–

DEFINICIÓN Es aquella operación que tiene por finalidad hallar una expresión denominada cociente dadas otras dos denominadas dividendo y divisor tal que el valor numérico del dividendo es igual al producto de los valores numéricos del divisor y el cociente más el valor numérico del resto para cualquier sistema de valores atribuidos a sus letras.

CASOS QUE SE PRESENTAN:

I. Caso:

División de monomios:

5 4 3

2 3 2

42x y zJ

3x y z

−=

II. Caso:

División de un polinomio entre un monomio:

6 5 3 7 5 2

2

42x y 21x y 35x yW

7xy

− +=

III. Caso: División de dos polinomios: Se debe tener en cuenta que los polinomios deben ser completos y ordenados en forma decreciente con respecto a una letra llamada ordenatriz, si faltase alguna variable se reemplazaran por CEROS.

Para dividir dos polinomios se utilizan los siguientes métodos. 1. Método clásico o general 2. Método de los coeficientes separados 3. Método de los coeficientes indeterminados 4. Método de Horner 5. Método de Ruffini

2 UBIQUENOS: AV. BERRIOZABAL 312

PROPIEDADES: A. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

Q D d = −

B. # Tér minos G 1

= +

C. El grado del residuo es siempre menor que el grado del divisor, su máximo grado es una unidad menor que el grado del divisor.

maximoR d 1= −

Con estos criterios básicos, ahora bien pasaremos a ver como se resuelve la división entre

polinomios: Ejemplo 1:

Dividir 2 3 4

74x 7x 16 7x 12x− + − + entre: 2

3x 4 7x− −

Resolución: • Para dividir los polinomios por el método de Horner los polinomios, tanto el dividendo

como el divisor deben estar ordenados en forma decreciente, con respecto al exponente de la variable. Entonces ordenando el dividendo y el divisor obtendremos:

4 3 212x 7x 74x 7x 16− + − + entre

23x 7x 4− −

º • Enseguida colocamos los coeficientes del dividendo y el divisor en el siguiente sistema gráfico, compuesto por dos líneas horizontales y dos verticales:

1

2

43

1er coeficiente del divisor

con su propio signo

1ra.

Col

umna

2da.

Col

umna

3ra

. Col

umna

4ta

. Col

umna

5ta

. Col

umna

Los

dem

ás c

oefic

ient

es d

el d

ivis

or

con

sign

o ca

mbi

ado

Número de columnas

igual al grado del divisor

1ra. linea Horizontal

2da. linea Horizontal

1ra. linea Vertical

2da. linea Vertical

→

→

→

→

1

2

3

4

C

Coeficientes

del

divisor

COEFICIENTES DEL DIVIDENDO COEFICIENTES DEL DIVIDENDO

COEFICIENTES DEL COCIENTE COEFICIENTES DEL RESTO

Colocando los coeficientes, el esquema queda así: • Una vez ubicado los coeficientes del

dividendo y del divisor en el esquema, se traza la 2da línea vertical que separa a los coeficientes del cociente y del residuo y se procede a dividir así:

• Se divide el 1er coeficiente del dividendo entre el 1er coeficiente del divisor: 12 3 4 = ; este resultado se coloca en la primera columna y debajo de la segunda línea horizontal, luego se multiplica por los coeficientes del divisor que han sido cambiados de signo: 4 7 28 = ;

4 4 16 = ; ambos resultados se colocan en la 2da y 3ra columna, respectivamente y en una fila. Luego la suma de la segunda

columna ( )28 7 21+ − = ; se vuelve a

dividir entre el primer coeficiente del

divisor ( )21 3 7 = , resultado que se

coloca en la 2da columna y debajo de la 2da línea horizontal para luego multiplicarse por los coeficientes del divisor que han sido cambiados de signo, estos productos: 49 y 28 en la 3ra y 4ta columna y debajo de la primera fila en que se colocaron los anteriores productos, con la suma de la tercera columna se procede en forma análoga que la anterior, pero las cantidades de las columnas que están a la derecha de la 2da línea vertical se suman y ya no se dividen entre el primer coeficiente del divisor, simplemente se colocan en el espacio destinado a los coeficientes del residuo.

→ Cociente: ( ) 2Q x 4x 7x 3= + −

→ Residuo: R 4=

Ejemplo 2: Dividir:

4 3 2

2

12x 13x 57x 32x 8

4x 5x 6

− − + +

+ −

Resolución:

→ Cociente: ( ) 2Q x 3x 7x 1= − −

→ Resto: ( )R x 5x 2= − +

Ejemplo 3: Dividir:

6 5 4 3

3 2

2x 5x 10x 2x 10x 3

x 2x 3x 4

+ + + − −

+ + −

Resolución:

3 12 7 74 7 16

7 28 16

4 49 28

21 12

4 7 3 0 4

− − −

− −

−

21

9−

Coef.

Cociente

Coef.

Resto

1 2 5 10 2 0 10 3

2 4 6 8

3 2 3 4

4 4 6 8

6 9 12

2 1 2 3 8 11 9

− −

− − −

− − −

− −

− −

− −

1 2 3

Coef.

Cociente

Coef.

Resto

4 12 13 57 32 8

5 15 18

6 35 42

5 6

3 7 1 5 2

− −

− −

−

−

− − −

28− 4−

Coef.

Cociente

Coef.

Resto

4 UBIQUENOS: AV. BERRIOZABAL 312

• Cociente:

( ) 3 2xQ 2x x 2x 3= + + +

• Resto: ( ) 2R x 8x 11x 9= − − +

1. Hallar el cociente y el residuo de dividir:

6 5 4 3

3

15x 9x 56x 70x 73x 23

3x 7x 11

− + + + −

+ +

Dar como respuesta el coeficiente del término cuadrático del resto. a) 16 b) –16 c) 15 d) –3 e) 3 2. Determinar “m” y “n” si la división:

4 3

2

x 3x mx 2n

x 2x 4

− + −

− +

Es exacta. a) 6 y 1 b) 1 y 6 c) 8 y 12 d) 12 y 8 e) 14 y 6

3. Calcular: “ A C+ ” si la división:

5 4 3 2

2

4x 4x 3x Ax 3x C

2x x 2

+ + + + +

+ +

deja como resto: ( )2 x 5−

a) 4 b) –4 c) 7 d) –7 e) 3

• 11 A

22

− =

A 7=

• C A 1 10− + = − C 4= −

4. En la siguiente división:

( )4 3 2 2 2

2

9x 6ax a 3b x abx 9a

3x ax b

+ + + + +

+ −

el residuo obtenido es de grado cero e igual a:

2R 6ab b= +

Calcular: 2 2

2

3a bE

a

+=

a) 12 b) 16 c) 15 d) 24 e) 35

5. Determinar “m

n” ( )n 0 , si la división:

4 3 2

2

24x 11x n x m

8x x 3

+ + +

+ −

deje como resto: ( )R x 6x 1= −

a) –2 b) –1 c) 0

d) 2 e) 1

2

6. El residuo de la siguiente división: 4 3 2

2

3x x 2x ax a

x x 1

− + + +

+ −

N no es de primer grado.

Calcular el resto: a) 13 b) 15 c) 18 d) 20 e) 22

7. Si: c 2a y la división:

( )

3 2 3

2

x 7a x 6b

x a c x ac

− +

− + +, es exacta:

Calcular: 6a 6b 2c

b

+ −

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

8. Calcular: “ a b+ ” si la división: ( ) ( ) ( )5 4 3 2

2

ax 2 3 a x 12 a x b 6 x 2bx b

x 2x 1

+ + + − + − + −

+ − da un cociente entero que evaluado para

x 2= , es 39, además: +

a y b

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

5

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9. En la división: 4 3

2

ax ax ax 1

x x 1

+ + +

+ −

El residuo es 4. Hallar la suma de coeficientes del dividendo: a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) –12

1. Calcular “ ab ” si la división es exacta: 4 3 2

2

x 2x 3x ax b

x 2x 5

+ − + −

+ −

a) 10 b) 20 c) 25 d) 40 e) 45 2. Hallar “ a b n+ + ”, si la división:

5 4 3 2

3

x 2x 4x 19x ax 12 b

x 7x 5

− − + + + +

− +

deja por residuo: 2

mx 2x 6+ − a) 32− b) 32 c) 31 d) 31− e) 30 3. En el siguiente esquema de Horner:

1 a 3 20 1 f

p 7 b

3 4 c

d e

7 4 5 16 10

−

−

− −

Hallar: “ a b c d e f p+ + + + + + ”

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 4. Hallar “ m n− ”, si la división:

4 3 2

2

mx nx 22x 13x 15

6x 4x 5

− + − −

− +

es exacta: a) 20− b) 21− c) 22− d) 23− e) 24

5. Si: 8

2

x ax b

x 2x 1

+ +

− +

da como resto 8x 7−

Hallar el valor de: “ a b+ ” a) 0 b) 1 c) 2 d) 1− e) 2−

1. Calcular: 2 2

A B+ , si la división: 4 2

2

3x 5x Ax B

3x 3x 2

+ + +

+ +; es exacta:

a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 2. El polinomio:

( ) 8 6 4 2P x x 4x 2x 3x 2= − + − +

se divide entre ( )2x x 1− . Si se obtiene

( )R x como residuo, hallar:( )

( )

R 0

R 1

a) –1 b) 1 c) 0 d) –2 e) 2 3. Si el residuo de la división

4 3 2 2 3 4

2 2

6x x a 6x a 5xa 3a

2x xa 2a

− − − −

+ −

es: 16− , hallar “a” a) –1 b) –2 c) –3 d) 1 e) 2 4. De acuerdo al esquema de Horner:

2 a b c d e f

m 4 12

n p 3

q 9

0 0

4 1 3 0 10 1

−

−

6 UBIQUENOS: AV. BERRIOZABAL 312

Hallar la suma de coeficientes de dividendo. a) 9 b) 10 c) 7 d) 8 e) 6

5. Si la división: 4 3 2

2

mx nx x x 6

x x 2

+ + − −

− +

es exacta, entonces el valor de: 2 2

m n+ a) 5 b) 10 c) 15 d) 37 e) 40 6. Si en una división:

( ) 4 3 2P x 4x 2x 22x 69x 61= − − + −

el dividendo; ( ) 2Q x 2x 4x 8= + − el

divisor, ( )S x el cociente y ( )R x el residuo, resolver la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )Q x S x R x 0− + =

a) 2 b) 4 c) 1 d) 6 e) 5 7. Si al efectuar:

5 4 3 2

2

mx nx 2x 2x 12x 4

7x 2x 5

+ + − − −

− −

el residuo es 1. Calcular: m n−

a) 9 b) 11 c) 13

d) 15 e) 17

8. Calcular: “ m n+ ” si la división deja

como resto: ( )2x 3+ 4 3 2

2

x mx nx 18x 12

x 4x 3

+ + − −

+ +

a) 4 b) 3 c) 5

d) 1 e) 2

9. Reconstruir la siguiente división por el método de Guillermo Horner.

( )5 a 6 6b c 0

1

2 a b 3

+

−

− − −

Dar como respuesta: ( )a b c

+ ++ +

a) –4 b) 1 c) 10 d) 8 e) 6

10. En la siguiente división:

( )4 3 2 2 2

2

9x 6ax a 3b x abx 9a

3x ax b

+ + + + +

+ −

el residuo obtenido es de grado cero e igual a:

26ab b+ ; Calcular

( )2 2

2

3a b

a

+

a) 13 b) 12 c) 18 d) 10 e) 11

11. Sabiendo que la división: 5 4 3 2

4 2

ax 5x ax mx ax p

x kx 1

− − + − +

− −

es exacta, halle el residuo de la división: 2

mx kx p

mx 4

+ +

−; a 0

a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 5

12. Cuando el polinomio: 4 3 2

8x Ax Bx Cx D− − + +

Se divide entre 2

2x x 1− + , se obtiene un cociente cuyos coeficientes van disminuyendo de 1 en 1 a partir del primer término y un residuo igual a 5x 1+ Hallar: “ A B C D+ + + ” a) 2 b) 21 c) 15 d) 12 e) 13

7

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13. Si la división: 5 4 3

3 2

ax 55x bx 3x 15

5x 5x 2x 2

+ + − +

+ − −

deja el residuo: 2

37x x 9.− + Hallar “

a b+ ” a) 23 b) 27 c) 28 d) 22 e) 26

14. Qué valor adquiere: n 19

k 1

+

+, si la

división 19

2

x nx k

x 2x 1

− +

− +, sea exacta.

a) 1 b) 2 c) 19 d) 38 e) 4 15. Hallar el resto de:

21 17 5

2

2x 3x 2x x 3

x x 1

+ + − +

− +

a) 6 6x+ b) 5x 5− c) 6x 6− +

d) 5 5x− e) 3x 16. Si la siguiente división:

4 3 2 2 3 4

2 2

x 3x y x y axy by

x xy 2y

− + + +

− +

tiene como resto: 3 4

2xy 3y+

Calcular: b a

E a b= + a) 0 b) –5 c) 4 d) –2 e) –3 17. Calcular: “ A B− ”, si la división es exacta:

4 3 2

2

12x Ax Bx 31x 15

4x 5x 3

− + − −

− −

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 18. Hallar “m” sabiendo que:

4 32mx mx 6x 24− + −

es divisible entre: 2

2x x 4− +

a) 4 b) 3 c) 6 d) 7 e) 2

19. Calcular “ a b c+ + ” si en la siguiente división:

( ) 2 4 3

2

a 1 x 3 ax 3x 2x

x x 1

+ + + + +

+ +

el resto es ( )bx c+ y además los coeficientes del cociente suman 8. a) 10 b) 4 c) 6 d) 9 e) 71 20. Calcular "a" si la división:

3

2

- ax - 6x - bx - 6x

, es exacta.

a) 1 b) 5 c) 3 d) 7 e) 9

21. Calcular: M a c= + , si la división: 4 2

2

6x 20x ax c

3x 3x 7

+ + +

− +

no deja resto. a) 25 b) 20 c) 30 d) 10 e) 50

22. Determinar ( )a b c+ − que al dividir: 5 4 3 2

3 2

x 2x 6x ax bx c

x 3x x 3

− − + + +

− − +

el resto sea: 2

2x x 1+ + a) 11 b) 5 c) 10 d) 6 e) 3

23. Hallar ( )4a b− , si la división: 4 3 2

2

x ax bx 18x 12

x 4x 3

+ + − −

+ +

deja como resto: 2x 3+ a) 18 b) 81 c) 9 d) 36 e) 72 24. Hallar los valores de “m” y “n” sabiendo que el residuo de la división:

8 UBIQUENOS: AV. BERRIOZABAL 312

4 3 2

2

12x 23x 8mx 35x n

4x 5x m

− + − +

− + es:

2x 3− a) 6 y 27 b) 5 y 12 c) 3 y 7 d) 12 y 0 e) 5 y 8 25. Qué valor debe tomar “k” para que el polinomio: ( ) ( )6 5 4 3 2

P x x 2x kx x 2 8 k x 6x 18= + + − + + + −

Sea divisible por: 3 2

x 2x 3+ − a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2−

26. Calcúlese ( )A B C+ − si la siguiente división es:

5 4 3 2

3

Ax Bx Cx 27x 19x 5

4x 3x 1

+ + + + +

+ +

a) 11 b) 17 c) 12− d) 18− e) 23− 27. La siguiente división:

( ) ( )24 2 3 2

2

abx a b x bx a b x a

ax bx a

+ + + + + +

+ +

deja como resto: ( )R x ax b= + . Calcular:

( ) ( )2 2a b b 3a 1 b

Ea b

+ + += +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 28. Calcular “ b a− ” si la división:

( ) ( ) ( )5 4 3 2

2

ax 2 3 a x 12 a x b 6 x 2bx b

x 2x 1

+ + + − + − + −

+ −

da como cociente entero que evaluado

para x 2= es 39. Además “a” y “b” +

a) 2 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10 29. Al efectuar la división:

4 3 2

2

x ax bx ax b

x 4x 3

+ + + +

+ +

el resto es: 6x 7− −

Calcular el valor de: “ ab ” a) 2 b) 6 c) 8− d) 12 e) 9− 30. Si la siguiente división, es exacta:

5 4 3 2

2

ax bx x 5x 7x 12

x 3x 4

+ − − + −

+ −

Hallar el valor de: “ ab ” a) 10 b) 6 c) 5 d) 60 e) 30 31. Al dividir:

5 2 4 3 2 2

2

abx b x bcx abx acx c

ax bx c

+ + − + +

+ +

el resto obtenido es: acx

Calcule: ( )b a c

ac

+

a) 3− b) 1− c) 2− d) 0 e) 1 32. Al dividir:

4 3 2

2

ax bx cx x 3

3x x 1

+ + + +

− +

el residuo obtenido fue: 2x 1+ , si el producto de coeficientes del cociente es 8. Indique lo correcto: a) b 2= b) ab 0 c) c a 9− = d) a b 13− = e) b c 9−

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