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Departamento de Física Teórica II. Universidad Complutense de Madrid. Naturaleza del mesón escalar más ligero y su Dependencia con N c en Teoría de Perturbaciones Quiral Unitarizada a dos loops. Guillermo Ríos y José R. Peláez. Phys. Rev. Lett. 97: 242002 (2006). Introducción. - PowerPoint PPT Presentation
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Departamento de Física Teórica II. Universidad Complutense de Madrid
Guillermo Ríosy
José R. Peláez
Naturaleza del mesón escalar más ligero y suDependencia con Nc en Teoría de Perturbaciones
Quiral Unitarizada a dos loops
Phys. Rev. Lett. 97: 242002 (2006)
Introducción
Espectroscopía hadrónica Los hadrones se clasifican en multipletes de SU(3)V
QCD: Teoría gauge no abeliana Glueballs. Se esperan en el canal de la σ
Muchas resonancias escalares. Difíciles de clasificar
Nonete de naturaleza ordinaria qq ~ 1.2 – 1.5 GeV
Nonete de distinta naturaleza (extraordinarios)
Ruptura espontánea de la simetría quiral El único caso de RES en altas energías donde hay datos
La σ tiene los mismos números cuánticos que el vacío. Juega un papel importante en la ruptura de simetría (en el LσM sería el equivalente al “Higgs” en QCD)
Paradigmaemergente ~ 0.4 – 0.8 GeV
IntroducciónNaturaleza espectroscópica del mesón σ
Teoría de Perturbaciones Quiral (ChPT) Teoría efectiva de QCD a bajas energías
Unitarización. Método de la Amplitud Inversa. Resonancias Dispersión de piones. Resonancias ρ y σ
Expansión en el número de colores de QCD Definición de estados Evolución de los polos con Nc
Confirmación de resultados previos a O(p4) Naturaleza de la σ no
Cálculo a O(p6) Consistencia con el O(p4). Componente subdominante
El lagrangiano de QCD (sin masas) es invariante bajo las transformaciones quirales SU(Nf)Lx SU(Nf)R.
La masa de los quarks u y d es suficientemente ligera como para
tratarla como una perturbación
No se encuentra la degeneración esperada en el espectro hadrónico
VRL SUSUSU )2()2()2( Ruptura espontánea de la simetría quiral
QCD y simetría quiral
QCD no perturbativa a energías bajas → Recurrimos a una teoría efectiva basada en sus simetrías
Teorema de Goldstone → Existen tantos bosones sin masa como generadores espontáneamente rotos
En este caso los bosones de Goldstone son los tres piones, que adquieren una pequeña masa al no ser las masas del u y d nulas, pero siguen siendo los grados de libertad más ligeros de la teoría
Teoría de Perturbaciones Quiral (Weinberg, Gasser & Leutwyler)
Los piones son los grados de libertad relevantes a baja energía
Construimos con ellos el lagrangiano efectivo más general posible compatible con las simetrías de QCD
Los observables calculados a partir de él son una expansión en masas y momentos de los piones sobre la escala típica de ruptura de simetría (4πFπ)2, denominada O(p2), O(p4) etc… Válido a energías bajas (~ 100 MeV por encima del umbral)
A cada orden aparecen unas constantes que parametrizan el efecto de grados de libertad más pesados y cuyo valor no está determinado por la simetría
Orden dominante: Fπ , Mπ
O(p4): l1…l7 (para ππ scattering sólo l1…l4)
O(p6): para ππ scattering r1…r6
Low Energy Constants
(LECs)
El método de la amplitud inversa (IAM)(Truong, Dobado, Herrero, Peláez)
...42 ttt donde tk ~ O(pk)
2Im tt
t
1Im
itt
1Re
1
42
22
tt
tt
O(p4): O(p6):
622442
22
/ ttttt
tt
0Im 2 t 224Im tt 426 Re2Im ttt , ,
Las ondas parciales calculadas con ChPT son una expansión en p2
por lo que cumplen la condición de unitariedad sólo de forma perturbativa
De la condición de unitariedad exacta sabemos que
Sustituyendo Re t-1 por su aproximación en ChPT y usando la unitariedad perturbativa obtenemos las ondas parciales del IAM
Método de la amplitud inversa
Satisface la condición de unitariedad de forma exacta
Se recupera el desarrollo quiral a bajas energías
Se generan polos asociados a resonancias anteriormente no presentes en ChPT. En dispersión de piones encontramos la ρ(770) y la f0(600) o σ
Extiende el rango de aplicabilidad hasta ~ 1 GeV
400600
8001000
-300
-200
-1000
100
-2
-1
0
1
2
400600
8001000
-300
-200
-1000
100
400600
8001000
-200
0
200
-4
-2
0
2
4
400600
8001000
-200
0
200
Im t11Im t00
2/ iMspolo
La expansión en 1/Nc (t’Hooft, Witten)
Generalizar QCD a Nc colores. Para Nc grande la teoría se simplifica.
)1(OM qq )/1( cqq NO
La dependencia de ChPT con Nc se implementa a través de las LECs (dependen de Nc). Al orden dominante su dependencia es independiente del modelo Gasser & Leutwyler
nivel árbol: Mπ ~ O(1) , Fπ ~ O(√Nc) O(p4): li ~ O(Nc)O(p6): ri ~ O(Nc
2)
Nos proporciona una definición de estados qq
Conexión con QCD a través de Nc
Expansión en 1/Nc
de QCD
ChPT UnitarizadaCon el IAM
Dependencia deChPT con Nc
Generación deresonancias
Evolución con Nc del polo de las resonancias generadas con el IAM
Podemos comparar el comportamiento con Nc de la masa y anchurade las resonancias obtenidas con el IAM con el de de un estado qq
Esto es relevante cerca de Nc=3. Sólo los estados sobreviven en Nc→ ∞. Para Nc suficientemente grande
cualquier mínima mezcla con qq se hará dominante pero esto no proporciona información sobre la componente
dominante del estado físico en Nc=3
Definición clara deestados
)/1(),1( cNOOM
Estados : )/1(),1( cNOOM
Resultados previos con el IAM con canales acoplados en SU(3) (Peláez PRL92(2004))
Cuestiones abiertasCon el IAM a O(p4) se generan polos en las amplitudes
42
22
tt
tt
t2 ~ O(1/Nc) , t4 = t4
árbol ~ O(1/Nc)
t4loops ~ O(1/Nc
2)
Los términosde loops son
subdominantesen Nc
escalares: su masa crece con Nc (cerca de Nc=3) los términos de loops juegan un papel importante en Nc=3
Hay una cancelación entre t2 y t4
Esto sugiere que hay una cancelación que hace que t4loops gane
importancia. ¿Es debida a un ajuste fino de las LECs?
Términos de loops suprimidos 1/Nc para algún Nc se harán más pequeños que términos de O(p6). ¿Pueden estos términos O(p6) afectarLos resultados a O(p4)?
Si los términos de loops son poco importantes a Nc=3, 1/Nc factoriza y la solución (parte real) es independiente de Nc M ~ O(1) qq
Cuestiones abiertas
En este trabajo se estudia la dispersión de piones con UChPT en SU(2), donde se encuentran los polos de la ρ y la σ
Presentaremos un método para cuantificar como de cerca está el comportamiento con Nc de una resonancia al de un
Variando generosamente las LECs comprobaremos los resultados a O(p4): ρ , σ no . No ajuste fino de las LECs
Comprobaremos los resultados a O(p6). Parecen revelar una componente subdominante en la σ.
qq qq
Cuantificando cuanto una resonancia es qq El escaleo M ~ O(1), Γ ~ O(1/Nc) sólo es el orden dominante. Teniendo en cuenta órdenes subdominantes, una resonancia se puede considerar si
c
MqqNc N
MM
1~
cc
qqNc NN
1
~
qqNcNc
qqNc MMM 1
qqNcNc
c
cqqNc N
N
1
1
Se pueden calcular las M y Γ esperadas a algún Nc a partir de sus valores En Nc-1 (tomando las contribuciones subdominantes como incertidumbres)
Construimos la siguiente función χ2qq
n
NcqqNc
NcqqNc
qqNc
NcqqNc
qq M
MM
n 4
22
2
2
1
Si la resonancia es principalmente , χ2
qq ~ 1
Si la resonancia NO esprincipalmente , χ2
qq >> 1
Podemos saber a partir de que Nc una resonancia empieza a comportarse como
Minimizando χ2qq podemos forzar el comportamiento qq a las resonancias
Comprobación del O(p4)
Ajuste a datos:
(MeV)
I = 0 , J=0
( º
)
I = 1 , J=1
s1/2 (MeV)
ph
ase
shif
t (
º )
I = 2 , J=0
ph
ase
shif
t (
º )
s1/2 (MeV)
χ2data = 1.1
Comprobación del O(p4)
De nuevo encontramos la ρ como y la σ como no
ρ σ
qq qq
Comprobación de los resultados a O(p4)
El resultado “σ no ” no es debido a un
ajuste fino de las LECS
Incluso intentándolo no conseguimos que la σ se comporte como un .
χ2qq,σ = 125
Los datos se ajustan peor
χ2data = 1.4
Para ver si este resultado es debido a un ajuste fino de las LECs intentamos forzar la σ a un .qq
Realizamos un ajuste a los datos minimizando a la vez χ2qq para la σ
Fit Sólo datos
σ como qq
χ2data
1.1 1.4
χ2qq,ρ
0.26 0.32
χ2qq,σ
140 125
Cálculo a O(p6)
En el ajuste minimizamos también χ2qq,ρ para imponer
el comportamiento correcto de la ρ
A O(p6) hay 6 parámetros más. Tenemos mucha libertad y encontramos algunos conjuntos de LECs con los que la ρ no se comporta como qq
qqSabemos que la ρ si es un mesón . Los resultados obtenidos sólo serán válidos si a la vez reproducimos la naturaleza de la ρqq
Cálculo a O(p6) de ππ scattering en ChPT disponible en la literatura Bijnens et al. PLB374(1996)
Calculo a O(p6)
χ2data = 1.1
χ2qq.ρ = 0.93
χ2qq.σ = 15
Imponiendo la Naturaleza a la ρ obtenemos
una σ no qq
I = 1 , J=1
s1/2 (MeV)
ph
ase
shif
t (
º )
I = 2 , J=0
ph
ase
shif
t (
º )
(MeV)
I = 0 , J=0
( º
)
Cálculo a O(p6)
A mayor Nc los términos O(p6) se hacen más importantes que los diagramas con loops O(p4)
M se hace constante ~ 1GeV
Γ empieza a decrecer
Cerca de Nc = 3 obtenemosresultados similares
a los de O(p4)
comportamiento qq
El cálculo a O(p6) parece revelar una componente
subdominante de la σ con una masa de 2.5M3~1.2GeV
Cálculo a O(p6)
A O(p6) encontramos un comportamiento para la ρ (χ2
qq.ρ = 0.93)
Al mismo tiempo encontramos que la componente dominante de la σ es no (χ2
qq.σ = 15 , M y Γ crecen con Nc cerca de Nc =3 de la vida real)
Una componente subdominante aparece a mayor Nc con una masa alrededor de 1.2 GeV. Precisamente en la zona del hipotético multiplete
Cálculo a O(p6)
Hacemos un ajuste minimizando χ2qq,σ
Aun así enontramos χ2qq,σ = 3.5
Obtenemos un peor ajuste a los datos, χ2
data = 1.4
estropeamos la naturaleza
de la ρ, χ2qq.ρ = 2.0
Con el cálculo a O(p6) nose puede obtener una componente
dominante para la σ
¿Podémos encontrar un conjunto de LECs que hagan que esta componente se haga dominante?qq
Cálculo a O(p6)
¿Cómo de grande puede ser la componente subdominante de la σ sin estropear la naturaleza de la ρ?
La σ no se comportapredominantemente como
un qq (χ2qq,σ = 4) pero
empieza a hacerlo (χ2qq,σ ~ 1)
a partir de Nc = 6
El comportamiento de la ρ
empeora un poco χ2qq,ρ = 1.3
Ajustamos minimizando ambas χ2
qq,ρ y χ2qq,σ.
La componente de la σ se hace dominante
en el caso más favorable para Nc>6
qqqq
ConclusionesHemos presentado un método para determinar cuantitativamente como de cerca está el comportamiento con Nc de una resonancia al de un
Lo hemos aplicado a los polos generados con ChPT en SU(2) unitarizada con el IAM
confirmación de los resultados previos a O(p4) . ρ es y σ predominantemente no . Este resultado no es debido a un ajuste fino de las LECs
Extensión a O(p6) confirmando la estabilidad del resultado a O(p4) y mostrando que una posible mezcla con una componente subdominante alrededor de 1.2 GeV parala σ pudiera existir, precisamente donde se localiza elhipotético nonete ordinario
Esta componente subdominante se haría dominanteen el caso más favorable alrededor de Nc > 6, pero nuestroajuste principal sugiere una supresión aun mayor
qqqq
Gracias!
