir del conocimiento de solo una muestra de ella. Y aquí es donde se ejer-

ce la sinergia entre ambas estadísticas, la descriptiva y la inferencial, ya que es-

ta última se basa en la estadística descriptiva, debido a que la inferencia o de-

ducción de las propiedades de la población entera se deriva de las característi-

cas de la muestra que es analizada con las técnicas de la estadística descriptiva.


Sin embargo, su meta es más amplia, ya que mediante la inferencia estadística

se obtienen generalizaciones y se toman decisiones en base a una información

parcial o completa obtenida mediante técnicas descriptivas.

Y es precisamente de esta posibilidad de tomar decisiones y plantear teorías de

donde proviene el atractivo y la seducción de esta rama de la estadística que

tratamos en este Tomo II.

Como de costumbre, el énfasis en la presentación de estos temas se basa en dos

premisas insoslayables: Un lenguaje llano y un uso mínimo de las matemáticas.

Esperamos, entonces, que el lector pueda ingresar y recorrer sin obstáculos este

mundo fascinante de la estadística inferencial que tanto convive con nosotros.

Para finalizar, deseo expresar que nuestra aspiración es que los alumnos y pro-

fesionales de las ciencias del comportamiento entiendan cómo se trabaja en la

inferencia estadística y no que sepan trabajar en esta especialidad.

Tal área es de competencia del profesional estadístico, que para ello estudia to-

da una carrera, pero cuando surge la necesidad de desarrollar un análisis infe-

rencial, ambos profesionales, el estadístico y el no estadístico, tienen que en-

tenderse y comprender cómo se ha de trabajar y qué expresan los resultados en

términos probabilísticos. Cuando ello se logra, la estadística inferencial puede

ser comprendida y utilizada en cualquier área del conocimiento.

Este es, simplemente, el objetivo de este segundo tomo.

Espero que lo disfruten tanto como yo al escribirlo.

Y ahora sí, nos despedimos, repitiendo lo expresado en el final del prefacio del

primer tomo: Dado que vivimos en la era de la comunicación, y la edición vir-

tual lo permite, recibiremos muy gustosos cualquier observación o sugerencia,

la cual dará lugar a conocer a un nuevo amigo/a y entablar un diálogo construc-

tivo.

Cordialmente,

Alberto Adriano Alonso

La Plata, otoño de 2015

http://www.anticiparconsultoria.com

[email protected]

Agradecimiento

Les dedico esta obra a todos los que me quieren y confían en mí.


CONTENIDO

Unidad Tema Página

XIII ESTADÍSTICA INFERENCIAL Y MUESTREO 1

Estadística inferencial 1

Muestreo 4

Muestreo no aleatorio 4

Tipos de muestreo no aleatorio 5

Muestreo por cuotas 5

Muestreo intencional o de juicio 7

Muestreo casual o incidental 7

Muestreo bola de nueve 8

Características del muestreo no aleatorio 8

Marco de muestreo 9

Muestreo aleatorio o probabilístico 11

Tipos de muestreo aleatorio 12

Muestreo aleatorio simple 12

Muestreo aleatorio sistemático 13

Muestreo aleatorio estratificado 13

Muestreo aleatorio por conglomerados 15

Ventajas y desventajas en el muestreo aleatorio 16

Inicios del muestreo aleatorio 19

Muestreo aleatorio mediante tablas de números aleatorios 20

Muestreo con o sin reemplazo 24

Error de muestreo 25

Errores no muestrales 26

Anexo XIII.1. Tabla de números aleatorios 31

Anexo XIII.2. Glosario de términos utilizados en muestreo 35

XIV PROBABILIDAD

Probabilidad, matemáticas y lógica 41

Concepto de probabilidad 43

Probabilidad y certeza 44

Sucesos deterministas 44

Sucesos aleatorios o estocásticos 45

Cálculo de probabilidades. Lógica y empirismo 45

Probabilidad a priori 46

Evento o suceso 47

Probabilidad a posteriori 48

Taxonomía de los eventos, según su ocurrencia 52

Eventos mutuamente excluyentes 52


Eventos no excluyentes 53

Taxonomía de los eventos, según su interrelación 53

Eventos independientes 53

Eventos dependientes 54

Eventos colectivamente exhaustivos 55

Tipos de eventos y probabilidad de ocurrencia 55

Dominio de la probabilidad 57

La paradoja del pronosticador 58

Cálculo de la probabilidad 58

Regla de la suma para eventos alternativos 59

Regla de la suma para múltiples eventos 62

Regla de la suma para eventos colectivamente exhaustivos 62

Regla del producto para eventos de ocurrencia conjunta o sucesi-va

64

Escenarios para la probabilidad conjunta o sucesiva 65

Primer escenario. Regla del producto para eventos mutuamente

excluyentes 65

Segundo escenario. Regla del producto para eventos independien-

tes 66

Regla del producto para múltiples eventos independientes 67

Tercer escenario. Regla del producto para eventos dependientes 68

Regla del producto para múltiples eventos dependientes 69

Aplicación secuencial de las reglas de la suma y del producto 71

XV DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 73

Distribuciones de probabilidad 74

Distribuciones de probabilidad discretas 74

Distribuciones de probabilidad continuas 75

Graficación de las ddistribuciones de probabilidad 75

Distribución binomial 78

Utilización de las tablas binomiales 81

Tabla binomial puntual 81

Tabla binomial acumulada 83

Distribución normal o gaussiana 86

Aproximación normal a la distribución binomial 90

Teorema del límite central o teorema central del límite 91

Distribución de Poisson 92

Características de la distribución de Poisson 94

Comparación del valor de los parámetros para las tres distribucio-nes

97

Distribución multinomial 97


Anexo XV.1. Tabla para la distribución binomial, puntual 101

Anexo XV.1.1. Tabla para la distribución binomial, acumulada 114

Anexo XV.2. Tabla de áreas bajo la curva normal 126

Anexo XV.3. Tabla para la distribución de Poisson, puntual 138

Anexo XV.3. 1. Tabla para la distribución de Poisson, acumulada 148

XVI DISTRIBUCIONES MUESTRALES 159

Distribución muestral de medias 160

Propiedades de la distribución muestral de medias 161

Primera propiedad de la distribución muestral de medias 162

Segunda propiedad de la distribución muestral de medias 162

Tercera propiedad de la distribución muestral de medias 163

Error estándar de la media 163

Teorema central del límite 168

Algunas consideraciones útiles 178

Distribución muestral de proporciones 179

Distribución muestral de diferencias de estadísticos 185

Distribución muestral de la diferencia de medias 186

Distribución muestral de la diferencia de proporciones 189

XVII ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN PUNTUAL

Y POR INTERVALOS DE CONFIANZA 195

Estimación estadística 195

La estimación. Un requerimiento de la inferencia estadística 196

El proceso inferencial y la estimación puntual 197

Propiedades de un estimador 199

Insesgamiento 199

Eficiencia o varianza mínima 201

Coherencia o Consistencia 202

Suficiencia 203

El proceso inferencial y la estimación por intervalos de confianza 203

Intervalo de confianza para la media 207

Intervalo de confianza paras las proporciones 212

XVIII TAMAÑO MUESTRAL 217

Tamaño de la muestra 218

Criterios de inclusión y de exclusión 220

Errores en la conformación de la muestra 221

Nivel de confianza y error 222

Nivel de significancia y su relación con el nivel de confianza 223

Significancia e importancia 224


Cálculo del tamaño de la muestra 225

Cálculo del tamaño de la muestra para estimar una proporción 225

Cálculo del tamaño de la muestra para estimar una media 229

IXX CONTRASTES DE HIPÓTESIS 235

Hipótesis

Proceso de elaboración de la hipótesis 236

Etapas del trabajo experimental 238

Hipótesis y variables 239

Tipos de pruebas 241

Tipos de hipótesis 243

Directrices para el establecimiento de las hipótesis 244

¿Verdad cierta o verdad probabilística? 245

¿Y si estadísticamente ambas hipótesis no se confirman? 245

Errores en la decisión 246

Errores y nivel de significación 247

El proceso de decisión y su relación con el nivel alfa 248

¿Por qué cuando evaluamos el resultado de un experimento, eva-

luamos la hipótesis nula y no la experimental? 249

Contraste de hipótesis. Unilaterales y bilaterales 250

Contraste de hipótesis. Unilaterales y bilaterales 252

Potencia 252

Efecto y efecto real 253

Relación entre la potencia y beta 254

Relación entre la potencia y alfa 254

Variabilidad de la potencia 255

Nivel de significación estadística 255

Tamaño de la muestra a estudiar 255

Tamaño del efecto a detectar 256

Variabilidad de la respuesta estudiada 258

Planteo de contrastes de hipótesis 258

Contraste para la media de una población normal con varianza

poblacional conocida 258

Contraste para la media de una población normal con varianza

poblacional desconocida 260

Caso de muestras grandes 260

Caso de muestras pequeñas 260

Contraste de hipótesis para la igualdad de medias de dos pobla-

ciones normales 261


ciones normales 261



ciones normales con varianzas poblacionales conocidas 262

Contraste de hipótesis para la igualdad de medias de dos pobla-ciones normales con varianzas poblacionales desconocidas pero

iguales

262

Contraste para distribuciones binomiales 264

Contraste para el parámetro p de una distribución binomial 264

Contraste para la igualdad de los parámetros de dos distribuciones

binomiales 265

XX PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS. PRUEBA DEL SIGNO 267

Diseño experimental 268

Desarrollo de la prueba 269

Definición de las hipótesis 271

Características de la prueba 272

Evaluación del experimento con diseño de medidas repetidas me-diante la distribución binomial

272

Evaluación de la cola de la distribución 273

XXI PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS. LA PRUEBA U DE

WILCOXON-MANN-WHITNEY 275

La prueba de Wilcoxon-Mann-Whitney, para muestras pequeñas 279

La prueba de Wilcoxon-Mann-Whitney, para muestras grandes.

Aproximación normal 283

Anexo XXI. Valores críticos de la prueba u de Mann-Whitney 291

XXII PRUEBAS PARAMÉTRICAS. PRUEBA Z 293

Prueba Z para la media. Muestra única 295

Prueba Z para la media, cuando desconocemos sigma 300

Prueba Z para la proporción 300

Prueba Z para la media. Dos muestras 302

Muestras independientes y dependientes 303

Comparación de medias de dos poblaciones independientes 303

Comparación de medias de dos poblaciones relacionadas 305

Comparación de proporciones de dos poblaciones 308

Prueba Z para la diferencia de dos proporciones 308

XXIII PRUEBAS PARAMÉTRICAS. PRUEBA t DE STUDENT 313

Distribución muestral de t 315

Grados de libertad 315


La distribución Z y las distribuciones t. Parecidas pero distintas 317

Prueba t para una única muestra 318

Requisitos para la aplicación de la prueba t a una única muestra 319

Intervalos de confianza para la media poblacional en la prueba t 321

Prueba t de Student para dos grupos 323

Prueba t de Student para dos grupos relacionados 323

Requisitos para la prueba t a dos grupos relacionados 324

Comparación de la prueba t con la prueba del signo 327

Prueba t de Student para grupos independientes 328

Anexo XXIII.1. Valores críticos de la distribución t de Student 333

Anexo XXIII.2. ¿Qué significan los grados de libertad? 335

XXIV EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS Y LA DIFERENCIA EN-

TRE VARIAS MEDIAS. EL ANÁLISIS DE VARIANZA 347

Fundamentos del análisis de varianza 348

Las sumatorias de cuadrados 351

¡La estadística facilitadora o abajo las diferencias! 354

La media cuadrática como media ponderada 357

La F de Fisher 359

La investigación utilizando ANOVA 360

Etapas del proceso de validación de la hipótesis nula mediante el factor F de Fisher

360

La prueba F de Fisher para dos muestras 361

Diferencias significativas entre las medias. El test de Tukey 361

Análisis de la varianza con dos factores 363

Anexo XXIV.1. Valores críticos de la distribución F 367

Anexo XXIV.2. Valores críticos de la distribución con rango de

Student (Q) 375

XXV

OTRAS PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS: CHI CUADRA-

DO; MEDIANA; WILCOXON; KRUSKAL-WALLIS;

FRIEDMAN

379

Prueba chi cuadrado (2) de Pearson 380

Prueba chi cuadrado (

2) . Prueba de independencia entre dos va-

riables 386

La corrección de Frank Yates para frecuencias esperadas peque-ñas

391

Acerca de la corrección de Yates 392


Prueba de la mediana para dos muestras independientes 393

Prueba de rangos señalados y pares igualados de Wilcoxon para

muestras pequeñas 395

Análisis de varianza en una dirección por rangos de Kruskal-Wa-

llis 402

Análisis de varianza por rangos en dos direcciones o prueba de

Friedman 406

Resumen de las características y requisitos de aplicación 410

Anexo XXV.1. Distribución 2 413

Anexo XXV.2. Valores críticos de t para la prueba de signos de

Wilcoxon 417

Bibliografía 419


1 | P á g i n a

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Proverbio popular

UNIDAD XIII

ESTADÍSTICA INFERENCIAL Y MUESTREO1

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

La estadística inferencial o inductiva trata de llegar a conclusiones que sobre-

pasan el alcance de los datos analizados, es decir, se trata de técnicas que se

emplean para inferir o deducir características desconocidas a partir de un con-

junto de datos conocidos, apoyándose fundamentalmente en el cálculo de pro-

babilidades.

Por inferir se entiende sacar alguna consecuencia de algo que nos interesa o

deducir una cosa a partir de otra.

Como en general resulta imposible examinar la población entera de los fenó-

menos que estudiamos, la construcción de leyes y teorías se tiene que apoyar

en datos muestrales. A partir de unos pocos datos conocidos, es decir, los que

surgen de la muestra, se trata de obtener información de la población total, y

1 Fuente de la imagen: http://blog.yasabe.com/es/manualidades-con-botones-20140905/

http://blog.yasabe.com/wp-content/uploads/sites/4/2014/08/7221906-botones-de-muchos-colores-sobre-un-fondo-blanco.jpg


2 | P á g i n a

esto es lo que hace la estadística inferencial apoyándose en el cálculo de pro-

babilidades, como hemos mencionado anteriormente.

La estadística inferencial se basa por lo tanto en la estadística descriptiva, ya

que la inferencia o deducción de las propiedades de la población entera se deri-

va de las características de la muestra que es analizada con las técnicas de la

estadística descriptiva. En realidad, su campo de acción es más amplio. Pode-

mos decir que:

La inferencia estadística es una técnica mediante la cual se ob-

tienen generalizaciones o se toman decisiones en base a una in-

formación parcial o completa obtenida mediante técnicas descrip-

tivas.

A tal fin, la Estadística Inferencial comprende un conjunto de métodos y pro-

cedimientos diseñados para inferir las propiedades de una población estadística

utilizando la inducción, y comprende las siguientes etapas:

a) Planteamiento del problema

Cualquier cuestión de inferencia estadística se inicia con la fijación de los obje-

tivos que deben responder a algunos aspectos fundamentales, tales como:

Definir los parámetros de la población que nos interesan, según las ca-

racterísticas que deseamos estudiar.

Analizar si existe correspondencia entre la muestra extraída y la pobla-

ción de la cual proviene.

En esta etapa se deben definir con la mayor precisión posible la población, las

características a estudiar, las variables a utilizar, etc.

b) Elaboración de un modelo

En caso de establecer un modelo teórico, se replantea el procedimiento y se

llega a una conclusión lógica. También se puede utilizar un diseño experimen-

tal para obtener información de una pequeña parte de la población. Los posi-

bles modelos a utilizar no son otra cosa que distribuciones de probabilidad.

c) Extracción de la muestra

En esta etapa se utiliza alguna técnica de muestreo o un diseño experimental

para obtener información de esa pequeña parte de la población. Además se de-

pura la muestra, se eliminan o minimizan los errores, se tabulan los datos y se


3 | P á g i n a

calculan los parámetros que serán necesarios en pasos posteriores, como la me-

dia muestral, la varianza muestral, proporciones, etc. Esta etapa es típica de la

estadística descriptiva

d) Tratamiento de los datos

El tratamiento de los datos, ya es una etapa típica de la estadística inferencial

pues utilizando determinadas técnicas se realiza una predicción sobre cuáles

podrían ser los parámetros de la población.

e) Contraste de hipótesis

El contraste de hipótesis es una técnica que permite simplificar el modelo ma-

temático en estudio. Frecuentemente el contraste de hipótesis recurre al uso de

estadísticos muestrales.

f) Conclusiones

Se critica el modelo y se hace un cotejo o comparación. Las conclusiones obte-

nidas en este punto pueden servir para tomar decisiones o efectuar prediccio-

nes.

El estudio puede comenzar de nuevo a partir de este momento, en un proceso

cíclico que permite conocer cada vez mejor la población y las características de

estudio. El diagrama siguiente ilustra lo expresado:


4 | P á g i n a

MUESTREO

Como hemos de ver, el muestreo es una parte muy importante de esta segunda

parte de la Estadística Aplicada que ha dado en llamarse Estadística Inferen-

cial, y que desarrollaremos en este segundo tomo.

Hasta ahora, en el tomo anterior, hemos venido hablando extensamente de

muestras. Vimos sus propiedades, las formas de caracterizarlas y muchas cosas

más.

Llega ahora el momento de comenzar a hablar un poco de cómo se confecciona

una muestra.

Las muestras se construyen o elaboran mediante técnicas de muestreo que pue-

den ser aleatorias o no aleatorias.

Una técnica de muestreo es aleatoria cuando el procedimiento para su selección

asegura que cada miembro de la población haya tenido la misma oportunidad

que el resto de ser elegido o escogido. A contrario sensu, la muestra será no

aleatoria.

Ambas técnicas de muestreo, las aleatorias y las no aleatorias, abarcan una se-

rie de procedimientos que podemos ver en el cuadro XIII.1

Cuadro XIII.1. Técnicas de muestreo aleatorio y no aleatorio

Veremos a continuación las características de cada procedimiento de mues-

treo.

MUESTREO NO ALEATORIO

Es aquél para el que no puede calcularse la probabilidad de seleccionar a cada


5 | P á g i n a

individuo de una determinada muestra. Por tal motivo a este tipo de muestreo

también se lo conoce como no probabilístico. Las unidades muestrales no se

seleccionan al azar, sino que son elegidas por el responsable de realizar el

muestreo. Se busca seleccionar a individuos que se juzga de antemano, tienen

un conocimiento profundo del tema bajo estudio, por lo tanto, se considera que

la información aportada por esas personas es vital para la toma de datos.

Estos muestreos comparten las características siguientes:

• La selección de la muestra no es al azar, se basa en el criterio del inves-

tigador.

• No se pueden incluir, por lo tanto, ecuaciones de probabilidad, ya que

no aplica ninguna teoría de dicha disciplina.

• En consecuencia, no pueden calcularse ciertos datos como el margen de

error o el nivel de confianza.

• El costo de dichos muestreos es más bajo, comparado con un muestreo

probabilístico.

Veremos ahora, los distintos tipos de muestreo no aleatorio

TIPOS DE MUESTREO NO ALEATORIO

Muestreo por cuotas

Para su utilización se requiere que el analista o el investigador posea un buen

conocimiento de la estratificación de la población que desea estudiar en base a

un muestreo. La estratificación es la conformación de grupos horizontales

componentes del todo, diferenciados verticalmente de acuerdo a ciertos crite-

rios establecidos y reconocidos.

Imaginemos que queremos efectuar un estudio sobre los estudiantes de una de-

terminada universidad. Dicha universidad, al igual que todas, posee distintos

estratos o capas. Entre algunos de ellos podemos mencionar:

Estrato por género.

Estrato por edades.

Estrato de cantidad de alumnos por años de estudio

Estrato de cantidad de alumnos por carrera.

Estrato de cantidad de alumnos por localización.

Estrato de cantidad de alumnos por condición económica.

Continúa…


6 | P á g i n a


7 | P á g i n a

La probabilidad de que los semáforos nos den luz roja,

es directamente proporcional al apuro que llevamos

Anónimo

UNIDAD XIV

PROBABILIDAD2

Una parte de la Estadística Inferencial está ligada al cálculo de las probabilida-

des, un área asombrosa y sorprendente que nos enseña que el azar es todo.

Los temas de muestreo aleatorio y de probabilidad son fundamentales para la

metodología de la Estadística Inferencial.

PROBABILIDAD, MATEMÁTICAS Y LÓGICA

En el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante en la histo-

ria de las matemáticas, que la ligaría desde entonces a la historia de la lógica.

Primero, George Boole3, un matemático británico que vivió entre 1815 y 1864

2 Fuente de la imagen: http://nuneznjaimer.mex.tl/frameset.php?url=/

Boole


8 | P á g i n a

en su libro Mathematical Analysis of Logic (Análisis

Matemático de la Lógica) trató de presentar la lógica

como parte de las matemáticas en algo que hoy se

conoce como Lógica Booleana. Poco después Gottlob

Frege, un matemático y filósofo alemán que vivió en-

tre 1848 y 1925, intentó mostrar que la aritmética era

parte de la lógica en su libro Die Grundlagen der

Arithmetik (Fundamentos de la Aritmética). Sin em-

bargo, Georg Cantor, un ma-

temático alemán que vivió entre

1845 y 1918, dio un paso impor-

tantísimo en la historia de las matemáticas y de la lógica,

incluso adelantándose a Frege en su fundamentación lógi-

ca de la aritmética, y creó entre 1878 y 1897 una nueva

disciplina matemática: la teoría de conjuntos.

Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por

sus contemporáneos.

Desde entonces los debates en el seno de la teoría de con-

juntos, han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse estrechamente co-

nectados con importantes cuestiones lógicas.

Según la definición de conjunto de Cantor, éste es

―una colección en un todo de determinados y distin-

tos objetos de nuestra percepción o nuestro pensa-

miento, llamados los elementos del conjunto‖.

Es indiscutible el hecho de que la teoría de conjun-

tos es una parte de las matemáticas y que es,

además, la teoría matemática dónde fundamentar la

aritmética y el resto de teorías matemáticas. Es

también indiscutible que es una parte de la lógica.

Con la introducción de la teoría de los conjuntos, la

enseñanza de las matemáticas cambió sustancialmente. Sin embargo, si bien

para el estudiante de ciencias matemáticas, la teoría de los conjuntos resulta

apasiónate, no estamos tan seguros acerca de si lo mismo sucede con los estu-

diantes del colegio secundario.

En la actualidad, muchos tratados de ciencias probabilísticas están basados en

la teoría de los conjuntos y para los estudiantes de ciencias sociales, resulta en

extremo difícil de entender.

3 Fuente de la imagen: http://wintablet.info/2012/06/gracias-george/

Cantor


9 | P á g i n a

Tal estudiante necesita, entonces, comprender la probabilidad mediante un cri-

terio de lógica, si entendemos por lógica a la ciencia que estudia las formas y

las leyes generales que rigen el pensamiento humano.

Actuar con lógica es una forma de correspondencia con lo razonable, es decir

aplicar nuestra capacidad de razonar para actuar con el sentido común que toda

persona tiene.

Dentro de este contexto, aparece la lógica matemática, que es una parte de la

lógica que emplea en sus operaciones los métodos y el simbolismo de las ma-

temáticas.

Como dijimos, la Lógica estudia la forma del razonamiento y, en este contexto,

la Lógica Matemática es la disciplina que trata los métodos de razonamiento.

En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar

si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Ma-

temáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante pa-

ra realizar cualquier actividad en la vida.

En este sentido queremos que el estudiante de ciencias sociales y del compor-

tamiento, entienda la teoría de las probabilidades en la medida y extensión con

que la ha de tener que utilizar en su profesión.

Por lo tanto, en este estudio de la probabilidad, no utilizaremos de las matemá-

ticas más que las operaciones básicas y el resto será solo razonamiento y senti-

do común.

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

Desde el sentido común, la probabilidad es la condición de probable y la po-

demos asociar con todo aquello que no es totalmente seguro de suceder y que,

por ende, está gobernado por la incertidumbre. Una incertidumbre que está li-

gada a nuestro desconocimiento acerca de lo que ha de ocurrir en el futuro.

Desde un punto de vista más matemático, la probabilidad de un suceso4, es

igual al cociente entre el número de casos que pueden ser favorables y el núme-

ro total de casos posibles (favorables + desfavorables).

Como siempre la cantidad de casos favorables es menor a la cantidad de casos

posibles, la probabilidad siempre es menor que uno y mayor que cero:

0 < p < 1 [Fórmula XIV.1]5

4 Suceso: Cada uno de los resultados de un fenómeno o experiencia aleatoria. Es sinónimo de

evento. 5 En este libro utilizaremos las letras p y P, en forma indiferente, para indicar la probabilidad


10 | P á g i n a

Probabilidad y certeza

La incertidumbre en la ocurrencia de algo, se contrapone con la certeza, es de-

cir la seguridad en la ocurrencia de ese algo.

Dijimos que la probabilidad estaba dada por un número mayor que cero y me-

nor que uno. Por el contrario, la certeza, tiene solo dos valores: 0 y 1.

Cero, es la certeza acerca de la imposibilidad total de que algo ocurra y uno es

la certeza o seguridad total en la ocurrencia del suceso. Por ejemplo:

la probabilidad de que al arrojar una moneda salga cara o ceca es 1/2 ó

0,5 (50%). Se trata de un valor mayor que cero y menor que uno.

La probabilidad de que al arrojar una moneda, salga cara o seca, es

igual a 1. Es una certeza total pues cara y seca son las dos únicas opcio-

nes de caer que tiene la moneda.

La probabilidad de que al arrojar una moneda al aire, esta quede volan-

do, es igual a cero. Debido a la ley de gravedad, es totalmente imposi-

ble que una moneda flote en el aire.

Entonces, un valor de uno, nos indica la certeza total de ocurrencia de un suce-

so y un valor de cero, nos indica la certeza total del que tal suceso no ha de

ocurrir. En la tabla siguiente se muestran algunas certezas.

Ejemplo Certeza Después del verano llega el otoño 1 Vivir 300 años 0 Las montañas están sobre el nivel del mar 1 Mantenerse con vida bajo el agua, sin respiración artificial 0 Durante un terremoto, las capas de tierra vibran 1 Que un automóvil naftero funcione sin combustible 0 A temperaturas mayores de 100 grados Celsius , el agua se evapora 1

SUCESOS DETERMINISTAS

Desde el punto de vista de la ocurrencia de los fenómenos de la ciencia, el de-

terminismo es una posición filosófica que sostiene que dicha ocurrencia no es

casual ni se produce al azar, sino que obedece a leyes naturales y causales y es

debida a la actuación de factores específicos.

Los sucesos o experimentos deterministas, son los experimentos o sucesos de

los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.


11 | P á g i n a

Ejemplos:

Si hoy es lunes, mañana será martes.

Si en este momento es de día, más tarde será de noche.

Si a un avión se le rompe el sistema de propulsión, caerá.

Cuando a un líquido se le suministra constantemente calor, entrará en

ebullición.

Si arrojo un dado de seis caras, saldrá un número entre 1 y 6.

Si juego a la ruleta, saldrá un número entre 0 y 36.

También, podemos decir que un experimento o fenómeno es determinista, si se

obtiene el mismo resultado cada vez que se repite el experimento en las mis-

mas condiciones.

SUCESOS ALEATORIOS O ESTOCÁSTICOS6

Son aquellos en los que no se puede predecir su resultado, ya que éste depende

solo del azar.

Ejemplos:

Si lanzamos una moneda al aire, no sabemos de antemano si saldrá cara

o ceca.

Si lanzamos un dado, tampoco podemos determinar el resultado que

vamos a obtener.

Si abrimos un libro, sin mirarlo, no sabemos en qué página se abrirá.

Si vamos al hipódromo desconocemos qué caballo ganará en una carre-

ra honesta.

Otra definición, expresa que un experimento aleatorio o estocástico es el que

puede producir resultados diferentes en las mismas condiciones.

CÁLCULO DE PROBABILIDADES. LÓGICA Y EMPIRISMO

Existen dos formas temporales de calcular la probabilidad, que son conocidas

como: Probabilidad a priori o probabilidad lógica o racional y Probabilidad …

Continúa…

6 Estocástico, del latín stochasticus, que a su vez procede del griego στοχαστικός, "hábil en

conjeturar‖. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Estoc%C3%A1stico


12 | P á g i n a


13 | P á g i n a

Es una verdad muy cierta que, cuando no esté a nuestro alcance

determinar lo que es verdad, deberemos seguir lo que es más probable.

Descartes7, en su Discurso del Método

8

UNIDAD XV

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD9

Los valores de una variable sirven para describir o clasificar individuos o dis-

tinguir entre ellos.

Por ejemplo si digo que X es la variable altura y el valor de X para Ernesto es

1,85 metros, sin duda nos imaginamos a Ernesto como un muchacho alto. En-

tonces, la variable altura, nos sirve para describir a los integrantes de una

7 René Descartes (La Haye, Turena francesa,31 de marzo de 1596 - Estocolmo, Suecia, 11 de

febrero de 1650), también llamado Renatus Cartesius, fue un filósofo, matemático y físico

francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así co-

mo uno de los nombres más destacados de la revolución científica. Fuente:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes 8 El Discurso del método (Discours de la méthode en francés), cuyo título completo es Discur-

so del método para conducir bien la propia razón y buscar la verdad en las ciencias (Discour de

la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences) es la principal

obra escrita por René Descartes y una obra fundamental de la filosofía occidental con implica-

ciones para el desarrollo de la filosofía y de la ciencia.

Se publicó de forma anónima en Leiden (Holanda) en el año 1637. Constituía, en realidad, el

prólogo a tres ensayos: Dióptrica, Meteoros y Geometría; agrupados bajo el título conjunto de

Ensayos filosóficos. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Discurso_del_m%C3%A9todo 9 Fuente de la imagen: http://imagej.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/bpd.htm


14 | P á g i n a

muestra. con respecto a sus alturas. La mayoría de nosotros hacemos algo más

que simplemente describir, clasificar o distinguir, porque tenemos ideas respec-

to a las frecuencias relativas de los valores de una variable. En estadística de-

cimos que la variable tiene una función de probabilidad, una función de densi-

dad de probabilidad o simplemente una función de distribución.

Las distribuciones de probabilidad están relacionadas con la distribución de

frecuencias y, por tal motivo, podemos pensar en la distribución de probabili-

dad como una distribución de frecuencias teórica. Una distribución de frecuen-

cias teórica es una distribución de probabilidades que describe la forma en que

se espera que varíen los resultados. Debido a que estas distribuciones tratan so-

bre expectativas de que algo sucederá, resultan ser modelos útiles para hacer

inferencias y tomar decisiones de incertidumbre.

Podemos decir, entonces, que los objetivos de las distribuciones de probabili-

dad son:

a) Introducir las distribuciones de probabilidad que más se utilizan en la

toma de decisiones.

b) Mostrar qué distribución de probabilidad podemos utilizar, y cómo en-

contrar sus valores.

c) Entender las limitaciones de cada una de las distribuciones de probabi-

lidad que utilicemos.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Una distribución de probabilidades indica toda la gama de valores que pueden

ocurrir como resultado de un experimento, en el caso que éste se llevase a ca-

bo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento pueda suceder en el fu-

turo y, por tal motivo, constituye una herramienta fundamental para la prospec-

tiva, dado que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros consi-

derando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Las variables descriptas anteriormente nos generan distribuciones de probabili-

dad, las que pueden ser:

Discretas, o

Continuas

a) Distribuciones de probabilidad discretas

Las características de esta distribución, son:

a.1. Es generada por una variable aleatoria discreta (X).


15 | P á g i n a

a.2. Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma X

deben ser mayores o iguales a cero. P (Xi) ≥ 0

a.3. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valo-

res que toma X debe ser igual a 1. P (Xi) = 1

b) Distribuciones de probabilidad continuas

Las características de esta distribución, son:

b.1. Es generada por una variable aleatoria continua (X).

b.2. Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma X

deben ser mayores o iguales a cero. P (Xi) ≥ 0.

Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá

tomar solo valores mayores o iguales a cero.

b.3. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores

que puede adoptar X debe ser igual a 1. P (Xi) = 1.

Dicho de otra manera, el área definida bajo la función de densidad de probabi-

lidad deberá ser unitaria (igual a 1).

Hasta ahora todos los ejemplos que hemos visto en las unidades anteriores fue-

ron para calcular la probabilidad de ocurrencia de un determinado evento.

Veremos, ahora, como aplicamos el cálculo de probabilidades a lo que se co-

noce como distribuciones de probabilidad, sean estas continuas o discretas. La

distribución de probabilidad de una variable aleatoria, es una función que asig-

na a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que di-

cho suceso ocurra o no. Esta distribución de probabilidad está definida sobre el

conjunto de todos los sucesos, donde cada uno de los sucesos es el rango de va-

lores de la variable aleatoria y está completamente especificada por la función

de distribución, cuyo valor para cada valor de la variable aleatoria X, es la pro-

babilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que X.

GRAFICACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Si representamos gráficamente la probabilidad de nacimiento de un niño o de

una niña en un mismo parto, o la salida de cara o ceca en el lanzamiento de una

única moneda o de la salida de un tres o un cinco en el lanzamiento de un único

dado, siempre la probabilidad de éxito y de fracaso, como se denomina en es-

tadística a los casos contrarios, es la misma. Se trata de lo que se conoce como

sucesos equiprobables y su graficación sería del siguiente tipo:


16 | P á g i n a

Gráfico XV.1. Probabilidad de nacimiento de un niño o una niña

Supongamos ahora que queremos graficar la probabilidad de nacimiento de:

ningún machito o un machito o dos machitos o tres machitos o cuatro machitos,

en un parto múltiple (cuatro gatitos) de una gatita siamesa. El gráfico XV.2,

nos muestra como sería tal distribución de probabilidades

Gráfico XV.2. Probabilidad de nacimiento de 0, 1, 2, 3 ó 4

gatos machitos en un parto único de cuatro gatitos.

Sabemos que la probabilidad de que nazca un gato color venus, es mus baja. Si

quisiéramos graficar cual es la probabilidad de que en un hospital veterinario,

donde nacen 20.000 gatos por año, un día determinado nazcan entre 0 y 7 gati-


17 | P á g i n a

tos color venus, obtendríamos un gráfico como el 4.3.

Gráfico XV.3. Probabilidad de que en un día determinado nazcan entre 0 y 7 gatitos color venus

Y si quisiéramos graficar el peso de los mil gatos adultos que se encuentran in-

ternados en de un determinado hospital veterinario, el gráfico sería similar al

histograma que se muestra en la figura XV.4

Gráfico XV.4. Peso de mil gatos adultos

Pero, si (hipotéticamente) quisiéramos representar el peso de todos los gatos de

una ciudad, tendríamos un gráfico con forma de campana como el que nos …

Continúa…


18 | P á g i n a


19 | P á g i n a

Mientras no haya una distribución

equitativa de la riqueza, no habrá paz.

Elena Ochoa10

UNIDAD XVI

DISTRIBUCIONES MUESTRALES 11

Una distribución muestral es la distribución formada por estadísticos o valores

determinados obtenidos de muestras, tales como medias, desviaciones estándar,

etc., acompañados de sus respectivas frecuencias absolutas o relativas o en

forma de proporciones o probabilidades.

Las muestras aleatorias extraídas de una población son, por naturaleza, distin-

tas, dado que es bastante improbable que dichas muestras, aunque sean del

mismo tamaño, tengan las mismas medias o desviaciones estándar.

Entonces, si partimos del hecho de que las diversas muestras extraídas de una

misma población tendrán estadísticos distintos, tales estadísticos se podrán dis-

tribuir a través de una distribución de frecuencias. Además, como los valores

de X o de S, varían de una muestra a otra, se los puede considerar como va-

10

Elena Fernández-Ferreiro López-Ochoa, conocida por Elena Ochoa (Orense, 24 de septiem-

bre de 1958), es una editora y comisaria de arte contemporáneo española. Fuente:

http://es.wikipedia.org/wiki/Elena_Ochoa 11 Fuente de la imagen: http://alwaysimages.es/i/distribucion/


20 | P á g i n a

riables aleatorias. La figura XVI.1 ilustra lo explicado

Figura XVI.1

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS

Las muestras aleatorias obtenidas de una población son, por naturaleza propia,

impredecibles. Por tal motivo, no se esperaría que dos muestras aleatorias del

mismo tamaño y tomadas de la misma población tengan la misma media mues-

tral o que sean completamente parecidas. Puede esperarse que cualquier es-

tadístico, como la media muestral, calculado a partir de las medias en una

muestra aleatoria, cambie su valor de una muestra a otra y, por ello, se quiere

estudiar la distribución de todos los valores posibles de un estadístico. Tales

distribuciones serán muy importantes en el estudio de la estadística inferencial,

porque las inferencias sobre las poblaciones surgirán a partir de estadísticos

muestrales. Mediante el análisis de las distribuciones asociadas con los estadís-

ticos muestrales, podremos juzgar la confiabilidad de un estadístico muestral

como un instrumento para hacer inferencias sobre un parámetro poblacional

desconocido.

Como los valores de un estadístico, tal como X , varían de una muestra aleato-

ria a otra, se le puede considerar como una variable aleatoria con su corres-

pondiente distribución de frecuencias.

La distribución de frecuencias de un estadístico muestral se denomina distribu-

ción muestral. En general, la distribución muestral de un estadístico es la de

todos sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño.


21 | P á g i n a

Ejemplo XVI.1

Supongamos que un profesor de estadística que está explicando la unidad de

muestreo, le solicita a 100 de sus alumnos, como trabajo práctico, realizar una

encuesta sobre la cantidad de días de vacaciones que los alumnos de la univer-

sidad se han de tomar durante el año siguiente. Cada alumno debe realizar el

muestreo mediante una técnica de muestreo aleatorio simple. Como resultado,

cada uno de ellos debe responder sobre la cantidad de días que, en promedio,

han de vacacionar los integrantes de su muestra.

Los resultados de los promedios de las cien muestras son los que se muestran

en la Tabla XVI.2. Si efectuamos el histograma de esta distribución, el mismo

tendría la forma de la Figura XVI.2.

La forma de esta figura no hace más que confirmar la principal propiedad de la

distribución muestral de medias que veremos más adelante. El concepto de dis-

tribución muestral de medias es el siguiente:

―Esta distribución proporciona todos los valores que puede adoptar la media,

junto con la probabilidad de obtener cada valor si el muestreo es aleatorio‖

Tabla XVI.2. Datos muestrales del ejemplo XVI.1

Media, en días Fi

Media, en días Fi

30 1 17 8 29 1 16 8 28 1 15 8 27 2 14 7 26 2 13 5 25 3 12 5 24 3 11 3 23 4 10 3 22 4 9 2 21 4 8 2 20 5 7 2 19 7 6 1 18 8 5 1 ∑ Fi = 100

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS

Algunas de las propiedades o características más importantes de la distribución

muestral de medias, son:


22 | P á g i n a

Primera propiedad de la distribución muestral de medias

―La distribución muestral de medias de un conjunto grande de muestras aleato-

rias se aproxima a una curva normal‖. Ver Figura XVI.2.

Figura XVI.2. Histograma de la distribución de la Tabla XVI.2.

Es decir que, como muestra la figura XVI.3, a medida que aumenta el tamaño

de la muestra, la distribución muestral de medias se aproxima a la curva normal

de la población con una media igual a y una desviación estándar igual a:

Xn

Figura XVI.3

Segunda propiedad de la distribución muestral de medias

―Si calculamos la media de todas las medias obtenidas por muestreo, la media


23 | P á g i n a

de esta distribución de medias es la verdadera media de la población‖

Tercera propiedad de la distribución muestral de medias

―La deviación estándar de la distribución muestral de medias es menor que la

desviación estándar de la población. Vemos en la figura XVI.4, que la distribu-

ción de medias, al tener una menor desviación estándar que la desviación

estándar poblacional, resulta más empinada que la distribución poblacional‖.

Figura XVI.4. Comparación de las desviaciones entre la distribución

de medias y la distribución poblacional.

ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA

Cuando estudiamos la curva normal, vimos la relación entre los datos en bruto,

la media y la desviación estándar, que se conformaba a través de un puntaje

estándar ―Z‖, que nos permitía efectuar afirmaciones probabilísticas acerca de

tales datos en bruto.

Ahora, en esta nueva curva normal, los datos en bruto son lo que se daría en

llamar medias muestrales en bruto y, trabajando de manera similar, podemos

efectuar afirmaciones de probabilidad referidas a tales medias muestrales.

Los parámetros que utilizaremos para caracterizar a la distribución muestral de

medias, serán los siguientes:

Media de la distribución muestral de medias

Desviación estandar de la distribución muestral de mediasX

X

Continúa…


24 | P á g i n a


25 | P á g i n a

Libertad. Loada de sabios, deseada de muchos y

cantada de poetas, para cuya estimación

todo el oro y las riquezas de la tierra

es poco precio.

Mateo Alemán12

UNIDAD XVII

ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALOS DE CONFIANZA13

ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

Por estimación entendemos a una parte de la estadística inferencial que estudia

las técnicas utilizadas para proporcionar el mejor pronóstico de un parámetro o

12 Mateo Alemán y de Enero (Sevilla, septiembre de 1547 - México,1614 ) es un escritor espa-

ñol del Siglo de Oro conocido fundamentalmente por la novela picaresca Guzmán de Alfara-

che, publicada en dos partes, en 1599 y 1604, que estableció y consolidó los rasgos caracterís-

ticos de dicho género. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Mateo_Alem%C3%A1n 13

Fuente de la imagen: http://www.amazon.com/Introduction-Estimation-Hypothesis-

Statistical-Modeling/dp/0123869838/ref=sr_1_9?s=books&ie=UTF8&qid=1422101101&sr=1-

9&keywords=statistical+estimation


26 | P á g i n a

variable, a partir de datos empíricos o de estadísticos

Su finalidad, es proporcionarnos las herramientas necesarias para poder deter-

minar buenas aproximaciones -a las que llamaremos estimaciones- de aquellos

valores desconocidos de la población -a los que técnicamente se les denomina

parámetros- y que estamos interesados en conocer.

La estimación es un procedimiento por el que se estima un parámetro u otro va-

lor de una población utilizando datos incompletos procedentes de muestras.

Los problemas de inferencia pueden dividirse en dos grandes grupos:

Problemas de contraste de hipótesis

Problemas de Inferencia

Puntual

Problemas de estimación

Por intervalos

Ambos son bastante similares, ya que cada uno de ellos se ocupa de problemas

relacionados al valor de algún parámetro a partir de la información previa que

poseemos.

En la estimación puntual, lo que se obtiene es un único valor de un estadístico

que luego se utiliza para estimar un parámetro. El estadístico utilizado a tal fin,

se denomina estimador.

Por su parte, la estimación por intervalos de confianza, consiste en hallar un

rango de valores, generalmente de ancho finito, del cual se espera que contenga

al parámetro en cuestión.

LA ESTIMACIÓN. UN REQUERIMIENTO DE LA INFERENCIA ES-

TADÍSTICA

El conjunto de métodos estadísticos que permite deducir o inferir cómo

se distribuye la población en estudio o las relaciones estocásticas entre

varias variables de interés a partir de la información que nos proporciona

una muestra, se conoce como inferencia estadística. Una inferencia es-

tadística que está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de con-

clusión acerca de las características poblacionales representadas por uno o más

parámetros.

A tal fin, el investigador debe obtener datos muestrales de cada una de las po-

blaciones en estudio. De esta manera, las conclusiones pueden estar basadas en


27 | P á g i n a

los valores calculados de varios estadísticos muestrales. Por ejemplo, si repre-

sentamos con (parámetro) el verdadero promedio de la salinidad de la arena

de las playas de Las Grutas, podríamos tomar una muestra aleatoria de 10 sec-

tores de la costa de Las Grutas, elegidos al azar, para determinar la salinidad de

cada una de ellas. Posteriormente, calcularíamos la media muestral de la salini-

dad X , la cual se podrá emplear para sacar una conclusión acerca del mejor

pronóstico del valor de . De forma similar, si s2 es la varianza de la distribu-

ción de salinidad, el valor de la varianza muestral s2

se podría utilizar para infe-

rir algo acerca de 2

.

Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia, es conve-

niente trabajar con un parámetro genérico identificado por un símbolo, tam-

bién, genérico. En estadística inferencial, se acostumbra identificar a ese pará-

metro genérico con la letra griega theta ( ). Como dijimos, una estimación

puntual de un parámetro resulta en un único valor que se puede considerar

como el valor más razonable de . La estimación puntual se obtiene al selec-

cionar un estadístico apropiado y calcular su valor a partir de datos de la mues-

tra dada. El estadístico seleccionado se llama estimador puntual de y en ge-

neral se presenta como una fórmula.

Entonces ˆ X se interpreta como ―el estimador puntual14

de es la media

muestral X ‖. Por ejemplo, en vez de decir ―la estimación puntual de es

4,25‖, en términos matemáticos se puede expresar como ˆ 4,25

EL PROCESO INFERENCIAL Y LA ESTIMACIÓN PUNTUAL

En este contexto, la meta de la estimación puntual

consiste en atribuir un único valor, llamado estima-

ción, que represente el valor más razonable o el mejor

pronóstico del parámetro poblacional . Si la muestra

es representativa de la población, podemos esperar

que los estadísticos calculados a partir de las muestras

tengan valores semejantes a los parámetros poblacio-

nales. Por ejemplo, volviendo al caso de las arenas

playeras de Las Grutas15

, los datos muestrales podrían

14 El símbolo ^ se conoce como acento circunflexo o circunflejo. Es muy utilizado en muchos

idiomas, como el portugués, por ejemplo ―Bênção‖ que significa bendición.

15 Las Grutas. Río Negro. Argentina. Fuente de la imagen:

http://www.panoramio.com/photo/54234634

http://www.panoramio.com/photo_explorer


28 | P á g i n a

ser16

:

Muestra Salinidad

dS/m17

1 4,3

2 4,5

3 3,9

4 4,0

5 4,6

6 4,1

7 3,95

8 4,25

9 4,7

10 4,3

Xi 42,5

X 4,25

Entonces, el valor calculado de la media muestral es razonable considerarlo

como un buen pronóstico de .

Ejemplo XVII.1

El Coltán no en sí mismo un mineral, sino que es un aglomerado del que se ex-

traen tantalio y niobio. El Coltán se ha transformado en el mineral del siglo

XXI y es conocido como el mineral azul, aunque su color es negro.

El tantalio es un superconductor, resistente a los ácidos y con un altísimo punto

de fusión. Es un elemento clave en la miniaturización de todo tipo de compo-

nentes electrónicos. Por su parte, el niobio, también llamado columbio, se em-

plea en superaleaciones que resisten altísimas temperaturas, como las utilizadas

para fabricar turbinas de aviones, pero también se está usando en la creación de

los nuevos ordenadores cuánticos.

Supongamos que las diversas muestras de Tantalio presentan distintas densida-

des y se desea saber cuál podría ser la densidad más representativa del tantalio.

Las densidades de 10 muestras de tantalio arrojaron los siguientes valores:

16 Los valores no son reales. 17 dS/m = deciSiemens por metro. Valor de la conductividad utilizado para medir la salinidad

de los suelos.


29 | P á g i n a

Densidad del Tantalio en gr/cm3

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 16,6 16,8 16,4 16,7 16,3 16,5 16,2 16,9 16,7 16,6

su media, es:

165,716,57 16,6

10

iXX

n

Por lo tanto, la densidad más representativa para el tantalio, será:

ˆ 16,6

Resumiendo:

Media de la población de Tantalio = desconocida

Estimador: media muestral X (Media muestral)

Estimación de 316,6 gr/cm

Debemos tener en cuenta que no siempre ˆ ya que ˆ es función de las Xi

muestrales, por lo que es en sí misma una variable aleatoria y, por ende:

ˆ error de estimación

.

En estas circunstancias, un estimador preciso será aquel que produzca sólo pe-

queñas diferencias de estimación, de modo que los valores estimados se acer-

quen al valor verdadero de la mejor forma. Surge de esto, que la estimación no

consiste simplemente en transformar el valor de un estadístico en una estima-

ción del parámetro correspondiente sino, también, en hacerlo bien.

Podemos utilizar como estimadores de la media de la población otros estadísti-

cos de tendencia central, como la moda o la mediana, pero no todos los estima-

dores son apropiados. Los estimadores deben satisfacer ciertos requisitos y, por

esta razón, interesa conocer sus propiedades a fin de utilizar los que sean ade-

cuados según las circunstancias de la estimación.

PROPIEDADES DE UN ESTIMADOR

Continúa…


30 | P á g i n a


31 | P á g i n a

La grandeza de un hombre

se mide por el tamaño de sus pensamientos.

Pedro Manero18

UNIDAD XVIII

TAMAÑO MUESTRAL19

Determinar el tamaño de una muestra representa una parte primordial del

método científico –que a su vez se basa en el método hipotético deductivo− pa-

ra poder llevar a cabo una investigación.

Recordemos que habíamos definido al muestreo como una técnica para recoger

el conjunto de observaciones necesarias para estudiar la distribución de deter-

minadas características de una población, a partir de la observación de una par-

te o subconjunto de la misma, a la que denominábamos muestra.

18 Pedro Manero (Cariñena, Zaragoza, 1599 - Tarazona, 5 de diciembre de 1659): sacerdote

franciscano español, ministro general de la Orden y Obispo de Tarazona. Fuente:

www.wikipedia.org 19 Fuente de la imagen: http://www.dissertationwriting.biz/dissertation-writing-tips/how-to-

determine-the-sample-size-required-in-your-dissertation/


32 | P á g i n a

Esa relación entre la población, la elección de la muestra y su tamaño es un

punto álgido para la buena consecución de los objetivos de la Estadística Infe-

rencial.

El cálculo del tamaño de la muestra es uno de los aspectos a llevar a cabo en

las fases previas a la investigación y condiciona, de alguna manera, el grado de

credibilidad o confiabilidad que finalmente concederemos a los resultados así

obtenidos.

Al definir el tamaño de la muestra, deberemos procurar que la misma sea re-

presentativa, válida y confiable y, al mismo tiempo, que nos represente un

mínimo costo. Por lo tanto, el tamaño de la muestra estará delimitado no solo

por motivos estadísticos, tales como los objetivos del estudio y las característi-

cas de la población, sino, además, por motivos prácticos y económicos, tales

como los recursos y el tiempo de que se disponga.

TAMAÑO DE LA MUESTRA

Definir el tamaño de una muestra es determinar la cantidad de individuos que

formarán parte de la misma, con el fin de llevar adelante algún estudio de in-

vestigación.

Uno de los conflictos que a menudo se presenta cuando se va a encarar un pro-

yecto de investigación es el relacionado con:

La cantidad de individuos que se van a incluir en el estudio, según los

criterios de inclusión y exclusión.

Las características que han de poseer tales individuos.

La metodología que se utilizará para la elección de los mismos.

Sabemos que analizar a toda la población, que sería la manera más exacta de

conocer lo que se pretende estudiar es, en la práctica, una tarea casi imposible.

Entre los motivos que lo impiden, podemos mencionar:

Falta de tiempo.

Escasez de recursos humanos.

Escasez de recursos económicos.

Dificultad cuasi logística para acceder a todos los sujetos.

Etc.

Es por ello que siempre debemos estudiar solo a una parte de ellos para, poste-

riormente, inferir los resultados obtenidos a toda la población.


33 | P á g i n a

Por lo tanto, cuando se habla de sujetos de estudio, se ha de diferenciar clara-

mente entre población, muestra e individuo.

Aunque estos conceptos ya han sido definidos varias veces a lo largo de este li-

bro y, también, en el tomo I de esta obra, por ser primordiales en el estudio de

la Estadística, entendemos que ahora el lector estará en mejores condiciones de

entender los mismos en todo su alcance.

Población: Es el conjunto de elementos o individuos que reúnen las ca-

racterísticas que se pretenden estudiar. Cuando el investigador conoce

la cantidad de individuos que la componen, se dice que la población es

finita y, a contrario sensu, que es infinita.

Existen tres niveles de población, según su tamaño y accesibilidad:

Población diana o población blanco: Es el conjunto de elementos o

individuos al cual se pretenden inferir los resultados obtenidos, es

decir, el grupo de individuos hacia el cual está proyectado el estudio.

Generalmente, es muy numerosa y no está al alcance de los investi-

gadores.

Población accesible: Es la que reúne las mismas características que

la anterior, pero con una menor cantidad de individuos y, por lo tan-

to, es susceptible de ser estudiada y analizada. En general, es la que

delimita el investigador con los criterios de inclusión y exclusión.

Población de estudio: es aquella de la que realmente se recogen los

datos. Es un subgrupo de la población accesible.

Veremos ahora, nuevamente, el concepto de muestra:

Muestra: Es el grupo de individuos que realmente se estudiará y, por

ende, es un subconjunto de la población. Para que los resultados que de

ella se deriven puedan inferirse hacia la población, debe ser representa-

tiva de la misma. Para ello, se han de definir con claridad los criterios

de inclusión y exclusión y, sobre todo, se han de utilizar las técnicas de

muestreo apropiadas para garantizar dicha representatividad.

Finalmente, el concepto de individuo es el siguiente:

Individuo: Es cada uno de los integrantes de la población o muestra en


34 | P á g i n a

los que se estudiarán las características de interés determinadas por los

objetivos del estudio. Normalmente, el número de individuos de la

muestra se representa con la letra (n) y el número de sujetos de la po-

blación, con la letra n en mayúscula (N).

Tras la definición de las características de la población a través de los criterios

de inclusión y exclusión, se ha de decidir si se estudia a toda la población o −en

caso de que esta sea demasiado grande− a un número de sujetos representati-

vos, que no han de ser ni pocos ni demasiados, sino simplemente los necesa-

rios.

CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y DE EXCLUSIÓN

Hemos dicho, al hablar de la conformación de la muestra representativa, que,

entre otras cosas, debía cumplir con los criterios de inclusión y de exclusión.

Estos criterios son los que determinan las reglas de ingreso al trabajo de inves-

tigación. Veamos cuál es el significado de cada uno de ellos:

Criterios de inclusión: Conjunto de propiedades cuyo cumplimiento

identifica a un individuo que pertenece a la población en estudio. Su

objetivo es delimitar a la población. Cuanto más rígidos sean estos cri-

terios, más pequeña será la población a la cual se extrapolen los resul-

tados.

Criterios de exclusión: Conjunto de propiedades cuyo cumplimiento

permite identificar a los individuos que deben ser excluidos del trabajo

de investigación, aunque cumplan con los requisitos de inclusión. Se

trata de un conjunto de propiedades cuyo cumplimiento identifica a un

individuo que, por sus características, podría generar sesgo en la esti-

mación de la relación entre variables o un aumento de la varianza de las

mismas. Su objetivo es reducir los sesgos, y aumentar la eficiencia y

eficacia en la estimación.

Se debe tener en cuenta que, tal como surge de las definiciones de ambos crite-

rios, estos no resultan opuestos entre sí, sino, más bien, complementarios.

A modo de ejemplo, imaginemos un ensayo en el cual se va a efectuar una eva-

luación de carácter médico sobre el efecto de ciertos fármacos sobre una de-

terminada enfermedad. En este contexto, los criterios de inclusión y exclusión

son aquellos que se van a seguir para admitir o no a los voluntarios para parti-

cipar en el estudio. Hay muchas razones por las que estos criterios son necesa-


35 | P á g i n a

rios. Entre los criterios de inclusión genéricos en este tipo de ensayos, podría-

mos citar:

Edad: mayor de 30 años.

Género: sin limitaciones.

Diagnóstico sobre padecimiento de la citada enfermedad durante el año

anterior al del ensayo.

Pacientes internados durante un periodo mayor de 3 meses en centros

asistenciales situados como máximo a 50 km de un punto determinado.

Entre los criterios de exclusión, podríamos tener:

Presentar signos de sensibilidad a la droga en estudio.

Mujeres embarazadas.

Personas con padecimiento de otras enfermedades importantes.

Personas mayores de 70 años y menores de 30 años.

Personas fumadoras (más de 10 cigarrillos diarios).

Personas con incapacidad para tomar decisiones. Está relacionado, por

ejemplo, con la decisión de participar de un experimento médico.

Pacientes con HIV (Por seguridad para el personal que interviene en la

investigación).

ERRORES EN LA CONFORMACIÓN DE LA MUESTRA

En general, en estos tipos de investigaciones, lo que se busca es la estimación

de parámetros o contraste de hipótesis, por lo que se hace una inferencia, es de-

cir, se trasladan los datos obtenidos de la muestra a la población de la cual se

ha extraído la misma. Resulta evidente que, al hacerlo, se pueden cometer

errores, que básicamente pueden ser de dos tipos:

Error aleatorio.

Error sistemático o sesgo.

El error aleatorio es el error derivado de trabajar con muestras. Está relaciona-

do …

Continúa…


36 | P á g i n a


37 | P á g i n a

La ciencia a veces mejora las hipótesis y otras veces las refuta,

pero probarlas es otra cuestión, y esto tal vez no se produzca jamás

salvo en el reino de la tautología totalmente abstracta.

Gregory Bateson20

UNIDAD IXX

CONTRASTES DE HIPÓTESIS21

HIPÓTESIS

En cualquier proceso de investigación, el punto de partida o de inicio del estu-

dio es el planteamiento del problema. Tan es así que ese momento es conside-

rado como un hito fundamental pues nos permitirá identificar sus marcos de re-

ferencia. Sin embargo, a veces es difícil diferenciar lo primero de lo segundo y

aquí sucede algo parecido.

El establecimiento de la hipótesis de trabajo que señale holísticamente lo que

se desea demostrar es tan importante como el primer paso que hemos reseñado.

Después, pareciese que la clasificación es más sencilla ya que una vez plantea-

20 Gregory Bateson (Grantchester, Reino Unido, 9 de mayo de 1904 — San Francisco, Estados

Unidos, 4 de julio de 1980) antropólogo, científico social, lingüista y cibernético cuyo trabajo

se interseca con muchos otros campos intelectuales. Fuente:

http://es.wikipedia.org/wiki/Gregory_Bateson 21 Fuente de la imagen: https://www.youtube.com/watch?v=cSTgNQ9tU90

http://es.wikipedia.org/wiki/Grantchester

http://es.wikipedia.org/wiki/Reino_Unido

http://es.wikipedia.org/wiki/9_de_mayo

http://es.wikipedia.org/wiki/1904

http://es.wikipedia.org/wiki/San_Francisco_(California)

http://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidos

http://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidos

http://es.wikipedia.org/wiki/4_de_julio

http://es.wikipedia.org/wiki/1980

http://es.wikipedia.org/wiki/Antrop%C3%B3logo

http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_sociales

http://es.wikipedia.org/wiki/Ling%C3%BC%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Cibern%C3%A9tica


38 | P á g i n a

da la hipótesis llega el momento de elegir el método de investigación más con-

veniente donde se realizarán las pruebas correspondientes para tratar de demos-

trar la veracidad y obtener una posible solución al problema planteado.

Según el profesor Jorge Zamorano García22

: ―Para un proyecto de investiga-

ción se considera una hipótesis aquella o aquellas guías específicas de lo que

se está investigando, aquello que el investigador está buscando y que será el

nuevo conocimiento o, también, todo aquello que una vez concluido se podrá

probar. Pueden considerarse, también, como predicados tentativos o frases del

fenómeno o cosa investigada, pero que solo proponen algo, es decir, su carac-

terística esencial es que ya terminadas (las hipótesis) no deben ni de afirmar ni

de negar el fenómeno o cosa que se está investigando, recordar que las hipóte-

sis se van a confrontar al final; el proyecto de investigación con las conclusio-

nes que son el resultado del proyecto.

No perder de vista que elaborar la hipótesis es tan importante o aun más que

cualquier otra de las partes del proceso investigativo, pues algunos autores la

consideran como el eslabón que interconecta lo investigado con lo esperado y,

sin ella, no existe una relación entre lo que nos hace desarrollar una idea so-

bre un tema o cosa (y saber el ¿Por qué? de ella) y saber cuál es el resultado,

desarrollando un proceso cognitivo investigativo. Alguien diría: saber la rela-

ción entre causa y efecto.

La hipótesis es aquella que se basa en una presunción de algo de lo investiga-

do, o puede la posibilidad de que algo se descubra o se crea de ése fenómeno o

cosa; al final son frases o enunciados que tratan sobre lo que se está investi-

gando, no son verdaderas y al final pueden o no comprobar los hechos investi-

gados, pero no por ello dejan de ser un elemento dentro del proceso de inves-

tigación; pues, ya sea que en las conclusiones se afirme, se niegue, se confir-

me, se rechace, se dé la razón o contradiga lo vertido como texto en la hipóte-

sis, ése resultado sigue siendo ciencia o conocimiento científico nuevo‖.

PROCESO DE ELABORACIÓN DE LA HIPÓTESIS

La hipótesis es el planteamiento anticipado de una conjetura o suposición que

se pretende demostrar mediante una investigación. Es una suposición admitida

como provisional y que sirve de punto de partida para una investigación cientí-

fica. Esta demostración, por ejemplo, se puede realizar a través de un conjunto

de pasos, como los siguientes:

22 Jorge Zamorano García es Secretario de la Academia de Investigación de la Universidad

Autónoma del Estado de Hidalgo, en México. Cita:

http://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa4/n1/m9.html


39 | P á g i n a

1. Planteamiento concreto del problema a resolver: Consiste en plante-

ar precisa y completamente el problema que se trata de resolver, la pro-

blemática a solucionar, y las opciones supuestas que se hayan identifi-

cado de éste.

2. Anticipación de la suposición que se quiere llegar a demostrar: Es

el concepto supuesto que se anticipa y se quiere llegar a comprobar o

desaprobar mediante una aplicación de los métodos de investigación

elegidos.

3. Verificación de los hechos a través de métodos de observación: Para

ello se deben examinar todos los elementos y datos usados para fórmu-

lar la hipótesis, a fin de asegurarse de que la suposición se puede expli-

car con las observaciones que se realicen para demostrarla.

4. Evaluación y predicción de nuevas observaciones: Es la confirma-

ción de los conocimientos y las suposiciones que se presume que suce-

derán. Si llegan a ocurrir durante la observación de los elementos y da-

tos, se comprueba la hipótesis, aunque también puede ocurrir lo contra-

rio, que se refuten por la misma observación.

5. Experimentación con lo observado y comprobación de la suposición

por demostrar: Se trata de una observación intencional a través de la

cual se introducen en el desarrollo de un fenómeno uno o varios facto-

res artificiales, luego se compara el comportamiento de éstos contra los

resultados que se producirían sin ninguna intervención. Esto puede me-

dir la influencia del experimento con la realidad.

Comprobación de la hipótesis contra los resultados obtenidos

Del análisis a los resultados obtenidos de la experimentación, se deriva el cum-

plimiento de la más importante característica del método científico pues con su

aplicación se comprueba o refuta la hipótesis. Aunque dicha comprobación

siempre estará sujeta a ser validada nuevamente con experimentos posteriores,

otros descubrimientos, instrumentos mejorados o cualquier cambio que pueda

modificar o probar la hipótesis inicial.

Difusión de resultados

Una vez satisfecha la comprobación, o en su caso la refutación de la hipótesis,

la última parte del método científico consiste en difundir los resultados obteni-

dos. Si es necesario, también se incluirán los métodos y procedimientos utili-

zados en la investigación. Su propósito es plasmar las conclusiones por escrito

para que puedan ser expuestas, consultadas y sirvan como apoyo en investiga-

ciones afines.


40 | P á g i n a

ETAPAS DEL TRABAJO EXPERIMENTAL

Dado que nos estamos adentrando en el trabajo del investigador y que este se

está adueñando de muestras vidas cada vez con mayor frecuencia, entendemos

que resultará importante conocer cuáles son las etapas ineludibles de cualquier

procesos de investigación. Ellas son:

Aunque pareciese que lo que el investigador está buscando para poder confir-

mar su hipótesis es que los resultados del grupo experimental y los del de con-

trol no coincidan, toda investigación parte del supuesto de que el experimento

no ha funcionado.

Para que esto suceda, los dos conjuntos de valores obtenidos no deben diferir

entre sí. Dicho de otro modo, al iniciar el experimento se dice que la variable

independiente no afecta a la variable dependiente de la manera prevista. Esta

afirmación es la tan mentada hipótesis nula.

Pero, si existe una hipótesis nula, debe existir, por lógica, otra no nula. Se trata

de una hipótesis que representa el opuesto de la nula y se la conoce como hipó-

tesis alternativa.

Vamos a tratar de explicar esto de manera más campechana mediante la si-

guiente secuencia:

1. Al científico se le ocurre una idea que viene manejando desde hace

tiempo en su cabeza y la traduce en forma de una hipótesis experimen-

tal.

2. A continuación, comienza un experimento que tiene por obvia finalidad

comprobar su hipótesis.

3. Una vez recopilados los resultados, se hace necesario realizar un test o

implementar una técnica estadística para poder decidir si la hipótesis

experimental es correcta o debe ser desechada.

4. Que la hipótesis sea correcta significa que la variable independiente in-

fluye decididamente sobre la variable dependiente del modo previsto

por el investigador.

5. Supongamos que el investigador no sabe nada de Estadística y, para sa-

ber si su hipótesis es correcta o no, debe solicitar la ayuda de un es-

tadístico.

6. Aceptado el ofrecimiento, el estadístico solo necesita saber que repre-

sentan los numeritos que le ha acercado el investigador. Estos numeri-

tos pueden representar ciertas características de una persona, como su

peso en kilogramos, su altura en metros, su presión arterial en milíme-

tros de mercurio, la cantidad de palabras retenidas de la lectura de un

texto, el tiempo para ejecutar una tarea, etc. Son los datos obtenidos


41 | P á g i n a

7. También necesitará saber en qué medida estaban igualados el grupo ex-

perimental y el de control.

8. Por regla, al inicio de su tarea, el estadístico fórmula la hipótesis nula,

es decir, supone que ambos grupos, el experimental y el de control, no

difieren en sus resultados. Dicho de otra manera, que la variable inde-

pendiente no ha influido sobre la dependiente.

9. A continuación, comienza a analizar los valores y si, como resultado de

ello, los mismos parecen diferir, y, después de descartar que ello es de-

bido al azar, puede rechazar la hipótesis nula.

10. Este rechazo, obviamente le abre las puertas al ingreso de su contraria,

la hipótesis alternativa, que significa lisa y llanamente que la hipótesis

experimental puede ser confirmada.

11. Pero también puede suceder que los valores concuerden, con lo cual, la

hipótesis nula queda confirmada.

Cuando el estadístico le transmite sus conclusiones al investigador, este puede

tomar tres decisiones:

1. En caso de haberse comprobado la hipótesis nula, el investigador puede

concluir en que su hipótesis estaba equivocada y la descarta.

2. En caso de no haberse comprobado la hipótesis nula, es decir que se

hubiese comprobado la hipótesis experimental, el investigador puede

dar por comprobada su hipótesis.

3. Pero también puede darse el caso de que, a la luz de los resultados, el

investigador pueda percatarse de que había pasado por alto la influencia

de alguna otra variable. En este caso, el investigador desechará su hipó-

tesis de trabajo y quedará expedita la vía para una posterior fórmula-

ción.

Como conclusión, podemos definir a la hipótesis nula como la hipótesis es-

tadística de que no hay diferencia entre los grupos analizados.

HIPÓTESIS Y VARIABLES

Cuando un investigador decide iniciar un trabajo experimental, debe determi-

nar qué condiciones se han de manejar con el fin de tratar de demostrar sus ex-

pectativas.

A tal fin, deberá trabajar con dos grupos, uno llamado grupo experimental y

Continúa…


42 | P á g i n a


43 | P á g i n a

La ciencia es el cementerio de las hipótesis

Lee Smolin23

UNIDAD XX

PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS

PRUEBA DEL SIGNO24

Comenzaremos en esta unidad a estudiar y analizar algunas de las muchas

pruebas no paramétricas.

Recordemos que estas pruebas no necesitan suposiciones respecto a la compo-

sición de los datos poblacionales y por tal motivo, las mismas son de uso bas-

23 Lee Smolin (Nueva York, Estados Unidos, 1955) es un físico teórico dedicado al estudio de

la gravedad cuántica, la cosmología y la teoría cuántica.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Lee_Smolin 24 Fuente de la imagen: http://www.ccee.edu.uy/ensenian/licest/estnopar/index.htm


44 | P á g i n a

tante habitual en los siguientes escenarios:

1. Cuando no se cumplen las suposiciones requeridas por las pruebas pa-

ramétricas.

2. Cuando es necesario usar un tamaño de muestra pequeño y no es posi-

ble verificar que se cumplan ciertas suposiciones clave.

3. Cuando se necesita convertir datos cualitativos en información útil para

la toma de decisiones.

Existen muchos casos en los que se recogen datos medidos en una escala no-

minal u ordinal. Muchas aplicaciones de la vida diaria y comercial involucran

opiniones o sentimientos y esos datos son información cualitativa.

Sin embargo el uso de las pruebas no paramétricas se ve favorecido debido a

que estas tienen varias ventajas sobre las pruebas paramétricas, como ser:

1. Facilidad de uso y comprensión.

2. Se pueden usar con muestras pequeñas.

3. Se pueden usar con datos cualitativos.

4. No requieren de suposiciones restrictivas que sí las requieren las prue-

bas paramétricas.

Sin embargo, debemos tener presente al utilizarla que tienen algunas desventa-

jas, tales como:

1. En ocasiones ignoran, desperdician o pierden información.

2. Son menos eficientes que las paramétricas.

3. Llevan a una mayor probabilidad de no rechazar una hipótesis nula fal-

sa (incurriendo en un error de tipo II).

Finalmente, debemos tener en cuenta que, generalmente, las pruebas paramé-

tricas son más poderosas que las pruebas no paramétricas y deben usarse siem-

pre que sea posible. Es importante tener en cuenta, que aunque las pruebas no

paramétricas no hacen suposiciones sobre la distribución de la población que se

muestrea, muchas veces se apoyan en distribuciones muestrales como la nor-

mal o la ji cuadrada.

DISEÑO EXPERIMENTAL

Diseño de medidas repetidas

En general, cada prueba está asociada a un tipo de diseño experimental. Los di-


45 | P á g i n a

seños experimentales son aquellas técnicas en las que existe un control exigido

por la observación experimental y, muy especialmente, se trabaja con variables

activas o experimentales, susceptibles de manipulación, dosificación y, en su

caso, combinación.

Al diseño experimental que hemos de utilizar en el ejemplo siguiente se lo co-

noce como ―diseño de medidas repetidas o replicadas o correlacionadas‖. Este

diseño es un elemento incondicional de la investigación científica y ofrece una

forma menos complicada de realizar la comparación de los efectos de los tra-

tamientos sobre los participantes. Este tipo de diseño se caracteriza por:

Utilizar a los mismos individuos o sujetos. De este modo los mismos

individuos sirven como sujetos experimentales y sujetos de control. En

algunos casos se utilizan parejas de sujetos gemelos idénticos o sujetos

igualados de alguna otra forma.

Formar parejas con los resultados

Analizar las diferencias positivas o negativas entre las parejas, siguien-

do siempre el mismo orden.

Utilizar solo dos condiciones: experimental y de control.

Mantener a las dos condiciones en situaciones lo más semejantes posi-

bles, excepto por la variable independiente utilizada en cada grupo.

DESARROLLO DE LA PRUEBA

Es una de las pruebas no paramétricas más simples y la más antigua de todas,

pues está reportada en la literatura desde 1710 por

John Arbuthnot25

, quien hizo uso de este procedi-

miento, por primera vez, para demostrar que la pro-

porción de varones nacidos en Londres en un deter-

minado período de tiempo era significativamente

mayor que la proporción de mujeres. Se basa en los

signos que generan la diferencia de comparar los da-

tos en una población con respecto a su media, me-

diana o con respecto a otros datos tomados de la

misma población, presentándose así dos casos, el de

una muestra sencilla (una sola muestra) y el de una

muestra en pares. En el año 1945, fue desarrollado definitivamente por Frank

25 John Arbuthnot. 1667-1735. Médico inglés quien fue médico personal de la reina Ana. Rea-

lizó estudios de las proporciones de los sexos en los nacimientos. Fuente:

http://es.slideshare.net/lagavilanes/historia-de-la-estadstica-4674196


46 | P á g i n a

Wilcoxon26

. Elegimos esta prueba pues se sustenta en dos peculiaridades muy

importantes:

Es fácil de comprender.

Permite ilustrar de manera clara y sencilla los conceptos básicos rela-

cionados a las pruebas de hipótesis.

En esta prueba se ignora la magnitud de las diferencias entre los resultados del

experimento bajo distintas condiciones y solo se tiene en cuenta su dirección

que se manifiesta por medio del signo (+ ó -).

No sabemos, a ciencia cierta, el porqué del término ―dirección‖ utilizado en la

gran mayoría de los textos de estadística cuando en realidad el signo, desde un

punto de vista matemático, está relacionado no con la dirección sino con el sen-

tido. Para no contradecir a esta mayoría de autores clásicos seguiremos, con es-

ta salvedad, utilizando el término dirección.

Una de las grandes críticas a esta prueba, es que omite mucha información.

Es muy utilizada en estadística médica para analizar las reacciones o el com-

portamiento del paciente ante alguna droga. Aquí cada sujeto es estudiado bajo

dos condiciones.

Una condición llamada experimental, donde el paciente es tratado con la droga

en estudio y otra condición, llamada de control, donde el paciente no recibe la

droga en estudio sino un placebo27

. En ambos casos se mide alguna caracterís-

tica que sirve para estudiar el comportamiento del paciente frente a la droga.

Vamos a analizar la prueba del signo a través de un ejemplo.

Ejemplo XX.1

Supongamos que en un hospital público se elige una muestra aleatoria de 10

26 A él nos referiremos más ampliamente en la siguiente unidad. 27 El término placebo es aquel que se utiliza para designar en el campo de la medicina, más es-

pecíficamente la farmacología, a las sustancias que son inertes o inocuas y que sirven para ob-

servar el comportamiento del organismo ante determinados estímulos o circunstancias particu-lares. El placebo se puede suministrar de diferentes maneras y su utilidad principal es la de

permitir a los investigadores observar cómo el sistema cerebral de un individuo puede funcio-

nar ante su administración. En otras palabras, el placebo suele administrarse como un tipo de

medicación específica cuando en realidad su composición no supone ningún tipo de cura o alte-

ración al organismo. Ante la creencia de la persona de que está recibiendo la medicación apro-

piada, el placebo puede servir para generar cambios en la salud que se vinculan con el accionar

del cerebro y de la conciencia sobre la propia enfermedad.

Fuente: http://www.definicionabc.com/salud/placebo.php#ixzz3QhvCPCLI


47 | P á g i n a

pacientes obesos, los que están de acuerdo en participar de un experimento

La prueba se realiza durante los días lunes a sábado, inclusive. Los días lunes

martes y viernes los pacientes reciben solo comida.

El día miércoles los pacientes reciben una píldora que contiene la droga en

cuestión y el día sábado reciben una píldora de igual aspecto pero que no con-

tiene la droga, es decir que es un placebo. En ambos casos se mide la cantidad

de alimentos ingeridos el día miércoles (condición experimental) y el día sába-

do (condición de control). Supongamos que el resultado fue:

Paciente

Condición experi-

mental. Consume la

droga. Calorías in-

geridas (a)

Condición de con-

trol. Consume el

placebo.

Calorías ingeridas

(b)

Diferencia en

calorías:

(a) – (b)

Signo

1 1.275 1.389 - 114 -

2 1.341 1.567 - 226 -

3 998 1.345 - 347 -

4 1.378 1.576 - 198 -

5 1.219 1.308 - 89 -

6 1.076 1.000 +76 +

7 1.302 1.761 - 459 -

8 956 1.345 - 389 -

9 1.145 1.089 + 56 +

10 1.356 1.467 - 111 -

DEFINICIÓN DE LAS HIPÓTESIS

Dado que a través de este ejemplo trataremos de explicar los fundamentos y

desarrollo de esta prueba, no seremos muy estrictos en la formulación de las

hipótesis de trabajo. La hipótesis alternativa (H1), podría ser del tipo:

1. La droga afecta el apetito ( Bidireccional) o,

2. La droga disminuye el apetito (unidireccional)

En el primer caso, la (H0), sería:

1. La droga no afecta el apetito, y en el segundo caso:

Continúa…


48 | P á g i n a


49 | P á g i n a

La prueba de lo irracional es la experiencia

y la prueba de la experiencia es lo racional

Novalis28

UNIDAD XXI

PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS

LA PRUEBA U DE WILCOXON-MANN-WHITNEY29

En estadística, la prueba U de Mann-Whitney o de Wilcoxon-Mann-Whitney,

es una prueba no paramétrica con la cual se identifican diferencias entre dos

poblaciones basadas en el análisis de dos muestras independientes, cuyos datos

han sido medidos al menos en una escala de nivel ordinal. Es, de hecho, la ver-

sión no paramétrica de la habitual prueba t de Student.

Fue propuesta inicialmente, en 1945, por Frank Wilcoxon30

para el caso de ta-

28 Novalis (Castillo de Oberwiederstedt, Sajonia, en la actual Alemania, 2 de mayo de 1772 -

Weißenfels, 25 de marzo de 1801) fue un poeta alemán. Su nombre real era Georg Friedrich

Philipp Freiherr von Hardenberg. Se le suele encuadrar dentro del primer Romanticismo. Fuen-

te: http://es.wikipedia.org/wiki/Novalis 29 Fuente de la imagen: http://estadisticaydeporte.blogspot.com.ar/2011/10/nadadoras-de-

beijing-2008-mejores-las.html 30 Frank Wilcoxon (1892–1965) fue un químico y estadístico estadounidense conocido por el

desarrollo de diversas pruebas estadísticas no paramétricas.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Frank_Wilcoxon. Imagen:

http://4.bp.blogspot.com/-6qNQpqQYQZ4/TqV6FYmdUWI/AAAAAAAAAIU/jU-TqbRTawA/s1600/Atenas+vs+Beijing.jpg


50 | P á g i n a

maños muestrales iguales (n1 = n2) y extendida a muestras de distintos tamaños

por Henry B. Mann31

y Donald R. Whitney32

en 1947, quienes también propor-

cionaron las primeras tablas de U, para resolver la prueba en el caso de mues-

tras pequeñas.

Frank Wilcoxon Henry B. Mann Donald R. Whitney

http://en.wikipedia.org/wiki/Frank_Wilcoxon 31 Henry Berthold Mann (1905- 2000) fue un profesor de matemáticas y estadística en la Uni-

versidad Estatal de Ohio. Mann demostró la conjetura Schnirelmann-Landau en la teoría de números, y como resultado obtuvo el Premio 1946 Cole. Él y su aún estudiante, Donal Whit-

ney, desarrolló el Mann-Whitney Test de las estadísticas no paramétricas. Mann publicó el

primer libro de matemática en el diseño de experimentos Mann (1949). Traducido de:

http://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Mann. Imagen:

https://maikolsolis.wordpress.com/2012/04/08/convergence-probability-almost-surely-

continuous-mapping-

theorem/?relatedposts_hit=1&relatedposts_origin=2163&relatedposts_position=0 32 Donald Ransom Whitney (1915-2007), conocido por la famosa prueba estadística de Mann-

Whitney, nació en el este de Cleveland, Ohio, y celebró un BA de Oberlin College, una maestr-

ía en Matemáticas por la Universidad de Princeton, y un doctorado en Matemáticas por la Uni-

versidad Estatal de Ohio. Whitney se desempeñó como Presidente de Estadísticas durante los primeros ocho años de existencia del departamento, y continuó en el Departamento hasta su ju-

bilación. El profesor Whitney sirvió como consultor para varias empresas, especialmente tes-

timonió como testigo experto en casos de tasas de servicios públicos. Fue autor o coautor de

tres libros de texto de matemáticas y estadística. Fue nombrado becario de la Asociación Ame-

ricana de Estadística y la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia. Fuente: extrac-

tado y traducido de http://sections.maa.org/ohio/ohio_masters/whitney.pdf . Imagen:

http://www.portalaction.com.br/964-t%C3%A9cnicas-n%C3%A3o-param%C3%A9tricas

http://en.wikipedia.org/wiki/File:FrankWilcoxon.png


51 | P á g i n a

LA PRUEBA DE WILCOXON-MANN-WHITNEY, PARA MUESTRAS

PEQUEÑAS

Diseño experimental

Esta prueba está basada en un diseño experimental de grupos independientes,

en el cual los sujetos de una población previamente definida se eligen al azar y

luego, aleatoriamente tales sujetos se dividen en dos o más grupos. El caso más

sencillo resulta cuando se trabaja con dos grupos. No existen un criterio prede-

finido para la formación de los grupos de sujetos y cada uno de ellos realiza la

prueba solo una vez. Un grupo se denomina experimental y el otro de control.

Al analizar los datos, tampoco existe un criterio para la formación de las pare-

jas de datos, sino que se establece una comparación razonable de las diferen-

cias entre los puntajes de los grupos.

Esta prueba estadística, es útil cuando las mediciones se pueden ordenar en es-

cala ordinal (es decir, cuando los valores tienden a una variable continua, pero

no tienen una distribución normal) y resulta aplicable cuando las muestras son

independientes. El procedimiento es una buena alternativa cuando no se puede

utilizar la prueba t de Student, en razón de no cumplir con los requisitos que la

misma exige.

Desarrollo

La prueba se utiliza para contrastar las ordenaciones de dos muestras de obser-

vaciones con el fin de decidir si representan o no poblaciones diferentes.

La prueba consiste en calcular la U de Mann-Whitney y luego compararla con

la U de las tablas de Mann-Whitney con el fin de tomar una decisión acerca de

la hipótesis nula. Las fórmulas que se utilizan para calcular la U de cada mues-

tra, para el caso de dos muestras, son las siguientes:

1 1

1 1 2 1

1

2

n nU n n R [Fórmula XXI.1]

2 2

2 1 2 2

1

2

n nU n n R [Fórmula XXI.2]

Donde:

U1 y U2, son los valores de la U de Mann-Whitney para cada muestra.

n1= Tamaño de la muestra del grupo 1.

n2= Tamaño de la muestra del grupo 2.


52 | P á g i n a

R1= Rangos33

o posiciones dentro del grupo 1.

R2= Rangos o posiciones dentro del grupo 2.

Procedimiento:

El procedimiento consiste en ordenar por rangos las dos muestras, como si se

tratara de una única muestra (esto con el fin de determinar un rango para cada

observación) y luego se suman los rangos de cada muestra para culminar apli-

cando las ecuaciones precedentes. En forma ordenada, el procedimiento radica

en:

1. Determinar el tamaño de las muestras (n1 y n2). Si n1 y n2 son menores

que 20, se consideran muestras pequeñas, pero si son mayores que 20,

se consideran muestras grandes.

2. Ordenar los datos en ―rangos‖, del menor al mayor valor. En caso de

que existan empates de rangos iguales, se deberán detectar para un ajus-

te posterior.

3. Calcular los valores de U1 y U2, para luego elegir el menor de ellos para

comparar con los U críticos que surgen de las tablas respectivas (Ver la

tabla que figura en el Anexo XXI, al final de esta unidad).

4. Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis nula.

Ejemplo para muestras pequeñas

Un experimentador utiliza dos métodos para enseñar a soldar chapas de Zinc a

un grupo de 10 jóvenes del tercer año de una escuela industrial. El experimen-

tador quiere demostrar que el procedimiento ideado por él es más efectivo que

el tradicional. A tal fin, mediante un test de resultados mide la dureza, la elasti-

cidad y la ductilidad de la zona soldada.

El plan experimental preliminar consiste en elegir al azar tanto una muestra de

10 niños como el método por utilizar.

Elección de la prueba estadística.

El modelo experimental consta de dos muestras independientes. Las medicio-

nes revelan que no se satisfacen los requisitos para utilizar una media aritméti-

ca, en razón de que uno de los valores en cada muestra se aleja demasiado de

33

Aquí, el concepto de rango no es el que vimos al estudiar distribuciones de frecuencias, don-

de tenía el sentido de recorrido. En este caso, por rango se entiende el lugar que ocupa cada ob-

servación en una escala ordinal, teniendo en cuenta a tal fin, la existencia o no de puestos repe-

tidos.


53 | P á g i n a

las demás; por lo tanto, no corresponde a una escala de intervalo. Por tal moti-

vo se decide usar una escala ordinal.

Planteamiento de la hipótesis

Hipótesis alternativa (H1). Las calificaciones del grupo que ejecuta el

método alternativo son más altas que las observadas para el grupo que

ejecutó el método tradicional.

Hipótesis nula (H0). Las calificaciones del grupo que ejecuta el método

alternativo no son más altas que las observadas para el grupo que eje-

cutó el método tradicional. Por ende, las diferencias observadas entre

las calificaciones de ambos grupos se deben al azar.

Nivel de significación

Se decidió trabajar con un nivel de significación = 0,05.

Cantidad de colas

Teniendo en cuenta que la hipótesis alternativa es direccional, la evaluación es

de una cola.

Criterios de aceptación y rechazo

Para todo valor de Uobtenido menor o igual a Ucrítico se rechaza la H0 .

Para todo valor de Uobtenido mayor que Ucrítico se acepta la H0

Uobt. Ucrít.

Se rechaza la Hipótesis Nula (H0)

Uobt. > Ucrít.

Se acepta la Hipótesis Nula (H0)

Presentación de los datos

Método Calificaciones

Tradicional 80 85 25 70 90

Alternativo 95 100 93 110 45

Continúa…


54 | P á g i n a


55 | P á g i n a

Una hipótesis puede ser fructífera, no sólo para sus proponentes si no,

aún más, para conducir a otros nuevos avances.

Mario Bunge34

UNIDAD XXII

PRUEBAS PARAMÉTRICAS

PRUEBA Z35

PRUEBA Z

La prueba Z, se refiere a cualquier estadístico de prueba36

para el que la distri-

bución de tal estadístico bajo la hipótesis nula puede ser aproximada por una

distribución normal. Debido al teorema del límite central, muchas pruebas es-

tadísticas se corresponden aproximadamente a una distribución normal para

34 Mario Augusto Bunge (Florida Oeste, Buenos Aires, Argentina, 21/9/1919). Es un físico, filósofo, epistemólogo y humanista argentino. Bunge por encima de todo es un filósofo realista,

cientificista, materialista y sistemista, defensor del realismo científico y de la filosofía exacta.

Tras doctorarse en física y matemática en la Universidad Nacional de La Plata, fue profesor en

la UBA hasta 1962, cuando emigró a Canadá. Allí enseñó filosofía en la McGill University de

Montreal. 35

fuente de la imagen: http://definicion.de/hipotesis/ con intervención. 36 Estadístico de prueba: Es un valor, determinado a partir de la información de la muestra,

usado para decidir si debemos rechazar o no la hipótesis nula.

n ≥ 30

Varianza

Conocida


56 | P á g i n a

muestras grandes. Algo muy importante para esta prueba es que para cada nivel

de significación, la prueba Z tiene un único valor crítico (por ejemplo: 1,96 pa-

ra 5% y dos colas), que hace que sea más conveniente que la prueba de Student

que tiene valores críticos distintos para cada tamaño de la muestra. Por lo tanto,

muchas pruebas estadísticas pueden ser llevadas a cabo convenientemente co-

mo pruebas Z si el tamaño de la muestra es grande o la varianza de la pobla-

ción es conocida. Si la varianza de la población es desconocida (y por lo tanto

tiene que ser estimada a partir de la propia muestra) y el tamaño de la muestra

no es grande (n <30), la prueba t de Student puede ser más apropiada.

Los requisitos que tiene que cumplir la distribución para que pueda utilizarse la

prueba Z es que la varianza de la población sea conocida o que el tamaño n de

la muestra sea mayor o igual a 30.

La prueba Z puede ser utilizada en varias situaciones:

1. PRUEBA Z PARA UNA MUESTRA ÚNICA

1.1. PARA LA MEDIA: En vez de estimar el valor de un parámetro, a veces

se debe decidir si una afirmación relativa a un parámetro es verdadera o falsa.

Es decir, probar una hipótesis relativa a un parámetro o parámetros de una po-

blación. Cuando se supone que los parámetros de una población pueden haber

cambiado con el tiempo o por cualquier otra causa, se realiza una prueba con

muestra única. Se trabaja con datos numéricos.

Prueba Z

Muestra única

Para la Media

Para la proporción

Dos Muestras

Comparar medias

De poblaciones independientes

De poblaciones dependientes

Comparar proporciones


57 | P á g i n a

1.2. PARA LA PROPORCIÓN: Se utiliza cundo se requiere probar una hipó-

tesis acerca de la proporción de una población de valores ubicados dentro de

una categoría específica, en vez de probar la media poblacional. Se trabaja con

datos categóricos.

2. PRUEBA Z PARA DOS MUESTRAS

2.1. COMPARACIÓN DE MEDIAS: La comparación de medias se realiza

utilizando la distribución muestral de diferencias de medias.

2.1.1 COMPARACIÓN DE MEDIAS DE POBLACIONES INDEPEN-

DIENTES

Se requiere que las poblaciones que se comparan sean independientes entre sí.

2.1.2 COMPARACIÓN DE MEDIAS DE POBLACIONES DEPEN-

DIENTES

Cuando las poblaciones que se comparan son dependientes se dice que las po-

blaciones están relacionadas. Aquí se presentan dos modelos que utilizan datos

relacionados.

Caso a) En este modelo los individuos se aparean o emparejan de acuerdo a al-

guna característica.

Caso b) En este modelo se toman medidas repetidas para el mismo conjunto de

elementos o individuos. Por tal motivo los valores se presentan como Antes :

Después.

2.2. COMPARACIÓN DE PROPORCIONES: Se utiliza el método cuando

se requiere efectuar comparaciones entre las diferencias de proporciones de dos

muestras independientes.

PRUEBA Z PARA LA MEDIA. MUESTRA ÚNICA

Como dijimos, en vez de estimar el valor de un parámetro, a veces se debe de-

cidir si una afirmación relativa a un parámetro es verdadera o falsa. Es decir,

probar una hipótesis relativa a un parámetro de una población. Cuando se su-

pone que los parámetros de una población pueden haber cambiado con el tiem-

po o por cualquier otra causa, se realiza una prueba con muestra única.

La prueba de hipótesis para la media se utiliza cuando conociéndose la media

poblacional y la desviación estándar, se desea saber si una media muestral per-

tenece a dicha población. Es un método bastante utilizado en control de cali-

dad. Supongamos una máquina envasadora, sea de sólidos, como harina, arroz,

cereales, etc. o, de líquidos, como gaseosas, vinos, aceite, etc. La maquina se


58 | P á g i n a

programa para que el envase o la botella contenga una cantidad determinada

del producto.

Para saber si la maquina está funcionado adecuadamente, se toman muestras y

se calcula su media, la cual se contrasta con la media poblacional. Obviamente

la media muestral difícilmente coincida con la media poblacional, lo que se

desea saber si una media dada se puede considera que corresponde a la media

poblacional o no. En esta prueba, la media poblacional es conocida al igual que

su desviación estándar. En este caso, al conocerse , la distribución de mues-

treo adecuada es la distribución normal.

En la unidad XVI. al ver la distribución muestral de medias, vimos que el pun-

taje Z, era:

X

X

XZ

donde:

Xn

Reemplazando:

( )X X

X X nZ

n

La hipótesis nula, dice que todo funciona bien o que no han habido cambios, es

decir:

H0: X

La hipótesis alternativa, dice que la media muestral es distinta a la media po-

blacional, es decir que ha habido cambios:

H1: X

Veremos la aplicación de la prueba a través de un ejemplo.

Ejemplos para hipótesis alternativas bidireccionales (Dos colas)

Cuando utilizamos una hipótesis bidireccional, el intervalo de confianza se di-

vidía en dos partes iguales, la mitad para cada cola.


59 | P á g i n a

EJEMPLO XXII.1:

En una fábrica de envasado de cereales, se envasa maíz pisingallo en bolsas de

500 gr. Se conoce la desviación estándar que es de 23 gr.

El peso medio de una muestra de 25 unidades fue de 505 gr. A qué conclusión

llega con una hipótesis bidireccional de 0,05.

PASOS DESARROLLO

Preparación de la hipó-tesis nula y alternativa

La hipótesis nula dice que la media poblacional no ha

cambiado. Por ende: H0: =500

La hipótesis alternativa dice que la media poblacional no

es de 500 gr. Por ello: H1: 500

Seleccionar nivel de

significancia = 0,05

Determinar la distribu-ción muestral apropiada

y el estadístico de prue-

ba

Distribución Normal Estandarizada

.

( ) (505 500) 251,08

23

Xobt

X nZ

Determinar los valores

críticos Para (0,05; 2colas) Zcrit. = 1,96

Zona de rechazo de la

H0 - Zcrit. > Zobt. > Zcrit.

Zona de no rechazo de

la H0 - Zcrit. < Zobt.< Zcrit.

Continúa…


60 | P á g i n a


61 | P á g i n a

Aprender es descubrir que algo es posible

Fritz Perls37

UNIDAD XXIII

PRUEBAS PARAMÉTRICAS

PRUEBA t DE STUDENT

La distribución t de Student es una distribución de probabilidad asociada a la

distribución normal. Se utiliza cuando se quiere estimar la media de una pobla-

ción distribuida normalmente, pero la varianza poblacional es desconocida.

La historia del desarrollo de esta distribución de probabilidad es casi novelesca.

William Sealy Gosset38

era un matemático y químico inglés que después de

Friedrich Salomon Perls (8 de julio de 1893, Berlín, Alemania - 14 de marzo de 1970, Chicago,

Estados Unidos) conocido como Fritz Perls, médico neuropsiquiatra y psicoanalista, fue el

creador, junto con su esposa, Laura Posner, de la Terapia Gestalt. Debido a su origen étnico, y

a su vinculación con la Liga Antifascista,1 abandonó Alemania con la llegada del nazismo. Fu-

ente: http://es.wikipedia.org/wiki/Fritz_Perls 38 William Sealy Gosset (1876-1937). Estadístico británico. Empleado por la firma cervecera

Guinnes en Dublín, en 1.906 fue enviado por la empresa a trabajar con K. Pearson en el Uni-


62 | P á g i n a

terminar sus estudios comenzó a trabajar en las destilerías Guinness, la de las

famosas cervezas británicas39

, en el área de control de calidad.

Los bajos tamaños de muestra con los que habitualmente se le permitía trabajar

fueron los promotores de sus estudios y los que, finalmente, lo llevaron a des-

arrollar la distribución t. En 1908, cuando contaba con 32 años,

blicó el artículo ―el error probable de una media40

‖ en la revista

Biometrika, con el seudónimo de Student. El

motivo por el que Gosset utilizó tal seudóni-

mo, se refleja en varias versiones.

Una de ellas, y quizás la más difundida, es que

Guinness había sufrido anteriormente una fuga

de información por la publicación de un em-

pleado, por lo que prohibió a su plantilla publicar artícu-

los, independientemente de la temática del mismo. La

continuación de la historia depende de la fuente consulta-

da: algunas dicen que Gosset utilizó el seudónimo ―Stu-

dent‖ para que Guinness no descubriera que un empleado suyo había publicado

un artículo. Otras comentan que Gosset llegó a un acuerdo con la cervecera pa-

ra publicarlo (les convenció de que el contenido del artículo no sería útil para la

competencia), pero la empresa le pidió que usara un seudónimo para que el re-

sto de empleados no tuvieran conocimiento de dicha publicación.

Otra versión, que le sigue en credibilidad, dice que la utilización del seudónimo

Student se debió a que Guinness quería guardar en secreto que tenía a un es-

tadístico trabajando para ellos para que la competencia no tuviera constancia de

la ventaja industrial que estaba adquiriendo con ello. Todas estas cosas desvirt-

úan lo que muchos piensan que la estadística es algo aburrida.

Similarmente a lo que ocurre con la prueba Z, la prueba t de Student es aplica-

ble a tres escenarios:

Prueba t para una única muestra.

versity College de Londres, donde llevó a cabo sus principales contribuciones a la estadística,

publicadas bajo el pseudónimo de Student. Estudió el problema de la estimación para muestras

pequeñas, analizando la distribución del estadístico luego llamado t de Student. Fuente:

http://www.estadisticaparatodos.es/bibliografias/gosset.html. Fuente de la imagen:

http://es.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset 39 Fuentes de la imagen: http://www.idyllica.es/es/guinness.html 40 The Probable Error of a Mean. Author(s): Student. Source: Biometrika, Vol. 6, No. 1 (Mar.,

1908), pp. 1-25 Published by: Biometrika Trust.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:William_Sealy_Gosset.jpg

http://www.idyllica.es/media/catalog/product/cache/1/image/616x1600/9df78eab33525d08d6e5fb8d27136e95/c/e/cervesa_guiness_2.jpg


63 | P á g i n a

Prueba t para dos grupos relacionados.

Prueba t para dos grupos independientes.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE t

La distribución muestral de t, es una distribución de probabilidad de la totali-

dad de los valores que t puede adoptar si se consideran todas las posibles mues-

tras diferentes de tamaño fijo n, extraídas de la población de la H0. Esta distri-

bución proporciona:

los diferentes valores de t para muestras de tamaño n, y

la probabilidad de obtener cada uno de los valores si la muestra es alea-

toria, es decir extraída de manera aleatoria de la población de la hipóte-

sis nula.

Recordemos que la población de la hipótesis nula es el conjunto o conjuntos de

datos resultantes en el caso de que el experimento se realizase sobre toda la po-

blación y la variable independiente no tuviese ningún efecto. Se presentan va-

rias situaciones:

En el diseño de una muestra, es la población con conocida.

En el diseño de medidas replicadas, es la población de puntajes de dife-

rencia con D= 0 ó p= 0,5.

En un diseño de grupos independientes, existen tantas poblaciones co-

mo grupos y las muestras son muestras aleatorias extraídas de las po-

blaciones donde 1= 2= 3 =… = n.

Empíricamente, podemos deducir la distribución t considerando una población

específica de datos en crudo, extrayendo todas las posibles muestras diferentes

de tamaño n y calculando, para cada una de ellas, el valor de t.

Conocidos todos los valores de t, es muy sencillo calcular la probabilidad de

cada uno de ellos. Se puede ver que si la población de la hipótesis nula es nor-

mal, o bien si N > 30, la distribución t es muy similar a la distribución Z. Sin

embargo hay una gran diferencia: la distribución Z es única para cualquier ta-

maño de la muestra, mientras que la distribución t tiene tantas curvas como ta-

maños de la muestra o grados de libertad existan.


64 | P á g i n a

GRADOS DE LIBERTAD

Los grados de libertad41

de cualquier estadístico es la cantidad de datos que

pueden variar libremente al calcular dicho valor. Para entenderlo, pensemos en

la varianza. La varianza tiene asociados n-1 grados de libertad. Para entender

esto, analicemos la fórmula de la varianza muestral en su formato más simple:

2

2 1

1

n

i

i

X X

Sn

Cómo dijimos, esta ecuación está basada en n-1 grados de libertad. Esta afir-

mación resulta del hecho de que si bien S2 está basada en n valores:

1 2 3( );( );( );...( )nX X X X X X X X (n términos).

pero sus grados de libertad son uno menos que los términos. Esto surge de la

propiedad de la media que expresa que la suma de las diferencias de cada uno

de los datos con respecto a la media es igual a 0. Entonces, si especificamos los

valores de cualquieras de los n-1 valores, el valor restante queda automática-

mente definido. Supongamos una muestra con n= 4 (X1, X2, X3, X4) y

5X . Entonces si, por ejemplo:

1 3X X

2 1X X

3 1X X

Entonces, ¿cuánto valdría 4 ?X X

La solución es muy simple: Como ( iX X ) = 0, no cabe ninguna duda que

4 3X X y como 5X 4 8X . Vemos que esta solución surge au-

tomáticamente y solo tres de los 4 datos pueden variar libremente ya que el 4º

dato queda automáticamente definido. Por ello la desviación estándar, tiene n-1

grados de libertad. Un artículo muy interesante y didáctico para comprender el

significado de los grados de libertad, se puede encontrar en el Anexo XXIII.2.

41 En inglés: degrees of freedom.


65 | P á g i n a

LA DISTRIBUCIÓN Z y LAS DISTRIBUCIONES t. PARECIDAS PERO

DISTINTAS

La distribución t tiene las siguientes propiedades:

Es continua, tiene forma de campana y es simétrica respecto al cero

como la distribución Z.

Existe una familia de distribuciones t que comparten una media de ce-

ro, pero con desviaciones estándar diferentes.

La distribución t está más dispersa y es más plana en el centro que la

distribución Z, pero se acerca a ella cuando el tamaño de la muestra

crece y por ende también crecen sus grados de libertad.

Algunos valores críticos de Z y t para los niveles alfa de 0,05 y 0,01, para una

cola son:

Valores críticos de Z y t para los niveles alfa de 0,05 y 0,01, para una cola

Grados de li-

bertad (gl) Z0,05 t0,05 Z0,01 t0,01

5 1,645 2.015 2,325 3,365

30 1,645 1,697 2,325 2,457

60 1,645 1,671 2,325 2,390

1,645 1,645 2,325 2,325

La figura siguiente ilustra lo hasta aquí expuesto.

Continúa…


66 | P á g i n a


67 | P á g i n a

La diferencia entre el pasado, el presente y

el futuro es solo una ilusión persistente.

Albert Einstein

UNIDAD XXIV

EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS Y LA

DIFERENCIA ENTRE VARIAS MEDIAS

EL ANÁLISIS DE VARIANZA42

Cada unidad que vamos estudiando nos permite aumentar el conocimiento so-

bre la investigación estadística, tan útil y necesaria para la toma de decisiones,

aunque, también genera algunas grietas que requieren seguir adentrándonos en

este maravilloso tema de las pruebas estadísticas.

Habíamos visto cómo aceptar o rechazar una hipótesis mediante la compara-

ción de las medias correspondientes a solo dos muestras.

Pero, siempre hay un pero: ¿Por qué las comparaciones tienen que ser tan ma-

niqueistas en un mundo tan amplio y heterogéneo?

42 Fuente de la imagen:

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_HypothesisTesting-

ANOVA/BS704_HypothesisTesting-Anova_print.html


68 | P á g i n a

De ahí surge la necesidad de comparar más de dos medias, muchas medias, tra-

tando de cubrir de una manera más efectiva a la población.

Si para tomar una decisión acerca de lo que opina la juventud sobre un deter-

minado tema podemos comparar, por ejemplo, las opiniones de los estudiantes

de dos universidades. Y aquí surge la pregunta: ¿porqué comparar las opinio-

nes de los estudiantes de solo dos universidades? ¿Por qué no agregamos las

opiniones de los jóvenes que trabajan en las fábricas, en los comercios o de los

que se dedican al arte?

Una pregunta que muy a menudo surge es por qué no comparar al conjunto de

muestras por pares. Por ejemplo, las muestras 1,2,3 y 4 generarían 6 pares de

muestras comparables:

Este procedimiento de calcular una serie de puntajes Z o razones t, no solo en-

traña un importante incremento en el tiempo de trabajo, sino que, y lo más im-

portante, incrementa la probabilidad de cometer errores Tipo I, es decir, el de

rechazar una hipótesis nula cuando, en realidad, debería haber sido confirmada.

Para superar este problema, necesitamos una prueba estadística que mantenga

al error α en un nivel constante y que nos permita decidir si existe una diferen-

cia significativa entre las distintas medias involucradas que necesitamos com-

parar.

A esta nueva prueba que aparece en la investigación estadística se la conoce

como Análisis de Varianza o ANOVA, como acrónimo de ANalysis Of VA-

riance.

FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE VARIANZA

Supongamos que tenemos k muestras aleatorias independientes, de tamaño n,

extraídas de una única población normal, tal como lo ejemplifica la Figura XXIV.1.

Muestra 1 vs. Muestra 2







69 | P á g i n a

Con el fin de realizar un análisis de

varianza, vamos a calcular la varianza

total o varianza de la población a partir

de la suposición de que la variación

total de un conjunto de valores es

función de:

La variación dentro de los

grupos, es decir, la distancia entre los

valores de los datos en crudo de cada

grupo con respecto a su media. Solo

contribuye a ella la varianza dentro de

las muestras. En ingles, se la conoce

como MSW, el acrónimo de Mean

Square Within.Ver Figura XXIV.2.

La variación entre los grupos, es decir, la distancia entre las medias de los

distintos grupos. Solo contribuye a ella la varianza entre las distintas

muestras. En inglés se la conoce como MSB, el acrónimo de Mean Square

Between.Ver Figura XXIV.3.

Figura XXIV.2 Variación dentro de los grupos


70 | P á g i n a

Figura XXIV.3 Variación entre los grupos

MSWy MSB estiman la varianza poblacional para el caso de que las k muestras

provengan de la misma población.

Al igual de lo que sucedía con las diferencias

entre dos muestras, aquí también el análisis de

varianza produce un factor, llamado factor F, en

honor al matemático y estadístico ingles Ronald

Aylmer Fisher43

, que fue quien lo desarrolló.

Finalmente, al igual de lo que sucedía con la

razón t, este factor F obtenido finalmente se

compara con el factor F de tablas, o valor crítico

de F. A tal fin, utilizaremos la Tabla de Valores

críticos de la distribución F de Fisher, que se

muestra en el Anexo XXIV, al final de la

unidad.

Cuanto mayor es la diferencia entre la F obtenida

y la Fcrítica que surge de la tabla, mayor será la

probabilidad de rechazar la H0y aceptar la HA. Ya volveremos sobre estos

conceptos.

43 Fuente de la imagen: http://lacienciaysusdemonios.com/2010/01/27/especiacion-en-ranas-4-

%C2%A1y-la-especie-se-hizo/


71 | P á g i n a

LAS SUMATORIAS DE CUADRADOS

Sumar cuadrados es casi el concepto paradigmático del análisis de varianza que,

recordemos, en su origen surge como una ―trampita‖ estadística para eliminar los

signos negativos en el cálculo de la desviación estándar y que da lugar al

nacimiento del concepto de varianza. Recordemos que, en la Unidad VII del Tomo

I, a la suma de cuadrados la designábamos por su acrónimo SC.

En este método que se utiliza para descartar o no la hipótesis nula cuando estamos

en presencia de más de dos muestras de una misma población, la suma de

cuadrados no se refiere a la suma de los cuadrados de valores individuales, sino a la

suma de diferencias, sean de valores en bruto con sus medias ( X X ) o de las

medias de varias muestras entre sí (1 2X X ) elevadas al cuadrado.

Con esto ya nos percatamos, que trabajaremos con tres tipos de cuadrados:

La suma de cuadrados entre grupos o SCentre.

La suma de cuadrados dentro del grupo o SCdentro.

La suma total de cuadrados o SCtotal.

Esta diferencia entre ―entre” y ―dentro” es a lo que se refiere el inglés cuando

habla de:

Mean Square Within, y

Mean Square Between,

dos términos bastante difíciles de traducir, pero muy sencillos de entender.

A los fines de ir analizando en detalle estos conceptos y, a la vez, seguir avanzando

en el desarrollo del análisis de varianza, plantearemos ejemplos que iremos

desarrollando en forma paralela con la teoría.

EJEMPLO XXIV.1

El entrenador del equipo de alta competición en canotaje de un país

latinoamericano, que está preparando al equipo que competirá en las próximas

olimpiadas de Río de Janeiro 2016, quiere establecer las diferencias que tres

métodos distintos de entrenamiento producen sobre el rendimiento de sus remeros.

Continúa…


72 | P á g i n a


73 | P á g i n a

La prueba de toda verdad reside,

sencillamente, en su eficacia.

William James44

UNIDAD XXV

OTRAS PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS: CHI CUADRADO;

MEDIANA; WILCOXON; KRUSKAL-WALLIS; FRIEDMAN45

Los métodos presentados en los capítulos anteriores, se basaban en el cono-

cimiento de las distribuciones muestrales de las diferencias de porcentajes o

promedios, cuando las muestras provenían de una misma población. Se

aceptaba entonces usar la aproximación normal, la distribución de t de Stu-

dent o la distribución F de Fisher en el análisis de varianza, bajo el supuesto

44 William James (Nueva York, 1842-Chocorua, 1910): Psicólogo y filósofo norteamericano.

Hermano mayor del novelista Henry James e hijo de otro Henry, notable filósofo seguidor de

Swedenborg. Es el pensador norteamericano moderno más apreciado y admirado. Fuente:

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/j/james.htm 45 Fuente de la imagen: http://cienciasdejoseleg.blogspot.com.ar/2014/01/aplicacion-de-la-chi-

cuadrado-ejemplo.html

http://2.bp.blogspot.com/-FeHFmWmK4uc/Ut7PmmWhM1I/AAAAAAAAcS4/fXHxfln_Sx0/s1600/Aplicaci%C3%B3n+de+la+chi+cuadrado,+ejemplo+del+dado+cargado+0.png


74 | P á g i n a

de que la hipótesis nula sea cierta. Dado que en esos métodos se estiman los

parámetros de las poblaciones de origen, esas técnicas estadísticas reciben el

nombre de ―paramétricas‖.

Hay situaciones en que, por el escaso número de observaciones, o por el ni-

vel de medición de las variables, no es correcto o no es posible hacer su-

puestos sobre las distribuciones muestrales subyacentes.

En tales casos se usan los métodos ―no paramétricos‖ o de distribución libre.

PRUEBA CHI CUADRADO (2) DE PEARSON

Prueba de bondad de ajuste para el caso de experiencias con una variable

Existen diferentes pruebas para verificar el ajuste de nuestros datos a una dis-

tribución de probabilidad. Las dos más utilizadas son el contraste 2de Pearson,

y la prueba de Kolmogorov-Smirnov.

Nosotros veremos la primera de las nombradas, es decir la de Pearson.

Esta prueba de hipótesis se utiliza para comparar la posible diferencia entre las

frecuencias observadas (Fo) en la distribución de una variable con respecto a

las frecuencias esperadas (Fe).

Una prueba de bondad de ajuste es la que trata de determinar si los datos co-

rrespondientes a dos o más muestras aleatorias provienen de la misma pobla-

ción y se ajustan bien entre sí. De allí el término ―bondad de ajuste‖

Esta técnica, a la que algunos autores denominan

Ji-cuadrado,46

se ha utilizado ampliamente cuando

el investigador no dispone de datos expresados en

escalas ordinales, ni de intervalo, ni de razón, y es

debida a Karl Pearson47

. Esto quiere decir que esta

técnica se utiliza cuando el investigador debe mane-

jar datos nominales, y no por ello debemos creer

que este escenario es una excepción. Las experien-

cias con datos nominales son muy usuales en el

ámbito de las ciencias sociales, como la Psicología,

la Sociología, las Ciencias Políticas, la Educación,

el Trabajo Social, la Seguridad, por nombrar solo algunas. Como venimos

46 N del A: La letra griega χ se transcribe al latín como chiy se pronuncia en castellano como ji. 47Karl Pearson (1857-1936). Prominente científico, matemático y pensador británico, que esta-

bleció la disciplina de la Estadística Matemática. Desarrolló una intensa investigación sobre la

aplicación de los métodos estadísticos en la Biología y fue el fundador de la Bioestadística.

Fuente: http://www.sld.cu/galerias/pdf/sitios/bioestadistica/karl_pearson.pdf Fuente de la ima-

gen: https://library.missouri.edu/exhibits/eugenics/pearson.htm

https://library.missouri.edu/exhibits/eugenics/exhibit_images/800px/pearson.jpg


75 | P á g i n a

haciendo en muchas unidades del libro, iremos mostrando la utilización y desa-

rrollo del método paralelamente a la resolución de un ejercicio.

Las experiencias con una variable son muy comunes y habituales en los pro-

blemas de elección entre distintas marcas de un mismo producto. El tema que

el investigador desea resolver en este caso está referido a si las personas con-

sumen un determinado producto basándose en sus preferencias.

Imaginemos que a un conjunto de trasnochados consumidores de whisky se les

ofrece elegir, solo por su paladar, cuál es el whisky que más les agrada. Ob-

viamente, el consumidor, es decir, el experimentador en esta experiencia, no

conoce las marcas del producto que está degustando, el cual se encuentra ser-

vido en cuatros vasos iguales solo rotulados con una letra carente de significa-

do.

Se elige la zona de la peatonal Reconquista cercana a Catalinas, en la ciudad de

Buenos Aires, donde existe una gran cantidad y variedad de pubs donde concu-

rren los conspicuos catadores de las tardecitas porteñas.

Sin esmerarse demasiado, nuestro investigador reunió aleatoriamente 200 inte-

resados en el test. Las marcas de los whiskies se denominaron X, Y, W y Z, y

los resultados obtenidos fueron los que se muestran en la Tabla XXV.1.

Tabla XXV.1. Test de preferencia para bebedores de whisky

Preferentes de la marca X

Preferentes de la marca Y

Preferentes de la marca W

Preferentes de la marca Z

Total

42 personas 53 personas 46 personas 59 personas 200 personas Celda 1 Celda 2 Celda 3 Celda 4

Las hipótesis que se plantean en esta prueba son:

H0: F0 = Fe

H1: F0 Fe

La H0 para este experimento es que en la población, no existe diferencia en la

preferencia por las diversas marcas de whisky. Para poder comprobar o recha-

zar esta hipótesis nula, utilizaremos la prueba chi cuadrado (2). Como buen

método no-paramétrico, se basa en la ordenación y el conteo, es decir, se mane-

ja con frecuencias absolutas. A tal fin, utiliza dos tipos de frecuencias absolu-

tas:

La observada, es decir, la que surge del test, que denominaremos Fo


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La esperada, que es la que surgiría si se cumpliese la hipótesis nula y

que denominamos Fe

La fórmula del factor chi cuadrado es:

2

2

.

o e

obt

e

F F

F [Fórmula XXV.1]

La sumatoria se realiza sobre cada una de las celdas. La hipótesis nula supone

que no existe diferencia en la preferencia, por lo que las cuatro Fe deberían ser

iguales. Por lo tanto, 200

504

eF

Reemplazando valores en la Fórmula XXV.1, obtenemos:

2 2 2 2

2

.

42 50 53 50 46 50 59 50 1703,4

50 50 50 50 50obt

Cálculo de X2

crit.y evaluación de X2

obt.

La distribución chi cuadrado teórica (2) en función de distintos grados de li-

bertad, se muestra en la Figura XXV.1. De forma muy similar a lo que sucedía

con la distribución t de Student, esta distribución consta de una familia de cur-

vas que varían con los grados de libertad. Se trata de curvas sesgadas positiva-

mente, sesgo que es extremadamente acentuado para valores de k hasta ≌ 3,

muy acentuado para valores de k hasta 6, y a partir de allí el sesgo es cada vez

menor y se convierte en prácticamente imperceptible a partir de k =10. De gl10

en adelante, la distribución es casi normal, pero muy platicúrtica. Aquí, con la

letra k se representan los grados de libertad gl.

La Tabla del Anexo XXV.1, nos muestra los valores críticos de la distribución

Chi cuadrado 2

para distintos niveles de confianza (α) y en función de los gra-

dos de libertad que, en definitiva, caracterizan la forma de la distribución. El

valor de chi cuadrado representa el área bajo la curva que va más allá (hacia la

derecha) del valor X2crit.La interpretación es muy similar a la de la curva nor-

mal.


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Figura XXV.1.Distribución chi cuadrado

Fuente: https://es.wikibooks.org/wiki/Archivo:Distribuci%C3%B3n_Chi-cuadrado.svg

Chi cuadrado, esencialmente, es una medida de la diferencia entre Fo y Fe, es

decir, de la discrepancia o falta de ajuste entre ambos valores. Cuanto mayor

sea la discrepancia, al estar el numerador elevado al cuadrado en la fórmula

XXV.1, mayor será el valor de X2

crit. Esto quiere decir que cuando X2

ob. >X2

cri.

o, lo que es lo mismo, cuandoX2obt. queda dentro del área crítica, menos razo-

nable será la H0 y la debemos rechazar. Viceversa, cuando X2obt. < X

2crit., la H0

deberá ser aceptada. La Figura XXV.2 muestra lo que estamos explicando en

referencia al ejemplo que tratamos en paralelo.

Figura XXV.2. Distribución X

2 para gl = 3 y nivel de confianza 0,05

mostrando los resultados del ejemplo que estamos viendo.

Continúa…

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/Distribuci%C3%B3n_Chi-cuadrado.svg


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No todo término merece el nombre de fin, sino tan solo el que es óptimo

Sigmund Freud

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