Deber 6Algebra Lineal

Prof. Dr. Joseph Paez Chavez

II Termino 2009–2010

Problema 1. Sea A =

−1 1 2 3

3 −3 3 54 −4 8 65 −5 15 17

. Encuentre una base para rec(A) y nu(A).

Encuentre dim(EL(A)), dim(EC(A)).

Problema 2. Sea A =

1 −1 23 1 45 −1 8

. Encuentre una base para EC(A) y ρ(A). Encuentre

EL(A) ∩ nu(A), EL(A) + nu(A).

Problema 3. Sea V = M2×2, W = R3. Determine cuales de las siguientes funciones

constituyen una transformacion lineal:

(i) F : V → W , tal que F

(a bc d

)=

2a− 3dc− b

3d− a

.

(ii) F : V → W , tal que F

(a bc d

)=

abbccd

.

(iii) T : W → V , tal que T

xyz

=

(x + y x− yy + z y − z

).

(iv) H : W → V , tal que H

xyz

=

(x yy z

)×

(1 −12 1

).

Problema 4. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1

(i) Sean B1, B2 bases de un espacio vectorial V de dimension n. Sea AB1B2 la matriz decambio de base. Entonces, ρ(AB1B2) = n.

(ii) Sea A ∈ Mm×n, B ∈ Rm. Entonces, el sistema de ecuaciones lineales Ax = B esconsistente, si y solo si B ∈ rec(A).

(iii) Considere la siguiente definicion: Sean V , W espacios vectoriales. Sea T : V → Wuna funcion. Entonces, T es una transformacion lineal de V en W si:

∀v, u ∈ V, ∀α, β ∈ R : T (αv + βu) = αT (v) + βT (u).

Entonces, esta definicion es equivalente a la definicion de transformacion lineal vistaen clase.

Problema 5. Aplicando (directamente!) el Teorema 2.4 (vea ejemplo en clase), encuentreuna base del subespacio de P4 generado por los vectores t4+2t3−t2+4t+3, 3t4+t3+2t2+2t+4,2t4 + t3 + t2 − t y 2t4 − 4t3 + 6t2 − 11t − 5. Adicionalmente, resuelva este mismo ejerciciosin aplicar el Teorema 2.4, es decir, hallando explıcitamente el espacio generado y de ahı labase.

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