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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALDEPARTAMENTO DE AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL INDUSTRIAL
ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
I. ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA W
I.1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS: Magnitudes de voltaje y corriente
1. Una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva, con un voltaje de línea |V L|=200 [V ]se conecta a una carga 3Ø en conexión Y sin neutro, cuyas fases están dadas por: Z1=10 [Ω] , Z2= j5 [Ω]y Z3=− j10 [Ω] . Determinar los valores de los voltajes y corrientes en la carga 3Ø.
Solución: Referencia V 12=200∠0 ° [V ]
V 1=244 . 9∠−15 ° [ V ], V 2=73 .2∠−60 ° [V ] , V 3=175 .3∠38 . 8° [V ]I 1=24 . 49∠−15° [ A ], I 2=14 .64∠−150 ° [ A ], I 3=17.53∠128 .8 ° [ A ]
2. Una carga 3Ø en conexión , cuyas fases tienen los valores: Z12=10 [Ω] , Z23= j 5 [Ω] y Z31=− j 10 [Ω] , se conecta a una fuente 3Ø simétrica de secuencia negativa, con un voltaje de
línea |V L|=200 [V ] . Calcular los valores de todas las corrientes.
Solución: Referencia V 12=200∠0 ° [V ]
I 12=20∠0° [ A ] , I 23=40∠30 ° [ A ], I 31=20∠−30 ° [ A ]I 1=10 . 35∠75 ° [ A ] , I 2=24 .79∠53 .8 ° [ A ] , I 3=34 .64∠−120 ° [ A ]
3. Obtener el valor de la lectura del Amperímetro ideal, si Z1=3 [Ω] y Z3= j 4 [Ω] . La fuente
3Ø simétrica es de secuencia positiva con un voltaje de línea |V L|=200 [V ] .
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Solución: 112 . 77 [ V ]
4. Encontrar el valor de la impedancia de faseZY así como el valor del voltaje de línea a los
terminales de la carga 3Ø simétrica en conexión Y (V__
ab , V__
bc , V__
ca ). La fuente 3Ø simétrica
tiene un voltaje de línea |V L|=200 [V ] y entrega una corriente de línea | I__
L|=10 [ A ] . Cada
línea tiene una impedancia ZL= j10 [Ω] .
Solución: ZY=− j21 . 55 [Ω]
V__
ab , V__
bc , V__
ca simétricos, donde V ab =373 .21∠0 °
5. Una fuente 3Ø simétrica a tres conductores, con voltaje de línea |V L|=176 . 8 [V ]y secuencia
negativa, se conecta a dos cargas 3Ø simétricas, una en conexión : ZΔ=15∠0 ° [Ω] y la otra
en conexión Y:ZY=10∠30 ° [Ω] . Determinar las corrientes de línea entregadas por la fuente y dibujar el diagrama fasorial del circuito.
Solución: Referencia V 12=200∠0 ° [V ]
I__
1 , I__
2 , I__
3 simétricas, donde I 1 =29.7∠−100° [ A ]
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6. Una fuente 3Ø simétrica tiene un voltaje entre líneas |V L|=200 [V ]
y secuencia positiva. Se conecta a través de líneas a una carga 3Ø simétrica en conexión . La impedancia de cada
línea es ZL=− j 8 [ Ω]
y la de la fase de carga es ZΔ=15∠53.13 ° [Ω ]
. Hallar las corrientes de línea del circuito y las corrientes de fase de la carga.
Solución: Referencia V 12=200∠0 ° [V ]
I__
1 , I__
2 , I__
3 simétricas, donde I 1 =23.09∠23 .13 ° [ A ]
I__
12 , I__
23 , I__
31 simétricas, donde
I 12 =13 .33∠53 .13 ° [ A ]
I.2. POTENCIA COMPLEJA
1. Una carga 3Ø en con fases: Z12=5∠0 ° [Ω] , Z23=5∠53 . 1° [Ω] y Z31=5∠−30 ° [Ω] , está conectada a una fuente 3Ø simétrica de secuencia negativa, con un voltaje de línea |V L|=200 [V ] . Determinar el triángulo de potencias del circuito 3Ø.
Solución: P3 φ=19728 [W ] , fp3 φ=0 . 9927 atraso
2. Obtener el triángulo de potencias del circuito 3Ø, cuya fuente 3Ø simétrica es de secuencia
positiva y el voltaje de línea |V L|=200 [V ] . Todos las impedancias están en [Ω] .
Solución: P3 φ=10 [KW ] , fp3 φ=0 . 707 adelanto
3. Encontrar el triángulo de potencias de una fuente 3Ø simétrica de secuencia negativa, cuyo
voltaje de línea es |V L|=200 [V ]y se conecta a una carga 3Ø en conexión , cuyas fases son:Z12=100 [Ω] ,Z23: 300 [W ] , fp 23 =0 .707 adelanto ,Z31 : 200 [VAR ] , fp 31 =0 .866 atraso .
Solución: P3 φ=1046 .4 [W ] , fp3 φ=0 . 9955 adelanto
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4. Una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva y voltaje de línea |V L|=200 [V ] , está
conectada a la carga 1Ø Z0 que consume una potencia de 30 [KW ]a un factor de potencia
unitario, y a la carga 3Ø simétrica que consume una potencia total de 50 [ KW ]a un factor de potencia 0.5 en atraso. Calcular el valor de las corrientes de línea de la fuente 3Ø.
Solución: Referencia V 12=200∠0 ° [V ]I 1=262 . 4∠−90 ° [ A ], I 2=295. 7∠178° [ A ] , I 3=386. 6∠ 40° [ A ]
5. Obtener el triángulo de potencias de una fuente 3Ø simétrica de secuencia negativa y voltaje
de línea |V L|=200 [V ] , que se conecta a dos cargas 3Ø simétricas, cuyos triángulos de potencias están dados por:
Carga 3Ø # 1: 4 .5 [KW ] , fp3 φ=0 .866 adelanto
Carga 3Ø # 2: 42 [KVA ] , fp3 φ=0 .707 atraso
Solución: P3 φ=34 .2 [KW ] , fp3 φ=0 . 7838 atraso
6. Hallar el valor de la impedancia de la carga 3Ø simétrica en conexión , si la fuente 3Ø
simétrica de secuencia positiva y voltaje de línea |V L|=200 [V ] entrega una potencia P3 φ=1000 [W ] con un fp3 φ=0 . 6 atraso .
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Solución: ZΔ=205 . 8∠59 . 04 ° [ Ω]
7. Calcular el valor de la impedancia Z1 , si la fuente 3Ø simétrica de secuencia negativa y
voltaje de línea |V L|=200 [V ] entrega una potencia Q3 φ=300 [VAR ] con un fp3 φ=0 . 913545 adelanto . Además Z0=200 [Ω]
Solución: Z1=200∠30 ° [Ω]
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I.3. MEDICIÓN DE POTENCIA ACTIVA
1. Una carga 3Ø en con fases: Z12=10 [Ω] , Z23=− j 5 [Ω] y Z31= j10 [Ω] , está conectada
a una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva, con un voltaje de línea |V L|=200 [V ] .
Calcular los valores de las lecturas de los elementos vatimétricos W 2 y W 3 .
Solución: W 2=−2928 [W ] , W 3=6928 [W ]
2. Una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva y voltaje de línea |V L|=200 [V ] , se conecta a
una carga 3Ø en con fases: Z12 : 100 [W ] , fp 12=0 . 866 adelanto , Z23=50 [ Ω], Z31 : 50 [VA ] , fp 31=0 . 707 atraso . Obtener el valor de las lecturas de los elementos
vatimétricos W 2 y W 3 .
Solución: W 2=500 [W ] , W 3=435. 4 [W ]
3. Calcular la lectura de los vatímetros W 1 yW 3 en el circuito 3Ø, cuya fuente 3Ø simétrica de
secuencia positiva tiene un voltaje de línea |V L|=200 [V ] . Cada impedancia de línea ZL
consume 100 [W] con un fp=0 .707 adelanto . La carga 3Ø simétrica consume 300 [VAR]
con un fp3 φ=0 .866 atraso .
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Solución: W 1=W 3=409. 81 [W ]
4. En un circuito 3Ø totalmente simétrico, con un voltaje de línea |V L|=200 [V ] y secuencia positiva, se conectan dos vatimétricos W1 y W3, los mismos que dan lecturas de 1000 [W] y de – 500 [W] respectivamente. Determinar el valor de la impedancia de la carga 3Ø en conexión Y.
Solución: ZY=15 . 12∠−79 .1 ° [Ω]
5. Una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva y voltaje de línea |V L|=200 [V ] , se conecta a dos cargas 3Ø simétricas, cuyos características están dados por:
Carga 3Ø # 1: 10 [KW ] , fp3 φ=0.5 atrasoCarga 3Ø # 2: puramente capacitiva y de valor variable
Obtener la lectura de dos vatímetros W1 y W2, cuando al variar la carga 3Ø capacitiva el factor de potencia de la fuente 3Ø es de 0.707 atraso.
Solución: W 1=7887 [W ] , W 2=2113 [W ]
6. El voltaje de línea de una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva es |V L|=200 [V ]
. Hallar
las lecturas de los elementos vatimétricos W1 y W2, si ZY=3+ j 4 [Ω]
y Z0 :1200 [W ]
, fp0=0 .707 adelanto
.
Solución: W 1=5447 .7 [ W ] , W 2=552 .48 [W ]
7. Una carga 3Ø simétrica en Y viene dada por Q3 φ=400 [VAR ] , fp3 φ=0 . 5 en atraso , se
conecta a una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva con |V L| = 200[V], a través de
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líneas de impedancia ZL . Encuentre el valor de la impedancia de carga (ZY [ Ω]) y la impedancia de la línea (ZL [ Ω]), si las lecturas de los vatímetros son W 2=−200 [W ] y W 3=800 [W ] .
Solución: ZY=5 . 5∠60 ° [Ω]
,
ZL=25. 8∠−80 ° [Ω]
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II. ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
II.1. CONDICIONES INICIALES
1. Obtener los valores de corriente i(0+ ) y su derivada
didt
|0+ así como i(∞) , si en t=0 el
interruptor se cierra.
Solución: i(0+ )=2 [ A ] ,
didt
|0+=−13
[ A /s ], i(∞)=5/4 [ A ]
2. Encontrar los valores de corriente i(0+ )y su derivada
didt
|0+ así como i (∞) , si en t=0 el
conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).
Solución: i(0+ )=0 .1 [ A ] ,
didt
|0+=−103 [ A/ s ], i (∞)=0 [ A ]
3. Determinar los valores de corriente i (0+ )y de la derivada de voltaje
dvdt
|0+, si en t=0 el
conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).
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Solución: i (0+ )=20 [ A ],
dvdt
|0+=−30 [V /s ]
4. Calcular los valores de las condiciones iniciales de energía en el capacitor e inductor en t=0+ , si vC (0+ )=10 [V ].
Solución: vC (0− )=0 [ V ] , iL (0−)=7 [ A ]
5. Obtener los valores de voltaje v (0+ )y de la derivada de corriente
didt
|0+, si en t=0− el
conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).
Solución: vC (0+ )=15 [V ],
didt
|0+=−1052
[ A /s ]
6. Hallar los valores de corriente i(0+ )
y de la derivada de voltaje
dvdt
|0+
.
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Solución: i(0+ )=5 [ A ],
dvdt
|0+=−52
[V /s ]
II.2. RESPUESTA COMPLETA
1. Obtener la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t , si en t=0 el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).
Solución: i( t )=10
9δ ( t )−25
9e−t u( t ) [ A ]
2. Encontrar la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t .
Solución: i( t )=10 δ ( t )+10 ( 2−2 .35e−0 .29 t−1 . 65e−1 .71 t ) u( t ) [ A ]
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3. Determinar la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t , si en t=0 el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).
Solución: i( t )=− 5
16δ( t )+ 5
128e−
18
tu ( t ) [ A ]
4. Calcular la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t .
Solución: i( t )=2 δ ( t )−( 4 .74 e−2t Cos ( t−161. 6 ° )+14 e−2 t−3 .5 e−t ) u( t ) [ A ]
5. Obtener la respuesta de voltaje v (t )válida para ∀ t , si en t=0+ el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).
Solución: v (t )=10δ( t )+10 (4e−2 t−(5−2t )e−t ) u( t ) [V ]
6. Hallar la respuesta de corriente i ( t )válida para ∀ t , si en t=0− el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).
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Solución:i ( t )=5 δ ( t )−15
8(5e−5 t+3e−t ) u( t ) [ A ]
7.
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III. ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA COMPLEJA
III.1. RESPUESTA COMPLETA
1. Obtener las respuestas de voltaje v (t )y corriente i( t )válidas para ∀ t >0 .
Solución: v (t )=[90−120e−5 t ] u ( t ) [V ] , i( t )=300 e−5t u( t ) [ uA ]
2. Encontrar la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t , si en t=0 se cierra el interruptor.
Solución:i( t )=−5
8( e−t+15e−5 t ) u ( t ) [ A ]
3. Determinar la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t , si en t=0− se cierra el interruptor.
Solución: i( t )=−4δ ( t )+[ 5+12. 1e−t Cos(√7 t−48 . 6 ° ) ] u( t ) [ A ]
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4. Calcular la respuesta de voltaje v (t )válida para ∀ t , si en t=0−el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).
Solución: v (t )=20 δ (t )−72.11e−1.5 t Cos(0 . 866 t−46 . 1° )] u (t ) [V ]
5. Obtener la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t , si en t=0− el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).
Solución:i ( t )=5 δ ( t )−15
8(5e−5 t+3e−t ) u( t ) [ A ]
6. Calcular la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t .
Solución: i( t )=2 δ ( t )−( 4 .74 e−2t Cos ( t−161. 6 ° )+14 e−2 t−3 .5 e−t ) u( t ) [ A ]
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III.2. FUNCIÓN DE RED
1. Determine la Función de Red.
Solución: F (s )=Y (s )= s
s2+2 s+3
2. Obtenga la Función de Transferencia.
Solución: F (s )=T I( s )= 2
s2+2 .5 s+3
3. Calcule la Función de Punto Motriz.
Solución: F (s )=Y eq( s )= s2+s+2
3 s2+4 s+4
III.3. COMPONENTE PARTICULAR______________________________________________________________________________________________ Prof. Oscar E. Cerón Aguirre MSc. 2012_1 pág. 16
1. La Impedancia de Punto Motriz de un circuito eléctrico, viene dada por:
Z( s )=10 s( s+2 )( s+3 )(s2+2 s+5) Usando las variables eléctricas correspondientes, halle la
componente particular de la respuesta. La fuente tiene la siguiente forma: 10e−2t Cos(3 t+30∘) .
Solución: v p( t )=47 . 4 e−2tCos(3 t−64 . 2° ) [V ]
2. Calcule la componente particular de la respuesta de voltaje v (t ), mediante la construcción y uso del Diagrama Vectorial de Polos y Ceros. La fuente de corriente i ( t ) viene dada por: i( t )=10 e−t Sen(2 t−75∘) [ A ] .
Solución: v p( t )=31e−tSen(2 t+75 .3 ° ) [V ]
3. En base al Diagrama de Polos y Ceros, que corresponde a una Admitancia de Transferencia, construya el Diagrama Vectorial de Polos y Ceros. Utilizando los módulos y ángulos de cada vector, determine la componente particular de la respuesta, si la fuente tiene la forma: 10e−2 t
Cos(3 t+30 °). Detalle sus variables y unidades.
Solución: i p( t )=33 .43e−2 tCos(3 t−81 .8 ° ) [ A ]
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4. El Diagrama Vectorial de Polos y Ceros corresponde a una Admitancia de Transferencia. La
fuente tiene la forma: 10 eσ0 t
Sen (ω0 t+53 °) . Usando los módulos y ángulos de los vectores del Diagrama, calcule la componente particular de la respuesta, detallando su variable eléctrica y unidad.
Solución: ip ( t )=167 .7 e−3tSen (2t +26 . 4 ° ) [ A ]
5. El diagrama vectorial de polos y ceros corresponde a una impedancia de punto motriz. La magnitud de la fuente es 10 y su ángulo 60 y corresponde a la componente real del modelo
general Xest
. En base a los elementos del diagrama vectorial, obtenga la componente particular de la respuesta, detallando las variables y sus correspondientes unidades.
Solución: v p( t )=62. 02e−3 tCos(2 t−157 .1 ° ) [V ]
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III.4. DIAGRAMA DE BODE
1. Utilizando papel semi-logarítmico, dibuje con el mayor detalle, el Diagrama de Bode
correspondiente a la Función de Red dada por: F (s )=10 s2(s+100)
( s+1 )2(s2+10 s+100 ) .
Solución:
2. Utilizando papel semi-logarítmico, dibuje con el mayor detalle, el Diagrama de Bode
correspondiente a la Función de Red dada por: F (s )=10 (s+1)2 (s+100)
s2( s2+10 s+100) .
Solución:
______________________________________________________________________________________________ Prof. Oscar E. Cerón Aguirre MSc. 2012_1 pág. 19
3. Dibuje en papel semi-logarítmico, con el mayor detalle, el Diagrama de Bode correspondiente a la Función de Red dada por el Diagrama Simple de Polos y Ceros.
Solución:
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4. Obtenga la Función de Red, correspondiente al Diagrama de Bode. Presente todo el detalle realizado.
Solución: F (s )=10 s2( s+100 )
( s+1 )(s+10)2
5. Encuentre la Función de Red, correspondiente al Diagrama de Bode. Presente todo el detalle realizado.
Solución: F (s )=10−1 ( s+10 )3
s( s+1 )(s+100)
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