DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN

NUMÉRICA

EJERCICIOS RESUELTOS

CÁTEDRA DE MÉTODOS NUMÉRICOSDEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN

SEPTIEMBRE DE 2003

ING. BEATRIZ PEDROTTI

1-9

DERIVACIÓN NUMÉRICA

1º EJERCICIO:

Dada la siguiente función discreta,

a) Encontrar f’(0) aplicando las fórmulas de 2, 3 y 4 puntosde la tabla, es decir:

Solución:

b) Encontrar f’’’(0) aplicando las fórmulas de 5 puntos dela tabla, es decir:

No son aplicables las formulas 19 y 20 que son también de 5puntos.

Solución:

i 0 1 2 3 4 5 6x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

f(x) 1 0.90484 0.81873 0.74082 0.67032 0.60653 0.54881

i i+1 i+2 i+3 factor orden error-1 1 1/h 1 fórmula 1-3 4 -1 1/2h 2 fórmula 2

-11 18 -9 2 1/6h 3 fórmula 3

según fórmula 1 f'(0) es = ( -1 + 0.9048 + 0 + 0 ) *1/ 0.1 = -0.9516

según fórmula 2 f'(0) es = ( -3 + 3.6194 + -0.8187 + 0 ) *1/ 0.2 = -0.9969

según fórmula 3 f'(0) es = ( -11 + 16.287 + -7.3686 + 1.5 ) *1/ 0.6 = -0.9997

i i+1 i+2 i+3 i+4 factor orden error-5 18 -24 14 -3 1/2(h*h*h) 2 fórmula 17

según fórmula 17 f'''(0) es = ( -5 + 16.287 + -19.65 + 10 + -2 ) *1/ 0.002 = -0.9400

2-9

c) Encontrar fiv (0) aplicando las fórmulas de 5 puntos dela tabla, es decir:

No son aplicables las fórmulas 22 y 23.

Solución:

2º EJERCICIO:

Dada la siguiente función discreta,

a) Encontrar f’’(1.0) o sea i=2, aplicando las fórmulascentrales de 3 y 5 puntos, es decir:

La fórmula 14 no es central.

Solución:

b) Encontrar fIII(1.4) o sea i=6, aplicando la fórmula 17.

i i+1 i+2 i+3 i+4 factor orden error1 -4 6 -4 1 1/(h*h*h*h)) 1 fórmula 21

según fórmula 21 der4(0) es = ( 1 + -3.6194 + 4.9124 + -3 + 1 ) *1/ 0.00010 = 0.6000

según fórmula 12 f''(1.0) es = ( 0 + 0.7833 + -1.6829 + 0.9 + 0 ) *1/ 0.010 = -0.8400

según fórmula13 f''(1.0) es = ( 0 + 0.7833 + -1.6829 + 0.9 + 0 ) *1/ 0.010 = -0.8400

según fórmula 15 f''(1.0) es = ( -1 + 12.533 + -25.244 + 14 + -0.9320 ) *1/ 0.120 = -0.8405

i 0 1 2 3 4 5 6x 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

f(x) 0.71736 0.78333 0.84147 0.89121 0.93204 0.96356 0.98545

i-2 i-1 i i+1 i+2 factor orden error1 -2 1 1/(h*h) 2 fórmula 121 -2 1 0 1/(h*h) 2 fórmula13

-1 16 -30 16 -1 1/12(h*) 4 fórmula 15

3-9

Para aplicar la fórmula 17 que es lateral derecha o inicialen el punto 1.4 y según los datos que poseo, debotransformarla en fórmula lateral izquierda o final

Solución:

3º EJERCICIO:

Calcular la derivada primera de f(x)=seno(x)/x en los puntosx=1.2 y x=1.3 aplicando la formula “8” con pasos de cálculoh1=0.1 y h2=0.2 y Extrapolando por Richardson.

La fórmula “8” es:

Los datos de la función discretizada que necesito para elcálculo son:

a) La derivada en x=1.2 con h1=0.1 es:

(0.841470985 -6.481508073 + 0 + 5.929588833 - 0.703892664)/ (12* 0.1)= -0.345284099

formula 17 lateral derecha o iniciali i+1 i+2 i+3 i+4

-5 18 -24 14 -3cambio signo de indices y signo de factores

i i-1 i-2 i-3 i-45 -18 24 -14 3

reordeno y obtengoformula 17 lateral izquierda o final

i-4 i-3 i-2 i-1 i factor orden error3 -14 24 -18 5 1/2(h*h*h) 2

f'''(1.4) es = ( 2.524 + -12.477 + 22.369 + -17.344 + 4.927 ) *1/ 0.002 = -0.2000

i-2 i-1 i i+1 i+2 factor 1 -8 0 8 -1 1/12h

x 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7f(x) 0.896695 0.870363 0.841471 0.810189 0.776699 0.741199 0.703893 0.664997 0.624734 0.583332

4-9

La derivada en x=1.2 con h2=0.2 es:

(0.896695114 - 6.731767878 + 0 + 5.631141314 - 0.624733502)/(12*0.2)= -0.345277064

Extrapolando,

h2/h1= 2; orden de error= 4

(h2/h1)4= 16

f’(1.2)ex=(16 *( -0.345284099) – (-0.345277064))/(16-1)= -0.34452845691

b) La derivada en x=1.3 con h1=0.1 es:

(0.810188509 - 6.213593906 + 0 + 5.631141314 - 0.6649967)/(12*0.1)= -0.364383951

La derivada en x=1.1 con h2=0.2 es:

(0.870363233 - 6.481508073 +0+ +5.319973262 - 0.583332241)/(12*0.2)= -0.36437659

Extrapolando,

h2/h1= 2; orden de error= 4

(h2/h1)4= 16

f’(1.3)ex=(16 *( -0.364383951) – (-0.36437659))/(16-1)= -0.3643844452

INTEGRACIÓN NUMÉRICA(ESTOS EJERCICIOS SON LOS QUE SE TOMARON EN LOS PARCIALES 1º

SEMESTRE 2003)

4º EJERCICIO:

Resolver

∫ +2

0

31 xdx Aplicando la fórmula I23 e indicar el orden de

error de la fórmula aplicada.

Solución:

5-9

Nota:La solución exacta es 3.239

La solución numérica se obtiene de la fórmula I23 (# 11)

h/3 � 4 � orden de error es 5

Aplico paso h= 0.5, y obtengo la siguiente tabla:

x= 0.0 0.500 1.000 1.500 2.000f(x)= 1.000 1.061 1.414 2.092 3.000

Primera integración de 0 a 1 I1= 1.11Segunda integración de 1 a 2 I2= 2.13Integral Numérica I= 3.24

5º EJERCICIO:

Resolver

∫π

0

/)( xxsen dx aplicando la fórmula I43 y extrapolando por Richardson indicar

cual es el mejor valor obtenido.

Solución

Nota: La solución exacta es I=1.85

La solución numérica la obtenemos con la formula I43 (#14)

4h/3 � 2 -1 2 �

1)con h=Pi/4= 0.785

obtengo la siguiente tabla

x= 0.000 0.785 1.571 2.356 3.142f(x)= NAN 0.900 0.637 0.300 0.000

I= 1.84749

2) con h=Pi/8=0.393

obtengo la siguiente tabla

6-9

x= 0.000 0.393 0.785 1.178 1.571 1.963 2.3562.749 3.142

f(x)= NaN 0.974 0.900 0.784 0.637 0.471 0.3000.139 0.000

I= 1.3703 + 0.48139 = 1.85169

3) Aplicando Richardson:

n= orden de error es 5

h1/h2= 2

I mejor es: (16 * 1.85169 - 1.84749)/15 =1.8520

6º EJERCICIO:

Resolver

La integral numérica entre x=0 y x= 2 de la siguiente funcióndiscreta

x= (0.00000 0.50000 1.00000)

f(x)= (1.00000 1.06066 1.41421)

Solución

Nota: La solución exacta es I=3.239

Debería aplicar la fórmula I43(# 24)

h/12 32 -64 80 0 0 orden de error es 4

con h=0.5

I = 3.219

7º EJERCICIO:

Resolver

7-9

La integral de la función discreta definida en la tablaadjunta, entre x=0 y x= PI,

x= 0.393 0.785 1.178 1.571 1.963 2.356 2.7493.142

f(x)= 0.974 0.900 0.784 0.637 0.471 0.300 0.1390.000

Aplicar Extrapolación de Richardson para obtener un mejorvalor. Utilizar los menores pasos de calculo h posibles.

Solución

Nota: La solución exacta es 1.85

Aplico formula I21 (#9)

2 h 0 1 0orden de error es n=3

1) con h= PI/4=0.785

Calculo I= 2 * 0.785 * (0.9 + 0.3)= 1.884

2) con h=Pi/8=0.393Calculo I= 2* 0.393 (0.974 + 0.784 +0.471 + 0.139)=1.8612

3) Por Richardson

I= (4* 1.8612 – 1.884)/3=1.8536

8º EJERCICIO:

Resolver la siguiente integral numérica

dxXX∫ +3

2

3 )/1(

con un paso h=0.5 aplicando la siguiente formula

fórmula I23 (# 11)

h/3 � 4 � orden de error es 5

Luego elegir otro paso h’ y aplicar Extrapolación deRichardson.

8-9

Solución:

h1=0.5x= 2.0 2.50000 3.00000

f(x)= 8.5000 16.0250 27.3333

I1 = 16.5555

h2=0.25x= 2.0 2.25 2.5 2.75 3.00000

f(x)= 8.5000 11.8351 16.0250 21.1605 27.3333

I2 = Ia + Ib= 5.988783 + 10.666692 = 16.655475

Por Richardson

I= (2 I2 + I1)/3=16.6555