DEFORMACION DE VIGAS

Las vigas sufren deformaciones debido a las cargas transversales que soportan en su longitud.

Las cargas que soportan son, regularmente, cargas puntuales, cargas uniformemente distribuidas y momentos puntuales. Cada una de estas cargas provoca una deformación particular en la viga.

Cada una de estas cargas provoca una deformación particular en la viga.

ECUACION DIFERENCIAL DE LA ELASTICA

Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura:

Donde ‘p’ es el radio de curvatura, ‘E’ el modulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que esta sometida la misma. Observemos que este ultimo termino se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).

Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar de calculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión

Donde, dada la relación ‘y = f(x)’:

Corresponde a la primera derivada de la función

Corresponde a la segunda derivada de la función

Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el termino relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

Método de Doble Integración

Es el mas general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estaticamente determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del calculo integral.

El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

• Consideraciones: 1. La vista lateral de la superficie neutra se le llama curva elástica, es la que muestra la deformación por flexión. 2. Se toma el extremo izquierdo como el origen de x. 3. El eje y es positivo hacia arriba de la viga. 4. Se secciona la viga un diferencial antes del extremo derecho. 5. La suma de momentos, hacia la izquierda de ese punto y en sentido horario positivo, es igual a la ecuación diferencial de la viga.

Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante.

Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el modulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicara mas adelante.

Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.

El termino ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.

En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:

x = LA → y = 0

Y, debido al apoyo en ‘B’ :

x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’ :

x = LA → y = 0

x = LA → q = 0