Dennis G. Zill Ejercicios 1.2.1

RESOLUCION DE LOS PROBLEMAS

En los problemas 1 y 2, y=1

1+C1e− x es una familia paramétrica de

soluciones de la E.D. de primer orden y’=y-y^2. Encuentre una solución del PVI de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición dada.

1. y(0)= -1/3

y= 1

1+C1e− x

y ’=[ (0 ) (1+C1e

− x)−(1 ) (−C1 e−x )]

(1+C❑1e− x)2

y ’=C1 e

− x

(1+c1e− x)2

y ’= y− y2

C1 . e−x

(1+C1 . e−x )2

= 11+C1 . e

−x – [ 11+C1 .e

− x ]2

C1 . e−x

(1+C1 . e−x )2

= 11+C1 . e

−x –1

(1+C1 . e−x )2

C1 . e−x

(1+C1 . e−x )2

=1+C1. e

−x−1

(1+C1 .e− x )2

C1 . e−x

(1+C1 . e−x )2

=C1.e

− x

(1+C1. e− x)2

0=0

y= 1

1+C1e− x; y (0 )=1

3

−13

= 1

1+C1 e0

−13

= 11+C1

−1−C1=3

ARELIS FERNANDA VEINTIMILLA CELI UG - SEMESTRE III - PARALELO “D”

−1−3=C1

−4=C 1

y= 1

1−4e− x

2. y(-1)= 2

y= 1

1+C1e− x

y ’=[ (0 ) (1+C1e

− x)−(1 ) (−C1 e−x )]

(1+C❑1e− x)2

y ’=C1 e

− x

(1+c1e− x)2

y ’= y− y2

C1. e−x

(1+C1. e−x )2

= 11+C1 . e

−x – [ 11+C1 .e

− x ]2

C1. e−x

(1+C1. e−x )2

= 11+C1 . e

−x –1

(1+C1 . e−x )2

C1. e−x

(1+C1. e−x )2

=1+C1. e

−x−1

(1+C1 .e− x )2

C1. e−x

(1+C1. e−x )2

=C1.e

− x

(1+C1. e− x)2

0=0

y= 1

1+C1e− x; y (−1 )=2

2= 1

1+C1e1

2= 1

1+C1e1


2+2C1 e1=1

C1e1=−1

2

C1=−12e1

En los problemas 3, 4, 5 y 6, y=1

x2+C es una familia uniparamètrica de

soluciones de la ED de primer orden y ’+2 x y2=0. Determine una solución del PVI del primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial dada. Dé el intervalo lo más largo en el cual está definida esta ecuación.

3. y(2)=1/3

4. y(-2)=1/2

5. y(0)=-1 6. y(1/2)=-4

y= 1

x2+C

y ’=(0 ) (x2+C )−(1 ) (2x )

(x2+C )2

y ’= 2 x

(x2+c )2

y ’+2 x y2=0

−2 x(x2+c )2

+2 x( 1x2+c )

2

=0

−2 x

(x2+c )2+ 2 x

(x2+c)2=0

0=0

3. y= 1

x2+C ; y (2)=1/3

1/3=1/((2 )2+C)

1/3=1/(4+C)


4+C=3

C=−1

y= 1

√ x2−1

4. y= 1

x2+C ; y (−2)=1 /2

1/2=1 /((−2 )2+C)

1/2=1 /(4+C)

4+C=2

C=−2

y= 1

√ x2−2

5. y= 1

x2+C ; y (0 )=−1

−1= 10+C

−C=1

C=−1

y= 1

√ x2−1

6. y= 1

x2+C ; y (1/2 )=−4

−4= 1

( 12 )2

+C

−4( 14 +c)=1−1−C=1

−C=2

C=−2


y= 1

√ x2−2

En los problemas 7, 8, 9 y 10, x=C1cost+C2 sent es una familia de soluciones de dos parámetros de la ED de segundo orden x ’ ’+x=0. Determine la solución del PVI de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y las condiciones iniciales dada.

7. x (0 )=−1 , x ’ (0 )=8

8. x ( π2 )=0 , x ’ ( π2 )=19. x ( π6 )=12 , x '( π6 )=0

10. x ( π4 )=√2 , x ' ( π4 )=2√2

x=C1co st+C2 sent

x ’= (0 ) cost−C1 sent+ (0 ) sent+C2cost

x '=−C1 sent+C2 cost

x ' '=−(0 ) sent−C1 cost+ (0 ) cost−C2 sent

x ' '=−C1 cost−C2 sent

x ’ ’+x=0

−C1cost−C2 s ent+(C1 cost+C2 sent )=0

−C1cost−C2 sent+C1cost+C2 sent=0

0=0

7. x (0)=−1 , x ’ (0)=8

[−1=C1 cos (0 )+C2 sen (0 ) ]; [8=−C1 sen (0 )+C2cos (0 )] [−1=C1 ] ; [8=C2 ]

x=−cost+8 sent

8. x ( π2 )=0 , x ’ ( π2 )=1


[0=C1 cos( π2 )+C2 sen( π2 )]; [1=−C1 sen ( π2 )+C2 cos ( π2 ) ] [0=C2 ] ; [−1=C1 ]

x=−cos t

9. x ( π6

)=12, x ' ( π

6)=0

[12=C1cos ( π6 )+C2 sen( π6 )]; [0=−C1 sen( π6 )+C2cos ( π6 )]

[12=C1(√32 )+C2( 12 )]; [0=C1( 12 )+C2( 12 )][ 12=12 (√3C1+C2 )]; [0=12 (−C1+√3C2 )][1=√3C1+C2]; [0=−C1+√3C2 ]

¿

{ √3C1+C2=1−√3C1+3C2=0

4C2=1→C2=14

0=C1( 12 )+C2(√32 )0=−C1( 12 )+( 14 )(√32 )0=−C1( 12 )+ √3

8

−√38 (−21 )=C1

√34

=C1


x=√34cost+ 1

4sent

10. x ( π4 )=√2 , x '( π4 )=2 √2

[√2=C1 cos( π4 )+C2 sen ( π4 )]; [2√2=−C1 sen( π4 )+C2 cos( π4 )]

[√2=C1(√22 )+C2( √22 )]; [2√ 2=−C1( √22 )+C2(√22 )][√2=√2

2(C1+C2 )]; [2√ 2=√2

2(−C1+C2 )]

[2=C1+C2]; [4=−C1+C2 ]

{ C1+C2=2−C1+C2=4

2C2=6→C2=3

C1+C2=2

C1+3=2

C1=2−3

C1=−1

x=−cost+3 sent

En los problemas 11, 12,13 y 14, y=C1 ex+C2 e

−x es una familia de

soluciones de dos parámetros de la ED de segundo orden y ’’− y=0. Determine una solución de PVI de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y las condiciones iniciales dada.

11. y(0)=1 ,y’(0)=2 12. y(1)=0 ,y’(1)=e13. y(-1)=0 ,y’(-1)=-5


14. y(-1)=0 ,y’(-1)=-5

y=C1 ex+C2 e

−x

y ’=C1 ex−C2 e

−x

y ’’=C1ex+C2e

− x

y ’’− y=0

C1ex+C2e

− x – (C1ex+C2 e

−x)=0

C1ex+C2e

− x−C1ex−C2 e

−x=0

0=0

11. y (0)=1, y ’(0)=2[ y=C1 e

x+C2 e−x ] ; [ y '=C1 e

x−C2 e−x ]

[1=C1 e0+C2 e

0 ]; [2=C1 e0−C2e

0]

[1=C1+C2 ] ;[2=C1−C2]

{C1+C2=1C1−C2=2

2C1=3

C1=32

1=C1 e0+C2 e

0

1=32+C2

1−·32=C2

−12

=C2

y= 3

2ex−12e−x


1

12. y (1)=0 , y ’(1)=e

[ y=C1 ex+C2 e

−x ] ; [ y '=C1 ex−C2 e

−x ]

[0=C1e1+C2 e

1 ]; [e=C1 e1−C2 e

1]

[0=C1+C2 ]; [ ee1

=C1−C2]

{ C1+C2=0

C1−C2=e

e1

2C1=e

e1

2C1=e¿e−1

2C1=e0

C1=12

0=C1+C2

0=12+C2

−12

=C2

y=12ex−1

2e−x

13. y (−1)=0 , y ’(−1)=−5

y=C1 ex+C1 e

−x ; y ’=C1 ex –C2 e

−x

[0=C1e−1+C2 e

1 ]; [−5=C1e−1−C1 e

1 ][0=0.3679C1+2.7182C2];[−5=0.3679C1+2.7182C2]

{ 0=0.3679C1+2.7183C2−5=0.3679C1−2.7183C2


-5/0.7358=C1

−6.7983=C1

−5=0.3679 (6.7953 )−2.7183C2

−5=−2.5−2.7183C2

−2.5=−2,7183C2

−2.52.7183

=C2

0.9197=C2

y=−6.7953ex+0.9197e−x

14. y (0 )=0 , y ’ (0 )=0

y=C1 ex+C1 e

−x ; y ’=C1 ex –C2 e

−x

[0=C1e0+C2 e

0 ] ; [0=C1 e0−C1 e

0 ][0=C1+C2]; [0=C1−C2]

{0=C1+C2

0=C1−C2

0¿2C1

C1=0

C1+C2=0

C2=−C1

C2=0

y=0ex+0e−x

En los problemas 15 y 16 determine por inspección al menos dos soluciones de PVI de primer orden dado.

15. y’= 3y^(2/3) ,y(0)=0

Integrar:


dydx

=3 y2/3

dy

3 y23

=dx

∫ dy

3 y23

=∫ dx

13∫ y

−23 dy=∫dx

13(y13

13

)= x+c

y13=x+c

y13 – x=c

y13 – x=c , y (0)=0

(0 )12−0=c

0=c

y12−x=0

16. xy’= 2y ,y(0)=0

Integrar:

xddx

( y )=2 y

12 y

ddx

( y )=1x

12 y

ddx

( y )=1x:ln ( y )2

=ln ( x )+C1

12 y

ddx

( y )=1x

∫ 12 y

dy=∫ 1x dx


∫ 1x dx=ln (x )+C1

12 y

dy=ln ( y )2

+C2

ln ( y )2

+C2=ln ( x )+C1

y=x2 e2c1

y=x2C1

En los problemas 17, 19, 21 y 23 determine una región del plano xy para el que la ecuación diferencial dada tendría una solución única cuyas gráficas pasen por un punto (x0 , y0) en la región.

17. dydx

= y23

18.dyx

=√ xy

19. xdydx

= y

20.dydx

− y=x

21. (4-y^2)y’= x^2 22. (1+ y3 ) y '=x2

23. (x^2 + y^2)y’=y^224. ( y−x ) y '= y+x

17. dydx

= y23

dydx

=3√ y2

∂ f∂ y

=23y

−13 = 2

3∛ yy≠0

R/¿ Semiplanodefinido por y>0 y<0

18.dydx

=√ xy


f ( x , y )=√ xy

∂ f∂ y

= √ x2√ y

R/¿ x ≥e y>0ó x ≤0 e y<0

19.x dydx

= y

xdy= ydx

∂ y∂ x

= yx

∂ f∂ y

=1x

R/¿ x>0ó x<1

20.dydx

− y=x

dydx

=x+ y

f ( x , y )=x+ y

∂ f∂ y

=1

R/¿es continuaen latotalidad del plano xy

21. (4− y2 ) y ’=x2

y ’= x2

4− y2

∂ f∂ y

=(0)(4− y2)−(x2 ) (−2 y )

(4− y2 )2

∂ f∂ y

= 2 x2 y

(4− y2 )2

R/¿ y>2ó y←2


22. (1+ y3 ) y '=x2

y '= x2

1+ y3

f ( x , y )= x2

1+ y3

∂ f∂ y

= 3 x2 y2

(1+ y3 )2

R/¿ y←1ó y>−1

23.(x2+ y2) y ’= y2

y ’= y2

x2+ y2

∂ f∂ y

=(2 y)(x2+ y2)−(2 y ) ( y2 )

(x2+ y2 )2

∂ f∂ y

=2 x2 y+2 y3−2 y3

(x2+ y2 )2

∂ f∂ y

= 2 x2 y

(x2+ y2 )2

R/¿ x no igual0 y y no igual0

24. ( y−x ) y '= y+x

y '= y+xy−x

f ( x , y )= y+xy−x

∂ f∂ y

= 2x

( y−x )2

R/¿ semiplanodefinida por y<x ó y>x


En los problemas 25, 26, 27 y 28 determine si el teorema 1.2.1 garantiza que la

ecuación diferencial y ’=√( y2−9) tiene una solución única que pasa por el punto

dado. Condición: y>3ó y←3

25. (1,4)26. (5,3)27. (2,-3)28. (-1,1)

25. y ’=√ y2−9∂ f∂ y

=12

( y2−9 )−12 (2 y )

∂ f∂ y

= y

√ y2−9R/¿ si pertenece porque4>3 por y←3ó y>3

26. y ’=√ y2−9 y (5 )=3

f ( x , y )=√( y2−9)

∂ f∂ y

= y

√ y2−9

R/¿no pertenece aningunade las regiones definidas por y←3ó y>3

27. y ’=√ y2−9 y (2 )=−3

f ( x , y )=√( y2−9)

∂ f∂ y

= y

√ y2−9


28. y ’=√ y2−9 y (−1 )=1


f ( x , y )=√( y2−9)

∂ f∂ y

= y

√ y2−9


29.a) Por inspección determina una familia uniparamétrica de la ecuación diferencial xy’=y. Compruebo que cada miembro de la familia es una solución del problema con valores iniciales xy’=y y(0)=0

xdydx

= y

xdy= ydx

∂ y∂ x

= yx

∂ f∂ y

=1x

R/¿ x>0ó x<1

b) Explique el inciso a) determinando una región R en el plano xy para que la ecuación diferencial xy=y’ tendría una solución única que pase por el punto (x0 , y0) en R.

c) Compruebo que la función definida por tramo:

y={0 , x<¿0x , ¿

0¿}

xy ’= y xy ’= y

xdydx

= y y = yx

dyy

=dxx

dfdy

=1x

∫ dyy

=∫ dxx

x≠0

lny=lnx+C

ln y – ln x=C


ln ( yx )=C

yx=C

y=C .x

31.a) Verifique que y= −1x+C

es una familia de soluciones uniparamétrica

de la ecuación diferencial y ’= y2

y= −1x+C

y '= (0 ) (x+C )− (−1 ) (1 )( x+C )2

y '= 1

( x+C )2

y ’= y2

1

( x+C )2=[ 1

x+C ]2

1

( x+C )2= 1

(x+C )2

b) Puesto quef ( x , y )= y2 y ∂ f /∂ y=2 y son continuas donde sea, la región R en el teorema 1.2.1 se puede considerar como el plano xy. Determine una solución familia del inciso a) que satisfaga que y (0)=1 Después determine una solución de familia del inciso a) que satisfaga que y (0 )=−1. Determine el intervalo I de definición más largo para la solución de cada problema con valores iniciales.

y= −1x+C

; y (0 )=1

1= −10+C

C=−1

y= −1x−1


y= −1−(−x+1 )

y= 1−x

+1

I (−∞ ,1)

y= −1x+C

; y (0 )=−1

−1= −10+C

C=1

y= −1x+1

x y-5 0,25-4 0,33-3 0,5-2 1-10 -11 -0,52 -0,333 -0,25

λ

I (−1 ,∞)

c) Determine el intervalo de definición I más largo para la solución del problema con valores iniciales y ’= y2 , y (0)=0. [Sugerencia: La solución no es un miembro de la familia de soluciones del inciso a)].


dydx

= y2

dy

y2=dx

∫ y−2dy=∫ dx

y−1

−1=x+c

1y−1

– x=C

y (0)=0

1y−1

−x=c ; y (0 )=0

10−1

−0=c

−1=C

1y−1

−x=−1

1y−x

=−1+x

1=(1+x)( y−1)

1=− y+1+xy−x

1−1+x= y (−1+x)

x−1+ x

= y

x y-3 0,75-2 0,66-1 0,50 012 33 1,54 1,33

λ


I (1 ,∞)

33.a) Verifique que 3 x2– y2=C es una familia de soluciones uniparamètricas de la ecuación diferencial ydy /dx=3x

ydy=3xdx

∫ ydy=∫ 3 xdx

y2

2=3 ( x22 )+C

y2/2=3 x2

2+C

−3 x2+ y2=C

3 x2− y2=C

b) Bosqueje, a mano, la gráfica de la solución implícita 3 x2– y2=3. Determine todas las soluciones explicita y=∅ (x )de la ED del inciso a) definidas por esta relación. Dé un intervalo I de definición de cada una de las soluciones explicitas.

3 x2− y2=3 Sí y (3)=−2

3 (−2 )2– (3 )2=312−9=33=3

x=3 ; y=−2ó(3 ,−2)

3 x2−3= y2


√3 x2−3= y

I (0 ,−∞)

x y-4 6,71-3 4,9-2 3-1 001 02 33 4,94 6,71

λ

c) El punto (-2,3) está en la gráfica de 3 x2– y2=3 pero ¿cuál de las soluciones explicitas del inciso b) satisface que y (2)=3?

En los problemas 35 y 37 se presenta la gráfica de un miembro de la familia de soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden

d2 y /d x2= f (x , y , y ’). Relacione la curva solución con al menos un par de las siguientes condiciones iniciales.a) y (1 )=1 , y ’ (1)=−2b) y (−1 )=0 , y ’(−1)=−4c) y (1)=1 , y ’ (1)=2d) y (0 )=−1, y ’(0)=2e) y (0 )=−1, y ’(0)=0f) y (0)=−4 , y ’ (0)=−2


35. Alternativa b37. Alternativa c

PROBLEMAS DE ANALISIS:

En los problemas 39 utilice el problema 51 del ejercicio 1.1 y (2) y (3) de esta sección.

39. Encuentre una función y=f(x) cuya gráfica en cada punto (x,y) tiene una pendiente dada por 8e2x+6 x y la intersección con el eje y en (0,9).

41. Considere que el problema con valores iniciales y ’=x−2 y , y (0)=1/2. Determine cuál de las dos curvas que se muestra en la figura 1.2.11 es la única curva solución `posible. Explique su razonamiento.

dydx

=x−2 y

dy=xdy−2 y dx

x= x2

2−2 xy+C

x2x

= x2

2– y+C

12− x2

2+ y=C

y (0)=12

12–

(0 )2

2+12=C


1=C

12− x2

2+ y=1

12−x2−1=− y

−12

+x2+1= y

(0 , 12)

x y-4 8,5-3 5-2 2,5-1 10 0,51 12 2,53 54 8,5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50123456789

y


R// Linea roja

43. Suponga que la ecuación diferencial de primer orden dy/dx= f(x,y) tiene una familia uniparametrica de soluciones y que f(x,y) satisface la hipótesis del teorema 1.2.1 en alguna región rectangular R del plano xy. Explique por qué curva solución diferentes no se pueden interceptar o ser tangente entre sí en un punto (x0 , y0) en R.


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Dennis G. Zill Ejercicios 1.2.1