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7/23/2019 Demostracion Del Teorema de muestreo
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Demostracion del teorema de muestreo y Reconstrucion de la
senal
Jairo Can Sanchez Estrada
M. en C. en Ingena Electronica y Computacion
Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras
Universidad de Guadalajara
Abstract
Este documente desarrolla la demostracion matematica
del teorema de muestreo y reconstruccion de la senal, asi
como tambien se realiza una simulacion en el software de
MATLAB para comprobar lo demostrado.
1. Teorema del Muestreo
El muestreo es la conversion de una senal en tiempo
continuo a una senal en tiempo discreto obtenida tomando
muestras de la senal en tiempo continuo en instantes de
tiempo discreto[1].
Sea g(t) una funcion cualquiera definida para todo t,
querepresenta una senal analogica, y(t)una funcion tal que:
(t) = 1 si t= 00 si t= 0
(1)el producto de ambas funciones resulta:
g(t)(t) = g(0) (2)
que representa una muestra de la senal analogica en el ins-
tante cero. si ahora(t)se recorre una constante de tiempo(t T) y
se realiza de nuevo el producto con la senalanalogica se
obtiene:
g(t)(t Ts) = g(Ts) (3)
se verifica que g(T) representa una muestra de la senalanalogica
en el instantet = T. Por lo tanto el conjunto demuestras en
diferentes instantes de tiempo que se obtienen
de una senal analogica es:
g(t)(t)+g(t)(tTs)+g(t)(t2Ts)+...+g(t)(tnTs)(4)
pudiendo representar la senal muestreada gT(t), medianteuna suma
de productos de la senal analogica con los im-
pulsos unitarios desplazados en el tiempo:
gT(t) =n=n=
g(t)(t nTs) (5)
50 0 50 1001
0.5
0
0.5
1
50
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50 0 50 1002
0
2
4
6
8
10
50
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Figura 4: Reconstrucion de la senal muestreada por medio
de la Transformada inversa de fourier (MATLAB).
G(f) = 1
2fm
n=n=
g( n
2fm)ej2nf2fm fm ffm
(16)
Si se conocen todas las muestras de la senal
analogicag(t)entonces la transformada de fourier esta univocamen-te
determinada por la representacion en serie de fourier de
la ecuacion 16. ademas puesto que G(t)se puede determi-nar a
partir de su espectro G(f)utilizando la transformadainversa de
fourier, la senal original esta tambien univoca-
mente determinada por las muestras de la senal analogica.
Se considerara ahora reconstruir la senal a partir de las
muestras utilizando la transformada inversa de fourier:
g(t) = F1
1
2fm
n=n=
g( n
2fm)ej2nf2fm
(17)
g(t) = fmfm
12fm
n=n=
g( n2fm
)e
j2nf
2fm ej2ftdf (18)
La integral en la transformada inversa de fourier se evalua
desde la frecuencia fma fmpor que solo se quiere con-vertir al
dominio del tiempo el espectro centrado en cero o
mejor dicho el espectro de la senal analogica. Como solo
las exponenciales estan en funcion defla integral se puede
recorrer sacando como constante los demas terminos:
g(t) =n=n=
1
2fmg(
n
2fm)
fmfm
ej2f(t n2fm
)df (19)
Integrando la exponencial con respecto a f y evaluando
la integral definida se obtiene el seno dividido entre
suargumento, que no es mas que la funcion sinc:
fmfm
ej2f(t n
2fm)df=
ej2fm(t n2fm
) ej2fm(t n2fm
)
j2(t n2fm )(20)
fmfm
ej2f(t n
2fm)df=
sin(2fmt n)
2fmt n (21)
Por lo tanto la senal reconstruida:
g(t) =n=
n=
g( n
2fm)sin(2fmt n)
2fmt n (22)
La ecuacion 22 es la formula para reconstruir la senal
original a partir de las muestras, siendo la funcion sinc la
funcion interpoladora. Si se presta atencion la funcion sinc
representa un filtro pasa bajas de ancho de banda fmcuya
entrada es la senal muestreada figure 4.
3. Codigo Simulacion Matlab
Codigo Main
clear all
close all
T=50;
sample=50;
t=0.01-T:0.01:2*T;
t2=0.02-3*T:0.01:3*T;
signal=sin((1/25)*pi*t);
trendepulsos=pulsetrain(sample,3*T,0.01,1);
muestreada=signal.*trendepulsos;
figure(1)
subplot(2,2,1);
plot(t,signal)xlabel(-50t100)
ylabel(sin((1/25)*pi*t))
title(Senal Analogica)
subplot(2,2,2);
stem(t,trendepulsos)
xlabel(-50t100)
title(Tren de Impulsos)
subplot(2,2,[3:4]);
stem(t,muestreada)
xlabel(-50t100)
ylabel(gT(t))
title(Senal Muestreada)
fouriersignal=fftshift(fft(signal));figure(2)
subplot(2,2,1);
stem(t,fouriersignal)
xlabel(-50f100)
ylabel(G(f))
title(Transformada de Fourier de la Senal Analogica)
fouriertren=fftshift(fft(trendepulsos));
subplot(2,2,2);
stem(t,fouriertren)
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xlabel(-50f100)
title(Transformada de Fourier del Tren de Impulsos)
convolucion=conv(fouriertren,fouriersignal);
subplot(2,2,[3:4]);
stem(t2,convolucion)
xlabel(-150f150)
ylabel(GT(f))
title(Transformada de Fourier de la Senal Muestreada)
fouriersignal=fftshift(fft(signal));
figure(3)
stem(t,fouriersignal);
fouriertren=fftshift(fft(trendepulsos));
figure(4)
stem(t,fouriertren);
convolucion=conv(fouriertren,fouriersignal);
figure(5)
subplot(2,1,1)
stem(t2,convolucion);
xlabel(-150f150)
ylabel(GT(f))
title(Transformada de Fourier de la Senal Muestreada)
analogica = ifftshift(ifft(convolucion))
subplot(2,1,2)
stem(t2,analogica);
xlabel(-150t150)
ylabel(g(t))
title(senal Analogica Reconstruida)
Funcion generadora del tren de impulsos.
function pt=pulsetrain(Size,t,incre,Amplitude)
pt=zeros(1,t/incre);
for j=1:(t/(Size*incre)):(t/incre)
pt(j)=Amplitude;
end
end
Referencias
[1] John G.Proakis y Dimitris G.Manolakis Author, Tra-
tamiento Digital de Senales,A Book, Madrid,1998.
[2] Jonh C. Bellamy,Digital Telephone,A Book, USA,
2000.
