Microsoft Word - Cap 3 La derivada

2

1

DERIVACIN POLAR

Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramtricas.x r cos()

Si tenemos r

f y como y r sen ()

Al reemplazar queda

x y

f () cos()f ()sen ()

Entonces

dydy d

f ()senf () cos

dxdx d

f () cos

f ()sen

Para encontrar la ecuacin de la recta tangente:

y

r f

Fig. 3.13

r0 ,0

r0y0

0x0x

Considere que la ecuacin cartesiana de una recta, definida por un punto y su pendiente, es de la forma:

Entonces:

y y0

m( x x0 )

120

121

x0

f

cos

y0 0

f

sendy000

m dy d dxdxd

0

f ()senf () cos0000

f () cosf ()sen0000

EjemploEncuentre la ecuacin de la recta tangente a r f () 4 sen 3en 04

SOLUCIN:Observa la grfica:

Fig. 3.14

x0 f (0 ) cos( 0 ) f ( 4 ) cos( 4 )

y0 f (0 ) sen( 0 ) f ( 4 ) sen( 4 )

En este caso

4 sen 3 cos44

y4 sen 3

sen

2 2

44 2 2

4 2 2x0 2

4 2 2y0 2

Para la pendiente, tenemos: f () 12 cos 3

Entonces:

m f (0 )sen0 f (0 ) cos0f (0 ) cos0 f (0 )sen012 cos 3 sen 4sen3 cos 4444

12 cos 3 cos 4sen3 sen

4444

2 2

2 2

12 2 2

4 2 2

2 2

2 2

12 2 2

4 2 2

6 26 2m 12

Por lo tanto, la ecuacin de la recta tangente estara dada por:

y y 0

m ( x x 0 ) 1

y 2 2 ( x 2)

Ejercicios propuestos 3.81. Hallar la ecuacin de la recta tangente a r 4 cos 3

en 0 4

2. Hallar la ecuacin de la recta tangente a r 4 sen 3

en 0 6

3. Hallar la ecuacin de la recta tangente a r

2 sen 3

en 0 6

4. Hallar la ecuacin de la recta tangente a r 3 4sen 3

en 0 3

124

123