Demostraciones en LATEX:

Hernan David Avila Echeverry

31 de marzo de 2016

1. Demostraciones por directa:

1.1. Ejercicio:

Proposicion: si x es un entero impar entonces x3 es impar.

Demostracion:

Sea x un numero impar ∈ a los Z.Tenemos por definicion de numero impar que x = 2a + 1 con a ∈ a los Z.Sustituyendo:x3 = (2a + 1)3 = 2a3 + 3 ∗ 2a2 ∗ 1 + 3 ∗ 2a ∗ 12 + 13 = 8a3 + 12a2 + 6a + 1

Factorizando:

Obtenemos que 2(4a3 + 6a2 + 3a) + 1Es decir que x3 = 2b + 1 con b = 4a3 + 6a2 + 3a por tanto x3 es impar.

1.2. Ejercicio:

proposicion: suponga x, y ∈ a los Z. Si x e y son impares, entonces x ∗ y esimpar.

Demostracion:

Sean x, y ∈ Z impares.Por definicion de impar tenemos:x = 2a + 1 e y = 2b + 1.

Operando:

Tenemos que x ∗ y = (2a + 1) ∗ (2b + 1).Ası x ∗ y = 4ab + 2a + 2b + 1. Factorizando:2(2ab + a + b) + 1 .Note que x ∗ y = 2c + 1 con c = 2ab + a + b. Por tanto x ∗ y impar.

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1.3. Ejercicio:

Proposicion: suponga a, b, c ∈ Z. Si a | b y a | c, entonces a | (b + c)

Demostracion:

Sean a, b, c ∈ Z, suponemos que a | b y a | c.Por definicion de ”Divide”tenemos que:b = a ∗ x, x ∈ Z y c = a ∗ w,w ∈ Z.

Sustituyendo:

b + c = a ∗ x + a ∗ w.b + c = a(x + w).b + c = a ∗ k con k = x + w.Por tanto a | (b + c).

1.4. Ejercicio:

Proposicion: Suponga a ∈ Z. Si 5 | 2a, entonces 5 | a

Demostracion:

Sea a ∈ Z y 5 | 2a.Por definicion de ”Divide”tenemos que 2a = 5 ∗ k con k ∈ Z.Note que 2a es par, por consiguiente 5 ∗ k debe ser par.De esta manera k no puede ser impar.Ası por definicion de numero ”par”k = 2d con d ∈ Z.

Reescribiendo y sustituyendo:

Tenemos que 2a = 5 ∗ k y k = 2d. por tanto 2a = 10d.

Dividiendo por (2):

Obtenemos que a = 5d.Por definicion de ”Divide”llegamos a que 5 | a .

1.5. Ejercicio:

Proposicion: Si x ∈ R, y 0 < x < 4, entonces4

x(4− x)≥ 1.

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Demostracion:

Sea x ∈ R y 0 < x < 4.Tenemos:x < 4. = 0 < 4− xPor tanto: x > 0.

(Multiplique por x):

0 < x(4− x)

−4 ≤ 0 < x(4− x).

−4

x(4− x)<

x(4− x)

x(4− x).

Operando:

Tenemos que :4

x(4− x)≥ 1.

1.6. Ejercicio:

Proposicion: Suponga a.b ∈ Z. Si a | b, Entonces a | (3b3 − b2 + 5b).

Demostracion:

Sean a.b ∈ Z. Si a | b.Tenemos por definicion de ”Divide”que b = a ∗ k,∈ kZ.Luego Sustituyendo en la expresion (3b3 − b2 + 5b).Obtenemos que = 3a3 ∗ k3 − a2 ∗ k2 + 5a ∗ k.

Factorizando:

a(3a2 ∗ k2 − a ∗ k2 + 5 ∗ k, sea k = 3a2 ∗ k2 − a ∗ k2 + 5 ∗ k.Luego (3b3 − b2 + 5b) = a ∗ k con k ∈ Z y por definicion de ”Divide”.a | (3b3 − b2 + 5b).

1.7. Ejercicio:

Proposicion: Si n ∈ Z, entonces 5n2 + 3n + 7 es impar.

Demostracion:

Sea n ∈ Z.

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Caso 1

Sea n par, por definicion de impar tenemos que n = 2a, a ∈ Z.Por consiguiente 5n2 + 3n + 7 = 5(2a)2 + 3(2a) + 7.

Operando y Factorizando:

Tenemos 20a2 + 6a + 7 = 2(10a2 + 3a + 3) + 1.Ası 5n2 + 3n + 7 = 2b + 1 con b = 10a2 + 3a + 3.Por tanto 5n2 + 3n + 7 es impar.

Caso 2

Sea n impar, por definicion de impar tenemos que n = 2a + 1, a ∈ Z.Por consiguiente 5n2 + 3n + 7 = 5(2a + 1)2 + 3(2a + 1) + 7.

Operando y Factorizando:

Tenemos 20a2 + 26a + 15.2(10a2 + 13a + 7) + 1.Ası 5n2 + 3n + 7 = 2b + 1 con b = 20a2 + 26a + 15.Por tanto 5n2 + 3n + 7 es impar.

1.8. Ejercicio:

Proposicion: Si dos enteros tienen misma paridad, entonces la suma entreellos es par.

Demostracion:

Caso 1

Sean a, b ∈ Z pares, por tanto a = 2x y b = 2w.Ası a + b = 2x + 2w. por consiguiente a + b = 2c con c = (x + w).Entonces a + b = 2c, es decir a + b par.

Caso 2

Sean a, b ∈ Z imparesentonces a = 2x + 1 y b = 2w + 1por tanto a + b = (2x + 1) + (2w + 1)asi a + b = 2x + 2w + 2a + b = 2(x + w + 1)Por consiguiente a + b = 2c con c ∈ Z y c = (x + w + 1)por lo tanto a + b es par.

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1.9. Ejercicio:

Proposicion: suponga x, y ∈ R. Si x < y,entonces x2 < y2.

Demostracion:

Sean x, y ∈ R y x < y.Note que x < y, donde x, y > 0. Lo que es equivalente a tener x− y < 0.

Operando:

Tenemos que (x− y) ∗ (x + y) < 0,es decir que x2 < y2.Por tanto x < y es equivalente a tener x2 < y2.

2. Demostraciones por contra positiva:

2.1. Ejercicio:

Proposicion:Suponga n ∈ Z, si n2 es impar, entonces n es impar.

Demostracion:

Suponga que n no es impar.Luego n es par, por tanto n = 2a con a ∈ Z.Entonces n2 = (2a)2 = 4a2 = 2(2a2).Ası n2 = 2b con b = 2a2.por consiguiente n2 es par.Por lo tanto n2 no es impar.

2.2. Ejercicio:

Proposicion: Suponga a, b.c ∈ Z. Si a - b ∗ c, entonces a - b.

Demostracion:

Suponga que a | b.Luego b = a ∗ c con c ∈ Z.

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