DEMOSTRACIONES Y APLICACIONES DE SECCIONES CONICAS

SECCIONES CNICAS LA PARBOLAEn matemtica, la parbola es la seccin cnica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define tambin como el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometra, la parbola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homlogos en una proyectividad semejante o semejanza. La parbola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las grficas de ecuaciones cuadrticas son parbolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

HISTORIA

La tradicin reza que las secciones cnicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicacin del cubo, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratstenes.Sin embargo, el primero en usar el trmino parbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cnicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cnicas.APOLONIO DE PERGEApolonio demostr que las curvas cnicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizs las propiedades ms interesantes y tiles que descubri Apolonio de las cnicas son las llamadas propiedades de reflexin. Si se construyen espejos con la forma de una curva cnica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elpticos, parablicos o hiperblicos, segn la curva que gira. Apolonio Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parablico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parablico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arqumedes logr incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parablicos.La parbola tambin fue estudiada por Arqumedes, nuevamente en la bsqueda de una solucin para un problema famoso: la cuadratura del crculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parbola.ELEMENTOS DE UNA PARABOLA: Foco: Es el punto fijo f. Directriz: Es la recta fija d. Parmetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vrtice: Es el punto de interseccin de la parbola con su eje. Radio Vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parbola con el foco.

APLICACIONES DE LA PARABOLA

Colector Parablico Compuesto. CPC Esencialmente consta de reflectores parablicos que redirigen la radiacin desde la apertura hasta el absorbente, como si se tratase de un embudo, es decir, todos los rayos incidentes son dirigidos al absorbedor. Las mitades derecha e izquierda pertenecen a diferentes parbolas. El eje derecho de la parbola forma un ngulo a con el plano medio del colector y el eje izquierdo forma un ngulo -a con dicho plano, y sus focos son A y B respectivamente. En los puntos C y D la inclinacin es paralela al plano medio del colector.

Colector Cilndrico Parablico. CCP Existen muchos campos solares que utilizan esta tecnologa como medio de generacin de energa trmica y elctrica, ejemplos de ellos son la Plataforma Solar de Almera Andasol 1 y Andasol 2. Es por ello que esta tecnologa est muy avanzada, la informacin y exactitud es amplia y detallada. Los CCPs son captadores concentradores solares de foco lineal, que transforman la radiacin solar directa en energa trmica, gracias al calentamiento de un fluido de trabajo que puede llegar hasta los 400 oC en casos muy favorables. Por tanto, estn englobados dentro de los colectores solares de media temperatura.

Disco Parablico. DPLos sistemas de discos parablicos se componen bsicamente en un reflector o en un conjunto de de reflectores, que tienen forma de paraboloide de revolucin. Adems poseen un receptor situado en el foco puntual de dicho paraboloide, y de un sistema de generacin elctrica compacto (un motor o una turbina ms un alternador). Por lo general, receptor y sistema de generacin suelen formar parte de un mismo conjunto.

Antenas parablicas, telescopios Las aplicaciones principales de las parbolas incluyen su cmo reflectores deluzyondasderadio. Los rayos originados en el foco de la parbola se reflejan hacia afuera de la parbola, en lneas paralelas al eje de la parbola. An ms eltiempoque tarda en llegar cualquier rayo al foco a una recta paralela a la directriz de la parbola ( y por lo tanto estas propiedades se utilizan en linternas, faros de automviles, enantenasde transmisin demicroondas. La forma de los telescopios, detectores de radar y reflectores luminosos son parablicas. En los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco de la parbola, de modo que los rayos, al reflejarse en la lmpara, salen formando rayos paralelos. La nave espacial PLUTO de la NASA incorpora tambin un reflector parablico. Recordar tambin el conocido efecto de quemar una hoja de papel concentrando los rayos solares mediante un espejo parablico.

Tambin se usa la parbola en las construcciones La parbola es la curva que adopta un cable que tenga que soportar una carga, un peso, uniformemente distribuido, vase el puente de San Francisco: El Golden Gate. La catenaria es la curva que adopta un cable sostenido por sus extremos debido a su propio peso. Por otro lado, la curva que adopta el cable es una parbola cuando, despreciando su propio peso, es una carga uniformemente distribuida la que soporta. En el puente colgante, los cables, adems de su propio peso, tienen que soportar el de la plataforma. Por ello, la forma exacta que adoptan los cables es una "combinacin" de la catenaria y la parbola. La diferencia entre ambas curvas es muy pequea. De hecho, los ingenieros suponen en sus clculos que es una parbola, dada la simplicidad de su ecuacin frente a la ecuacin de la catenaria.

Tambin tenemos otras estructuras como: Parque de diversiones

Mesa decorativa

Arcos de monumentos

LA ELIPSEUna elipse es la curva simtrica cerrada que resulta al cortar la superficie de unconopor un plano oblicuo al eje de simetra con ngulo mayor que el de lageneratrizrespecto del eje de revolucin.Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera unesferoideachatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.Se llama elipse al lugar geomtrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. La lnea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario. Se llaman vrtices de la elipse a los puntos donde sta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.

HistoriaEl matemtico griego Menecmo descubri estas curvas y fue el matemtico griego Apolonio de Perga el primero en estudiar detalladamente las curvas cnicas y encontrar la propiedad plana que las defina Apolonio descubri que las cnicas se podan clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hiprbolas y parbolas.Las propiedades ms interesantes y tiles que descubri Apolonio de las cnicas son las llamadas propiedades de reflexin. Si se construyen espejos con la forma de una curva cnica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elpticos, parablicos o hiperblicos, segn la curva que gira.Apolonio demostr que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco.

En el siglo XVI el filsofo y matemtico Ren Descartes desarroll un mtodo para relacionar las curvas con ecuaciones. Este mtodo es la llamada Geometra Analtica. En la Geometra Analtica las curvas cnicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado ms sorprendente de la Geometra Analtica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cnicas se lo debemos a Jan de Witt Sin lugar a dudas las cnicas son las curvas ms importantes que la geometra ofrece a la fsica. Por ejemplo, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cnica. El astrnomo alemn Johannes Kepler descubri que las rbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los dems planetas varan desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutn Ms tarde el clebre matemtico y fsico ingls Isaac Newton demostr que la rbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cnica.

Elementos de una elipse. Focos: F y F

Eje mayor: Recta que pasa por los focos

Eje menor: Recta que pasa por los covrtices Vrtices: A y A

Covrtice: B y B

Centro: La interseccin de los ejes

Distancia focal: distancia del centro a uno de los focos C

Aplicaciones de la elipse La elipse se puede apreciar en la mayora de casos en las construcciones Cuando se tiene una estructura sometida a cargas distribuidas en un elemento, el diagrama de momento puede asemejarse a una elipse o parbola de segundo grado.Esto se usa para el clculo de momento mximo en dicha barra. Este diagrama describe una cierta elipse o parbola que al derivarla se obtiene el punto de la viga donde el momento es mximo y en base a esto nosotros podemos disear y la cantidad de Acero de refuerzo, El rea de la Seccin transversal de la columna o Viga y otros factores de diseo.

En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elptica. Edificios con formato (pasivo) elptico. El Castillo de Ingapirca Ecuador.

Reino de Monomotapa, donde destaca el templo de forma elptica decorado con motivos flicos y anillos irregulares. Zimbabue

La gigantesca fortaleza de Kulap se halla situada en el distrito de Tingo, provincia de Luya, departamento de Amazonas, a una altura de 3,000 metros sobre el nivel del mar; en la cima de una alta eminencia rocosa conformante de un ramal de la cordillera central del Per. Su forma es de elipse alargada orientada de norte a Sur y est construida sobre la punta de un cerro, cuyas laderas son muy abruptas e inaccesibles, a ms de 500 metros de altura sobre la quebrada cortada a pico. En muchas ciudades es fcil encontrar plazas de planta elptica, normalmente conocidas por el nombre de "plaza elptica". Por ejemplo, en Madrid y Bilbao existen plazas de este tipo. Sin embargo, la plaza de planta elptica ms famosa en el mundo probablemente sea la Plaza de San Pedro en el Vaticano.

Tambin podemos encontrar edificaciones con planta elptica. Un ejemplo es la iglesia del Monasterio de San Bernardo, ms conocido por "Las Bernardas" en Alcal de Henares. Un templo con una nica nave y planta elptica, con cpula del mismo trazado. En sus muros se abren seis capillas, cuatro de ellas tambin de planta elptica, con diferentes tamaos de sus portadas.

Su nombre oficial es 53rd at Third pero es conocido popularmente como Lipstick Builing (el pintalabios).

Su elegante forma elptica le diferencia de los edificios de su entorno.

Se trata la segunda contribucin postmoderna de Johnson en el horizonte de Manhattan, despus del edificio de AT&T que construy dos aos antes. Esta vez la forma inusual, que ha terminado por darle nombre al edificio, era un requisito del propietario para hacer que el edificio pareciese inclinado hacia fuera compensando la posicin menos de moda en aquel entonces de TerceraAvenida. La forma elptica tambin da lugar a que todas las oficinas situadas en el permetro de la planta sean oficinas esquina, una de las situaciones ms Cotizadas sobre la planta de un edificioEl edificio de 143 m de alto consiste en cuatro cilindros ovalados colocados unos sobre el otro, de mayor a menor, creando el edificio un aspecto inclinado que se aleja de la concurrida tercera avenida.

La forma elptica de la planta tambin logra que no haya diferencias entre las oficinas situadas en el permetro de las plantas ya que por definicin la elipse, al pertenecer a la misma familia que el crculo, no tiene vrtices y por lo tanto no hay esquinas.

Esa estructura hace parte de la cubierta en 16 ejes estructurales en tribuna de los72 que conforman el estadio, 8 en Occidental y 8 en Oriental respectivamente, el problema surge por la forma geomtrica del Estadio, es una elipse no un ovalo recto como lo son Barranquilla y Manizales, Estructuralmente era casi imposible que esos apoyos no existiran debido a que la cubierta tiene un quiebre desde la bandeja superior a la Inferior, de todos modos le muestro un ejemplo de estadios viejos que les pusieron cubierta y presentan el mismo problema, el Olimpic de Berlin.

LA HIPERBOLA

Una hiprbola es una seccin cnica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetra con ngulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolucin.

HistoriaSegn la tradicin, las secciones cnicas fueron descubiertas por Menecmo.Sin embargo, el primero en usar el trmino hiprbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cnicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cnicas.Elementos de la hiprbole Vrtices: A y A

Covrtices: B y B

Eje transversal: recta que contiene los focos

Eje conjugado: recta que contiene a los covrtices

Centro: interseccin de los ejes transversal y conjugado

Asntotas: recta a las que la curva se acerca cada vez ms en los extremos sin tener intersecci

Aplicaciones de la hiprbola Sistema de navegacin LORANLa propiedad de la definicin de la hiprbola: la diferencia de las distancias de los puntos de la hiprbola a los focos es constante, se utiliza en la navegacin. En el sistema de navegacin LORAN, una estacin radioemisora maestra y otra estacin radioemisora secundaria emiten seales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos seales estar probablemente ms cerca de una de las estaciones, habr una diferencia entre las distancias recorridas por las dos seales, lo cual se registrar como una pequea diferencia de tiempo entre las seales, En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias ser tambin constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria ser una hiprbola cuyos focos estn localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deber quedar en la interseccin de las dos hiprbolas correspondientes.

Tambin vemos la hiprbole en ciertas estructuras cuya esttica vendra a tener forma hiperboloide La emblemticaTorre de Kobe(1963; 108 m., Kobe, Japn) es un fantstico hiperboloide; laCatedral de Brasilia(1959-70, Oscar Niemeyer; 40 m de altura y 60 de dimetro) es otro sensacional hiperboloide; elPlanetario McDowel(Centro de Ciencias de Saint Louis; 1963, Gyo Obata; Missouri) es otra muestra; elpuente hiperblico de Manchester(calle Corporation), elCastillo del Agua de Fedala(1957, Eduardo Torroja, Mohammedia; Marruecos),latorre de control del aeropuerto de Barcelona(2007, Bruce Fairbanks), laTorre de la TV de Cantn (2009, 600 m. Cantn, China), o lastribunas de Hipdromo de La Zarzuela(Eduardo Torroja, Monumento Histrico-Artstico, 1980) constituyen soberbios ejemplo de hiperboloide. La lista de monumentos arquitectnicos y estructuras fascinantes es inmensa; pero no aparece el hiperboloide de Benidormque, pese a sus escasas dimensiones, merece un reconocimiento.

LasTorres de Shjov(de los aos 20) estn en muy mal estado y por ser hiperboloides famosos hay movimientos internacionales para salvarlas: hay una en Mosc y otra en un lugar estepario a la vera del ro Ok, afluente del Volga. No consiguieron la fama de la obra de Eiffel, pero son tan sensacionales como la parisina. Por eso ha reaccionado el mundo de la ingeniera y del arte.

Circunferencia La circunferencia slo posee longitud. Se distingue delcrculoen que ste es el lugar geomtrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es elpermetrodel crculo cuyasuperficie contiene. Puede ser considerada como unaelipsedeexcentricidadnula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. Tambin se puede describir como la seccin, perpendicular al eje, de una superficiecnicaocilndrica, o como unpolgonode infinitos lados, cuyaapotemacoincide con suradio. La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denominacircunferencia unidadocircunferencia goniomtrica.

Historia Todo comenz en Egipto el ser humano necesito contar, creo los nmeros, quiso hacer clculos, y defini las operaciones; hizo relaciones y determino las propiedades numricas, por medio de lo anterior ms el uso de la lgica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemticas surgidas a diario. Adems de esos requerimientos prcticos, el hombre preciso admirar la belleza de la creacin para satisfacer su espritu. Con ese fin, observo la naturaleza y todo lo que le rodeaba. As fue ideando conceptos de formas figuras, cuerpos, lneas, los que le dieron origen a la parte de la matemtica que designamos como nombre de geometra.Los babilonios tambin conocan las reas delos tringulos y los rectngulos, sobre todo para resolver problemas de herencia, pero en especial ellos estudiaron muchos loscrculos.Eran unos excelentes geometras ellos bautizaron las doce constelaciones del zodaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales. Es decir, dividieron el crculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes.Elementos de la circunferencia Centro el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; Radio El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del dimetro. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida por 2. Dimetro El dimetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El dimetro mide el doble del radio. El dimetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida por ; Cuerda La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El dimetro es la cuerda de longitud mxima.; Secante es la lnea que corta a la circunferencia en dos puntos; Tangente es la lnea que toca a la circunferencia en un slo punto; Punto de tangencia el de contacto de la recta tangente con la circunferencia; Arco El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el smbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.; Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un dimetro.Dimetros conjugadosDosdimetrosde unaseccin cnicase denominanconjugadoscuando todacuerdaparalelaa uno de ellos esbisecadapor el otro. Por ejemplo, dos dimetros de la circunferenciaperpendicularesentre s son mutuamente conjugados. En unaelipsedos dimetros son conjugados si y slo si la tangente a la elipse en el extremo de un dimetro es paralela a la tangente al segundo extremo.

Aplicaciones de la circunferencia

La Circunferencia en las Armas

Como ya hemos dicho, el dimetro es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro, este dimetro es lo que se usa para medir el tamao de agujeros como lo es en las armas. Se habla normalmente de pistolas calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto no es solo un "nombre", sino que esto se refiere al tamao del agujero (can) por donde salen los proyectiles (balas) del arma, usando el tamao del dimetro y usando una medida milimetra para lograrlo.

La Circunferencia en el Transporte

En el transporte tambin podemos apreciar la presencia de la Circunferencia, de hecho, donde se puede notar y ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un conjunto de tubos metlicos con dos ruedas que aplican la geometra perfectamente: Las ruedas estn hechas de un arco . La mejor parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y desde este salen un montn de alambres delgados llamados rayos y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamao de la rueda es medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el dimetro.