PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE CASTILLA Y LEÓNJUNIO 2000

MATEMÁTICAS (LOGSE)

CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones.DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora "de una línea". No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas.OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos y cada cuestión se puntuará como máximo con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A Ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA.

PRUEBA A

PR-1Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A2 = 2A +I, donde I es la matriz unidad.

a) Demostrar que A admite inversa, y obtenerla en función de A. (1,5 puntos)

SOLUCIÓN

A2 = 2A+I, implica A2-2A = I, o lo que es lo mismo A (A - 2I) = I = (A - 2I) A. Es decir, A-1 = A - 2I.

b) Dada la matriz , hallar para qué valores de m se verifica que B2 = 2B + I, y para esos

valores escribir la matriz inversa de B. (1,5 puntos)

SOLUCIÓN

Del apartado a) se deduce que para esos valores de m, B-1 = B - 2I, por lo tanto:

PR-2a) Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral (1 punto)

RESPUESTA

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a,b], y sea la "función integral de f"

en el intervalo [a,b]. Entonces I(x) es derivable en (a,b) y su derivada coincide con f(x): I'(x) = f(x).

b) Calcular una primitiva de la función xln(1+x2). (1,5 puntos)

SOLUCIÓN

Hacemos el cambio de variable 1+x2 = t, de donde 2xdx = dt, y xdx =(1/2) dt

Esta integral la resolvemos por partes:

Entonces nos queda:

c) Determinar el área encerrada por la gráfica de la función anterior, el eje OX y la recta x = 1. (0,5 puntos)

SOLUCIÓN

luego el logaritmo es

positivo (o nulo). Así pues, el área pedida es la integral de la función entre 0 y 1 y para calcularla haremos uso de la regla de Barrow:

CUESTIONES

C-1¿Qué relación debe existir entre a y b para que los tres vectores (a,b,1), (-b,-1,a) y (-a,b,a) estén sobre un mismo plano? (1 punto).

RESPUESTA

Que los tres vectores estén sobre el mismo plano, equivale a decir que son linealmente dependientes, por lo que el determinante que forman sus coordenadas debe ser nulo:

C-2Dados los planos 1: 3x+4y+5z=0, 2: 2x+y+z=0 y el punto A(-1,2,1), hallar el plano que pasa por el punto A y por la recta de intersección de los planos 1 y 2. (1 punto)

RESPUESTA

Si llamamos r a la recta de intersección de ambos planos, el plano pedido es uno de los planos del haz de planos que pasan por r. La ecuación de este haz de planos es 3x+4y+5z+ (2x+y+z) = 0. Para saber cuál es el plano buscado, imponemos a dicho haz la condición de que pase por el punto A:

Por lo que el plano buscado es 3x+4y+5z -10 (2x+y+z) = 0, -17x - 6y - 5z = 0, 17x+6y+5z=0

C-3

Calcular, simplificando el resultado todo lo posible, la derivada de la función

RESPUESTA

Vamos a hacerlo de dos formas diferentes:

1ª forma:

2ª forma:

C-4Hallar razonadamente la excentricidad de una elipse, sabiendo que los segmentos que unen los extremos de su eje menor con cada uno de los focos forman un cuadrado. (1 punto)

RESPUESTA

En esa situación la distancia entre el centro de la elipse y los focos, c, y la distancia entre el centro de la elipse y cualquiera de los extremos del eje menor, b, son iguales, es decir, b = c. Como en una elipse, además se cumple que a2 = b2 + c2, resulta que a2 = 2c2, de donde .

Por otra parte, la excentricidad de una elipse viene dada por la expresión .

PRUEBA B

PR-1

Se consideran las rectas:

a) Analizar en función de la posición relativa de las rectas. (1 punto)b) Para =14 escribir la ecuación del plano que contiene ambas rectas. (0,5 puntos)

c) Hallar la recta perpendicular común a s y t, siendo (1,5 puntos)

RESPUESTA

a) La recta r pasa por el punto P(1,0,) y tiene como vector director al vector u = (2,1,-1). Por su parte la recta s pasa por el punto Q(-1,2,0) y tiene como vector director al vector v = (3,1,1). El vector PQ tiene de coordenadas (-2,2,-). Para determinar la posición relativa de las rectas r y s debemos determinar el rango de la matriz formada por los vectores u, v y PQ:

Si es distinto de 14, la matriz es de rango 3, luego las dos rectas se cruzan. Si =14 el rango de la matriz es 2 (el primer determinante de orden 2 es distinto de cero), luego u y v son linealmente independientes pero PQ es combinación lineal de ambos. Por lo tanto las dos rectas están en el mismo plano pero no son paralelas ni coincidentes, luego se cortan en un punto.

b) Para =14, se trata de hallar la ecuación del plano que pasa por Q y tiene como vectores directores u y v:

c) Llamemos w al vector director de la recta t. Entonces, w=(1,2,-2). La recta buscada debe ser perpendicular a s y t, luego su vector director puede ser n = v x w:

La recta buscada es la intersección del plano 1 (plano que pasa por s y tiene como vectores directores v y n) y el plano 2 (plano que pasa por t y tiene como vectores directores w y n). 1 pasa por Q(-1,2,0) y 2

pasa por R (0,0,0):

PR-2a) Definir los conceptos de máximo y mínimo locales de una función. (0,75 puntos)b) Caracterizar, en función de la derivada, la condición de que un punto sea máximo o mínimo local de una

función. (0,75 puntos)c) Hallar sobre la recta x+3y=30 un punto P con la propiedad de que la suma de sus distancias al origen y al

eje OX sea mínima. (1,5 puntos)

RESPUESTAS

a) Sea f(x) una función real de variable real y a un punto de su dominio. Se dice que a es un máximo local de f (respectivamente mínimo local) si existe un entorno de a, (a-,a+), contenido en el dominio de f, tal que para todo punto c de dicho entorno, f(c) f(a) (respectivamente, f(c) f(a)).

b) Sea f(x) una función derivable al menos dos veces en un entorno de un punto a, (a-,a+). Si a es un extremo relativo de f (máximo local o mínimo local), entonces f ' (a) = 0. (Teorema de Fermat).Por otra parte, si f ' (a) = 0 y f '' (a)<0, a es un máximo local de f; si f ' (a) = 0 y f '' (a)>0, a es un mínimo local de f. En esta situación, si la derivada segunda en a también fuera cero y la función es derivable sucesivas veces, proseguiríamos derivando hasta hallar una derivada distinta de cero. Si esta derivada es par, a es un máximo o mínimo siguiendo el mismo criterio anterior, pero si la primera derivada no nula es impar, entonces a no es un extremo relativo de la función, sería un punto de inflexión.Si la función es derivable infinitas veces en a y todas las derivadas en a son nulas, este criterio no sirve para decidir el carácter del punto a.

c) Las coordenadas de un punto P cualquiera sobre la recta x+3y=30 son P (30-3y,y). La distancia d1 entre P

y el origen es: ; la distancia entre P y el eje OX es y. La función que queremos

optimizar es: .

Igualamos a cero la derivada:

Luego es el segundo valor el que da la suma mínima y el punto buscado es P(6,8).

CUESTIONES

C-1

Calcular el rango de la matriz siguiente según los valores de m. (1 punto)

RESPUESTA

Si m es distinto de 1 y de -1, el determinante es distinto de cero y el rango es 3.Si m es igual a 1, la primera columna es (2,1,-1), la segunda es (-2,-1,1) y la tercera es (4,2,-2). Es decir todas las columnas son proporcionales a la primera por lo que sólo hay una columna linealmente independiente y el rango es 1.

Si m es igual a -1, el primer menor es , por lo que el rango es 2.

C-2

Calcular la distancia del punto P(0,-2,-1) a la recta . (1 punto)

RESPUESTA

Esta recta pasa por el punto Q(3,1,0) y tiene como vector director u(4,1,1). La distancia entre el punto P y la recta puede hallarse como la altura del paralelogramo determinado por los vectores PQ y u: PQ = (3,3,1)

C-3Enunciado del teorema del valor medio de Rolle. (1 punto)

RESPUESTA

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado, [a,b], y derivable en su interior, (a,b), tal que f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a,b), en el que la derivada se anula: f ' (c) = 0.

C-4

Calcular . (1 punto)

RESPUESTA

Hacemos el cambio de variable ex = t, de donde ex dx = dt. Entonces .

Descomponemos ahora la fracción resultante por el procedimiento de las fracciones simples: