Deduccion_emc2

RELATIVIDAD ESPECIAL DE EINSTEIN Deduccin de

Javier Garca GILAB / IFAE

EL PLAN

1.- PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD 2.- TRANSFORMACIN DE LORENTZ 3.- DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO 4.- DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO 5.- TIEMPO PROPIO DILATACIN DEL TIEMPO 6.- CUADRIMOMENTO 7.- ENERGA

Suposiciones previas: a) El espacio es homogneo e istropo. b) El tiempo es homogneo.

Suposiciones de la Relatividad de Einstein: c) Todos los observadores que se desplazan a velocidad constante uno de otro (observadores inerciales) son "equivalentes" en el sentido de que experimentan las mismas leyes generales de la naturaleza.

PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD

d) Todo observador mide la misma velocidad para la luz independiente de la velocidad de la fuente.

a), b) y c) implican:

p q

r s

1

1psqrs q

r p

o Mismo evento descrito por dos observadores A y B con movimiento relativo a velocidad velocidad constante.

TRANSFORMACIN DE LORENTZ

Imposicin velocidad relativa v:

p s


Imposicin de d)

Substituyndolo todo:


Pero c) obliga a que la transformacin y su inversa tengan la misma forma excepto el cambio de signo en la velocidad relativa. Hemos de obligar a que:

p 1p 1 v

2

c2

La solucin a esta ecuacin es: p 11 v

2

c2

Sustituimos:

tB

xB 1

1 v2

c2

1 vc2

v 1

tA

xA

tA

xA 1

1 v2

c2

1 vc2

v 1

tB

xB


Llegamos a las transformaciones de Lorentz:

tB 1

1 1c2v2

tA vc2

xA

xB 1

1 1c2v2

vtA xA

Normalmente se le llama 11 1

c2v2

y vc con lo que:

tB tA c xA

xB ctA xA


PRIMERA CONCLUSIN Cada punto del espacio tiempo representa un EVENTO. Cada observador inercial asigna un par de nmeros (tiempo y posicin) que deben estar relacionados por las transformaciones de LORENTZ para preservar los principios de relatividad y la homogeneidad y la isotropa del espacio.

Por qu no se detect antes? Porque la velocidad de la luz es enorme c=310m/s. Por lo que:

tB tAxB vtA xA

Galileo

DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO

Dos puntos del espacio

x1

y1

x2

y2

PASOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA

en donde la regla de multiplicacin escalar es1 0

0 1

1) Restamos

xA

yA

x2A

y2A

x1A

y1A

x2A x1

A

y2A y1

A

2) Lo multiplicamos por l mismo

xA yA1 0

0 1

xA

yA x1A x2A

2 y1A y2A2

R cos sin

sin cos

Rotaremos los dos puntos y volveremos a calcular la distancia:

cos sin

sin cos

x1A

y1A

x1A cos y1

A sin

y1A cos x1

A sin

cos sin

sin cos

x2A

y2A

x2A cos y2

A sin

y2A cos x2

A sin

Restamos:

xB

yB

x2A cos x1

A cos y1A sin y2

A sin

y2A cos y1

A cos x1A sin x2

A sin


xB yB1 0

0 1

xB

yB x1A x2A

2 y1A y2A2

Coinciden!

CONCLUSIN Existe una cantidad nmerica (distancia al cuadrado) asociada a dos puntos cualesquiera del espacio que es independiente del estado de rotacin del observador, es decir, todo observador mide lo mismo.


PREGUNTA Existe alguna cantidad numrica asociada a dos puntos del espacio tiempo en la que estn de acuerdo todos los observadores inerciales?

RESPUESTA S, pero no es exactamente igual a la del espacio ordinario.

(se puede demostrar sustituyendo las transformaciones de Lorentz)

DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO

Cul es la 'regla de multiplicacin' (mtrica)? Es decir, qu matriz tenemos que poner entre dos 'eventos' para que al multiplicar d la 'distancia al cuadrado?

M P

P Q

Desarrollando:

Mt2 Qx2 2Ptx c2t2 x2

Por lo que:

M c2

Q 1P 0

As pues la mtrica del espacio tiempo es:

DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO

Dos observadores con velocidad relativa v

c2tA2 xA2 c2tB2 xB2

Una mosca est en el origen de coordenadas de B todo el rato:

c2tA2 vtA2 c2tB2 02

c2 v2 tA2 c2tB2

1 v2

c2tA2 tB2

1 v2

c2tA tB

tA 11 v

2

c2

tB

TIEMPO PROPIO DILATACIN DEL TIEMPO

EX: Si el observador B va al 99% de la velocidad de la luz, y si el reloj de la mosca marca un entonces el reloj del observador A marca:

tB 1s

tA 110.992

1 7. 0888s

tA tB

TIEMPO PROPIO DILATACIN DEL TIEMPO

Ejemplo numrico

tA 11 v

2

c2

tB

c2t2 x2 IGUAL PARA TODO OBSERVADOR t IGUAL PARA TODO OBSERVADOR

m IGUAL PARA TODO OBSERVADOR

Resulta que da:

m2c2t2x2

2 IGUAL PARA TODO OBSERVADOR

m2c2t2x2

2 m2c2

Desarrollando un poco:

c2m2 mu2 m2c2

con 11 u

2

c2

CUADRIMOMENTO

comparando:

c2m2 mu2 m2c2

CUADRIMOMENTO

c2t2 x2

Interpretacin de sus componentes

Velocidades pequeas

11 u

2

c2

1 u2

2c21

10.12 1. 005

1

10.12 1 0.1

2

2 1. 005

mu mu1 u

2

c2

mu p mu

Ejemplo numrico

ENERGA y MOMENTO RELATIVISTA

Por lo que:

E m2c4 p2c2

1

1 u2

c2

1 u2

2c2 m m mu

2

21

c2

mc2 mc2 mu2

2E mc2

ENERGA y MASA RELATIVIDAD

E m2c4 p2c2

Si el objeto est en reposo u 0 p 0

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