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ROBOTICA DEFINICIONES DINMICA DE MANIPULADORES
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1. Cinemtica Diferencial -Jacobiano
La Cinemtica Diferencial Directa es la derivada con respecto
al
tiempo de la cinemtica directa:
Relaciona la velocidad articular con la velocidad lineal
y la velocidad angular
El mapeo esta descrito en trminos de una matriz denominada
Jacobiano del
Robot o Jacobiano Analtico.
ddt
x y z T
v
w
ddt
fRq
fRqq
q Jq
q
v ddt
x, y, zT
x ,
y,
z
T 3
q n
w ddt
, , T
,
,
T
3
Jq fRqq
6xn
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1. Cinemtica Diferencial -Jacobiano
El Jacobiano del Robot o Jacobiano Analtico
Relaciona la velocidad articular con la velocidad lineal
Relaciona la velocidad angular con la velocidad articular
Jq Jvq
Jwq
Jvq 3xnq n v 3
Jwq 3xn
w 3q n
v
w Jq
q
Jvqq
Jwqq
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2. Ecuaciones de Lagrange
El comportamiento dinmico de un manipulador puede ser
descrito
por un conjunto de ecuaciones diferenciales llamadas
ecuaciones
dinmicas de movimiento (Paul, 1986). Las ecuaciones dinmicas
de
un robot manipulador con n grados de libertad pueden ser
obtenidas
a travs del Lagrangiano:
d
dt
L
q
L
qT
donde:
K es la energa cintica
V es la energa potencial
T es la fuerza generalizada
q es la coordenada generalizada
L= K - V es el Lagrangiano
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Expresin del Torque aplicado a cada junta
Las ecuaciones de movimiento, para un robot con n grados de
libertad, son de la forma:
donde:
J es el momento de inercia
B es la friccin viscosa del motor
Tr es el torque resistente
rT J q B q T
2. Ecuaciones de Lagrange
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Expresin del Torque aplicado a cada junta
Las ecuaciones de movimiento, para un robot con n grados de
libertad, son de la forma:
donde:
J es el momento de inercia
B es la friccin viscosa del motor
Tr es el torque resistente
rT J q B q T
2. Ecuaciones de Lagrange
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Los vectores de coordenadas generalizadas (posiciones
articulares),
velocidades articulares y aceleraciones articulares.
3. Modelo Dinmico
Mqq C q,
q
q gq f f
q, fe
q nq n
q n
Mq nxnLa matriz de INERCIA, la cual es simtrica y definida
positiva
La matriz de fuerzas CENTRPETAS y de CORIOLIS
C q,q nxn C q,
q
q
M q
q
q1
2
q
TMq
q
El vector de fuerzas o pares gravitacionales, es el gradiente
de
energa potencial debida a la accin de la gravedad
g n gq Uqq
El vector de pares de friccin que incluye la friccin viscosa,
de
Coulomb y esttica de cada articulacin. f fq, fe n
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El efecto inercial significa el cambio de estado de movimiento
del robot manipulador.
Propiedades principales:
Matriz Simtrica
Matriz definida positiva
Existe la matriz inversa
que tambin es simtrica y definida positiva.
3.1 Efecto Inercial
Mqq Mq nxn
Mq MqT
Mq 0
Mq1 nxn
Mq1 MqT Mq1 0
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Las fuerzas Centrpetas son radiales y de signo contrario a las
fuerzas centrifugas.
Las fuerzas de Coriolis representa una desviacin del movimiento
de traslacin debido a su componente de
rotacin.
Propiedades principales:
La matriz no es nica pero el vector
si lo es.
Si el vector de velocidades articulares es cero entonces:
Para todo vector se tiene que
3.2 Fuerzas Centrpetas y de Coriolis
C q,q nxn C q,
q
q
C q,q q0 Cq,0 0 nxn para todo vector q nxn
q, x, y nCq,xy Cq,yx
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Propiedades principales:
Dado que
La matriz de y la derivada con respecto al tiempo de
satisfacen que:
La matriz resultante es antisimtrica
La derivada con respecto al tiempo de y la matriz de
satisfacen que:
3.2 Fuerzas Centrpetas y de Coriolis
C q,q Mq
C q,q
q
M q
q
q1
2
q
TMq
q
1
2
q
M q 2C q,
q
q 0
M q 2C q,
q
Mq C q,q
M q C q,
q C q,
q
T
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El vector de fuerzas o pares gravitacionales, es el gradiente de
energa potencial debida a la
accin de la gravedad
Propiedades principales:
El vector de pares gravitacionales y de velocidad articular
satisfacen:
3.3 Par Gravitacional
gqq
g n gq Uqq
0
t
gqTq d uqt u0
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Tiene el efecto fsico de oponerse al movimiento del robot.
Es un fenmeno disipativo en velocidades diferentes a cero y con
entradas acotadas entre el primer y tercer cuadrante.
La caracterstica disipativa significa que convierte la energa
mecnica en energa trmica.
Se puede considerar los modelos tradicionales de friccin viscosa
y de Coulomb para modelarlos como una
combinacin lineal de la friccin viscosa, Coulomb y esttica
3.3 Fenmeno de Friccin
f fq, f e B
q Fcsigno
q
1 signo
q1 0 . . . 0
0 1 signoq
2. . . 0
0 0 . . . 0
0 0 . . . 1 signoq
. f e
B Fcf e
