Axioma 0:El sucesor de un nmero natural es siempre un nmero natural, la suma y el producto de dos nmeros naturales es siempre un nmero natural.Axioma 1:Para todon,S(n)0.Axioma 2:Si S(n) = S(m) entoncesn=m.Axioma 3:n+ 0 =n.Axioma 4:n+ S(m) = S(n+m).Axioma 5:n.0 = 0.Axioma 6:n.S(m) =n.m+n.Axioma 7 (Esquema de induccin):Para cada frmula P(n), si puede probarse que vale P(0) y tambin que vale "P(n)P(S(n))" entonces P(n) vale para todon.

Teoremas:Estos son algunos teoremas que se deducen de los axiomas de Peano.

Teorema 1:0 +n=n.Demostracin:Aplicamos el esquema de induccin.Paran= 0 la afirmacin vale por el axioma 3.Tenemos que probar que "0 +n=n0 + S(n) = S(n)". Veamos que es as:Si 0 +n=nentonces 0 + S(n) = S(0 +n) = S(n).

Teorema 2:n+ S(m) =m+ S(n).Demostracin:Hacemos induccin enm.Param= 0 la afirmacin vale porque:n+ S(0) = S(n+ 0) = S(n) = 0 + S(n), esto ltimo por el teorema 1.Veamos quen+ S(m) =m+ S(n) implican+ S(S(m)) = S(m) + S(n).S(m) + S(n) == S(m+ S(n)) (ax. 4)= S(n+ S(m)) (hiptesis)=n+ S(S(m)) (ax. 4).

Teorema 3:n+m=m+n(Es decir, la suma es conmutativa).Demostracin:Fijamosny hacemos induccin enm.Param= 0 vale ya quen+ 0 =n= 0 +n, por axioma 3 y teorema 1.Tenemos que probar quen+m=m+nimplican+ S(m) = S(m) +n, veamos que es as:n+ S(m) == S(n+m) (ax. 4)= S(m+n) (hiptesis)=m+ S(n) (ax. 4)= S(m) +n (teo. 2).

Teorema 4:(n+m) +k=n+ (m+k)(Es decir, la suma es asociativa).Demostracin:Fijamosnym, y hacemos induccin enk.Parak= 0 vale ya que:(n+m) + 0 =n+m=n+ (m+ 0).Tenemos que probar que (n+m) +k=n+ (m+k) implica (n+m) + S(k) =n+ (m+ S(k)). Veamos que es as:(n+m) + S(k) == S((n+m) +k) (ax. 4)= S(n+ (m+k)) (hiptesis)=n+ S(m+k) (ax. 4)=n+ (m+ S(k)) (ax. 4).

Teorema 5:0.n= 0(Recurdese que el axioma 5 afirma quen.0 = 0).Demostracin:Hacemos induccin enn. Paran= 0 vale por el axioma 5. Tenemos que probar que 0.n= 0 implica 0.S(n) = 0. Vemoslo: 0.S(n) = 0.n+ 0 = 0 + 0 = 0.

Teorema 6:S(n).m=n.m+mDemostracin:Fijamosny hacemos induccin enm. Param= 0 vale porque: S(n).0 = 0 = 0 + 0 =n.0 + 0.Tenemos que probar que S(n).m=n.m+mimplica S(n).S(m) =n.S(m) + S(m). Vemoslo:S(n).S(m) == S(n).m+ S(n) (por el ax. 6)= (n.m+m) + S(n) (hiptesis)=n.m+ (m+ S(m)) (teo. 4)=n.m+ (S(m) +n) (teo. 2)=n.m+ (n+ S(m)) (teo. 3)= (n.m+n) + S(m) (teo. 4)=n.S(m) + S(m) (ax. 6)

Teorema 7:n.m=m.n(el producto es conmutativo).Demostracin:Fijamosny hacemos induccin enm. Param= 0 vale porquen.0 = 0 = 0.n.Tenemos que probar quen.m=m.nimplican.S(m) = S(m).n. Vemoslo:n.S(m) ==n.m+n (ax. 6)=m.n+n (hiptesis)= S(m).n (teo. 6).

Teorema 8:n.(m+k) =n.m+n.k.(Es decir, vale la propiedad distributiva).Demostracin:Fijamosnym, y hacemos induccin enk. Parak= 0 vale por los axiomas 3 y 5.Tenemos que probar quen.(m+k) =n.m+n.kimplican.(m+ S(k)) =n.m+n.S(k). Vemoslo:n.m+n.S(k) ==n.m+ (n.k+n) (ax. 6)= (n.m+n.k) +n (teo. 4)=n.(m+k) +n (hiptesis)=n.S(m+k) (ax. 6)=n.(m+ S(k)) (ax. 4)

Teorema 9:(n.m).k=n.(m.k).(Es decir, el producto es asociativo).Demostracin:Fijamosnym, y hacemos induccin enk. Parak= 0 vale por el axioma 5.Tenemos que probar que si (n.m).k=n.(m.k). entonces (n.m).S(k) =n.(m.S(k)).Vemoslo:(n.m).S(k) == (n.m).k+n.m (ax.6)=n.(m.k) +n.m (hiptesis)=n.(m.k+m) (teo. 8)=n.(m.S(k)) (ax. 6).Definicin:1 = S(0).

Teorema 10:10.(Es consecuencia inmediata del axioma 1.)

Teorema 11:n+ 1 = S(n).Demostracin:n+ 1 == n+ S(0) (definicin)= S(n+ 0) (Ax. 4)= S(n) (Ax. 3)

Teorema 12:1.n=n.Demostracin:Por induccin. Paran= 0 vale por el axioma 5.Veamos que 1.n=nimplica 1.S(n) = S(n).1.S(n) == 1.n+ 1 (Ax. 6)=n+ 1 (por hiptesis)= S(n) (Teo. 11).

Definiciones:2 = S(1)3 = S(2)4 = S(3)5 = S(4)etc.

Veamos ahora un nuevo teorema:

Teorema 13:Sin0entonces existemtal queS(m)=n.Demostracin:El enunciado que queremos demostrar equivale an(n=0m(S(m)=n)), y este ltimo enunciado se prueba fcilmente por induccin. En efecto, paran= 0 vale, y supuesto que vale paranentonces es claro que tambin vale paraS(n) ya que sin= S(m) entoncesS(n) =SS(m).

Teorema 13 bis:Sin0entoncesnse obtiene aplicando al 0 la funcinSsucesivamente una cantidad finita de veces.Demostracin:Por induccin. Paran= 0 vale (el antecedente de la implicacin es falso). Supuesto que vale paranes inmediato que vale paraS(n) ya que sin=SS...S(0) entoncesS(n) =SSS...S(0) (unaSms).

Teorema 13 ter:Si una afirmacin vale para 0,S(0),SS(0),SSS(0),SSSS(0),... entonces la afirmacin vale para todon.Demostracin:Seancualquiera, entonces, por el teorema anterior, o bienn= 0, o bienn=SS...S(0), en cualquiera de los dos casos, por hiptesis, la afirmacin vale paran.

Cree usted que las tres versiones del teorema 13 son vlidos?

Sucede que el enunciado y la demostracin del primer teorema respetan las restricciones que impone lalgica de primer orden, mientras que los otros dos no las respetan (se enmarcan en lalgica de segundo orden). Es importante esta distincin? En parte s, porque el teorema de Gdel slo vale en teoras basadas en la lgica de primer orden. De hecho, si se acepta la validez del teorema "13 ter" entonces el teorema de Gdel pasa a ser directamente falso (o, si se quiere, es falso si se acepta en la matemtica ese tipo de razonamiento). Por as decirlo, la validez del teorema de Gdel termina en la delgada lnea que separa el teorema 13 del teorema 13 bis. Vuelvo a preguntar: cree usted que los tres teoremas son vlidos?

Una primera conclusin es (o debera ser) que el teorema de Gdel involucra ciertas sutilezas que impiden que sea discutido a la ligera, y que refutan cualquier anlisis que no tome en cuenta adecuadamente sus complejidades tcnicas.

Por otra pare, yo s creo que los tres teoremas son vlidos, por lo que esta situacin me convence (al menos a m) de que la lgica que usan naturalmente los matemticos no es (a diferencia de los que los lgicos suelen sostener) la lgica de primer orden, sino la lgica de segundo orden. La "verdadera lgica", digo yo, es la de segundo orden, la otra es una lgica muy apta para ser estudiada, pero no es la que usamos realmente para razonar.

Es falso entonces el teorema de Gdel? No, el teorema de Gdel sigue siendo vlido en la teoras basadas en la lgica de primer orden, es decir, tiene una aplicacin especfica que, segn yo lo veo, no alcanza a toda la matemtica en su conjunto.

Teorema 14:Sin+m= 0 entoncesn= 0 ym= 0.Demostracin:Sim0entonces, por el teorema 13,m= Skpara algnk, luegon+ Sk= 0. Deducimos as, por el axioma 4, que S(n+k) = 0, pero esto es un absurdo porque contradice el axioma 1. Luego, debe serm= 0; fcilmente, del axioma 3, se sigue quen= 0.

Teorema 15:Sin+m=n+kentoncesm=k.Demostracin:Lo hacemos por induccin enn. Paran= 0 es fcil ver que vale (por el axioma 3).Paso inductivo:Supongamos que Sn+m= Sn+k, entonces, por el axioma 3 y el teorema 3, tenemos que S(n+m) = S(n+k). Luego, por axioma 2,n+m=n+k, y por hiptesis inductivam=k.

Otros teoremas que pueden probarse, las demostraciones que faltan se dejan como ejercicio para los lectores:

Teorema 16:Sin.m= 0 entoncesn= 0 om= 0.Demostracin:La afirmacin es equivalente a: Sin.m= 0 ym0entoncesn= 0. Probmoslo.Sim0entonces, por el teorema 13, existektal que S(k) =m. Luego:0 =n.S(k) =n.k+n(por axioma 6).Entoncesn.k+n= 0 y, por el teorema 14, deducimos quen= 0, como queramos probar.

Comentario:No podramos haber dicho quen.m=n+n+n+ ... +n(mveces) para luego aplicar directamente el teorema 14? Una vez ms, este razonamiento, perfectamente aceptable en la "matemtica de todos los das", no lo es, en cambio, en el contexto de la lgica de primer orden (que es la que presupone el teorema de Gdel),

Teorema 17:Sin.m=n.kyn0entoncesm=k.Demostracin:La afirmacin a demostrar es:Para todomvale: Para todonyk, sin.m=n.kyn0entoncesm=k.Probmosla por induccin enm.Param= 0, hay que probar que sin.0=n.kyn0entoncek= 0; esto se deduce del teorema anterior.Supuesto que vale paramvamos a probarlo paraS(m). Tenemos entonces quen.S(m)=n.k.Comencemos observando quek0, en efecto, sik= 0 entoncesn.S(m)= 0, de donde se deduce quen= 0 oS(m)= 0, lo cual es absurdo. Por lo tanto, existertal queS(r)=k, y entonces:n.S(m)=n.kn.S(m)=n.S(r)n.m+n=n.r+nn.m=n.r (Teo. 15)m=r (Hiptesis inductiva)S(m)=S(r)S(m)=k, que es lo que queramos probar.

Teorema 18:Sin+m= 1 yn0entoncesm= 0.(De este teorema se deduce inmediatamente que si la suma de dos nmeros naturales es 1 entonces uno de de ellos es 0 y el otro es 1.)Demostracin:Supongamos, por el absurdo, quem0, entonces existektal queS(k)=m. En consecuencia:n+m= 1n+S(k)= 1S(n+k) = 1S(n+k)=S(0)n+k= 0Entonces, por el teorema 14,n= 0, lo que contradice la hiptesis.

Teorema 19:Sin.m= 1 entoncesn=m= 1.

Teorema 20:1 + 1 = 2.Demostracin:1 + 1 = 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1) = 2.

Teorema 21:12.Demostracin:Si 2 = 1 entonces S(S(0)) = S(0), luego (por el axioma 2), S(0) = 0, lo que contradice el axioma 1.

Teorema 22:No existental que 2.n= 1.Demostracin:Supongamos que s. Luego:2.n= 1(1 + 1).n= 1 (teo. 20)n+n= 1 (teo. 8 y 12)Por el teorema 18, se sigue quen= 0 on= 1,Sin= 0, llegamos a que 0 = 1, lo que contradice el teorema 10.Sin= 1, llegamos a que 2 = 1, lo que contradice el teorema 21.Deducimos as quenno existe.

Teorema 23:Sin+m= 2 yn0ym0entoncesn=m= 1.

Teorema 24:2 es primo, es decir, sin.m= 2 ym1entoncesm= 2.

Teorema 25:42.

(*) Teorema 26:n=SS....S(0), donde laSse repitenveces.

Como en el caso del teorema 13, bordeamos aqu las ideas del teorema de Gdel. El teorema 26 ni siquiera puede enunciarse en la lgica de primer orden de los axiomas de Peano, por lo que "escapa" a los mtodos de demostracin que supone el teorema de Gdel. De hecho, si intentan demostrarlo, vern que se debe hacer induccin, no slo ennen tanto "nmero natural", sino tambin ennen tanto "cantidad de veces que aparece la letra S". Pero acaso no son la misma cosa? Los nmeros naturales no son cantidades? En el contexto de los axiomas de Peano la respuesta es no, "nmero" no es "cantidad", sino que "nmero" es "smbolo que cumple los axiomas". Es por eso que, a mi modesto entender, como dije ms arriba, la lgica de primer orden (tan defendida por los lgicos matemticos) es insuficiente para abarcar la riqueza del razonamiento matemtico.

Es tambin interesante notar que en la lgica de primer orden s puede demostrarse que1 =S(0)2 =SS(0)3 =SSS(0)etc.

Es decir, puede probarsecada instanciadel teorema 26, pero no el teorema en toda su generalidad.

Teorema 27:3 es primo.

Teorema 28:2.2 = 4 (luego, 4 no es primo).Demostracin:2.2 = 2.S(1) = 2.1 + 2 = 2 + 2.2 + 2 = 2 + S(1) = S(2 + 1) = S(S(2)) = S(3) = 4.

Teorema 29:Sinmentonces existektal quen+k=mom+k=n.

Definicin:nmsi y slo si existektal quen+k=m.n