Definir las coordenadas cilíndricas.

Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. Es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones.

Representar gráficamente las coordenadas cilíndricas.

L a representación de coordenadas cilíndricas de un punto (r, , z), donde r y son las coordenadas polares de la proyección de P en plano polar y z es la distancia dirigida desde el plano hasta P.

Escribir las formulas para transformar las coordenadas rectangulares a cilíndricas y de cilíndricas a rectangulares y hacer un ejemplo de cada uno.

x = rCos , y = rSen , z = z.

r2 = x2 + y2, tan = x/y, z = z.

Ejemplo 1.

Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se ha expresado en coordenadas cilíndricas, e identifique la superficie: r = 6Sen.

r = 6Sen. (r)

r2 = 6rSen.

x2 + y2 = 6y.

x2 + (y - 3)2 = 9.

Es un cilindro circular recto, cuya sección transversal en el plano xy es la circunferencia con centro (0, 3) y radio 3.

Ejemplo 2.

Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas para la superficie cuya ecuación se ha dado en coordenadas cartesianas, e identifique la superficie: x2 - y2 = z.

x2 - y2 = z.

r2Cos2 - r2Sen2 = z.

Cos2 - Sen2 = Cos2.

r2Cos2 = z.

La grafica es un paraboloide elíptico.

Mencionar y explicar los casos de coordenadas cilíndricas, representarlo gráficamente cada uno de ellos y hacer un ejemplo de cada caso.

Definir el sistema de coordenadas esféricas.

Se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

Representar gráficamente las coordenadas esféricas.

La representación en coordenadas esféricas de un punto P es (, , ), donde

= |OP|, es la medida en radianes del ángulo polar de la proyección de P en el plano polar y es la medida en radianes no negativa del ángulo menor medido desde la parte positiva del eje z a la recta OP.

Escribir las formulas para transformar las coordenadas de rectangulares a esféricas, de cilíndricas a esféricas, esféricas a cilíndricas y de esféricas a rectangulares hacer un ejemplo de cada uno.

Rectangulares a esféricas

, ,

Cilíndricas a esféricas

, ,

Esféricas a cilíndricas

, ,

Esféricas a rectangulares

Ejemplo 1. (Rectangulares a esféricas)

Una ecuación cartesiana para el plano 3x + 2y + 6z = 0. Utilizando las formulas ya antes mencionadas esta ecuación se hace directamente sustituyendo.

3x + 2y + 6z = 0

3 Sen Cos + 2 Sen Sen + 6 Cos = 0.

Ejemplo 2. (Esféricas a rectangulares)

Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas de la superficie siguiente, cuya ecuación se ha expresado en coordenadas esféricas, e identifique la superficie: Cos = 4.

z = 4.

La grafica es un plano paralelo al plano xy ubicado 4 unidades por arriba de este.

Ejemplo 3. (Esféricas a cilíndricas)

Convertir las coordenadas esféricas del punto en coordenadas cilíndricas.

,

Ejemplo 4. (Esféricas a rectangulares)

Convertir las coordenadas esféricas del punto en coordenadas rectangulares.

COORDENADAS POLARES:

       Estas coordenadas fueron inventadas originalmente por Newton en su libro, “The method of Fluxions and Infinite Series”, publicado en 1736, el cual contiene  muchos usos de  coordenadas geométricas. Una de las ideas más importantes fue el nuevo sistema de coordenadas; en el cual explica, que por lo general los hombres del siglo XVII y XVIII, usan las variables X y Y dibujando un oblicuo  u otro tipo de ángulo. Entre todos los nuevos  sistemas de coordenadas, introducidos por Newton, es la localización de puntos indicados  por un punto fijo y una linea fija a través de  ese punto. El esquema es esencialmente nuestro Sistema de coordenadas polares.; también introdujo un sistema de coordenadas bipolares. El crédito de la invensión de este sistema se le da a Jacob Bernoulli, ya que publicó un papel en el cual estaba esencialmente este esquema, dicho documento fue publicado en 1691; poco después, en el mismo periódico que fue publicada dicho documento, Bernoulli publicó un documento, en el cual propuso medir las absisas a lo largo de el arco de un circulo fijo y las ordenadas radialmente a través de normales. Estas coordenadas, son las mismas que nosotros escribimos como (r, q). Estas coordenadas, las introdujo Newton, pensando usarlas en espirales, usando  “r” donde nosotros usamos “x” y q donde usamos “y”. Newton, también fue el que dio ecuaciones para la transformación de coordenadas rectangulares a polares, expresando eso como : xx+yy=rr  y rv=y, donde t es el radio vector y v es una linea representando el signo de un ángulo vectorial asociado con el punto (x,y) en coordenadas cartesianas. El plano de coordenadas polares es un camino natural para describir un movimiento circular. En lugar de describir la posición de un objeto usando las coordenadas x “y”  y, este sistema usa dos coordenadas que localizan la posición del objeto usando estas distancia de el origen ( llamado “r” para radio) y el ángulo q (teta); los ángulos medidos en contra de las manecillas del reloj, apartir de el eje “x” son positivos y los ángulos medidios a favor de las manecillas del reloj a partir de el eje “x” son negativos. La distancia a partir del origen, siempre es positiva.  

     

         Para poder convertir, de coordenadas polares a rectangulares y de rectangulares a polares, podemos deducir de un plano, las siguientes fórmulas (las cuales nos permiten convertir de polares a rectangulares y otras formulas de rectangulares a polares):

x= rcosq           y=rsenq               q= tan-1 (y/x)              r= Öx2+y2

 

· COORDENADAS RECTANGULARES:

 Como todos sabemos las coordenadas polares, fueron inventadas por muchos metemáticos, pero se le da el crédito a Descartes, por que el fue el que reunió todos los conocimientos de esos matemáticos y de ellos obtuvo el plano cartesiano ( por su nombre), usando dos variables que conocemos, las cuales son  “X” y “Y”, para poder localizar puntos sobre un plano ( el plano cartesiano).

 Descartes, prácticamente criticó a los matemáticos, por ser abstractos y atados a las figuras. Él se propuso tomar todo lo mejor en geometría y álgebre y corregir los defectos que se tenian de una vez por todas con la ayuda de los demás matemáticos.  Él vió lo poderoso que era el álgebra y mucho más que el método que utilizaban los griegos en sus métodos de geometría. Descártes estaba jactado de que muy pocos de los matemáticos en Europa, enetnderían su nuevo método.  Él sólo hacia las construcciones y demostraciones y dejaba a los otros matemáticos llenar los detalles;  en pocas palabras, el erta algo así como presumido con su trabajo y además quería ridiculizar a los demás matemáticos  por no haber hecho lo que el hizo. También criticaba a los  escritos de los griegos, por que ellos decian que para hacer curvas se necesitaba un mecanismo especial, y Descartes decía que en geometría, solo los razonamientos cuentan. Dijo con una declaración altamente significativa que una curva válida, así como cualquier otra figura dentro del plano cartesiano, podía ser expresada por una única ecuación algebraica.

 En su trabajo, también dice que el álgebra se puede utilizar para resolver problemas de construcciones en geometría, para resolver parábolas, hipérbolas, rectas, circulos,etc.  El ordenó, las ecuaciones algebraicas, para hacer curvas,de acuerdo a la mayor potencia que una de las variables de las ecuaciones estaban elevadas; su orden fue de primer grado ( a la primera potencia), segundo grado ( a la segunda potencia) y así sucesivamente.

 Las coordenadas rectangulares, son las mismas que las variables del plano carteciano : “X” y “Y”. El plano cartesiano, en el cual se aplican tanto las coordenadas polares y las coordenadas rectangulares o cartesianas es:      

                                               II                                   I                                              (-,+)                              (+,+)                                              ___________________________  

                                              III                                    IV                                              (-,-)                                  (+,-)  

 El plano cartesiano, se divide en cuatro cuadrantes, cada uno se utiliza según el signo de las variables (x,y).