Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica

Decaimiento alfa

Rodolfo M. Id Betan1,2

1Instituto de Física Rosario - Conicet. Argentina2Facultad de Ciencias Exactas - Universidad Nacional de Rosario. Argentina

Curso: Física Nuclear

03/06/2014

Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica

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1 Motivación

2 Generalidades

3 Ecuación de Geiger-Nuttall

4 Modelo de una partícula

5 Formación de la partícula alfa

6 Práctica

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1 Motivación

2 Generalidades

3 Ecuación de Geiger-Nuttall

4 Modelo de una partícula

5 Formación de la partícula alfa

6 Práctica

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Descubrimiento de nuevos núcleos

Descubrimiento del núcleo Z = 117

Crédito: Yu. Ts. Oganessian, et al., Physical Review Letters 104, 142502, 2010.

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1 Motivación

2 Generalidades

3 Ecuación de Geiger-Nuttall

4 Modelo de una partícula

5 Formación de la partícula alfa

6 Práctica

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Generalidades

La partícula alfa es el núcleo de 42He2.

Tiene spin 0: |Ji − Jf | 6 L 6 Ji + Jf .

Tiene paridad +: πiπf = 1(−1) ⇒ L : par(impar).

Su energía de decaimiento viene dada por

Qα = M(Z ,A)c2 − M(Z − 2,A − 4)c2 − M(4He)c2

Utilizando la fórmula semiempírica de masa de Weizsäcker (en

MeV)

Qα = 28.3 − 4av +8

3

as

A1/3+ 3

acZ

A1/3

(

1 − Z

3A

)

− 4aa

(

1 − 2Z

A

)2

Los núcleo que decaen espontáneamente son A & 150.

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Generalidades

El tiempo de vida medio depende fuertemente de la energía de

decaimiento:Q ∼ 4 MeV 1016 años

Q ∼ 8 MeV 10−6 seg

A diferencia de los decaimientos β y γ, el decaimiento α es sólo

lévemente inhibido por los cambios de momento angular.

El efecto dominante es la barrera Coulombiana.

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1 Motivación

2 Generalidades

3 Ecuación de Geiger-Nuttall

4 Modelo de una partícula

5 Formación de la partícula alfa

6 Práctica

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Constante de decaimiento radiactiva

Constante de decaimiento λ

dN

dt= −λN ⇒ N(t) = N0e−λ(t−t0)

Tiempo de vida τ

N(τ) =N0

e⇒ τ =

1

λ

Tiempo de vida media T1/2

N(T1/2) =N0

2⇒ T1/2 =

ln 2

λ

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Ecuación de Geiger-Nuttall

Rango Rα

Distancia que puede viajar la partícula alfa en el aire a la presión

atmosférica.Está directamente relacionado con la energía de la partícula alfa.

Ecuación de Geiger-Nuttall(1911) (ver paper pag. 618)

log λ = a + b log Rα

Crédito: P. Marmier, E. Sheldon. Physics of Nuclei and Particles. 1971.

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Ecuación de Geiger-Nuttall

Regla de Geiger

Rα∼= cte v3

con v la velocidad inicial de la partícula log Rα ∼ log v yv ∼

√Eα ⇒ log Rα ∼ log

√Eα ∴ Rα ∼ Eα .

Combinando al ecuación de Geiger-Nuttall (log λ = a + b log Rα) y la

regla de Geiger, se espera que exista una relación entre la constantede decaimiento λ (o el tiempo de vida media) y la energía Eα.

Gamow y Condon-Gurney (1928) (ver paper Gamow pags. 208 y209)

λ = g − h

[

(

1 +4

A

)−1/2

Z E−1/2

]

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Ecuación de Geiger-Nuttall

Explica los órdenes de magnitud de diferencia en los tiempo de vida

como función de la energía.

Crédito: P. Marmier, E. Sheldon. Physics of Nuclei and Particles. 1971.

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1 Motivación

2 Generalidades

3 Ecuación de Geiger-Nuttall

4 Modelo de una partícula

5 Formación de la partícula alfa

6 Práctica

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Modelización del decaimiento alfa

Crédito: K. Heyde. Basic Ideas and Concepts in Nuclear Physics. 2004

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Potencial barrera rectangular

V (x) =

0 −∞ < x < 0

U 0 < x < b0 b < x <∞

ψI(x) = eikIx + A−e−ikIx kI =

√2mE

~

ψII(x) = B+eikIIx + B−e−ikIIx kII =

√

2m(E − U)

~

ψIII(x) = C+eikIIIx kIII = kI =

√

2mE)

~

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Potencial barrera rectangular

Coeficiente de transmisión T

T =|C+|2

1=

4k2I k2

II

(k2I − k2

II )2 sin2 bkII − 4k2

I k2II

Aproximación de barrera ancha

T =

1 +U2

4E(U − E)

[

1

4

(

ei2kIIb + e−i2kIIb)

− 1

2

]−1

Fórmula de Gamow

T ≈ e− 2b~

√2m(E−U)

m pequeño (ejemplo: electrón) =⇒ T grande.

Límite clásico ~ → 0 =⇒ T = 0.

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Probabilidad de decaimiento

Sea I0 la intensidad de partículas α dentro de la barrera de potencial.

Intensidad dentro del núcleo

In = (1 − T )nI0 = I0en ln(1−T )

Aproximación de tiempo de decaimiento largos: ln(1 − T ) ≈ −T

In = I0e−nT

Número de choques en el tiempo t

n =t

tcaract=

v

2Rt = λ0t

Probabilidad de decaimiento

I(t) = I0e−λ0 tT

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Constante de decaimiento

Constante de decaimiento λ

I(t) = I0e−λ0 tT = I0e−λt ⇒ λ = λ0T

Aproximación Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)

Coeficiente de transmisión para un potencial arbitrario V (r)

T = e− 2~

∫

bR

√2m[V (r)−E]dr

Factor de Gamow G

λ = λ0e−G

G =2

~

∫ b

R

√

2m[V (r)− E ]dr

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Aplicación al potencial de Coulomb

Potencial de Coulomb

G =2

~

∫ b

R

√

2m

[

zZe2

r− E

]

dr

G =

(

8Zze2mb

~2

)1/2[

arccos

(

R

b

)1/2

−(

R

b− R2

b2

)1/2]

con b = Zze2

Eα.

Aproximación de barrera ancha

G =

(

8Zze2mb

~2

)1/2[

π

2−(

R

b

)1/2]

Eα ≪ ECoulomb .

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Deducción Geiger-Nuttall

Constante de decaimiento

λ = λ0e−G ≈ 1021e−

(

8Zze2mb

~2

)1/2

Ecuación de Geiger-Nuttall

log10 λ =

(

21 −√

8mze2

2.303~

)

Z E−1/2

1928

log10 λ = 21 − 1.0941 Z E−1/2

Comparar con la fórmula empírica:

1911

log10 λ = g − 1.7 Z E−1/2

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Variación de la intensidad con la energía

Decaimiento del239Pu1/2+ (T1/2 = 24110anos) →235 U(T1/2 = 7.04 × 108anos)

www.nndc.bnl.gov: Qα = 5.244 MeV

Transición E[MeV] Int. Rela. %

α1(235U1/2+) 5.156 70.77

α2(235U1/2+) 5.144 17.11

α3(235U5/2+) 5.105 11.94

Crédito: P. Marmier, E. Sheldon. Physics of Nuclei and Particles. 1971.

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1 Motivación

2 Generalidades

3 Ecuación de Geiger-Nuttall

4 Modelo de una partícula

5 Formación de la partícula alfa

6 Práctica

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Hamiltoniano en el decaimiento alfa

El siguiente paso es relajar la condición que la partícula alfa ya está

formada dentro del núcleo y considerar el decaimiento como unproceso de A cuerpos.

Ecuación de Schrödinge

HΦ(1, . . . ,A; t) = i~∂

∂tΦ(1, . . . ,A; t)

Hamiltoniano

H = Hα(1234) + HD(5 . . .A)−~

2

2M∇2

rel + V (α,D)

Autofunciones de los fragmentos

Hαχα = ǫαχα

HDΨD = EDΨD

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Hamiltoniano en el decaimiento alfa

Autofunciones del sistema

Φ(1, . . . ,A; t) = a(t)ΦPJM (1, . . . ,A)

+∑

jL

∫

dǫ bjL(ǫ, t)A

χα ϕL(R, ǫ)[YL(R)ΨDj ]JM

Estado inicial

ΦPJM(1, . . . ,A) = Φ(1, . . . ,A; t = 0)

Autofunción del movimiento relativo

[

− ~2

2MR

d2

dR2R +

~2

2MR

L(L + 1)

R2+

2(Z − 2)e2

R− ǫ

]

ϕL(R, ǫ) = 0

con ǫ > 0.

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Hamiltoniano en el decaimiento alfa

Solución de la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo

i~a(t) = a(t)E0 +∑

jL

∫

dǫ bjL(ǫ, t)〈ΦPJM |H − E0|ΦJMjLǫ〉

i~bjL(ǫ, t) + i~a(t)〈ΦJMjLǫ|ΦPJM〉 = (ǫα + ED + ǫ)bjL(ǫ, t)

+a(t)〈ΦJMjLǫ|H|ΦPJM〉

con ΦJMjLǫ = AχαϕL[ΨDj YL]jmj

y E0 = 〈ΦPJM |H|ΦP

JM〉.

Condiciones iniciales

a(t = 0) = 1

bjL(ǫ, t = 0) = 0

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Constante de decaimiento en el decaimiento alfa

Solución aproximada

a(t) ∼= e− i~(E0−i Γ

2)t

con

Γ

2∼= π

∑

jL

|〈ΦJMjLǫ|H − E0|ΦPJM〉|ǫ=E0−ǫα−ED

Parte discreta de Φ(1, . . . ,A; t)

Φ(1, . . . ,A; t) → a(t)ΦPJM (1, . . . ,A)

→ e− i~

E0e− Γ2~

t ΦPJM(1, . . . ,A)

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Constante de decaimiento

Probabilidad de decaimiento

|Φ(t)|2 → e− Γ~

t |ΦP(t)|2 = e−λt |ΦP(t)|2

Constante de decaimiento

λ =Γ

~

El problema se redujo a calcular 〈ΦJMjLǫ|H − E0|ΦPJM〉

Γ

2∼= π

∑

jL

|〈ΦJMjLǫ|H − E0|ΦPJM〉|ǫ=E0−ǫα−ED

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Constante de decaimiento

Elementos de matriz

〈ΦPJM |H − E0|ΦJMjLǫ0

〉 =

[(

Z

2

)(

N

2

)]1/2 (~

2

2M

)∫

dξαdξDdΩ

R20

[

ΦPJM

∂ϕL(R0, ǫ0)

∂R− ∂ΦP

JM(R0)

∂RϕL(R, ǫ0)

]

χα[YLΨDj ]JM

con ǫ0 = |E0 − ED − ǫα|.

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Constante de decaimiento

λ =2

~

∑

jL

PLγ2JjL

Penetrabilidad (WKB)

PL(ǫ0) = e−2

∫

bR0

√

2M

~2

[

2(Z−2)e2

R+ ~2

2ML(L+1)

R2−ǫ0

]

dR

Ancho reducido

γ2JjL

Calculando la penetrabilidad P y la amplitud del ancho reducido γ esposible calcular el tiempo de vida del núcleo padre, el cual decae por

emisión de una partícula alfa.

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1 Motivación

2 Generalidades

3 Ecuación de Geiger-Nuttall

4 Modelo de una partícula

5 Formación de la partícula alfa

6 Práctica

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Decaimiento del Plutonio 212

Decaimiento

212Po(0+) → α+208 Pb(0+)

Ji = Jf = 0 ⇒ L = 0.

Constante de decaimiento

λ =2

~P(R)γ2(R)

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Decaimiento del Plutonio 212

Penetrabilidad (Matriz R)

P(R) =ℜ(k0)R

|H+(k0R)|2

con Eα = ~k0

2µ la energía de la partícula α calculada a partir del valor

experimental de Qα.

Resonancia (Estado de Gamow)

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Decaimiento del Plutonio 212

Ancho reducido

γ(R) =

(

~2R

2µ

)1/2

F (R)

F (R) = 〈AφαφDY00|φP〉=

[√8] [√

4π]

∑

n,p

bnp

∫

d3ρ1

∫

d3ρ2

∫

d3ρ3

[

(

8β

π

)9/4

e−4β(ρ21+ρ2

2+ρ23)

]

[

(−)lnjn

4π√

2Rjn(r1)Rjn(r2)Pln (cos(θ12))

]

[

(−)lpjp

4π√

2Rjp(r3)Rjp (r4)Plp (cos(θ34))

]

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Decaimiento del Plutonio 212

Representación

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Decaimiento del Plutonio 212

Algunos estados de neutrón y protón

estado protón energía [MeV] estado neutrón energía [MeV]

0h9/2 -3.784 1g9/2 -3.926

1f7/2 -3.541 0i11/2 -2.797

0i13/2 -1.844 2d5/2 -2.0720j15/2 -1.883

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Decaimiento del Plutonio 212

Funciones de onda de dos nucleones

|Ψ2i,J〉 =∑

b≤a

Xab,J |ab, JM〉

Interacción

〈ab, JM|V |cd , JM〉 = −GJ f (ab, J)f (cb, J)

f (ab, J) =(−)la

√1 + δab

〈ja||YJ ||jb〉 I(ab)

Xab,J = NJf (ab, J)

ǫa + ǫb − EJ

(1)

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Decaimiento del Plutonio 212

Funciones de onda de dos protones y dos neutrones

|212Po〉 = |210Pb〉 ⊗ |210Po〉

Reemplazando todo en la constante de decaimiento

λ =2

~P(R)γ2(R)

y

γ(R) =

(

~2R

2µ

)1/2

F (R)

resulta...

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decaimiento del Plutonio 212

Γ = ~λ = 2P(R)γ2(R)

7 8 9 10 11R [fm]

1e-24

1e-23

1e-22

1e-21

1e-20

1e-19

1e-18

Abs

olut

e W

idth

[M

eV]

Pure configuration model spaceGendenning-Harada model spaceN7 model space

Γexp = 0.153 × 10−14 MeV ⇒ Texp1/2

= 0.3 × 10−3seg

Γcalc =Γexp

600MeV ⇒ T calc

1/2 = 180 × 10−3seg