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XXXV JORNADAS NACIONALES DE PROFESORES UNIVERSITARIOS DE MATEMATICA FINANCIERA

CONCURSO "PREMIO JOSÉ FERNANDO CARRIZO"

Titulo del trabajo:

APLICACIONES DEL CÁLCULO FINANCIERO A LAS FINANZAS

CORPORATIVAS:

LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS, EL MODELO GORDON – SHAPIRO Y SUS VARIANTES

Seudónimo utilizado: ESCUELA DE FINANZAS DEL CONO SUR

AÑO: 2014

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El presente trabajo explora algunas variantes propias de la temática de rentas, tales como las rentas de cuotas variables en progresión geométrica, cuando se presentan variaciones por intervalos de tiempo en la razón que vincula a cada termino con el termino siguiente y anterior, o bien cuando se producen variaciones en las tasas de rendimiento por períodos y se pretende mantener una tasa de variación en los flujos de fondos. Dichas particularidades poseen implicancias tanto en el mundo de las Finanzas Personales como tambien Corporativas, tal es el caso de del Modelo Gordon – Shapiro. Nos iniciamos haciendo una breve reseña teórica acerca del origen de la formula de una renta perpetua de cuotas variables en progresión geométrica, deteniéndonos en determinados puntos referidos a los posibles valores que puede asumir la razón, puntos a los que la teoría financiera tradicional no ha prestado demasiada atención, para luego abordar la cuestión mencionada. Finalizando hacemos mención a la continuación del estudio de estos modelos que llevaremos adelante en trabajos posteriores. La idea de publicar el presente material surgió luego de una conversación sostenida con el profesor Guillermo Lopez Dumrauff, en las XXXIV Jornadas Nacionales de Profesores Universitarios de Matemática Financiera, llevadas a cabo en la Universidad Nacional de la Matanza en Octubre de 2013, a quien va dedicado.

Gracias querido Guillermo

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RENTAS DE CUOTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Del análisis tradicional sabemos que el valor actual de este tipo de rentas suele ser determinado de la siguiente manera:

Pese a que es frecuente encontrarnos con la presente expresión, nosotros proponemos esta forma de expresión alternativa:

Simbolizamos con la letra a lo que denominamos el “factor plural de actualización de n cuotas variables en progresión geométrica de razón (q) a la tasa de interés (i)”. Considerando todas las variables lo representamos de la

siguiente mantera: Utilizamos una letra griega para expresar esta función con el fin de diferenciarla

del tradicional , factor plural de actualización de n cuotas constantes. Nótese que en la expresión (# #) ambas fórmulas son similares. Además puede evidenciarse fácilmente que cuando q=1 ambas funciones resultan ser idénticas,

por coincidir nuestro con , específicamente a la fórmula simplificada

( # # )

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de . Ahora bien, para poder explotar el potencial que tienen estas rentas como aplicación a nuestro análisis, nos interesa conocer cuál es el

comportamiento que asume a perpetuidad, es decir cuando n tiende a infinito; y en consecuencia determinar la cuota resultante. En otras palabras, estableceremos el valor actual de una renta perpetua con cuotas variables en progresión geométrica para luego determinar la forma de cálculo de su cuota inicial.

DEDUCCIÓN DE LA CUOTA INICIAL DE UNA RENTA PERPETUA DE CUOTAS VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Aplicando a la función del valor actual de este tipo de rentas el límite cuando n tiende a infinito tenemos:

De inmediato podemos advertir que nuestro factor plural de actualización de n

cuotas variables en progresión geométrica presentará un comportamiento diferente a perpetuidad que dependerá del valor que asuma la razón “q”; y por consiguiente, la determinación del valor de la cuota inicial tambien lo hará. Es decir:

Aplicando el límite de la función cuando n tiende a infinito y de acuerdo al valor que asuma la razón “q” tenemos que:

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Nótese que al analizar los posibles valores que asume la cuota inicial de nuestra renta perpetua con cuotas variables en progresión geométrica, esta arroja diferentes valores en función del valor que asuma la razón “q”. Cuando q=1 la renta coincide con una renta perpetua de cuotas constantes, por lo cual la cuota se determina de la misma manera: (Vv.i) Esto se debe a que el monto productor de intereses crece de un período al otro, siendo ese incremento precisamente los intereses ganados durante dicho período: (Vn.i). Siempre que q=1 las cuotas serán constantes. Conociendo que los intereses son proporcionales al fondo acumulado podemos llegar a la conclusión de que este último permanecerá constante, sin variación, lo que de hecho implica que todo lo generado por dicho monto es consumido. Las cuotas constantes periódicas que se consumirán no son otra cosa que la totalidad los intereses periódicos generados por el fondo acumulado (Vv.i). En otras palabras, los intereses generados en un período representan un incremento que se puede consumir sin alterar el valor del fondo acumulado, es decir, un consumo potencial que nos permitirá mantener constante dicho consumo. Consumir la totalidad de los intereses periódicos generados implica la no existencia de una decisión de reinvención de los mismos. El monto productivo no crecerá, pero al consumir únicamente lo producido tampoco disminuirá, se mantendrá siempre constante. Las cuotas son siempre proporcionales al fondo acumulado, por lo cual tambien serán constantes, es decir que de mantenerse invariable el monto productivo, este podrá generar una suma constante de intereses dada una tasa de interés. Este razonamiento es de hecho el análisis al que se llega cuando se estudian este tipo de rentas. Ahora bien, sabemos que la diferencia que experimenta el monto entre un período y otro esta determinada por el incremento que sufre el mismo en el intervalo de tiempo en cuestión, que como dijimos es “Vv.i”. Así, el monto acumulado al final de un período cualquiera se puede obtener en función del valor al que ascendía dicho monto al inicio multiplicándolo por (1+i). Tomar la decisión de reinvertir la totalidad de los intereses ganados implicaría asumir por analogía una conducta de capitalización compuesta de intereses. Todo esto nos permitiría incrementar el monto de un período a otro en (1+i) veces. Esta

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conducta requiere una abstención de consumo total, por lo que si en nuestro análisis pretendemos determinar una cuota de consumo, esta situación sería realizable sólo cuando el consumo sea igual a 0 perpetuamente, situación de muy difícil, sino imposible aplicación. Si se desea mantener un consumo, por mínimo que este sea, la razón de la progresión jamás podrá asumir el valor de (1+i). Tal vez podrá decidirse consumir una cantidad extremadamente pequeña y reinvertirse el resto. El monto se incrementará debido a la reinversión de los intereses y tambien las cuotas experimentarán dicho incremento en forma proporcional. Ese incremento podrá aproximarse infinitamente al valor (1+i), pero jamás se podrá llegar a asumir dicho valor. A medida que el valor de la razón se aproxime a 1 el valor de las cuotas será cada vez mayor, aproximándose cada vez más al valor de la cuota constante de una renta perpetua. El mayor valor que irán asumiendo es consecuencia de haber tomado la decisión de consumir una parte mayor y reinvertir una cantidad menor de los intereses, por lo que el monto experimentará un incremento más pequeño y en forma proporcional tambien lo harán las cuotas. Cuanto mas se aproximen las cuotas al valor de la cuota constante de una renta perpetua, menor será la reinversión de los rendimientos obtenidos, menor el incremento del moto productivo y menor el incremento de las cuotas, es decir que cuanto mas se aproximen las cuotas al valor de la cuota constante de una renta perpetua menor será el valor de la progresión. Esta situación en la que 1 < q < (1+i) presenta un muy interesante atractivo para nuestro análisis, ya que nos permite determinar un consumo menor al consumo potencial (Vv.i) y reinvertir la diferencia. Esa reinversión incrementará el fondo acumulado y su consecuencia inmediata será un incremento proporcional del consumo potencial. De mantener esta conducta en el tiempo, nos permitiría tener una cuota de consumo creciente en progresión geométrica. Esta es la situación que luego analizaremos. Sabemos pues que el consumo potencial que nos permite mantener un consumo constante esta dado por (Vv.i). Si se adopta la decisión de mantener un consumo que este por encima de dicho valor, implicaría la necesidad de tener que consumir una parte del Fondo Acumulado, por lo que el consumo potencial de los próximos períodos se vería reducido. De mantenerse este comportamiento en el tiempo se consumirían no solo los intereses, sino tambien el Capital productivo, disminuyendo cada vez más el consumo potencial y el capital. Tal es la situación que se presenta cuando 0 < q < 1. La cuota inicial es superior al consumo potencial, por lo que desde la primera cuota se consume una parte del capital productivo, lo que nos arroja una suerte de cuotas decrecientes a perpetuidad, cuyo valor converge en 0. Esta decisión

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implica de hecho consumir la totalidad del capital productivo, obteniendo un consumo cada vez menor basado en una conducta de desahorro. El caso mas extremo se presenta cuando q = 0, en donde el valor de todas las cuotas de la renta será igual a 0, a excepción de la primera, por lo que esta situación no se condice con el concepto de renta, e implicaría de hecho consumir todo el fondo acumulado de una sola vez, situación que desecharemos totalmente de nuestro análisis. Sobre este tema, cabe destacar que en trabajos anteriores, en nuestro análisis referido a las posibles aplicaciones del cálculo financiero en la Teoría del Ciclo Vital del Ahorro, excluimos toda conducta que implique un consumo superior al potencial. Esto se debe a que, a diferencia de la Teoría de Franco Modigliani, damos una destacada importancia al papel que juegan las herencias en la planificación del ciclo de vida. Por tal razón no nos detenemos en el estudio de rentas vitalicias, propio del cálculo actuarial, sino que basamos toda nuestra teoría en el estudio de las rentas perpetuas. De lo expuesto podemos afirmar que la única alternativa de decisión viable, si lo que se desea es incrementar el consumo efectivo, potencial y la riqueza acumulada a través del tiempo resulta ser:

Aplicando límite cuando “n” tiende a infinito para este caso, tenemos

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Esta es una alternativa de expresar la tasa de consumo en función de la razón de la progresión geométrica. Otra forma es la siguiente: Reemplazamos “q” por su forma equivalente y simplificamos.

Sea cual fuere la forma de expresar lo mismo, la función es la siguiente:

Veamos un Ejemplo numérico Supongamos una persona que durante todos sus años de juventud aparto una parte proporcional y periódica de su ingreso anual (dicho ahorro ascendía a la suma de $12.000) y constituyo una renta de ahorro durante 15 años, para luego

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depositar todo ese fondo acumulado durante 15 años mas, siendo la tasa anual que ganaron los fondos ahorrados del 18%. Vencido ese plazo de tiempo y acaecida la edad jubilatoria decide realizar otra inversión que tambien le ofrece un 18% anual, optando por consumir al momento de cobrar la renta el 8% del capital ahorrado. Esto supone que al ganar un 18%, se estaría reinvirtiendo el 10% restante, por lo que el fondo acumulado crecerá indefinidamente a esta tasa y por consiguiente tambien lo hará la proporción de la renta consumida. De mantenerse esta conducta de reinversión, el ciclo vital del ahorro, al que hemos hecho alusión en trabajos anteriores, jamás termina, subsistirá aun en la vejez, ya que el agente económico en cuestión podrá determinarse un nivel de consumo significativamente mayor al consumo que tuvo durante toda la vida laboral y capitalizar los excedentes obtenidos, de manera que tanto el nivel de consumo como el fondo acumulado presenten un comportamiento geométrico o exponencial perpetuo. Determinación del valor final de la renta de ahorro:

Determinación del valor de la renta potencial constante y perpetua:

Determinación de las partes consumidas y reinvertidas

En el siguiente cuadro se presenta la evolución del Fondo acumulado y de la renta de consumo para los primeros 17 años. La columna correspondiente al rendimiento periódico obtenido construye un consumo potencial si lo que se desea es mantener constante a perpetuidad el fondo acumulado y los flujos de fondos resultantes de la inversión del mismo. Puede observarse que de mantener esta conducta de reinversión el capital y la renta se van incrementando, y que al cabo de 10 años, la parte de la renta consumida supera a la renta potencial y perpetua del año uno.

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Aplicaciones a las Finanzas Corporativas: El Modelo Gordón - Shapiro

También conocido como el modelo de los dividendos crecientes a tasas

constantes, es una variación del modelo de análisis de flujos de fondos

descontados, utilizado por la doctrina y practica financiera en los procesos

destinados para valuar acciones o empresas. Es sin dudas uno de los modelos

más conocidos y utilizados en la actualidad para valorizar empresas que

presentan crecimientos moderados, constantes e ininterrumpidos.

Este modelo establece que valor el teórico de una acción esta determinado por

el valor actual de los dividendos futuros que la misma generara, los cuales

supone crecientes a perpetuidad, siendo la tasa de crecimiento constante en

cada periodo. De esta manera, conociendo o estimando la tasa de

rentabilidad y de crecimiento de la inversión y el dividendo del año próximo es

posible determinar el valor teórico o precio de una acción o empresa.

Expresando Matemáticamente lo antes mencionado, tenemos:

En donde:

• Pn: es el valor teórico de una acción para el año n.

• Dn: es el dividendo del año n, que se multiplica por (1+g) para obtener el

dividendo del año próximo.

•g: es la tasa anual y acumulativa de crecimiento de los dividendos. En el

presente trabajo nosotros la hemos simbolizado con la letra griega lambda ( ).

• ke: es la tasa de rentabilidad anual de la inversión.

Nótese que la lógica del modelo es la misma a la planteada al momento de

analizar el valor actual de una serie perpetua de términos variables en progresión

geométrica. Si lo que se desea es obtener un flujo periódico creciente a

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perpetuidad, y por ende un crecimiento constante y permanente de la riqueza

acumulada, la razón de crecimiento de los flujos de fondos (q) deberá ser

necesariamente algún valor contenido entre 1 y (1+i):

O lo que es lo mismo, la tasa de crecimiento de los flujos de fondos (g),

simbolizada por nosotros con la letra ( ), deberá ser mayor que cero e inferior a

la tasa de rendimiento que gana la inversión, que en el caso de las empresas se

corresponde a la tasa de rentabilidad sobre recursos propios, simbolizada con el

nombre de “ROE”.

No obstante a su gran utilidad, este modelo suele ser criticado por no contemplar

situaciones tales como:

la imposibilidad de las empresas para sostener una tasa de crecimiento (g)

constante a largo plazo, y menos aun cuando ese lapso de tiempo tiende a

ser perpetuo, o bien

que la tasa de rentabilidad esperada (ke) alcance un nivel suficiente como

para cubrir las expectativas de revalorización, ya que si se incrementase

esta tasa esperada se reducirá el valor teórico de las acciones y viceversa.

Ante estos casos, las empresas podrían optar por establecer una política de

dividendos basada en el crecimiento sostenido de los mismos, pero contemplando

situaciones temporales en las que se enfrente ante la imposibilidad de continuar

dicho crecimiento; o incluso contemplar su reducción.

El modelo que presentamos a continuación propone una serie de términos

variables en progresión geométrica, presentando variabilidades en la razón en

determinados intervalos, resultando posible valuar empresas que prevén un

comportamiento de variación geométrica en sus dividendos, variable por

intervalos, sin la necesidad de recurrir a la actualización individual de todos los

flujos generados.

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Análisis de algunas variantes en la temática de rentas – Segunda Parte

Imaginemos la situación en la que una persona desea conocer el valor actual de una renta cuyas cuotas varían en progresión geométrica. El análisis tradicional nos presenta la siguiente fórmula para resolver dicha situación:

Ahora bien, puede presentarse la situación en que una renta de cuotas variables en progresión geométrica presente además intervalos de tiempos en dónde exista una variabilidad en la razón. Tal situación requerirá de un análisis más exhaustivo. Imaginemos el siguiente caso: Una persona desea determinar el valor actual de una renta de cuotas variables en progresión geométrica que presenta las siguientes características:

Posee una cuota inicial de $100 Las primeras 8 cuotas presentan un comportamiento creciente,

incrementándose un 20% de un período al siguiente, por lo que la razón de las mismas es igual a q1= 1,20

A partir de la novena cuota se modifica la razón en la progresión de las mismas, pasando a ser igual a q2= 0,90 por 12 períodos mas.

Transcurrido ese plazo de tiempo, las cuotas comienzan a incrementarse un 12% periódicamente, siendo la razón de las mismas igual a q3= 1,12 durante 9 períodos mas.

SOLUCIÓN: DATOS:

Al variar la razón de la progresión, la cuota siguiente es determinada en función de la inmediata anterior, multiplicada por el nuevo valor de la razón, es decir que el valor de la novena cuota estará determinado por el valor de la octava cuota multiplicada por 0,9. Transcurrido el tiempo considerado, el nuevo cambio en la razón determina igual procedimiento de cálculo de la cuota número 21.

DETERMINACIÓN DEL VALOR ACTUAL:

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Puede observarse que las cuotas en la los primeros 8 períodos crecen a una tasa del 20%, hasta llegar al momento numero 9 en que comienzan a disminuir un 10% en forma periódica, hasta llegar al período 21 en que nuevamente comienzan a crecer a un ritmo del 12%. Así las cuotas numeró 9, y 21 pueden calcularse de la siguiente manera: C9 = C8 . 0,90 = C1 . 1,20

8-1 . 0,90 = 100 . 1,20

7 . 0,9 = 322,49

C21= C20 . 1,12 = C1 . 1,20

8-1 . 0,90

12 . 1,12 = 100 . 1,20

7 . 0,9

12 . 1,12 =

113,34 El valor actual de la renta puede determinarse mediante la suma del valor actual de cada una de las cuotas. Esta metodología de cálculo no presenta mayores inconvenientes siempre que los períodos analizados sean pequeños. Cuando la cantidad de cuotas adquiera un número considerable será necesario recurrir a otros métodos calculatorios.

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DETERMINACIÓN DEL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA DE CUOTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CON VARIABILIDAD EN LA RAZÓN (PARA 3 VARIACIONES) Dada una renta que presente un comportamiento similar al anterior, podemos determinar su valor actual de la siguiente manea: Partiendo de:

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El valor actual de la renta estará determinado por la siguiente suma:

Sacando factor común en algunos sus términos, tenemos:

Resolviendo cada una de las progresiones geométricas:

Simplificando:

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Llegamos a la siguiente expresión:

La cual puede expresarse de esta manera:

Sacando factor común tambien podemos expresarla de esta otra forma:

O bien

Esta función nos permite determinar el valor actual de una renta de “n” cuotas variables en progresión geométrica, en donde la razón de las mismas experimenta tres variaciones en total. Si observamos con atención podemos advertir en (***) que la función sigue un patrón determinado, por lo que de comprender este comportamiento podríamos establecer la fórmula necesaria para determinar el valor actual de rentas cuya razón presente un mayor o menor número de variaciones, pero ese no será nuestro caso, pues no deseamos hacer el tema mas complejo y extenso aún, no obstante quedará propuesto al lector y será presentado en un trabajo posterior. VERIFICACIÓN:

(***)

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DATOS:

Reemplazando cada variable por su respectivo valor:

Desde este momento comenzaremos a denominarla a la cuota inicial (C1) simplemente con la letra “C” con el fin de utilizar una misma nomenclatura, ya que la cuota expuesta a estas variaciones será desde luego la número 1.

Partiendo de la fórmula que hemos determinado procederemos a resolver la situación antes planteada.

Hemos llegado mediante la aplicación de nuestra fórmula al valor actual anteriormente determinado de la renta. Esta función también resultará ser aplicable aun en aquellas situaciones en las que la suma de los períodos analizados adquiera valores cuantiosos o incluso perpetuos.

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Advirtiendo los posibles valores que pueden asumir cada una de las razones, pueden presentarse a modo de ejemplo algunas rentas cuyas cuotas tendrán los siguientes comportamientos:

Hace instantes decíamos que la utilidad de esta compleja función radica en que resultará ser aplicable aun en situaciones en las que la suma de los períodos analizados adquiera valores cuantiosos e incluso perpetuos. A continuación analizaremos el comportamiento a perpetuidad de dicha función: DETERMINACIÓN DEL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DE CUOTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CON VARIABILIDAD EN LA RAZÓN (PARA 3 VARIACIONES) Partiendo de la formula en estudio:

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Aplicaremos el límite cuando n tiende a infinito:

Ahora bien, sabemos que el período “n” analizado no es otra cosa que la suma de los tres subperíodos de los que este se compone, por lo que:

Si “n” tiende a infinito significa que el comportamiento a perpetuidad será solo aquel correspondiente al tercer subperíodo, es decir K3, ya que los períodos anteriores presentaran un comportamiento determinado por intervalos de tiempos finitos, por lo que nuestro análisis deberá centrarse solamente en el estudio del comportamiento a perpetuidad del factor plural de actualización de n cuotas variables en progresión geométrica correspondiente al tercer período, a saber:

En este punto sólo nos remitiremos a afirmar todo lo analizado anteriormente en las paginas dedicadas al estudio a perpetuidad de este particular factor plural de actualización, reconociendo que la única alternativa posible y viable a perpetuidad está dada cuando 1 < q < (1+i), situación en la que siempre existiría una tasa de reinversión positiva que permitirá lograr un crecimiento geométrico en las cuotas. Siempre que 1 < q < (1+i), el valor actual de este factor analizado a perpetuidad será:

Por lo que la expresión analizada quedará determinada de la siguiente manera:

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Esta fórmula posee importantísimas aplicaciones a las finanzas personales; y por analogía además resulta ser aplicable a un sinnúmero de casos y situaciones no contempladas en el presente trabajo, algunas de ellas serán objeto de trabajos posteriores. Como aplicación a las Finanzas corporativas, cabe destacar que resulta ser una variante del “Modelo Gordon – Shapiro” ya que en función del valor de los dividendos futuros puede determinarse cual es el valor teórico de una empresa o acción, contemplando variaciones temporales en el valor de los dividendos distribuidos, es decir que es posible contemplar que la tasa de crecimiento a largo plazo (g) presente variaciones. A su vez, partiendo de la siguiente expresión de la formula:

Podemos contemplar la posibilidad de que además de presentarse una variación en la tasa de crecimiento de los dividendos, puedan presentarse a su vez variaciones en la tasa de rentabilidad de las inversiones de la empresa en cuestión, lo cual afectaría el valor presente de la misma. Por otra parte, conocido el valor teórico actual de la empresa y su tasa de rentabilidad o ROE, podemos determinar el comportamiento futuro potencial de las políticas de dividendos, admitiendo variaciones en los mismos sin alterar su valor actual, lo que permitiría analizar distintos escenarios posibles. Para terminar, aclaramos al lector que en el presente material solo se han considerado variaciones en los flujos de fondos futuros, generados por una renta, de tipo geométrico. No obstante este tipo de variaciones no son suficientes para

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explicar situaciones en las que los dividendos crecen en forma permanente pero a un ritmo cada vez menor. En la realidad es frecuente observar que los dividendos presentan comportamientos crecientes en progresión geométrica durante algún intervalo o lapso de tiempo, después del cual comienzan a crecer a un ritmo más desacelerado hasta llegar a un punto en el que tienden a converger en un valor constante. Esta segunda etapa, analizada desde una óptica funcional, presenta como primera derivada un valor positivo, lo que implica que es una función creciente, pero su derivada segunda resulta ser negativa, coincidente con el crecimiento desacelerado mencionado. En estos casos la función presenta un punto de inflexión, un cambio en la concavidad de la misma y constituye en esencia el caso más común que la evidencia empírica ha podido demostrar. Gráficamente:

Esta última situación que hemos descrito resulta ser un caso muy interesante que por cuestiones de tiempo y extensión del presente material no hemos podido incluir. Es un caso en el que resulta ser necesario recurrir a la hibridación de rentas, es decir, a cuotas que varían mediante la multiplicación y suma de valores constante, ambas cosas a la vez, resultando ser abarcativo de todos los demás casos, a modo de formula general. Pero eso no será sino hasta la presentación del siguiente trabajo.