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SATURDAY, OCTOBER 13, 2012

Solución del péndulo simple y simulación con Mathematica

Uno de los objetos de estudio de la física que me ha llamado mucho la atención es el de las oscilaciones, vibraciones y ondas. Existe un gran número de fenómenos en el universo que presentan comportamientos oscilatorios, y lo que hace aún más emocionante su estudio es la existencia de los conceptos matemáticos que hacen posible su modelamiento y entendimiento. Un caso muy común y básico en la teoría es el del péndulo simple no amortiguado, que consiste, en su forma idealizada, en un punto de masa m suspendido de un punto fijo por una cuerda de longitud l sin masa. Al realizar un desplazamiento angular θ con respecto a un eje vertical, como se muestra en la siguiente figura, se produce una oscilación producto del intercambio entre energía potencial gravitacional y energía cinética.

Si g es la gravedad, se obtiene el siguiente diagrama de fuerzas:

De acuerdo con la segunda ley de Newton y asumiendo que el movimiento vertical es cero, se obtiene la siguiente ecuación:

\[\begin{equation*}-mg\ sen \theta = ma_x\tag{1}\end{equation*}\]

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Donde $a_x$ es la aceleración horizontal. Como el movimiento a lo largo de la longitud de arco subtendida por el movimiento del péndulo es $x = l \theta$, entonces

\[\begin{equation*}a_x= \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d^2(l\theta)}{dt^2}=l\frac{d^2\theta}{dt^2} \tag{2}\end{equation*}\]

Reemplazando la ecuación (2) en la ecuación (1) se observa que el término m que corresponde a la masa se cancela (este resultado es muy interesante, ya que indica que el comportamiento del péndulo simple es independiente de la masa), y se obtiene la siguiente ecuación diferencial no lineal de la función θ(t):

\[\begin{equation*}\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}sen\theta=0\tag{3}\end{equation*}\]

Utilizando una aproximación por series de Taylor es posible encontrar fácilmente la solución general a esta ecuación, para luego simular una solución particular utilizando Mathematica.

Sabiendo que la serie de Taylor centrada en cero para la función sen(x) es

\[\begin{equation*}sen(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ ...\tag{4}\end{equation*}\]

Se observa que si x es lo suficientemente pequeño, se puede aproximar la función como $sen(x)\cong x$, dado que a medida que n aumenta, la división sobre $(2n+1)!$ hace que los términos de orden superior tiendan a cero. Esto se puede observar si se grafican las funciones sen(x) y x en un mismo plano:

Si θ= 0.5rad, la diferencia es de aproximadamente el 4%, esto en grados corresponde a 28.6°, el cual es un valor que puede ser usado como límite en la aproximación para la función $sen(\theta)$ que se realizará para resolver la ecuación diferencial en (3), quedando:

\[\begin{equation*}\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0\tag{5}\end{equation*}\]

Esta es una ecuación diferencial lineal de la función θ(t) cuya ecuación auxiliar es \[\begin{equation*}m^2+\frac{g}{l}=0\tag{6}\end{equation*}\]

La solución positiva a esta ecuación es $i\sqrt{\frac{g}{l}}$, de donde la solución general a la ecuación (5) es \[\begin{equation*}\theta(t)=C_1 cos \left( \frac{g}{l}t \right )+C_2 sin \left(\frac{g}

{l}t \right )\tag{7}\end{equation*}\] Utilizando identidades trigonométricas e introduciendo un ángulo ϕ tal que $(cos\phi)/\theta_0=C_1$ y $(sen\phi)/\theta_0=-C_2$ (donde $\theta_0$ es una constante), se obtiene una forma más compacta para la solución general de (5):

\[\begin{equation*}\theta(t)= \theta_0 cos \left(\frac{g}{l}t+\phi \right)\tag{8}\end{equation*}\]

El término $\sqrt{g/l}$ se conoce como la frecuencia natural de oscilación del péndulo, $\omega_0$, de modo que la soloción también puede escribirse como

\[\begin{equation*}\theta(t)=\theta_0 cos(\omega_0^2 t +\phi)\tag{9}\end{equation*}\]

Esta función describe el ángulo en función del tiempo para el péndulo simple (dentro del intervalo dado por la aproximación realizada).

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Para un caso particular deben considerarse un par de condiciones iniciales para el sistema. Así se obtendrá una función en términos de los valores conocidos que permitirán simular el péndulo simple bajo ciertas condiciones predeterminadas.

Las condiciones serán las siguientes: En t = 0 el péndulo tendrá un desplazamiento angular de π/8 y una velocidad angular de cero. Matemáticamente esto se describe como $\theta(0)=\pi/8$ y ${\theta}'(0)=0$. Al reemplazar respectivamente cada una de estas condiciones en la ecuación (9) y su derivada, se resuelve el sistema de ecuaciones y se encuentra que ϕ = 0 y $\theta_0$ = π/8. Utilizando esta solución particular podemos pasar a la simulación del péndulo simple.

Si se tiene una gravedad $g=9.8\ m/s^2$ y una longitud $l=1m$, la solución particular que se simulará en Mathematica es la siguiente:

\[\begin{equation*}\theta(t)=\frac{\pi}{8}cos(9.8t)\tag{10}\end{equation*}\] Si se observa la siguiente figura, se ve que las coordenadas en x y y de la masa pueden escribirse como una función del tiempo.

Utilizando relaciones trigonométricas, las funciones para x(t) y y(t) son \[\begin{equation*}x(t)=sen[\theta(t)]\tag{11.1}\end{equation*}\] \

[\begin{equation*}y(t)=-cos[\theta(t)]\tag{11.2}\end{equation*}\] El signo negativo en la ecuación (11.2) aparece al posicionar el punto de suspensión en el origen. Con esto todo está listo para simular en Mathematica el péndulo simple.

El primer paso es definir las funciones θ(t), x(t) y y(t):

θ[t_] := π/8 Cos[9.8 t]x[t_] := Sin[θ[t]]y[t_] := -Cos[θ[t]]

Luego se realiza la parte gráfica, donde se utiliza el comando Graphics para dibujar las líneas, con el comando Line y los puntos con Point. Básicamente, el comando Graphics realiza los gráficos de su argumento, sean estos propiedades (como Black, que indica un color para graficar) o elementos como líneas o puntos. En el siguiente código se realiza la graficación de una línea a lo largo del eje x desde -1 hasta 0, luego la línea que hará las veces de cuerda, que parte del origen y termina en el punto con coordenadas x(t) y y(t), y finalmente el punto rojo que representa a la masa, con coordenadas x(t) y y(t). En las opciones de la función Graphics se agrega un marco como referencia y se configura el rango de graficación. El código para un tiempo t es el siguiente:

Graphics[ { Black, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}],

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Line[{{0, 0}, {x[t], y[t]}}], PointSize[0.03], Red, Point[{x[t], y[t]}] }, Frame -> True, PlotRange -> {{-1, 1}, {-1.2, 0.2}}]

En este código debe reemplazarse un valor de t. Se utilizará esto para generar una tabla de imágenes para distintos valores de t utilizando el coman do Table; esta tabla luego será exportada en forma de un archivo GIF usando el comando Export, con el cual se podrá observar el movimiento del péndulo. El código para realizar esto es el siguiente:

pendulumAnim = Table[ Graphics[ { Black, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}], Line[{{0, 0}, {x[t], y[t]}}], PointSize[0.03], Red, Point[{x[t], y[t]}] }, Frame -> True, PlotRange -> {{-1, 1}, {-1.2, 0.2}}];Export["pendulum.gif",pendulumAnim]

El archivo obtenido, que en Windows 7 queda guardado en la carpeta de documentos del usuario, es el siguiente:

Sin embargo, podemos sacar más provecho de la simulación manipulando los distintos parámetros que pueden variar en distintos casos, como la gravedad, la longitud de la cuerda y el ángulo de desplazamiento inicial.Utilizando una solución general como la mostrada en la ecuación (8) dentro de la función Manipulate podemos crear una aplicación interactiva como la siguiente, que nos permite observar el comportamiento del péndulo en Plutón ($g \cong 0.5m/s^2$) o en Júpiter ($g\cong 25 m/s^2$) [1], utilizando una cuerda de 10cm a 1m de longitud con un ángulo de desplazamiento inicial de 0 rad (lo cual no produciría movimiento alguno) hasta π/8 rad.

En este link se puede descargar el notebook de esta entrada.

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Posted by DanielFDaza at 5:33 PM

Labels: ecuacion diferencial, Mathematica, oscilaciones, péndulo simple, simulación

δϕ.

Referencias:[1] www.smartconversion.com - Surface Gravity of the Planets and the Sun

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4 comments:

Josué Ramírez saavedra July 2, 2014 at 12:05 PM

oye hice todo para poder realizar el péndulo en movimiento, y al momento de ejecutarlo, no se mueve; se que da estatico, Uso la versión 8

Reply

DanielFDaza July 2, 2014 at 7:10 PM

Hola Josué. Te sugiero que descargues el notebook que pongo al final del post y lo compares con tu código.

pochoo August 18, 2015 at 5:57 PM

Buenas tardes quisiera saber como se podria hacer este mismo ejercicio solo que esta vez el pendulo esta sujetado a un resorte vertical oscilando sobre este

Reply

DanielFDaza August 21, 2015 at 4:47 PM

Primero es necesario plantear la ecuación diferencial y luego obtener la solución. ¿Ya realizaste esta parte?

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