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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
MÉTODOS NUMÉRICOS
DERIVACIÓN NUMÉRICA
RIOS HIDALGO, Simón Ernesto
Ing. José Luis Marcillo
DERIVACIÓN NUMÉRICA1. Escribir una fución MATLAB df(x) que admita como entradas un vector
de puntos x y los valores de una función f en los mismos y que calcule el valor dela derivada primera en los mismos utilizando la fórmula de diferencia adelantada.Para calcular el valor en el extremo superior debe usarse la fórmula de diferenciaretrasada.
1
2. Aplicar la fórmula de dos puntos adelantada al cálculo de la derivadaprimera de f(x) = senx en x = 2.13432. Comprobar que al ir reduciendo h elerror se reduce de manera aproximada lineal con h.
Valor exacto
f(x) = senx
f′(x) = cosx
f′(x) = cos(2.13432)
f′(x) = −0.534168
Fórmula a usar f′(x) = f(x+h)−f(x)
h
• Con h=0.1
f′(x) =
f(x+ h)− f(x)
h
f′(x) =
f(2.13432 + 0.1)− f(2.13432)
0.1
f′(x) =
0.787827− 0.845378
0.1
f′(x) = −0.575512
Error
Error =−0.534168 + 0.575512
−0.534168· 100%
Error = 7.73989%
2
• Con h=0.01
f′(x) =
f(x+ h)− f(x)
h
f′(x) =
f(2.13432 + 0.01)− f(2.13432)
0.01
f′(x) =
0.839994− 0.845378
0.01
f′(x) = −0.5384
Error
Error =−0.534168 + 0.5384
−0.534168· 100%
Error = 0.79226%
• Con h=0.001
f′(x) =
f(x+ h)− f(x)
h
f′(x) =
f(2.13432 + 0.001)− f(2.13432)
0.001
f′(x) =
0.844844− 0.845378
0.001
f′(x) = −0.534
Error
Error =−0.534168 + 0.534
−0.534168· 100%
Error = 0.031451%
3
Conclusión
• Como se puede observar en los cálculos realizados anteriormente con lafórmula de dos puntos adelantada, podemos decir que al ir reduciendo hel error se reduce de manera aproximada lineal con h. Las diferencias deerror existentes entre los cálculos y MATLAB se debe a la cantidad decifras signi�cativas apreciadas.
3. Repetir el ejercicio anterior comparando la precisión de la fórmula de difer-encia adelantada con la retrasada. Aplicar también ambas fórmulas al cálculode la derivada de la función g(x) = 1/(1 + ex) en x=1/2.
PRIMERA PARTEFórmula a usar f
′(x) = f(x)−f(x−h)
h
• Con h=0.1
f′(x) =
f(x)− f(x− h)
h
f′(x) =
f(2.13432)− f(2.13432− 0.1)
0.1
f′(x) =
0.845378− 0.894483
0.1
f′(x) = −0.49105
Error
Error =−0.534168 + 0.49105
−0.534168· 100%
Error = 8.07199%
4
• Con h=0.01
f′(x) =
f(x)− f(x− h)
h
f′(x) =
f(2.13432)− f(2.13432− 0.01)
0.01
f′(x) =
0.845378− 0.850677
0.01
f′(x) = −0.5299
Error
Error =−0.534168 + 0.5299
−0.534168· 100%
Error = 0.799%
5
• Con h=0.001
f′(x) =
f(x)− f(x− h)
h
f′(x) =
f(2.13432)− f(2.13432− 0.001)
0.001
f′(x) =
0.845378− 0.845912
0.001
f′(x) = −0.534
Error
Error =−0.534168 + 0.534
−0.534168· 100%
Error = 0.031451%
SEGUNDA PARTEg(x) = 1
1+ex en x=1/2.Valor exacto
f(x) =1
1 + ex
f′(x) =
−1
4cosh2(x2
)f
′(x) = −0.235004
Aplicando la fórmula de diferencia adelantada
• Con h=0.001
f′(x) =
f(x+ h)− f(x)
h
f′(x) =
f(1/2 + 0.001)− f(1/2)
0.001
6
f′(x) =
0.377306− 0.377541
0.001
f′(x) = −0.235
Error
Error =−0.235004 + 0.235
−0.235004· 100%
Error = 0.001702%
Aplicando la fórmula de diferencia retrasada
• Con h=0.001
f′(x) =
f(x)− f(x− h)
h
f′(x) =
f(1/2)− f(1/2− 0.001)
0.001
f′(x) =
0.377541− 0.377776
0.001
f′(x) = −0.235
Error
Error =−0.235004 + 0.235
−0.235004· 100%
Error = 0.001702%
7
Conclusión
• Mientras menor sea el valor de h el error de cálculo tanto en la fórmulade diferencia adelantada como en la fórmula de diferencia retrasada va adisminuir considerablemente. Usando la fórmula de diferencia retrasadael error porcentual obtenido es menor.
4. Supongamos que se conoce el valor de la derivada mediante la fórmula dediferencia adelantada para tres valores de h diferentes. Es posible estimar elvalor del h óptimo? Es posible estimar el error que se comete en el cálculoen cada uno de los casos?. Aplicarlo al cálculo de la derivada de la funciónf(x) = senx en x=0.6 usando h=0.1, h=0.01 y h=0.0000000001.
Valor exacto
f(x) = senx
f′(x) = cosx
f′(x) = 0.825336
Fórmula a usar f′(x) = f(x+h)−f(x)
h
• Con h=0.1
f′(x) =
f(x+ h)− f(x)
h
f′(x) =
f(0.6 + 0.1)− f(0.6)
0.1
f′(x) =
0.644218− 0.564642
0.1
f′(x) = 0.79576
Error
Error =0.825336− 0.79576
0.825336· 100%
Error = 3.58351%
8
• Con h=0.01
f′(x) =
f(x+ h)− f(x)
h
f′(x) =
f(0.6 + 0.01)− f(0.6)
0.01
f′(x) =
0.572867− 0.564642
0.01
f′(x) = 0.822546
Error
Error =0.825336− 0.822546
0.825336· 100%
Error = 0.338044%
• Con h=0.0000000001
f′(x) =
f(x+ h)− f(x)
h
f′(x) =
f(0.6 + 0.0000000001)− f(0.6)
0.0000000001
9
f′(x) =
0.5646424− 0.564642
0.0000000001
f′(x) = 0.8253
Error
Error =0.825336− 0.8253
0.825336· 100%
Error = 0.004362%
Conslusión
• Si es posible estimar el valor óptimo de h, ya que mientras h es maspequeño el error obtenido es menor. Por lo tanto, mientras el valor de hsea menor, el error va a aumentar.
5. Calcular la derivada de la funciï¾÷n f(x) = tanx en x=3.14 usando h=0.1 yh=0.01. Comparar el resultado con el valor exacto. Es buena la aproximación?Por qué?
Valor exacto
f(x) = tanx
f′(x) =
1
cos2x
f′(x) = 1
Fórmula a usar f′(x) = f(x+h)−f(x−h)
2h
• Con h=0.1
f′(x) =
f(x+ h)− f(x− h)
2h
f′(x) =
f(3.14 + 0.1)− f(3.14− 0.1)
2(0.1)
10
f′(x) =
0.098726 + 0.101944
0.2
f′(x) = 1.00335
Error
Error =1− 1.00335
1· 100%
Error = 0.335%
• Con h=0.01
f′(x) =
f(x+ h)− f(x− h)
2h
f′(x) =
f(3.14 + 0.01)− f(3.14− 0.01)
2(0.01)
f′(x) =
0.008408 + 0.011593
0.02
f′(x) = 1.00005
Error
Error =1− 1.00005
1· 100%
Error = 0.005%
11
Conclusión
• La aproximación es buena debido a que estamos usando la fórmula cen-trada. También decimos que la aproximación es buena ya que estamosusando valores pequeños de h.
7. Construir una tabla de derivadas primeras de la función g(x) de�nida por lasiguiente tabla en los puntos xj con la mayor precisión posible mediante fórmulasde tres puntos.
x g(x)
1.0 1.0000001.2 0.9975021.4 0.9900251.8 0.9603982.0 0.940678
Fórmula a utilizar
f′(x) = −f(2)+4f(1)−3f(0)
h
Ejemplo de cálculos
g′(1) = −0.990025+4(0.997502)−3(1)
0.4 = −4.25x10−5
Tabla de derivadash x g'(x)0.4 1 −4.25x10−5
0.4 1.2 0.017940.4 1.4 -0.1729025
8. Usando la fórmula de diferencia centrada calcular la derivada primerade la función f(x) = arctanx en el punto x =
√2 (el valor correcto es 1/3).
Utilizar diferentes valores de h y estudiar los efectos de los errores de redondeoy de truncación.
Fórmula a usar f′(x) = f(x+h)−f(x−h)
2hValor exacto
12
f′(x) = arctanx
f′(x) =
1
x2 + 1
f′(x) =
1
(√
2)2 + 1
f′(x) =
1
3
• Con h=0.1
f′(x) =
f(x+ h)− f(x− h)
2h
f′(x) =
f(√
2 + 0.1)− f(√
2− 0.1)
2(0.1)
f′(x) =
0.987139− 0.920348
0.2
f′(x) = 0.333955
Error
Error =13 − 0.333955
13
· 100%
Error = 0.1865%
• Con h=0.01
f′(x) =
f(x+ h)− f(x− h)
2h
f′(x) =
f(√
2 + 0.01)− f(√
2− 0.01)
2(0.01)
f′(x) =
0.958634− 0.951968
0.02
f′(x) = 0.3333
13
Error
Error =13 − 0.3333
13
· 100%
Error = 0.01%
Conclusión
• En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es eltérmino usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separadordecimal, descartando los menos signi�cativos, mientras que el redondeo esel proceso mediante el cual se eliminan cifras signi�cativas de un númeroa partir de su representación decimal, para obtener un valor aproximado.El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo quese puede tener usando redondeo.
9. Deducir la fórmula de cinco puntos que utilice valores de la función en lospuntos x− 2h, x− h, x+ h, x+ 3h y x+ 2h para calcular f
′(x).
f(x0 + h) ≈ f(x0) + f′(x0)h+ f(2)(x0)h
2
2! + f(3)(x0)h3
3! + f(4)(x0)h4
4!
f(x0 − h) ≈ f(x0)− f ′(x0)h+ f(2)(x0)h
2
2! + f(3)(x0)h3
3! + f(4)(x0)h4
4!
f(x0 + 2h) ≈ f(x0) + f′(x0)h+ f(2)(x0)(2h)
2
2! + f(3)(x0)(2h)3
3! + f(4)(x0)(2h)4
4!
f(x0 + 2h) ≈ f(x0) + f′(x0)h+ f(2)(x0)(2h)
2
2! + f(3)(x0)(2h)3
3! + f(4)(x0)(2h)4
4!Restando la ecuación (2) a (1)
f(x0 + h)− f(x0 − h) ≈ 2f′(x0)h+ 2 f
(3)(x0)h3
3!Restando la ecuación (4) a (3)
f(x0 + 2h)− f(x0 − 2h) ≈ 2f′(x0)2h+ 2 f
(3)(x0)(2h)3
3!Multiplicando 8(5)-(6)8f(x0 + h)− 8f(x0 − h)− f(x0 + 2h) + f(x0 − 2h) ≈ 12f
′(x0)h
Despejando f′(x0)
f′(x0) = 8f(x0+h)−8f(x0−h)−f(x0+2h)+f(x0−2h)
12h
14
INTEGRACIÓN NUMÉRICA1. Construya programas en MATLAB para las reglas compuestas: �rectán-
gulo, trapecio y Simspon�.TRAPECIO COMPUESTO
SIMPSON COMPUESTO
15
2. Aproxime cada una de las siguientes integrales, utilizando los programasdesarrollados.
a)´ 1−1
(1 + x2)−1dxTRAPECIO
SIMPSON
b)´ 20
2xcos(x)dxTRAPECIO
16
SIMPSON
c)´ π0sin(2x)e−xdx
TRAPECIO
SIMPSON
3. Considere las siguientes funciones.a) f(x) = x3 para 0 ≤ x ≤ 1b) f(x) = sin(x) para 0 ≤ x ≤ π
4c) f(x) = e−x para 0 ≤ x ≤ 1Teniendo presente que:
• Longitud de una curva. La longitud de una curva y = f(x) de�nida sobreun intervalo [a, b] es
17
longitud =
ˆ b
a
√1 + (f ′(x))2dx
• Área de una super�cie de revolución. El área de la super�cie del sólido derevolución que se obtiene al girar alrededor del eje OX la región limitadapor la curva y = f(x) y el intervalo[a, b], viene dada por:
area = 2π
ˆ b
a
f(x)√
1 + (f ′(x))2dx
Calcular la longitud de la curva y la super�cie de revolución de las curvasdadas, utilizando las reglas compuestas. Realice, además, un análisis del errorcometido por cada uno de los métodos. Mostrar las grá�cas.
Longitud√
1 + (f ′(x))2
Área 2πf(x)√
1 + (f ′(x))2
Longitud =
ˆ b
a
g(x)dx
Area =
ˆ b
a
h(x)dx
a) f(x) = x3 para 0 ≤ x ≤ 1
18
f′(x) = 3x2
g(x) =√
1 + 9x4
h(x) = 2πsin(x) ∗√
1 + 9x4
• Longitud y área con Trapecios
LongitudIngrese la funcion g(x): 'sqrt(1+9.*x.^4)'Limites de IntegracionLimite inferior: 0Limite superior: 1Numero de divisiones: 10La longitud de curva es: 1.552609 y su error relativo es 0.306478ÁreaIngrese la funcion: '2*pi.*x.^3.*sqrt(1+9.*x.^4)'Limites de IntegracionLimite inferior: 0Limite superior: 1Numero de divisiones: 10El area de revolucion es: 3.642447 y su error relativo es 2.226272
19
• Longitud y área con Simpson
LongitudIngrese la funcion f(x)= sqrt(1+9.*x.^4)Ingrese el limite superior de la integral: 1Ingrese el limite inferior de la integral: 0Ingrese el numero de intervalos: 10El valor aproximado de la longitud es: 1.547865560100135ÁreaIngrese la funcion f(x)= 2*pi.*x.^3.*sqrt(1+9.*x.^4)Ingrese el limite superior de la integral: 1Ingrese el limite inferior de la integral: 0Ingrese el numero de intervalos: 10El valor aproximado del area de revolucion es: 3.563159826957447b) f(x) = sin(x) para 0 ≤ x ≤ π
4
f′(x) = cos(x)
g(x) =√
1 + cos(x)2
h(x) = 2πsin(x) ∗√
1 + cos(x)2
• Longitud y área con Trapecios
LongitudIngrese la funcion g(x): 'sqrt(1+(cos(x)).^2)'
20
Limites de IntegracionLimite inferior: 0Limite superior: pi/4Numero de divisiones: 10La longitud de la curva es 1.057886 y su error relativo es 0.019841ÁreaIngrese la funcion h(x): '2*pi.*sin(x).*(sqrt(1+(cos(x)).^2))'Limites de IntegracionLimite inferior: 0Limite superior: pi/4Numero de divisiones: 10El area de revolucion es: 2.419724 y su error relativo es 0.111638
• Longitud y área con Simpson
LongitudIngrese la funcion f(x)= sqrt(1+(cos(x)).^2)Ingrese el limite superior de la integral: pi/4Ingrese el limite inferior de la integral: 0Ingrese el numero de intervalos: 10El valor aproximado de la longitud es: 1.058095521173557ÁreaIngrese la funcion h(x) f(x)=2*pi.*sin(x).*(sqrt(1+(cos(x)).^2))Ingrese el limite superior de la integral: pi/4Ingrese el limite inferior de la integral: 0Ingrese el numero de intervalos: 10El valor aproximado del area de revolucion es: 2.422428408553643
21
c) f(x) = e−x para 0 ≤ x ≤ 1
f′(x) = −e−x
g(x) =√
1 + (−e−x)2
h(x) = 2πsin(x) ∗√
1 + (−e−x)2
• Longitud y área con Trapecios
LongitudIngrese la funcion g(x): 'sqrt(1+(-exp(-x)).^2)'Limites de IntegracionLimite inferior: 0Limite superior: 1Numero de divisiones: 10La longitud de la curva es: 1.193185 y su error relativo es 0.040522ÁreaIngrese la funcion h(x): '2*pi*exp(-x).*sqrt(1+(-exp(-x)).^2)'Limites de IntegracionLimite inferior: 0Limite superior: 1Numero de divisiones: 10El area de revolucion es: 4.858023 y su error relativo es 0.181555
22
• Longitud y área con Simpson
LongitudIngrese la funcion g(x)= sqrt(1+(-exp(-x)).^2)Ingrese el limite superior de la integral: 1Ingrese el limite inferior de la integral: 0Ingrese el numero de intervalos: 10El valor aproximado de la longitud es: 1.192701430270993ÁreaIngrese la funcion f(x)= 2*pi*exp(-x).*sqrt(1+(-exp(-x)).^2)Ingrese el limite superior de la integral: 1Ingrese el limite inferior de la integral: 0Ingrese el numero de intervalos: 10El valor aproximado del area de revolucion es: 4.8492200176575894. Determine las constantes w0, w1 y w2 de manera que:
ˆ 2
0
g(t)dt = w0g(0) + w1g(1) + w2g(2)
Sea exacta para las funciones g(t) = 1, g(t) = t,g(t) = t2
• g(t) = 1
Si g(0) = g(1) = g(2) = 1
ˆ 2
0
g(t)dt =
ˆ 2
0
1dt
ˆ 2
0
w0g(0) + w1g(1) + w2g(2)dt = t |20
w0 + w1 + w2 = 2
• g(t) = t
Si g(0) = 0, g(1) = 1, g(2) = 2
ˆ 2
0
g(t)dt =
ˆ 2
0
tdt
ˆ 2
0
w0g(0) + w1g(1) + w2g(2)dt =t2
2|20
w1 + 2w2 = 2
• g(t) = t2
23
Si g(0) = 0, g(1) = 1, g(2) = 4
ˆ 2
0
g(t)dt =
ˆ 2
0
t2dt
ˆ 2
0
w0g(0) + w1g(1) + w2g(2)dt =t3
3|20
w1 + 4w2 =8
3
SOLUCIÓN
w0 =1
3
w1 =4
3
w2 =1
3
5. Use la relación f(x0 + ht) = g(t) y el cambio de variable x = x0 + htcon dx = hdt para trasladar la regla de Simpson desde [0, 2] hasta el intervalo[x0, x2].
´ 20g(t)dt
g(t) = f(x0 + ht)
dx = hdt
x = x0 + ht
Reemplazando
x(0) = x0 + 0
x(2) = x0 + 2h
Se obtiene
1h
´ x0+2h
x0xdx
6. Determine en cada uno de los siguientes casos, el número m y el tamañode los subintervalos h de manera que la regla del trapecio y la de Simpson(considerar cada regla por separado) con m subintervalos nos permita obtenerla integral dada con una precisión de 5× 10−9
a)´ π/6−π/6 cos(x)dx
24
f(x) = cos(x)
f′(x) = −sin(x)
f′′(x) = −cos(x)
f′′′
(x) = sin(x)
f (4) = cos(x)
h = b−an = π/3
n
• Método del Trapecio
E =
∣∣∣∣b− a12h2f
′′(u)
∣∣∣∣E =
∣∣∣∣∣π/312
(π/3
n
)2
∗ −cos(u)
∣∣∣∣∣E =
∣∣∣∣ π3
324n2∗ −cos(u)
∣∣∣∣Con u = 0
E =π3
324n2
E < 5x10−9
π3
324n2< 5x10−9
n = 4375
h = 2.39x10−4
• Método de Simpson
E =
∣∣∣∣ h4180(b− a)f (4)(u)
∣∣∣∣E =
∣∣∣∣ (π/3)4
180n4(π/3)cos(u)
∣∣∣∣Con u = 0
E =(π/3)5
180n4
E < 5x10−9
(π/3)5
180n4< 5x10−9
n = 35
h = 0.0299
25
b)´ 32
15−xdx
f(x) =1
5− x
f′(x) =
1
(x− 5)2
f′′(x) =
2
(5− x)3
f′′′
(x) =6
(x− 5)4
f (4) =24
(5− x)5
h = b−an = 1
n
• Método del Trapecio
E =
∣∣∣∣b− a12h2f
′′(u)
∣∣∣∣E =
∣∣∣∣∣ 1
12
(1
n
)2
∗ 2
(5− u)3
∣∣∣∣∣Con u = 2.5
E =4
375n2
E < 5x10−9
4
375n2< 5x10−9
n = 1461
h = 6.84x10−4
• Método de Simpson
E =
∣∣∣∣ h4180(b− a)f (4)(u)
∣∣∣∣E =
∣∣∣∣ 2
15n4(5− u)5
∣∣∣∣Con u = 2.5
26
E =2
15n4(5− 2.5)5
E < 5x10−9
2
15n4(5− 2.5)5< 5x10−9
n = 23
h = 0.04348
c)´ 20xe−xdx
f(x) = xe−x
f′(x) = e−x(1− x)
f′′(x) = e−x(x− 2)
f′′′
(x) = e−x(3− x)
f (4) = e−x(x− 4)
h = b−an = 2
n
• Método del Trapecio
E =
∣∣∣∣b− a12h2f
′′(u)
∣∣∣∣E =
∣∣∣∣∣ 2
12
(2
n
)2
∗ e−u(u− 2)
∣∣∣∣∣E =
∣∣∣∣∣23(
1
n
)2
∗ e−u(u− 2)
∣∣∣∣∣Con u = 1
E =0.24525
n
E < 5x10−9
0.24525
n< 5x10−9
n = 7004
h = 2.86x10−4
• Método de Simpson
27
E =
∣∣∣∣ h4180(b− a)f (4)(u)
∣∣∣∣E =
∣∣∣∣ 8
45n4e−u(u− 4)
∣∣∣∣Con u = 1
E =0.1962
n4
E < 5x10−9
0.1962
n4< 5x10−9
n = 80
h = 0.025
28
