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DEFORMACION UNITARIA PLANA Resistencia de Materiales Lucio Yepes Universidad la Gran Colombia Facultad de Ingeniería Civil

Deformacion Unitaria Plana

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DEFORMACION UNITARIA PLANA

DEFORMACION UNITARIA PLANA

Resistencia de MaterialesLucio Yepes Universidad la Gran Colombia Facultad de Ingeniera Civil DEFORMACINES Los cuerpos completamente rgidos no existen. Todo elemento se deforma ante la presencia de cargas sobre l, aunque sea en una proporcin muy pequea.

Si aplicamos una carga axial de traccin a un cuerpo, observaremos que ste tender a alargarse en el sentido de dicha carga.

Si la carga fuese de compresin, el cuerpo se acortara en la direccin de la carga.

Se llama Alargamiento, al cambio de longitud que experimenta un cuerpo debido a una carga axial aplicada sobre el mismo. Segn la figura presentada anteriormente, se puede plantear as:

A partir del Alargamiento, podemos establecer un concepto que nos ser muy til en el estudio de los materiales: la Deformacin Unitaria Normal (). Esta se establece de la siguiente forma:

Es importante mencionar que, como el Alargamiento y la Deformacin Unitaria Normal se deben a cargas axiales, estos conceptos estn ntimamente relacionados con los esfuerzos normales.

Curva Esfuerzo Deformacin Deformacin Unitaria Normal DIAGRAMA TENSIN DEFORMACIN Ensayamos a traccin una probeta de un determinado material. Para distintos valores de la carga medimos la tensin () y la deformacin unitaria () producidas. Representando grficamente, se obtiene el siguiente diagrama.

Conceptos tensin - deformacin Zona Elstica: Es la parte donde al retirar la carga el material regresa a su forma y tamao inicial. Zona de Fluencia: Regin en donde el material se comporta plsticamente; es decir, en la que contina deformndose bajo una tensin constante. Zona de Endurecimiento: Zona en donde el material retoma tensin para seguir deformndose; va hasta el punto de tensin mxima. Zona de Estriccin: En ste ltimo tramo el material se va poniendo menos tenso hasta el momento de la fractura. Lmite proporcional: Tensin mxima para la cual la deformacin es proporcional a la tensin Mdulo de Elasticidad (E): Relacin entre la tensin y la deformacin del acero. Vlida hasta el lmite proporcional.

7) Tensin de Fluencia: Tensin para la cual el material se comporta plsticamente, el cual fluye a un valor constante de tensin.8) Lmite Elstico: Tensin mxima para la cual la deformacin es completamente recuperable. Pasado ese valor, queda una deformacin permanente.9) Deformacin (Unitaria) Elstica:Deformacin restaurable, debido a un esfuerzo aplicado. Se presenta tan pronto como se aplica la fuerza, permanece mientras se aplica el esfuerzo y desaparece tan pronto como se retira la fuerza.10) Deformacin Plstica: Deformacin permanente de un material, cuando se quita el esfuerzo, el material no regresa a su forma original.

Deformacin unitaria Se representa por una combinacin de tres componentes de deformacin unitaria normal, x y z y tres componentes de deformacin unitaria cortante, xy zx yz. Estos seis componentes tienden a deformar cada cara de un elemento del material.

Los componentes de la deformacin unitaria en un punto se determinan con frecuencia usando galgas externsometricas, que miden esos componentes en direcciones especificas.

DEFORMACIN PLANA No se tiene en cuenta los efectos de los componentes z xz y yz. Entonces en general, un elemento deformado en un plano esta sujeto a dos componentes de deformacin unitaria normal, x y y a una componente de deformacin unitaria cortante, xy.

Las deformaciones unitarias normales se producen por cambios de longitud del elemento en las direcciones x y y, y la deformacin unitaria cortante se produce por la rotacin relativa de dos lados adyacentes del elemento.

Aunque tanto la deformacin unitaria plana como el esfuerzo plano tiene tres componentes que estn en el mismo plano, se debe tener en cuenta que el esfuerzo plano no necesariamente causa la deformacin unitaria plana o viceversa. Si se admite que los desplazamientos en un solido se producen exclusivamente en un plano, las componentes de los desplazamientos son independientes de la coordenadas del eje perpendicular al plano. Se dice entonces que dicho solido esta sometido a deformacin plana.

Es unaconstante elsticaque proporciona una medida del estrechamiento de seccin de un prisma de material elstico lineal e istropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento. El nombre de dicho coeficiente se le dio en honor al fsico francsSimeon Poisson.

Ensanchamiento por efecto Poisson del plano longitudinal medio de un prisma comprimido a lo largo de su eje, el grado de ensanchamiento depende del coeficiente de Poisson, en este caso se ha usadov = 0.50

Coeficiente de poisson

Ecuaciones generales Es importante establecer ecuaciones de transformacin para determinar los componentes x, y de la deformacin unitaria normal y cortante en un punto, cuando se conozcan los componentes x,y de la deformacin unitaria.

Las deformaciones unitarias normales x y y son positivas se causan alargamiento a lo largo de los ejes x y y, respectivamente, y la deformacin unitaria cortante xy es positiva si el ngulo interno AOB se hace menor que 90.

El problema ser determinar las deformaciones unitarias normal y cortante en un punto, x, y y xy, medidas en relacin con los ejes x, y, si se conocen x y y xy, medidas en relacin con los ejes x, y.

Si el ngulo entre los ejes x y x es , entonces, como en el caso del esfuerzo plano, ser positivo si sigue el enroscamiento de los dedos de la mano derecha, es decir si es contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

13Deformacin unitaria normal y cortante

De acuerdo a la ecuacin (3) la deformacin unitaria normal, a lo largo de la recta dx, es x = x / dx. Entonces, usando la ecuacin (1) , se obtiene.

Deformaciones unitarias principales Deformacin unitaria mxima en el plano Circulo de mohr (deformacin unitaria plana) Construccin del circulo Definir un sistema de coordenadas tal que las abscisas representen la deformacin unitaria normal , positiva hacia la derecha, y la ordenada represente la mitad del valor de la deformacin cortante, /2, siendo positivo hacia abajo.

Aplicar la convencin de signos positiva a x, y, xy, como se ve en la figura siguiente, y determinar el centro del circulo C, que esta en el eje a una distancia pom = ( x + y) / 2 del origen.

Graficar el punto de referencia A con coordenadas A (x, xy/2). Este punto representa el caso en el que el eje x coincide con el eje x. por consiguiente, = 0.

Unir el punto A con el centro C del circulo, y con el triangulo sombreado determinar el radio R del circulo.

Una vez determinado R, trazar el circulo.

Deformaciones unitarias principales La deformacin unitaria 1 y 2 se determinan con el circulo, y son las coordenadas de los puntos B y D, esto es, donde / 2 = 0.

Recuerde que la rotacin de p debe tener esta mismas direccin. Desde el eje de referencia del elemento x hacia el eje x

Cuando se indica que 1 y 2 son positivas, el elemento de la figura anterior se alarga en las direcciones x y y, como indica el contorno en lnea interrumpida.

Deformacin unitaria cortante mxima en el plano La deformacin unitaria normal promedio, y la mitad de la deformacin unitaria cortante mxima se determinan en el circulo, como las coordenadas de los puntos E y F.

En este caso, el ngulo se mide en el sentido de las manecillas del reloj. Desde la lnea radial de referencia CA hacia la lnea CE. Recurdese que la rotacin de s debe tener esta mismas direccin, desde el eje de referencia x del elemento, hacia el eje x.

Deformacin unitaria sobre un plano arbitrarioLos componentes de deformacin unitaria normal y cortante, x y xy, para un plano especifico que forma un ngulo , se obtienen con el circulo y empleando trigonometra para determinar las coordenadas del punto P,

Para localizar p, se mide el ngulo conocido del eje x, en el circulo, como 2. Esta medicin se hace desde la lnea radial de referencia CA hacia la lnea radical CP. Recurdese que las mediciones de 2 en el circulo, debe tener la misma direccin que para el eje x.

Si se requiere el valor de y, se puede determinar calculando la coordenada del punto Q. la lnea CQ esta a 180 de CP, as que representa una rotacin de 90 del eje x.

EJERCICIO 1El estado de deformacin plana en un punto se presenta mediante componentes

Ex= 250 e-6Ey= -150 e -6Yxy= 120 e -6

Determine las deformaciones principales y la orientacin del elemento

Construccin del circuloDeformacin principalLas coordenadas de los puntos B y D representan las deformaciones principales. Estas son