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DerivadaIntroduccion
DerivadaTasas de cambio: Velocidad
Regla de la cadenaDerivacion implcita
Tasas de cambio relacionadasContenido transversal: Representacion de funciones
Derivacion. Tasas de cambio. Regla de la cadena.Funciones implıcitas. Derivacion implıcita. Tasas
de cambio relacionadas.
Juan Ruiz1 Marcos Marva1
1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.
Matematicas (Grado en Biologıa)
Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
DerivadaIntroduccion
DerivadaTasas de cambio: Velocidad
Regla de la cadenaDerivacion implcita
Tasas de cambio relacionadasContenido transversal: Representacion de funciones
Contenidos
1 Derivada
2 Introduccion
3 Derivada
4 Tasas de cambio: VelocidadLa derivada como velocidad instantanea
5 Regla de la cadena
6 Derivacion implcita
7 Tasas de cambio relacionadas
8 Contenido transversal: Representacion de funciones
Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
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DerivadaTasas de cambio: Velocidad
Regla de la cadenaDerivacion implcita
Tasas de cambio relacionadasContenido transversal: Representacion de funciones
Imaginemos la siguiente situacion: Un guepardo caza unagacela
¿Que tendremos que hacer para calcular su velocidad media? ¿Esesa su velocidad en cada instante? ¿Como podrıamos calcular suvelocidad en cada instante?
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DerivadaIntroduccion
DerivadaTasas de cambio: Velocidad
Regla de la cadenaDerivacion implcita
Tasas de cambio relacionadasContenido transversal: Representacion de funciones
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1 Derivada
2 Introduccion
3 Derivada
4 Tasas de cambio: VelocidadLa derivada como velocidad instantanea
5 Regla de la cadena
6 Derivacion implcita
7 Tasas de cambio relacionadas
8 Contenido transversal: Representacion de funciones
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DerivadaTasas de cambio: Velocidad
Regla de la cadenaDerivacion implcita
Tasas de cambio relacionadasContenido transversal: Representacion de funciones
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1 Derivada
2 Introduccion
3 Derivada
4 Tasas de cambio: VelocidadLa derivada como velocidad instantanea
5 Regla de la cadena
6 Derivacion implcita
7 Tasas de cambio relacionadas
8 Contenido transversal: Representacion de funciones
Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
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Regla de la cadenaDerivacion implcita
Tasas de cambio relacionadasContenido transversal: Representacion de funciones
Definicion formal de derivada
El calculo diferencial esta basado en la nocion de tasa o ındice decambio. Este concepto aparece implıcitamente en palabras comotasa de crecimiento (o velocidad de crecimiento), crecimientorelativo, velocidad, aceleracion, densidad o pendiente de una curva.Ejemplo: Numero de individuos de una poblacion que cambia conel tiempo: tasa de crecimiento o velocidad de crecimiento
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DerivadaTasas de cambio: Velocidad
Regla de la cadenaDerivacion implcita
Tasas de cambio relacionadasContenido transversal: Representacion de funciones
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1 Derivada
2 Introduccion
3 Derivada
4 Tasas de cambio: VelocidadLa derivada como velocidad instantanea
5 Regla de la cadena
6 Derivacion implcita
7 Tasas de cambio relacionadas
8 Contenido transversal: Representacion de funciones
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Definicion formal de derivada
Definicion:
La derivadad de la funcion f en x , que se denota como f ′(x) = dfdx ,
es
f ′(x) = lımh→0
f (x + h)− f (x)
h
Suponiendo que el lımite existe.
La notacion dfdx se debe a Leibniz y se denomina Notacion de
Leibniz Si el lımite existe, se dice que f es derivable en x .
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Definicion formal de derivada
Para que el lımite exista, es necesario que los dos lımites lateralesexistan. El cociente
∆f
∆x=
f (x + h)− f (x)
h
se denomina cociente de diferencias o cociente incremental.
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Recta tangente
Definicion:
Si la derivada de una funcion f existe en x = c , entonces la rectatangente en x = c es la recta que pasa por el punto (c , f (c)), conpendiente:
f ′(c) = lımh→0
f (c + h)− f (c)
h
Conociendo la derivada de f en un punto c (que es la pendiente dela recta tangente en ese punto) y las coordenadas del punto(c , f (c)), es posible escribir la ecuacion punto-pendiente de larecta:
y − f (c) = f ′(c) · (x − c)
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Tabla de derivadas
Tabla de derivadas
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Tasas de cambio relacionadasContenido transversal: Representacion de funciones
La derivada como velocidad instantanea
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1 Derivada
2 Introduccion
3 Derivada
4 Tasas de cambio: VelocidadLa derivada como velocidad instantanea
5 Regla de la cadena
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8 Contenido transversal: Representacion de funciones
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La derivada como velocidad instantanea
Velocidad media
Velocidad Media
El cociente incremental:
∆f
∆t=
f (t + h)− f (t)
h
Puede interpretarse como la velocidad media de variacion de unafuncion en el intervalo (t, t + h) o como la tasa de variacion de lafuncion en el mismo intervalo.
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La derivada como velocidad instantanea
Velocidad Instantanea
Velocidad instantanea
El lımite del cociente incremental cuando h→ 0:
lım∆t→0
∆f
∆t= lım
h→0
f (t + h)− f (t)
h
Puede interpretarse como la velocidad instantanea de variacion deuna funcion en el intervalo (t, t + h).
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Regla de la cadena
Regla de la cadena
Si g es derivable en x y f es derivable en y = g(x), entonces lafuncion compuesta (f ◦ g)(x) = f [g(x)] es derivable en x , y suderivada se expresa como:
(f ◦ g)′(x) = f ′[g(x)]g ′(x)
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1 Derivada
2 Introduccion
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4 Tasas de cambio: VelocidadLa derivada como velocidad instantanea
5 Regla de la cadena
6 Derivacion implcita
7 Tasas de cambio relacionadas
8 Contenido transversal: Representacion de funciones
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Tasas de cambio relacionadasContenido transversal: Representacion de funciones
Derivacion implcita
Derivacion implcita
No siempre es posible o conveniente expresar y explıcitamentecomo funcion de x , por ejemplo:
xy + sin(y) = tg(x)
Esta ecuacion no se puede resolver, a pesar de que la mismaimplique que y es funcion de x . La derivacion implıcita nos permitecalcular dy
dx en tales situaciones. En general, si w es funcion de y ,como y es funcion de x , se tiene
dw
dx=
dw
dy
dy
dxJuan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
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Derivacion implcita
Ejemplo: dwdx si w = y2.
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8 Contenido transversal: Representacion de funciones
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Tasas de cambio relacionadas
Como a menudo es sencillo escribir relaciones entre variables,aprovechando la derivacion implıcita, se pueden encontrarrelaciones entre las tasas de cambio de estas variables sinnecesidad de obtener expresiones explıcitas de cada una respectode cualquiera de las otras.
Ejemplo
En el instante t una celula esferica tiene un radio r(t). Si elvolumen V crece a una velocidad constante p, encontrar las tasasde crecimiento de r y de la superficie S en terminos de p y r , asıcomo la relacion entre dichas tasas de crecimiento sin necesidad deencontrar una relacion entre S y V .
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5 Regla de la cadena
6 Derivacion implcita
7 Tasas de cambio relacionadas
8 Contenido transversal: Representacion de funciones
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Tasas de cambio relacionadasContenido transversal: Representacion de funciones
Representacion de funciones
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El contenido de esta seccion se destina a trabajo en casa delalumno.
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