Problemas de resistencia y rigidez para vigas continuas

INTRODUCCIÓN

Trazar los diagramas de fuerza cortante, momento flector, pendiente y deflexión y la determinación de sus puntos críticos; para la viga mostrada en el siguiente bosquejo. Tómese al módulo de rigidez a la flexión “EI” como constante a lo largo de toda la viga.

PROCEDIMIENTO

Figura 1. Bosquejo de viga

Figura 2. Diagrama de cargas

Figura 3. Diagrama V(x)

Figura 4. Diagrama M(x)

Figura 5. Diagrama EIθ(x)

Figura 6. Diagrama EIY(x)

Viga 818Diagramas de cuerpo libre por tramo

Figura 2.1. Tramo de viga AC

∑F y=0 ; R+1' +R−2

' =0

R+1' =−R−2

'

∑M A=0 ;−M 1+M 2+M−R+23=0

Figura 2.2. Tramo de viga CE

∑F y=0 ; R+1' +R−2

' −150=0

R+1' +R−2

' =150

∑MB=0 ;−M2+M 3−R+33+150∗2.33=0

Ecuación de tres momentos

M 1L1+2M2 (L1+L2 )+M 3 L2+6A1a1L1

+6A2b2L2

=0

De donde:

M 1=0

M 3=0

Debido al nodo donde se originan está simplemente apoyado y no tiene un tramo continúo.

Se determinan las rotaciones parciales por medio de tablas:

6A1a1L1

=100EIKgf∗m2

1

6A2b2L2

=−260 Kgf ¿m2

Ahora tenemos un sistema de una ecuación con una incógnita

12M2+100EI

−260EI

=0

M 2=13.33EI

Kgf∗m

Cálculo de reacciones en los apoyos

Tramo AC

∑F y=0 ; R+1' +R−2

' =0

R+1' =−R−2

'

∑M A=0 ;−M 1+M 2+M−R+23=0

R+2=50+13.33

3=21.11Kgf

R+1' =−21.11Kgf

Tramo AC

∑F y=0 ; R+1' +R−2

' −150=0

R+1' +R−2

' =150

∑MB=0 ;−M2+M 3−R+33+150∗2.33=0

R+3' =−13.33+349.5

3=112.22Kgf

R+1' =150−112.22=37.76Kgf

Por lo tanto tenemos que el valor de nuestras reacciones es:

R1=−21.11Kgf

R2=58.88 Kgf

R3=112.22Kgf

1 Villareal, Genner.(2010). “Resistencia de Materiales”. Lima.

Determinación de los máximos de fuerza cortante, momento flector, rotación y deflexión

MÉTODO DE SEGUNDA INTEGRACIÓN

M (x )=−21.11<x>+58.88<x−3>+50< x¿0−12.5<x−4¿3

d2 yd x2

=M ( x )EI

EI d2 yd x2

=M ( x )

EI dydx

=EIθ ( x )=∫M ( x )dx

¿∫−21.11<x>+58.88<x−3>+50<x¿0−12.5<x−4¿3dx

EIY ( x )∬M ( x )dx

¿∬−21.11<x>+58.88<x−3>+50<x ¿0−12.5< x−4 ¿3dx

INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA ELÁSTICA

MÉTODO DE LA SEGUNDA INTEGRACIÓN

d2 yd x2

=M ( x )EI

EI d2 yd x2

=M ( x )

EI dydx

=EIθ ( x )=∫M ( x )dx

¿∫−21.11<x>+58.88<x−3>+50<x¿0−12.5<x−4¿3dx

¿−10.55<x¿2+29.44<x−3¿2+50<x ¿1−3.125<x−4¿4+C1

EIY ( x )=∬M ( x )dx

¿=∬−21.11< x>+58.88< x−3>+50<x ¿0−12.5<x−4¿3dx

¿−3.51<x¿3+9.81<x−3¿3+25<x¿2−0.625<x−4 ¿5+C1 X+C2

CÁLCULOS DE LAS CONSTANTES DE INTEGRACIÓN

MÉTODO DE LA SEGUNDA INTEGRACIÓN

Condiciones de frontera debido a los apoyos

X=0 X=L Y(0)=0 Y(L)=0

Evaluamos la función EIY(x) para obtener C1 y C2

Y (0 )=0=C2

C2=0

Y (L )=−758.16+264.87+900−20+6C1=0

C3=−6 4.45

CÁLCULOS DE ROTACIÓN Y DEFLEXIÓN

V(x)

0 -21.111 -21.113 37.114 37.116 -112.23

M(X)

0 0

1 -10.55; 28.89

3 -13.33

4 23.78

6 0

EIθ(X)

0 -64.45

3 -10.55

4.8 0

6 41.67

Xmax 4.8

EIY(X)

0 0

3 0

6 0

Ymax 30.7

CONCLUSIONES :

Valores máximos:

Momento máximo en la sección

o Posición: 5.07

o Magnitud: 44.38

Mayor valor del esfuerzo cortante

o Posición: 6

o Magnitud: 106.67

Mayor valor del giro (sin dividir entre E*I)

o Posición: 6

o Magnitud: 41.67

Mayor valor deformación (sin dividir entre E*I)

o Posición: 4.8

o Magnitud: 30.7

o

VALIDACIÓN DE RESULTADOS (XVIGAS)

Figura 7. Diagrama V(x)

Figura 8. Diagrama M(x)

Figura 9. Diagrama EIθ(x)

Figura 10. Diagrama EIY (x)